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´ Algebra Matricial 2018 - Notas de Aulas I Sistemas Lineares, Matrizes e Determinantes Prof Carlos Alberto S Soares 1 Introdu¸c˜ ao Neste capitulo, estaremos interessados em estudar os sistemas de equa¸c˜oes lineares ou, simples- mente, os sistemas lineares. Iniciemos recordando solu¸c˜oes de sistemas lineares bem simples mas que nos dar˜ao uma ideia do que contece no caso geral. 1.1 Sistemas Lineares de uma Equa¸c˜ ao e uma Inc´ognita Com certeza, os sistemas mais simples s˜ao aqueles de uma ´ unicaequa¸c˜aoeuma ´ unicainc´ognita. Vejamos. Exemplo 1 Resolver o sistema 3x =2. Note que, quando um sistema ´ e formada por uma ´ unicaequa¸c˜ ao, nem mesmo usamos a nota¸c˜ao com as chaves, muitas vezes nos referimos, simplesmente, a resolver a equa¸c˜ aoen˜ao um sistema. Neste exemplo, ´ e claro que o sistema, ou a equa¸c˜ao, possui solu¸c˜ ao ´ unica, qual seja, x =2/3 e, portanto, temos S = {2/3}. Observe que sempre teremos o conjunto solu¸c˜ao, ainda que este conunto seja . Exemplo 2 Resolver o sistema 0x =0. Solu¸c˜ ao 3 ´ E claro que qualquer n´ umero real ´ esolu¸c˜ ao desta equa¸ ao e, portanto, temos S = R. Exemplo 4 Resoler o sistema 0x =3. 1

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Algebra Matricial 2018 - Notas de Aulas ISistemas Lineares, Matrizes e Determinantes

Prof Carlos Alberto S Soares

1 Introducao

Neste capitulo, estaremos interessados em estudar os sistemas de equacoes lineares ou, simples-mente, os sistemas lineares. Iniciemos recordando solucoes de sistemas lineares bem simplesmas que nos darao uma ideia do que contece no caso geral.

1.1 Sistemas Lineares de uma Equacao e uma Incognita

Com certeza, os sistemas mais simples sao aqueles de uma unica equacao e uma unica incognita.Vejamos.

Exemplo 1 Resolver o sistema3x = 2.

Note que, quando um sistema e formada por uma unica equacao, nem mesmo usamos anotacao com as chaves, muitas vezes nos referimos, simplesmente, a resolver a equacao e naoum sistema.

Neste exemplo, e claro que o sistema, ou a equacao, possui solucao unica, qual seja, x = 2/3e, portanto, temos

S = {2/3}.

Observe que sempre teremos o conjunto solucao, ainda que este conunto seja ∅.

Exemplo 2 Resolver o sistema0x = 0.

Solucao 3 E claro que qualquer numero real e solucao desta equacao e, portanto, temos S = R.

Exemplo 4 Resoler o sistema0x = 3.

1

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Solucao 5 E obvio que este sistema nao possui solucao e, daı,

S = ∅.

No caso geral, isto e, um sistema do tipo

ax = b, a, b ∈ R

teremos

S = {b/a}, solucao unica se , a = 0

S = R, infinitas solucoes se, a = b = 0

S = ∅, nenhuma solucao se, a = 0 e b = 0.

1.2 Sistemas Lineares de duas Incognitas e uma Equacao

Vejamos alguns exemplos de sistemas do tipo

ax+ by = c.

Exemplo 6 Resolver o sistema 2x+ 3y = 1.

Solucao 7 Isolando y, poderıamos tambem optar por isolar x, teremos,

y =1− 2x

3

e, portanto, teremos

S = {(x, 1− 2x

3), x ∈ R}.

Note que, como o sistema e de duas incognitas, cada solucao se existir sera dada por um parordenado (x, y). Neste caso, o sistema possui infinitas solucoes, isto e, para cada x escolhido,obtemos y = 1−2x

3tal que (x, y) seja solucao da equacao.

Exemplo 8 Resoler o sistema0x+ 0y = 1.

Solucao 9 E claro que nao temos solucao para este sistema e, portanto, teremos S = ∅.

No caso geral, para um sistema de uma equacao e duas incognitas do tipo

ax+ by = c

teremos

Se a = 0 o conjunto solucao sera S = {( c−bya

, y); y ∈ R}. (infinitas solucoes)

Se b = 0 o conjunto solucao sera S = {(x, c−axb

); x ∈ R}. (infinitas solucoes)

Se a = b = c = 0, teremos que qualquer par (x, y) e solucao, isto e, S = R2. (infinitassolucoes)

Se a = b = 0 e c = 0, teremos S = ∅.( nenhuma solucao)

2

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1.3 Sistemas de duas Equacoes e duas Incognitas

Vejamos agora, sistemas de duas equacoes e duas incognitas ou sistemas 2× 2, sistemas estesja trabalhados em cursos anteriores.

Exemplo 10 Resolver o sistema {3x+ y = 5x+ 2y = 5

(1)

Comumente, temos dois metodos para resolver tais sistemas, quais sejam, substituicao e eli-minacao.

Usando substituicao, teremos, isolando y na primeira equacao e substituindo na segunda

y = 5− 3x ⇒ x+ 2(5− 3x) = 5 ⇒ x+ 10− 6x = 5 ⇒ −5x = −5 ⇒ x = 1 ⇒ y = 2. Logo,o conjunto solucao sera S = {(1, 2)}.( Solucao unica)

O metodo de eliminacao consiste em eliminar uma equacao. Por exemplo, multiplicando asegunda equacao por −3, obtemos o sistema{

3x+ y = 5−3x− 6y = −15

Note que este sistema e equivalente ao sistema inicial, isto e, ambos possuem o mesmo conjuntosolucao. Somando as duas equacoes deste sistema, obtemos

−5y = −10 ⇒ y = 2 ⇒ x = 1.

Vejmos um segundo exemplo.

Exemplo 11 Resolver o sistema {3x+ y = 5x+ 1

3y = 5

3

Usando substituicao, tal como fizemos no exemplo anterior, teremos

y = 5− 3x ⇒ x+1

3(5− 3x) =

5

3⇒ 3x+ 5− 3x = 5 ⇒ 5 = 5.

Logo x pode ser qualquer valor, desde que y = 5− 3x e, portanto, o conjunto solucao sera

S = {(x, 5− 3x); x ∈ R} (infinitas solucoes).

Abordemos, ainda, um terceiro exemplo.

Exemplo 12 Resolver o sistema {3x+ y = 5x+ 1

3y = 4

3

Novamente, usando substituicao, teremos,

y = 5− 3x ⇒ x+ 13(5− 3x) = 4

3⇒ 3x+ 5− 3x = 4 ⇒ 5 = 4. Logo, nao existe valor de x

que satisfaca o sistema e, portanto, teremos

S = ∅.

3

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Por razoes que se tornarao obvias mais tarde, introduziremos uma outra forma de escrevero sistema (1), qual seja, a notacao matricial. Ao longo do nosso curso, quase sempre, estaremosescrevendo o sistema (1) na forma(

3 11 2

)(xy

)=

(55

)Tratemos, agora, o caso geral de um sistema 2 × 2, isto e, um sistema de 2 equacoes e 2

variaveis. Para tanto, consideremos o sistema{ax+ by = cex+ fy = d

onde supomos a, b, c, d, e, f numeros reais fixados com a = 0.

Em notacao matricial, terıamos(a be f

)(xy

)=

(cd

)Usando substituicao e, como estamos supondo a = 0, teremos x = c−by

ae, daı,

e( c−bya

) + fy = d ⇒ ec − eby + afy = ad ⇒ (af − eb)y = ad − ec. Supondo af − eb = 0,teremos,

y =ad− ec

af − eb,

o que nos leva a

x =c− b( ad−ec

af−eb)

a=

caf − ceb− bad+ bec

a(af − eb)=

cf − bd

af − eb.

Note que tanto y quanto x possuem para denominadores o numero af − eb, numero este que

sera denominado determinante da matriz

(a be f

)e indicado por

det

(a be f

)ou

∣∣∣∣ a be f

∣∣∣∣ .Note que, desta forma, teremos,

ad− ec = det

(a ce d

)e cf − bd = det

(c bd f

).

Doravante, um sistema de duas equacoes e duas incognitas, sistema 2× 2, no caso geral, serasempre escrito na forma {

a11x1 + a12x2 = b1a21x1 + a22x2 = b2

(2)

onde a11, a12, a21, a22 sao numeros reais fixos e x1, x2 sao as incognitas. Em notacao matricialteremos (

a11 a12a21 a22

)(x1

x2

)=

(b1b2

).

4

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A matriz

(a11 a12a21 a22

)sera dita matriz principal, ou matriz dos coeficientes e a matriz

(a11 a12 b1a21 a22 b2

)sera dita matriz ampliada do sistema. A matriz principal e uma matriz 2 × 2, duas linhas eduas colunas. A matriz ampliada e uma matriz 2× 3, duas linhas e tres colunas.

Usando a notacao de matrizes e supondo o determinante da matriz principal nao nulo, asolucao do sistema (2) sera dada por

x =

∣∣∣∣ b1 a12b2 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣e

y =

∣∣∣∣ a11 b1a21 b2

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ .Nosso objetivo, a seguir, sera desenvolver os conceitos acima para sistemas lineares gerais.

Exemplo 13 Escrever cada sistema abaixo na notacao matricial e resolve-lo usando determi-nantes.

(a)

{3x+ y = 8−x+ y = −15

(b)

{3x+ 5y = 07x+ 6y = 20

.

Solucao 14 Em sala!

Observacao 15 Observamos que, tal como nos exemplos acima, um sistema linear sempretera:

(a) Solucao unica, quando sera dito possıvel e determinado ou, simplesmesnte, determinadoou

(b) Infinitas solucoes, quando sera dito possıvel e indeterminado ou, simplesmente, inde-terminado ou

(c) Nenhuma solucao, quando sera dito impossıvel.

Discutir um sistema linear significa classifica-lo quanto a determinado, indeterminado ouimpossıvel sem, necessariamente, determinar seu conjunto solucao.

Exemplo 16 Discutir o sistema {ax = 33x = a

.

5

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Solucao 17 Em sala!

Exemplo 18 Usando determinantes, resolva o sistema{3x+ 2y = 57x− y = 3

.

Solucao 19 Em sala!

Exemplo 20 Discutir o sistema {x−my = 7mx+ y = 3

.

Solucao 21 Em sala!

Exemplo 22 Usando substituicao, resolva o sistema−2x+ 3y − z = 1x+ 2y − z = 4−2x− y + z = −3

.

Solucao 23 Em sala!

1.4 Exercıcios

1. Use determinantes para resolver os sistemas:

(a)

{x+ y = 6

3x+ 4y = 22(b)

{2x+ y = 53x+ 2y = 9

(c)

{3x+ 4y = 162x+ 3y = 11

2. Para qual valor de m o sistema{(m− 1)x+ 4y = 2m(m+ 1)x− 2y = 1 + 3m

possui solucao unica? Qual a solucao para este valor de m?

3. Usando substituicao, resolva o sistemax− y + z = 3

3x− 9y + 5z = 6x− 3y + 3z = 13

.

4. Exibir um exemplo, justificando, de um sistema 2× 2 indeterminado.

5. Exibir um exemplo, justificando, de um sistema 2× 2 impossıvel.

6

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2 Matrizes

2.1 Apresentacao

2.1.1 Conceito e exemplos

No que se segue, o termo matriz mxn estara representando um arranjo retangular de m linhashorizontais e n colunas verticais do tipo

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...am1 am2 . . . amn

onde aij sao numeros reais para i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n.

Frequentemente, escreveremos A = (aij), onde aij indica o elemento da matriz A situadona i-esima linha e j-esima coluna. Salientamos que as linhas de uma matriz serao orientadasda esquerda para direita(primeira, segunda e asssim sucessivamente) e as colunas de cima parabaixo. Se uma matriz A possui m linhas e n colunas, ela sera dita uma matriz de ordemm× n(m por n) e indicaremos, neste caso, Am×n.

Exemplo 24 Escrever a matriz A3×3 = (aij) onde aij = i2 − j2.

Solucao 25 Em sala!

Observacao 26 1. Uma matriz A sera dita quadrada de ordem n, se possui n linhas en colunas sendo indicada por An. Neste caso, a diagonal principal de A e formadapelos numeros a11, a22, . . . , ann. Ja a diagonal secundaria sera formada pelos numerosa1n, a2(n−1)a3(n−2), . . . , an1.

2. Uma matriz sera dita dita matriz nula se todos seus elementos sao iguais a zero. Amatriz nula de ordem m × n sera indicada por 0m×n. Ja a matriz quadrada nula deordem n sera indicada por 0n.

3. Chamaremos matriz identidade de ordem n a matriz quadrada In = (aij) tal que

aij =

{1, i = j0 i = j

,

isto e, os elementos da diagonal principal sao iguais a 1 e os elementos fora dela saonulos.

4. Matrizes 1 × n ou n × 1 serao chamadas matrizes linha e matrizes coluna de ordem n,respectivamente.

5. Duas matrizes A e B de ordem m × n serao ditas iguais se aij = bij ∀ 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤j ≤ n.

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Exemplo 27 (a) Escrever a matriz nula de ordem 3× 2 (b) Escrever a matriz identidade deordem 4.

Solucao 28 Em sala!

Definicao 29 Uma matriz quadrada A = (aij) tal que todos os elementos da diagonal principalsao iguais a um numero c e todos os elementos fora desta sao iguais a zero e dita uma matrizescalar, isto e,

A = (aij) e uma matriz escalar ⇔ aij = 0 se i = j e aij = c se i = j.

2.1.2 Exercıcios

1. Escreva a matriz A3×3 = (aij) tal que aij = i2 − 1.

2. Escreva a matriz A4×4 = (aij) tal que

aij =

i+ j, se i < j1, se i = j0, se i > j

.

3. Quais as possıveis ordens de uma matriz com 6 elementos?

4. Exiba um exemplo de uma matriz escalar de ordem 5.

5. Determine x, y, a, b se (x+ y a+ bx− y a− b

)=

(5 −11 3

).

2.2 Operacoes com Matrizes

2.2.1 Soma e Multiplicacao por Escalar

Definicao 30 Sejam as matrizes A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...am1 am2 . . . amn

e B =

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...

......

...bm1 bm2 . . . bmn

.

Definimos a soma A+B como a matriz C dada por

C =

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1na21 + b21 a22b22 . . . a2n + b2n

......

......

am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

,

isto e, a soma de duas matrizes e obtida somando os elementos correspondentes.

8

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Se λ e um numero real definiremos, ainda, o produto de λ por A ou A por λ, como sendoa matriz

D = λA = Aλ =

λa11 λa12 . . . λa1nλa21 λa22 . . . λa2n...

......

...λam1 λam2 . . . λamn

,

isto e, o produto de um numero por uma matriz e obtido multiplicando todos seus elementospor este numero.

Definimos, ainda, A−B = A+ (−B) e, consequentemente,

A− λB = A+ (−λ)B = A+ λ(−B).

Exemplo 31 (a) Determine uma matriz X tal que

2

1 2 30 −1 13 2 1

+ 3X =

4 5 32 1 87 0 2

.

Solucao 32 Em sala!

Observacao 33 E simples verificar que a soma de matrizes e o produto de matrizes por umnumero real verificam as seguintes propriedades:

1) A+B = B + A

2) (A+B) + C = A+ (B + C)

3) A matriz nula 0( aij = 0 ∀ i, j ) e tal que A+ 0 = 0 + A = A

4) Dada uma matriz A existe a matriz −A tal que A+ (−A) = 0

5) λ(A+B) = λA+ λB

6) (λ1 + λ2)A = λ1A+ λ2A

7) (λ1λ2)A = λ1(λ2A)

8) 1A = A

Exemplo 34 Resolver o sistema matricial, isto e, determine matrizes X, Y tais que3X + 4Y =

(2 30 −1

)5X − 6Y =

(0 12 −1

) .

Solucao 35 Em sala!

Definicao 36 Dada uma matriz A = (aij), chamamos transposta de A a matriz AT = A′ =(aji), isto e, as linhas de AT sao as colunas de A e vice-versa.

9

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Exemplo 37 (a) Determine a matriz A tal que

AT =

(2 3 22 4 5

).

(b) Sendo A =

(1/2 10 −1

)e B =

(−1 3√5 7

), determine:

b.1) (A+B)T b.2) AT +BT

Solucao 38 Em sala!

Observacao 39 E simples ver que

1. (A+B)T = AT +BT

2. (λA)T = λAT

3. (AT )T = A

2.2.2 Exercıcios

1. Sejam A =

(2 −3 56 −5 4

), B =

4−35

e C =

7 3 2−4 3 56 1 −1

. Determine :

(a) a12, a22, a23

(b) b11, b31

(c) c13, c31, c33

2. Se (a+ 2b 2a− b2c+ d c− 2d

)=

(4 −24 −3

)determine a, b, c e d.

3. Sendo A =

1 −1 32 5 −14 3 2

e B =

0 0 −17 11 05 −3 4

, determine:

(a) A+B (b)B − A

4. Determine os numeros reais x, y sabendo-se que(x2 xy y

)+

(0 −x−y 0

)= I2.

10

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5. Considerando as matrizesA =

2 2 22 1 −31 0 4

, B =

3 3 33 0 56 9 −1

e C =

4 4 45 −1 07 8 1

(a) Determine A− 6B − 2C

(b) Resolva a equacao matricial

1

2(X + A) = 3(X + (2X +B)) + C

6. Determine matrizes X e Y tais que

X + Y =

(1 23 4

)e X − Y =

(1 00 0

).

7. Considerando as matrizes I3 e 03 as matrizes identidade e nula de ordem 3, respectiva-mente, determine matrizes X e Y tais que{

X + 2Y = I32X − Y = 03

8. Considerando as matrizes A =

(1 2 32 1 4

)e B =

1 02 13 2

, determine, se possıvel:

(a) (2A)T (b) (A−B)T (c) (3BT − 2A)T (d) (3AT − 5BT )T (e) (−A)T e − (AT )

9. Existem numeros reais λ1, λ2 tais que(4 10 −3

)= λ1

(1 00 1

)+ λ2

(1 00 0

)? Justifique!

2.2.3 Multiplicacao de Matrizes

Definicao 40 Considere A =(a11 a12 . . . a1n

)eB =

b11b21...bn1

matrizes linha e coluna

de ordem n, repectivamente. Definimos o produto AB como

a matriz quadrada D = AB de ordem 1 dada por

D = AB = (a11b11 + a12b21 + . . .+ a1nbn1) .

Exemplo 41 Sendo A =(1 −1 0

)e B =

1/302

, determine:

(a) AB (b)BTAT

11

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Solucao 42 Em sala!

No caso geral, temos a definicao:

Definicao 43 Sejam as matrizes Am×p =

a11 a12 . . . a1pa21 a22 . . . a2p...

......

...am1 am2 . . . amp

=

L1

L2...

Lm

e

Bp×n =

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...

......

...bp1 bp2 . . . bpn

=(C1 C2 . . . Cn

). Definimos o produto AB como a

matriz

D de ordem m× n dada por

D = AB =

L1C1 L1C2 . . . L1Cn

L2C1 L2C2 . . . L2Cn...

......

...LmC1 LmC2 . . . LmCn

,

isto e,D = (dij), onde dij = LiCj = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ aipbpj.

Note que o produto de matrizes so e possıvel se o numero de colunas da primeirae igual ao numero de linhas da segunda! Ao multiplicarmos uma matriz de ordemm× p por outra de ordem p× n obtemos uma matriz de ordem m× n.

Exemplo 44 Em sala

Nao nos preocuparemos em demonstrar, mas e possıvel verificar que, podendo efetuar asoperacoes, as seguintes propriedades sao verdadeiras:

1. (AB)C = A(BC)

2. A(B + C) = AB + AC e (B + C)A = BA+ CA

3. (AB)t = BtAt

4. An×nIn = InAn×n = An×n

5. Am×p0p×n = 0m×n

Observacao 45 1. Note que nem sempre AB = BA! Verifique para as matrizes A =(1 00 0

)e B =

(0 −10 1

)12

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2. Se o produto de duas matrizes e a matriz nula, nao podemos comcluir que uma delas e a

matriz nula. Verifique para as matrizes A =

(1 00 0

)e B =

(0 00 1

)3. Para produto de matrizes nao vale a lei do cancelamento, isto e, da igualdade AB = AC

nao podemos comchuir que B = C. Verifique que AB = AC, sendo

A =

1 2 01 1 0−1 4 0

, B =

1 2 31 1 −12 2 2

e C =

1 2 31 1 −11 1 1

4. Sendo A uma matriz n× n e p um numero natural, definimos,

A0 = In e Ap = AA . . . A(p vezes).

5. Diremos que duas matrizes A e B comutam se AB = BA.

6. Se p(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0 e um polinomio com coeficientes reais e A euma matriz quadrada, definimos,

p(A) = anAn + an−1A

n−1 + . . .+ a1A+ a0I

onde I e a matriz identidade da mesma ordem de A.

Exemplo 46 Sendo f(x) = 3x2 + 5 + 2 e A =

(1 −10 2

), determine f(A).

Solucao 47 Em sala!

2.2.4 Exercıcios

1. Resolva a equacao matricial

3X +

(1 12 1

)=

(2 34 1

)+

(−1 −2−2 0

)(1 00 1

).

2. Determine x ∈ R tal que 2 0 70 1 01 2 1

−x −14x 7x0 1 0x 4x −2x

= I3.

3. Se as matrizes

(1 23 0

)e

(a bc d

)comutam, qual a relacao entre a, b, c e d? Justifique!

4. Verifique que −1 −1 −10 1 00 0 1

2

=

0 1 0−1 −1 −10 0 1

3

=

0 1 00 0 1−1 −1 −1

4

= I3.

13

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5. Sendo A =

1 2 22 1 22 2 1

, verifique que

A2 − 4A− 5I = 0.

6. Considere as matrizes

A =

12

25

25

45

e B =

45

−25

−25

15

.

Seja Γ o conjunto de todas as matrizs que podem ser escritas na forma

αA+ βB, comα, β ∈ R.

(a) Verifique que A2 = A

(b) Verifique que B2 = B

(c) Calcule AB e BA

(d) Mostre que se duas matrizes M1 e M2 estao em Γ, entao M1M2 esta em Γ.

7. Sendo A =

(1 23 6

), determine uma matriz B2×3 com elementos distintos tal que

AB = 0.

8. Sejam A =

(1 23 2

)e B =

(2 −1−3 4

). Verifique que AB = BA.

9. (a) Mostre que se A possui uma linha nula, entao AB possui uma linha nula.

(b) Mostre que se B possui uma caluna nula, entao AB possui uma coluna nula.

10. Mostre que o poduto de duas marizes diagonais e uma matriz diagonal.

11. Mostre que o produto de duas matrizes escalares e uma matriz escalar.

12. Seja uma matriz Am×n. Mostre que se AAT = 0, entao A = 0.

13. Determine duas matrizes A2×2 distintas tais que A2 = 0 mas A = 0.

14. Considere as matrizes

A =

1 −12 21 0

, B =

(3 1−4 4

).

Existe uma matriz C tal que CA = B? Justifique!

14

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2.3 Matriz Inversa

Dada uma matriz quadrada A de ordem n, em muitas situacoes, sera importante decidir seexiste uma matriz quadrada B de ordem n tal que

AB = BA = In.

Temos, entao, a definicao.

Definicao 48 Uma matriz quadrada An sera dita invertıvel, ou nao singular, se existe umamatriz Bn tal que

AnBn = BnAn = In.

Uma matriz B satisfazendo AB = BA = I sera dita uma inversa para A. Se nao existe umamatriz B tal que AB = BA = I, a matriz A sera dita nao invertıvel ou singular.

Exemplo 49 Sendo A =

(2 32 2

), verifique que B =

(−1 3/21 −1

)e uma inversa para A.

Solucao 50 Em sala!

Exemplo 51 Determine uma inversa, se possıvel, para a matriz A =

(1 23 4

).

Solucao 52 Em sala!

Exemplo 53 Determine uma inversa, se possıvel, para a matriz A =

(1 22 4

).

Solucao 54 Em sala!

Nas proximas secoes desenvolveremos alguns metodos mais eficazes para se obter a inversade uma matriz.

Observacao 55 1. E possıvel mostrar que se duas matrizes quadradas A,B de mesmaordem sao tais que AB = I, entao BA = I. Logo, se queremos determinar uma inversapara uma matriz A basta buscar uma matriz B de mesma ordem tal que AB = I e, setal matriz existir, ja sera verdade que BA = I.

2. Temos que se uma matriz A possui uma inversa esta e unica e, portanto, se uma matrizA e invertıvel sua inversa sera denotada por A−1. Bem entendido, dada uma matriz Ainvertıvel, A−1 e a unica matriz tal que

AA−1 = A−1A = I.

15

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3. Nao e dificıl verificar que o produto de duas matrizes invertıveis A e B e ainda umamatriz invertıvel e

(AB)−1 = B−1A−1.

Atente para a inversao na ordem da multiplicacao. E simples ver tambem que, sendo Auma matriz invertıvel, a matriz −A e invertıvel e temos

(−A)−1 = −(A−1).

4. Salietamos que a soma de duas matrizes invertıveis nao e necessariamente uma matrizinvertıvel!

5. E sempre bom ter em mente as seguintes propriedades:

(a) (A−1)−1 = A

(b) (AT )−1 = (A−1)T

Exemplo 56 Determine, se existir, A−1 sendo A =

(1 32 4

).

Solucao 57 Em sala!

Exemplo 58 Sendo A =

(2 11 1

)e B =

(1 23 4

), resolva a equacao matricial

AX = B

isto e, determine uma matriz X tal que AX = B.

Solucao 59 Em sala!

2.3.1 Exercıcios

1. A matriz A =

(1 13 4

)e singular? Justifique!

2. Para cada matriz abaixo, determine sua inversa, se existir.

(a)

(1 3−2 6

)(b)

1 2 30 1 20 0 2

(c)

1 1 1 10 2 −1 20 0 2 10 0 0 2

.

3. Se A−1 =

(2 31 4

), determine A.

4. Mostre que toda matriz quadrada que possui uma linha ou coluna nula e singular.

16

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5. Se D =

4 0 00 −2 00 0 3

, determine D−1.

6. Resolva a equacao AX = B, sendo

A =

(2 34 1

)e B =

(53

).

7. Sendo A =

(1 24 −1

), verifique que A−1 = 1

9A.

8. Determine A se A−1 =

(2 31 4

).

9. Para cada matriz abaixo, determine A−1, se existir.

(a)A =

0 1 01 0 00 0 1

(b)A =

1 1 10 2 35 5 1

(c)A =

1 −2 −30 −4 40 0 0

.

10. Considere matrizes P,Q satisfazendo P−1 +Q−1 = 1. Mostre que P +Q = PQ.

11. Determine todas as matrizes que comutam com a matriz A =

(1 10 0

).

12. Dizemos que duas matrizes quadradas de mesma ordem nao nulas sao divisores de zerose AB = 0. Mostre que as matrizes

A =

2 −3 −5−1 4 51 −3 −4

e B =

−1 3 51 −3 −5−1 3 5

sao divisores de zero.

13. Resolva o sistema matricial

(2 −10 1

)X +

(−1 23 1

)Y =

(3 27 0

)(

0 13 2

)X +

(2 −31 1

)Y =

(−2 110 11

)

2.4 Operacoes Elementares sobre Linhas e Matrizes Linha Reduzi-das

Definicao 60 Dada uma matriz A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...am1 am2 . . . amn

, aplicar uma operacao ele-

mentar sobre as linhas de A significa simplesmente:

17

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1) Permutarmos duas linhas de A ou

2) Multiplicarmos uma linha de A por um numero diferente de 0 ou

3) Substituirmos uma linha de A pela soma desta mesma linha com uma segunda linhamultiplicada por um numero real diferente de zero.

Ao aplicarmos qualquer uma dessas operacoes sobre a matriz A, obteremos uma segundamatriz B e diremos que B foi obtida de A atraves da aplicacao de uma operacao elementar.

Definicao 61 Duas matrizes A e B serao ditas linha equivalentes se B pode ser obtida de Aatraves da aplicacao de um numero finito de operacoes elementares sobre as linhas de A.

Exemplo 62 Determine 3 matrizes distintas que sejam linha equivalentes a matriz

A =

−1 2 20 1 −2−1 2 3

.

Solucao 63 Em sala!

Definicao 64 Uma matriz A sera dita linha reduzida a forma em escada, ou que esta naforma canonica linha reduzida, se:

1) O primeiro elemento nao nulo de cada linha nao nula e igual a 1.

2) Toda linha nula ocorre abaixo das linhas nao nulas.

3) Cada coluna que contem o primeiro elemento nao nulo de uma certa linha tem todos osseus outros elementos iguais a zero.

4) Sendo as linhas 1, 2, . . . , p as linhas nao nulas de A e se o primeiro elemento nao nuloda linha i ocorre na coluna ki, i = 1, 2, . . . , p, entao k1 < k2 < . . . < kp.

Uma matriz onde (2) e (4) acima estao satisfeitas e dita uma matriz escalonada ou queesta na forma escalonada. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 65 Dentre as matrizes abaixo, quais estao na forma escalonada? Quais estao naforma canoninca linha reduzida?

(a)

2 3 2 0 4 5 −60 0 1 1 −3 2 00 0 0 0 0 6 20 0 0 0 0 0 1

(b)

1 2 30 0 10 0 0

(c)

0 1 3 0 0 40 0 0 1 0 −30 0 0 0 1 2

Solucao 66 Em sala!

Observacao 67 Sendo A uma matriz, e possıvel mostrar que existe uma unica matrizlinha reduzida a forma em escada que seja linha equivalente a A mas, geralmente,existem varias matrizes escalonadas linha equivalentes a A. Reduzir uma matriz A aforma escada reduzida por linhas ou a forma linha reduzida em escada significa, simplesmente,encontrar a matriz linha reduzida a forma escada que seja linha equivalente a A.

18

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Devemos agora responder a seguinte pergunta:

Pergunta 68 Dada uma matriz A, como podemos obter a matriz linha reduzida a formaescada linha equivalente a A?

Os exemplos abaixo nao deixarao duvidas quanto a resposta a esta pergunta.

Exemplo 69 As matrizes

A =

(1 20 1

)e B =

(1 02 1

)sao linha equivalentes? Justifique!

Solucao 70 Em sala!

Exemplo 71 Determine uma matriz que esteja na forma canonica linha reduzida que sejalinha equivalente a matriz

A =

2 0 01 −1 00 1 3

.

Solucao 72 Em sala!

Exemplo 73 Determine uma matriz que esteja na forma canonica linha reduzida que sejalinha equivalente a matriz

A =

1 1 2−2 0 −11 3 5

.

Solucao 74 Em sala!

Exemplo 75 As matrizes A =

2 0 01 −1 00 1 3

e B =

1 1 2−2 0 −11 3 5

sao linha equivalen-

tes? Justifique!

Solucao 76 Em sala!

Exemplo 77 As matrizes A =

0 1 11 0 11 1 1

e B =

1 0 10 1 00 0 1

sao linha equivalentes?

Justifique!

O teorema abaixo deixa claro a relacao entre matriz linha reduzida e matriz inversa.

19

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Teorema 78 Uma matriz quadrada A sera invertıvel se, e somente se, e linha equivalente amatriz identidade. Alem disso, se apos aplicarmos um numero finito de operacoes elementaressobre A obtemos a matriz identidade entao, partindo da identidade, e aplicando as mesmasoperacoes elementares, obteremos A−1.

Exemplo 79 A matriz A =

(1 −12 3

)e invertıvel? Justifique!

Solucao 80 Em sala!

Exemplo 81 Determine, se existir, a inversa da matriz

A =

1 1 10 2 35 5 1

.

Solucao 82 Em sala!

Exemplo 83 Determine, se existir, a inversa da matriz

A =

1 2 −31 −2 15 −2 −3

.

Solucao 84 Em sala!

Definicao 85 (Posto ou Caracterıstica de uma Matriz) Seja A uma matriz. Chamare-mos posto ou caracterıstica de A, indicado por p(A), o numero de linhas nao nulas de qualquermatriz escalonada linha equivalente a A.

Salientamos que a definicao acima so tem sentido pois e possıvel mostrar que,dada uma matriz A, qualquer matriz escalonada linha equivalente a A possui omesmo numero de linhas nao nulas!

Exemplo 86 Determine o posto da matriz A =

(1 13 4

).

Solucao 87 Em sala!

Exemplo 88 Qual o posto da matriz A =

1 2 30 −3 −61 3 2

? Justifique!

Solucao 89 Em sala!

20

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Exemplo 90 Qual o posto da matriz A =

(1 2 32 4 6

)? Justifique!

Solucao 91 Em sala!

Exemplo 92 Determine a caracterıstica da matriz

A =

1 0 0 00 1 0 00 1 0 00 0 0 1

.

Solucao 93 Em sala!

Exemplo 94 Discuta, segundo os valores de a, a caracteristica da matriz

A =

1 1 11 a 21 a2 4

.

Solucao 95 Em sala!

2.5 Exercıcios

1. Determine a inversa das matrizes

(a)A =

1 2 −4−1 −1 52 7 −3

(b)B =

1 3 −41 5 −13 13 −6

.

2. Quais matrizes abaixo estao na forma escalonada? Quais estao na forma linha reduzida?Justifique!

(a)

1 2 −3 0 10 0 5 2 −40 0 0 6 3

(b)

0 1 7 −5 00 0 0 0 10 0 0 0 0

(c)

1 0 5 0 20 1 2 0 40 0 0 1 7

.

3. Reduza a matriz B a sua forma canonica reduzida por linha.

B =

2 2 −1 6 44 4 1 10 136 6 0 20 19

.

4. Reduza a matriz A a sua forma canonica reduzida por linha.

A =

1 −2 3 1 21 1 4 −1 32 5 9 −2 8

.

21

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5. Reduza A a forma escalonada e, a seguir, a forma canonica reduzida por linha.

(a)A =

1 2 −1 2 12 4 1 −2 33 6 2 −6 5

(b)A =

2 3 −2 5 13 −1 2 0 44 −5 6 −5 7

.

6. Reduza A a forma escalonada e, a seguir, a forma canonica reduzida por linha. (a)A =1 3 −1 20 11 −5 32 −5 3 14 1 1 5

(b)A =

0 1 3 −20 4 −1 30 0 1 10 5 −3 4

.

7. Descreva todas as matrizes 2× 2 possıveis que estejam na forma canoninca reduzida porlinhas.

8. Seja A uma matriz quadrada escalonada reduzida por linhas . Mostre que se A = I, amatriz identidade, entao A possui uma linha nula.

9. Determine a para que o posto da matriz

A =

1 1 1 42 1 1 53 2 2 a

seja igual a 2.

10. Determine as caracterısticas das matrizes:

(a)

(2 −3 165 1 23

)(b)

4 −3 3 06 1 −9 92 −5 −6 5

11. Determine as caracterısticas das matrizes:

(a)

1 23 −14 15 −4

(b)

1 2 33 −1 24 1 55 −4 1

12. Determine as caracterısticas das matrizes:

(a)

1 2 −3 11 −1 2 −12 1 −1 0

(b)

2 6 5 11 4 3 2−1 6 2 33 −8 −1 4

13. Discuta, segundo os valores de a, a caracterıstica da matriz

A =

1 1 11 −a 1a −1 −1

.

22

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14. Discuta, segundo os valores de k, a caracterıstica da matriz

A =

1 1 1 12 2 2 23 3 k 3

.

15. Discuta, segundo os valores de k, a caracterıstica da matriz

A =

1 0 −1 1k 1 3 01 k 3 1

.

16. Discuta, segundo os valores de m,n, a caracterıstica da matriz

A =

1 2 m 21 −1 1 10 1 3 n

.

17. Determine α para que a caracterıstica da matriz 1 −3 −22 1 33 −2 α

seja igual a 2.

18. Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo:

(a)

(1 3−2 6

)(b)

1 2 31 1 20 1 2

(c)

1 1 1 11 2 −1 21 −1 2 11 3 3 2

.

19. Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo:

(a)

(1 32 4

)(b)

1 1 1 11 3 1 21 2 −1 15 9 1 0

(c)

1 2 11 3 21 0 1

.

20. Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo:

(a)

1 2 −3 1−1 3 −3 −22 0 1 53 1 −2 5

(b)

3 1 22 1 21 2 2

(c)

1 2 31 1 21 1 0

.

21. Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo:

(a)

1 1 11 1 01 0 0

(b)

1 0 11 1 10 1 0

(c)

1 1 0 01 1 1 00 1 1 10 0 1 1

23

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3 Sistemas Lineares

Utilizaremos, agora, os conceitos desenvolvidos anteriormente para a solucao de sistemas line-ares.

Definicao 96 Chamaremos sistema linear a n incognitas e m equacoes qualquer conjunto deequacoes lineares do tipo

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...

......

......

......

......

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

(1)

onde aij e bi sao numeros reais para i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n.

Se b1 = b2 = . . . = bm = 0 o sistema (1) sera dito um sistema homogeneo.

Resolver um sistema do tipo (1) significa, simplesmente, determinar as enuplas do tipo(x1, x2, . . . , xn) que satisfazem simultaneamente todas as equacoes.

Lembramos que associado ao sistema (1), temos a matriz ampliada e a matriz dos coefici-entes , isto e, respectivamente,

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2...

......

......

am1 am2 . . . amn bm

e

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...am1 am2 . . . amn

.

E simples observar que um sistema linear sera tanto mais simples de resolver, quanto maior foro numero de zeros na sua matriz ampliada. Nosso objetivo entao sera, dado um sistema linearS e, consequentemente, sua matriz ampliada, obter um sistema S ′ cuja matriz ampliada sejamais simples e tenha o mesmo conjunto solucao de S. Isso pode ser feito, facilmente, utilizandooperacoes elementares sobre as linhas de uma matriz e tendo em mente a observacao abaixo.

Observacao 97 Se um sistema S possui para matriz ampliada uma matriz A e um segundosistema R possui para matriz ampliada uma matriz B, que pode ser obtida atraves da aplicacaode um numero finito de operacoes elementares sobre as linhas de A, entao eles possuem omesmo conjunto solucao. Logo, se dois sistemas S e R possuem as matrizes ampliadas A e B,respectivamente, e estas sao linha equivalentes, entao eles possuem o mesmo conjunto solucao.

Finalmente, temos um roteiro para resolver um sistema linear, qual seja:

1) Escrevemos sua matriz ampliada A;

2) Encontramos uma matriz escalonada, ou mesmo a matriz linha reduzida a forma emescada B, que seja linha equivalente a A;

3) Encontramos o conjunto solucao do sistema cuja matriz B e a matriz ampliada e estesera o conjunto solucao do sistema original.

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Exemplo 98 Resolver o sistema x+ 2y + 3z = 92x− y + z = 8

3x− z = 3.

Solucao 99 Em sala!

Exemplo 100 Resolver o sistema homogeneox+ 2y + 3z = 0

−x+ 3y + 2z = 02x+ y − 2z = 0

.

Solucao 101 Em sala!

Observacao 102 Lembramos que um sistema linear sera dito:

1) possıvel e determinado, se possui uma unica solucao;

2) possıvel e indeterminado, se seu conjunto solucao e infinito;

3) impossıvel, se nao admite solucao.

Enfatizamos que essas sao as unicas possibilidades possıveis para um sistema linear!

Exemplo 103 Discutir e resolver o sistemax+ y − z = 1

2x+ 3y + az = 3x+ ay + 3z = 2

Solucao 104 Em sala!

Exemplo 105 Discutir, em funcao de a, o sistema{x+ y = 3

x+ (a2 − 8)y = a.

Solucao 106 Em sala!

O proximo teorema nos revela a importancia do conceito de posto de uma matriz naclassificacao de um sistema. Antes de enuncia-lo, lembramos que o posto de uma matriz esempre menor ou igual que seu numero de colunas.

Teorema 107 Seja S um sistema linear de m equacoes e n incognitas. Sejam, ainda, B amatriz dos coeficientes e A a matriz ampliada de S. Entao:

(i) S nao tera solucao se p(A) < p(B)

(ii) S tera solucao unica se p(A) = p(B) = n

(iii) S tera infinitas solucoes se p(A) = p(B) < n.

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Exemplo 108 Classifique os sistemas abaixo quanto ao numero de solucoes.

(a)

{x+ 2y + z + t = 1

x+ 3y − z + 2t = 2(b)

x− y + z = 3

3x− 9y + 5z = 6x− 3y + 3z = 13

Solucao 109 Em sala!

Observacao 110 Em se tratando de sistemas lineares homogeneos temos algumas particula-ridades, quais sejam:

(i) Um sistema homogeneo sempre possui pelo menos uma solucao, qual seja, x1 = x2 =. . . = xn = 0

(ii) Um sistema homogeneo no qual o numero de equacoes e menor que o numero deincognitas e indeterminado, isto e, possui infinitas solucoes.(Consequencia do teorema an-terior)

(iii) Se as enuplas (x1, x2, . . . , xn) e (y1, y2, . . . , yn) sao solucoes de um sistema homogeneoS, entao qualquer enupla do tipo

(λx1 + µy1, λx2 + µy2, . . . , λxn + µyn), λ µ ∈ R

e tambem solucao de S.

3.1 Exercıcios

1. Resolver o sistema 1 2 0 −11 0 2 −11 2 2 −13 4 4 −3

xyzw

=

2248

2. Dar um exemplo de um sistema de duas equcoes e duas incognitas que nao admita

solucao.

3. Resolver o sistema cuja matriz ampliada e

2 −3 −7 5 2 −21 −2 −4 3 1 −22 0 −4 2 1 31 −5 −7 6 2 −7

4. Resolver o sistema:

x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 1x1 + x2 − x3 + x4 = 2x1 + 7x2 − 5x3 − x4 = 3

5. Determine k, para que o sistema abaixo admita solucao.−4x+ 3y = 25x− 4y = 02x− y = k

26

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6. Discutir e resolver os sistemas, que podem estar dados por sua matriz ampliada:

(a)

x− 3y = −22x+ y = 33x− 2y = a

(b)

x1 + x2 + x3 = 42x1 + x2 + x3 = 53x1 + 2x2 + 2x3 = a

(c)

3 2 1 45 a 5 b1 −1 2 2

(d)

{ax+ y = bx+ ay = b2

7. Resolva os sistemas:

(a)

x+ y + 2z + 3w = 13x− 2y + z + w = 83x+ y + z − w = 1

(b)

x+ y + z = 1

x+ y − 2z = 32x+ y + z = 2

(c)

2x+ y + z − 2w = 1

3x− 2y + z − 6w = −2x+ y − z − w = −16x+ z − 9w = −2

5x− y + 2z − 8w = 3

(d)

x+ 2y + 3z − w = 02x+ y − z + w = 3

x− y + w = −2

8. Discutir o sistema x+ y − z = 2x+ 2y + z = 3

x+ y + (a2 − 5)z = a

9. Discutir o sistema x+ y + z = 2x+ 2y + z = 3

x+ y + (a2 − 5)z = a

10. Resolva os sistemas cujas matrizes ampliadas sao dadas abaixo:

(a)

1 1 1 01 1 0 30 1 1 1

(b)

1 2 3 01 1 1 01 1 2 01 3 3 0

11. Resolva os sitemas cujas matrizes ampliadas sao dadas abaixo:

(a)

1 2 3 1 81 3 0 1 71 0 2 1 3

(b)

1 −2 3 42 −1 −3 53 0 1 23 −3 0 7

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4 Determinantes

4.1 Determinantes de ordem 2 e 3

Na introducao, utilizamos a solucao de um sistema 2× 2 para apresentar o conceito de deter-minantes de uma matriz quadrada de ordem 2. Introduzimos, agora, o mesmo conceito, viamatriz inversa. Vejamos.

Seja a matriz A =

(a bc d

)onde a = 0. Para determinarmos sua inversa, iremos

leva-la a forma escada e, daı, teremos:

(a bc d

)99K

(1 b/ac d

)99K

(1 b/a0 d− cb/a

)=(

1 b/a0 (ad− bc)/a

). Logo e simples observar que a matriz A e inversıvel se, e somente se,

ad− bc = 0. Chamaremos o numero ad− bc determinante da matriz

(a bc d

).

Utilizaremos o determinante de uma matriz 2 × 2 para definir o determinante de umamatriz 3× 3 e, posteriormente, atraves do determinante de uma matriz n× n calcularemos odeterminante de uma matriz (n+ 1)× (n+ 1).

Definicao 111 Sejam A uma matriz quadrada de ordem 3 e aij um elemento de A. O deter-minante da matriz quadrada de ordem 2, obtida de A suprimindo-se sua i-esima linha e suaj-esima coluna chama-se menor do elemento aij e indica-se Mij.

Exemplo 112 Seja a matriz A =

1 2 03 −1 21 2 3

. Determine M11 e M23.

Solucao 113 EM SALA DE AULA!

Definicao 114 Sejam A uma matriz quadrada de ordem 3 e aij um elemento de A. Chamamoscofator de aij o numero dado por

Aij = (−1)i+jMij =

{Mij se i+ j e par

−Mij se i+ j e ımpar

Exemplo 115 Seja a matriz A =

1 2 34 5 60 2 −1

. Determine A22, A21 e A33.

Definicao 116 Seja A uma matriz quadrada de ordem 3. Chamaremos determinante de A,o numero dado pela soma dos produtos dos elementos da primeira linha de A pelos respectivoscofatores.

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Exemplo 117 Determine o determinante da matriz

A =

−1 3 21 0 −23 2 −1

.

Solucao 118 Em sala!

No caso de uma matriz de ordem 3, podemos usar o seguinte metodo praticopara calcular seu determinante.

Exemplo 119 Calcule o determinante da matriz A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

Solucao 120 EM SALA DE AULA!

4.2 Determinante de uma matriz de ordem n

Queremos associar a qualquer matriz quadrada de ordem n um numero ao qual chamaremosdeterminante. Isso sera feito, facilmente, conhecendo o determinante de uma matriz de ordemn − 1, isto e, conhecido o determinante de matrizes (n − 1) × (n − 1) determinaremos odeterminante de uma matriz n× n. Vejamos tal procedimento.

Definicao 121 Sejam A uma matriz quadrada de ordem n e aij um elemento de A. O deter-minante da matriz quadrada de ordem n − 1, obtida de A suprimindo-se sua i-esima linha esua j-esima coluna chama-se menor do elemento aij e indica-se Mij.

Exemplo 122 Seja a matriz A =

1 2 0 −13 −1 2 21 2 3 0−1 7 3 −5

. Determine M11,M23 e M44.

Solucao 123 EM SALA DE AULA!

Definicao 124 Sejam A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e aij um elemento de A.Chamamos cofator de aij o numero dado por

Aij = (−1)i+jMij =

{Mij se i+ j e par

−Mij se i+ j e ımpar

Exemplo 125 Seja a matriz A =

1 2 3 44 5 6 50 2 −1 3−1 0 2 4

. Determine A22, A21 e A33.

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Solucao 126 Em sala!

Definicao 127 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Chamaremos determinante de A,o numero dado pela soma dos produtos dos elementos da primeira linha de A pelos respectivoscofatores.

Notacao 128 O determinante de uma matriz quadrada A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...an1 am2 . . . ann

sera

indicado por det A ou

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...an1 am2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ou, ainda, |A|. Logo, da definicao anterior,

temos,|A| = a11A11 + a12A12 + . . .+ a1nA1n.

Exemplo 129 Calcule o determinante da matriz A =

2 9 0 05 1 2 112 3 0 330 1 1 1

Solucao 130 EM SALA DE AULA!

Observacao 131 Nao nos ocuparemos, neste curso, com a teoria de determinantes, desenvol-veremos somente o necessario para estudar alguns topicos adiante. Com esse objetivo, menci-onamos as seguintes propriedades que podem ser uteis para o calculo de alguns determinantes.

1. ( Teorema de Laplace ) Se A e uma matriz quadrada, entao seu determinante seradado pela soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelosrespectivos cofatores. De outra forma, nao precisamos usar, necessariamente, a primeiralinha, podemos escolher qualquer linha ou coluna!

2. Se todos os elementos de uma linha ou coluna sao nulos, det A=0.

3. detA=detAt

4. Se multiplicarmos uma linha ou coluna por um certo numero, o determinante ficaramultiplicado por este numero. Portanto, se A e uma matriz de ordem n, teremosdet(kA)=kn(detA), ∀ x ∈ R.

5. Uma vez trocada a posicao de duas linhas ou duas colunas, o determinante troca de sinal.

6. Se A possui duas linhas ou duas colunas proporcionais, entao detA=0. Em particular,se A possui duas linhas ou duas colunas iguais, entao detA=0

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7. det(AB)=(detA)(detB)

8. Se substituimos uma certa linha pela soma dela mais um numero multiplicado por outralinha, o determinante nao se altera. O mesmo vale para colunas!

Exemplo 132 Em sala

4.3 Obtencao da Matriz Inversa via Determinantes

Definicao 133 Dada uma matriz A, chamaremos matriz dos cofatores de A, indicada por A,a matriz obtida substituindo-se em A cada elemento pelo respectivo cofator.

Exemplo 134 Determine a matriz dos cofatores da matriz A =

2 1 0−3 1 41 6 5

Solucao 135 EM SALA DE AULA!

Definicao 136 Dada uma matriz A, chamaremos adjunta de A, indicada por A∗, a transpostada matriz dos cofatores de A, isto e,

A∗ = (A)t

Exemplo 137 Determine A∗ sendo A a matriz do exemplo anterior.

O teorema abaixo, caracteriza a matriz inversa via determinante. Como temos feito, naonos ocuparemos em demonstra-lo.

Teorema 138 Uma matriz quadrada A admite inversa se, e somente se, detA = 0. Nestecaso, teremos,

A−1 =1

detAA∗

Exemplo 139 Use a adjunta para determinar a inversa da matriz A =

(6 211 4

)Solucao 140 EM SALA DE AULA!

O teorema acima nos leva ao proximo resultado que pode ser verificado facilmente.

Corolario 141 Duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem sao invertıveis se, e somentese, AB e uma matriz invertıvel.

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Observacao 142 No caso de uma matriz de ordem 2, o metodo acima e o mais simples parase determinar a inversa de uma dada matriz. No caso de matrizes de maior ordem, reduzı-laa forma escada e, geralmente, mais simples. Vejamos o caso de ordem 2.

Suponhamos A =

(a11 a12a21 a22

), entao;

A =

(a22 −a21−a12 a11

)⇒ A∗ =

(a22 −a12−a21 a11

).

Logo,

A−1 =

a22detA

−a12detA

−a21detA

a11detA

.

4.4 A Regra de Cramer

Apresentaremos, agora, a chamada regra de Cramer para solucao de um sistema linear de nequacoes e n incognitas.

Seja o sistema

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...

......

......

......

......

an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn

com respectiva matriz dos

coeficientes dada por A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...an1 an2 . . . ann

. Seja Aj a matriz que se obtem substituindo

em A a coluna j pela coluna dos termos independentes. Entao, temos o seguinte teorema.

Teorema 143 (Regra de Cramer) Se detA = 0 o sistema acima possuira solucao unica.Neste caso, a solucao sera dada por

xj =detAj

detA, ∀ j = 1, 2, . . . , n.

Exemplo 144 Resolver, utilizando a regra de Cramer, o sistema

−2x1 + 3x2 − x3 = 1x1 + 2x2 − x3 = 4−2x1 − x2 + x3 = −3

Solucao 145 EM SALA DE AULA!

4.5 Exercıcios

1. Dado o sistema

x+ ay + 2z = 0−x+ ay + 3z = 0−2x+ y + az = 0

, determine os valores de a tal que o determi-

nante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero. Resolva o sistema para essesvalores de a.

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2. Dadas as matrizes A =

(1 21 0

)e B =

(3 −10 1

), calcule:

(a) detA+ detB (b) det(A+B)

3. Calcule det

3 −1 5 00 2 0 12 0 −1 31 1 2 0

4. Sendo A =

4 −1 2 −23 −1 0 02 3 1 00 7 1 1

, determine A−1.

5. Mostre que se A ou B e uma matriz nao invertıvel, entao AB tambem nao o e.

6. Dada a matriz A =

2 1 −30 2 15 1 3

, calcule:

(a) A∗ (b) detA (c) A−1

7. Dizemos que duas matrizes A e B sao semelhantes se existe uma matriz P tal queB = P−1AP . Mostre que detA = detB se A e B sao semelhantes.

8. Mostre que det

1 1 1a b ca2 b2 c2

= (a− b)(b− c)(c− a).

9. Resolva o sistema, usando a Regra de Cramer:x− 2y + z = 12x+ y = 3y − 5z = 4

10. Mostre que se A e invertıvel, entao detA−1 = 1detA

.

11. Verdadeiro ou falso? Justifique!

Se detA = 1, entao A−1 = A

12. Verdadeiro ou falso? Justifique!

Toda matriz diagonal e invertıvel.

13. Mostre que se a, b, c sao nao nulos, o sistema:(b+ c)x+ (c− a)y + (b− a)z = 0(c− b)x+ (c+ a)y + (a− b)z = 0(b− c)x+ (a− c)y + (a+ b)z = 0

admite somente a solucao nula.

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14. Sejam as marizes A =

(a11 a12a21 a22

)e B =

(b11 b12b21 b22

). Se det(A+B) = detA+ detB,

mostre que ∣∣∣∣ a11 b12a21 b22

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ b11 a12b21 a22

∣∣∣∣ = 0

15. ) Mostre que se as matrizes

(a b0 c

)e

(α β0 γ

)comutam, entao

∣∣∣∣ b a− cβ α− γ

∣∣∣∣ = 0

16. Sejam A e B matrizes de ordem 2× 1 e 1× 2, respectivamente. Mostre que a matriz ABe singular.

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