introducción la matemática financiera

MATEMÁTICA FINANCIERA

Docente: Raúl Bacigalupo

E- mail: raul.bacigalupo@upn.pe

03/05/2023

Puntualidad

Solo para el aprendizaje y cuando el docente lo autorice. Deben estar en modo silencio.

Pulcritud en la presentación de informes presenciales o virtuales

No ingerir alimentos en el aula.

Respeto total a personas y normas

NORMAS DE CONVIVENCIA

UNIDAD 1Introducción la Matemática Financiera y el

Valor del Dinero en el Tiempo.Interés Simple y Ecuaciones de Valor.

3

VÍDEOMATEMÁTICAS FINANCIERAS - Clase 1 – Introducciónhttps://www.youtube.com/watch?v=kwsDHragCOg

Logro de aprendizaje de la Unidad 1

Al terminar la unidad, el estudiante resuelve 4 de 5 problemas propuestos de Interés Simple, identifica las

variables, utiliza la fórmula apropiada, halla el resultado correcto y lo interpreta.

5

Introducción a la Matemática Financiera

6

Definición de Matemática FinancieraLa Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que provee un conjunto de herramientas, las cuales permiten analizar cuantitativamente la viabilidad o factibilidad económica y financiera de los proyectos de inversión o financiación.Fuente: http://cepea.edu.pe/profesionalizacion_xx/programas-dst-prof/presentacion/doc/MATEMATICA_FINANCIERA.pdf, recuperado 19/12/2016.

7 7

La matemática financiera es una herramienta que permite responder a las siguientes cuestiones:

Introducción a la Matemática Financiera

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Definición de Interés El interés es un índice utilizado en economía y finanzas para registrar la rentabilidad de un ahorro o el costo de un crédito. Se le llama interés a los distintos tipos de índice que se emplean en la medición de rentabilidad de los ahorros o que se incorporan al valor de un crédito.Fuente:http://www.definicionabc.com/economia/interes.php, recuperado el 19/12/2016

El interés es el valor del dinero en el tiempo.

Es el precio a pagar por disponer de un capital durante un periodo de tiempo.

El Valor del Dinero en el tiempo

9 9

1UM ≠ 1UM

HOY 1 AÑO

El Valor del Dinero en el tiempo

10 10

El Valor del Dinero en el tiempo

Capital

Inicial

Intereses

PrincipalValor PresenteCapitalStock Inicial de efectivo

MontoValor FuturoCapitalStock Final de efectivo

Capital

Inicial

Lapso de tiempo

11 11

Operaciones financieras

Las Operaciones Activas son aquellas en la que una entidad financiera presta el dinero.

Ejemplo: Préstamo personal, Crédito Hipotecario, Tarjeta de Crédito; etc.

Las Operaciones Pasivas son aquellas en la que una entidad financiera recibe el dinero.

Ejemplo: cuentas de ahorro, depósitos a plazo fijo, Fondos Mutuos; etc.

Las operaciones financieras son Activas y Pasivas.

Tasa

s Ac

tivas

Tasa

s Pa

sivas≠

SPREAD FINANCIERO

12 12

El Interés SimpleInterés Simple:

• El interés es la diferencia entre un monto o capital final y el importe original que lo produjo.

• Beneficio que se obtiene de una inversión cuando los intereses producidos se deben únicamente al capital inicial.

• El interés sólo se aplica al capital inicial.• El interés no se capitaliza.• El interés es la diferencia entre un monto o

capital final y el importe original que lo produjo.

• Períodos de tiempo: años, semestres, trimestres, meses, semanas, días.

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El Interés Simple

Componentes del Interés:

• Interés (I): Es le beneficio que se obtiene por un capital invertido.

• Tasa de Interés (i): Es el porcentaje que se paga por el alquiler del dinero.

• Tiempo (n): Es la duración de la inversión.• Capital Inicial (P): Es el dinero que se

invierte

14 14

Componentes del interés Simple.

Capital Inicial (P)Tasa de Interés (i)Tiempo (n)El Riesgo (está incluido en la Tasa de Interés)

I = f( P, i, n)

El Interés Simple

15

El Interés Simple

Fórmulas del Interés Simple

I = P . i . n

S = P + I S = P + P . I . n

S = P (1 + i . n)

1

2

3

1 2en

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Indicaciones para resolver problemas de Interés Simple.

1.- Identificar las variables: Capital Inicial (P); Tasa de Interés (i); Tiempo (n).2.- Graficar para aclarar el problema.3.- Identificar la fórmula apropiada según l a variable a identificar.4.- Homogenizar el periodo de tiempo, si la tasa está expresada en años, el tiempo también debe ser expresado en años, si la tasa es semestral, el tiempo también debe ser expresado en semestres; y así sucesivamente. En algunos problemas se deben convertir las tasas de interés.

El Interés Simple

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Indicaciones para resolver problemas de Interés Simple.

5.- Las tasas de interés se trabajan en tanto por uno en las fórmulas. Normalmente se expresan en porcentajes. Basta con dividir el porcentaje (tanto por ciento) entre 100.6.- Trabajar con todos los decimales posibles. Solamente redondear la respuesta al problema a dos decimales, en el caso de ser el resultado una tasa de interés, expresarla en porcentaje.7.- A efectos del cálculo de tasas diarias, se considera el año comercial (360 días) – BCRP.

El Interés Simple

18

El Interés Simple

Conversión de tasas de Interés Simple

m = periodos en el año

i anual

i m =

m 4

Ejemplo 1: Calcular la tasa bimestral a partir de 12% anual.m = 6; i = 12% i bimestral = 0.12/6 = 0.02 = 2%

Ejemplo 2: Calcular la tasa mensual a partir de 18% anual.m = 12; i = 18% i bimestral = 0.18/12 = 0.015 = 1.5%

Ejemplo 3: Calcular la tasa anual a partir de 2.5% mensual.m = 12; i mensual = 2.5% i bimestral = 0.025*12 = 0. 30 = 30%

Ejemplo 4: Calcular la tasa diaria a partir de 24% anual.m = 360; i = 24% i bimestral = 0.24/360 = 0.000667 = 0.067%

Ejemplo 5: Calcular la tasa anual a partir de 0.05% diaria.m = 1; i = 0.05% i bimestral = 0.0005*360 = 0.18 = 18%

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El Interés Simple

Conversión de tasas de Interés Simple

i anual

I mensual =

12

i anual = i mensual x 12

i anual

i trimestral =

4

i anual

i bimensual =

6

i anual = i trimestral x 4i anual = i bimensual x 6

i anual

i diario =

360

i anual = i diario x 360

VÍDEO

INTERÉS SIMPLE con problemas de ejemplo - Matemáticas Financieras - academia JAFhttps://www.youtube.com/watch?v=jvR8DhKw8FE&t=204s

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Calcular el interés simple comercial de: $2.500 durante 8 meses al 8% mensual.

1.-

Ejemplos de Interés Simple

Calcular el interés simple comercial de: $2 500 durante 8 meses al 8% mensual. Entonces: P = $2 500; n = 8 meses; i= 0,08 I = $2 500 * 8 * 0.08 = $133,33 Respuesta

1.-

1 2 3

i= 0,08 Capital Inicial (P = $2 500)

Interés (I = $133)

Capital Inicial (P = $2 500)

Meses0

Ejemplos de Interés Simple

Calcular el interés simple comercial de: $60.000 durante 63 días al 9% anual

2.-

Ejemplos de Interés Simple

Calcular el interés simple comercial de: $60.000 durante 63 días al 9% anual.

I =$60.000; t =63 días; i =0,09

I = $60.000 * 63 * 0.09 = $ 945 Respuesta 360

2.-

Ejemplos de Interés Simple

Calcular el interés simple comercial de: $12.000 durante 3 meses al 8½ % anual.

3.-

Ejemplos de Interés Simple

Calcular el interés simple comercial de: $12.000 durante 3 meses al 8½ % anual. C =$12.000; t =3 meses; i =0,085 I = $12.000 * 3 * 0.085 = $ 255 Respuesta 12

3.-

Ejemplos de Interés Simple

Calcular el interés simple comercial de: $5.000 durante 3 años, 2 meses y 20 días al 0,75% mensual.

4.-

Ejemplos de Interés Simple

Calcular el interés simple comercial de: $5.000 durante 3 años 2 meses 20 días al 0,75% mensual.

C = 5.000i = 0,0075 mensual = 0,0075/30 diaria = 0.00025 diariat = 3años *360 días = 1080 días 2 meses * 30 días = 60 días + 20 días = 1180 días

I = $5,000 * 1180 * 0.00025 = $1.450 Respuesta

4.-

Un señor pago $2.500,20 por un pagaré de $2.400, con 4.5 % de interés. ¿Cuántos días estuvo endeudado?

4.-

Ejemplos de Interés Simple

Un señor pago $2.500,20 por un pagaré de $2.400, con 4.5 % de interés. ¿Cuántos días estuvo endeudado?S = $ 2500.20P = $ 2400.0i = 0,045 anual n = ?I = $2500.20 – $2400 = $100.20100.20 = 2400 * n * 0.045 ==> n = 0.92777 añosn = 0.92777 año x 1 año/360 días = 334 días.

5.-

Ejemplos de Interés Simple

Ecuaciones de Valor a Interés Simple

VÍDEO

13_MatFin Interés Simple 8: Ecuaciones de Valor Equivalente (ejemplos)https://www.youtube.com/watch?v=JjuCxfUvKlY

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Una ecuación de valor es la equivalencia financiera, planteada en términos algebraicos y en una fecha determinada, entre dos conjuntos de obligaciones o flujos de capitales cuyos vencimientos coinciden o se han hecho coincidir. En general, estos conjuntos vienen relacionados a un flujo de deudas y el otro al de los pagos, o bien, uno se refiere a los depósitos y el otro, a los retiros producidos en una cuenta bancaria, así como también, se presentan casos de transacciones en las que un deudor desea reemplazar un conjunto de pagos que debe efectuar a un determinado acreedor, por otro conjunto que sea equivalente, pero con otras cantidades y fechas de vencimiento. La igualdad o el planteamiento antes señalado es lo que se conoce como una ecuación de valores equivalentes, o simplemente, una ecuación de valor.

Ecuaciones de Valor a Interés Simple

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Una ecuación de valor se fundamenta en que el dinero tiene un valor que depende del tiempo. Por tal razón, al plantearla se debe respetar la Regla Fundamental de la Suma Financiera de Capitales :“Dos o más capitales financieros no pueden sumarse mientras no coincidan sus vencimientos”

A ese vencimiento o fecha de referencia se le llama FECHA FOCAL.

Cuando se hayan llevado todos los capitales a la fecha focal acordada, podemos plantear una ecuación de valor y determinar, a partir de ésta, los capitales de cuantía desconocida.

Ecuaciones de Valor a Interés Simple

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Para facilitar la solución de los problemas financieros que se resuelven planteando una ecuación de valor, es conveniente utilizar lo que se conoce como los diagramas tiempo-valor. Estos consisten en una línea horizontal con una escala de tiempo en años, meses, días, etc., dependiendo del problema y en ella se indican las sumas de dinero de los dos conjuntos de capitales en sus correspondientes vencimientos. Un conjunto se representa con flechas que se colocan arriba del eje del tiempo del diagrama tiempo-valor y, el otro conjunto, con flechas que se colocan abajo.

Ecuaciones de Valor a Interés Simple

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Ecuaciones de valor

Es muy frecuente el hecho de cambiar una o varias obligaciones por otra u otras nuevas obligaciones. La solución de este tipo de problemas se plantea en términos de una ecuación de valor que es una igualdad de valores ubicados en una sola fecha denominada fecha focal. En la fecha focal debe plantearse entonces la igualdad entre las diferentes alternativas para que la suma algebraica sea cero como se establece en el principio de equivalencia financiera.

Ecuaciones de Valor a Interés Simple

años

DIAGRAMA DE FLUJOS DE EFECTIVO

0 1 2 3 4 5Fecha Focal

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Al resolver problemas financieros es muy útil utilizar un eje temporal para volcar en él todos los datos; fechas, ingresos, egresos, saldo, tasas vigentes, etc.

Para plantear la ecuación de balance o de valor, se deben valorar todos los ingresos, egresos y el saldo en la fecha focal.

años

DIAGRAMA DE FLUJOS DE EFECTIVO

0 1 2 3 4 5Fecha Focal

Ecuaciones de Valor a Interés Simple

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Veamos unEjemplo:Gustavo Mesa se había comprometido a pagar hoy la suma de $120,000 y $80,000dentro de 2 años. Ante la imposibilidad de honrar dichos compromisos en la formapactada, el acreedor accedió a un refinanciamiento en base a una tasa del 18%de interés simple anual, aceptando la cancelación de dichas deudasmediante un pago de $110,000 dentro de 4 años y un pago final en 5 años. Determinar el importe del último pago.

Ecuaciones de Valor a Interés Simple

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Solución:

Sabemos que no es el mismo valor de una unidad monetaria en el presente que en el futuro, por tanto:

Se debe escoger fecha en la cual se puedan comparar los flujos de efectivo una (fecha focal).

Actualizaremos los importes de efectivo al día de hoy (año 0)

Ecuaciones de Valor a Interés Simple

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P1 + P2 i anual = 18%

P3 + P4

DIAGRAMA DE FLUJOS DE EFECTIVO

0

S1 = 120,000

1 2 3 4 5

S2 = 80,000

S3 =110,000

S4 = X

Fecha Focal

Veamos el planteamiento del problema gráficamente:

Ecuaciones de Valor a Interés Simple

40

Respuesta: Deberá hacer un pago de $ 185, 113.54 al final del año 5.

Ecuaciones de Valor a Interés SimpleSolución:

Datos: S1= 120,000 n1 = 0 años i = 0.18S2= 80,000 n2 = 2S3= 110,000 n3 = 4S4= X n4 = 5

Fórmulas:I = P * i * nS = P + IS = P [ 1+ (i*n)] P = S / [1 +(i*n)] P = S * [(1 +(i*n)]-1

Establecemos la siguiente ecuación.P1 +P2 = P3 + P4

Cálculos:120,000 / [1 + (0.18 * 0)]+ 80,000 / [1 + (0.18 * 2)] = 110,000 / [1 + (0.18 * 4)] + S4 / [1 + (0.18 * 5)]

120,000 * [1 + (0.18 * 0)]-1+ 80,000 * [1 + (0.18 * 2)]-1 = 110,000 * [1 + (0.18 * 4)]-1 + S4* [1 + (0.18 * 5)]-1

120,000 + 80,000 *1.36-1 = 110,000 x 1.72-1 + S4 * 1.90-1

S4 = (120,000 + 58,823.23 - 81395.35 ) / 1.9-1

S4 = 97,428.18 / 1.9-1 S4 = 97,428.18 * 1.9

S4 = 185,113.54

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Ejercicio 2Una persona debe pagar $1.000.000 dentro de cuatro meses, $1.500.000 dentro de nueve meses y $1.750.000 dentro de un 10 meses. La persona desea efectuar un solo pago de $3.600.000 para cancelar las tres obligaciones. Si la tasa de interés es del 16.5% anual, hallar la fecha en que debe efectuarse el pago.

DIAGRAMA DE FLUJOS DE EFECTIVO

meses

P3 + P4

Fecha Focal

0 1 2 3 4 5

S4 = 3'600,000

S1 =1'000,000

Fecha Focal 6 7 8 9 10

S2 =1'500,000

S3 =1'750,000

Ecuaciones de Valor a Interés Simple

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Solución:Datos: S1 =1'000,000 n1 = 4 meses i = 0.165

S2 =1'500,000 n2 = 9S3 =1'750,000 n3 = 10S4 = 3'600,000 n4 = X

Fórmulas:I = P * i * nS = P + IS = P [ 1+ (i*n)] P = S / [1 +(i*n)] P = S * [(1 +(i*n)]-1

Establecemos la siguiente ecuación.P1 +P2 + P3 = P4

Cálculos:

1'000,000 / [1 + (0.165 * 4/12)]+ 1'500,000 / [1 + (0.165 * 9/12)] + 1'750,000 / [1 + (0.165 * 10/12)] = 3'600,000 / [1 + (0.165 * n)]

1'000,000 * [1 + (0.165 * 4/12)]-1+ 1´´500,000 * [1 + (0.165 * 9/12)]-1 = 1'750,000 * [1 + (0.165 * 10/12)]-1 = 3'600,000 * [1 + (0.165 * n)]-1

947.867,30 + 1.334.816,46 + 1.538.461,54 = 3.600.000 + (3.600.000 * 0.165)n

947.867,30 + 1.334.816,46 + 1.538.461,54 = 3.600.000 + 594.000 n

221.145,3 = 594.000 n

n = 0,3722984848 años n = 4,4675818182 meses (x 12 meses) n = 4 meses y 4 días (x 30 días)

Ecuaciones de Valor a Interés Simple

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GRACIAS POR SU ATENCIÓN