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Dominio de la Frecuencia

Sistemas Electrónicos de Control

10 de Abril de 2014

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 1 / 69

Índice

1 Introducción

2 Representaciones GráficasDiagrama de BodeDiagrama de Nyquist

3 EstabilidadCriterio de estabilidad de NyquistMargen de Fase y Margen de GananciaAncho de bandaResonancia

4 Sintonización de PIDMétodo 1 de Ziegler-NicholsMétodo 2 de Ziegler-NicholsInterpretación en el dominio de la frecuenciaZiegler-Nichols Modificado

5 TeleLaboratorio-Discretización

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 2 / 69

1 Introducción

2 Representaciones GráficasDiagrama de BodeDiagrama de Nyquist

3 EstabilidadCriterio de estabilidad de NyquistMargen de Fase y Margen de GananciaAncho de bandaResonancia

4 Sintonización de PIDMétodo 1 de Ziegler-NicholsMétodo 2 de Ziegler-NicholsInterpretación en el dominio de la frecuenciaZiegler-Nichols Modificado

5 TeleLaboratorio-Discretización

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 3 / 69

Introducción

El análisis en el dominio de la frecuencia hace referencia a larespuesta en régimen permanente a una entrada sinusoidal

Los datos se pueden obtener sobre el sistema físico sin disponerdel modelo matemático

Las represntaciones más usadas son las de Bode , Nyquist yNichols

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 4 / 69

Régimen Permanente

Sea

x(t) = Xsen(ωt)

donde

G(s) =Y (s)X (s)

es estable

entonces

yss(t) = Ysen(ωt + φ)

donde

Y = X |G(jω)| y φ = ∠G(jω)

por lo tanto

|G(jω)| =∣

∣

∣

∣

Y (jω)X (jω)

∣

∣

∣

∣

y ∠G(jω) = ∠Y (jω)X (jω)

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 5 / 69

1 Introducción

2 Representaciones GráficasDiagrama de BodeDiagrama de Nyquist

3 EstabilidadCriterio de estabilidad de NyquistMargen de Fase y Margen de GananciaAncho de bandaResonancia

4 Sintonización de PIDMétodo 1 de Ziegler-NicholsMétodo 2 de Ziegler-NicholsInterpretación en el dominio de la frecuenciaZiegler-Nichols Modificado

5 TeleLaboratorio-Discretización

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 6 / 69

1 Introducción

2 Representaciones GráficasDiagrama de BodeDiagrama de Nyquist

3 EstabilidadCriterio de estabilidad de NyquistMargen de Fase y Margen de GananciaAncho de bandaResonancia

4 Sintonización de PIDMétodo 1 de Ziegler-NicholsMétodo 2 de Ziegler-NicholsInterpretación en el dominio de la frecuenciaZiegler-Nichols Modificado

5 TeleLaboratorio-Discretización

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 7 / 69

Diagrama de Bode - Introducción

Formado por 2 gráficas:Logaritmo de la magnitud de la función de transferencia:20log |G(jω)|Ángulo de faseAmbas con el eje de la frecuencia logarítmico

Para la ganancia KMagnitud: 20log(K )Fase: 0◦

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 8 / 69

Diagrama de Bode - Integradores

Para factores integrales ((jω)−1)Magnitud: −20log(ω) (-20 dB/dec)Fase: −90◦

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 9 / 69

Diagrama de Bode - Integradores

Para factores integrales ((jω)−1)Magnitud: −20log(ω) (-20 dB/dec)Fase: −90◦

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 9 / 69

Diagrama de Bode - Derivadores

Para factores derivativos ((jω))Magnitud: 20log(ω) (20 dB/dec)Fase: 90◦

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 10 / 69

Diagrama de Bode - Derivadores

Para factores derivativos ((jω))Magnitud: 20log(ω) (20 dB/dec)Fase: 90◦

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 10 / 69

Diagrama de Bode - Sist. de 1er order

Para factores de primer orden ((1 + jωT )−1)ωT << 1

Magnitud: 0Fase: 0◦ en ω = 0

ωT >> 1Magnitud: −20log(ω) (-20 dB/dec)Fase: −45◦ en frecuencia esquina (ω = 1/T )Fase: −90◦ en ω → ∞

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 11 / 69

Diagrama de Bode - Sist. de 1er order

Para factores de primer orden ((1 + jωT )−1)ωT << 1

Magnitud: 0Fase: 0◦ en ω = 0

ωT >> 1Magnitud: −20log(ω) (-20 dB/dec)Fase: −45◦ en frecuencia esquina (ω = 1/T )Fase: −90◦ en ω → ∞

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 11 / 69

Diagrama de Bode - Sist. de 2o orden

Para factores cuadráticos ((1 + 2ξ(jω/ωn) + (jω/ωn)2)−1)

ω << ωn

Magnitud: 0Fase: 0◦ en ω = 0

ω >> ωn

Magnitud: −40log(ω/ωn) (-40 dB/dec)Fase: −90◦ en frecuencia esquina (ω = ωn )Fase: −180◦ en ω → ∞

Frecuencia de resonancia:ωr = ωn

√

1 − 2ξ2 ; 0 ≤ ξ ≤ 0,707

Mr = |G(jωr )| =1

2ξ√

1 − ξ2; 0 ≤ ξ ≤ 0,707

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 12 / 69

Diagrama de Bode - Sist. de 2o orden

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 13 / 69

Diagrama de Bode - Ejemplo

Ejemplo:

G(s) =10(s + 3)

s(s + 2)(s2 + s + 2)

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 14 / 69

Diagrama de Bode - Ejemplo

Ejemplo:

G(s) =10(s + 3)

s(s + 2)(s2 + s + 2)

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 14 / 69

1 Introducción

2 Representaciones GráficasDiagrama de BodeDiagrama de Nyquist

3 EstabilidadCriterio de estabilidad de NyquistMargen de Fase y Margen de GananciaAncho de bandaResonancia

4 Sintonización de PIDMétodo 1 de Ziegler-NicholsMétodo 2 de Ziegler-NicholsInterpretación en el dominio de la frecuenciaZiegler-Nichols Modificado

5 TeleLaboratorio-Discretización

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 15 / 69

Diagrama de Nyquist - Introducción

El diagrama de Nyquist es una representación en coordenadaspolares de la magnitud de G(jω) con respecto al ángulo de fasede G(jω) cuando ω varía de 0 a ∞

Los ángulos de fase son positivos si se miden en el sentidocontrario a las agujas del reloj

Los ángulos de fase son negativos si se miden en el sentido delas agujas del reloj

Cada punto del diagrama representa un valor de G(jω) para unadeterminada ω

Ventaja : Representa en una gráfica las características de larespuesta en frecuencia para todo el rango de ω

Desventaja : No indica claramente la contribución de todos losfactores de la FT en lazo abierto

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 16 / 69

Diagrama de Nyquist - Integral y Derivativo

Integral:

G(jω) =1jω

= −j1ω

=1ω∠−90◦

Diagrama de Nyquist: Eje imaginario negativo

Derivativo:G(jω) = jω = ω∠90◦

Diagrama de Nyquist: Eje imaginario positivo

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 17 / 69

Diagrama de Nyquist - 1er orden

G(jω) =1

1 + jωT=

1√1 + ω2T 2

∠−tan−1ωT

G(j0) = 1∠0◦ y G(j1T) =

1√2∠−45◦

G(jω) = 1 + jωT =√

1 + ω2T 2∠tan−1ωT

G(j0) = 1∠0◦ y G(j1T) =

√2∠45◦

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 18 / 69

Diagrama de Nyquist - 1er orden

G(jω) =1

1 + jωT=

1√1 + ω2T 2

∠−tan−1ωT

G(j0) = 1∠0◦ y G(j1T) =

1√2∠−45◦

G(jω) = 1 + jωT =√

1 + ω2T 2∠tan−1ωT

G(j0) = 1∠0◦ y G(j1T) =

√2∠45◦

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 18 / 69

Diagrama de Nyquist - 2o orden

G(jω) =1

1 + 2ξ(jω

ωn) + (j

ω

ωn)2

; ξ > 0

limω→0G(jω) = 1∠0◦ y limω→∞G(jω) = 0∠−180◦

Si ω = ωn → G(jωn) =12ξ

∠−90◦

G(jω) = 1 + 2ξ(jω

ωn) + (j

ω

ωn)2 ; ξ > 0

limω→0G(jω) = 1∠0◦ y limω→∞G(jω) = ∞∠180◦

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 19 / 69

Diagrama de Nyquist - 2o orden

G(jω) =1

1 + 2ξ(jω

ωn) + (j

ω

ωn)2

; ξ > 0

limω→0G(jω) = 1∠0◦ y limω→∞G(jω) = 0∠−180◦

Si ω = ωn → G(jωn) =12ξ

∠−90◦

G(jω) = 1 + 2ξ(jω

ωn) + (j

ω

ωn)2 ; ξ > 0

limω→0G(jω) = 1∠0◦ y limω→∞G(jω) = ∞∠180◦

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 19 / 69

Diagrama de Nyquist - Formas generales

Tipo 0:G(j0) = finito y sobre ele eje real positivo. Fase(0) perpendicular aleje realG(j∞) = 0. Fase (∞) tangente a uno de los ejes

Tipo 1:G(j0) = ∞. Fase(0) = −90◦

G(j∞) = 0. Fase (∞) tangente a uno de los ejesTipo 2:

G(j0) = ∞. Fase(0) = −180◦

G(j∞) = 0. Fase (∞) tangente a uno de los ejes

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 20 / 69

Conclusiones en lazo cerrado

| G(jω1)

1 + G(jω1)| = OA

PA∠G(jω1)− ∠1 + G(jω1) = φ− θ

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 21 / 69

1 Introducción

2 Representaciones GráficasDiagrama de BodeDiagrama de Nyquist

3 EstabilidadCriterio de estabilidad de NyquistMargen de Fase y Margen de GananciaAncho de bandaResonancia

4 Sintonización de PIDMétodo 1 de Ziegler-NicholsMétodo 2 de Ziegler-NicholsInterpretación en el dominio de la frecuenciaZiegler-Nichols Modificado

5 TeleLaboratorio-Discretización

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 22 / 69

1 Introducción

2 Representaciones GráficasDiagrama de BodeDiagrama de Nyquist

3 EstabilidadCriterio de estabilidad de NyquistMargen de Fase y Margen de GananciaAncho de bandaResonancia

4 Sintonización de PIDMétodo 1 de Ziegler-NicholsMétodo 2 de Ziegler-NicholsInterpretación en el dominio de la frecuenciaZiegler-Nichols Modificado

5 TeleLaboratorio-Discretización

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 23 / 69

Introducción

Determina la estabilidad de un sistema en lazo cerrado a partirde la respuesta en frecuencia en lazo abierto

Se basa en el teorema de la transformación de la teoría devariable complejaEl criterio de estabilidad se supone para un sistema que puedamaterializarse físicamente:

Causal , el orden del denominador es mayor que el del numeradorlims→∞1 + G(s)H(s) = constante

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 24 / 69

Criterio de estabilidad de Nyquist

Si la FT en lazo abierto G(s)H(s) tiene P polos en el semiplanoderecho del plano s, y lims→∞G(s)H(s) = cte., para que elsistema sea estable , el lugar geométrico G(jω)H(jω) paraω ∈ [−∞,∞] debe rodear P veces el punto −1 + j0

Podemos resumirlo en:Z = N + P

Z = número de ceros de 1+G(s)H(s) en el semiplano derecho delplano sN = número de rodeos en el sentido de las agujas del reloj delpunto −1 + j0P = número de polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho delplano s

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 25 / 69

Ejemplos I

G(s)H(s) =K

(T1s + 1)(T2s + 1)

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 26 / 69

Ejemplos II

G(s)H(s) =K

s(T1s + 1)(T2s + 1)

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 27 / 69

Ejemplos III

G(s)H(s) =K (T2s + 1)s2(T1s + 1)

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 28 / 69

Ejemplos IV

G(s)H(s) =K

s(T1s − 1)

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 29 / 69

Ejemplos V

G(s)H(s) =K (s + 3)s(s − 1)

; K > 1

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 30 / 69

Ejemplos VI

G(s)H(s) =K (s + 0,5)

(s3 + s2 + 1)

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 31 / 69

1 Introducción

2 Representaciones GráficasDiagrama de BodeDiagrama de Nyquist

3 EstabilidadCriterio de estabilidad de NyquistMargen de Fase y Margen de GananciaAncho de bandaResonancia

4 Sintonización de PIDMétodo 1 de Ziegler-NicholsMétodo 2 de Ziegler-NicholsInterpretación en el dominio de la frecuenciaZiegler-Nichols Modificado

5 TeleLaboratorio-Discretización

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 32 / 69

Margen de Fase y Margen de Ganancia I

Margen de Fase: Cantidad de retardo de fase adicional en lafrecuencia de cruce de ganancia requerida para llevar el sistemaal borde de la inestabilidad (MF = 180◦ + φ)

Margen de Ganancia: El inverso de la magnitud |G(jω)| en lafrecuencia (ω1) a la cual el ángulo de fase es −180◦

(MG =1

|G(jω1)|)

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 33 / 69

Margen de Fase y Margen de Ganancia II

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 34 / 69

Margen de Fase y Margen de Ganancia III

G(s)H(s) =K

s(s + 1)(s + 5); K = 10 y K = 100

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 35 / 69

Margen de Fase y Margen de Ganancia III

G(s)H(s) =K

s(s + 1)(s + 5); K = 10 y K = 100

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 35 / 69

1 Introducción

2 Representaciones GráficasDiagrama de BodeDiagrama de Nyquist

3 EstabilidadCriterio de estabilidad de NyquistMargen de Fase y Margen de GananciaAncho de bandaResonancia

4 Sintonización de PIDMétodo 1 de Ziegler-NicholsMétodo 2 de Ziegler-NicholsInterpretación en el dominio de la frecuenciaZiegler-Nichols Modificado

5 TeleLaboratorio-Discretización

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 36 / 69

Ancho de banda I

Frecuencia de corte: La frecuencia (ωb) a la que la magnitud derespuesta en frecuencia en lazo cerrado está 3 dB por debajo delvalor de frecuencia cero

Ancho de banda: El rango de frecuencias donde 0 ≤ ω ≤ ωb

Recordemos que:

tr =π − β

ωdξ ↑→ tr ↑ξ ↑→ Bw ↓tr ∝ 1/Bw

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 37 / 69

Ancho de banda II

GI(s) =1

s + 1

GII(s) =1

3s + 1

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 38 / 69

Ancho de banda II

GI(s) =1

s + 1

GII(s) =1

3s + 1

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 38 / 69

1 Introducción

2 Representaciones GráficasDiagrama de BodeDiagrama de Nyquist

3 EstabilidadCriterio de estabilidad de NyquistMargen de Fase y Margen de GananciaAncho de bandaResonancia

4 Sintonización de PIDMétodo 1 de Ziegler-NicholsMétodo 2 de Ziegler-NicholsInterpretación en el dominio de la frecuenciaZiegler-Nichols Modificado

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(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 39 / 69

Resonancia I

Frecuencia de resonancia: La frecuencia (ωr ) a la que lamagnitud de respuesta en frecuencia en lazo cerrado tiene unmáximo.

Magnitud de resonancia: La magnitud del pico de resonancia.

ωr = ωn

√

1 − 2ξ2 ; 0 ≤ ξ ≤ 0,707

Mr = |G(jωr )| =1

2ξ√

1 − ξ2; 0 ≤ ξ ≤ 0,707

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 40 / 69

Conclusiones

MF , MG y Mr → amortiguamiento del sistema

ωMF , ωr y BW → velocidad de la respuesta transitoria

ωr ↑→ par de polos dominantes lazo cerrado con ξ ↓ωr ↓→ par de polos dominantes lazo cerrado con ξ ↓ξ ↓→ ωd ≃ ωr ∝ 1/trMr ∝ Mp

tr ∝ 1/BW

Mp ∝ 1/ξ → MF ∝ ξ → MF ∝ 1/Mp

tr ∝ MG

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 41 / 69

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2 Representaciones GráficasDiagrama de BodeDiagrama de Nyquist

3 EstabilidadCriterio de estabilidad de NyquistMargen de Fase y Margen de GananciaAncho de bandaResonancia

4 Sintonización de PIDMétodo 1 de Ziegler-NicholsMétodo 2 de Ziegler-NicholsInterpretación en el dominio de la frecuenciaZiegler-Nichols Modificado

5 TeleLaboratorio-Discretización

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 42 / 69

1 Introducción

2 Representaciones GráficasDiagrama de BodeDiagrama de Nyquist

3 EstabilidadCriterio de estabilidad de NyquistMargen de Fase y Margen de GananciaAncho de bandaResonancia

4 Sintonización de PIDMétodo 1 de Ziegler-NicholsMétodo 2 de Ziegler-NicholsInterpretación en el dominio de la frecuenciaZiegler-Nichols Modificado

5 TeleLaboratorio-Discretización

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 43 / 69

Método 1 de Ziegler-Nichols

Basado en la respuesta al escalón

Válido para sistemas donde la planta no contiene ni integradores(tipo 0) ni polos dominantes complejos conjugados

GPID(s) = 0,6T(s + 1/L)2

s

KP τI τD

PTL

∞ 0

PI 0,9TL

L0,3

0

PID 1,2TL

2L 0,5L

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 44 / 69

Método 1 de Ziegler-Nichols

Sea G(s) =1

(s + 1)3

Para un escalón unitario obtenemos que L = 0,81 y T = 3,7Los parámetros del PID serían: K = 5,48, τI = 1,62 y τD = 0,41

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 45 / 69

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2 Representaciones GráficasDiagrama de BodeDiagrama de Nyquist

3 EstabilidadCriterio de estabilidad de NyquistMargen de Fase y Margen de GananciaAncho de bandaResonancia

4 Sintonización de PIDMétodo 1 de Ziegler-NicholsMétodo 2 de Ziegler-NicholsInterpretación en el dominio de la frecuenciaZiegler-Nichols Modificado

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(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 46 / 69

Método 2 de Ziegler-Nichols I

Basado en la respuesta en frecuencia

Válido para sistemas donde existen oscilaciones mantenidas paraun valor de Kcr

GPID(s) =

0,075Kcr Pcr

(s +4

Pcr)2

s

KP τI τD

P 0,5Kcr ∞ 0

PI 0,45Kcr1

1,2Pcr 0

PID 0,6Kcr 0,5Pcr 0,125Pcr

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 47 / 69

Método 2 de Ziegler-Nichols - Ejemplo

G(s) =1

s(s + 1)(s + 2)

Kcr = 6 y ωcr =√

2 → Pcr =2πω

= 4,44

KP = 0,6Kcr = 3,6, τI = 0,5Pcr = 2,22 y τD = 0,125Pcr = 0,56

H(s) = 3,6(1 +1

2,22s+ 0,56s) ≃ 2

(s + 0,9)2

s

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 48 / 69

1 Introducción

2 Representaciones GráficasDiagrama de BodeDiagrama de Nyquist

3 EstabilidadCriterio de estabilidad de NyquistMargen de Fase y Margen de GananciaAncho de bandaResonancia

4 Sintonización de PIDMétodo 1 de Ziegler-NicholsMétodo 2 de Ziegler-NicholsInterpretación en el dominio de la frecuenciaZiegler-Nichols Modificado

5 TeleLaboratorio-Discretización

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 49 / 69

Interpretación en el Diagrama de Nyquist I

Sabemos que

G(jω) = X (ω) + jY (ω)

Para ω0, seleccionamos un punto (A) en el Diagrama de Nyquist

A ≡ G(jω0) = X (ω0) + jY (ω0)

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 50 / 69

Interpretación en el Diagrama de Nyquist I

Sabemos que

G(jω) = X (ω) + jY (ω)

Para ω0, seleccionamos un punto (A) en el Diagrama de Nyquist

A ≡ G(jω0) = X (ω0) + jY (ω0)

Modificando la ganancia (Kp) desplazamos un punto radialmentecon respecto al origenMovimientos ortogonales se producen modificando Ti y/o Td

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 50 / 69

Interpretación en el Diagrama de Nyquist II

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 51 / 69

Interpretación en el Diagrama de Nyquist II

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 51 / 69

Interpretación en el Diagrama de Nyquist II

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 51 / 69

Interpretación en el Diagrama de Nyquist II

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 51 / 69

Interpretación en el Diagrama de Nyquist III

ωRe[G(j )]

ωIm[G(j )]

P

D

I

P

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 52 / 69

Interpretación en el Diagrama de Nyquist III

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 52 / 69

Interpretación en el Diagrama de Nyquist III

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 52 / 69

Interpretación en el Diagrama de Nyquist III

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 52 / 69

Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV

¿Qué ocurre con eldiagrama de Nyquist?

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 53 / 69

Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV

¿Qué ocurre con eldiagrama de Nyquist?

G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6

x 10−5

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

x 10−4

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 53 / 69

Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV

¿Qué ocurre con eldiagrama de Nyquist?

G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6

x 10−5

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

x 10−4

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 53 / 69

Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV

¿Qué ocurre con eldiagrama de Nyquist?

G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6

x 10−5

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

x 10−4

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 53 / 69

Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV

¿Qué ocurre con eldiagrama de Nyquist?

G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6

x 10−5

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

x 10−4

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 53 / 69

Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV

¿Qué ocurre con eldiagrama de Nyquist?

G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6

x 10−5

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

x 10−4

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 53 / 69

Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV

¿Qué ocurre con eldiagrama de Nyquist?

G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3)−8 −6 −4 −2 0 2 4 6

x 10−5

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

x 10−4

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 53 / 69

Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV

¿Qué ocurre con eldiagrama de Nyquist?

G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3)−8 −6 −4 −2 0 2 4 6

x 10−5

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

x 10−4

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 53 / 69

Interpretación del 2◦ método de ZN I

H(s) G(s)+−

U(s) Y(s)E(s)R(s)

G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3)

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 54 / 69

Interpretación del 2◦ método de ZN I

H(s) G(s)+−

U(s) Y(s)E(s)R(s)

G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3)

Im[KpG(j ω)]

Re[KpG(j ω )]

−1

KP < 0,39

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 54 / 69

Interpretación del 2◦ método de ZN I

H(s) G(s)+−

U(s) Y(s)E(s)R(s)

G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3)

Im[KpG(j ω)]

Re[KpG(j ω )]

−1

Im[KpG(j ω)]

Re[KpG(jω)]

−1

KP < 0,39 0,39 ≤ KP < 60

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 54 / 69

Interpretación del 2◦ método de ZN I

H(s) G(s)+−

U(s) Y(s)E(s)R(s)

G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3)

Im[KpG(j ω)]

Re[KpG(j ω )]

−1

Im[KpG(j ω)]

Re[KpG(jω)]

−1

Im[KpG(j )]ω

Re[KpG(j )]ω

−1

KP < 0,39 0,39 ≤ KP < 60 KP = 60

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 54 / 69

Interpretación del 2◦ método de ZN II

¿Qué ocurre para ωcr?

En ωcr → (−1/Kcr , 0)

KP τI τD

P 0,5Kcr ∞ 0

PI 0,45Kcr1

1,2Pcr 0

PID 0,6Kcr 0,5Pcr 0,125Pcr

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 55 / 69

Interpretación del 2◦ método de ZN

PIG(jωcr ) = −1/Kcr → G(jωcr )Gc(jωcr ) = −0,45 + j0,08

PIDG(jωcr ) = −1/Kcr → G(jωcr )Gc(jωcr ) = −0,6 − j0,28

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−5

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

System: untitled2Real: −0.595Imag: −0.278Frequency (rad/sec): 1.75

System: GReal: −0.246Imag: 0.000499Frequency (rad/sec): 1.75

System: untitled1Real: −0.443Imag: 0.084Frequency (rad/sec): 1.75

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 56 / 69

1 Introducción

2 Representaciones GráficasDiagrama de BodeDiagrama de Nyquist

3 EstabilidadCriterio de estabilidad de NyquistMargen de Fase y Margen de GananciaAncho de bandaResonancia

4 Sintonización de PIDMétodo 1 de Ziegler-NicholsMétodo 2 de Ziegler-NicholsInterpretación en el dominio de la frecuenciaZiegler-Nichols Modificado

5 TeleLaboratorio-Discretización

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 57 / 69

Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) I

1 Seleccionar un punto A del diagrama de Nyquist de la planta2 Seleccionar un punto B del conjunto ’controlador + planta ’

donde queremos mover A3 Observar si puede ser desplazado mediante un P, PI, PD o PID y

seleccionar el más adecuado4 Calcular los parámetros del controlador

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 58 / 69

Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) II

Sea A = G(jωo) = raej(π+φa)

Sea B = G(jωo)Gc(jωo) = rbej(π+φb)

Sea Gc(jωo) = rcej(φc)

Igualando términos tenemos:rbej(π+φb) = rarcej(π+φa+φc)

rc =rb

raφc = φb − φa

Para un PI:

τI = − 1ωotgφc

KP = rccosφc

Para un PD:

τD =tgφc

ωo

KP = rccosφcPara un PID (τD = ατI):

ωoτD − 1ωoτI

= tgφc → {τD = ατI} → τ 2I αω2

0 − τIω0tgφc − 1 = 0

KP = rccosφc

τI =1

2ωoα(tgφc +

√

4α+ tg2φc)

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 59 / 69

Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) III

¿Cómo seleccionar el punto deseado (B) ?

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 60 / 69

Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) III

¿Cómo seleccionar el punto deseado (B) ?ZN2 sugiere desplazar,para un PID, el punto (−1/Kcr , 0) a (-0.6,-0.28) correspondiendo con: rb = 0,66 y φb = 25◦

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 60 / 69

Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) III

¿Cómo seleccionar el punto deseado (B) ?ZN2 sugiere desplazar,para un PID, el punto (−1/Kcr , 0) a (-0.6,-0.28) correspondiendo con: rb = 0,66 y φb = 25◦

Pessen sugiere desplazarlo a (−0,2,−0,26) o (−0,2,−0,21),correspondiendo con rb = 0,41 y φb = 61◦ o rb = 0,29 y φb = 46◦

respectivamente

G(s) =1

s(s + 1)(s + 2)

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

ZN2PE1PE2

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 60 / 69

Ejemplo I

Ejemplo:

G(s) =1

(s + 1)(s + 12)(s + 1

4)

Especificaciones:MF = 50◦

ess|escalon = 0

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 61 / 69

Ejemplo II

G(s) =1

(s + 1)(s + 12)(s + 1

4)

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

φb=10°

φb=20°

φb=30°

φb=40°

φb=50°

φb=60°

φb=70°

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

rb=0.1

rb=0.3

rb=0.5

rb=0.7

rb=0.9

rb=1.1

rb=1.3

rb=1/Mg ∼ 0.71 φ

b=50°

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 62 / 69

Ejemplo III

Ejemplo:

G(s) =1

(s + 1)3

Especificaciones:5% ≤ Mp ≤ 10%ts ≤ 5s (2%)ess|escalon = 0

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 63 / 69

1 Introducción

2 Representaciones GráficasDiagrama de BodeDiagrama de Nyquist

3 EstabilidadCriterio de estabilidad de NyquistMargen de Fase y Margen de GananciaAncho de bandaResonancia

4 Sintonización de PIDMétodo 1 de Ziegler-NicholsMétodo 2 de Ziegler-NicholsInterpretación en el dominio de la frecuenciaZiegler-Nichols Modificado

5 TeleLaboratorio-Discretización

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 64 / 69

Telelaboratorio-Discreto

z = esT

T ≥ 30 ∗ BWRecordemos que:

GPID,D(z) = KP

(

1 +τD

Tz − 1z

+TτI

z

z − 1

)

Por lo tanto:

KI =KP

τIT

KD =KPτD

T

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 65 / 69

Conclusiones

El método de ZNM permite una sintonización de parámetros en eldominio de la frecuenciaEs más flexible que los métodos 1 y 2 de ZNDesventajas:

Se posiciona un único punto del diagramaLas propiedades del sistema en lazo cerrado pueden modificarsebruscamenteEs necesario estudiar la forma final del diagrama

Cuidado con la bibliografía:

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 66 / 69

Conclusiones

El método de ZNM permite una sintonización de parámetros en eldominio de la frecuenciaEs más flexible que los métodos 1 y 2 de ZNDesventajas:

Se posiciona un único punto del diagramaLas propiedades del sistema en lazo cerrado pueden modificarsebruscamenteEs necesario estudiar la forma final del diagrama

Cuidado con la bibliografía:

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 66 / 69

MATLAB

Diagrama de Bode : bode(num,den)

Ejes : w=logspace(-2,3,100) → bode(num,den,w)

Diagrama de Nyquist : nyquist(num,den)

Ejes : axis([Re1 Re2 Im1 Im2])

Margen de Fase y Ganancia : [Gm,pm,wcp,wcg]=margin(num,den)

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 67 / 69

Gracias

GRACIAS

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 68 / 69

Gracias

GRACIAS

(SECO) Dominio de la Frecuencia 10/04/2014 69 / 69