algebra completo 2015
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ALGEBRATRANSCRIPT
-
1Preguntas propuestasPreguntas propuestas
4
23
LGEBRA
-
. . .
lgebra
2
Leyes de exponentes
NIVEL BSICO
1. Si n es el exponente final de m en
m m m m
m m m
1 2 3 11 2
2 2 2
50
( )
...
... veces
determine el valor de n/8.
A) 2 B) 7 C) 3D) 5 E) 4
2. Si A=(26)15
; B=(85)6; C=(23 25)
6 y D=(23 32) 64,
de las siguientes igualdades. Indique cuntas son incorrectas.
A=D B=D C=A A=B
A) 2 B) 1 C) 4D) 3 E) 0
3. Si 3x=2, reduzca la expresin.3 3
3 2
1
1
x x
x x
+
+
A) 8 B) 2 C) 1D) 2 E) 8
4. Indique el valor reducido de12 27 48
24 6
+ ++
A) 22
B) 3 22
C) 32
D) 2 2 E) 92
5. Si 264=aa y 3 354
= ( )b b, halle el valor de 3a+2b.
A) 48 B) 96 C) 66D) 99 E) 44
UNMSM 2010 - II
NIVEL INTERMEDIO
6. Si se cumple que
32
427
34
5 = n m
calcule el valor de m n.
A) 25 B) 5 C) 10
D) 35 E) 15
7. Si 15 35( )a a = , calcule el valor de a + 9
5.
A) 2 B) 5/2 C) 3/4
D) 1/2 E) 2/5
8. Si mnm
1n
1
11
242
= , determine el valor de m23 .
A) 1 B) 2 C) 3
D) 5 E) 4
9. Si a = 2 3 2 3...
b = 3 2 3 2...calcule el valor de ab.
A) 2 B) 3 C) 6
D) 6 E) 36
10. Si x > 1 y adems
x x x xmn2 1 653
=
donde m y n son coprimos, determine el valor
de m2 n2.
A) 3 B) 9 C) 12
D) 12 E) 9
-
. . .
lgebra
3
NIVEL AVANZADO
11. Determine el valor reducido de M.
M =
87 271 9
12
16
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 5
12. Si b 0, simplifique la expresin.
b b
b b
b b
b
bb
11
13
14
11 0
+
+
+
+
A) b B) 1b
C) 12b
D) 1 E) b2
13. Si se cumple que x xx6 1
132
+=
, calcule el valor
numrico de x24x.
A) 12 B) 4 C) 16
D) 8 E) 2
14. Calcule el valor aproximado de (x+y),
si x yy xx= =9
9933
3
2
;
A) 3 B) 9 C) 27
D) 30 E) 81
15. Si x es positivo, simplifique la expresin.
Mx x x x
x
nn
n n=
+
+
... 1
34
23
12
2 3
A) x1/2 B) xn C) x2
D) x E) 1
UNMSM 2005
-
. . .
lgebra
4
Productos notables
NIVEL BSICO
1. Si x2+5x=7, determine el equivalente num-
rico de x x x x x x+( ) +( ) + +( ) +( )
+( )3 2 4 13
15 4 .
A) 2 B) 4 C) 8D) 1 E) 3
2. Determine el valor de a+b, si
a x x x= +( ) +( ) +( )5 2 82
b x x x= +( ) +( ) +( )6 3 92
A) 7 B) 4 C) 3D) 6 E) 5
3. Si la expresin x a bx2 2+ + es un trinomio cuadrado perfecto, calcule el mayor valor de ab (considere a y b enteros).
A) 6 B) 2 2 C) 4D) 8 E) 5
4. Si a b son nmeros reales, tal que a b ab+ = =7 3
calcule el valor no negativo a b.
A) +2 3 B) 2 3+ C) 1D) 1 3+ E) 2 3
5. Indique verdadero (V) o falso (F) las siguien-tes proposiciones y determine la secuencia correcta.
I. Si x+x1=2 x2+x 2=2 II. Si x+x1=2 x3+x 3=2 III. 13517257+1=216
A) FVV B) VVF C) FVFD) VVV E) VFF
NIVEL INTERMEDIO
6. Si xy
yx
x y+ = +2 ; ; R
calcule x y
x y
3 3
2 5 .
A) 0 B) x C) yD) xy E) x2y3
7. Si x; y R+ tal que xy > 1, determine el valor reducido de J.
Jxy xy
x y x y=
+
+( ) ( ) 2 1
42 2
A) 1/2 B) 1/4 C) 1D) 2 E) 1/5
8. Si a2+a+1=0, calcule el valor de
4 1+ .
A) 1 B) 0 C) 1D) 2 E) 2
9. Si se cumple que
a b
cc a b
2 2
11 2
+
+= = +
determine el equivalente numrico de ab bc ac+ + .
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
10. Si a =1 2013
b + =1 2014
c + + =2013 2014 0
calcule el valor de J.
J
a a b b c cab c c a b
=
( ) + ( ) + ( )+( ) + +( )
2 2 21 1 13 2 2
A) 1 B) 3 C) 2D) 1 E) 2
-
. . .
lgebra
5
NIVEL AVANZADO
11. Si mm
221
8+ = , calcule el valor numrico de
mm
mm
331
1
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
12. Si 3 3 32x x = , entonces cul es el valor
numrico de xx
201320131
+ ?
A) 0 B) 22013 C) 1
D) 1 E) 2
13. Si a b+ + =1 33 , determine el valor de
2 3
2 +( )
+ + +( )a b
a b a b
A) 1 B) 3 C) 2
D) 5 E) 4
14. Si x; y; z R, adems se cumple que 2x(x+y)+2y(y z)+2z(z+x)=0,
calcule el valor de x yz
x yx
x zy
++
++
+2 5 2 7 9 .
A) 13 B) 6 C) 3
D) 9 E) 1
15. Si {x; y} R y se cumple que 2 2 2 2x y xy+ = = , calcule el valor de M.
M
x y xy
x y=
+ +
( ) +2 2 6
1
3 3
2 2
A) 2
B) 3 2
C) 8 2
D) 5 2
E) 9 2
-
. . .
lgebra
6
Sistema de ecuaciones lineales
NIVEL BSICO
1. Resuelva el sistema y d como respuesta el valor de x.
x y
y z
x z
+ =
+ =
+ =
154
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
2. Determine el valor de de modo tal que el sistema lineal
14 3 133 2 16
7
x y
x y
x y
+ =
=
+ =
tenga solucin nica.
A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8
3. Qu valores reales toma n para que el sistema lineal
n x n n
n x n y
( ) + ( ) = ++( ) + +( ) =
1 2 1
2 1 2 4 sea compatible determinado?
A) R B) R {0} C) R+
D) {0} E) R {0; 4}
4. Determine el valor de a2+b2 de tal forma que el sistema
a x b y
x y
( ) + ( ) =+ =
3 5 15
4 3 5 tome infinitas soluciones.
A) 12 B) 122 C) 22D) 322 E) 421
5. Determine el valor de m para que el sistema
mx y
x m y m
+ =
+ ( ) =
3
6 1 2
sea inconsistente.
A) 3 B) 3 3 C) 2D) 3 2 E) no existe
NIVEL INTERMEDIO
6. Si el par ordenado (x0; y0) es una solucin del sistema lineal de incgnitas x e y,
2 5 108
x y
mx ny
=
+ =
determine el valor de 10m+2n si x0+y0=12.
A) 4 B) 6 C) 2D) 2 E) 8
7. Indique el valor de z del siguiente sistema li-neal.
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
22 3 5 44 9 25 8
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
8. Determine el valor de los parmetros p y k para que el siguiente sistema lineal sea indeter- minado.
kx y k p
k x y k
=
( ) + = +
6 5 3
4 2 4 3
D como respuesta el valor de p+k.
A) 16 B) 17 C) 18D) 24 E) 23
9. Dado el sistema no lineal
xxyy
xxyy
+ =+
+
=
2223
5192
determine el valor de xy 1.
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 1
-
. . .
lgebra
7
10. A partir del sistema no lineal de incgnitas x e yx y
x y
x y
+ +=
+ + =
1 15
4 4 1 4
determine el valor de x2 y2.
A) 52 B) 60 C) 25D) 55 E) 42
NIVEL AVANZADO
11. Si (m; n) es la solucin del sistema lineal2
3
5
67
3
2
3
106
x y
x y
+ =
+ =
determine el valor de m2.
A) 1 B) 4 C) 9D) 6 E) 36
12. Si el sistema lineal de incgnitas x e ya x b y c
b x c y a
( ) + ( ) = +( ) + +( ) = +
1 1 1
1 1 1
es compatible indeterminado, determine el
valor de a b cab ac bc
+ +( )+ +
2.
A) 2 B) 3 C) 4D) 6 E) 8
13. Determine el valor de y six y xy
y z yz
x z xz
+ =
+ =
+ =
122015
A) 1/17 B) 2/17 C) 13/17D) 17 E) 17/2
14. Luego de resolver el sistemaxy x y
xz x z
yz y z
+ + =
+ + =
+ + =
234127
determine un valor de z.
A) 8 B) 7 C) 5D) 3 E) 5
15. Dado el sistema de incgnitas x e ya x b y c
a x b y c
a x b y c
1 1 1
2 2 2
3 3 3
+ =
+ =
+ =
cuya representacin grfica es
L 1:a1x+b1y=c1
L 3:a3 x+b3 y=c3
L 2:a2 x+b2 y=c2
(10; 2)A(3; 3)
B(5; 4)B(5; 4)
C
X
Y
Respecto al sistema podemos afirmar que
A) su CS={(5; 4), (3; 3), (10; 2)}.B) es compatible indeterminado.C) es incompatible.D) su CS{(3; 3)}.E) tiene 2 soluciones.
-
. . .
lgebra
8
Polinomios
NIVEL BSICO
1. Si el polinomio
P x y z x y z x y zx y zm n c p
; ;( ) = + 3 62 1 3 4 6 8 23 6 8 1
se reduce a un solo trmino, calcule el mayor valor de mnp.
A) 35 B) 64 C) 20D) 36 E) 63
2. Si P x x xx5
20 17125 3 2 = + +
calcule el valor de P(1).
A) 17 B) 20 C) 30D) 50 E) 80
3. Evale la expresin S=(a+1)1+(b+1)1 para
a = +( )2 3 1 y b = ( )2 3 1
A) 1 B) 3 C) 2D) 3 1 E) 2 1+
4. Determine el valor de 2m+3n si la siguiente expresin
f
m x n yx yx y( ; )
=
+( ) + ( ) + +
1 2 1 62 5 2
es independiente de x e y.
A) 2 B) 13 C) 34D) 11 E) 34
5. En la clase de Matemtica, Luis Miguel escribe un polinomio P(x) mnico de 2.
do grado, y Zulema, un polinomio Q(x) de 1.
er grado. Si se dan cuenta de que la suma de esos polinomios es ax2+3, adems Q(1)=7, halle P(1).
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
NIVEL INTERMEDIO
6. A partir de la expresin matemtica definida por
H
x x
x xx( )=
+
+
1
1 determine el valor de la siguiente expresin. M=H(8)+H(7)+H(6)+...+H(1)
A) 2 B) 23
C) 13
D) 13
E) 23
7. De la siguiente identidad (x+1)4+(x 1)4 2x4+ax2+b determine el valor de ab.
A) 12 B) 2 C) 1D) 24 E) 8
8. Considere un polinomio cuadrtico f con las siguientes caractersticas
Coeficientesenterospositivosdiferentes. Elcoeficientedel trminolineales ladife-
rencia de cuadrados de los otros dos. f(1)=f(f(0)) Calcule el menor valor del producto de sus co-
eficientes.
A) 24 B) 12 C) 9D) 6 E) 18
9. A partir del polinomio P(x)=(2a2 a+2)x+2a2,
donde P(1)=1, P(m)=0 y P(0)=a+n, determine el valor de 17m+n+a.
A) 1 B) 1 C) 2D) 0 E) 5
10. Dado el polinomio P(2x 1)=x2+ax+b. Se sabe
que b=2a y la suma de coeficientes de P es 7. Determine el valor de ab.
A) 14 B) 12 C) 10D) 8 E) 6
-
. . .
lgebra
9
NIVEL AVANZADO
11. Si a b Q+, tal que f(x)=ax+bx y f(2)=1,
calcule el valor de M si
M
f f
f=
( ) ( )
( )
3 5
1
A) 1 B) 1ab
C) a
D) b E) ab
12. Se tiene un polinomio f(x) que verifica las con-diciones
I. f(1)=1 II. f(x)=f(x 1)+x; x Z
+ x > 1 De acuerdo a ello evale f(9).
A) 40 B) 44 C) 45D) 46 E) 47
13. A partir de la expresin matemtica
J xx( ) = + 1 2, determine J(J(x)).
A) x + 1 2
B) x +2 1
C) x + + 1 2 1 2
D) x + 1 2 2
E) x + + 1 2 1 2
14. Si P(x)=ax+b, tal que P(3)=2P(1)=4, calcule el trmino independiente de Q(x) si se cumple que Q(ax2+b)=x
4.
A) 0 B) 1 C) 1
D) 3 E) 2
15. Dadas las expresiones algebraicas
fx
gxx x( ) ( )
= + = 11
11
y
halle f(g(x)) en trminos de f(x).
A) f
fx
x
( )
( )
3
2 B)
f
fx
x
( )
( )
+
2
3 C)
f
fx
x
( )
( )
2
3
D) f
fx
x
( )
( )
+
2
2 E)
f
fx
x
( )
( )2 1+
-
. . .
lgebra
10
Divisin de polinomios
NIVEL BSICO
1. Efecte la siguiente divisin
12 2 5 9
3 2
4 3 2
2x x x x
x x
+
e indique el producto de los coeficientes del residuo.
A) 4 B) 4 C) 6D) 6 E) 12
2. Dada la divisin algebraica
2 2 1 1
1
3 2 2nx n x n x nnx
+ ( ) + ( ) + +
halle la suma de coeficientes del cociente si se sabe que el resto es 7.
A) n+2 B) 3 C) 6D) 12 E) 15
3. Respecto a la siguiente divisin, indique la se-cuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones.
2 3 3
2 3
4 3x x xx
+
+ I. La divisin es inexacta. II. La suma de coeficientes del cociente es 3. III. El trmino lineal del cociente es 3x.
A) FVF B) VFV C) FVVD) VVF E) FFV
4. Determine el resto de la siguiente divisin.
x x
x
5 33 2 2 2 2 7
2 1
+ ( ) + + +
A) 6 B) 8 C) 12D) 14 E) 10
5. Si el residuo de la divisin es de la forma R(x)=mx+n, determine el valor de R(m n).
2 3 4 1
1
17 14 2
2x x x
x
+ +
+
A) 0 B) 12 C) 1D) 15 E) 14
NIVEL INTERMEDIO
6. Si la divisin genera un cociente de grado 55
x x x x n
x x x x n
n
n
2 4 6 2
2 3
2 4 6 2
1 2 3
+( ) +( ) +( ) +( )+( ) +( ) +( ) +( )
...
... determine el valor de n.
A) 15 B) 13 C) 2D) 8 E) 10
7. Determine el resto de la siguiente divisin.
x x x
x x
( ) + ( ) + +
6 5 5
11 30
23 26
2
A) 7x 11 B) 5x+10 C) 5x 3D) 7x+5 E) 7x+13
8. Determine el resto de la siguiente divisin.
xx x
3
1 2+( ) +( )
A) 7x+5 B) 76x+2 C) 7x+6D) 6x 1 E) 3x 1
9. En la siguiente divisin indicada
2 7
1
37x nxx+ +
determine el resto si se sabe que la suma de coeficientes del cociente es igual a 80.
A) 1 B) 12 C) 10D) 3 E) 15
10. Si la divisin
x p x q
x x
4 2
23 3
1
+ ( ) + ++ +
es exacta
determine el valor de p+q.
A) 1 B) 2 C) 2D) 1 E) 8
-
. . .
lgebra
11
NIVEL AVANZADO
11. En la divisin ax4+2x3+bx2 10x+c entre 2x+3, halle el valor de (a+b+c) si la suma de coeficientes del cociente es 5 y el resto es 15.
A) 2 B) 10 C) 2D) 10 E) 5
12. Halle el residuo de la siguiente divisin si a 0.2 2 2 2 1 2
1
4 2 3 2 2
2ax a b x ab x a b x b
ax bx
+( ) + +( ) + ( ) + + +
A) R(x)=ax+2B) R(x)=bx+2C) R(x)=x+2D) R(x)=x 2E) R(x)=ax+b
13. A partir del esquema de Horner
c d0
m+2
m+1
ba4
nm5 p q
calcule el valor de
(a m)+(b n)+(c p)+(d q).
A) 3 B) 2 C) 5
D) 1 E) 4
14. Sea n un nmero par tal que m n=1, determi-ne el residuo de la siguiente divisin.
x x x
x x
m n
( ) + ( ) + + +
4 3 2 1
7 122
A) 6x 4 B) 4x 6 C) 4x+6
D) 6x+4 E) 0
15. Determine el resto de la divisinx x
x xn
n n
( ) + +
+ +1
12013
2 2 1
2 si
A) x+1
B) x 1
C) x+2013
D) 0
E) 2x
-
lgebra
12
Factorizacin de polinomios
NIVEL BSICO
1. Calcule la suma de los factores primos deP(x; y)=(1+xy)
2 (x+y)2.
A) 2(x+y)B) x+y+1C) 2x+2y 1D) x+y+2E) x+y
2. Sea f(x+2)=x. Si f(x) es factor primo de P(x)+3, donde P(x)=ax
3 2ax2 bx 1; ab 0, calcule el valor de b.
A) 1 B) 1/2 C) 1D) 1/2 E) 0
3. Determine la suma de los factores primos del siguiente polinomio.M(a; b)=36a
4 61a2b2+25b2
A) 14aB) 12a+12bC) 25aD) 7a+6bE) 5a 2b
4. Indique el trmino independiente de un factor primo del siguiente polinomio.P(x)=(x 23)
2+3x 67
A) 25 B) 4 C) 22D) 20 E) 16
5. Si 2 es raz del polinomio P(x)=x3 5x+a, en-
tonces determine el factor primo de mayor tr-mino independiente.
A) f(x)=x 2B) f(x)=x 4C) f(x)=x
2 2D) f(x)=x
2 2x 1E) f(x)=x
2+2x 1
NIVEL INTERMEDIO
6. Factorice el siguiente polinomio e indique un factor primo.P(a; b; c; d)=a
2 c2+b2 d2+2(ab cd)
A) a+b+c dB) a+3b+c+2dC) a b+c dD) a+b+c+dE) a+2b+c+d
7. Sea el siguiente polinomio de dos variables.P(x; a)=2x
2 a+2x ab+2xb ax.Halle un factor primo.
A) x+b B) ax+b C) 2x+bD) 2x a E) a+b
8. Dados los polinomiosP(x)=(x2 2x+1)(x2 x 6)
3
Q(x)=(x 1)2(x 3)2(x 4)2
indique el grado del mximo comn divisor de P(x) y Q(x).
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6
9. Si f(x) es un factor primo del polinomioP(x)=(x+3)(x+2)(x+1)x 8, calcule el mayor valor de f(1).
A) 8 B) 7 C) 3D) 2 E) 1
10. Factorice el siguiente polinomio curtico.P(x)=x
4+x2+1
A) P(x)=(x2+x+1)(x2 x+1)
B) P(x)=(x2+1)(x2 x+1)
C) P(x)=(2x+1)(x 1)(x+1)(2x 1)D) P(x)=(x
2+x 1)(x2 x 1)E) P(x)=(x
2 x 1)(x2 x+1)
-
lgebra
13
NIVEL AVANZADO
11. Dado el polinomioQ(x; y; z; w)=(x+y+z+ )(x+y+z+w+5) 24;seale el factor primo de mayor trmino independiente.
A) x+y+z+w 2B) x+y+z+w 3C) x+y+z+w+8D) x+y z w+1E) x y+z w+12
12. Si f(x)=x+b es un factor primo del polinomioP(x)=(a2 b2)x2 2bx 1definido sobre Z, indique lo correcto.
A) P(x) es un trinomio cuadrado perfecto.B) P(x) tiene solo una raz.C) g(x)=x b es un factor de P(x).D) P(x) es un trinomio cuadrado perfecto.E) P(x) tiene 3 factores primos lineales.
13. Factorice el siguiente polinomio sobre Z e indi-que cuntos factores primos tiene.P(x; y)=(x+y)
2(x2+3xy+y2) 6xy(x2+xy+y2)
A) 2 B) 3 C) 4D) 1 E) 5
14. Si S(x) es la suma de factores primos del polinomioP(x)=6x
4 5x3 6x2+3x+2, halle S(x).
A) 2x+1 B) 2(x+2) C) 3x+2D) 3x E) 2(3x+1)
15. Si 2 es una raz del polinomiof(x)=x
5+x4+mx3+x2+x+mindique el factor primo cuadrtico de f(x).
A) x2 x+1B) x2+x+1C) x2 x 1D) x2+x 1E) x2+x 2
-
lgebra
14
Teora de ecuaciones
NIVEL BSICO
1. Si x0 es una solucin de la ecuacinx2+7x5=0, determine el valor de
x xx
02
0
0
171 2
++
A) 5 B) 1 C) 0
D) 1 E) 10
2. Sea la ecuacin polinomial(x+2)(x 1)2 x3 (2x+6)4=0
Halle (a b) si a es la suma de soluciones y b
es la suma de races.
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
3. Resuelva la ecuacin lineal de incgnita x.xa
xb
ab
ab bab
a b+ = ++
2 2
;
A) {a+b} B) {a b} C) {ab}
D) {ab1} E) {b a}
4. Determine el valor de x para que los tres n-meros siguientes estn en progresin aritm-
tica.
3 x; x+1; 2x+1
A) 1/2 B) 2 C) 3/2
D) 4 E) 5/2
5. Si P(x+2)=2x+1, entonces determine la solu-cin x.
P(x 2)+P(x)=6
A) 4 B) 5 C) 6
D) 8 E) 7
NIVEL INTERMEDIO
6. Si b es solucin de la ecuacin x4+4=0, calcu-
le el valor de 21 2
+
A) 1/4 B) 1/2 C) 1D) 2 E) 4
7. Calcule el valor de m n si se sabe que 2 es una raz doble en la ecuacin x6 9x4+mx2+nx+8=0
A) 5 B) 6 C) 49D) 54 E) 64
8. Dada la secuencia de ecuaciones2x 3=13x 7=24x 13=35x 21=4
halle la solucin de la novena ecuacin.
A) 9 B) 10 C) 11D) 12 E) 13
9. Resuelva la siguiente ecuacin lineal de incg-nita x.axb
axb
b+
+ =+1 2
; ab 0 b 1
A) {a1} B) {b1} C) {a}
D) {b} E) {a+b}
10. Determine el valor de x que cumpla lo siguiente2 32010
6 42011
6 92012
0x x x
+
+
=
A) 1,5 B) 1,7 C) 1,8
D) 1,2 E) 1
-
lgebra
15
NIVEL AVANZADO
11. Dada la ecuacin polinomialx x x x x x2 2 2
20
2 6 12 ( ) ( ) ( )... factores cuadrticos
= 0
determine la suma de races de dicha ecuacin.
A) 19 B) 21 C) 21D) 20 E) 20
12. En la ecuacin polinomial(2x+1)n+3(x+n)3(x+1)n=0la suma de soluciones de 1/2.Calcule la suma de races de la ecuacin.
A) 5 B) 4,5 C) 4D) 3,5 E) 3
13. Resuelva la siguiente ecuacin si se sabe que p > 0.
pp
pp
x p p+
=
+
1 1 32
3 32
2 2
A) 13
13p p
+
B) 13
13p p
C) 23
12p p
D) 32
12p p
+
E) 23
12pp
+
UNMSM 2004 - I
14. Si x0 es la solucin de la ecuacinx x x
115664 349248
3464
=
++
calcule el valor de 3 1 103 x .
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 8
15. Resuelva la siguiente ecuacin linealx x x
+
+
= + +2
153
105
625
22
23
A) 5 2 3 +{ }B) 30{ }C) 2 3+{ }D) 2 3 5+ +{ }E) 6 10 15+ +{ }
-
lgebra
16
Ecuacin cuadrtica
NIVEL BSICO
1. Halle el producto de las races de la dcima ecuacinx2+x1=0x2+8x 8=0x2+27x 27=0
A) 729 B) 1000 C) 1000D) 729 E) 812
UNMSM 2000
2. Si la ecuacin kx2+x2 4x+3k 7=0 tiene ra-ces recprocas, entonces halle el valor de k.
A) 4 B) 2 C) 3D) 3 E) 5
UNMSM 2004 - I
3. Sean a y b races de la ecuacin cuadrtica.2x2 6x+14=0. Determine el valor de J.J=(a 1)2+(b 1)2
A) 11 B) 13 C) 20D) 9 E) 2
4. Determine una ecuacin cuadrtica cuyas ra-ces sean
5 32
5 3+( )
+y
A) x2 3x+5=0B) x x2 5 2 0 + =C) x2 2x+4=0
D) x x2 3 5 2 0 + =
E) x x2 2 5 2 0 + =
5. Las ecuaciones cuadrticas que se muestran a continuacin son equivalentes.
a x b x
x a x
+( ) + ( ) + =+ +( ) + =
1 1 1 0
8 1 2 0
2
2
Determine el valor de a+b 1.
A) 6 B) 3 C) 5D) 4 E) 5
NIVEL INTERMEDIO
6. Dada la ecuacin x2 6x 10=0, cuyas races reales son a y b, tal que a > b, determine el valor de (a 2)2+(b+2)2.
A) 19 3+ B) 64 8 19 C) 64 2 19+D) 64 72 E) 2 19
7. Cul es el valor de la suma de las imgenes segn P(x)=x
2 2x+1 de las races de Q(x)=x
2+x 1?
A) 38
5 B) 7 C) 5
D) 10 E) 0UNMSM 2004 - I
8. Se sabe que x1 x2 son las races de la ecua-cin x25x+m=0; y x3 x4 son las races de la ecuacin x2 80x+n=0. Si se sabe que los n-meros x1, x2, x3 y x4 (en el orden dado) forma una progresin geomtrica creciente, enton-ces halle el valor de m+n.
A) 256 B) 260 C) 1024D) 1028 E) 1020
9. Dada la ecuacin de races no reales2x2 (m+1)x+(m+1)=0; mZhalle el mnimo valor de m.
A) 0 B) 1 C) 1D) 8 E) 2
10. Si la siguiente ecuacin cuadrtica en x2x2+2(a+1)x+a2 1=0; a > 0tiene una nica solucin, determine el valor de dicha solucin.
A) 3 B) 2 C) 1D) 4 E) 2
-
lgebra
17
NIVEL AVANZADO
11. Determine el valor de una raz de la siguiente ecuacin cuadrtica en x.(a b)(a+b)x2 2(a3+ab2)x+(a2+b2)2=0
A) a ba b
2 2++
B) a+b C) a b
D) a ba b
+ E)
a ba
2 2
12. Indique la alternativa correcta respecto a la si-guiente ecuacin cuadrtica.cx x b c b2 2 0 + = + ; R R
A) Tiene races no reales.B) Posee races racionales.C) Tiene races reales positivas.D) Posee una nica solucin.E) Tiene races reales de signos contrarios.
13. Dada la ecuacin 4x2 6x+26=0, cuyas races son r y s, adems se define
Sn=rn+sn; n N
Determine el valor de 2 137 5
6
S SS+
A) 0 B) 1 C) 6D) 3 E) 2
14. Sea la ecuacin cuadrtica( ) ( ) ; ;a b x x a b a b + = { } 2 2 0 Zde races reales y negativas.
Calcule el valor de la expresin a bab
3 3
3 1
+.
A) 0 B) 1 C) 1D) 2 E) 3
15. Determine el valor de n si la ecuacin cuadrti-ca mx2+nx 2=0 tiene por conjunto solucin a
2013
2013
2013
20131 2 1+
; ; a 0
A) 2 B) 4 C) 5D) 6 E) 7
-
lgebra
18
Ecuacin de grado superior
NIVEL BSICO
1. Si las races de la ecuacin cuadrtica x2 3x+2=0 son tambin races de la ecuacin cbica x3+(m+9)x2+5x 2=0, indique el valor de m.
A) 10 B) 14 C) 1D) 10 E) 13
2. Dada la ecuacin cbica x3 (n+1) x2+(n+3) x+n=0 de races x1, x2 y x3. Si la suma de races es 4, determine el valor de T.T=x1x2+x2x3+x1x3(1+x2)
A) 4 B) 6 C) 2D) 3 E) 4
3. Si la ecuacin x3 4x2+ax 8=0 tiene dos races que suman 2, determine el valor de a.
A) 8 B) 0 C) 4D) 1 E) 2
4. Si a, b y c son races de la ecuacin x3 7x+1=0 entonces halle el valor de
a aa
b bb
c cc
3 3 31 2 1 3 1+ ++
+ ++
+ +
A) 27 B) 30 C) 32D) 36 E) 0
5. Dada la ecuacin bicuadrada
134
32
5
25
2 0
4 3 2
( ) + + +
=a x
ax
ax
ax a
indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposi-ciones:
I. El valor de a es 12.II. La ecuacin tiene dos races enteras.III. La ecuacin tiene dos races no reales.
A) FFV B) VVV C) VFFD) FVV E) VFV
NIVEL INTERMEDIO
6. Dado f(x)=(x+3)(x 2)(x 4)halle el nmero de soluciones reales de la ecuacin f(x2)=0
A) 5 B) 6 C) 2D) 4 E) 3
7. Si dos de las soluciones de la ecuacin bicua-drada x4 mx2+n=0 son 1 y 2, halle la suma de cuadrados de las soluciones de la ecuacin x2+mx+n=0.
A) 25 B) 17 C) 9D) 41 E) 33
8. Si 2+tan60 es una raz de la ecuacin cbica x3 9x2+mx+n=0, {m; n} Q, halle el valor de m+n.
A) 16 B) 21 C) 5D) 17 E) 2 3
9. Determine el intervalo de variacin de a, de modo que la ecuacin bicuadrada x4+(1 a)x2+2(a 3)=0 tenga solo dos races reales.
A) ; 2 B) 6; 7 C) R {5}D) ; 3 E) 0; 3
10. Las races de la ecuacin bicuadrada 2x4 40x2+m=0 estn en progresin aritmti-ca. Determine el valor de m.
A) 25 B) 72 C) 50D) 300 E) 150
-
lgebra
19
NIVEL AVANZADO
11. Si A x x x x= ={ }Z / 5 35 36B x x A= { }Z /( )3
halle (A B) (A B)
A) { 3; 6}B) {3; 0; 3; 6}C) {3; 0; 3}D) {3; 3}E) {0; 3; 6}
12. Si la ecuacin cbica x3 x+1=0 tiene CS={a; b; c}, calcule el valor de J.
Ja b ca b b c c a
=
( )
( )
( )+( ) +( ) +( )
2 2 21 1 1
A) 1 B) 12
C) 0
D) 1 E) 2
13. Sea Ka
a
=
+( )
( )+ 1 6
1 6
0 8
0 81 3
,
,/
donde a es raz de la ecuacin x3 x 6=0. Halle la expresin equivalente a K.
A) 1 0 8 16 9+ +a a, /
B) 1 4 3 8 3+ +a a/ /
C) 1 0 6 22 3+ +a a, /
D) 1 8 81 16 81+ +a a/ /
E) 1 0 8 16 9 +a a, /
UNMSM 2002
14. Determine el valor de n en la ecuacin2x3 18x2+nx 54=0, de modo que sus races sean positivas.
A) 3 B) 9 C) 27D) 54 E) 81
15. Si la suma de las races positivas de la ecuacin bicuadrada x4 (m+1)x2+m=0 es el 75 % del producto de todas las races, calcule el valor de la menor raz (m Z+).
A) 2 B) 0 C) 1D) 2 E) 4
-
lgebra
20
Desigualdades e Intervalos
NIVEL BSICO
1. Dado el conjunto M={t Z/0 < t < 4}, cuntos elementos tiene M?
A) 7 B) 6 C) 8D) 4 E) 3
2. Sean A=2; 5], B=1; 8 y C=3; +Determine M=(A B) C.
A) [3; 5] B) 2; 3] C) 2; +D) 3; + E) [8; +
3. Sean los conjuntosA={x R/ 5 2x+1< 3}B= 5; 1],determine (A B)C
A) R
B) ; 3 [0; +C) R+D) ; 3] [1; +E) ; 3] 0; +
4. Se definen los siguientes conjuntos
Ax
x=+
+2 13
10Z /
B={x/x es divisor de 60}Calcule n(A B).
A) 30 B) 7 C) 6D) 12 E) 15
5. Un nmero racional de denominador 112 es mayor que 1/8, pero menor que 1/7. Halle la suma de las cifras de su numerador.
A) 15 B) 6 C) 8D) 14 E) 9
UNMSM 2011- II
NIVEL INTERMEDIO
6. Sea Pn
nnn
=
+
11
; una familia de intervalos
acotados. Halle P1 P2 P3.
A) 112
; B)
12
23
; C)
13
34
;
D)
12
12
; E)
13
12
;
7. Dados los conjuntos
A={x R/x < 5 2x 1 1}
B xx
= +
c aB) b < c aC) d c > b aD) d b > d cE) d b > b a
UNMSM 2000 - I
-
lgebra
21
10. D el valor de verdad de las siguientes propo-siciones
I. 12
16
112
1110
1+ + + +
-
lgebra
22
Teoremas de desigualdades
NIVEL BSICO
1. Sean a; b y c nmeros reales que verifican a > 1 > b > 0 > c > 1, entonces el valor de
a+b+c siempre es
A) positivo.
B) cero.
C) negativo.
D) mayor que 1.
E) menor que 1.
2. Si (2x 1) [ 5; 4, a qu intervalo pertenece (3 5x)?
A) R B) 1; 4 C) 192
13;
D) 1; 2 E) 2; 8
3. Si 17
13
15
2x2+x 4e indique el complemento del conjunto so-lucin.
A) 3 2 3 2 +;
B) + 3 2 3 2;C) 3 + +2 3 2 2 ;D) 3 2 3 2 + ;E) 2 2;
5. Indique el mayor valor entero de n que satisfacex2+3x+5 n ; x R
A) 1/4 B) 2 C) 1D) 3 E) 3
NIVEL INTERMEDIO
6. Si el conjunto solucin de la inecuacin(1 2x)2 < 3 es a; b, determine el valor de b a.
A) 3 B) 3 C) 2 3
D) 32
E) 2 3 1+( )7. Al resolver la inecuacin en x: x2 nx+n 1, se
obtuvo como conjunto solucin {m}. Determi-ne el valor de m+n.
A) 1 B) 2 C) 3D) 1 E) 4
8. Si el polinomio cuadrtico P(x)= x2 4x+(2 K)
es siempre negativo para cualquier valor real asignado a su variable, indique el intervalo de variacin de K.
A) ; + ;23
56
B) ;235
C) 235
8;
D) 235
6;
E) 6; +
9. Determine el conjunto solucin de la siguiente inecuacin.
x xx
x xx
( ) +( ) +
> ( ) +( ) +
5 318
6 418
A) f B) R C) {5}D) R {8} E) R+ {8}
10. Si la inecuacin polinomial(m 1)x2+nx m tieneCS={x R/x 1/2}, calcule el valor de m+n.
A) 2 B) 1 C) 0D) 1 E) 2
-
lgebra
25
11. Resuelva la siguiente inecuacin polinomial.(x2 x+2)(x2+x 6)(x 5) 0
A) 3; 2 3; 5B) [ 3; 2] [3; 5]C) [ 3; 2] [5; +D) [ 2; 3] [5; +E) [ 6; 0] [2; 5]
NIVEL AVANZADO
12. Resuelva la inecuacinx x
++
+
2 21
1;
e indique la menor solucin entera.
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 0
14. Si el sistema de inecuaciones
x x
x a
2 8 9 0
tiene conjunto solucin unitario, indique el va-
lor de a.
A) 8 B) 8,5 C) 9
D) 1 E) 7
15. Determine el nmero de valores enteros que puede tomar x en la siguiente inecuacin de
incgnita x
x a x x x a+( ) + +( ) < + 1 334
34
22 2
si a Z a< 3
A) a 1 B) a C) a
D) a+1 E) a 1
16. Al resolver la inecuacin lineal de incgnita x:x2+2(2a 3b)x+36m < 0,
se obtiene CS=a2+4; b2+9. Calcule el valor
de a+b+m.
A) 5 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
-
lgebra
26
Valor absoluto
NIVEL BSICO
1. Determine la mayor solucin de la ecuacin siguiente
|x 1|=|5 3x|
A) 2 B) 3/2 C) 1
D) 1 E) 0
2. Determine el conjunto solucin de la ecuacin modular
|3x 6|+|2x+6|=|3x+9|+|2x 4|
A) { 1} B) { 1/2} C) { }
D) { 2} E) {0}
3. Resuelva la ecuacin modular.(x 3)2 |x 3| 2=0
A) CS={1; 5}B) CS={5}C) CS={1}D) CS={0; 1; 5}E) CS=f
4. Dado el conjunto
M x x x= 8
A) 3; 4
B) R [ 2; 4]
C) 3; 4
D) 8; +
E) R [ 4; 2]
9. Al resolver la inecuacin x2+x+|x|+1 0, po-demos afirmar que
A) x= 1 B) x {0; 1} C) x > 0
D) x < 0 E) CS=f
-
lgebra
27
10. Si a R b R+, tal que |x a| < 2b, determi-ne la variacin de F.
Fb
x a b=
+ 3
A) 15
1; B) 15
35
; C) 1; 1
D) 0; 1 E) 115
;
11. Dada la expresin f(x)=|x| |x 3|, determine fmx.
A) 1 B) 3 C) 5
D) 8 E) 13
NIVEL AVANZADO
12. Dada la ecuacin
kx n nk
n
=
= +( )1
210
determine la menor solucin.
A) 10 B) 20 C) 10
D) 0 E) 20
13. Resuelva la siguiente ecuacin + + + + + =x x x x3 2 1 2 44
D como respuesta la suma de los cuadrados
de las soluciones.
A) 180
B) 81
C) 29
D) 74
E) 162
14. Determine la suma de los valores enteros de
fx
xx( )=
6 235
si x [ 2; 4]
A) 10 B) 12 C) 15
D) 21 E) 28
15. Determine el menor valor entero de M que sa-tisfaga la desigualdad.
2 11
12
xx
M+
+ , para x [4; 7]
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
16. Determine el complemento del conjunto solu-cin de la siguiente inecuacin.
3|x|+|x 2| 6
A) 1; 2
B) ; 1 2; +
C) [ 1; 2]
D) f
E) [ 1; 2[3; 4 [5; +
-
lgebra
28
Logaritmos
NIVEL BSICO
1. SeanA=log28+log5125 log100
B=7log73+9log92+10log2
determine el valor de A B.
A) 35 B) 24 C) 12D) 7 E) 28
2. A qu es igual el logaritmo de 910 en base 815 ?
A) 4 B) 1/4 C) 2D) 1/2 E) 1/8
3. Reduzca la siguiente expresinlog log ,
log
,
log log3 0 3
35 2 2
3
9 0 09
5
+
A) 6 B) 8 C) 3D) 9 E) 4
4. Reduzca la siguiente expresinlog log log
log log;log log
3 49 53
24 3 2
125 81 7
2 40
+ >x x
xpi pi
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 6
5. Simplifique la expresin M.
M x x x xx xx
= ( )+ +log log log colog3 1
4
1 41
22
A) 1/3 B) 2/3 C) 2/3D) 7/3 E) 11/3
NIVEL INTERMEDIO
6. Determine el valor reducido de E.
E = ( )
log log log log4 2 12 2
4 2
A) 1/4 B) 1/2 C) 1D) 1/8 E) 2
7. Se define en R+ la expresin
fx
yx yy
x;
log
log( ) =+
+
1
1
Evale f
f2 9
16 3
;
;
( )( )
A) 8 B) 4 C) 1D) 1/2 E) 1/8
8. Si a y b son las races positivas de la ecuacin cuadrtica x2 3x+m2=0; (m > 0 m 1), cal-cule el valor reducido de M.
M=logmab+logma
a+logmbb+logmb
a
A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7
9. Si log357=l, determine la expresin equivalen-te de log 5 175 en funcin de l.
A) 22 2
B)
4 21
C)
12 2
+
D) 22 2
+
E)
22 2
+
+
10. Dada la funcin
fnn
= + + + +
log log ... log112
113
111
.
determine el valor de f99.
A) 2 B) 1 C) 0D) 1 E) 2
NIVEL AVANZADO
11. Calcule el valor de M.
M = +( ) ( )+( ) +( )log log2 1 3 2 23 2 2 2 1
A) 1/3 B) 6/5 C) 1/2D) 2 E) 5/2
-
lgebra
29
12. Dada la expresin
Ea b
a bb a
=
++
+ > >
11
11
1 1log log
; ,
determine el valor de logaE+logbE.
A) 2
B) a+b
C) ab
D) 0
E) 1
13. Si tenemos quelogyx+logxz+logzy=logxyz1,
determine el valor de
log log logy z xx y z2 3 2 3 2 3( ) + ( ) + ( )
A) 24
B) 36
C) 18
D) 16
E) 12
14. Si loga00=m, halle logaa0.
A) m
m 2
B) mm
12
+ 2C)
mm
D) m 1
E) 2m 3
UNMSM 2006 - II
15. Determine el valor reducido de la expresin N.
N aaa c
a=
( )
log log
log; a > 0 c > 0 a 1
A) a
B) c
C) ac
D) a2c
E) ac2
-
30
lgebraEcuacin e inecuacin logartmica
NIVEL BSICO
1. Sean {x; y} R+ {1}, tales quelog
logy
x
x
y
+
+=
1
12
Qu relacin existe entre x e y?
A) x=y2 B) y=x2 C) x y=
D) x=y E) yx
=
1
2. Halle el valor absoluto de la diferencia de las soluciones de la ecuacin
13
1243
162
3 23 + =
log
log logx
x
A) 6 B) 5 C) 4D) 3 E) 2
UNMSM 2005 - I
3. Indique el valor de x R que resuelva la si-guiente ecuacin.
2 80 515, ,
x=
A) 1,58B) log(log2)C) log2(log3/2)D) log3/2(log23/2)E) no existe
4. Resuelva la siguiente ecuacin.log0,1(x 1) > 2
A) 2; 100 B) 1; 101 C) ; 101D) 1; + E)
5. Resuelva la inecuacin logartmica.log3(2x 1) log3x
A) 0; 1/2B) 1/2; 1]C) 0; 1]D) [1/2; 1]E) [1/2; +
NIVEL INTERMEDIO
6. Si x0 es solucin de la ecuacin
a bb x a b a x b alog log log log log log2 3
1( )( )( ) ( )( )( )+ =con {a; b} R+, calcule el valor de x0
5 1 .
A) 0 B) 5 C) 3
D) 2 E) 32
7. Si x0 es solucin de la ecuacin
13
43
16
1
log ( )log( )log( )x
xx+
+
+=
calcule el valor de x0.
A) 1/2 B) 2 C) 1D) 1/2 E) 3
8. De la siguiente ecuacin
pi pi23 1
9x
=
indique la solucin.
A) 2 B) log93 2 C) log2
3 9
D) log33 9 E) log4
3 9
9. Halle la suma de los cuadrados de las solucio-nes de la ecuacin.
236
3139 4
loglog
xx
+ =
A) 2 B) 5 C) 8D) 13 E) 18
10. Resuelva la inecuacin logartmica
5 2 3 322log loga ax x( ) + ( ) considere que 0 < a < 1.
A) ; a2]B) [a2; +C) RD) 0; a2]E) ; a2
-
31
lgebra
NIVEL AVANZADO
11. Resuelva el siguiente sistema.log ( ) log ( )log log
2 28 16 11
4 7 104 7
x yx y
+ =
+ =
A) {(8; 2); (2; 8)}B) {(7; 3); (3; 7)}C) {(5; 5)}D) {(4; 6); (6; 4)}E) {(1; 9); (9; 1)}
12. Resuelva el sistema de ecuaciones en R+; (a 1 b 1)
a b
b a
a b
a b
+
+
=
=
3
12
y seale el valor de ab
2
2.
A) 1/2B) 1/4C) 2D) 4E) 1
13. Calcule el producto de las soluciones de la si-guiente ecuacin logartmica.
log log logx x x2 2 24
16 =
A) 16 B) 8 C) 6D) 4 E) 2
14. Resuelva la inecuacin logartmicalog2(4 x
2) 1e indique una intervalo solucin.
A)
72
72
; B) R C) 72
2;
D) 2; 2 E) 2
72
;
15. Si el conjunto solucin de la inecuacin loga-rtmica
log ( ) log ( )3 13
2 1 5 0x x+ + >
es el intervalo a; b, calcule el valor de a+b.
A) 9/5 B) 13/6 C) 0D) 1/30 E) 2
-
32
lgebraFunciones I
NIVEL BSICO
1. Se define la relacin G:A A.G={(x; y) AA / y < x+1};A={2; 3; 4}Cuntos elementos tiene dicha relacin?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
2. Dada la funcin f como se indica
A Bf
1
2
3
4
3 2
4
7
2+1
indique el valor reducido de
f f f
f f f( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
13
23
33
1 2 34
+ +
A) 1/4
B) 0
C) 3/4
D) 1/2
E) 9/4
3. Halle el dominio de la funcin h.
h x xx( ) = 62
A) Dom(h)=[0; 2]
B) Dom(h)=[0; 3]
C) Dom(h)=[ 2; 3]
D) Dom(h)=[ 3; 2]
E) Dom(h)=[ 2; 2]
4. Halle el dominio de la funcin
fxx( )
=
+
31
si su rango es el intervalo 2; 6.
A) Dom(f)= 2; 2
B) Dom(f)= 1/2; 1/2
C) Dom(f)=0; 1/2
D) Dom(f)= 1; 1
E) Dom(f)= 2; 1
5. Halle el rango de la funcin f(x)= x2+2x si se
sabe que su dominio es igual al conjunto de
los nmeros reales.
A) ; 1]
B) ; 0]
C) ; 1
D) ; +
E) [0; +
UNMSM 2010 - I
NIVEL INTERMEDIO
6. Dado el conjuntoS={ 2; 1; 0; 1}y las funciones
f: S R y g: S R
tal que
f(x)=mx2 nx+1 y
g={(1; m), (0; m), ( 1; n), (n; 2), ( 1; m)}Calcule el valor de f g n( )( ).
A) 11 B) 12 C) 13
D) 1 E) 8
-
33
lgebra
7. Dada la funcinf={(t+1; t2 1) / t R+}halle la regla de correspondencia de f.
A) f(x)=x+1
B) f(x)=x(x 1)
C) f(x)=x2 1
D) f(x)=x(x 2)
E) f(x)=x(x+2)
8. Dada la funcin f: A R definida por
f x y y x xx= = ( ){ }
( ; ) / logR R 12 2
halle su dominio.
A) 2; 3
B) 1; 2
C) 2; +
D) 2; 10
E)
9. Dadas las siguientes funcionesf={(x; y) RR / y=2x+3 x 2; 7/2]}g={(x; y) RR / y=3 x x Ran(f )}halle el rango de g.
A) [ 10; 1
B) 1; 10]
C) [ 4; 7
D) [ 7; 4
E) 2; 7/2]
10. Determine el nmero de elementos enteros no negativos que se encuentran en el rango de la
siguiente funcin.
fx x x
xxx( ) ; ;=
+ + [
3 210 229 1
A) 13
B) 12
C) 14
D) 15
E) 11
NIVEL AVANZADO
11. Halle el dominio de la funcin
fx x
x( )
/
log=
54
2 1 2
A) [1; 5
B) [1; 4]
C) 1; 3
D) 1; 4
E) [1; 3]
12. Si el rango de la funcin
fxxx( )
=
+
+
2 42 3
es el intervalo 1; 6/5]
determine su dominio.
A) 1; +
B) 1; +
C) [ 1; +
D) 1; 2]
E) [1; +
13. Si el dominio de la funcinf(x)=x
2 6|x|+10 es el conjunto [ 7; 3]
determine su rango.
A) [9; 49]
B) [0; 49]
C) [10; 17]
D) [1; 17]
E) 1; 17
-
34
lgebra
14. Cul es el mximo valor de la siguiente ex-presin?
fx x
xx( )log log
;= +
>64
502 2
A) 645
B) 16
C) 32
D) 643
E) 64
15. Dada la funcin
fx
xx
xx( )
;
;= +
>
50
0 0resuelva la inecuacin x 2 f(x).
A) ; 11 1
B) +( ) 1 11 11 1;
C) 11 1 + ;
D) ; 2]
E) [2; +
-
35
lgebraFunciones II
NIVEL BSICO
1. Dada la grfica de la funcin lineal F.
X
Y
5
5
determine F(x).
A) F(x)=x+5
B) F(x)= x 5
C) F(x)= x+5
D) F(x)=x 5
E) F(x)=10x+5
2. Indique la grfica de la siguiente funcinf(x)=|4x 4|+|3x 3|
A) Y
X 1
B) Y
X1
C) Y
X 2
D) Y
X2
E) Y
X1
3. Indique el vrtice de la funcinf(x)=4x
2+8x 11
A) (1; 15) B) (1; 15) C) (1; 15)D) (1; 15) E) (2; 2)
4. Dada la grfica de la funcin f(x)=x3.
a b c
Y
X
27
8
1
Calcule el valor de 1 1 1 14
a b c abc
+ + + .A) 2 B) 16 C) 49/9D) 25/36 E) 1
5. La suma de las coordenadas de los puntos de interseccin de los grficos de las funciones f y g, definidas en el conjunto de los nmeros reales esf(x)=x
2 2x+3
gx
x( ) = +22
A) 31/4 B) 31/3 C) 41/4D) 41/3 E) 33/4
UNMSM 2011 - II
-
36
lgebra
NIVEL INTERMEDIO
6. Determine el rea de la regin triangular que encierra la grfica de las funciones siguientes.f(x)=2x; g(x)= x; h(x)=x+2
A) 1 u2 B) 2 u2 C) 3 u2
D) 3/2 u2 E) 1/2 u2
7. Sea la funcin
fx x
x xx( )
;
;=
+
+ >
1 232
6 2
indique su grfica.
A) Y
X
B) Y
X
C) Y
X
D) Y
X
E) Y
X
8. Esboce la grfica de la siguiente funcin.
f
x x
x
x xx( )
;;
;
=
+ >
=
1), calcule el valor de b2
si la grfica de f es la que se muestra.
Y
X
(0; 1)
0 4
(4; 16)
A) 1 B) 2 C) 4D) 3 E) 5
2. Halle el complemento del conjunto solucin de la siguiente inecuacin.
2 21x x
A) ; 2] [2; +
B) [0; 2]
C) 2 2;
D) ; 2]
E) 2; 2
3. Halle el rango de la funcin exponencial
h xx
( ) =2 1
A) 0; 1]
B) 0 2; C) 0; 1
D) [1; 2]
E) 0; 1/2]
4. Dada la funcin f(x)=logax+b cuya grfica se muestra a continuacin
f1 (2; 0)
Y
X
y=x
determine el valor de a+b.
A) 1 B) 1/2 C) 3/2D) 1 E) 0
5. Determine la grfica de la funcin ff(x)=log2|x|
A) Y
X
B) Y
X
C) Y
X
D) Y
X
E) Y
X
-
40
lgebra
NIVEL INTERMEDIO
6. Halle el dominio de la funcin f.
f xx x
( ) = 16 22
A) ; 4] B) [4; + C) [2; 4]D) [ 2; 3] E) [0; 4]
7. Si 2(4x) 3(2x) 20=0, halle el valor de log2(4x).
A) 2 B) 3 C) 4D) 8 E) 16
UNMSM 2011- II
8. Halle el conjunto solucin de la inecuacin2x+4(2x 4 1) < 2x 16
A) 1; 16 B) 0; 16 C) 0; 4D) 2; 8 E) 4; 46
UNMSM 2011- II
9. Halle el dominio de la funcin
g xx( ) log log= 2 13A) 0; 1 B) 1; + C) 1; 2D) 0; 1/2 E) 0; 1/3
10. Sea x un nmero positivo.Determine el mximo intervalo donde se en-
cuentra comprendida la expresin lnx
x + 1
A) 1; 0 B) 0; + C) 0; 1D) ; 0 E) 0; 1
UNMSM 2004 - II
NIVEL AVANZADO
11. Si 22y+1+5 2y=12, halle 2(y+1).
A) log23 B) 3log25 C) log29D) 7log27 E) 1/2log23
UNMSM 2011- II
12. Halle el conjunto solucin de la inecuacin
| | | |x xx x+( ) > +( ) +1 12 2 5 2 14
A) + ; ;32
4
B) 32
4;
C) 4; +
D) ;
32
E) + ; ;32
32
UNMSM 2010 - II
13. Si f(x)=e2x+e 2x+a y f(0)=4,
halle el rango de f.
A) [2; + B) [ 4; + C) [ 2; +D) [4; + E) [6; +
UNMSM 2008 - II
-
41
lgebra
14. Esboce la grfica de la funcin g si su regla de correspondencia est dada porg(x)=|2
x 1|
A) Y
X
g1
B) Y
X
g1
C)
1
Y
X
g1
D) Y
X
g1
E) Y
Xg
1
15. Esboce la grfica de la funcin h.h(x)=|log(x 2)+3|
A)
X
Y
1 3
32
4
B)
X
Y
2 3
C)
X
Y
2 3
3
D)
X
Y
3
3
E)
X
Y
1
-
42
lgebraMiscelnea
NIVEL BSICO
1. Dados los polinomios P(x+1)=x
2+Q(x) 1 Q(x 1)=2x P(x)+1
calcule el valor de P
Q( )
( )
1
0.
A) 1 B) 0 C) 2D) 1/2 E) no existe
2. Si P(x; y)=xm+14yn 5xny2m+4+7x10y39
es un polinomio homogneo, halle el grado relativo respecto a la variable x.
A) 28 B) 25 C) 22D) 20 E) 18
3. Calcule la menor raz de la ecuacinx2+mx2 15x+3mx 24=0si se sabe que tiene races simtricas.
A) 2B) 1/2C) 5D) 2E) 4
4. Si r, s, t son las races de la ecuacin3x3+2x2+x+1=0, halle el valor de
3 2 2 2r s trs rt st
+ +( )+ +
A) 2 B) 2 C) 3D) 3 E) 6
5. Calcule el valor de K.
K = + +log log log8125
827
3425
32243
81
A) 19B) 11C) 19/3D) 9/4E) 11/2
NIVEL INTERMEDIO
6. Si x =+5
5555 55
Calcule el valor de x555
.
A) 5 B) 1/5 C) 1D) 25 E) 5
7. Si (x0; y0) ZZ es solucin del sistema de inecuacin lineales
y x
y x
x
>
y0y satisfacen el sistema de ecuaciones
xy x y
x y
( )+ =
+ =
30
353 3
halle el valor de x0 y0.
A) 5 B) 2 C) 1D) 3 E) 4
13. Halle la suma de valores de x que satisfacen la ecuacin2|x+3| 3|x 6|+|x 15|=x+6
A) 3 B) 7 C) 10D) 15 E) 18
14. Calcule el rea de la regin determinada por el siguiente sistema de inecuaciones.x y
y x
x
x y
+
2 153
70 0;
A) 192
2u B) 352
2u C) 672
2u
D) 632
2u E) 452
2u
15. Determine la suma de las soluciones de la si-guiente ecuacin exponencial.(2x 4)3+(4x 2)3=(4x+2x 6)3
A) 3/2 B) 2 C) 5/2D) 3 E) 7/2