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8/17/2019 Clase Algebra Matricial Unidad 2 (1).docx

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SISTEMAS LINEALES PARA AUTOMATIZACIÓN: U2: EcuacionesLineales

Objetivo: El alumno evaluará problemas utilizando el álgebra matricial para resolver

sistemas mecatrónicos.

Resultado de Aprendizaje: Elaborará un problemario que contenga: Ejercicios

resueltos involucrando operaciones matriciales.

Tema 1: Algebra Matricial

La solución de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicación en la

ciencia y la tecnología. En particular, se puede afirmar, que en cualquier rama de la Ingeniería

existe al menos una aplicación que requiera del planteamiento y solución de tales sistemas.

El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación

de datos como en el cálculo numérico y simólico que se deri!a de los modelos matemáticos

utilizados para resol!er prolemas en diferentes disciplinas como, por e"emplo, las ciencias

sociales, las ingenierías, economía, física, estadística y las diferentes ramas de las

matemáticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo numérico y, por

supuesto, el álgera.

Operaciones con matrices y vectores

Matrices y vectores

#na matriz es un arreglo rectangular de números, llamados elementos, ordenados de tal

manera que cuente con "m" filas y "n" columnas. $o “i filas y “j columnas%.

Los elementos pueden ser números reales o comple"os. &ara definir un elemento dentro de una

matriz se utiliza una notación con dole suíndice, por e"emplo'

(sí el elemento será aquel localizado en la fila )i) y en la columna )").

Los !ectores son formas especiales de las matrices. *i m + , pero n - , la matriz se con!ierte

en'

Mtro. Jore A!al"erto #arreras $arc%a& UTSLRC& SONORA


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on una sola columna, y se denomina !ector columna.

&ero si la matriz es de m - y n + se con!ierte en !ector fila.

uando solo /ay una columna o una sola fila no es necesario utilizar dos suíndices, con un

solo suíndice es suficiente.

En otro caso especial donde m - n - , la matriz de x se denomina escalar.

Explicaciones generales' matriz 0 x 1

fila columna

El primer número nos indica el número de filas que tiene la matriz.

El segundo indica la cantidad de columnas que tiene la matriz.

E"emplo'

*i la matriz es ( las posiciones de cada número son a i ", i es la fila y " es la columna donde se

encuentra posicionado el número en la matriz (.

*i la matriz es 2 las posiciones de cada número son i ", i es la fila y " es la columna donde se

encuentra posicionado el número en la matriz 2.

E"emplos '

En la siguiente matriz indica la posición del número circulado.



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( continuación se numeran algunas definiciones de matrices importantes dentro del álgera

lineal.

Matriz cuadrada'

Es aquella que tiene igual número m de filas que de n columnas. Es una matriz donde m - n, sellama simplemente de )m x n).

Matriz nula'

3odos los elementos de la matriz son cero.

Matriz unidad:

Es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son todos . ( continuación mostramosla matriz unidad de orden 4.

Matriz identidad'

Es una matriz cuadrada donde todos los elementos de la diagonal principal son ))5 mientras

que todos los demás elementos son cero.



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Esto es'

Matriz transpuesta' La transpuesta de una matriz se otiene intercamiando las filas en el lugar de las columnas y

las columnas en el lugar de las filas. (sí si,

&or e"emplo'

Matriz triangular superior ' Es una matriz cuadrada, donde los elementos por aa"o de la diagonal principal son ceros, esto

es'

Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada en la que los elementos por arria de la diagonal superior son cero5

esto es'

Operaciones entre vectores y matrices

!uma y resta' &odemos sumar una matriz a otra o restarla de otra si amas tienen el mismo tama6o $mismo



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número de columnas y filas%. omo los !ectores son una forma especial de matrices, las

mismas reglas se aplican a los !ectores.

La suma y resta de matrices del mismo tama6o está definida por'

7onde , es una matriz con'

jemplo e#plicativo:

!uma las matrices A $ %

&ropiedades:



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'ey asociativa

( ) ( ) C B AC B A ++=++

'ey conmutativa

A B B A +=+

lemento neutro

43

21

43

21

00

00=+

jemplo 1:

jemplo (: onsideremos las siguientes matrices'

Las matrices A y B son de orden 084, mientras la matriz M es cuadrada de orden 0. &or tanto,no podemos calcular la suma de A y M y tampoco la suma de B y M , en camio, sí podemossumar A y B ya que tienen el mismo orden. Esto es,

jemplo ): onsideremos las siguientes matrices'



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14

32

−

−= A

21

54

−

−= B

; ncontrar A * %

35

86

21

54

14

32

−

−=

−

−−

−

−=− B A

El orden es igual que en la suma pero dees fi"arte muy ien en los signos.

&roducto vectorial y matricial

&roducto de un escalar +Multiplicaci,n de una matriz por un numero-.

7efinición' *i 9( - 9$ai "% mxn5 dees multiplicar cada número de la matriz por el escalar.

Es decir, la matriz producto, B, es la que se otiene multiplicando el número : por cada uno de

los elementos de A. 7e aquí en adelante consideraremos que : es un número real.

jemplo /: ncontrar (A

43

51= A

86

102

43

5122 == A

onsideremos la matriz y el número : - ;


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y dos n=!ectores5 Entonces el

producto de $producto escalar%, esta dado por'

7eido a la notación empleada, el producto escalar de dos !ectores a menudo recie el nomre

de producto punto o producto interno de los !ectores. *e puede ad!ertir fácilmente que el

producto escalar de dos n=!ectores es un escalar. ( fin de que se pueda /acer el cálculo del

producto escalar de A y % es necesario que A y % tengan el mismo número de componentes.

El producto escalar entre !ectores cumple con lo siguiente'

*ean a, b y c n=!ectores y $:% un escalar. Entonces'

1.-

2.- (Ley conmutativa del producto escalar)

3.- (Ley distriutiva del producto escalar)

4.-

&roducto entre dos matrices'

0aso 1: *uponga que ( y 2 son matrices. *i el número de columnas de ( y el número de filasde 2 son idénticas, las matrices pueden multiplicarse como'

7onde es una matriz que representa el resultado de la multiplicación. Los elementos

de están relacionados con los de ( y 2 por'

7ic/o de otra forma, el elemento i"=ésimo de (2 es igual al producto punto del i=ésimo renglón

de ( y la "=ésima columna de 2. Es decir'

El número de filas de es igual al de (, y el número de columnas de es igual al de 2. En

otras palaras, si ( es una matriz de p x q y 2 una matriz de q x r , entonces es una matriz de

p x r. >!iamente, si ( y 2 son matrices cuadradas del mismo tama6o, tamién será tamién

una matriz cuadrada del mismo tama6o. Lo anterior es suficiente para deducir que el producto



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de (2 no es igual a 2(. &uede darse el caso especial donde (2 - 2(, a lo cual se dice que las

matrices son conmutati!as.

0aso (: 7os matrices se pueden multiplicar sólo cuando el número de columna de la primera

matriz sea igual al número de filas de la segunda. En ese caso se dice que las matrices sonenlazadas.

Los elementos que ocupan la posición ij , en la matriz producto, se otienen sumando los

productos que resultan de multiplicar los elementos de la i en la primera matriz por los

elementos de la columna j de la segunda matriz. >ser!emos con detalle cómo se otiene el

elemento 0() en el siguiente e"emplo.

&ara poder multiplicar

deemos re!isar primero el

número de filas x columnas, si tenemos que una matriz es 0 x < y la otra < x 4 se puede

multiplicar si'

jemplo caso1: &roductos entre matrices. *ea'

Encontrar - (2



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Obtenemos así que:

jemplo caso (: En el siguiente e"emplo podemos !er además cuál es el orden de la matriz

producto.

?ótese, además, que no podemos calcular B@ A.

jercicio prctico: Resuelve el siguiente ejercicio e indica si se puede multiplicar las

matrices o no2 y cul es el tama3o de la matriz de la respuesta.



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jemplo 1: *igue el procedimiento estalecido y anota todos tus comentarios.

=×

33

141312

1110!

8"6

543

210

!e desarrolla as4:

( ) ( ) ( )

3324!0

122!160

=++

=×+×+×

=×

3633

141312

1110!

8"6

543

210

( ) ( ) ( )

3626100

132101"0

=++

=×+×+×


1) eviso el tama!o de lamatriz" # $ % & ' # & % &

(omo son iguales se puede

multiplicar.

$) iempre se toma la

primera matriz con la *la 1

'(ori)ontal* con la 1columna '+ertical*

Aatriz ( Aatriz 2 B*e puede multiplicarC 3ama6o de respuesta

, - - // - 0 0 - 2/ - , - 0

1 - - 2 - 2 , - / - 1 1 - 2, - 3 3 - - , - ,2 - / / -


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=×

3!3633

141312

1110!

8"6

543

210

( ) ( ) ( )

3!28110

14211180

=++

=×+×+×

=×

114

3!3633

141312

1110!

8"6

543

210

( ) ( ) ( )

114603618

125!463

=++

=×+×+×

=×

126114

3!3633

141312

1110!

8"6

543

210

( ) ( ) ( )

126654021

135104"3

=++

=×+×+×

=×

138126114

3!3633

141312

1110!

8"6

543

210

( ) ( ) ( )

138"04424

14511483

=++

=×+×+×

Respuesta:

=×1413121110!

8"6

543

210

138126114

3!3633

jemplo (: Day casos, como !eremos en el siguiente e"emplo, en los que se pueden calcular amos productos aunque se otienen resultados diferentes. onsideremos las siguientes matrices'

Entonces, por un lado,

por otro lado,



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onclusión' *egún se pudo comproar a tra!és de los e"emplos anteriores, para la

multiplicación de matrices no se cumple la propiedad conmutati!a.

jemplos de aplicaci,n +1-

Modelo metal5rgico

*upongamos que una empresa farica tres modelos de máquinas /erramientas, A, A4 y A0,

y como materia prima fundamental utiliza tres tipos de metales, Dierro $D%, ?íquel $?% y oalto

$%. La cantidad de materia prima que necesita para faricar cada máquina, expresada en

toneladas, se muestra en la siguiente tala a la cual le /acemos corresponder la matriz A.

Las me"ores ofertas de la materia prima corresponden a los pro!eedores &, &4 y &0. Los

precios por tonelada $expresados en cierta unidad monetaria% impuestos por cada uno de los

pro!eedores a cada uno de los metales aparecen en la siguiente tala'

Fueremos /acer una

tala de dole entrada que muestre el gasto en materia prima

por modelo de máquina y pro!eedor. 7ic/a tala se otiene

a tra!és del siguiente producto matricial'

La tala otenida es'



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0onclusi,n:

&ara interpretar los datos de esta tala tomaremos como e"emplo el modelo A0 con elpro!eedor &' *i compramos la materia prima al pro!eedor &, los gastos por cada máquina delmodelo A0 serán de 1GH unidades monetarias. (nalizando la tala podemos concluir queresulta más económico comprar la materia prima al pro!eedor &.

Modelo educativoEn una academia de idiomas se imparte inglés y alemán en cuatro ni!eles y dos modalidadesdistintas' grupos normales y grupos reducidos. La matriz A expresa el número de personas por grupo, donde la primera columna corresponde a los cursos de inglés, la segunda a los dealemán, y las filas, a los ni!eles primero, segundo, tercero y cuarto, respecti!amente'

Las columnas de la matriz B refle"an el porcenta"e de estudiantes $común para amos idiomas%que siguen curso reducido $primera fila% y curso normal $segunda fila% para cada uno de losni!eles'

a% >tén la matriz que proporciona el número de estudiantes por modalidad e idioma.

% *aiendo que la academia cora 4H dls. por persona en grupos reducidos y < dls. por persona en grupo normal, /alla la cantidad en cada uno de los idiomas.

*olucion'

a% La matriz que nos da el número de estudiantes por modalidad e idioma es'



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% La cantidad que ingresa la academia por cada uno de estos idiomas !iene dada por'

&ractica 1

Encuentra (2 y 2(, si es posile'

3*

−=

62

53 A

−=

"1

25 B

2*

−

−=

12

34 A

=

24

12 B

,*

−

−

=

135

240

103

A

−

−

−

=

310

214

051

B

*

−=

200

030

005

A

−

=

200

040

003

B



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/*

−

−=

225

134

A

−

=

"4

10

12

B

0*

=

65

43

21

A

−−=

43

21

20

B

1*

[ ]11−= A

=

3

2

1

B

*

=

054

321 A

=

032

"51 B

4*

=

−

−

=

621-

1"-3

8-5!-

#y

524

262

"33

A



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(plicaciones

Tres ebanistas: 6os72 &edro y Arturo trabajan a destajo para una compa34a de muebles

.&or cada juego de alcoba en caoba les pagan 89; si es de cedro les pagan 8/ y si es

de pino tratado les pagan 81. A continuaci,n estn las matrices A y %


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M7todos para la soluci,n de sistemas lineales

@-. M7todo de reducci,n de gaussjordan

En esta parte el lector /allará la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando el Aétodo

de auss=Jordan.

% Kesol!er el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de auss=Jordan.

*olución'

a% Escriimos la matriz aumentada del sistema.

7eemos lle!ar a dic/a matriz a su forma escalonada reducida mediante operaciones

elementales en los renglones de la matriz, para esto, escriiremos la matriz y a

continuación una flec/a. Encima de esta flec/a indicaremos la$s% operación$es% que

estamos efectuando para que el lector pueda seguir el desarrollo.

?otación para las operaciones elementales en renglones

cRi nue!o renglón i de la matriz aumentada.

Ri B R j, intercamio del renglón i con el renglón ".

aRi $ R j, nue!o renglón " de la matriz aumentada.

% 7esarrollo para otener la forma escalonada reducida. 7i!idimos entre 4 todo el renglón

Aultiplicamos por =0 todo el K, sumando el K4 Aultiplicamos por =< todo el K, sumando el K0



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Aultiplicamos por =40 el K4 y por 4 el K0 Aultiplicamos por M el K4 y sumamos el K0 $Kesulta una matriz superior, en

!erde%. Aultiplicamos por 0NG el K0

Aultiplicamos por =0 el K4 y sumamos K0 Aultiplicamos por =4 el K0 y sumamos K &or últimos, multiplicamos =04 el K4 y sumamos K $Kesulta una matriz inferior,

en !erde%5 se otiene la matriz identidad $diagonal 1s, matriz superior e

inferior s% y se termina la operación.

c- Interpretación del resultado. 'a 5ltima matriz escalonada reducida indica


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.

La solución del sistema es x - ;, y - 4, z - H

0%. Información necesaria para el e"ercicio.

&ara el siguiente circuito otenga el !alor de las corrientes i, i4, i0

*olución'

&rimera ley de Sirc//off'La suma de corrientes en el nodo ( es cero' i= i4= i0- HLa suma de corrientes en el nodo 2 es cero' i0O i4= i- H

*egunda ley de Sirc//off'

En la malla cerrada 2(2-


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. El signo ; en la cuarta ecuación se dee a que la corriente !a en sentido contrario, al

sentido en que se recorre la malla.>teniendo el sistema de ecuaciones'i= i4= i0- H


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Encontrar los !alores de i, i4, i0, analíticamente y comproarlo mediante 7EKIRE

G..

1%. 7el siguiente circuito eléctrico, otener las ecuaciones lineales para encontrar los !alores de

i, i4 e i0, aplicando a la !ez el método por mallas.

*olucion' Las ecuaciones de malla que descrien a este circuito son las siguientes'


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−


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c% (/ora , se di!ide K0 entre U.4


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G%. E"ercicio de reforzamiento' alcule las tensiones de nodo en el circuito que se muestra en la

siguiente figura'

*olucion'

a% En el nodo , la aplicación de LS y de la ley de >/m, produce'

(l multiplicar cada término de esta última ecuación por 1 se otiene'

*ea'

% En el nodo 4 se /ace lo mismo y se otiene'

c% La multiplicación de cada termino por 4 produce'

> sea'

(/ora ien tenemos dos ecuaciones simultáneas lineales,

quedando el arreglo matricial, así'

d)



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+ractica $:

7etermine las tensiones en los nodos de las siguientes figuras'

*olucion' v1- 1.U !olts5 v(- 4.1 !olts5 v)- =4.1 !olts

E"ercicios prácticos de retroalimentación'

%. 7eterminar la corriente que fluye de izquierda a derec/a a tra!és de la resistencia de


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Kespuesta' !- 4H !olts5 !4- 4H !olts5 i- H amps.

4%. 7eterminar las tensiones nodales ! y !4 del circuito de la siguiente figura.

Kespuesta' !- =1


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7onde /ay n incógnitas #1, #(W#n por resol!er, la forma anterior puede escriirse en forma

matricial como'

Esta ecuación matricial puede ponerse en forma compacta como' A= C %

A es una matriz cuadrada m#n, mientras que = y % son matrices columna

?eterminantes y Regla de 0ramer

*e utilizan para otener soluciones matemáticas de las incógnitas de dos o más ecuaciones

simultáneas. #na !ez que el procedimiento se comprende correctamente, es posile otener las

soluciones con un mínimo de tiempo y esfuerzo y, por lo general con menos errores que al

utilizar otros métodos.

onsidere las siguientes ecuaciones donde # y y son las incógnitas a1, a(, b1, b(, c1 y c(, son las

constantes'

La utilización de determinantes para resol!er # y y requiere que se estalezcan los siguientes

formatos para cada !ariale'

>ser!e primero que solo aparecen coeficientes dentro de los corc/etes !erticales y que el

denominador en cada expresión es el mismo. 7e /ec/o, el denominador lo constituyen

simplemente los coeficientes de # y y. (l resol!er para #, se reemplazan los coeficientes de #



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en el numerador por las constantes a la derec/a del signo igual en las ecuaciones, y solo se

repiten los coeficientes de la !ariale y.

(l resol!er para y, se reemplazan los coeficientes de y en el numerador por las constantes a la

derec/a del signo igual en las ecuaciones, y solo se repiten los coeficientes de la !ariale #.

ada configuración en el numerador y en el denominador de las ecuaciones se denomina

determinante $7, X%, el cual puede e!aluarse de forma numérica'

En general, al desarrollar la expresión completa para # y y, tenemos lo siguiente'

> su forma equi!alente $Kegla de ramer%.

E"emplo ' alcule las tensiones de nodo en el circuito que se muestra en la siguiente figura'



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*olucion'

a%. (rreglo matricial'

%. >tener la determinante de la matriz'

c%. >tener los !alores ! y !4'

El uso de determinantes no se limita a la solución de 4 ecuaciones simultáneas, tamién puede

aplicarse a cualquier cantidad de ecuaciones. (nalizaremos el método are!iado que es

aplicado únicamente a ecuaciones de tercer orden.

onsidere las 0 ecuaciones simultáneas siguientes'

La configuración de determinantes para x, y, z, puede otenerse de una forma similar a la

utilizada para dos ecuaciones simultáneas. El denominador es el determinante de los

coeficientes de las incógnitas.

?ue!amente el denominador es el mismo para cada incógnita.



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7e donde'

El método are!iado consiste en repetir las primeras dos columnas del determinante a la

derec/a de éste y luego sumar los productos sore diagonales especificas como se muestra a

continuación'

%. Los productos de las diagonales , 4 y 0 son positi!os y tienen las siguientes magnitudes.

4%. Los productos de las diagonales 1, < y G son negati!os y tienen las siguientes magnitudes.

0%. La solución total es la suma de las diagonales , 4 y 0 menos la suma de las diagonales 1, <

y G.

E"emplo 4' Kesol!er el siguiente sistema de ecuaciones'

*olucion'

a%. alculamos el determinante del sistema'

?C



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-

-

- - 1)

%. alculamos el !alor de la !ariale #'

-

-

- -

c%. alculamos el !alor de la !ariale y'



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d%. &or último, calculamos el !alor de la !ariale z'

e%. &ara mayor seguridad de los resultados otenidos, realizamos la comproación en

cualquiera de las ecuaciones'

E"ercicio ' Kesol!er el siguiente circuito que se muestra a continuación $en clase%'

a%. Encuentre el !olta"e ! y !4

%. Encuentre el !alor de i4, i0 e i<



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M7todo general para sistemas de cuaciones de )#) en adelante +#pansi,n por

cofactores-.

El método general para determinantes de tercer orden o de órdenes superiores requiere que el

determinante se desarrolla de la siguiente forma

El signo de cada cofactor esta indicado por la posición de los factores multiplicadores $a , y

c, en este caso% como se muestra en el formato estándar siguiente'

E"emplo demostrati!o' alculo del 7eterminante de una Aatriz 1x1



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E"emplo 4' 7eterminar las tensiones de nodo del circuito siguiente'

*olucion'

a%. ?odo '

%. ?odo 4'

c%. ?odo 0'



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d%. 7esarrollo y otención de las !ariales

e%. omproación' c. (E .))))v1$1./FG(v( .1/(Hv) C )

.))))+9./1(-$1./FG(+F.F)G- .1/(H+/G.)(- C )

1.I)I$11./1HIG.G1H1 C ) E (.HHGI C )

E"emplo 0' Dalle las corrientes de rama i, i4, i0 aplicando el análisis de malla del siguiente

circuito'

*olucion' &rimero otenemos las corrientes de lazo aplicando L3S, en cuanto al lazo



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En cuanto al lazo 4'

7esarrollamos'

&ractica de reforzamiento

a%. 7eterminar la corriente que fluye de izquierda a derec/a a tra!és de la resistencia de


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(plique el análisis de malla para encontrar IH en el circuito de la siguiente figura.

M7todo de Matriz @nversa +A1-



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&or definición, el in!erso de una matriz ( satisface'

La in!ersa de una matriz está dada por'

7onde ad" A, es la ad"unta de A y det AC JAJ es el determinante de A. La ad"unta de ( es la

transpuesta de los cofactores de A.

En una matriz 4x4, si

*u in!ersa es'

En una matriz 0x0, si

&rimero se otienen los cofactores como

E"emplo ' #tilice la in!ersión de matrices para resol!er las ecuaciones simultaneas



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*olucion' En primer término se expresan las ecuaciones en forma matricial como'

El determinante de ( es Y(Y- 4Z0 Q H$=%- G, por lo que la in!ersa de ( es,

7e aquí que,

&or lo tanto' x - =1 y x4 -

E"emplo 4' 7etermine el !alor de x, x4, x0 de las ecuaciones simultaneas siguientes utilizando

la in!ersión de matrices.

*olucion'

En forma matricial, las ecuaciones se con!ierten en'

(/ora se calculan los cofactores'



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La ad"unta de

la matriz ( es'

Es posile calcular el determinante de (, utilizando cualquier renglón o columna de (

7e aquí que la in!ersa de (, es'

&or lo tanto' x - =, x4 - 1 y x0 - 4

E"emplo 0' Encontrar el !alor de las corrientes del circuito anexo'

*olucion'

(plicando el análisis de malla $L3S% en el lado izquierdo, tenemos'

(plicando L3S en la malla del lado derec/o

Kespuesta'

E"emplo 1' 7eterminar la potencia suministrada por la fuente de 4! de la siguiente figura.



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*olucion'

a%. &rimero definimos dos corrientes de mallas en el sentido de las manecillas del relo".

%. omenzamos en la parte inferior izquierda de la malla , se escrie la ecuación aplicando

L3S siguiente a medida que se procede por la ramas en el sentido de las manecillas del relo".

=9 $ /i1 $ (+i1 * i(- * ( C

*implificando y agrupando términos, tenemos'

Gi1 * (i( C F

c%. Dacemos lo mismo en la malla 4, por lo cual se puede escriir'

( $ (+i( i1 - $ 9i( $ 1C

*implificando y agrupando términos'

(i1 $ Fi( C )

(plicamos matriz in!ersa y otenemos i1 C 1.1)( amps. e i( C .19) amps.

d%. La corriente que circula /acia afuera de la terminal de referencia positi!a de la fuente de 4!

es i Q i4. &or lo tanto la fuente de 4!, suministra una potencia de'

omo & - RI, entonces'

& - 4$.40M0% - 4.1M1 [atts.



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E"emplo


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[

11 −5 −6−5 19 −2

−1

−1 2

][

x₁

x₂

x₃

] #

[

12

0

0

]/) (alculo de co/actores o agregando columnas o renglones.C ₁₁=[ 19 −2−1 2 ] # ,00 C ₁₂=−[−5 −2−1 2 ]=12; C ₁₃=[−5 19−1 −1]=24

C ₂₁=−[−5 −6−1 2 ]=16 ; C55 ¿[ 11 −6−1 2 ]=16 ; C ₂₃=−[ 11 −5−1 −1]=¿ 30

C ₃₁=

[−5 −6

19 −2

]=

124 ; C ₃₂=

[ 11 −6

−1 2

]=−

16 ; C ₃₃=

[ 11 −5

−5 19

]=

184

g) Obtención de la matriz adjunta 2ranspuesta). 2ranspuesta, porque e%iste un arreglo de matricial, como sigue:

A=[a ₁ b₁ c₁

a ₂ b₂ c₂

a ₃ b₃ c₃]→T =[

a₁ a₂ a ₃

b₁ b₂ b ₃

c₁ c₂ c ₃]

Adj A=[ 36 12 24

16 16 16

124 −16 184]→ T =[36 16 124

12 16 −16

24 16 184 ]3) Obtención del determinante de la matriz. 4ota: e puede obtener agregando

$ columnas ó por co/actores.+or co/actores:

| A| # 11)&5) 6 78)1$) 6 75)$9) # 1$ ∴| A|=192

i) e aplica matriz inversa:

"71 #1

192 [36 16 124

12 16 −16

24 16 184] ⌈

12

0

0

⌉ → 1

192 [432

144

288]=[

2.25

0.75

1.5 ]



45/45


∴ x ₁=2.25 0 x 2 # 6.1/ 0 x , # 3./

j) Entonces.

i6 7 i3 8 i2 9 i6 7 2.2/ 6.1/ ∴ i6 7 3./ A;

clase algebra matricial unidad 2 (1).docx

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