repaso de algebra matricial

Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI Cochabamba

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REPASO DE ALGEBRA MATRICIAL

1. DEFINICIONES.- Una matriz:

A =

a11 a12 ... a1ka21 a22 ... a2k

...an1 an2 ... ank

!

"

#####

$

%

&&&&&

Cada elemento de la matriz se denota de la siguiente manera:

columnafila,a La matriz A es de dimensión kn x (de n filas y k columnas). Si la matriz A tiene el número de filas igual al número de columnas, decimos que A es una matriz cuadrada. Si el elemento de la matriz A , ija es igual al elemento jia para todo i y j , decimos que la matriz A es simétrica. Una matriz diagonal es aquella con elementos no nulos en la diagonal principal, y nulos fuera de la misma (la diagonal principal está constituida por los elementos ija que cumplen

con ji = , elementos que van desde el extremo superior izquierdo al extremo inferior derecho). Una matriz escalar es una matriz diagonal con el mismo valor para los elementos diagonales. La matriz identidad es una matriz escalar con el valor de 1 en los elementos diagonales. Una matriz triangular es una matriz cuyos elementos son nulos encima o por debajo de la diagonal. Por encima se denomina triangular inferior. Por debajo, triangular superior. Una matriz cero o nula, 0 , es aquella donde todos los elementos son iguales a cero. Un vector es un arreglo ordenado de números en una fila o una columna. Si el arreglo está ordenado en una sola fila se denomina vector fila. Si el arreglo está ordenado en una sola columna se denomina vector columna. A no ser que se diga lo contrario al referirnos a un vector, implícitamente nos referiremos a un vector columna. Es decir:


2

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

na

aa

a...2

1

2. MANIPULACIÓN DE MATRICES Y VECTORES Dos matrices, A y B , son iguales, si teniendo las mismas dimensiones, se cumple:

ijij ba = para todo i y j

Matriz transpuesta La transpuesta de A , denotada como 'A , se obtiene creando una matriz cuya avai − fila es la avai − columna de la matriz original. Alternativamente, B es la transpuesta de A si se cumple:

jiij baAB =⇔= ' para todo i y j

Matriz simétrica La definición de matriz simétrica implica que si A es simétrica cuando:

'AA = La transpuesta de la transpuesta de la matriz A es la misma matriz A . Es decir:

AA ==)''( Finalmente, tenemos que la transpuesta del vector a (vector columna) es el vector fila 'a :

[ ]naaaa ...' 21= Otros resultados de la transposición de matrices: 1. '')'(' BABACBAC ++==++==→→++== 2. '')'( ABAB == Y en general '''')'( ABCDABCD == 3. 'II == 4. La transpuesta de un escalar es el mismo escalar.

Adición y substracción de matrices [[ ]][[ ]]ijijij

ijijij

bacBAC

bacBAC

−−==→→−−==

++==→→++==

Se supone implícitamente que ambas matrices (y la matriz resultante) tienen la misma dimensión. Otros resultados importantes son:


3

'')'()()(

BABACBACBA

ABBAAA

+=+

++=++

+=+

=+ 0

Inner product o dot product (producto vectorial) La multiplicación del vector a por el vector b (vectores de la misma dimensión) está definida de la siguiente manera:

nnbabababa +++= ...' 2211 El resultado de este producto de vectores es un escalar. Nótese que:

abba '' =

Multiplicación de matrices Sea:

ja vector (columna) correspondiente a la avaj − columna de la matriz A

ia vector (columna) correspondiente a la avai − fila de la matriz A . Por tanto, 'ia , es el vector fila que corresponde a la avai − fila de la matriz A

De la misma manera se puede definir para cualquier matriz. Por ejemplo, para la matriz B , tenemos jb y ib . La multiplicación de la matriz A de dimensión kn x por la matriz B de dimensión mk x , genera la matriz ABC = , de dimensión mn x cuyo avoji −− elemento es el producto vectorial de la avaí − fila de A por la avaj − columna de B . Es decir:

jiij bacABC '=⇔= Nótese que:

♦ Para que exista la multiplicación, el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B

♦ La dimensión de la matriz resultante corresponde al número de filas de A y al número de columnas de B .

♦ La multiplicación no goza de la propiedad conmutativa: BAAB ≠ y en general las matrices resultantes no tendrán las mismas dimensiones. Por tanto, se adopta la terminología pre multiplicación y post multiplicación.

Multiplicación escalar Consiste en multiplicar cada elemento de una matriz por un escalar. Para el escalar c y una matriz A se denota por: [[ ]]ijij cabcAB ==→→== Finalmente, el producto de una matriz y un vector es un vector con elementos igual al número de filas de la matriz. Para la matriz A y el vector b , se denota por Abc =


4

Por ejemplo:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

cba

011162124

145

Dos interpretaciones:

♦ Es una forma compacta de escribir las tres ecuaciones siguientes:

cbacbacba

011116241245

++=

++=

++=

♦ El vector resultante es una combinación lineal de las columnas de la matriz donde los

coeficientes son los elementos del vector.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

011

162

124

145

cba

En el caso general:

kj abababAbc +++== ...2211

En un caso aún más general, se tiene en ABC = que la avaj − columna de C es una combinación lineal de la matriz A y la avaj − columna de B . Es decir:

jj AbcABC =⇔=

Sea je un vector columna que tiene ceros como elementos, excepto en la avaj − posición.

Se puede obtener ja multiplicando A por je . Es decir, jj Aea =

Otros resultados de la multiplicación de matrices Ley asociativa: )()( BCACAB = Ley distributiva: ACABCBA +=+ )( Transpuesta de productos: ''')'('')'( ABCABCABAB == Si AB resulta ser un escalar entonces '')'( ABABAB ====

Sumatorias Algunas propiedades de las sumatorias, que resultan útiles son:

1.∑∑==

++++++==n

ini XXXX

121 ...

2. Sea k una constante: nkkn

i=∑

=1


5

3. ∑∑∑∑====

==n

ii

n

ii XkkX

11

4. ∑∑ ∑∑== ==

++==++n

i

n

iii XbnabXa

1 1)(

5. ∑∑ ∑∑∑∑== ====

++==++n

i

n

ii

n

iiii YXYX

1 11)(

6. ∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑== ========

−−==++−−==−−==n

i

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii XnXXnXXXXXx

1

2

1

2

1

2

1

22

1

2 2)(

Nótese adicionalmente que: 0)(1

==−−==∑∑==

n

iii XXx

7. Sea el vector i con elementos iguales a 1. Entonces,

∑∑==

==++++++==n

ini xiXXXX

121 '...

8. La suma de los elementos de un vector elevados al cuadrado se define como (suma de cuadrados):

∑∑==

==n

ii xxX

1

2 '

9. De manera similar, la suma de productos de los nelementos en los vectores x y y , es:

∑∑==

====n

iii xyyxYX

1''

10. Si todos los elementos en x son iguales a una constante a , entonces aix = y

∑∑==

======n

ii naiiaaiiX

1)'()('

11. Para cualquier constante a y vector x

∑∑ ∑∑== ==

====n

i

n

iii xaiXaaX

1 1'

Si na /1= , entonces:

∑∑==

====n

ii xi

nX

nx

1'11

12. Nótese que:

∑∑==

====n

ii xnxiX

1'

13. El elemento avoji −− de la matriz XX ' es el producto vectorial entre la avai − fila de 'X y la avaj − columna de X . Es decir:

[ ] [ ]jiij xxXX '' = O, alternativamente:

∑∑==

==n

iii xxXX

1

''


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La matriz XX ' consiste en la suma de n matrices, formadas cada una a partir del producto vectorial de cada fila de la matriz X con su transpuesta.

Inversión de matrices La inversa de una matriz cuadrada A , denotada por 1−A , si existe, es una matriz cuadrada única tal que:

IAA =−1 Alguna de las propiedades de la inversión de matrices son las siguientes: 1. 111)( −−−−−− == ABAB

2. )'(`)( 11 −−−− == AA

Rango de una matriz Es el orden de la submatriz cuadrada más grande cuyo determinante es diferente de 0. Recordemos que una submatriz se obtiene al eliminar un cierto número de filas y columnas a una matriz. Actualmente, los computadores evalúan los determinantes de una matriz.

Diferenciación matricial En el curso serán importantes dos reglas de diferenciación: Regla 1: Si [ ]naaaa ....,' 21= un vector fila de constantes y :

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

xx

x2

1

Entonces:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==∂

∂

na

aa

axxa

2

1

)'(

Regla 2. Considérese el siguiente producto matricial:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnnn

n

n

n

a

xx

aaa

aaaaaa

xxxAxx2

1

21

22221

11211

21

...

...

...

...'

Entonces,

AxxAxx '2)'(

=∂

∂


7

3. GEOMETRÍA DE MATRICES

Espacio vectorial El vector columna a puede ser visto como un punto (coordenada ) en un espacio vectorial de dimensión k:

Definamos ahora la multiplicación escalar y la adición

La multiplicación escalar del vector a, es otro vector a* (o a**) cuyas coordenadas son múltiplos de las coordenadas de a.

Por ejemplo si:

La suma de dos vectores a y b es un tercer vector cuyas coordenadas son la suma

de las coordenadas correspondientes de a y b.


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Un espacio vectorial es un conjunto de vectores enmarcados por la multiplicación escalar y la suma de vectores. Ej El espacio vectorial en 2ℜℜ

Combinaciones lineales de vectores y base vectorial Un conjunto de vectores en un espacio vectorial es una base para dicho espacio vectorial si cualquier vector en el mismo puede ser escrito como una combinación lineal de tal conjunto de vectores.

c puede ser escrito como una combinación lineal de a y b (a y b son una base vectorial en

2ℜℜ )

Las soluciones son:

Dependencia lineal Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si alguno de los vectores en el conjunto puede ser escrito como combinación lineal de los otros. Si no son combinación lineal entonces son linealmente independientes (2 vectores linealmente independientes forman una base vectorial en 2ℜℜ . En cambio si son linealmente dependientes no podrán formar una base vectorial en 2ℜℜ ). Formalmente, un conjunto de vectores es linealmente independiente si y solo si la solución a:

es

De lo anterior se desprende que más de K vectores en Kℜℜ serán linealmente dependientes.

Sub-espacios vectoriales El conjunto de todas las combinaciones generadas por un conjunto de vectores se denomina espacio vectorial. Sin embargo, la utilización de un conjunto de vectores puede generar un subespacio vectorial (un subconjunto del espacio vectorial). Por ejemplo, considere un conjunto de vectores de tres coordinadas cuya tercer coordinada sea igual a cero.


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Estos dos vectores no pueden generar 3ℜℜ , pero sí pueden generar un subespacio vectorial dentro de 3ℜℜ (un plano).

Rango de una matriz Una matriz es vista como un conjunto de vectores (iguales al número de columnas que tiene la matriz) con un número de coordenadas iguales al número de filas de la matriz. El espacio columna de una matriz es el espacio vectorial generado por los vectores columna de la matriz. El rango columna de una matriz, es la dimensión del espacio vectorial generado por los vectores columna de la matriz. Habíamos visto que el espacio vectorial corresponde al número de columnas linealmente independientes. El rango columna y el rango fila de una matriz son iguales. El rango de una matriz corresponderá al mínimo entre el número de filas y número de columnas que la matriz tenga. Si la matriz tiene rango igual al número de columnas que contiene, decimos que la matriz tiene rango completo. Tres propiedades, utilizando el concepto de rango de una matriz, son:

Para 0==Ax , una solución diferente a la trivial para x, determina que A no tenga rango completo. Las columnas de A son linealmente dependientes.

))(),(min()( BrangoArangoABrango ≤ )'()'()( AArangoAArangoArango ====

Determinante de una matriz El determinante de una matriz es diferente de cero sí y solo si la matriz es de rango completo. 4. SOLUCION A UN SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES

Considerando un conjunto de n ecuaciones lineales:

En donde K elementos de x constituyen las incógnitas. A es conocida como la matriz de coeficientes y b es un vector específico de valores. ¿Existe la solución?¿Cómo obtenerla?...¿Es única la solución? Para n=K existen dos tipos de sistemas:


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Sistema de ecuaciones homogéneas

En esta formulación, A no tiene rango completo y su determinante es igual a 0.

Sistema de ecuaciones no homogéneas

El vector b es escogido arbitrariamente (es expresado como una combinación lineal de las columnas de A). Para que exista la solución requerimos que el determinante de A sea distinto de 0. Es decir, que A genere un espacio vectorial en K. 5. MATRICES PARTICIONADAS Una matriz A puede ser particionada en submatrices

Una matriz diagonal en bloque:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎦

⎤⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣⎣

⎡⎡

==

300032061

A

Donde 11A y 22A son matrices cuadradas.

Suma

Multiplicación

Dos casos frecuentemente utilizados son:

El determinante de una matriz diagonal en bloque es:


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Y de una matriz particionada (2x2):

La inversa de una matriz diagonal en bloques:

Y de una matriz particionada (2x2):

Donde:

Producto Kronecker

No tiene requerimientos de conformabilidad. Si A es KxL y B es mxn, entonces

es (Km)x(Ln). Adicionalmente, se tienen las siguientes propiedades:

Si A es MxM y B es nxn, entonces:

)()()('')'(BtrAtrBAtr

BABA

BABA Mn

==⊗⊗

⊗⊗==⊗⊗

==⊗⊗

Para A, B, C y D;

6. RAICES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS


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c es el vector característico o vector propio λλ es la raíz característica o valor propio c es normalizado de tal manera que 1' ==cc Operando, se puede obtener (una sistema de ecuaciones simultáneo)

Que implica (si es que el vector característico es no nulo), que:

Por ejemplo, si:

Las raíces características son:

En el caso general, las soluciones pueden ser números reales o números complejos. Cuando la matriz es simétrica, se garantiza que las soluciones son números reales. Las raíces pueden ser cero o pueden repetirse. Los vectores característicos se derivan, considerando que:

Sea:

Si la matriz A es simétrica, los vectores son ortogonales )0'( jicc ji ≠≠∀∀== y considerando que:

1' ==ii cc Se obtiene:


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Y por tanto:

Diagonalización de una matriz y descomposición espectral La diagonalización de la matriz A es:

La descomposición espectral, es:

En esta representación la matriz A (KxK) es escrita como la suma de K matrices de rango 1. Dado que C y C’ son no singulares, se obtiene que:

Encontrar el rango de esta última matriz es sencillo. Es solamente el número de valores diferentes de cero en su diagonal. Por tanto, el rango de una matriz simétrica es el número de raíces características distintas de cero que dicha matriz contiene. Por otro lado, dado que rango de una matriz A coincide con el rango de A’A, se tiene que el rango de una matriz A, es el número de raíces características distintas de cero que contiene la matriz A’A.

Índice de condición de una matriz

21

min ⎥⎥⎦⎦

⎤⎤⎢⎢⎣⎣

⎡⎡==

raízraízmáx

γγ

Traza de una matriz La traza de una matriz es la suma de sus raíces características. Recordemos que la traza de una matriz está definida como la suma de los elementos de la diagonal.

Se derivan algunas propiedades de trazas muy útiles:


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Determinante de una matriz El determinante de una matriz es el producto de sus raíces características. Por tanto, una matriz es singular si una de sus raíces características es cero.

Potencias de una matriz Sea:

Por tanto, en una matriz simétrica A, las raíces características de A2 son las raíces características de A elevadas al cuadrado. Los vectores característicos son los mismos. Este resultado, se puede generalizar:

Si 1−−A existe, las raíces características de 1−−A son las recíprocas de A, y los vectores característicos los mismos.

Las raíces características de KA son las de A elevadas a la K, y los vectores característicos los mismos. Es decir,

Para una matriz A, definida positiva (valores característicos positivos) se tiene:

. Si A es definida no negativa, entonces el resultado anterior se mantiene para r no negativo.


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Matriz idempotente Las matrices idempotentes son iguales a sus cuadrados. Para que una matriz sea idempotente se debe cumplir que Kλλλλ == que se cumple cuando 1==λλ ó 0==λλ . Ello implica que:

La única matriz simétrica de rango completo que es idempotente es la matriz identidad.

Otras matrices simétricas pueden ser idempotentes pero no tienen rango completo. El rango de una matriz simétrica idempotente es igual a su traza.

Descomposición espectral de una matriz En algún momento (MCG) necesitaremos una matriz P, tal que:

La matriz elegida es:

Por tanto,

7. FORMAS CUADRÁTICAS Y MATRICES DEFINIDAS Sea:

Definamos:

1. Si )0(0' <<>>Axx para un x diferente de 0, entonces la matriz A está definida positiva (negativa).

2. Si )0(0' ≤≤≥≥Axx para un x diferente de 0, entonces la matriz A está semidefinida positiva (semidefinida negativa).

Sí:

Entonces:

Por tanto:

Donde:


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Llegamos a la conclusión de que cuando todas los raíces características son positivas, A estará definida positiva. Si todas son negativas, entonces A está definida negativa. Si algunas son positivas (negativas) y las demás iguales a cero, entonces la matriz estará semidefinida positiva (semidefinida negativa). En otros casos, la matriz será indefinida. Veamos algunas propiedades de las matrices semidefinidas positivas:

Si A es semidefinida positiva, entonces el determinante de A es mayor o igual a cero.

Si A es definida positiva, entonces su inversa también estará definida positiva. La matriz identidad está definida positiva. Si A es N x k y de rango completo y N>k, entonces A’A es definida positiva y AA’

está semidefinida positiva. Si A es definida positiva y B es no singular, entonces B’AB es definida positiva.

8. CÁLCULO Y ALGEBRA MATRICIAL

Si )(xfy == y asumiendo que )(xf es una función continua y diferenciable, obtenemos:

Aproximación de Taylor

Aproximación lineal

Aproximación cuadrática

Sea:

La gradiente o vector columna de derivadas parciales es:


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)(xg o g es utilizada para representar la gradiente. El Hessiano o matriz de segundas

derivadas es:

Una representación alternativa para el Hessiano es:

En este caso, una aproximación lineal para )(xf :

Una aproximación cuadrática o de segundo orden es:


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Optimización Condición de primer orden

Condición de segundo orden

para un máximo, y:

para un mínimo. Para una función de varias variables, las condiciones de primer orden y segundo orden son: a) Que la primera derivada sea igual a cero.

b) Que la matriz Hessiana este definida positiva para un mínimo y definida negativa para un máximo. Donde, la matriz Hessiana es:

En un máximo la función es globalmente cóncava, mientras que en el mínimo es convexa. Ejemplo: Maximizar R.

donde a’:

y:

La condición de primer orden es:


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La condición de segundo orden:

Para que sea un máximo las raíces características deben ser todas negativas. Resolviendo se demuestra que esto es así. Afortunadamente, mediante el uso del computador podemos rápidamente obtener las raíces características. Un caso especial surge cuando:

Si B tiene rango completo, se tiene, tal como se demostró anteriormente, que A es definida positiva (no es necesario calcular las raíces características para verificar que es un mínimo).

Optimización bajo restricciones El lagrangiano:

Las condiciones de primer orden:

donde:

Ejemplo:


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Teníamos, el siguiente problema de minimización:

Añadimos las siguientes restricciones:

Por tanto:

El Lagrangiano es:

La condición de primer orden

ó

Utilizando matrices particionadas, las soluciones son:

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