algebra matricial beam

. . . . . .

Álgebra Matricial

Manuel Valenzuela Rendón

Departamento de Mecatrónica y Automatización (DMA)Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey

11 de febrero de 2010

©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 1 / 22

. . . . . .

Suma de matrices

A+ B =

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m...

...an1 an2 · · · anm

b11 b12 · · · b1mb21 b22 · · · b2m...

...bn1 bn2 · · · bnm

a11 + b11 a12 + b12 · · · a1m + b1ma21 + b21 a22 + b22 · · · a2m + b2m

......

an1 + bn1 an2 + bn2 · · · anm + bnm

. . . . . .

Multiplicación escalar

rA = r

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m...

...an1 an2 · · · anm

ra11 ra12 · · · ra1mra21 ra22 · · · ra2m...

...ran1 ran2 · · · ranm

. . . . . .

Resta de matrices

A− B =

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m...

...an1 an2 · · · anm

b11 b12 · · · b1mb21 b22 · · · b2m...

...bn1 bn2 · · · bnm

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m...

...an1 an2 · · · anm

−b11 −b12 · · · −b1m−b21 −b22 · · · −b2m...

...−bn1 −bn2 · · · −bnm

a11 − b11 a12 − b12 · · · a1m − b1ma21 − b21 a22 − b22 · · · a2m − b2m

......

an1 − bn1 an2 − bn2 · · · anm − bnm

. . . . . .

Multiplicación de matrices

C = A · B

A : k× m

B : m× n

C : k× n

cij =m∑

aihbhj

. . . . . .

Ejemplo de multiplicación de matricesMatriz por vector

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

x1x2x3

a11x1 + a12x2 + a13x3a21x1 + a22x2 + a23x3a31x1 + a32x2 + a33x3

(3× 3)(3× 1) ⇒ 3× 1

. . . . . .

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

x1x2x3

(3× 3)(3× 1) ⇒ 3× 1

. . . . . .

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

x1x2x3

(3× 3)(3× 1) ⇒ 3× 1

. . . . . .

Ejemplo de multiplicación de matricesMatriz por matriz

[a11 a12a21 a22

[b11 b12 b13b21 b22 b23

[a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23

(2× 2)(2× 3) ⇒ 2× 3

. . . . . .

[a11 a12a21 a22

[b11 b12 b13b21 b22 b23

(2× 2)(2× 3) ⇒ 2× 3

. . . . . .

[a11 a12a21 a22

[b11 b12 b13b21 b22 b23

(2× 2)(2× 3) ⇒ 2× 3

. . . . . .

[a11 a12a21 a22

[b11 b12 b13b21 b22 b23

(2× 2)(2× 3) ⇒ 2× 3

. . . . . .

[a11 a12a21 a22

[b11 b12 b13b21 b22 b23

(2× 2)(2× 3) ⇒ 2× 3

. . . . . .

[a11 a12a21 a22

[b11 b12 b13b21 b22 b23

(2× 2)(2× 3) ⇒ 2× 3

. . . . . .

Matriz identidad

La matriz identidad es la matriz cuadrada que tiene unos en la diagonal principaly ceros en todos los demás elementos.

1 0 0 · · · 0 00 1 0 · · · 0 00 0 1 · · · 0 0...

. . ....

0 0 0 · · · 1 00 0 0 · · · 0 1

La multiplicación de cualquier matriz por la matriz identidad es igual a la matrizoriginal:

AI = IA = A

. . . . . .

Leyes de álgebra matricial

Leyes asociativas

(A+ B) + C = A+ (B+ C)

(AB)C = A(BC)

Ley conmutativa para adición

A+ B = B+ A

Leyes distributivas

A(B+ C) = AB+ AC

(A+ B)C = AC+ BC

. . . . . .

Transpuesta de una matriz

La transpuesta de una matriz se obtiene intercambiando renglones y columnas

A = [aij] =

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m...

.... . .

...an1 an2 · · · anm

AT = A′ = [aji] =

a11 a21 · · · an1a12 a22 · · · an2...

.... . .

...a1m a2m · · · anm

. . . . . .

Funciones de matrices

Las funciones de matrices se definen únicamente para matrices cuadradas(mismo número de renglones y de columnas).Una función polinomial:

f(A) = 3A3 − 2A2 + 2I

dondeAk = A× A× · · · × A︸︷︷︸

k veces

Función exponencial:

expA = I+ A+A2

4!+ · · ·

. . . . . .

Funciones de matrices

Las funciones de matrices se definen únicamente para matrices cuadradas(mismo número de renglones y de columnas).Una función polinomial:

f(A) = 3A3 − 2A2 + 2I

dondeAk = A× A× · · · × A︸︷︷︸

k veces

Función exponencial:

expA = I+ A+A2

4!+ · · ·

. . . . . .

Sistemas de ecuaciones en forma matricial

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

ak1x1 + ak2x2 + · · ·+ aknxn = bk

. . . . . .

A = (aij) =

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m...

.... . .

...an1 an2 · · · anm

x1x2...xn

b1b2...bk

Ax = b

. . . . . .

Matriz inversa

.Definición..

SeaA una matriz n× n. La matrizB (que es también n× n) es la inversa deA siAB = BA = I.

Si la matrizB existe decimos que la matrizA es invertible..Teorema (8.6)..

Si la matrizA es invertible, entonces el sistema de ecuacionesAx = b tiene lasolución única x = A−1b.

. . . . . .

Matriz inversa

.Definición..

SeaA una matriz n× n. La matrizB (que es también n× n) es la inversa deA siAB = BA = I.

Si la matrizB existe decimos que la matrizA es invertible..Teorema (8.6)..

Si la matrizA es invertible, entonces el sistema de ecuacionesAx = b tiene lasolución única x = A−1b.

. . . . . .

Determinantes.Definición (Determinante de un escalar)..

El determinante de una matriz 1× 1

es el escalar a.

.Definición (Determinante de una matriz 2× 2)..

El determinante de una matriz 2× 2[a bc d

]es el escalar ad− bc.

.Definición (Menor).... ..

.Dada una matrizA, un menor es el determinante de cualquier submatriz deA.

. . . . . .

es el escalar a.

. . . . . .

es el escalar a.

. . . . . .

Determinantes

.Definición (Cofactor)..

Dada cualquier matriz cuadradaA, el cofactor del elemento aij es el escalar que seobtiene de multiplicar el término (−1)i+j y el menor que se obtiene de remover elrenglón i y la columna j.

.Definición (Matriz de cofactores)..

Dada cualquier matriz cuadradaA = [aij], su matriz de cofactores es la matrizC = [cij] donde el elemento cij es el cofactor del elemento aij deA.

.Definición (Matriz adjunta)..

Dada cualquier matriz cuadradaA = [aij], su matriz adjunta es la transpuesta de sumatriz de cofactores.

adjA = (matriz de cofactores deA)′

. . . . . .

Determinantes

. . . . . .

Determinantes

. . . . . .

Expansión por cofactores

Para obtener el determinante de una matrizA...1 Escoja cualquier renglón o columna de la matriz....2 Para cada elemento del renglón o columna que se escogió, encuentre sucofactor.

...3 Multiplique cada elemento del renglón o columna por su cofactor, y sumelos resultados.

.Teorema (9.3).... ..

.Una matriz es no singular si y sólo si su deteminante es diferente de cero.

. . . . . .

Expansión por cofactores

Para obtener el determinante de una matrizA...1 Escoja cualquier renglón o columna de la matriz....2 Para cada elemento del renglón o columna que se escogió, encuentre sucofactor.

...3 Multiplique cada elemento del renglón o columna por su cofactor, y sumelos resultados.

.Teorema (9.3).... ..

.Una matriz es no singular si y sólo si su deteminante es diferente de cero.

. . . . . .

Ejemplo de matriz de cofactores

1 − 1 23 2 4− 1 3 1

Matriz de cofactores:

∣∣∣∣ 2 43 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 3 4−1 1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 3 2−1 3

∣∣∣∣−

∣∣∣∣ −1 23 1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 2−1 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 −1−1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 22 4

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 −13 2

∣∣∣∣

. . . . . .

1 − 1 23 2 4− 1 3 1

∣∣∣∣ 2 43 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 3 4−1 1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 3 2−1 3

∣∣∣∣−

∣∣∣∣ −1 23 1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 2−1 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 −1−1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 22 4

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 −13 2

∣∣∣∣

. . . . . .

1 − 1 23 2 4− 1 3 1

∣∣∣∣ 2 43 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 3 4−1 1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 3 2−1 3

∣∣∣∣−

∣∣∣∣ −1 23 1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 2−1 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 −1−1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 22 4

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 −13 2

∣∣∣∣

. . . . . .

1 − 1 23 2 4− 1 3 1

∣∣∣∣ 2 43 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 3 4−1 1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 3 2−1 3

∣∣∣∣−

∣∣∣∣ −1 23 1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 2−1 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 −1−1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 22 4

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 −13 2

∣∣∣∣

. . . . . .

1 − 1 23 2 4− 1 3 1

∣∣∣∣ 2 43 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 3 4−1 1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 3 2−1 3

∣∣∣∣−

∣∣∣∣ −1 23 1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 2−1 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 −1−1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 22 4

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 −13 2

∣∣∣∣

. . . . . .

1 − 1 23 2 4− 1 3 1

∣∣∣∣ 2 43 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 3 4−1 1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 3 2−1 3

∣∣∣∣−

∣∣∣∣ −1 23 1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 2−1 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 −1−1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 22 4

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 −13 2

∣∣∣∣

. . . . . .

1 − 1 23 2 4− 1 3 1

∣∣∣∣ 2 43 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 3 4−1 1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 3 2−1 3

∣∣∣∣−

∣∣∣∣ −1 23 1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 2−1 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 −1−1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 22 4

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 −13 2

∣∣∣∣

. . . . . .

1 − 1 23 2 4− 1 3 1

∣∣∣∣ 2 43 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 3 4−1 1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 3 2−1 3

∣∣∣∣−

∣∣∣∣ −1 23 1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 2−1 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 −1−1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 22 4

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 −13 2

∣∣∣∣

. . . . . .

1 − 1 23 2 4− 1 3 1

∣∣∣∣ 2 43 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 3 4−1 1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 3 2−1 3

∣∣∣∣−

∣∣∣∣ −1 23 1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 2−1 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 −1−1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 22 4

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 −13 2

∣∣∣∣

. . . . . .

Matriz de cofactores: −10 −7 117 3 −2−8 2 5

Matriz adjunta:

adjA =

−10 7 −8−7 3 211 −2 5

Matriz inversa

invA = A−1 =

−10 7 −8−7 3 211 −2 5

−0.5263 0.3684 −0.4211−0.3684 0.1579 0.10530.5789 −0.1053 0.2632

. . . . . .

Ejemplo de determinantes

1 −1 23 2 4−1 3 1

∣∣∣∣∣∣

1 − 1 23 2 4− 1 3 1

∣∣∣∣∣∣ =1

∣∣∣∣ 2 43 1

∣∣∣∣ − 3

∣∣∣∣ −1 23 1

∣∣∣∣ − 1

∣∣∣∣ −1 22 4

∣∣∣∣ =1(2− 12)− 3(−1− 6)− 1(−4− 4) =

1(−10)− 3(−7)− 1(−8) = 19

. . . . . .

1 −1 23 2 4−1 3 1

∣∣∣∣∣∣

1 − 1 23 2 4− 1 3 1

∣∣∣∣∣∣ =1

∣∣∣∣ 2 43 1

∣∣∣∣ − 3

∣∣∣∣ −1 23 1

∣∣∣∣ − 1

∣∣∣∣ −1 22 4

∣∣∣∣ =1(2− 12)− 3(−1− 6)− 1(−4− 4) =

1(−10)− 3(−7)− 1(−8) = 19

. . . . . .

1 −1 23 2 4−1 3 1

∣∣∣∣∣∣

1 − 1 23 2 4− 1 3 1

∣∣∣∣∣∣ =1

∣∣∣∣ 2 43 1

∣∣∣∣ − 3

∣∣∣∣ −1 23 1

∣∣∣∣ − 1

∣∣∣∣ −1 22 4

∣∣∣∣ =1(2− 12)− 3(−1− 6)− 1(−4− 4) =

1(−10)− 3(−7)− 1(−8) = 19

. . . . . .

1 −1 23 2 4−1 3 1

∣∣∣∣∣∣

1 − 1 23 2 4− 1 3 1

∣∣∣∣∣∣ =1

∣∣∣∣ 2 43 1

∣∣∣∣ − 3

∣∣∣∣ −1 23 1

∣∣∣∣ − 1

∣∣∣∣ −1 22 4

∣∣∣∣ =1(2− 12)− 3(−1− 6)− 1(−4− 4) =

1(−10)− 3(−7)− 1(−8) = 19

. . . . . .

1 −1 23 2 4−1 3 1

∣∣∣∣∣∣

1 − 1 23 2 4− 1 3 1

∣∣∣∣∣∣ =1

∣∣∣∣ 2 43 1

∣∣∣∣ − 3

∣∣∣∣ −1 23 1

∣∣∣∣ − 1

∣∣∣∣ −1 22 4

∣∣∣∣ =1(2− 12)− 3(−1− 6)− 1(−4− 4) =

1(−10)− 3(−7)− 1(−8) = 19

. . . . . .

Uso de determinantesRegla de Cramer

.Teorema (9.4)..

SeaA una matriz no singular. Entonces...1

A−1 =1

detAadjA

...2 La solución al sistemaAx = b es

xi =detBi

detApara i = 1, 2, . . . , n

dondeBi es la matrizA con b sustituyendo la columna i deA.

. . . . . .

Gauss-Jordan para inversión de matrices

Los métodos de eliminación gaussiana y Gauss-Jordan pueden ser utilizados paraencontrar la inversa de una matriz. En este caso, la matriz aumentada será lamatriz de original y la matriz identidad.

15 −5 0 1 0 0−5 15 −5 0 1 00 −5 20 0 0 1

1 −0.3333 0 0.0667 0 00 13.3333 −5.0000 0.3333 1 00 −5.0000 20.0000 0 0 1

1 0 −0.125 0.075 0.025 00 1 −0.375 0.025 0.075 00 0 18.125 0.125 0.375 1

1 0 0 0.0759 0.0276 0.00690 1 0 0.0276 0.0828 0.02070 0 1 0.0069 0.0207 0.0552

La inversa son las últimas n columnas de la matriz aumentada:

A−1 =

0.0759 0.0276 0.00690.0276 0.0828 0.02070.0069 0.0207 0.0552

algebra matricial beam

Documents