algebra matricial aplicado al analisis estructural.docx
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APLICACIÓN DEL ALGEBRA MATRICIAL AL ANALISIS ESTRUCTURAL
INDICE1. INTRODUCCION.....................................................................................................................2
Origen:...............................................................................................................................2
METODO DE FLEXIBILIDAD.............................................................................................................3
Ley de Hooke en sólidos elásticos........................................................................................3
MATRIZ DE LA FLEXIBILIDAD.............................................................................................5
METODO DE RIGIDEZ......................................................................................................................7
PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO........................................................................................7
MATRICES DE RIGIDEZ ELEMENTAL...............................................................................8
Barra recta bidimensional de nudos rígidos.......................................................................10
Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rígido......................................12
Barra recta bidimensional con dos nudos articulados......................................................12
Barra recta tridimensional de nudos rígidos......................................................................13
MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL..........................................................................................14
LIMITACIONES DE LA MATRIZ RIGIDEZ.........................................................................14
DIFERENCIAS ENTRE EL CÁLCULO MATRICIAL POR ACCIÓN EN FLEXIBILIDAD Y EN RIGIDEZ.......................................................................................................................15
2. GLOSARIO.............................................................................................................................16
3. EJERCICIOS APLICATIVOS...............................................................................................17
APLICACIÓN 1...............................................................................................................................17
APLICACIÓN 2...............................................................................................................................19
APLICACIÓN 3...............................................................................................................................20
APLICACIÓN 4............................................................................................................................22
4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES....................................................................25
5. BIBLIOGRAFIA......................................................................................................................26
APLICACIÓN DEL ALGEBRA MATRICIAL AL ANALISIS ESTRUCTURAL
2014
APLICACIÓN DEL ALGEBRA MATRICIAL AL ANALISIS ESTRUCTURAL
1. INTRODUCCION
Durante las tres últimas décadas han ocurrido grandes cambios en los métodos de análisis estructural
usado en la práctica de la ingeniería. Estos cambios han ocurrido principalmente gracias al desarrollo
de computadoras digitales de gran velocidad y al uso creciente de estructuras muy complejas. Los
métodos matriciales de análisis proporcionan un lenguaje matemático muy adecuado para la
descripción de un sistema estructural q puede ser resuelto por las computadoras. Antes de las
computadoras era muy difícil la solución de estas variables por métodos de cálculo manual.
El cambio en los métodos de análisis está cambiando en la última década rápidamente gracias a las
computadoras personales ahora todos los métodos son en computadoras por lo tanto los alumnos de
ingeniería deben conocer los fundamentos del algebra matricial en análisis estructural.
El conocimiento del algebra matricial elemental es muy importante para entender su aplicación en el
análisis estructural, ya que prácticamente todas las ecuaciones con las q trabajamos son de carácter
matricial.
Origen:
M. Levy en 1947 demostró la utilidad del método de la flexibilidad para el análisis de
estructuras. Esta teoría se completó en 1950 por L.B. Wehle y W. Lansing. Levy fue el
primero también en proponer el método de la rigidez o desplazamientos para su análisis
estructural, en un artículo publicado en 1953, y ya estableció las ecuaciones en forma
matricial, resolviéndolas mediante el ordenador.
Al principio estos métodos se utilizaron para resolver problemas de estática lineal en
estructuras de barras, pero posteriormente, se destinaron al análisis de estructuras más
complejas.
Entre 1945-1955 aparecieron los primeros artículos con los citados autores para los métodos
de matrices de rigidez y flexibilidad de una estructura, este método cobró importancia en el
mundo de la aeronáutica, cuyos investigadores consiguieron estudiar el comportamiento
estructural del avión mediante ecuaciones simples. Mientras que en Ingeniería Estructural
necesitaban otros métodos que contrastasen diseños más complejos, por lo que se ha
seguido estudiando este método. El mayor inconveniente era su gran tiempo para la
realización de sus cálculos. Pero con la coincidencia en esa época de la entrada de los
ordenadores (en especial con la utilización del programa informático MATLAB, aunque
actualmente existen programas como Wx máxima y octave) los cuales facilitaron la resolución
de estas ecuaciones de forma rápida y directa.
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METODO DE FLEXIBILIDAD
a) La ley de Hooke aplicada a una barra de longitud L y sección A En física, la ley de Hooke,
está básicamente hecha para casos del estiramiento longitudinal, afirma que la elongación que
sufre un material elástico posee una proporción directa a la fuerza aplicada F La forma más
común de representar la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se
relaciona la fuerza "F" ejercida sobre el resorte con la elongación o alargamiento "δ" producido:
F=Kδ
Donde "K" se llama constante elástica del muelle y "δ" es su elongación o variación que
experimenta su longitud. Otros casos en lo que es aplicado la ley de Hooke.
Ley de Hooke en sólidos elásticos
El problema se presenta cuando hay una distribución de presiones en un resorte o una barra
estirada Ahora estudiaremos la ley de Hooke para distintos casos:
En el caso de un problema unidimensional donde las elongaciones o tensiones en
direcciones ortogonales a una dirección ya fijada no tienen relevancia y se pueden
suprimir σ= σ₁₁ ε= ε₁₁ C₁₁ = E y la ecuación anterior se reduce a:
σ = Eε donde E es el módulo de Young.
Caso tridimensional isótropo
Para poder estudiar cómo se comporta un sólido elástico lineal e isótropo se necesitan aparte
del coeficiente de Poisson (V) otra constante más, denominada módulo de Young. Sin
embargo, las ecuaciones de Hooke para un sólido elástico lineal e isótropo las `podemos
plantear a partir del teorema de Rivlin-Ericksen, que pueden representarse de forma:
εₓₓ = 1/E (σₓₓ - V (σᵧᵧ + σzz))____________εₓᵧ= ((1+v)/ ε) σₓᵧ
εᵧᵧ = 1/E (σᵧᵧ - V (σₓₓ + σzz))___________εₓᵧ= ((1+v)/ ε) σₓᵧ
εzz = 1/E (σzz - V (σₓₓ + σᵧᵧ))___________εₓ= ((1+v)/ F) σₓz
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En forma matricial, en términos del módulo de Young y el coeficiente de Poisson como:
inversas vienen dadas por:
El comportamiento elástico de un material queda definido por nueve constantes: 3 módulos de
elasticidad longitudinal 3 módulos de rigidez y 3
coeficientes de Poisson . Por lo tanto para un material la relación entre las
componentes de la tensión y las componentes de la deformación viene dada por:
Sus inversas vienen dadas por:
La flexibilidad es entonces un valor que relaciona el comportamiento de la deformación de una
estructura con algunos de los apoyos sometida a una determinada carga (ya sea fuerza o algún
tipo de momento) aplicada en una parte de dicha estructura y que podemos conocer, por
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proporcionalidad, el desplazamiento o giro de la parte en la que es aplicada la carga en la
dirección en la que se aplica esta. La unidad de medida de la flexibilidad es el m/N o rad/Nm.
MATRIZ DE LA FLEXIBILIDAD
La forma geométrica de un sólido que ha sido deformado se caracteriza por los movimientos de
un conjunto de puntos o secciones de la estructura. En una estructura plana el movimiento de
un punto tiene tres componentes: dos movimientos en el caso de traslación y uno de giro. Las
componentes que tiene el movimiento de un grupo de puntos de un sólido (entre ellos, los
mismos puntos de aplicación de las cargas Pi) que atribuyen el comportamiento de la
deformación del sólido sometido a dichas cargas, se le llaman , grados de libertad de dicho
sólido. Así, por ejemplo:
La proporción entre la variación de longitud y la carga que se le aplica viene expresada
en la ley de Hooke, ∆L = L/(EA) N, implica la atribución de características al
comportamiento de la deformación de la barra mediante el movimiento del punto situado más
en el extremo en la dirección en la que se aplica la carga; este movimiento sería, pues, el grado
de libertad elegido para la realización del problema.
La proporción entre el movimiento perpendicular a la barra y la carga que se le aplica
en el extremo del apoyo expresada en f = L3/(3EI)P , implica deducir el
comportamiento de la deformación
del apoyo mediante el desplazamiento del punto extremo en la dirección en la que se le aplica
la carga; este movimiento sería el grado de libertad elegido para poder plantear el problema y
así poder solucionarlo; una alternativa podría ser utilizar como grado de libertad significativo del
problema, el giro en el extremo del apoyo.
A continuación estudiaremos un sólido como el que se muestra en la figura 8.1 bajo la acción
de diferentes cargas (acciones) exteriores Pi actuando cada una de ellas en un punto i. Debido
a la aplicación de las cargas, un punto genérico prefijado anteriormente i se desplazaría hasta
el punto i´ siendo el vector desplazamiento δi del cual la componente en la dirección en la que
se aplica la carga es ∆i. Definición.- Se denomina coeficiente de flexibilidad fija al
desplazamiento del punto de aplicación de la carga Pi, en la dirección en la que actúa la carga,
cuando actúa una carga unitaria en el punto j en la dirección y sentido de Pj.
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Cuando actúan varias cargas, el desplazamiento ∆i del punto de aplicación de una de ellas,
justo en la dirección de la carga Pi, es la suma de los desplazamientos que se producen por
cada una de las cargas que actúan sobre el objeto a estudiar.
El sistema anterior se podría representar de forma de matriz de la siguiente forma:
=
A la matriz formada por los coeficientes fij la llamamos matriz de flexibilidad del sólido. Cabe
destacar la siguiente propiedad: - Los coeficientes de flexibilidad fij y fji son iguales. si
aplicamos el teorema de Reciprocidad de Maxwell-Betti a los dos estados de carga distintos
que actúan sobre un mismo sólido, y que se muestran en la figura 8.2 (en el estado 1 sólo
actúan la carga Pi y en el estado 2 solo la carga Pj), podemos obtener:
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es decir: fij = fji.
METODO DE RIGIDEZ
PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
El procedimiento de cálculo, para hallar la matriz de rigidez de una estructura K se consigue
mediante los siguientes pasos:
1) Establecemos la deformada elemental cuya columna se va a calcular.
2) Debemos localizar las deformaciones p en cada uno de los elementos afiliado a la
deformada elemental.
3) Hacemos una transformación de las deformaciones p de cada elemento en cargas internas P
a través de la matriz de rigidez del elemento k. Siendo la ecuación matricial: P= k•p
4) Realizamos el equilibrio de cada uno de los elementos que conforman la estructura.
5) Debemos localizar el equilibrio de cada uno de los nodos de la estructura.
6) En este paso se obtienen las cargas que ejerce sobre la estructura y el vector de las cargas
que son los elementos de la matriz de rigidez de la estructura.
MÉTODO MATRICIAL DE LA RIGIDEZ PARA ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS
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En el estudio de una estructura por el método de la rigidez se establecen tres conjuntos de
ecuaciones que deben cumplir.
Ecuaciones de compatibilidad
Ecuaciones constitutivas
Ecuaciones de equilibrio
Nuestro método a describir será para la rigidez de estructuras hiperestáticas mediante
matrices, aunque su flexibilidad, en el concluiremos con unas conclusiones diferenciándola con
la rigidez ya que, se calcula mediante un campo vectorial y matricial de desplazamientos.
Las estructuras de barras hiperestáticas largas tienen un número finito de grados de libertad
pudiéndose calcular mediante un numero definido con el mismo número de ecuaciones que de
incógnitas en forma algebraica.
La matriz de rigidez es simétrica y dispersa; por lo que decimos que la matriz de rigidez es la
inversa de la matriz de flexibilidad, relacionando entre ellas los desplazamientos con las cargas
que actúan .
MATRICES DE RIGIDEZ ELEMENTAL
Las matrices de rigidez elemental depende únicamente de:
1. Las condiciones de enlace en sus dos extremos (barra bi-empotrada, barra empotrada-
articulada, barra biarticulada).
2. Las características de la sección transversal de la barra: área, momentos de inercia de la
sección y las características geométricas (longitud de la barra, curvatura, etc.)
3. El número de grados de libertad por nodo, dependerán si son problemas bidimensionales
(planos) o tridimensionales. Esto relaciona a su vez la deformada de la barra al relacionar las
fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas aplicadas con los desplazamientos y giros en sus
extremos.
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Estos esfuerzos en los extremos y desplazamientos de las barras dependen directamente del
tipo de estructura que se va a resolver:
a) Reticulado Plano: dos desplazamientos por nudo
b) Reticulado Espacial: tres desplazamientos por nudo.
En ambos casos sólo tendremos esfuerzos normales.
c) Pórtico Plano: tres desplazamientos por nudo (una rotación en el plano del pórtico y dos
traslaciones), y como acciones en el extremo de una barra existen tres acciones (una fuerza
axial, un esfuerzo de corte y un momento flector).
d) Pórtico Espacial: seis desplazamientos por nudo, tres traslaciones y tres rotaciones, y
como acciones en el extremo de una barra existen cuatro acciones (una fuerza axial, dos
esfuerzos de corte dos momentos flectores y un momento torsor).
e) Emparrillado de vigas: tres desplazamientos nodales (un corrimiento normal al plano de la
grilla y dos rotaciones alrededor de los ejes contenidos en el plano). Los esfuerzos son un
cortante y dos momentos (un torsor y un flector).
En relación a la magnitud del vector de fuerzas nodales depende de la dimensionalidad de la
barra como muestra:
:
En la MATRIZ DE ROTACIÓN (r = f(α)) se puede representar con una orientación arbitraria α,
que conviertes los vectores y matrices entre los sistemas de referencia absoluto y local, en los
distintos tipos de estructuras como en:
Reticulado plano en una barra :
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Vigas : al ser horizontales no hace falta su transformación mediante la matriz de
rotación.
Pórtico plano en una barra :
Entramado o parrilla :
Barra recta bidimensional de nudos rígidos
Se llama nudo que une dos barras de manera rígida o empotrada si el ángulo formado por las
dos barras después de la deformación no varía con el ángulo que formaba antes de su
deformación. Este conjunto permite un giro respecto a un nodo, pero con la salvedad de que
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mantienen el ángulo que forman en su extremo. Para este tipo de barras unidas rígidamente en
sus dos extremos la matriz de rigidez elemental viene dado como muestra.
Dónde:
L, A, I son las magnitudes geométricas (longitud, área y momento de inercia).
E la constante de elasticidad longitudinal (módulo de Young).
Para obtener la matriz de rigidez en este tipo de barra biempotrada más abreviada,
introducimos la esbeltez mecánica característica, para reducir su matriz:
= =
Dónde: es la esbeltez mecánica característica.
Así mediante esta matriz, queda relacionada las fuerzas en el extremo de la barra (f) con los
desplazamientos nodales (d).
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Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rígido
En este caso se incorporan giros en el nudo articulado pero sin transmitir esfuerzos al nudo
rígido. En este caso la matriz de rigidez, viene dada por :
Donde se ha supuesto que el nudo articulado es el segundo. Si hubiera sido al revés,
tendríamos que permutar la matriz anterior para estar en este nuevo caso planteado :
Barra recta bidimensional con dos nudos articulados
Una barra bidimensional con dos nudos articulados sólo transmiten esfuerzos en su eje, en que
su matriz de rigidez tendrá componentes diferentes para los grados de libertad longitudinal,
dada por:
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Barra recta tridimensional de nudos rígidos
Una barra recta tridimensional tiene 6 grados de libertad en cada nudo (3 de traslación y 3 de
orientación), como en este caso la barra está compuesta por dos nudos la matriz de rigidez
será de 12x12. Este tipo de barras puede transmitir torsiones, esfuerzos a flexión y cortante en
dos direcciones diferentes, que permite que la barra tenga más grados de libertad y su matriz
de rigidez más compleja para definir correctamente su comportamiento, por lo que se
descompone en 3 submatrices :
Estas 3 submatrices son :
Y las magnitudes geométricas y mecánicas asociadas a la barra son:
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L, A, Iy, Iz,J son las magnitudes geométricas: longitud de la barra y su área transversal,
momentos de área en las direcciones Y y Z; y su módulo de torsión.
E, G se refieren al módulo de elasticidad longitudinal y el módulo de elasticidad transversal.
E1=+1, E2= -1 son signos relativos.
MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
La matriz de rigidez global de la estructura (S) se obtiene mediante la suma de las rigideces de
cada una de las barras, necesitando de la ayuda de sus submatrices que componen la matriz
de la rigidez de la barra.
El vector de cargas de la estructura(L) a calcular, se forma mediante la suma de las cargas
aplicadas, incluyendo aquellas cargas que han sido producidas por cada barra.
LIMITACIONES DE LA MATRIZ RIGIDEZ
Para enlazar la matriz de rigidez con las estructuras hiperestáticas, se tienen que tener en
cuenta unas limitaciones muy importantes como son :
Material perfectamente elástico, que cumple la ley de Hooke (relación lineal esfuerzo-
deformación)
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Deformaciones pequeñas: implica que no se tienen en cuenta efectos de segundo
orden.
Se desprecian las fuerzas axiales en la flexión
Para aplicar el Principio de Superposición es necesario que se cumplan las anteriores
suposiciones.
Todas las cargas se aplican en forma progresiva y simultánea.
Se omiten las deformaciones por cortante
No se considera la rigidez de los nodos
No hay pandeo por efecto de carga axial ni por torsión
Los planos XY y YZ son los principales de la flexión y en ellos actúan las cargas
El centro de cortante y el centro de torsión se asume que coinciden, siendo así
independientes
El elemento estructural tiene sus dos extremos restringidos
En el caso de pórticos uno de los planos de simetría debe coincidir con el plano de
carga
La matriz de rigidez es simétrica (sea una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A
es simétrica si cumple que AT=A o que A es anti-simétrica si AT=-A)
La suma de los elementos de cada columna es cero
Todos los términos de la diagonal principal son positivos y tienden a ser los mayores
valores de cada una de las filas.
Es invertible, es decir, su determinante es distinto de cero. Una matriz de rigidez con
determinante cero se dice que es una estructura inestable.
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DIFERENCIAS ENTRE EL CÁLCULO MATRICIAL POR ACCIÓN EN FLEXIBILIDAD Y EN RIGIDEZ
Las diferencias aportadas por el catedrático Diego Miramontes De León. Análisis Estructural 1.
Hace una comparativa entre el cálculo matricial de la flexibilidad y la rigidez.
Primeramente hace una comparativa en los procedimientos ya que uno es el inverso del otro
(Flexibilidad y Rigidez). Como en un principio desprecia la deformación axial de las barras y
considera una incógnita por nudo para asó obtener sistemas de ecuaciones en el que se
puedan comparar.
2. GLOSARIO
Análisis estructural:
Este método nace influido por la corriente del estructural-funcionalista. Es, además, una herramienta
para la reflexión colectiva, que nos brinda la posibilidad de describir un sistema mediante una matriz
que relaciona todos sus elementos constitutivos, denominados variables, desde una perspectiva tanto
diacrónica como sincrónica. Este análisis se efectúa por un colectivo de actores, expertos y/o
decisores en torno a un tópico determinado.
La utilidad fundamental del Análisis estructural es promover la reflexión colectiva sobre los aspectos
contra-intuitivos de un sistema. Sin embargo, sus resultados no deben siempre ser tomados tal cual,
pues nunca habrá una “lectura oficial”, debido a que en su aplicación media la subjetividad del grupo
que ha realizado la conjetura. De lo anterior, se desprende también su principal limitante: su carácter
subjetivo que va desde la identificación de las variables, así como las relaciones que producen entre
ellas.
Dependencia:
En el ámbito del Método de Análisis Estructural, alude a la influencia que sobre una variable ejercen
las demás que conforman la estructura, en virtud de sus condiciones y características que la hacen
vulnerable o débil frente a éstas.
Elementos de ruptura:
Son aquellos factores que implican una interrupción en curso de evolución de un fenómeno.
Estructura
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Levi-Strauss, la concibe como “una realidad que es estudiada como un sistema, cuyos elementos
guardan relaciones de interdependencia”.1 También se asume como “…una pauta de organización:
las unidades (roles, colectividades) y sus relaciones (normas y valores) se disponen según predomine
en la organización uno de los tres principios estructurales: segmentación, especificación y
diferenciación”.
Matriz relacional:
Cuadro de doble entrada, dispuesto en filas y columnas, que permite relacionar entre sí todas las
variables de la estructura, con base en la indagación de sus motricidad y dependencia.
Variables claves:
En el ámbito del análisis estructural, son aquellos fenómenos que ejercen, tanto en el presente como
en el futuro, un mayor protagonismo al interior de una determinada estructura. Aquí se incluyen tanto
las variables determinantes como las estratégicas.
Variables determinantes:
Son aquellas que se caracterizan por tener una alta modicidad (grado de influencia de una variable
sobre las demás) y una baja dependencia (grado en que una variable es influida por las demás). Son
las que ejercen un mayor protagonismo al interior de la estructura analizada.
Variables estratégicas:
Éstas corresponden a los fenómenos que poseen una alta motricidad y una alta dependencia. Se les
denomina también variables en conflicto, por lo que los actores del sistema analizado pueden ejercer
una mayor gobernabilidad en sus evoluciones a futuro.
Variables de resultado:
Éstas comprenden las variables que sintetizan o caracterizan el comportamiento actual de la
problemática analizada.
3. EJERCICIOS APLICATIVOS
APLICACIÓN 1
1 LEVI-STRAUSS, Claude. Les structures élémentaires de la parenté, Mouton, 1949; Anthropologie Structurale, Libraire Plon, Paris, 1958. Versión en español: Antropología estructural, EUDEBA, Buenos Aires, 1968, pág. 13.
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Primero debemos darnos cuenta que las deformaciones p se obtienen de las siguientes
ecuaciones:
-
-
La matriz de rigidez de un elemento para un sistema de coordenadas indicado es:
Las cargas del elemento 1 se obtienen del producto matricial
Donde es de la siguiente forma:
De donde:
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Lo normal es que se realice con los elementos 2 y 3, es decir, se multiplica la matriz de rigidez
de cada elemento por su vector de deformaciones, obteniéndose:
Resumiendo, el vector de cargas generalizadas Q que establecida como:
Por definición los elementos de Q son los términos de la primera columna de la matriz de
rigidez de la estructura. Dando una matriz más simplificada cuyo resultado final es el siguiente:
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APLICACIÓN 2
Obtener la matriz de flexibilidad de la estructura sometida al sistema de cargas que se muestra
en la figura 8.3.
Aplicando los teoremas de Mohr, se obtiene:
Δ₁ = V₁ =( L³/3EI) P + (3L²/8EI)M
Δ₂ =θ₂ =(3L³/8EI)+(L/2EI)M
y, expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial:
Por lo tanto, la matriz de flexibilidad es:
APLICACIÓN 3
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Un ejemplo de la matriz rigidez de una estructura hiperestática de una barra será de orden 4
como muestra.
y los vectores de carga y de movimientos:
Simplificando la matriz rigidez obtenemos una matriz más esquematizada como.
Sabiendo Eliminando las filas y columnas que se encuentran coaccionados debido a los g.d.l.
resultando la siguiente matriz simplificada.
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APLICACIÓN 4
Determine el momento desarrollado en el soporte A de la viga q se muestra en la figura. Suponga que los soportes de rodillo puedan jalar o empujar la viga. Considere E=29*10^3 ksi y que I= 510 pulg^4.
SOLUCION
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MATRICES DE RIGIDEZ DE LOS MIENBROS
ELEMENTO 1
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ELEMENTO 2
DESPLAZAMIENTOS Y CARGAS
Se requiere Q=K*D
Resolviendo de la manera usual
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Por lo tanto:
El momento real en A debe incluir la reacción fijamente apoyada de +96K*pie que se muestra en la figura , junto con el resultado calculado para Q3. Por lo tanto,
4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Se logró presentar el método matricial como sistematización de los conceptos presentados
anteriormente. Aplicar el método directo de la rigidez en estructuras sencillas. Calcular
desplazamientos. Calcular esfuerzos en cualquier tipo de estructura.
Como podemos observar, para el estudio de la flexibilidad hemos tomado como punto de
partida algo básico como es el caso de la Ley de Hooke la cual estudia la elongación de un
elemento elástico. Debido a la complejidad de cálculo de las estructuras, y su compleja
resolución, simplificamos los cálculos mediante matrices, y para ahorrarnos más tiempo y
tener cálculos más precisos nos ayudamos de programas informáticos los cuales como
hemos nombrado al principio del presente documento, como es el caso de (MATLAB u
Octave) éste último con licencia libre el cual hemos estudiado en esta asignatura. Otro
aspecto a destacar es la estrecha relación que tiene la flexibilidad con la rigidez al ser una la
inversa de la flexibilidad, por lo tanto, hemos decidido relacionar ambos trabajos el de mi
compañera Melanie (método matricial de la rigidez) con el mío (método matricial de la
flexibilidad) dicho estudio se encuentra al final de su trabajo
Centrándonos en el cálculo de la rigidez de estructuras hiperestáticas de barras que se
comportan de forma elástica y lineal mediante matrices, podemos decir, que es un proceso
muy complejo en el que actualmente se ha reducido mediante el uso de programas
informáticos (MATLAB u Octave, éste último con licencia libre); resolviendo este tipo de
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matrices de forma rápida y sencilla, analizando cualquier problema que pueda ocurrir en la
estructura.
El método matricial está formado por los tres conjuntos de ecuaciones (constitutivas, de
compatibilidad y equilibrio) relacionando los desplazamientos de cada tipo de estructura con
variables que dependen de las fuerzas exteriores.
Su relación al campo de algebra para la edificación podemos asociar a la matriz de rigidez que
es una matriz simétrica y dispersa, siendo la inversa de la matriz de flexibilidad, relacionando
los desplazamientos con las fuerzas que actúan. También observamos que la suma de los
elementos de cada columna es cero y es invertible, siendo su determinante distinto de cero,
diciéndonos que la estructura es estable. En caso contrario, si el determinante es cero, la
estructura es inestable.
5. BIBLIOGRAFIA
http://victordavidramos.blogspot.mx/
http://es.louddomain.com/wiki/Ley_de_elasticidad_de_Hooke
http://ocw.uc3m.es/mecanica-de-medios-continuos-y-teoria-de-estructuras/ingenieria-
estructural/material-de-clase-1/apuntes /Capitulo_8.-
Analisis_matricial_de_estructuras_reticuladas.pdf
http://www.uaz.edu.mx/dmiram/flex-rigi.pdf
http://es.scribd.com/doc/6803142/estructuras3cap2
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS DE EDIFICACIÓN. TOMO I. Editorial Universidad
Politécnica de Valencia <http://books.google.es/books?id=1qHQxMAOqesC&pg=SA1-
PA14&lpg=SA1-
PA14&dq=metodo+matricial+levy&source=bl&ots=yydzDVUXPH&sig=pemlZmH4JMJgLNI1wjfZ
I-8WfyY&hl=es&sa=X&ei=BPPxT-
3MIumQ0AXc5_D6DQ&sqi=2&ved=0CFEQ6AEwAQ#v=onepage&q=metodo%20matricial
%20levy&f=false>
Pérez Valcárcel, Juan (1999). CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS.
<http://www.udc.es/dep/dtcon/estructuras/ETSAC/Publicaciones/pub-val/matricial/
matricial1.pdf>
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