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Algebra Matricial(MAT110) - Notas de Aulas ISistemas Lineares, Matrizes e Determinantes

Prof Carlos Alberto Santana Soares

2019

Sumario

Sumario 3

1 Introducao 5

1.1 Equacoes Lineares a Uma Incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Equacoes Lineares a Duas Incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 O Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Sistemas Lineares de Duas Equacoes a Duas Incognitas . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Exercıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Matrizes 19

2.1 Apresentacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Conceito e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Operacoes com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Soma e Multiplicacao por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22


2.2.3 Multiplicacao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.4 Exercıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


2.3 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34


2.4 Operacoes Elementares sobre Linhas e Matrizes Linha Reduzidas . . . . . . . 39

2.4.1 Matrizes linha Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.2 Matriz Inversa e Linha Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


3

4 SUMARIO

3 Sistemas Lineares e Determinantes 51

3.1 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51


3.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.1 Determinantes de ordem 2 e 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.2 Determinante de uma matriz de ordem n . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.3 Obtencao da Matriz Inversa via Determinantes . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.4 A Regra de Cramer(Solucao de Sistemas via Determinantes) . . . . . . 65


4 Respostas dos Exercıcios 71

4.1 Secao 1.6, pagina 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2 Subsecao 2.1.2, pagina 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3 Subsecao 2.2.2, pagina 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4 Subsecao 2.2.5, pagina 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.5 Subsecao 2.3.1, pagina 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.6 Subsecao 2.4.3, pagina 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.7 Subsecao 3.1.1, pagina 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.8 Subsecao 3.2.5, pagina 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Referencias Bibliograficas 81

Capıtulo 1

Introducao

Neste capitulo estaremos interessados em estudar os sistemas de equacoes lineares ou, simples-mente, os sistemas lineares. Iniciemos recordando solucoes de algumas equacoes lineares quenos darao uma ideia do que acontece no caso geral.

1.1 Equacoes Lineares a Uma Incognita

Com certeza, as equacoes lineares mais simples sao aquelas a uma incognita. Vejamos algunsexemplos.

Exemplo 1.1. Resolver a equacao

3x = 2.

Neste exemplo e claro que a equacao possui solucao unica, qual seja, x = 2/3 e, portanto,temos

S = {2/3}.

Observamos que estaremos sempre buscando as solucoes em R, isto e, numeros reais e quesempre teremos o conjunto solucao ainda que este conjunto seja ∅.


0x = 0.

E simples observar que qualquer numero real e solucao desta equacao e, portanto, temosS = R.

Exemplo 1.3. Resoler a equacao

0x = 3.

E obvio que este sistema nao possui solucao e, daı,

S = ∅.

5

6 CAPITULO 1. INTRODUCAO

No caso geral, isto e, uma equacao do tipo

ax = b

com a, b numeros reais, teremos:

S = {b/a}, solucao unica se , a 6= 0

S = R, infinitas solucoes se, a = b = 0

S = ∅, nenhuma solucao se, a = 0 e b 6= 0.

1.2 Equacoes Lineares a Duas Incognitas

Vejamos alguns exemplos de equacoes lineares do tipo

ax+ by = c

com a, b e c numeros reais fixados, isto e, as chamadas equacoes lineares a duas incognitas.

Exemplo 1.4. Resolver a equacao linear

2x+ 3y = 1. (1.1)

Isolando y, poderıamos tambem optar por isolar x, teremos,

y =1− 2x

3

e, portanto, segue

S = {(x, 1− 2x

3), x ∈ R}.

Note que, como a equacao e de duas incognitas, cada solucao, se existir, sera dada por um parordenado (x, y). Neste caso, a equacao possui infinitas solucoes, isto e, para cada x escolhido,obtemos y = 1−2x

3tal que (x, y) seja solucao da equacao. Se fizermos, por exemplo, x = 1,

obtemos y = −1/3 e, daı, o par (1,−1/3) que e uma solucao da equacao. Note que o par(−1/3, 1) nao e uma solucao para a equacao (1.1)!

Atencao: Resolver uma equacao e determinar todas as suas solucoes, isto e, seuconjunto solucao e nao somente algumas solucoes.

Exemplo 1.5. Resolver a equacao0x+ 0y = 1.

E claro que nao temos solucao para esta equacao e, portanto, teremos S = ∅.

No caso geral, para uma equacao linear a duas incognitas, isto e, equacoes do tipo

ax+ by = c (1.2)

1.3. O CASO GERAL 7

teremos:

Se a 6= 0 o conjunto solucao sera S = {( c−bya, y); y ∈ R}. (infinitas solucoes)

Se b 6= 0 o conjunto solucao sera S = {(x, c−axb

); x ∈ R}. (infinitas solucoes)

Se a = b = c = 0, teremos que qualquer par (x, y) e solucao, isto e, S = R2. (infinitassolucoes)

Se a = b = 0 e c 6= 0, teremos S = ∅.( nenhuma solucao)

Note que uma equacao a duas incognitas nunca tera solucao unica!

Observacao 1.6. Na equacao (1.2) quando a e b sao nao nulos, isto e, a e b sao diferentesde zero, isolando x ou y, teremos o conjunto solucao dado, respectivamente, por

S = {(c− bya

, y); y ∈ R} ou S = {(x, c− axb

); x ∈ R}.

Aparentemente os dois conjuntos sao diferentes mas eles so diferem pela forma como explicita-mos seus elementos. No primeiro conjunto ao escolhermos y determinamos o correspondentevalor de x, isto e, escolhemos y para variavel livre. No segundo conjunto ao escolhermos xdeterminamos o correspondente valor de y, ou seja, escolhemos x para variavel livre, mas aopercorremos todo o conjunto dos numeros reais, escolhendo y no primeiro ou x no segundoteremos a igualdade entre os dois conjuntos. O conceito de varavel livre ficara mais claro nasproximas secoes.

1.3 O Caso Geral

Partindo dos exemplos acima introduzimos o conceito de equacao linear a n incognitas, ouseja:

Definicao 1.7. Chamamos equacao linear a n incognitas qualquer equacao do tipo

ax1 + ax2 + ax3 + . . .+ axn = b (1.3)

Na equacao (1.3) os numeros a1, a2, . . . , an sao numeros reais conhecidos chamados os coefi-cientes da equacao. O numero conhecido b e chamado termo independente ou termo constanteda equacao. Como nos exemplos acima, para equacoes a duas incognitas x1 e x2, geralmente,sao substitıdos por x e y. O mesmo vale para equacoes a tres incognitas, onde x1, x2 e x3 saosubstituıdos, respectivamente, por x, y e z. Para equacoes a mais de tres incognitas, a fimde evitar ambiguidade, e mais simples indexarmos as incognitas, isto e, escrever a equacao naforma (1.3). Uma solucao para a equacao (1.3) sera qualquer enupla (x1, x2, . . . , xn) satisfa-zendo

ax1 + ax2 + ax3 + . . .+ axn = b.

Salientamos que uma enupla e considerada sempre ordenada, isto e, por exemplo, (1, 2, 4, 3) 6=(2, 1, 4, 3). Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1.8. (1, 2, 1, 0) e uma solucao para a equacao

x1 − x2 − x3 + x4 = 0?


Como 1−2−1 + 0 = −2 6= 0 temos que (1, 2, 1, 0) nao e uma solucao da equacao proposta.

Exemplo 1.9. (2, 1, 1, 0) e uma solucao para a equacao

x1 − x2 − x3 + x4 = 0?

Como 2− 1− 1 + 0 = 0 temos que (2, 1, 1, 0) e uma solucao da equacao proposta.


x− 2y + z = 1.

Como em exemplos anteriores, isolando x, temos

x = 1 + 2y − z.

Logo, vem

S = {(1 + 2y − z, y, z); y, z ∈ R}.

Note que escolhemos y e z para variaveis livres. Uma solucao pode ser explicitada tomandoy = z = 1 e obtendo, daı, x = 2. Logo, temos que (2, 1, 1) e uma solucao da equacao proposta.

Ainda que ja tenhamos mencionado, voltamos a enfatizar que resolver umaequacao significa determinar todas as suas solucoes, isto e, seu conjunto solucao enao somente uma ou algumas solucoes particulares.


x− 2y + z + 0w = 1.

Note que esta equacao, diferentemente da anterior, possui 4 incognitas e, portanto, qualquersolucao, se existir, devera ter 4 numeros. Ao isolarmos x teremos

x = 1 + 2y − z − 0w = 1 + 2y − z.

O conjunto solucao sera, entao,

S = {(1 + 2y − z, y, z, w); y, z, w ∈ R}.

Note que no exemplo anterior poderıamos optar por isolar y ou z mas naopoderıamos isolar w, isto e, w sera sempre uma varavel livre!

1.4 Sistemas Lineares de Duas Equacoes a Duas Incognitas

Vejamos, agora, sistemas de duas equacoes e duas incognitas ou sistemas 2× 2, sistemas estesja trabalhados no ensino medio.

1.4. SISTEMAS LINEARES DE DUAS EQUACOES A DUAS INCOGNITAS 9

Exemplo 1.12. Resolver o sistema {3x+ y = 5x+ 2y = 5

Comumente, temos dois metodos para resolver tais sistemas, quais sejam, substituicao e eli-minacao.

Usando substituicao, teremos, isolando y na primeira equacao e substituindo na segunda

y = 5− 3x⇒ x+ 2(5− 3x) = 5⇒ x+ 10− 6x = 5⇒ −5x = −5⇒ x = 1. Retornando ay = 5− 3x obtemos y = 2. Logo, o conjunto solucao sera S = {(1, 2)}.( Solucao unica)

O metodo de eliminacao consiste em eliminar uma equacao. Por exemplo, multiplicando asegunda equacao por −3, obtemos o sistema{

3x+ y = 5−3x− 6y = −15

Note que este sistema e equivalente ao sistema inicial, isto e, ambos possuem o mesmo conjuntosolucao. Somando as duas equacoes deste sistema, obtemos a equacao

−5y = −10,

a qual nos leva a y = 2 e, consequentemente, x = 1. Finalmente, temos

S = {(1, 2)}. (Solucao unica!)

Exemplo 1.13. Resolver o sistema {3x+ y = 5x+ 1

3y = 5

3

Usando substituicao, tal como fizemos no exemplo anterior, teremos

y = 5− 3x⇒ x+1

3(5− 3x) =

5

3⇒ 3x+ 5− 3x = 5⇒ 0x = 0.

Cientes de que qualquer numero real e solucao da equacao 0x = 0 somos levados a concluirque x pode ser qualquer valor, desde que y = 5− 3x e, portanto, o conjunto solucao sera

S = {(x, 5− 3x);x ∈ R} (Infinitas solucoes)!.

Abordemos, ainda, um terceiro exemplo.

Exemplo 1.14. Resolver o sistema {3x+ y = 5x+ 1

3y = 4

3

Novamente, usando substituicao, teremos,

y = 5− 3x⇒ x+ 13(5− 3x) = 4

3⇒ 3x+ 5− 3x = 4⇒ 0x = −1. Logo, nao existe valor de

x que satisfaca o sistema e, portanto, teremos

S = ∅.


Por razoes que se tornarao obvias mais tarde, introduziremos uma outra forma de escrevero sistema estudado no exemplo (1.12), qual seja, a notacao matricial. Ao longo do nosso curso,quase sempre, estaremos escrevendo o sistema (1.12) na forma matricial, qual seja,(

3 11 2

)(xy

)=

(55

)Tratemos, agora, o caso geral de um sistema 2 × 2, isto e, um sistema de 2 equacoes e 2

variaveis. Para tanto, consideremos o sistema{ax+ by = cex+ fy = d

(1.4)

onde supomos a, b, c, d, e, f numeros reais fixados com a 6= 0.

Em notacao matricial, terıamos(a be f

)(xy

)=

(cd

)(1.5)

Usando substituicao e lembrando que a 6= 0, teremos

x =c− bya

e, daı, vem

e( c−bya

) + fy = d ⇒ ec − eby + afy = ad ⇒ (af − eb)y = ad − ec. Supondo af − eb 6= 0,teremos,

y =ad− ecaf − eb

,

o que nos leva a

x =c− b( ad−ec

af−eb)

a=caf − ceb− bad+ bec

a(af − eb)=cf − bdaf − eb

.

Note que tanto y quanto x possuem para denominadores o numero af − eb, numero este que

sera denominado determinante da matriz

(a be f

)e indicado por

det

(a be f

)ou

∣∣∣∣ a be f

∣∣∣∣ .Note que, desta forma, teremos,

ad− ec = det

(a ce d

)e cf − bd = det

(c bd f

).

Doravante, um sistema de duas equacoes a duas incognitas, sistema 2× 2, no caso geral, serasempre escrito na forma {

a11x1 + a12x2 = b1a21x1 + a22x2 = b2

(1.6)

1.4. SISTEMAS LINEARES DE DUAS EQUACOES A DUAS INCOGNITAS 11

onde a11, a12, a21, a22, b1, b2 sao numeros reais fixos e x1, x2 sao as incognitas. Em notacaomatricial teremos (

a11 a12a21 a22

)(x1x2

)=

(b1b2

). (1.7)

Um arranjo retangular de quatro numeros do tipo

(a11 a12a21 a22

)sera dito a matriz principal

do sistema (1.6), ou matriz dos coeficientes e a matriz(a11 a12 b1a21 a22 b2

)(1.8)

sera dita matriz ampliada ou aumentada do sistema (1.6). A matriz principal e uma matriz2 × 2, duas linhas e duas colunas. A matriz ampliada e uma matriz 2 × 3, duas linhas e trescolunas.

Usando a notacao matricial e supondo o determinante da matriz principal nao nulo, asolucao do sistema (1.6) sera dada por

x1 =

∣∣∣∣ b1 a12b2 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ =b1a22 − a12b2a11a22 − a12a21

(1.9)

e

x2 =

∣∣∣∣ a11 b1a21 b2

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ =b2a11 − a21b1a11a22 − a12a21

. (1.10)

Nosso objetivo, a seguir, sera desenvolver os conceitos acima para sistemas lineares gerais.

CONCLUSAO: Se um sistema 2 × 2 tem o determinante da matriz principaldiferente de zero, ele possui solucao unica que pode ser obtida atraves de (1.9) e(1.10).

ATENCAO: Esta solucao via determinantes so e aplicavel se o determinanteda matriz principal e diferente de zero!

Exemplo 1.15. Escrever cada sistema abaixo na notacao matricial e resolve-lo usando deter-minantes.

(a)

{3x+ y = 8−x+ y = −15

(b)

{3x+ 5y = 07x+ 6y = 20

.

(a) Usando (1.6) e (1.7), em notacao matricial, teremos(3 1−1 1

)(xy

)=

(8−15

).

Determinamos, agora, o determinante da matriz principal, qual seja

det

(3 1−1 1

)= 3.1− (−1).1 = 4.


A solucao e finalizada usando (1.9) e (1.10), isto e, temos

x =

det

(8 1−15 1

)4

=8− (−15)

4=

23

4e

y =

det

(3 8−1 −15

)4

=3.(−15)− 8.(−1)

4=−37

4.

Logo, vemS = {(23/4,−37/4)}.

(b) De maneira analoga ao item anterior, teremos, em notacao matricial(3 57 6

)(xy

)=

(020

).

O determinante da matriz principal e dado por

det

(3 57 6

)= 3.6− 5.7 = −17.

Novamente, usando (1.9) e (1.10), finalizamos a solucao fazendo

x =

det

(0 520 6

)4

=0.6− 5.20

−17=−100

−17=

100

17e

y =

det

(3 07 20

)−17

=3.20− 0.7

−17=

60

−17= −60

17.

LogoS = {(100/17,−60/17)}.

Observacao 1.16. Observamos que, tal como nos exemplos acima, um sistema linear sempretera:

(a) Solucao unica, quando sera dito possıvel e determinado ou, simplesmente, determinado

ou

(b) Infinitas solucoes, quando sera dito possıvel e indeterminado ou, simplesmente, inde-terminado

ou

(c) Nenhuma solucao, quando sera dito impossıvel.

Discutir um sistema linear significa classifica-lo quanto a determinado, indeterminado ouimpossıvel sem, necessariamente, determinar seu conjunto solucao.

1.5. EXERCICIOS RESOLVIDOS 13

1.5 Exercıcios Resolvidos

Exercıcio Resolvido 1. Discutir o sistema{ax = 33x = a

.

Solucao. Observe que, independente do valor de a, a segunda equacao tera solucao unica dadapor

x =a

3.

Logo, o sistema tera solucao, que sera unica, se a/3 e tambem solucao da primeira equacao,isto e, se

a.a

3= 3

ou, ainda,a2 = 9.

Logo, o sistema sera possıvel e determinado, isto e, tera solucao unica se a = ±3 e seraimpossivel, isto e, nao tera solucao se a 6= 3 e a 6= −3. Note que nao existe valor para a quetorne o sistema indeterminado!

Exercıcio Resolvido 2. Usando determinantes, resolva o sistema{3x+ 2y = 57x− y = 3

.

Solucao. Usando (1.9) teremos

x =

det

(5 23 −1

)(

3 27 −1

) =5.(−1)− 3.2

3.(−1)− 2.7=−11

−17=

11

17.

Usando, agora, (1.10), teremos

y =

det

(3 57 3

)(

3 27 −1

) =3.3− 5.7

3.(−1)− 2.7=−26

−17=

26

17.

Logo, vemS = {(11/17, 26/17)}.

Exercıcio Resolvido 3. Discutir o sistema{x−my = 7mx+ y = 3

.


Solucao. Inicialmente determinemos o determinante da matriz principal, qual seja,

det

(1 −mm 1

)= 1.1−m.(−m) = 1 +m2.

Como, independente do valor de m, o determinante da matriz principal e nao nulo, somoslevados a concluir que o sistema possui solucao unica para qualquer valor de m.

Exercıcio Resolvido 4. Discutir o sistema{x+my = 7mx+ y = 3

.

Solucao. Inicialmente, novamente, determinemos o determinante da matriz principal, isto e,

det

(1 mm 1

)= 1.1−m.(m) = 1−m2.

Note que o determinante da matriz principal e nao nulo se 1 − m2 6= 0, isto e, m 6= 1 em 6= −1. O que dizer nos casos de m = 1 ou m = −1? O mais simples e verificar o sistemaem cada um destes casos. Se m = 1, o sistema sera{

x+ y = 7x+ y = 3

que claramente nao possui solucao. Se m = −1 o sistema sera{x− y = 7x− y = −3

ou, ainda,

{x− y = 7−x+ y = 3

que nao possui solucao. Logo, temos:

Para m = ±1 o sistema sera impossıvel.

Para m 6= 1 e m 6= −1 o sistema sera possıvel e determinado.

Exercıcio Resolvido 5. Discutir o sistema{x+my = 7mx+ y = −7

.

Solucao. Mais uma vez determinemos o determinante da matriz principal, qual seja,

det

(1 mm 1

)= 1.1−m.(m) = 1−m2.

Tal como no item anterior o determinante da matriz principal e nao nulo se 1−m2 6= 0, istoe, m 6= 1 e m 6= −1. Agora, o que dizer nos casos de m = 1 ou m = −1? Se m = 1, o sistemasera {

x+ y = 7x+ y = −7

1.5. EXERCICIOS RESOLVIDOS 15

que claramente nao possui solucao. Se m = −1 o sistema sera{x− y = 7−x+ y = −7

.

Note que a segunda equacao e simplesmente a primeira multiplicada por −1 e, portanto, osistema se reduz a primeira equacao que possui infinitas solucoes. Logo, temos:

Para m = 1 o sistema sera impossıvel.

Para m = −1 o sistema sera indeterminado.

Para m 6= 1 e m 6= −1 o sistema sera possıvel e determinado.

Exercıcio Resolvido 6. Usando substituicao, resolva o sistema−2x+ 3y − z = 1x+ 2y − z = 4−2x− y + z = −3

.

Solucao. Neste caso temos que isolar uma das incognitas em uma equacao e substituir este va-lor nas outras duas, obtendo assim um sistema de duas equacoes a duas incognitas. Escolhendoisolar x na segunda equacao, teremos

x = 4− 2y + z.

Substituindo este valor na primeira equacao vem

−2(4− 2y + z) + 3y − z = 1⇒ 7y − 3z = 9.

Substituindo o mesmo valor de x na terceira equacao teremos

−2(4− 2y + z)− y + z = −3⇒ 3y − z = 5.

Passamos, entao, ao seguinte sistema{7y − 3z = 93y − z = 5

.

Isolando z na segunda equacao teremos

z = 3y − 5

e, substitutindo na primeira, vem

7y − 3(3y − 5) = 9⇒ −2y = −6⇒ y = 3.

Retornando, teremos z = 3.3− 5 = 4 e x = 4− 2.3 + 4 = 2. Logo, vem

S = {(2, 3, 4)}.


1.6 Exercıcios Propostos

1. Considere a equacao linear

x1 + 2x2 − 4x2 + x4 = 3.

(a) (3, 2, 1, 0) e uma solucao da equacao?

(b) (4,−2, 1, 3) e uma solucao da equacao?

(c) Determine k para que (4,−2, 1, k) seja solucao da equacao.

2. Usando substituicao, resolva os sistemas:

(a)

x− 3y − z = −6x+ 4y + 7z = 17−x+ 6y + 6z = 19

(b)

x+ 2y + z = 2

3x+ 6y − z = 35x− y − z = 0

(c)

x+ 2y + 2z = 2

2x− 4y + 3z = 23x+ 8y − 2z = 1

3. Use determinantes para resolver os sistemas:

(a)

{x+ y = 6

3x+ 4y = 22(b)

{2x+ y = 5

3x+ 2y = 9(c)

{3x+ 4y = 162x+ 3y = 11

4. Use determinantes para resolver o sistema:

(a)

7x− 2

y= 3

2x

+ 9y

= 67

Sugestao: Faca 1x

= r e 1y

= s.

5. Use determinantes para resolver o sistema:x−my = 7

mx+ y = 3

sendo m ∈ R.

6. Para quais valores de m o sistema{(m− 1)x+ 4y = 2m(m+ 1)x− 2y = 1 + 3m

possui solucao unica? Justifique! Qual a solucao para estes valores de m?

7. Discutir, segundo os valores de a, o sistema:ax+ 3ay = 0

2x+ ay = 4

1.6. EXERCICIOS PROPOSTOS 17

8. Discutir, segundo os valores de a, o sistema:x− y = 2

2x+ ay = b

9. Discutir, segundo os valores de a ou m, os sistemas

(a)

{x+ y = 3

2x+my = 6(b)

{2x+ ay = a6x− 3y = 2

(c)

{−x− 2y = −ax−2x+ ay = y

(d)

{ax− y = 1

(a− 1)x+ 2ay = 4

10. Discutir, segundo os valores de m, o sistema:{mx+ y − 1 = m

x+my = 0

11. Discutir, segundo os valores de a e b, o sistema:{x+ 2y = 1

3x+ ay = b

12. Discutir, segundo os valores de a e b e, quando possıvel, resolver o sistema:{2ax+ 3y = 1x+ 2y = b

13. Discutir, segundo os valores de m e, quando possıvel, resolver o sistema:mx+ y = 1x+ y = 2x− y = m

14. Determine, justificando, os valores de a e b para que o sistema abaixo seja indeterminado.{6x+ ay = 124x+ 4y = b

Capıtulo 2

Matrizes

2.1 Apresentacao

2.1.1 Conceito e exemplos

No que se segue, o termo matriz mxn estara representando um arranjo retangular de m linhashorizontais e n colunas verticais do tipo

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...am1 am2 . . . amn

onde aij sao numeros reais para i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n.

Frequentemente, escreveremos A = (aij), onde aij indica o elemento da matriz A situadona i-esima linha e j-esima coluna. Salientamos que as linhas de uma matriz serao orientadasda esquerda para direita(primeira, segunda e asssim sucessivamente) e as colunas de cima parabaixo. Se uma matriz A possui m linhas e n colunas, ela sera dita uma matriz de ordemm× n(m por n) e indicaremos, neste caso, Am×n.

Exemplo 2.1. Escrever a matriz A3×3 = (aij) onde aij = i2 − j2

Sendo a matriz 3× 3 sera do tipo a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.

Logo,teremos

a11 = 12 − 12 = 0 a12 = 12 − 22 = −3 a13 = 12 − 33 = −8a21 = 22 − 12 = 3 a22 = 22 − 22 = 0 a23 = 22 − 32 = −5a31 = 32 − 12 = 8 a32 = 32 − 22 = 5 a33 = 32 − 32 = 0

19

20 CAPITULO 2. MATRIZES

e, portanto,

A =

0 −3 −83 0 −58 5 0

.

Observacao 2.2. 1. Uma matriz A sera dita quadrada de ordem n, se possui n linhas e ncolunas sendo indicada por An, isto e,

An =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...an1 an2 . . . ann

.

Neste caso, a diagonal principal de A e formada pelos numeros a11, a22, . . . , ann. Ja adiagonal secundaria sera formada pelos numeros a1n, a2(n−1)a3(n−2), . . . , an1.

2. Uma matriz sera dita dita matriz nula se todos seus elementos sao iguais a zero. Amatriz nula de ordem m × n sera indicada por 0m×n. Ja a matriz quadrada nula deordem n sera indicada por 0n.

3. Chamaremos matriz identidade de ordem n a matriz quadrada In = (aij) tal que

aij =

{1, i = j0 i 6= j

,

isto e, os elementos da diagonal principal sao iguais a 1 e os elementos fora dela saonulos.

4. Matrizes 1 × n ou n × 1 serao chamadas matriz linha e matriz coluna de ordem n,respectivamente.

5. Duas matrizes A e B de ordem m × n serao ditas iguais se aij = bij ∀ 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤j ≤ n.

Exemplo 2.3. (a) Escrever a matriz nula de ordem 3× 2 (b) Escrever a matriz identidade deordem 4.

Teremos

03×2 =

0 00 00 0

I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

.

Definicao 2.4. Uma matriz quadrada A = (aij) tal que todos os elementos da diagonal prin-cipal sao iguais a um numero c e todos os elementos fora desta sao iguais a zero e dita umamatriz escalar, isto e,

A = (aij) e uma matriz escalar ⇔ aij = 0 se i 6= j e aij = c se i = j.

2.1. APRESENTACAO 21

Veja a seguir.

A =

c 0 0 · · · 00 c 0 · · · 0...

. . ....

...0 0 0 · · · c

2.1.2 Exercıcios Propostos

1. Sejam A =

(2 −3 56 −5 4

), B =

4−35

e C =

7 3 2−4 3 56 1 −1

. Determine :

(a) a12, a22, a23

(b) b11, b31

(c) c13, c31, c33

2. Escreva a matriz A3×3 = (aij) tal que aij = i2 − 1.

3. Escreva a matriz A4×4 = (aij) tal que

aij =

i+ j, se i < j

1, se i = j0, se i > j

.

4. Quais as possıveis ordens de uma matriz com 6 elementos?

5. Exiba um exemplo de uma matriz escalar de ordem 5.

6. Se (a+ 2b 2a− b2c+ d c− 2d

)=

(4 −24 −3

)determine a, b, c e d.

7. Determine x, y, a, b se (x+ y a+ bx− y a− b

)=

(5 −11 3

).


2.2 Operacoes com Matrizes

2.2.1 Soma e Multiplicacao por Escalar

Definicao 2.5. Sejam as matrizes A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...am1 am2 . . . amn

e B =

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...

......

...bm1 bm2 . . . bmn

.

Definimos a soma A+B como a matriz C dada por

C =

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1na21 + b21 a22b22 . . . a2n + b2n

......

......

am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

,

isto e, a soma de duas matrizes e obtida somando os elementos correspondentes.

Se λ e um numero real definiremos, ainda, o produto de λ por A ou A por λ, como sendoa matriz

D = λA = Aλ =

λa11 λa12 . . . λa1nλa21 λa22 . . . λa2n

......

......

λam1 λam2 . . . λamn

,

isto e, o produto de um numero por uma matriz e obtido multiplicando todos seus elementospor este numero.

Definimos, ainda, A−B = A+ (−B) e, consequentemente,

A− λB = A+ (−λ)B = A+ λ(−B).

Exemplo 2.6. (a) Determine uma matriz X tal que

2

1 2 30 −1 13 2 1

+ 3X =

4 5 32 1 87 0 2

.

Uma primeira solucao sria observar que a matriz X deve ser uma matriz quadrada deordem 3, isto e, X e uma matriz do tipo

X =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.

Portanto, devemos ter

2

1 2 30 −1 13 2 1

+ 3

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

=

4 5 32 1 87 0 2

,

2.2. OPERACOES COM MATRIZES 23

isto e, 2 + 3a11 4 + 3a12 6 + 3a133a21 −2 + 3a22 2 + 3a23

6 + 3a31 4 + 3a32 2 + 3a33

=

4 5 32 1 87 0 2

o que nos leva aos sistemas

2 + 3a11 = 44 + 3a12 = 56 + 3a13 = 3

3a21 = 2−2 + 3a22 = 12 + 3a23 = 8

6 + 3a31 = 74 + 3a32 = 02 + 3a33 = 2

Terminarıamos, agora, resolvendo os sistemas.

Um segundo solucao, bem mais simples seria fazer

2

1 2 30 −1 13 2 1

+ 3X =

4 5 32 1 87 0 2

.⇒

2 4 60 −2 26 4 2

+ 3X =

4 5 32 1 87 0 2

⇒⇒ 3X =

4 5 32 1 87 0 2

− 2 4 6

0 −2 26 4 2

⇒ 3X =

2 1 −32 3 61 −4 0

. Portanto, teremos,

X =1

3

2 1 −32 3 61 −4 0

=

2/3 1/3 −12/3 1 21/3 −4/3 0

.

Observacao 2.7. E simples verificar que a soma de matrizes e o produto de matrizes por umnumero real verificam as seguintes propriedades:

1) A+B = B + A

2) (A+B) + C = A+ (B + C)

3) A matriz nula 0( aij = 0 ∀ i, j ) e tal que A+ 0 = 0 + A = A

4) Dada uma matriz A existe a matriz −A tal que A+ (−A) = 0

5) λ(A+B) = λA+ λB

6) (λ1 + λ2)A = λ1A+ λ2A

7) (λ1λ2)A = λ1(λ2A)

8) 1A = A

Exemplo 2.8. Resolver o sistema matricial, isto e, determine matrizes X, Y tais que3X + 4Y =

(2 30 −1

)5X − 6Y =

(0 12 −1

) .

Multiplicando a primeira equacao por 3 e a segunda por 2 somos levados ao seguinte sistema


9X + 12Y =

(6 90 −3

)10X − 12Y =

(0 24 −2

) .

Note que o dois sistemas possuem as mesmas solucoes! (Simples ver?) Continuando,somamos as duas equacoes, obtendo

19X =

(6 114 −5

).

Obtemos, agora, tal como no exemplo anterior

X =1

19

(6 114 −5

)=

(6/19 11/194/19 −5/19

).

Retornando a pimeira equacao do sistema inicial, teremos

4Y =

(2 30 −1

)−4X ⇒ Y =

1

4

((2 30 −1

)− 4

(6/19 11/194/19 −5/19

))=

(7/38 13/76−4/19 1/76

).

Definicao 2.9. Dada uma matriz A = (aij), chamamos transposta de A a matriz AT = A′ =(aji), isto e, as linhas de AT sao as colunas de A e vice-versa.

Exemplo 2.10. (a) Determine a matriz AT sendo

A =

(2 3 22 4 5

).

Pela definicao anterior e simples ver que

AT =

2 23 42 5

.

(b) Sendo A =

(1/2 10 −1

)e B =

(−1 3√

5 7

), determine:

b.1) (A+B)T b.2) AT +BT

(b.1) Teremos

((1/2 10 −1

)+

(−1 3√

5 7

))T

=

(−1/2 4√

5 6

)T

=

(−1/2

√5

4 6

).

(b.2) Temos

AT +BT =

(1/2 10 −1

)T

+

(−1 3√

5 7

)T

=

(1/2 01 −1

)+

(−1

√5

3 7

)=

(−1/2

√5

4 6

).


Observacao 2.11. E simples ver que

1. (A+B)T = AT +BT

2. (λA)T = λAT

3. (AT )T = A


1. Determine os numeros reais x, y, z, w tais que(x+ 1 3

8 z − 1

)+

(2 yw 0

)=

(2x 35 1

).

2. Sendo J =

1 1 11 1 11 1 1

, determine a matriz X tal que −4(X − I2) = X + J.

3. Determine as matrizes X e Y tais queX + Y =

(1 12 2

)

X − Y =

(2 21 1

)

4. Sendo A =

1 −1 32 5 −14 3 2

e B =

0 0 −17 11 05 −3 4

, determine:

(a) A+B (b)B − A

5. Determine os numeros reais x, y sabendo-se que(x2 xy y

)+

(0 −x−y 0

)= I2.

6. Considerando as matrizesA =

2 2 22 1 −31 0 4

, B =

3 3 33 0 56 9 −1

e C =

4 4 45 −1 07 8 1

(a) Determine A− 6B − 2C

(b) Resolva a equacao matricial

1

2(X + A) = 3(X + (2X +B)) + C


7. Determine matrizes X e Y tais que

X + Y =

(1 23 4

)e X − Y =

(1 00 0

).

8. Considerando as matrizes I3 e 03 as matrizes identidade e nula de ordem 3, respectiva-mente, determine matrizes X e Y tais que{

X + 2Y = I32X − Y = 03

9. Existem numeros reais λ1, λ2 tais que(4 10 −3

)= λ1

(1 00 1

)+ λ2

(1 00 0

)? Justifique!

10. Determine a soma da matrizes de ordem 3 A = (aij) e B = (bij) satisfazendo aij = i2+j2

e bij = 2ij.

11. Determine numeros reais x, y tais que(y3 3xy2 4x

)+

(−y x2

2y x2

)+

(−1 12 2

)=

(1

10 −1

).

12. Se A =

(1 72 6

), B =

(2 14 3

)e C =

(0 22 0

), determine X em cada equacao abaixo.

(a) 2X + A = 3B + C (c) 3X + A = B −X

(b) X + A = 1/2(B − C) (d) 1/2(X − A−B) = 1/3(X − C)

13. Resolver o sistema {X + Y = 3AX − Y = 2B

sendo A =

(2 00 4

); e B =

(1 53 0

).

14. Resolver o sistema {X + Y = AX − Y = B

sendo A =(1 4 7

)e B =

(2 1 5

).

15. Resolver o sistema {2X + 3Y = A+B3X + 4Y = A−B

sendo A =

139

e B =

250

.


2.2.3 Multiplicacao de Matrizes

Definicao 2.12. Considere A =(a11 a12 . . . a1n

)eB =

b11b21...bn1

matrizes linha e coluna

de ordem n, repectivamente. Definimos o produto AB como

a matriz quadrada D = AB de ordem 1 dada por

D = AB = (a11b11 + a12b21 + . . .+ a1nbn1) .

Exemplo 2.13. Sendo A =(

1 −1 0)

e B =

1/302

, determine:

(a) AB (b)BTAT

(a) AB =(

1 −1 0).

1/302

= (1/3 + 0 + 0) = (0).

(b) BTAT =(

1/3 0 2).

1−10

= (1/3 + 0 + 0) = (0).

No caso geral, temos a definicao:

Definicao 2.14. Sejam as matrizes Am×p =

a11 a12 . . . a1pa21 a22 . . . a2p...

......

...am1 am2 . . . amp

=

L1

L2...Lm

e

Bp×n =

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...

......

...bp1 bp2 . . . bpn

=(C1 C2 . . . Cn

). Definimos o produto AB como a

matriz

D de ordem m× n dada por

D = AB =

L1C1 L1C2 . . . L1Cn

L2C1 L2C2 . . . L2Cn...

......

...LmC1 LmC2 . . . LmCn

,

isto e,

D = (dij), onde dij = LiCj = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ aipbpj.


Note que o produto de matrizes so e possıvel se o numero de colunas da primeirae igual ao numero de linhas da segunda! Ao multiplicarmos uma matriz de ordemm× p por outra de ordem p× n obtemos uma matriz de ordem m× n, isto e,

Am×p.Bp×n = Dm×n.

Exemplo 2.15. Observe os exemplos abaixo:

(a)

(1 10 1

).

(0 01 1

)=

(1.0 + 1.1 1.0 + 1.10.0 + 1.1 0.0 + 1.1

)=

(1 11 1

)(b)

(0 01 1

).

(1 10 1

)=

(0.1 + 0.0 0.1 + 0.11.1 + 1.0 1.1 + 1.1

)=

(0 01 2

)

(c)

(1 2 −13 1 4

).

−2 54 −32 1

=

(1.− 2 + 2.4 +−1.2 1.5 + 2.− 3 +−1.13.− 2 + 1.4 + 4.2 3.− 2 + 1.4 + 4.2

)=

(4 −26 6

).

Nao nos preocuparemos em demonstrar, mas e possıvel verificar que, podendo efetuar asoperacoes, as seguintes propriedades sao verdadeiras:

1. (AB)C = A(BC)

2. A(B + C) = AB + AC e (B + C)A = BA+ CA

3. (AB)t = BtAt

4. An×nIn = InAn×n = An×n

5. Am×p0p×n = 0m×n

Observacao 2.16. 1. Note que nem sempre AB = BA! Verifique para as matrizes A =(1 00 0

)e B =

(0 −10 1

)Note ainda o exemplo anterior, itens (a) e (b).

2. Se o produto de duas matrizes e a matriz nula, nao podemos comcluir que uma delas e a

matriz nula. Verifique para as matrizes A =

(1 00 0

)e B =

(0 00 1

)3. Para produto de matrizes nao vale a lei do cancelamento, isto e, da igualdade AB = AC

nao podemos comchuir que B = C. Verifique que AB = AC, sendo

A =

1 2 01 1 0−1 4 0

, B =

1 2 31 1 −12 2 2

e C =

1 2 31 1 −11 1 1

4. Sendo A uma matriz n× n e p um numero natural, definimos,

A0 = In e Ap = AA . . . A(p vezes).


5. Diremos que duas matrizes A e B comutam se AB = BA.

6. Se p(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0 e um polinomio com coeficientes reais e A euma matriz quadrada, definimos,

p(A) = anAn + an−1A

n−1 + . . .+ a1A+ a0I

onde I e a matriz identidade da mesma ordem de A. Se p(A) e a matriz nula dizemosque A e um zero do polinomio p(x).

Exemplo 2.17. Sendo f(x) = 3x2 + 5x+ 2 e A =

(1 −10 2

), determine f(A).

Teremos

f(A) = 3

(1 −10 2

)2

+ 5

(1 −10 2

)+ 2

(1 00 1

)=

= 3

(1 −30 2

)+

(5 −50 10

)+

(2 00 2

)=

(10 −140 18

).

Exemplo 2.18. Sendo A =

(1 23 −4

)e g(x) = x2 + 3x− 10, teremos

g(A) = A2 + 3A− 10I2 =

(1 23 −4

)2

+ 3

(1 23 −4

)− 10

(1 00 1

)=

=

(7 −6−9 22

)+ 3

(1 23 −4

)− 10

(1 00 1

)=

(0 00 0

).

Temos, entao, que a matriz

(1 23 −4

)e um zero do polinomio g(x) = x2 + 3x− 10.

2.2.4 Exercıcios Resolvidos

Exercıcio Resolvido 7. Verifique que para quaisquer numeros reais a, b.c e d as matrizes

A =

(a b−b a

)e B =

(c d−d c

)comutam.

Solucao. Temos

A.B =

(a b−b a

).

(c d−d c

)=

(ac− bd ad+ bc−bc− ad −bd+ ac

)e

B.A =

(c d−d c

).

(a b−b a

)=

(ca− db cb+ da−da− cb −db+ ca

).

Como AB = BA as matrizes comutam.

Exercıcio Resolvido 8. Sendo A =

(1 −11 2

), determine A2, A3 e A4


Solucao. Teremos

A2 =

(1 −11 2

).

(1 −11 2

)=

(1.1 + (1).1 1.(−1) + (−1).21.1 + 2.1 1.(−1) + 2.2

)=

(0 −33 3

);

A3 = A2.A =

(0 −33 3

).

(1 −11 2

)=

(0.1 + (−3).1 0.(−1) + (−3).2

3.1 + 3.1 3.(−1) + 3.2

)=

(−3 −66 3

);

A4 = A3.A =

(−3 −66 3

).

(1 −11 2

)=

(−3.1 + (−6).1 −3.(−1) + (−6).2

6.1 + 3.1 6.(−1) + 3.2

)=

(−9 −99 0

).

Exercıcio Resolvido 9. Determine todas as matrizes do tipo

(0 ab 0

)que sejam zero do

polinomio p(x) = x3 + x.

Solucao. Teremos

A2 = A.A =

(0 ab 0

).

(0 ab 0

)=

(0.0 + a.0 0.a+ a.0b.0 + 0.b b.a+ 0.0

)=

(ab 00 ab

)e

A3 = A2.A =

(ab 00 ab

).

(0 ab 0

)=

(ab.0 + 0.b ab.a+ 0.00.0 + ab.b 0.a+ ab.0

)=

(0 a2bab2 0

). Logo, vem

A3 + A =

(0 a2bab2 0

)+

(0 ab 0

)=

(0 a2b+ aab2 0

). Como devemos ter A3 + A = 0, vem

{a2b+ a = 0ab2 + b = 0

Observe que no sistema acima se a = 0 teremos b = 0 e vice-versa. Portanto, temos umasolucao, qual seja, a = b = 0. Sendo a 6= 0 teremos ab + 1 = 0, isto e, b = −1/a e, daı, asoutras solucoes. Logo as matrizes procuradas sao

A =

(0 00 0

)ou A =

(0 a−1/a 0

); a ∈ R− {0}.

Exercıcio Resolvido 10. Determine ABC, sendo

A =

(1 25 1

), B =

(1 1 13 2 1

)e C =

3 11 02 −1

.

Solucao. AB =

(1 25 1

).

(1 1 13 2 1

)=

(1.1 + 2.3 11.1 + 2.2 1.1 + 2.15.1 + 1.3 5.1 + 1.2 5.1 + 5.1

)=

(7 5 38 7 10

).

Para terminar, fazemos

ABC =

(7 5 38 7 10

).

3 11 02 −1

=

(7.3 + 5.1 + 2.2 7.1 + 6.0 + 3.(−1)8.3 + 7.1 + 10.2 8.1 + 7.0 + 10.(−1)

)=

(32 451 −2

).

Observe que o produto deve ser efetuado na ordem, isto e, A.B.C.


Exercıcio Resolvido 11. Resolver a equacao matricial(a bc d

).

(3 1−2 2

)=

(5 7−5 9

).

Solucao. Como (a bc d

).

(3 1−2 2

)=

(3a− 2b a+ 2b3c− 2d c+ 2d

),

somos levados a (3a− 2b a+ 2b3c− 2d c+ 2d

)=

(5 7−5 9

)e, daı, vem{

3a− 2b = 5a+ 2b = 7

⇒ a = 3; b = 2 e

{3c− 2d = −5c+ 2d = 9

⇒ c = 1; d = 4.

Portanto, a resposta sera (3 21 4

).

Exercıcio Resolvido 12. Determine todas as matrizes B que comutam com A =

(1 −13 0

).

Solucao. Como B e A comutem, B deve ser uma matriz de quadrada de ordem 2, isto e,

B =

(a bc d

)e ,alem disso, AB = BA, isto e,(

1 −13 0

).

(a bc d

)=

(a bc d

).

(1 −13 0

).

Logo, vem (a− c b− d

3a 3b

)=

(a+ 3b −ac+ 3d −c

).

Somos levados a resolucao do sistemaa− c = a+ 3bb− d = −a3a = c+ 3d3b = −c

ou, ainda, 3b+ c = 0a+ b− d = 03a− c− 3d = 03b+ c = 0

Usando as equacoes (1) e (3) temos

c = −3b e d = a+ b

sendo a e b variaveis livres. Portanto, temos

B =

(a b−3b a+ b

)com a, b ∈ R.


Exercıcio Resolvido 13. Determine todas as matrizes X de ordem 2, tais que X2 = 0.

Solucao. Mais uma vez, supomos X =

(a bc d

)e teremos(

a bc d

).

(a bc d

)=

(0 00 0

)ou, ainda, (

a+bc ab+ bdca+ dc cb+ d2

)=

(0 00 0

).

Novamente, temos um sistema, qual sejaa2 + bc = 0b(a+ d) = 0c(a+ d) = 0bc+ d2 = 0

Note que o sistema nao e linear mas e simples resolve-lo.

Usando a segunda equacao, teremos b = 0 ou a + d = 0. Se b = 0, usando a primeirae quarta equacoes, teremos que a = 0 e d = 0 e c pode ser qualquer numero real. Se b 6= 0devemos ter a + d = 0, isto e, d = −a. Usando, agora, a tarceira equacao seremos levadosbc = −a2 ou, ainda, c = −a2/b. Portanto, as matrizes que resolvem o exercıcio sao

X =

(0 0c 0

)com c ∈ R ou

(a b

−a2/b −a

)com; a, b ∈ R.

Exercıcio Resolvido 14. Determine AAT e ATA sendo A =

(1 2 03 −1 4

).

Solucao. Lembramos que AT e a transposta de A, isto e, a matriz obtida tomando como suaslinhas as colunas de A, isto e,

AT =

1 32 −10 4

.

Logo, temos

AAT =

(1 2 03 −1 4

).

1 32 −10 4

=

(1.1 + 2.2 + 0.0 1.3 + 2.(−1) + 0.4

3.1 + (−1).2 + 4.0 3.3 + (−1).(−1) + 4.4

)=

(5 11 26

).

ATA =

1 32 −10 4

.

(1 2 03 −1 4

)=

1 + 9 2− 3 0 + 122− 3 4 + 1 0− 40 + 12 0− 4 0 + 16

=

10 −1 12−1 5 −412 −4 +16

.

Observe que nao so temos AAT 6= ATA como tambem as ordens de AAT e ATA saodiferentes.

Exercıcio Resolvido 15. Sendo A =

(1 24 −3

), determine A2, A3 e f(A) com f(x) = 2x3 −

4x+ 5.


Solucao. Temos

A2 =

(1 24 −3

).

(1 24 −3

)=

(1 + 8 2−4− 12 8 + 9

)=

(9 −4−8 17

).

A3 = AA2 =

(1 24 −3

).

(9 −4−8 17

)=

(9− 16 −4 + 3436 + 24 −16− 51

)=

(−7 3060 −67

).

f(A) = 2A3 − 4A+ 5I2 = 2

(−7 3060 −67

)− 4

(1 24 −3

)+ 5

(1 00 1

)=

=

(−14 60120 −134

)+

(−4 −8−16 12

)+

(5 00 5

)=

(−13 52104 −117

).


1. Resolva a equacao matricial

3X +

(1 12 1

)=

(2 34 1

)+

(−1 −2−2 0

)(1 00 1

).

2. Determinex ∈ R tal que 2 0 70 1 01 2 1

−x −14x 7x0 1 0x 4x −2x

= I3.

3. Se as matrizes

(1 23 0

)e

(a bc d

)comutam, qual a relacao entre a, b, c e d? Justifique!

4. Verifique que −1 −1 −10 1 00 0 1

2

=

0 1 0−1 −1 −10 0 1

3

=

0 1 00 0 1−1 −1 −1

4

= I3.

5. Sendo A =

1 2 22 1 22 2 1

, verifique que

A2 − 4A− 5I = 0.

6. Sendo A =

(1 23 6

), determine uma matriz B2×3 6= 0 tal que AB = 0.

7. Sejam A =

(1 23 2

)e B =

(2 −1−3 4

). Verifique que AB 6= BA.


8. Calcule os seguintes produtos:

(a)

(1 11 2

).

(1 1 21 3 5

).

750

(b)

(1 00 1

).

(2 35 7

).

(−1 01 2

).

(0 11 0

)9. Resolver as equacoes:

(a)

(1 3−2 2

).

(a bc d

)=

(5 7−5 9

)

(b)

a b cd e fg h i

.

1 1 10 1 10 0 1

=

1 0 01 1 02 1 1

10. Sendo A =

(1 −10 2

), qual das matrizes abaixo comutam com A?

B =

(23

), C =

(1 3 24 5 1

),

(0 00 1

), D =

(5 20 3

).

11. Determine, em cada item, as matrizes que comutam com A.

(a) A =

(2 11 0

)(b) A =

(0 11 1

)(c) A =

1 0 01 1 10 1 1

12. Determine todas as matrizes X,quadradas de ordem 2, tais que X2 = I2.

13. Determine todas as matrizes X,quadradas de ordem 2, tais que X2 = X.

14. Seja A =

(2 23 −1

). Determine g(A), sendo g(x) = x2 − x− 8.

15. Considere A =

(5 20 k

). Determine todas os numeros k para os quais A e raız do po-

linomio

(a) f(x) = x2 − 7x+ 10 (b) g(x) = x2 − 25 (c) h(x) = x2 − 4.

16. Sendo B =

(1 026 27

), determine uma matriz A tal que A3 = B.

2.3 Matriz Inversa

Dada uma matriz quadrada A de ordem n, em muitas situacoes, sera importante decidir seexiste uma matriz quadrada B de ordem n tal que

AB = BA = In.

Temos, entao, a definicao.

2.3. MATRIZ INVERSA 35

Definicao 2.19. Uma matriz quadrada An sera dita invertıvel, ou nao singular, se existe umamatriz Bn tal que

AnBn = BnAn = In.

Uma matriz B satisfazendo AB = BA = I sera dita uma inversa para A. Se nao existeuma matriz B tal que AB = BA = I, a matriz A sera dita nao invertıvel ou singular.


(2 32 2

), verifique que B =

(−1 3/21 −1

)e uma inversa para

A.

Basta notar queA.B = B.A = I2,

Exemplo 2.21. Determine uma inversa, se possıvel, para a matriz A =

(1 23 4

).

Devemos encontrar uma matriz

(x yz w

)tal que(

1 23 4

).

(x yz w

)=

(x yz w

).

(1 23 4

)=

(1 00 1

).

Mas (1 23 4

).

(x yz w

)=

(x+ 2z y + 2w3x+ 4z 3y + 4w

).

Como devemos ter (x+ 2z y + 2w3x+ 4z 3y + 4w

)=

(1 00 1

), vem

{x+ 2z = 13x+ 4z = 0

e

{y + 2w = 03y + 4w = 1

Resolvendo os sistemas encontramos x = −2, y = 1, z = 3/2 e w = −1/2. Note que(1 23 4

).

(−2 13/2 −1/2

)=

(−2 13/2 −1/2

).

(1 23 4

)=

(1 00 1

).

Logo a matriz

B =

(−2 13/2 −1/2

)e uma inversa para A.

Exemplo 2.22. Determine uma inversa, se possıvel, para a matriz A =

(1 22 4

).

Devemos encontrar uma matriz

(x yz w

)tal que(

1 22 4

).

(x yz w

)=

(x yz w

).

(1 22 4

)=

(1 00 1

).


Mas (1 22 4

).

(x yz w

)=

(x+ 2z y + 2w2x+ 4z 2y + 4w

).

Como devemos ter (x+ 2z y + 2w2x+ 4z 2y + 4w

)=

(1 00 1

), vem

{x+ 2z = 12x+ 4z = 0

e

{y + 2w = 02y + 4w = 1

E simples perceber que os sistemas nao possuem solucao, isto e, sao impossıveis. Logo, nestecaso, a matriz A nao possui inversa!

Nas proximas secoes desenvolveremos alguns metodos mais eficazes para se obter a inversade uma matriz.

Observacao 2.23. 1. E possıvel mostrar que se duas matrizes quadradas A,B de mesmaordem sao tais que AB = I, entao BA = I. Logo, se queremos determinar uma inversapara uma matriz A basta buscar uma matriz B de mesma ordem tal que AB = I e, setal matriz existir, ja sera verdade que BA = I.

2. Temos que se uma matriz A possui uma inversa esta e unica e, portanto, se uma matrizA e invertıvel sua inversa sera denotada por A−1. Bem entendido, dada uma matriz Ainvertıvel, A−1 e a unica matriz tal que

AA−1 = A−1A = I.

3. Nao e dificıl verificar que o produto de duas matrizes invertıveis A e B e ainda umamatriz invertıvel e

(AB)−1 = B−1A−1.

Atente para a inversao na ordem da multiplicacao. E simples ver tambem que, sendo Auma matriz invertıvel, a matriz −A e invertıvel e temos

(−A)−1 = −(A−1).

4. Salietamos que a soma de duas matrizes invertıveis nao e necessariamente uma matrizinvertıvel!

5. E sempre bom ter em mente as seguintes propriedades:

(a) (A−1)−1 = A

(b) (AT )−1 = (A−1)T

Exemplo 2.24. Determine, se existir, A−1 sendo A =

(1 32 4

).

2.3. MATRIZ INVERSA 37

Notado que (1 32 4

)=

(1 23 4

)T

pelo item (b) da ultima observacao, teremos(1 32 4

)−1=

((1 23 4

)T)−1

=

((1 23 4

)−1)T

=

(−2 13/2 −1/2

)T

=

(−2 3/21 −1/2

).


(2 11 1

)e B =

(1 23 4

), resolva a equacao matricial

BX = A

isto e, determine uma matriz X tal que BX = A.

Como sabemos que a matriz B possui inversa, multiplicando ambos os lados da equacaopor B−1, teremos

B−1BX = B−1A⇒ X = B−1A =

(−2 13/2 −1/2

).

(2 11 1

)=

(−3 −15/2 1

).


1. A matriz A =

(1 13 4

)e singular? Justifique!

2. Para cada matriz abaixo, determine sua inversa, se existir.

(a)

(L1.7.13

1 3−2 6

)(b)

1 2 30 1 20 0 2

(c)

1 1 1 10 2 −1 20 0 2 10 0 0 2

.

3. Se A−1 =

(2 31 4

), determine A.

4. Se D =

4 0 00 −2 00 0 3

, determine D−1.

5. Resolva a equacao AX = B, sendo

A =

(2 34 1

)e B =

(53

).

6. Sendo A =

(1 24 −1

), verifique que A−1 = 1

9A.

7. Determine A se A−1 =

(2 31 4

).


8. Para cada matriz abaixo, determine A−1, se existir.

(a)A =

0 1 01 0 00 0 1

(b)A =

1 1 10 2 35 5 1

(c)A =

1 −2 −30 −4 40 0 0

.

9. Determine todas as matrizes que comutam com a matriz A =

(1 10 0

).

10. Dizemos que duas matrizes quadradas de mesma ordem nao nulas sao divisores de zerose AB = 0. Mostre que as matrizes

A =

2 −3 −5−1 4 51 −3 −4

e B =

−1 3 51 −3 −5−1 3 5

sao divisores de zero.

11. Resolva o sistema matricial

(2 −10 1

)X +

(−1 23 1

)Y =

(3 27 0

)(

0 13 2

)X +

(2 −31 1

)Y =

(−2 110 11

)

12. Determine a inversa de cada matriz abaixo.A =

(5 64 5

), B =

(2 51 3

), C =

(1 00 2

), D =(

1 −11 1

)13. Resolva a equacao matricial (

3 42 3

).X =

(−1−1

)14. Resolver as equacoes matriciais abaixo.

(a)

(1 21 3

).X =

(138

)(b) X.

(3 42 3

)=

(75

)15. Resolver as equacoes matriciais abaixo.

(a)

1 0 02 1 02 3 1

.X =

572

(b) X.

0 0 10 1 21 2 3

=

−1−3−6

16. SendoA eB matrizes invertıveis de ordem n,isoleX em cada equacao abaixo.(a) AX = B (d) BAX = A(b) AXB = In (e) (AX)T = B(c) (AX)−1 = B (f) (A+X)T = B

2.4. OPERACOES ELEMENTARES SOBRE LINHAS E MATRIZES LINHA REDUZIDAS39

17. Determine X tal que:

(a)

(1 21 3

).X.

(2 33 5

)=

(0 11 0

)(b)

(2 25 5

)+

(1 23 5

).X =

(1 72 7

)

2.4 Operacoes Elementares sobre Linhas e Matrizes Li-

nha Reduzidas

2.4.1 Matrizes linha Equivalentes

Definicao 2.26. Dada uma matriz A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...am1 am2 . . . amn

, aplicar uma operacao ele-

mentar sobre A significa:

1) Permutarmos duas linhas Li e Lj de A, indicado por Li ←→ Lj, ou

2) Multiplicarmos(ou dividirmos) uma linha Li de A por um numero real k diferente de 0,indicado por Li −→ kLi, ou

3) Substituirmos uma linha Li de A pela soma desta mesma linha com uma segunda linhaLj multiplicada por um numero real k diferente de zero, indicado por Li −→ Li + kLj.

Ao aplicarmos qualquer uma dessas operacoes sobre a matriz A, obtemos uma segundamatriz B e diremos que B foi obtida de A atraves da aplicacao de uma operacao elementar.

Exemplo 2.27. Seja A =

(2 −13 4

).

Aplicando a operacao 1 acima as linhas L1 e L2 obteremos a matriz B =

(3 42 −1

), isto e,

A =

(2 −13 4

)L1 ←→ L2

(3 42 −1

)= B.

Dizemos, neste caso, que B foi obtida de A atraves de uma unica operacao elementar.

Exemplo 2.28. Considere a matriz

A =

0 1−1 23 4

.

0 1−1 23 4

L1 ←→ L2

−1 20 13 4

L2 −→ L2 + 3L3

−1 29 133 4

= B.

A matriz B, neste caso, foi obtida de A atraves da aplicacao de duas operacoes elementares.


Observacao 2.29. E interessante destacar que cada operacao na definicao (2.26) possui umaoperacao inversa, isto e, ao aplicarmos uma operacao elementar sobre uma matriz A temosuma operacao do mesmo tipo que retorna a matriz A.

Definicao 2.30. Duas matrizes A e B serao ditas linha equivalentes se B pode ser obtida deA atraves da aplicacao de um numero finito de operacoes elementares sobre A.

Pela observacao (2.29) e claro que se B pode ser obtida de A atraves da aplicacao de umnumero finito de operacoes elementares sobre A, entao A tambem pode ser obtida de B atravesda aplicacao de um numero finito de operacoes elementares sobre B.

Exemplo 2.31. No ultimo exemplo podemos, partindo da matriz B, obter a matriz A, vejamos.

B =

−1 29 133 4

L2 −→ L2 − 3L3

−1 20 13 4

L1 ←→ L2

0 1−1 23 4

= A.

Se duas matrizes quaisquer A e B sao linha equivalentes anotaremos

A ∼ B.

Exemplo 2.32. Determine 3 matrizes distintas que sejam linha equivalentes a matriz

A =

−1 2 20 1 −2−1 2 3

.

Qualquer matriz que possamos obter de A apos aplicarmos um numero finito de operacoeselementares sobre A sera uma resposta. Vejamos: −1 2 2

0 1 −2−1 2 3

L1 ←→ L2

0 1 −2−1 2 2−1 2 3

L2 −→ L2 − 3L1

0 1 −2−1 −1 8−1 2 3

L2 ←→

←→ L3

0 1 −2−1 2 3−1 −1 8

.

As 3 matrizes,

0 1 −2−1 2 2−1 2 3

,

0 1 −2−1 −1 8−1 2 3

e

0 1 −2−1 2 3−1 −1 8

sao linha equi-

valentes a A .

Note que as quatro matrizes sao linha equivalentes duas a duas!

Definicao 2.33. Uma matriz A sera dita linha reduzida a forma em escada, ou que esta naforma canonica linha reduzida ou, ainda, que esta na forma linha reduzida se:

1) O primeiro elemento nao nulo de cada linha nao nula e igual a 1.

2) Toda linha nula ocorre abaixo das linhas nao nulas.

3) Cada coluna que contem o primeiro elemento nao nulo de uma certa linha tem todos osseus outros elementos iguais a zero.


4) Sendo as linhas 1, 2, . . . , p as linhas nao nulas de A e se o primeiro elemento nao nuloda linha i ocorre na coluna ki, i = 1, 2, . . . , p, entao k1 < k2 < . . . < kp. De outra forma,o primeiro elemento nao nulo de cada linha esta a direita do primeiro elemento nao nulo dalinha precedente.

Uma matriz onde (2) e (4) acima estao satisfeitas e dita uma matriz escalonada ou queesta na forma escalonada. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 2.34. Dentre as matrizes abaixo, quais estao na forma escalonada? Quais estao naforma canoninca linha reduzida?

(a)

2 3 2 0 4 5 −60 0 1 1 −3 2 00 0 0 0 0 6 20 0 0 0 0 0 1

(b)

1 2 30 0 10 0 0

(c)

0 1 3 0 0 40 0 0 1 0 −30 0 0 0 1 2

E simples ver que as 3 matrizes satisfazem os itens (2) e (4) da (2.33) e, portanto, estao

na forma escalonada. A matriz do item (a) nao satisfaz os itens (1) e (3), logo nao esta naforma canonica linha reduzida. A matriz do item (b) nao satisfaz o item (3) da definicao(2.33) e, portanto, nao esta na forma linha reduzida. Ja a matriz do item (c) esta na formalinha reduzida.

E bom salientarmos que se uma matriz A esta na forma linha reduzida, entaoela esta na forma escalonada mas a recıproca nem sempre e verdadeira, conformeconstatamos pelos itens (a) e (b) do exemplo anterior.

Observacao 2.35. Sendo A uma matriz, e possıvel mostrar que existe uma unica matrizna forma canonica linha reduzida que seja linha equivalente a A mas, geralmente,existem varias matrizes escalonadas linha equivalentes a A. De outra forma, seformos aplicando operacoes elementares sobre uma matriz A, chegaremos a uma unica matrizna forma canonica linha reduzida ainda que passemos por varias matrizes na forma escalonadalinha equivalentes a A. Reduzir uma matriz A a forma canonica linha reduzida significa,simplesmente, aplicarmos operacoes elementares sobre A ate obtermos uma matriz na formacanonica linha reduzida, matriz esta que e a unica matriz na forma canonica linha reduzidaque e linha equivalente a A. Logo, concluımos que duas matrizes A e B de mesma ordem saolinha equivalentes se, e somente se, sao linha equivalentes a mesma matriz na forma canonicalinha reduzida.

Devemos agora responder a seguinte pergunta:

Pergunta 2.36. Dada uma matriz A, como podemos obter a matriz linha reduzida a formaescada linha equivalente a A? Ou ainda, como reduzir a matriz A a forma canonica linhareduzida?

Os exemplos abaixo nao deixarao duvidas quanto a resposta a esta pergunta.

Exemplo 2.37. Reduzir a matriz

A =

1 2 −32 4 −23 6 −4


a forma canonica linha reduzida.

Fazemos:1 2 −32 4 −23 6 −4

L2 −→ L2−2L1

1 2 −30 0 43 6 −4

L3 −→ L3−3L1

1 2 −30 0 40 0 5

L2 −→ L2

4

1 2 −30 0 10 0 5

L1 −→

−→ L1 + 3L2

1 2 00 0 10 0 5

L3 −→ L3 − 5L2

1 2 00 0 10 0 0

= B.

A matriz B esta na forma canonica linha reduzida e e linha equivalente a A. Note quepoderıamos ter aplicado algumas operacoes simultaneamente.

Exemplo 2.38. As matrizes

A =

(1 20 1

)e B =

(1 02 1

)sao linha equivalentes? Justifique! A ideia e reduzir as duas matries a forma canonica linhareduzida e verificarmos se obtemos a mesma matriz. Vejamos:(

1 20 1

)L1 −→ L1 − 2L2

(1 00 1

).(

1 02 1

)L2 −→ L2 − 2L1

(1 00 1

).

Como obtivemos a mesma matriz, qual seja,

(1 00 1

), chegamos a conclusao de que as

matrizes dadas sao linha equivalentes.

Exemplo 2.39. Determine uma matriz que esteja na forma canonica linha reduzida que sejalinha equivalente a matriz

A =

2 0 01 −1 00 1 3

.

Tal como nos exemplos anteriores teremos: 2 0 01 −1 00 1 3

L1 ←→ L2

1 −1 02 0 00 1 3

L2 −→ L2 − 2L1

1 −1 00 2 00 1 3

L2 −→ L2

2 1 −1 00 1 00 1 3

L1 −→ L1 + L2

L3 −→ L3 − L2

1 0 00 1 00 0 3

L3 −→ L3

3

1 0 00 1 00 0 1

.

Logo, vem 2 0 01 −1 00 1 3

∼ 1 0 0

0 1 00 0 1

.


Exemplo 2.40. Determine uma matriz que esteja na forma canonica linha reduzida que sejalinha equivalente a matriz

B =

1 1 2−2 0 −11 3 5

.

Teremos: 1 1 2−2 0 −11 3 5

L2 −→ L2 + 2L1

L3 −→ L3 − L1

1 1 20 2 30 2 3

L2 −→ L2

2 1 1 20 1 3/20 2 3

L1 −→ L1 − L2

L3 −→ L3 − 2L2

1 0 1/20 1 3/20 0 0

.

Logo 1 1 2−2 0 −11 3 5

∼ 1 0 1/2

0 1 3/20 0 0

.

Exemplo 2.41. As matrizes A =

2 0 01 −1 00 1 3

e B =

1 1 2−2 0 −11 3 5

sao linha equiva-

lentes? Justifique!

Pelos exemplos anteriores, como 2 0 01 −1 00 1 3

∼ 1 0 0

0 1 00 0 1

e

1 1 2−2 0 −11 3 5

∼ 1 0 1/2

0 1 3/20 0 0

temos que as matrizes dadas nao sao linha equivalentes ja que suas formas linha reduzidas

sao distintas.

2.4.2 Matriz Inversa e Linha Equivalencia

Exploramos, agora, a relacao entre matriz linha reduzida e matriz inversa. Lembramos queuma matriz quadrada A de ordem n e dita invertıvel se existe uma matriz quadrada A−1 deordem n, dita inversa de A, tal que

A.A−1 = A−1.A = In.

Temos, entao, o seguinte teorema.

Teorema 2.42. Uma matriz quadrada A sera invertıvel se, e somente se, e linha equivalente amatriz identidade. Alem disso, se apos aplicarmos um numero finito de operacoes elementaressobre A obtemos a matriz identidade entao, partindo da identidade, e aplicando as mesmasoperacoes elementares, obteremos A−1.

Exemplo 2.43. A matriz A =

(1 −12 3

)e invertıvel? Justifique! Temos

44 CAPITULO 2. MATRIZES(1 −12 3

)L2 −→ L2 − 2L1

(1 −10 5

)L2 ←→ L2

5

(1 −10 1

)L1 −→ L1 + L2

(1 00 1

).

Como a matriz A e linha equivalente a matriz identidade, temos que A e invertıvel.

Exemplo 2.44. Determine, se existir, a inversa da matriz

A =

1 1 10 2 35 5 1

.

Como no exemplo anterior, teremos 1 1 10 2 35 5 1

L3 −→ L3 − 5L1

1 1 10 2 30 0 −4

L2 −→ L2

2

1 1 10 1 3/20 0 −4

L1 −→

−→ L1−L2

1 0 −1/20 1 3/20 0 −4

L3 −→ L3

−4

1 0 −1/20 1 3/20 0 1

L1 −→ L1 + 1/2L3

L2 −→ L2 − 3/2L3

1 0 00 1 00 0 1

.

Logo a matriz e invertıvel pois sua forma canonica linha reduzida e a amatriz identidade.Para determinar a sua inversa usamos a segunda parte do ultimo teorema, isto e, partimos daidentidade e aplicamos as mesmas operacoes aplicadas em A, ou seja, fazemos: 1 0 0

0 1 00 0 1

L3 −→ L3 − 5L1

1 0 00 1 0−5 0 1

L2 −→ L2

2

1 0 00 1/2 0−5 0 1

L2 −→

−→ L1 − L2

1 −1/2 00 1/2 0−5 0 1

L3 −→ L3

−4

1 1/2 00 1/2 0

5/4 0 −1/4

L1 −→L2 −→

−→ L1 + 1/2L3

−→ L2 − 3/2L3

13/8 −1/2 −1/8−15/8 1/2 3/8

5/4 0 −1/4

.

Logo,

A−1 =

1 −1/2 0−15/8 1/2 3/8

5/4 0 −1/4

.

Exemplo 2.45. Determine, se existir, a inversa da matriz

A =

1 2 −31 −2 15 −2 −3

.

Temos 1 2 −31 −2 15 −2 −3

L2 −→ L2 − L1

L3 −→ L3 − 5L1

1 2 −30 −4 40 −12 12

L2 −→


−→ L2

−4

1 2 −30 1 −10 −12 12

L1 −→ L1 − 2L2

L3 −→ L3 + 12L2

1 0 −10 1 −10 0 0

.

Observe que a matriz dada nao e linha equivalente a matriz identidada, mas sim a umamatriz que possui uma linha nula e, portanto, A nao e invertıvel.

Definicao 2.46 (Posto ou Caracterıstica de uma Matriz). Seja A uma matriz. Chamaremosposto ou caracterıstica de A, indicado por p(A), o numero de linhas nao nulas de qualquermatriz escalonada linha equivalente a A.

Salientamos que a definicao acima so tem sentido pois e possıvel mostrar que,dada uma matriz A, qualquer matriz escalonada linha equivalente a A possui omesmo numero de linhas nao nulas!

Exemplo 2.47. Determine o posto da matriz A =

(1 13 4

).

Pela definicao anterior para determinar o posto de A devemos escalonar a matriz A, istoe, devemos encontrar uma matriz na forma escalonada que seja linha equivalente a A. Entao,temos:(

1 13 4

)L2 −→ L2−3L1

(1 10 1

). Note que a ultima matriz ja esta na forma escalonada

e, portanto, p(A) = 2.

Exemplo 2.48. Qual o posto da matriz A =

1 2 30 −3 −61 3 2

? Justifique!

Teremos 1 2 30 −3 −61 3 2

L3 −→ L3 − L1

1 2 30 −3 −60 1 −1

L3 −→ L3 + L2

3

1 2 30 −3 −60 0 −3

.

Logo, p(A) = 3.

Exemplo 2.49. Qual o posto da matriz A =

(1 2 32 4 6

)? Justifique!

Novamente, teremos(1 2 32 4 6

)L2 −→ L2 − 2L1

(1 2 30 0 0

)⇒ p(A) = 1.

Exemplo 2.50. Determine a caracterıstica da matriz

A =

1 0 0 00 1 0 00 1 0 00 0 0 1

.

Teremos

46 CAPITULO 2. MATRIZES1 0 0 00 1 0 00 1 0 00 0 0 1

L3 −→ L3 − L2

1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 1

L3 ←→ L4

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 0 0

⇒ p(A) = 3.

Exemplo 2.51. Discuta, segundo os valores de a, a caracterıstica da matriz

A =

1 1 11 a 21 a2 4

.

Temos 1 1 11 a 21 a2 4

L2 −→ L2 − L1

L3 −→ L3 − L1

1 1 10 a− 1 10 a2 − 1 3

.

A fim de obtermos a forma escalonada deverıamos dividir a segunda linha por a − 1 e,portanto, devemos supor a 6= 1. Entao, se a = 1, temos

A ∼

1 1 10 0 10 0 3

⇒ p(A) = 3, se a = 1.

Se a 6= 1 continuamos a escalonar, isto e, 1 1 11 a 21 a2 4

L2 −→ L2 − L1

L3 −→ L3 − L1

1 1 10 a− 1 10 a2 − 1 3

L2 −→ L2

a−1

1 1 10 1 1/(a− 1)0 a2 − 1 3

L3 −→

L3 − (a2 − 1)L2

1 1 10 1 1/(a− 1)0 0 3− (a+ 1)

.

Observe que a ultima matriz ja esta na forma escalonada mas seu numero de linhas naonulas dependera do termo 3 − (a + 1), isto e. se 3 − (a + 1) = 0 ou, ainda, a = 2 teremosp(A) = 2. Se 3− (a+ 1) 6= 0 ou, ainda, a 6= 2 teremos p(A) = 3. Portanto, temos

p(A) = 2, se a = 2 e p(A) = 3 se a 6= 2.


1. As matrizes A =

0 1 11 0 11 1 1

e B =

1 0 10 1 00 0 1

sao linha equivalentes? Justifique!

2. As matrizes A =

1 2 −32 4 −23 6 −4

e B =

−4 1 −61 2 −56 3 −4

sao linha equivalentes? Justi-

fique!


3. Quais matrizes abaixo estao na forma escalonada? Quais estao na forma linha reduzida?Justifique!

(a)

1 2 −3 0 10 0 5 2 −40 0 0 6 3

(b)

0 1 7 −5 00 0 0 0 10 0 0 0 0

(c)

1 0 5 0 20 1 2 0 40 0 0 1 7

.

4. Reduza a matriz B a sua forma canonica reduzida por linha.

B =

2 2 −1 6 44 4 1 10 136 6 0 20 19

.

5. Reduza a matriz A a sua forma canonica reduzida por linha.

A =

1 −2 3 1 21 1 4 −1 32 5 9 −2 8

.

6. Reduza A a forma escalonada e, a seguir, a forma canonica reduzida por linha.

(a)A =

1 2 −1 2 12 4 1 −2 33 6 2 −6 5

(b)A =

2 3 −2 5 13 −1 2 0 44 −5 6 −5 7

.

7. Reduza A a forma escalonada e, a seguir, a forma canonica reduzida por linha.

(a)A =

1 3 −1 20 11 −5 32 −5 3 14 1 1 5

(b)A =

0 1 3 −20 4 −1 30 0 1 10 5 −3 4

.

8. Determine a para que o posto da matriz

A =

1 1 1 42 1 1 53 2 2 a

seja igual a 2.

9. Determine a caracterıstica das matrizes:

(a)

(2 −3 165 1 23

)(b)

4 −3 3 06 1 −9 92 −5 −6 5


(a)

1 23 −14 15 −4

(b)

1 2 33 −1 24 1 55 −4 1



(a)

1 2 −3 11 −1 2 −12 1 −1 0

(b)

2 6 5 11 4 3 2−1 6 2 33 −8 −1 4


(a)

1 1 2 40 1 1 23 0 3 60 0 0 0

(b)

1 3 1 −2 42 0 3 3 31 1 1 0 24 2 4 2 6

13. Discuta, segundo os valores de a, a caracterıstica da matriz

A =

1 1 11 −a 1a −1 −1

.

14. Discuta, segundo os valores de k, a caracterıstica da matriz

A =

1 1 1 12 2 2 23 3 k 3

.

15. Discuta, segundo os valores de k, a caracterıstica da matriz

A =

1 0 −1 1k 1 3 01 k 3 1

.

16. Discuta, segundo os valores de m,n, a caracterıstica da matriz

A =

1 2 m 21 −1 1 10 1 3 n

.

17. Determine α para que a caracterıstica da matriz 1 −3 −22 1 33 −2 α

seja igual a 2.

18. Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo:

(a)

(1 3−2 6

)(b)

1 2 31 1 20 1 2

(c)

1 1 1 11 2 −1 21 −1 2 11 3 3 2

.



(a)

(1 32 4

)(b)

1 1 1 11 3 1 21 2 −1 15 9 1 0

(c)

1 2 11 3 21 0 1

.


(a)

1 2 −3 1−1 3 −3 −22 0 1 53 1 −2 5

(b)

3 1 22 1 21 2 2

(c)

1 2 31 1 21 1 0

.


(a)

1 1 11 1 01 0 0

(b)

1 0 11 1 10 1 0

(c)

1 1 0 01 1 1 00 1 1 10 0 1 1

Capıtulo 3

Sistemas Lineares e Determinantes

3.1 Sistemas Lineares

Utilizaremos, agora, os conceitos desenvolvidos anteriormente para a solucao de sistemas line-ares.

Definicao 3.1. Chamaremos sistema linear a n incognitas e m equacoes qualquer conjuntode equacoes lineares do tipo

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

......

......

......

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

(3.1)

onde aij e bi sao numeros reais para i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n.

Se b1 = b2 = . . . = bm = 0 o sistema (3.1) sera dito um sistema homogeneo.

Resolver um sistema do tipo (3.1) significa, simplesmente, determinar as enuplas do tipo(x1, x2, . . . , xn) que satisfazem simultaneamente todas as equacoes.

Lembramos que associado ao sistema (3.1), temos a matriz ampliada e a matriz dos coefi-cientes , isto e, respectivamente,

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2...

......

......

am1 am2 . . . amn bm

e

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...am1 am2 . . . amn

.

E simples observar que um sistema linear sera tanto mais simples de resolver, quanto maior foro numero de zeros na sua matriz ampliada. Nosso objetivo entao sera, dado um sistema linearS e, consequentemente, sua matriz ampliada, obter um sistema S ′ cuja matriz ampliada sejamais simples e tenha o mesmo conjunto solucao de S. Isso pode ser feito, facilmente, utilizandooperacoes elementares sobre as linhas de uma matriz e tendo em mente a observacao abaixo.

51

52 CAPITULO 3. SISTEMAS LINEARES E DETERMINANTES

Observacao 3.2. Se um sistema S possui para matriz ampliada uma matriz A e um segundosistema R possui para matriz ampliada uma matriz B, que pode ser obtida atraves da aplicacaode um numero finito de operacoes elementares sobre as linhas de A, entao eles possuem omesmo conjunto solucao. Logo, se dois sistemas S e R possuem as matrizes ampliadas A e B,respectivamente, e estas sao linha equivalentes, entao eles possuem o mesmo conjunto solucao.

Finalmente, temos um roteiro para resolver um sistema linear, qual seja:

1) Escrevemos sua matriz ampliada A;

2) Encontramos uma matriz escalonada, ou mesmo a matriz linha reduzida a forma emescada B, que seja linha equivalente a A;

3) Encontramos o conjunto solucao do sistema cuja matriz B e a matriz ampliada e estesera o conjunto solucao do sistema original.

Exemplo 3.3. Resolver o sistemax+ 2y + 3z = 92x− y + z = 8

3x− z = 3.

A matriz ampliada associada ao sistema e a matriz1 2 3 92 −1 1 83 0 −1 3

.

Teremos, entao:1 2 3 92 −1 1 83 0 −1 3

L2 −→ L2 − 2L1

L3 −→ L3 − 3L1

1 2 3 90 −5 −5 −100 −6 −10 −24

L2 −→ L2

−5

1 2 3 90 1 1 20 −6 −10 −24

L3 −→

−→ L3 + 6L2

1 2 3 90 1 1 20 0 −4 30

.

A ultima matriz ja esta na forma escalonada e, portanto, resolver o sistema inicial significaresolver o sistema

x+ 2y + 3z = 9y + z = 2−4z = 30

.

A terceira equacao nos fornece z = −152. Levando este valor a segunda equacao, teremos

y = 2− z = 2− (−15/2) = 19/2.

Substituindo na primeira, vem

x = 9− 2y − 3z = 9− 19/2 + 45/2 = 22.

Logo, o conjunto solucao seraS = {(22, 19/2,−15/2)}.

3.1. SISTEMAS LINEARES 53

Exemplo 3.4. Resolver o sistema homogeneox+ 2y + 3z = 0−x+ 3y + 2z = 0

2x+ y − 2z = 0.

Temos 1 2 3 0−1 3 2 02 1 −2 0

L2 −→ L2 + L1

L3 −→ L3 − 2L1

1 2 3 00 5 5 00 −3 −8 0

L2 −→ L2

5

1 2 3 00 1 1 00 −3 −8 0

L3 −→

−→ L3 + 3L2

1 2 3 00 1 1 00 0 5 0

.

Temos, entao, o sistema x+ 2y + 3z = 0

y + z = 05z = 0

cuja solucao e facilmente determinada sendo x = y = z = 0. Logo, vem

S = {(0, 0, 0)}.

Exemplo 3.5. Resolver o sistemax− y + z = 2

2x+ y − z = 7x+ 2y − 2z = 5

.

Temos1 −1 1 22 1 −1 71 2 −2 5

L2 −→ L2 − 2L1

L3 −→ L3 − L1

1 −1 1 20 3 −3 30 3 −3 3

L3 −→ L3−L2

1 −1 1 20 3 −3 30 0 0 0

.

Logo, devemos resolver o sistemax− y + z = 2

3y − 3z = 30x+ 0y + 0z = 0

.

A ultima equacao e satisfeita por quaisquer numeros e, portanto, devemos resolver o sistema{x− y + z = 2

y − z = 1.

Escolhendo z para variavel livre teremos y = 1 + z e, consequentemenete, x − (1 + z) + z =2⇒ x = 3. Logo, temos

S = {(3, 1 + z, z); z ∈ R}.


Observacao 3.6. Lembramos que um sistema linear sera dito:

1) possıvel e determinado, se possui uma unica solucao;

2) possıvel e indeterminado, se seu conjunto solucao e infinito;

3) impossıvel, se nao admite solucao.

Enfatizamos que essas sao as unicas possibilidades possıveis para um sistema li-near! Nos casos (1) ou (2) acima, diremos que o sistema admite solucao. Recordamos quediscutir um sistema e classifica-lo quanto a possıvel e determinado, possıvel e indeterminadoou impossıvel

Exemplo 3.7. Discutir, segundo os valores de a o sistemax+ y − z = 1

2x+ 3y + az = 3x+ ay + 3z = 2

Temos1 1 −1 12 3 a 31 a 3 2

L2 −→ L2 − 2L1

L3 −→ L3 − L1

1 1 −1 10 1 a+ 2 10 a− 1 4 1

L3 −→

−→ L3−(a−1)L2

1 1 −1 10 1 a+ 2 10 0 4− (a− 1)(a+ 2) 1− (a− 1)

=

1 1 −1 10 1 a+ 2 10 0 −a2 − a+ 6 2− a

.

Logo, o sistema a ser discutido ex+ y − z = 1y + (a+ 2)z = 1

(−a2 − a+ 6)z = 2− a

Vejamos o que acontece com a terceira equacao, ou seja,

(−a2 − a+ 6)z = 2− a.

Se (−a2− a+ 6) = 0 e 2− a = 0 a equacao e consequentemente o sistema, sera indetermi-nado. Notando que as raızes da equacao (−a2 − a + 6) = 0 sao −3 e 2, temos que o sistemasera indeterminado se a = 2.

Caso a = −3, teremos (−a2− a+ 6) = 0 e 2− a = 5 6= 0 e, daı, o sistema sera impossıvel.

Caso a 6= −3 e a 6= 2, teremos (−a2− a+ 6) 6= 0 e 2− a 6= 0 e, daı, z = 2−a−a2−a+6

o que nosleva a unicos valores para z, y, x, isto e, o sistema sera possıvel e determinado. Concluımos,entao, que:

O sistema dado sera:

impossıvel, se a = −3; possıvel e determinado se a 6= −3e a 6= 2 e possıvel e indeterminadose a = 2.


O proximo teorema nos revela a importancia do conceito de posto de uma matriz naclassificacao de um sistema. Antes de enuncia-lo, lembramos que o posto de uma matriz e onumero de linhas nao nulas na matriz apos escalona-la, numero este que e sempre menor ouigual ao seu numero de colunas.

Teorema 3.8 (Rouche-Capelli). Seja S um sistema linear de m equacoes e n incognitas, istoe, um sistema do tipo


......

......

......

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

.

Sejam, ainda, B a matriz dos coeficientes e A a matriz ampliada de S, ou seja,

B =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...am1 am2 . . . amn

e A =

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2...

......

......

am1 am2 . . . amn bm

.

Entao:

(i) S nao tera solucao, isto e, S sera impossıvel, se p(A) < p(B)

(ii) S tera solucao unica, isto e, S sera possıvel e determinado, se p(A) = p(B) = n

(iii) S tera infinitas solucoes, isto e, S sera possıvel e indeterminado, se p(A) = p(B) < n.

Exemplo 3.9. Discutir, em funcao de a, o sistema{x+ y = 3

x+ (a2 − 8)y = a.

Temos(1 1 31 a2 − 8 a

)L2 −→ L2 − L1

(1 1 30 a2 − 9 a− 3

).

Note que, neste caso, as matrizes ampliadas e dos coeficientes sao, respectivamente

A =

(1 1 30 a2 − 9 a− 3

)e B =

(1 10 a2 − 9

)e ja na forma escalonada. Temos, agora,

Se a = 3 a segunda linha das duas matrizes e nula e, sendo assim, p(A) = p(B) = 1 < 2⇒sistema possıvel e indeterminado, item (iii) do teorema anterior.

Se a = −3 a segunda linha de A e nao nula, isto e, p(A) = 2 mas a segunda linha de Be nula, isto e, p(B) = 1 e, portanto, temos p(A) < p(B) e pelo item (i) do teorems anterior,neste caso, teremos o sistema impossıvel.

Se a 6= 3 e a 6= −3, teremos p(A) = p(B) = 2 e pelo item (ii) do teorema acima, nestecaso, o sistema sera possivel e determinado.


Exemplo 3.10. Classifique os sistemas abaixo quanto ao numero de solucoes.

(a)

{x+ 2y + z + t = 1x+ 3y − z + 2t = 2

(b)

x− y + z = 3

3x− 9y + 5z = 6x− 3y + 3z = 13

(a) Teremos(1 2 1 1 11 3 −1 2 2

)L2 −→ L2 − L1

(1 2 1 1 10 1 −2 1 1

).

A matriz esta da forma escalonada e temos

p(A) = p(B) = 2 < 4⇒ sistema indeterminado ou infinitas solucoes.

(b) Teremos1 −1 1 33 −9 5 61 −3 3 13

L2 −→ L2 − 3L1

L3 −→ L3 − L1

1 −1 1 30 −12 2 −30 −2 2 10

L3 −→ L3−L2

6

1 −1 1 30 −12 2 −30 0 5/3 12/2

.

Temos

p(A) = p(B) = 3⇒ sistema possıvel e determinado, isto e, solucao unica.

Observacao 3.11 (Leia com atencao!). Em se tratando de sistemas lineares homogeneostemos algumas particularidades, quais sejam:

(i) Um sistema homogeneo sempre possui pelo menos uma solucao, qual seja, x1 = x2 =. . . = xn = 0. Esta solucao sera sempre dita solucao trivial! Portanto, um sistema ho-mogeneo nunca sera impossıvel.

(ii) Um sistema homogeneo no qual o numero de equacoes e menor que o numerode incognitas e indeterminado, isto e, possui infinitas solucoes.(Consequencia do teoremaanterior)

Exemplo 3.12. O sistema x− y + z + w = 0

3x− 9y + 5z − 2w = 0x− 3y + 3z + 5w = 0

e possıvel e indeterminado, ou seja, possui infinitas solucoes ja que e um sistema homogeneocom 4 incognitas e 3 equacoes. Item (ii) da observacao anterior.

Exemplo 3.13. Resolver o sistema3x+ 2y − z = 04x− y + 3z = 0x− y − z = 0

Temos3 2 −1 04 −1 3 01 −1 −1 0

L1 ←→ L3

1 −1 −1 04 −1 3 03 2 −1 0

L2 −→ L2 − 4L1

L3 −→ L3 − 3L1

1 −1 −1 00 3 7 00 5 2 0

L3 −→


−→ L3 − 5/3L2

1 −1 −1 00 3 7 00 0 −29/3 0

.

A matriz ja esta na forma escalonada, o que nos leva a solucao x = y = z = 0, ou seja,

S = {(0, 0, 0)}.


1. Resolver o sistema 1 1 2 −52 5 −1 −92 1 −1 31 −1 2 7

xyzw

=

3−3−11−5

2. Dar um exemplo de um sistema de duas equcoes e duas incognitas que nao admita

solucao.

3. Resolver o sistema cuja matriz ampliada e

1 2 0 −3 1 0 21 2 1 −3 1 2 31 2 0 −3 2 1 43 6 1 −9 4 3 9

4. Resolver o sistema:

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4 = 11x1 − x3 − 2x4 = −6

5. Determine k, para que o sistema abaixo admitasolucao.−4x+ 3y = 25x− 4y = 02x− y = k

6. Discutir e resolver os sistemas, que podem estar dados por sua matriz ampliada:

(a)

x− 3y = −22x+ y = 33x− 2y = a

(b)

x1 + x2 + x3 = 42x1 + x2 + x3 = 5

3x1 + 2x2 + 2x3 = a(c)

3 2 1 45 a 5 b1 −1 2 2

(d)

{ax+ y = bx+ ay = b2

7. Resolva os sistemas:

(a)

x+ y + 2z + 3w = 13x− 2y + z + w = 83x+ y + z − w = 1

(b)

x+ y + z = 1x+ y − 2z = 32x+ y + z = 2


(c)

2x+ y + z − 2w = 1

3x− 2y + z − 6w = −2x+ y − z − w = −1

6x+ z − 9w = −25x− y + 2z − 8w = 3

(d)

x+ 2y + 3z − w = 02x+ y − z + w = 3

x− y + w = −2

8. Discutir o sistema x+ y − z = 2x+ 2y + z = 3

x+ y + (a2 − 5)z = a

9. Discutir o sistema x+ y + z = 2x+ 2y + z = 3

x+ y + (a2 − 5)z = a

10. Resolva os sistemas cujas matrizes ampliadas sao dadas abaixo:

(a)

1 1 1 01 1 0 30 1 1 1

(b)

1 2 3 01 1 1 01 1 2 01 3 3 0

11. Resolva os sitemas cujas matrizes ampliadas sao dadas abaixo:

(a)

1 2 3 1 81 3 0 1 71 0 2 1 3

(b)

1 −2 3 42 −1 −3 53 0 1 23 −3 0 7

12. Discutir, segundo os valores de m, o sistema homogeneo cuja matriz dos coeficientes e m 1 2

−m 2 31 1 0

.

13. Discutir, segundo os valores de a, o sistema homogeneo cuja matriz dos coeficientes e1 −1 12 1 −31 a −4

.

14. Discutir, segundo os valores de a, os seguintes sistemas:

(a);

{2x+ 3y = 42x+ ay = 4

(b)

{ax+ y = 1

4x+ ay = 2a

3.2. DETERMINANTES 59

15. Em cada item a seguir resolva o sistema homogeneo cuja matriz dos coeficientes estadada.

(a)

1 1 21 2 31 −2 −3

(b)

3 2 −1−1 1 −32 1 47 2 −3

(c)

1 2 −5 42 −3 2 34 −7 1 −6

16. Determine o numero real a para que o sistema

x+ ay + z − 0x+ y + z = 0ax+ y + z = 0

admita solucao distinta da trivial.

3.2 Determinantes

3.2.1 Determinantes de ordem 2 e 3

No capıtulo 1(Introducao), utilizamos a solucao de um sistema 2×2 para apresentar o conceitode determinantes de uma matriz quadrada de ordem 2. Introduzimos, agora, o mesmo conceito,

via matriz inversa. Para tanto, seja a matriz A =

(a bc d

)onde a 6= 0. Para determinarmos

sua inversa, iremos leva-la a forma escada e, daı, teremos:(a bc d

)L1 −→ L1

a

(1 b/ac d

)L2 −→ L2 − cL1

(1 b/a0 d− cb/a

)=

(1 b/a0 (ad− bc)/a

).

Logo, e simples observar que a matriz A e invertıvel se, e somente se, ad−bc 6= 0. Chamare-

mos, tal como ja o fizemos, o numero ad− bc determinante da matriz

(a bc d

)e indicaremos

ad− bc = det(A) = det

(a bc d

)=

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ .Utilizaremos o determinante de uma matriz 2 × 2 para definir o determinante de uma

matriz 3 × 3 e, posteriormente, atraves do determinante de uma matriz n × n definiremos odeterminante de uma matriz (n+ 1)× (n+ 1).

Definicao 3.14. Sejam A uma matriz quadrada de ordem 3 e aij um elemento de A. Odeterminante da matriz quadrada de ordem 2, obtida de A suprimindo-se sua i-esima linha esua j-esima coluna chama-se menor do elemento aij e indica-se Mij.

Exemplo 3.15. Seja a matriz A =

1 2 03 −1 21 2 3

. Determine M11 e M23.

Teremos

M11 =

∣∣∣∣−1 22 3

∣∣∣∣ = −1.3− 2.2 = −7 M23 =

∣∣∣∣1 21 2

∣∣∣∣ = 1.2− 2.1 = 0.


E bom observar que o menor de um elemento e obtido, simplesmente, tomandoo determinante da matriz que obtemos omitindo a linha e a coluna onde esta oelemento.

Definicao 3.16. Sejam A uma matriz quadrada de ordem 3 e aij um elemento de A. Chama-mos cofator de aij o numero dado por

Aij = (−1)i+jMij =

{Mij se i+ j e par−Mij se i+ j e ımpar


1 2 34 5 60 2 −1

. Determine A22, A21 e A33.

Pela definicao acima, temos

A22 = (−1)2+2M22 = M22 =

∣∣∣∣1 30 −1

∣∣∣∣ = −1.1− 3.0 = −1.

A21 = (−1)2+1M21 = −M21 = −∣∣∣∣2 32 −1

∣∣∣∣ = −(−1.2− 3.2) = 8.

A33 = (−1)3+3M33 = M33 =

∣∣∣∣1 24 5

∣∣∣∣ = 5.1− 2.4 = −3.

Definicao 3.18. Seja A uma matriz quadrada de ordem 3. Chamaremos determinante de A,o numero dado pela soma dos produtos dos elementos da primeira linha de A pelos respectivoscofatores, isto e,

det(A) =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11A11 + a12A12 + a13A13.

Exemplo 3.19. Determine o determinante da matriz

A =

−1 3 21 0 −23 2 −1

.

Pela definicao acima, temos

det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13 = a11M11 − a12M12 + a13M13 =

= −1.

∣∣∣∣0 −22 −1

∣∣∣∣− 3

∣∣∣∣1 −23 −1

∣∣∣∣+ 2

∣∣∣∣1 03 2

∣∣∣∣ = −1.4− 3.5 + 2.2 = −15.

3.2.2 Determinante de uma matriz de ordem n

Queremos associar a qualquer matriz quadrada de ordem n um numero ao qual chamaremosdeterminante. Isso sera feito, facilmente, via inducao, isto e, conhecidos os determinantes dasmatrizes de ordem 2, 3, . . . , n− 1, definiremos o determinante de uma matriz de ordem n.


Definicao 3.20. Sejam A uma matriz quadrada de ordem n e aij um elemento de A. Supondoconhecido o determinante de matrizes de ordem n − 1, o determinante da matriz quadradade ordem n − 1, obtida de A suprimindo-se sua i-esima linha e sua j-esima coluna chama-semenor do elemento aij e indica-se Mij.


1 2 0 −13 −1 2 21 2 3 0−1 7 3 −5

. Determine M11,M23 e M44.

Usando a definicao acima, teremos

M11 =

∣∣∣∣∣∣−1 2 22 3 07 3 −5

∣∣∣∣∣∣ = −1.

∣∣∣∣3 03 −5

∣∣∣∣− 2.

∣∣∣∣2 07 −5

∣∣∣∣+ 2.

∣∣∣∣2 37 3

∣∣∣∣ =

= −1.(−15)− 2.(−10) + 2.(−15) = 5.

M23 =

∣∣∣∣∣∣−1 2 −11 2 0−1 7 −5

∣∣∣∣∣∣ = −1.

∣∣∣∣2 07 −5

∣∣∣∣− 2.

∣∣∣∣ 1 0−1 −5

∣∣∣∣+ 2.

∣∣∣∣ 1 2−1 7

∣∣∣∣ =

= −1.(−10)− 2.(−5) + 2.9 = 38.

M44 =

∣∣∣∣∣∣−1 2 03 −1 21 2 3

∣∣∣∣∣∣ = −1.

∣∣∣∣−1 22 3

∣∣∣∣− 2.

∣∣∣∣3 21 3

∣∣∣∣+ 0.

∣∣∣∣3 −11 2

∣∣∣∣ =

= −1.(−7)− 2.(7) = −7

Definicao 3.22. Sejam A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e aij um elemento de A.Chamamos cofator de aij o numero dado por

Aij = (−1)i+jMij =

{Mij se i+ j e par−Mij se i+ j e ımpar


1 2 3 44 5 6 50 2 −1 3−1 0 2 4

. Determine A22, A21 e A33.

Teremos

A22 = (−1)2+2M22 =

∣∣∣∣∣∣1 3 40 −1 3−1 2 4

∣∣∣∣∣∣ = 1.

∣∣∣∣−1 32 4

∣∣∣∣− 3.

∣∣∣∣ 0 3−1 4

∣∣∣∣+ 4.

∣∣∣∣ 0 −1−1 2

∣∣∣∣ =

= −10− 9− 4 = −23.

A21 = (−1)2+1M21 = −

∣∣∣∣∣∣2 3 42 −1 30 2 4

∣∣∣∣∣∣ = 2.

∣∣∣∣−1 32 4

∣∣∣∣− 3.

∣∣∣∣2 30 4

∣∣∣∣+ 4.

∣∣∣∣2 −10 2

∣∣∣∣ =

= −(−10− 24 + 16) = 18.


A33 = (−1)3+3M33 =

∣∣∣∣∣∣1 2 44 5 5−1 0 4

∣∣∣∣∣∣ = 1.

∣∣∣∣5 50 4

∣∣∣∣− 2.

∣∣∣∣ 4 5−1 4

∣∣∣∣+ 4.

∣∣∣∣ 4 5−1 0

∣∣∣∣ =

= 20− 42 + 20 = −2.

Definicao 3.24. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Chamaremos determinante de A,o numero dado pela soma dos produtos dos elementos da primeira linha de A pelos respectivoscofatores.

Notacao 3.25. O determinante de uma matriz quadrada A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...an1 am2 . . . ann

sera

indicado por det A ou

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...an1 am2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ou, ainda, |A|. Logo, da definicao anterior, temos

|A| = a11A11 + a12A12 + . . .+ a1nA1n. (3.2)

Exemplo 3.26. Calcule o determinante da matriz A =

2 9 0 05 1 2 112 3 0 330 1 1 1

Usando (3.2) vem∣∣∣∣∣∣∣∣

2 9 0 05 1 2 112 3 0 330 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2.A11+9.A12+0.A13+0.A14 = 2.M11−9.M12 = 2.

∣∣∣∣∣∣1 2 13 0 31 1 1

∣∣∣∣∣∣−9.

∣∣∣∣∣∣5 2 112 0 330 1 1

∣∣∣∣∣∣ =

= 2

(1.

∣∣∣∣0 31 1

∣∣∣∣− 2.

∣∣∣∣3 31 1

∣∣∣∣+ 1.

∣∣∣∣3 01 1

∣∣∣∣)− 9

(5.

∣∣∣∣0 31 1

∣∣∣∣− 2.

∣∣∣∣12 330 1

∣∣∣∣+ 1.

∣∣∣∣12 030 1

∣∣∣∣) =

= 2(−3− 2.0 + 3)− 9(−15 + 156 + 12) = 2.0− 9.153 = −1377.

Observacao 3.27. Nao nos ocuparemos, neste curso, com a teoria de determinantes, desen-volveremos somente o necessario para estudar alguns topicos adiante. Definido este objetivo,mencionamos as seguintes propriedades que podem ser uteis para o calculo de alguns determi-nantes.

1. ( Teorema de Laplace ) Se A e uma matriz quadrada, entao seu determinante seradado pela soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelosrespectivos cofatores. De outra forma, nao precisamos usar, necessariamente, a primeiralinha, podemos escolher qualquer linha ou coluna!

2. Se todos os elementos de uma linha ou coluna sao nulos teremos det A=0.

3. detA=detAt


4. Se multiplicarmos uma linha ou coluna por um certo numero, o determinante ficaramultiplicado por este numero. Portanto, se A e uma matriz de ordem n, teremosdet(kA)=kn(detA), ∀ k ∈ R.

5. Uma vez trocada a posicao de duas linhas ou duas colunas, o determinante troca de sinal.

6. Se A possui duas linhas ou duas colunas proporcionais, isto e, se existe um numero realk 6= 0 tal que Li = kLj ou Ci = kCj entao detA=0. Em particular, se A possui duaslinhas ou duas colunas iguais, entao detA=0

7. det(AB)=(detA)(detB)

8. Se substituimos uma certa linha pela soma dela mais um numero multiplicado por outralinha, isto e, se fazemos Li −→ Li + kLj, o determinante nao se altera. O mesmo valepara colunas!

9. Se A e uma matriz invertıvel, entao detA−1 = 1detA

.

3.2.3 Obtencao da Matriz Inversa via Determinantes

Definicao 3.28. Dada uma matriz A, chamaremos matriz dos cofatores de A, indicada porA, a matriz obtida substituindo-se em A cada elemento pelo respectivo cofator.

Exemplo 3.29. Determine a matriz dos cofatores da matriz A =

2 1 0−3 1 41 6 5

Pela definicao acima teremos

A =

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

.

Mas

A11 =

∣∣∣∣1 46 5

∣∣∣∣ = −19; A12 = −∣∣∣∣−3 4

1 5

∣∣∣∣ = 19; A13 =

∣∣∣∣−3 11 6

∣∣∣∣ = −19

A21 = −∣∣∣∣1 06 5

∣∣∣∣ = −5; A22 =

∣∣∣∣2 01 5

∣∣∣∣ = 10; A23 = −∣∣∣∣2 11 6

∣∣∣∣ = −11

A31 =

∣∣∣∣1 01 4

∣∣∣∣ = 4; A32 = −∣∣∣∣ 2 0−3 4

∣∣∣∣ = −8; A33 =

∣∣∣∣ 2 1−3 1

∣∣∣∣ = 5. Logo, vem

A =

−19 19 −19−5 10 −114 −8 5

.

Definicao 3.30. Dada uma matriz A, chamaremos adjunta de A, indicada por A∗, a transpostada matriz dos cofatores de A, isto e,

A∗ = (A)T


Exemplo 3.31. Determine A∗ sendo A a matriz do exemplo anterior.

Teremos

A∗ = (A)T =

−19 19 −19−5 10 −114 −8 5

T

=

−19 −5 419 10 −8−19 −11 5

.

O teorema abaixo, caracteriza a matriz inversa via determinante.

Teorema 3.32. Uma matriz quadrada A admite inversa se, e somente se, detA 6= 0. Nestecaso, teremos

A−1 =1

detAA∗

Exemplo 3.33. Use a adjunta para determinar a inversa da matriz A =

(6 211 4

).

Temos

A∗ = (A)T =

(A11 A12

A21 A22

)T

=

(4 −11−2 6

)T

=

(4 −2−11 6

).

Como det(A) =

∣∣∣∣ 6 211 4

∣∣∣∣ = 6.4− 2.11 = 2, vem

A−1 =1

2

(4 −2−11 6

)=

(2 −1

−11/2 3

).

O teorema anterior, juntamente com o item 7 da ultima observacao, nos levam ao proximoresultado que pode ser verificado facilmente.

Corolario 3.34. Duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem sao invertıveis se, e so-mente se, AB e uma matriz invertıvel.

Observacao 3.35. No caso de uma matriz de ordem 2, o metodo acima e o mais simples parase determinar a inversa de uma dada matriz. No caso de matrizes de maior ordem, reduzı-laa forma escada e, geralmente, mais simples. Vejamos o caso de ordem 2.

Suponhamos A =

(a11 a12a21 a22

), entao;

A =

(a22 −a21−a12 a11

)⇒ A∗ =

(a22 −a12−a21 a11

).

Logo,

A−1 =

a22detA

−a12detA

−a21detA

a11detA

.


3.2.4 A Regra de Cramer(Solucao de Sistemas via Determinantes)

Apresentaremos, agora, a chamada regra de Cramer para solucao de um sistema linear de nequacoes e n incognitas.

Seja o sistema


......

......

......

......

...an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn

com respectiva matriz dos coeficientes dada por A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...an1 an2 . . . ann

.

Seja Aj a matriz que se obtem substituindo em A a coluna j pela coluna dos termosindependentes. Entao, temos o seguinte teorema.

Teorema 3.36 (Regra de Cramer). Se detA 6= 0 o sistema acima possuira solucao unica.Neste caso, a solucao sera dada por

xj =detAj

detA, ∀ j = 1, 2, . . . , n. (3.3)

Exemplo 3.37. Resolver, utilizando a regra de Cramer, o sistema

−2x1 + 3x2 − x3 = 1x1 + 2x2 − x3 = 4−2x1 − x2 + x3 = −3

A matriz dos coeficientes, neste caso, sera−2 3 −11 2 −1−2 −1 1

e e simples ver que

det

−2 3 −11 2 −1−2 −1 1

= −2

. Logo, o teorema (3.3) nos diz que temos solucao unica e que esta e dada por

x1 =

det

1 3 −14 2 −1−3 −1 1

det

−2 3 −11 2 −1−2 −1 1

= −4−2 ;x2 =

det

−2 1 −11 4 −1−2 −3 1

det

−2 3 −11 2 −1−2 −1 1

= −6−2 ;x3 =

det

−2 3 11 2 4−2 −1 −3

det

−2 3 −11 2 −1−2 −1 1

= −8−2

ou, ainda,

S = {(2, 3, 4)}.


Exemplo 3.38. Resolver o sistema

x− y + 2z = 0

3x+ 2y + z = 0x+ y − z = 0

A matriz principal(dos coeficientes) e dada por

1 −1 23 2 11 1 −1

e teremos ∣∣∣∣∣∣

1 −1 23 2 11 1 −1

∣∣∣∣∣∣ = −5

Como o sistema e homogeneo, cada matriz Ai tera uma linha nula e, portanto, teremos

detAi = 0 ∀ i = 1, 2, 3.

Portanto,

x1 =0

−5= 0; x2 =

0

−5= 0; x3 =

0

−5= 0

ou, ainda,

S = {(0, 0, 0)}.

Observacao 3.39. O teorema anterior, juntamente com o exemplo acima, nos mostram quese um sistema n × n homogeneo tem o determinante da matriz principal nao nulo entao suasolucao sera unica, qual seja, S = {(0, 0 . . . , 0)}.


1. Calcule os determinantes:

(a)

∣∣∣∣∣∣1 0 32 −1 00 3 2

∣∣∣∣∣∣ (b)

∣∣∣∣∣∣1 0 00 2 00 0 3

∣∣∣∣∣∣ (c)

∣∣∣∣∣∣1 −2 12 1 −11 2 2

∣∣∣∣∣∣ (d)

∣∣∣∣∣∣1 −2 11 2 −12 2 2

∣∣∣∣∣∣ (e)

∣∣∣∣∣∣2 −3 −1−1 −5 31 1 1

∣∣∣∣∣∣2. Se A =

(a bc d

)e detA = 3, determine:

(a)det(2A) (b)det(AT ) (c)det(A−1)


(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 43 7 −1 02 1 4 −21 3 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣3 2 1 −4−1 5 2 3−2 −7 5 1−1 2 −3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ (c)

∣∣∣∣∣∣∣∣3 −1 0 02 0 0 03 4 −1 51 7 −2 9

∣∣∣∣∣∣∣∣



(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣3 −1 0 02 0 0 03 4 −2 91 7 −2 9

∣∣∣∣∣∣∣∣ (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 2 10 1 1 00 0 1 02 0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ (c)

∣∣∣∣∣∣∣∣3 0 2 03 0 0 20 2 3 02 0 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣0 2 5 11 −1 0 12 0 2 −13 2 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣5. Se A e uma matiz quadrada de ordem n, n ≥ 2, determin detA sabendo-se que

2detA = det(2A).

6. Para cada matriz abaixo, determine a inversa, se existir:

(a)

∣∣∣∣∣∣−1 2 −32 1 04 −2 5

∣∣∣∣∣∣ (b)

∣∣∣∣∣∣2 1 −10 2 15 2 −3

∣∣∣∣∣∣ (c)

∣∣∣∣∣∣1 2 3−1 4 35 2 7

∣∣∣∣∣∣7. Para cada matriz abaixo, determine a inversa, se existir:

(a)

∣∣∣∣∣∣1 1 10 1 10 0 1

∣∣∣∣∣∣ (b)

∣∣∣∣∣∣1 0 10 1 11 1 0

∣∣∣∣∣∣ (c)

∣∣∣∣∣∣a 0 00 a 00 0 a

∣∣∣∣∣∣8. Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo.

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −a 0 00 1 −a 00 0 1 −a0 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 1 −1 11 −1 1 −11 −1 −1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣9. Determine a inversa da matriz

∣∣∣∣∣∣1 −1 13 −9 51 −3 3

∣∣∣∣∣∣Utilize o resultado para resolver o sistema

x− y + z = 33x− 9y + 5z = 6x− 3y + 3z = 13

10. Para quais valores de λ o sistemax− λy = 1

4x+ λy = 02x+ 3y = −2λ

admite solucao? Resolva o sistema para estes valores.


(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣3 4 2 15 0 −1 −20 0 4 0−1 0 3 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣0 a b 10 1 0 0a a 0 b1 b a 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ (c)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 2 03 1 0 22 2 0 10 2 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣


(d)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 4 50 a −1 3 10 0 b 2 30 0 0 c 20 0 0 0 d

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(e)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x 0 0 0 0 0a y 0 0 0 0l p z 0 0 0m n p x 0 0b c d e y 0a b c d e z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣12. Calcular o determinante ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 −4 20 1 0 0 00 4 0 2 10 −5 5 1 40 1 0 −1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

13. Determine as inversas das matrizes:

(a)

∣∣∣∣5 38 5

∣∣∣∣ (b)

∣∣∣∣ 7 −2−10 5

∣∣∣∣ (c)

∣∣∣∣∣∣1 0 00 2 00 0 3

∣∣∣∣∣∣ (d)

∣∣∣∣∣∣0 1 01 0 11 1 0

∣∣∣∣∣∣ (e)

∣∣∣∣∣∣1 0 03 1 05 7 1

∣∣∣∣∣∣14. Para quais valores de m existe a inversa da matriz(

m 55 m

)?

15. Qual a condicao sobre a para que a matriz1 a aa 1 aa a 1

seja invertıvel?

16. Resolva os sistemas:

(a)

x+ y − z = 0

x− Y − 2z = 1x+ 2y + z = 4

(b)

x+ y+ = 1

−x− y + z = 02x+ 3y + 2x = 0

(c)

3x− 2y + z = 2−4y + 3z = −2

3x+ 2y = 36/15(d)

+y + z + t = 2x+ 2y − t = 4

2x− y + z − t = −3−4x+ y − z + 2t = 4

17. Discuta, segundo os valores de m, o sistema:mx+ y + z = 1x+my + z = 1x+ y +mz = −2

.


18. Discutir, segundo os valores de m, o sistema:

(a)

mx− y +mz = m

2x+mz = 3mx+my = 2

19. Discutir, segundo os valores de a, os sistemas:

(a)

x+ a(y + z) = 1y + a(x+ z) = az + a(x+ y) = a2

(b)

4x+ y + az = −5−2x+ y − z = a

ax+ y = −2

20. Discutir, segundo os valores de m, o sistema:x+ y + z = 0

x− y +mz = 2mx+ 2y + z = 1

21. Discutir, segundo os valores de m, o sistema:x+my +mz = mx− y +mz = 0x−my + z = m

22. Discutir, segundo os valores de m, o sistema:x−my + z = 0

2x− y +mz = 32x− 2y +mz = 2

23. Discutir, segundo os valores de a, o sistema:x+ 3y + 2z = 0

2x+ 5y + az = 03x+ 7y + z = 0

24. Discutir, segundo os valores de a, o sistema:x+ y − az = 0

ax+ y − z = 2− (a/2)x+ ay − z = −a

25. Discutir, segundo os valores de a, o sistema:x+ 4y − 5z = 02x− y + 3z = 0

3x+ ay + 2z = 0


26. Para quais valores de m, o sistema

(a)

x+my + 2z = 0

−2x+my − 4z = 0x− 3y −m = 0

possui solucao nao trivial?

27. Para quais valores de m, o sistema

(a)

x+my + z = 0x+ y + z = 0

mx+ y + z = 0

possui solucao nao trivial? Resolva!

28. Verdadeiro ou falso? Justifique!

Se detA = 1, entao A−1 = A

29. Verdadeiro ou falso? Justifique!

Toda matriz diagonal e invertıvel.

Capıtulo 4

Respostas dos Exercıcios

4.1 Secao 1.6, pagina 16

1. (a) Sim (b) Nao (c) k = 7

2. (a)S = {(−1, 1, 2)} (b)S = {(1/4, 1/2, 3/4)} (c)S = {(2.1.4)}

3. (a)S = {(2, 4)} (b)S = {(1, 3)} (c)S = {(4, 1)}

4. S=∅

5. S = {(7+3m1+m2 ,

3−7m1+m2 )}

6. m 6= −1/3 e S = {(2+8m1+3m

, 1+4m−m2

2+6m)}

7. Para a 6= 0 ou a 6= 6 o sistema sera possıvel e determinado

Para a = 0 o sistema sera possıvel e indeterminado.

Para a = 6 o sistema sera impossıvel.

8. Para a 6= −2 o sistema sera possıvel e determinado

Para a = −2 e b = 4 o sistema sera possıvel e indeterminado.

Para a = 2 e b 6= 4 o sistema sera impossıvel.

9. (a) Para m 6= 2 o sistema sera possıvel e determinado

Para m = 2 o sistema sera possıvel e indeterminado.

(b) Para a 6= −1 o sistema sera possıvel e determinado

Para a = −1 o sistema sera impossıvel.

(c) Para a 6= −1 e a 6= 3 o sistema sera possıvel e determinado

Para a = −1 ou a = 3 o sistema sera possıvel e indeterminado.

(d) Para a 6= 1/2 e a 6= −1 o sistema sera possıvel e determinado

Para a = 1/2 ou a = −1 o sistema sera impossıvel.

71

72 CAPITULO 4. RESPOSTAS DOS EXERCICIOS

10. Para m 6= 1 e m 6= −1 o sistema sera possıvel e determinado

Para m = 1 o sistema sera possıvel e indeterminado.

Para m = −1 o sistema sera impossıvel.

11. Para a 6= 6 o sistema sera possıvel e determinado

Para a = 6 e b = 3 o sistema sera possıvel e indeterminado.

Para a = 6 e b 6= 3 o sistema sera impossıvel.

12. Para a 6= 3/4 o sistema sera possıvel e determinado e S = {( 2−3b4a−3 ,

2ab−14a−3 )}

Para a = 3/4 e b = 2/3 o sistema sera possıvel e indeterminado e S = {(2/3− 2y, y); y ∈R}Para a = 3/4 e b 6= 2/3 o sistema sera impossıvel.

13. Para m = 0 o sistema sera possıvel e determinado e S = {(1, 1)}Para m = −1 o sistema sera possıvel e determinado e S = {(1/2, 3/2)}

14. a = 6 e b = 8

4.2 Subsecao 2.1.2, pagina 21

1. (a)a12 = −3, a22 = −5, a23 = −4; (b)b11 = 4, b31 = 5, (c)c31 = −6, c33 = −1

2.

0 −1 −23 2 18 5 6

3.

1 3 40 1 50 0 1

4. 1× 6, 6× 1, 3× 3, 3× 2

5. ——

6. a = 0; b = 2; c = 1 e d = 2

7. x = 3; y = 2; a = 1 e b = −2


1. x = 3, y = 0, w = −3, z = 2

2. X =

3/5 −1/5 −1/5−1/5 3/5 −1/5−1/5 −1/5 3/5

4.4. SUBSECAO ??, PAGINA ?? 73

3. X =

(3/2 3/23/2 3/2

), Y =

(−1/2 −1/21/2 1/2

)

4. (a)

1 −1 29 16 19 0 6

, (b)

−1 1 −45 6 11 −6 2

5. y = 1 e x = ±1

6. (a)

−24 −24 −24−26 −70 8−49 −70 8

, (b)

24/17 −24/17 −24/17−26/17 3/17 −33/17−49/17 −70/17 8/17

7. X =

(1 1

3/1 2

), Y =

(0 1

3/2 2

)

8. X =

1/5 0 00 1/5 00 0 1/5

, Y =

2/5 0 00 2/5 00 0 /5

9. Nao

10.

8 9 169 16 2516 25 36

11. x = −3 e y = 2

12. (a)X =

(5/2 −16 3/2

), (b)X =

(0 −15/2−1 −9/2

), (c)X =

(1/4 −3/21/2 −3/4

), (d)X =

(9 2014 27

)

13. X =

(4 53 5

), Y =

(2 −5−3 6

)14. X =

(3/2 5/2 6

)Y =

(−1/2 3/2 1

)15. X =

(−15−38− 9

), Y =

11289


1. X =

(0 00 0

)2. x = 1/5

3. 3b = 2c = 6(a− d)

4. —–


5. —–

6.

(0 0 20 0 −1

)7. —-

8. (a)

(3 45 6

)(b)

(6 114 2

)

9. (a)

(25/8 −13/85/8 23/8

)(b)

1 −1 01 0 −12 −1 0

10. nenhuma

11. (a)

(a bb a− 2b

), a, b ∈ R (b)

(a bb a+ b

), a, b ∈ R (c)

a 0 0b a 0c b a

, a, b, c ∈ R

12. X =

(±1 00 ±1

)ou X =

(√1− bc b

c −√

1− bc

)ou X =

(−√

1− bc b

c√

1− bc

)

13. X =

(0 00 0

)ou X =

(1 00 1

)ou X =

(12

+√1−4bc2

b

c 12−√1−4bc2

)ou X =

(12−√1−4bc2

b

c 12

+√1−4bc2

), b, c ∈

R com bc ≤ 1/4

14. g(A) = 0

15. (a)k = 2 (b)k = −5 (c)nenhum

16.

(1 02 3

)


1. Invertıvel com A−1 =

(4 −1−3 1

)

2. (a)

(1/2 −1/41/6 1/12

)(b)

0 1 −12 −2 −1−1 1 1

(c)

7/3 −1/3 −1/3 −2/34/9 −1/9 −4/9 1/9−1/9 −2/9 1/9 2/9−5/3 2/3 2/3 1/3

3.

(4/5 −3/5−1/5 2/5

)

4.

1/4 0 00 −1/2 00 0 1


5. X =

(1923

)6. —–

7. A =

(4/5 −3/5−1/5 2/5

)

8. (a)

0 1 01 0 00 0 1

(b)

13/8 −1/2 −1/8−15/8 1/2 3/8

5/4 0 −1/4

(c) 6 ∃

9.

(b+ d b

0 d

), b, d ∈ R

10. AB = O3

11. X =

(1 22 3

)Y =

(1 −12 0

)

12. A−1 =

(5 −6−4 5

)B−1 =

(3 −5−1 2

)C−1 =

(1 00 1/2

)D−1 =

(1/2 1/2−1/2 1/2

)

13. X =

(1−1

)

14. X =

(35

)(b) 6 ∃

15. (a)X =

5−31

(b) 6 ∃

16. (a)X = A−1B (b)X = A−1B−1 (c)X = A−1B−1 (d)X = A−1B−1A

(e)X = A−1BT (f)X = BtA

17. (a)X =

(−19 12

8 −5

)(b)X =

(−1 −210 13

)


1. Nao

2. Nao

3. As tres estao na forma escalonada mas so as duas ultimas estao na forma linha reduzida.

4.

1 1 0 0 3/20 0 1 0 20 0 0 1 1/2


5.

1 0 11/3 0 17/60 1 1/3 0 2/30 0 0 1 1/2

6. (a)

1 2 −1 2 10 0 3 −6 10 0 0 −6 1

e

1 2 0 0 4/30 0 1 0 00 0 0 1 −1/6

(b)

2 3 −2 5 10 −11 10 −15 50 0 0 0 0

e

1 0 4/11 5/11 13/110 1 −10/11 15/11 −5/110 0 0 0 0

7. (a)

1 3 −1 20 11 −5 3) 0 0 00 0 0 0

e

1 0 4/11 13/110 1 −5/11 3/110 0 0 0

(b)

0 1 3 −20 0 −13 110 0 0 350 0 0 0

e

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

8. a = 9

9. (a)2 (b)3

10. (a)2 (b)2

11. (a)2 (b)3

12. (a)2 (b)3

13. a = −1⇒ p(A) = 1; a 6= −1p(A) = 3

14. k = 3⇒ p(A) = 1; k 6= 3⇒ p(A) = 2

15. p(A) = 3 ∀ k

16. m = 10 e n = 1/3⇒ p(A) = 2;m 6= 10 ou n 6= 1/3⇒ p(A) = 3

17. 1

18. (a)

(1/2 −1/41/6 1/12

)(b)

0 1 −12 −2 −1−1 1 1

(c)

7/3 −1/3 −1/3 −2/34/9 −1/9 −4/9 1/9−1/9 −2/9 1/9 2/9−5/3 2/3 2/3 1/3

19. (a)

(−2 3/21 −1/2

)(b) 6 ∃ (c)

1/2 −1 1/21/2 0 −1/2−3/2 1 1/2


20. (a) 6 ∃ (b)

1 −1 01 −2 1−3/2 5/2 −1/2

(c)

−1 3/2 1/21 −1/2 1/20 1/2 −1/2

21. (a)

0 0 10 1 11 1 0

(b) 6 ∃ (c)

1 0 1 10 0 1 11 1 0 01 1 0 1


1. S = {(−5− 2w, 2 + 3w, 3 + 2w,w);w ∈ R}

2. ——

3. S = {(x6 + 3x4 − 2x2, x2, 1− 2x6, x42− x6, x6);x2, x4, x6 ∈ R}

4. Impossıvel

5. k = −6

6. (a)a = 1⇒ possıvel e determinado e S = {(1, 1, 1)}, a 6= 1⇒ impossıvel

(b) a = 9⇒ possıvel e indeterminado e S + {(1, 3− x3, x3);x3 ∈ R}

7. (a)a 6= 0 ⇒ possıvel e determinado; a = 0 e b = 8 ⇒ possıvel e indeterminado; a =0 e b 6= 8⇒ impossıvel

(b)a = 1 e a 6= −1 ⇒ possıvel e determinado; a = 1 e (b = 0 ou b = 1) ⇒ possıvele indeterminado; a = 1 e b 6= 0 e b 6= 1 ⇒impossıvel; a = −1 e (b = 0 ou b =−1)⇒possıvel e indeterminado; a = −1 e b 6= 0 e b 6= −1⇒ impossıvel

8. (a)S = {(−2 + w,−1, 8− 2w,w);w ∈ R}; (b)S = {(1, 2/3,−2/3)}(c) Impossivel; (d)S = {(−1/12− 7/12w, 23/12 + 5/12w,−5/4 + 1/4w,w);w ∈ R}

9. a = −2 ⇒ impossıvel; a 6= 2 ou a 6= −2 ⇒ possıvel e determinado; a = 2 ⇒ possıvel eindeterminado

10. a = ±√

6⇒ impossıvel; a 6=√

6 ou a 6= −√

6⇒ possıvel e determinado; 6 ∃

11. (a)S = {(−1, 4,= 1)}; (b)S = {(0, 0, 0)}

12. (a)S = {(1− w, 2, 1, w);w ∈ R}; (b) 6 ∃

13. m 6= −1/5⇒ possıvel e determinado; m = −1/5⇒ possıvel e indeterminado

14. a 6= 2⇒ possıvel e determinado; a = 2⇒ possıvel e indeterminado

15. (a)a 6= 3⇒ possıvel e determinado; a = 3⇒ possıvel e indeterminado

(b)a 6= 2 e a 6= −2⇒ possıvel e determinado; a = ±2⇒ impossıvel

16. (a)S = {(0, 0, 0)}; (b)S = {(0, 0, 0)}; S = {(−19/3w,−53/11w,−79/33w,w);w ∈ R}

17. a = 1



1. (a)16 (b)6 (c)17 (d)12 (e)− 32

2. (a)12 (b)3 (c)1/3

3. (a)34 (b)256 (c)2

4. (a)2 (b)− 2 (c)32 (d)59

5. det(A) = 0

6. (a)

−5 4 −310 −7 68 −6 5

(b)

8 −1 −3−5 1 210 −1 −4

(c) 6 ∃

7. (a)1 −1 00 1 −10 0 1

(b)

1/2 −1/2 1/2−1/2 1/2 1/21/2 1/2 −1/2

(c)

(1/a 0 00 1/a 00 0 1/a

)

8. (a)

1 a a2 a3

0 1 a a2

0 0 1 a0 0 0 1

(b)

1/2 0 0 1/20 1/2 0 −1/20 0 1/2 −1/2

1/2 −1/2 −1/2 1/2

9.

3/2 0 −1/21/2 −1/4 1/40 −1/4 3/4

10. λ = 1; S = {(1/5,−4/5)} ou λ = −6/5 S = {(1/5, 2/3)}

11. (a)− 208 (b)a2 + b2 (c)48 (d)abcd (e)x2y2z2

12. −25

13. (a)

(5 −3−a 5

) (1/45 2/2252/45 7/225

)(c)

1 0 00 1/2 00 0 1/2

−1 0 1

1 0 01 1 −1

(e)

1 0 0−3 1 016 −7 1

14. m 6= 5 e m 6= −5

15. a 6= 1 e a 6= 1/2

16. (a)S = {(96,−2, 3)} (b)S = {(2,−2, 1)} (c)S = {(3/4,−5/8,−3/2)} (d) 6 ∃

17. m = 1 ⇒ impossıvel; m = −2 ⇒ possıvel e indeterminado; m 6= 1 e m 6= −2 ⇒possıvele determinado


18. m 6= 0 e m 6= 1⇒possıvel e determinado; m = 1⇒ possıvel e indeterminado; m = 0⇒impossıvel

19. a 6= 1 e a 6= −1/2⇒ possıvel e determinado; a = 1⇒ impossıvel; a = −1/2⇒ possıvele indeterminado

20. m 6= 0 e m 6= 1⇒ possıvel e determinado; m = 1 ou;m = 0⇒ impossıvel

21. m 6= 1 e m 6= −1⇒ possıvel e determinado; m = ±1⇒ impossıvel

22. m 6= 2⇒possıvel e determinado; m = 2⇒ possıvel e indeterminado

23. a = 3/2

24. a = 1 ou a = −2⇒ impossıvel; a 6= 1 e a 6= −2⇒ possıvel e determinado

25. a 6= 3/13⇒ possıvel e determinado; a = 3/13⇒ indeterminado

26. m = −2 ou m = 0

27. m = 1

28. Falso.

29. Falso.

Referencias Bibliograficas

[1] Kolman, B. e Hill, David. R., Introducao a Algebra Linear com Aplicacoes, Editora LTC,Rio de Janeiro, 2006

[2] Lipschutz, S. , Algebra Linear: Teoria e Problemas, Editora McGraw-Hill, Sao Paulo, 1981

[3] Neto, A. A e outros, Nocoes de Matematica, vol 4, Editora Moderna, Sao Paulo, 1979

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