algebra-1 uni-2015-semestral intensivo(academia cesar vallejo)

1

Preguntas propuestasPreguntas propuestas

3

ÁlgebraSemestral Intensivo UNIBoletín 1 Semestral Intensivo UNI 1ra. Revisión (11 julio, 2013 5:24 p.m.)

NIVEL BÁSICO

1. Halle la suma A de números complejos. A=(1+i)+(2+i 2)+(3+i 3)+...+(4n+i 4n)

A) n(2n+1) B) 2n(4n+1) C) 0D) n(4n+1) E) 2n(4n – 1)

UNI 2004 - I

2. Se tienen los números complejos.

z1=[(1+i)5+(1 – i)5]n; i = −1

z2= – 512+a i

Si z1=z2 ∧ z2 es un complejo real, determine n.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3. Halle el valor de 3

23

2

280

−

i .

A) 2280 B) 3280 C) 2120

D) 32

140

E) 3140

4. Calcule el mayor valor de |z+3 i| si z cumple que i z2+3|z|2=8z.

A) 5 B) 5 C) 2

D) 2 E) 10

5. En la siguiente ecuación, determine el número de soluciones.

z2=z; z ∈ C

Números complejos

A) 5 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

6. Si z es un número complejo definido por z=x+yi; x, y ∈ R tal que a ≠ b y |z+ai|=|z+bi|, entonces determine el valor de

E=z – z+(a+b)i

A) – 2 B) – 1 C) 1D) 2 E) 0

7. Si |zi|=4; Arg z i12

+( )[ ] =π

entonces el número complejo z en su forma polar es

A) 44 4

cos senπ π

+

i

B) 24 4

cos senπ π

+

i

C) cos senπ π4 4

+

i

D) − +

cos senπ π4 4

i

E) − +

24 4

cos senπ π

i

UNI 2003 - I

8. Si Arg(z+i)=0 y Arg z i−( ) =74π

determine |z|.

A) 5 B) 5 C) 2D) 3 E) 1

Aritmética+ –×÷∑ 4 Ω AA

β

− ∈ 2 1 33xB xZ

−

1

23a

b

≠: , 0nx x

R yy

αÁlgebra

2

Álgebra

4

Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 1

A) 6 3+ i B) 6 6 3− i C) 1 3 3+ i

D) 1 2 3− i E) 6 6 3+ i

15. Determine el valor de la expresión

cos senπ π2 2

77

+

i

A) 1 B) – 1 C) – iD) i E) 1+i

16. Si Arg z −( ) =223π

donde |z|= 2, determine Arg(z).

A) π6

B) π3

C) 23π

D) π4

E) π9

17. Respecto a las siguientes proposiciones, indi-que el valor de verdad (V) o falsedad (F) según corresponda.

I. Re(iz)= – Im(z); z ∈ C II. Re(z)=Im(iz); z ∈ C

III. Si Im Imzz

( ) > →

<0

10; z ∈ C

IV. 3

2 11

30 19⋅ −−

= +i i

ii

A) VVVV B) VVFF C) VFVFD) FVFV E) FFFF

18. Determine la parte real del número complejo z i= +1

A) 12

2 2 1−( )

B) 12

2 2 1−

C) 12

2 2+

D) 12

2 2 2+

E) 12

1 2 2+

NIVEL INTERMEDIO

9. Calcule

Ei i i i

i i i i= − + − + − ( )

+ + + +

− − − −1 2 3 4

2 3 4...

...

90 sumandos

90 sumandoos( )

A) – 1 B) i C) 90D) 90 i E) 1

10. Si los complejos z z2 2 1

4− +

;

2 – i son iguales; además, la parte real de z es positivo, halle A=|2z+4( – 3; 1)|.

A) 11 B) 10 C) 12D) 13 E) 14

11. Sean u, v ∈ C – R

donde zu uv

v=

−−1

; z ∈ R

Determine |v|.

A) 3/2 B) 3 C) 2D) 1 E) 1/2

12. Si Zr i

r i= +

−1 4

8

2

2 donde r ∈ R

entonces determine el módulo del complejo

Z i− 34

A) 0 B) 1 C) 1/2D) 3/4 E) 1/4

13. Después de efectuar z=(1 – i)+(1 – i)2+(1 – i)3+...+(1 – i)8k; k ∈ N indique el argumento principal de z.

A) π2

B) π3

C) π4

D) π5

E) π6

14. ¿Qué número complejo se debe sumar a

1 34

−( )i para que el resultado sea un número complejo de módulo 4 y argumento 120?

3

Álgebra

5

Semestral Intensivo UNI Álgebra

NIVEL AVANZADO

19. Dados los complejos no nulos z=(a; b) y w=(b; – a) halle el módulo de z – w si 2z · w=(z – w)3.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 2 E) 2

2

20. Sea z un número complejo definido por

zi

i=

−− +

2 23

30

determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. El módulo de z es de la forma 2n; n > 10.

II. Arg z n( ) = +( )π2

4 3 ; n ∈ Z

III. El afijo de w=z(1+ i ) está en el segundo cuadrante.

A) VFF B) VVF C) FFVD) VVV E) FVV

21. Considerando el plano de Gauss.

Im(z)z1

z2

2

Re(z)

– 1

135º

si z2 es el producto de multiplicar z1 y w, halle

ReIm

ww

( ) +( ) +

22

A) 3/5 B) – 3/5 C) 2/5D) – 2/5 E) 1/5

22. Determine la representación geométrica de todos los puntos del plano complejo que satis-facen la condición

|z – 1| ≤ 6 – |z+1|

A)

2(0; 2 )

2(0; – 2 )

(3; 0)(– 3; 0)

B)

2(0; 2 )

2(0; – 2 )

(3; 0)– 3

C)

22

2– 2

3– 3

D)

2 2

2– 2

3– 3

E) 222– 2

3

– 3

23. Si z=(a; b) es una de las raíces de x i5 1 3= − , que se encuentra en el primer

cuadrante, determine a/b.

A) 12

B) 3

3

C) − 3

D) 3

E) −3

2

4

Álgebra

5


NIVEL AVANZADO

19. Dados los complejos no nulos z=(a; b) y w=(b; – a) halle el módulo de z – w si 2z · w=(z – w)3.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 2 E) 2

2

20. Sea z un número complejo definido por

zi

i=

−− +

2 23

30

determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. El módulo de z es de la forma 2n; n > 10.

II. Arg z n( ) = +( )π2

4 3 ; n ∈ Z

III. El afijo de w=z(1+ i ) está en el segundo cuadrante.

A) VFF B) VVF C) FFVD) VVV E) FVV

21. Considerando el plano de Gauss.

Im(z)z1

z2

2

Re(z)

– 1

135º

si z2 es el producto de multiplicar z1 y w, halle

ReIm

ww

( ) +( ) +

22

A) 3/5 B) – 3/5 C) 2/5D) – 2/5 E) 1/5

22. Determine la representación geométrica de todos los puntos del plano complejo que satis-facen la condición

|z – 1| ≤ 6 – |z+1|

A)

2(0; 2 )

2(0; – 2 )

(3; 0)(– 3; 0)

B)

2(0; 2 )

2(0; – 2 )

(3; 0)– 3

C)

22

2– 2

3– 3

D)

2 2

2– 2

3– 3

E) 222– 2

3

– 3

23. Si z=(a; b) es una de las raíces de x i5 1 3= − , que se encuentra en el primer

cuadrante, determine a/b.

A) 12

B) 3

3

C) − 3

D) 3

E) −3

2

6


24. Si z ∈ C, tal que z20 – i=0, determine el valor

de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes

proposiciones:

I. La primera raíz es eiπ

20.

II. Una raíz es ei4140

π

.

III. En el tercer cuadrante existen 9 raíces.

A) FFF

B) VVV

C) VFV

D) FVF

E) FFV

25. Dadas las siguientes proposiciones:

I. Las raíces de ein – 1=0 pertenecen a un po-

lígono regular de n lados; ∀ n ∈ N.

II. Si ei q=a+bi y θπ π

∈4

34

;

entonces a ∈ −2

22

2; y b ∈

22

1;

III. Dados a; b ∈ ⟨0; 2p⟩, tales que b > a

si cosa=cosb, entonces ei(a+b)=1.

¿Cuáles son correctas?

A) solo I B) solo II C) solo III

D) I y II E) II y III

5

Álgebra

7

Semestral Intensivo UNI Álgebra 02SEMANA

NIVEL BÁSICO

1. La ecuación polinomial (x – n)4(2x+3)p(x – p)n(5x – 1)n=0

admite 10 raíces cuya suma es 115

.

Halle np

.

A) – 1/4 B) 1/3 C) – 1/3D) 1/4 E) 1/5

2. ¿Para qué valor de m la ecuación cuadrática (m – 5)x2 – 24x+9=0 tiene solución única?

A) 8 B) 9 C) 21D) 22 E) 10

3. En la ecuación 2x2 – (m – 1)x+m+1=0 ¿qué valor debe darse a m para que las raíces

difieran en uno?

A) 10 B) 11 C) 2D) 3 E) 1

4. Si las ecuaciones en x 5nx2 – 2nx+1=0; n ≠ 0 x3 – a3+3a2x=3ax2

son equivalentes, halle el valor de 1

n a+.

A) 26/5 B) 13/5 C) 10/3D) 10 E) 5/26

5. Si una de las raíces de la ecuación x5 – 4x3+mx+9 – m=0 es igual a ( – 2) indique el producto de todas

sus raíces.

A) 5 B) 4 C) – 3D) – 6 E) 3

6. Determine una raíz. x4+3x3+5x2+4x+2=0

A) −+1 32

B) 1 3

2−

C) 1 3

2− i

D) − +1 3

2i

E) − +1 3i

7. Si a; b y c son raíces de la ecuación 2x3 – 6x2+7x+1=0 determine a2+b2+c2.

A) 14 B) 30 C) 43D) 5 E) 2

8. Si a; b y c son raíces de P(x)=x3+3x+1

determine Eabc

bac

cab

= + +3 3 3

A) 12 B) 24 C) – 18D) – 36 E) 48

9. Dada la ecuación polinomial x (x+3)4+m(x+3)2+n(x+3)+p=0 donde m; n; p ⊂ Q posee raíces 3 3 3− −; i halle m+n+p.

A) – 2 B) 1 C) 5D) – 5 E) – 1

NIVEL INTERMEDIO

10. ¿Qué podemos afirmar acerca de las raíces de la siguiente ecuación?

ax2 – bx – a=0; (a ∧ b ∈ R+)

A) Son reales y diferentes.B) Son reales e iguales.C) Son complejas conjugadas.D) Son imaginarias puras.E) No se pueden determinar.

Ecuaciones polinomiales

6

Álgebra

8


11. Determine el valor de m para que las raíces de la ecuación

xmx

x+ = ≠2 1

20;

sean recíprocas.

A) 2 B) 1/4 C) 1/2D) 8 E) 4

12. En la ecuación ax2 – (a – 5)x+1=0 el producto de raíces es igual a su diferencia.

Determine una raíz.

A) 2/3 B) – 1/6 C) 1/4D) 1/2 E) – 3/4

13. Dada la ecuación cuadrática a(b – c)x2+c(a – b)x+b(c – a)=0; x1; x2 raíces determine x x x xx x

12

21

1 2+ − .

A) 1 B) – 1 C) 2D) – 2 E) 3

14. Determine el valor de a si las ecuaciones 4x2=(a – 2)( – 2x+1) 2x – a=4x2

admiten una sola raíz común.

A) – 2 B) – 1 C) 2D) 1 E) 3

15. Dada la ecuación cuadrática 2x2 – 3x+5=0; x1; x2 raíces

determine xx

xx

12

1

22

2

41

41

++

++

+.

A) – 1 B) 2 C) 1D) 3 E) – 3

16. Determine el valor de n para que la suma de cuartas potencias de las raíces de la ecuación

x3 – 2nx2+(n2+1)x – n=0 tenga su mínimo valor.

A) – 1 B) – 2 C) – 3D) – 4 E) – 5

17. Calcule (m – n) si se sabe que en la ecuación x6 – 9x4+mx2+nx+8=0 2 es una raíz doble.

A) 5 B) 54 C) – 6D) 64 E) 49

18. Forme la ecuación de grado mínimo que pre-senta coeficientes racionales y una de sus raí-ces es 4 23 3+ .

A) x3+6x – 6=0B) x3 – 6x+6=0C) x3+6x+6=0D) x3 – 6x – 6=0E) x3 – 6x2 – 6=0

19. Un polinomio mónico de quinto grado con coeficientes reales tiene como raíces a x1=2, x2= – 3+2 i y x3=2 – i. Halle la suma de coefi-cientes de dicho polinomio.

A) – 60 B) – 50 C) – 40D) – 30 E) – 20

NIVEL AVANZADO

20. Al resolver la ecuación (x – 16)3+(11 – x)3+15x2 – 60x+125=0

se obtiene como solución xab0 = .

Halle a – 2b.

A) 69 B) 142 C) 130D) 176 E) 94

21. Halle la relación entre p y q para que la ecuación x3+3px+q=0 tenga una raíz de multiplicidad 2.

A) q3+4p2=0B) q2+4p3=0C) q3+p2=0D) p2+q3=0E) 4p3+q2=0

7

Álgebra

9


22. Determine el valor entero de m que hace que las raíces de la ecuación

x4=(ax+m+1)(ax – m – 1) estén en PA; además, a2=4+3m/a > 0.

A) 1 B) 2 C) 3D) – 1 E) – 2

23. El esquema representa a un polinomio P(x) recíproco de cuarto grado. Halle la suma de productos binarios de las raíces de P(x)=0.

5

3X

Y

A) 2 B) 6 C) 25/3D) – 25/3 E) 5/9

24. Calcule el área de las raíces del triángulo cuyos lados son las raíces de la ecuación

x3+ax2+bx+g=0; a; b; g ∈ R

A) 14

4 84 2α α β αγ− +

B) 12

4 84 2α α β αγ+ −

C) 12

4 84 2α α β αγ− +

D) 14

4 84 2− + −α α β αγ

E) 14

4 84 2α α β αγ− −

25. Determine el número de soluciones enteras

(x; y) tal que x2(y – 1)+y2(x – 1)=1.

A) 2B) 18C) 6D) 3E) 4

8

Álgebra

9


22. Determine el valor entero de m que hace que las raíces de la ecuación

x4=(ax+m+1)(ax – m – 1) estén en PA; además, a2=4+3m/a > 0.

A) 1 B) 2 C) 3D) – 1 E) – 2

23. El esquema representa a un polinomio P(x) recíproco de cuarto grado. Halle la suma de productos binarios de las raíces de P(x)=0.

5

3X

Y

A) 2 B) 6 C) 25/3D) – 25/3 E) 5/9

24. Calcule el área de las raíces del triángulo cuyos lados son las raíces de la ecuación

x3+ax2+bx+g=0; a; b; g ∈ R

A) 14

4 84 2α α β αγ− +

B) 12

4 84 2α α β αγ+ −

C) 12

4 84 2α α β αγ− +

D) 14

4 84 2− + −α α β αγ

E) 14

4 84 2α α β αγ− −

25. Determine el número de soluciones enteras

(x; y) tal que x2(y – 1)+y2(x – 1)=1.

A) 2B) 18C) 6D) 3E) 4

10

Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 1 03SEMANA

NIVEL BÁSICO

1. Si a < c < b < d, determine el valor de ver-dad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones:

I. [a; b] – ⟨c; d⟩=[a; c] II. [a; b⟩ ∩ ⟨c; d]=[c; b] III. [c; d] – [a; b⟩=[b; d] IV. [a; b⟩ ∪ [c; d]=[a; d]

A) VVFF B) VVVV C) VFFVD) FFFF E) VFVV

2. Sean los conjuntos A=x ∈ R/x ≥ 10 ∨ x ≤ 5 B=x ∈ R/x ≤ – 5 ∨ x ≥ – 2 C=x ∈ R/x > 0,62 ∨ x < 1,62 Halle el conjunto (A ∩ B) D [(B ∪ C)\(A ∪ C)]

A) RB) R – ⟨5; 10⟩C) R – ⟨ – 5; 10⟩D) R – (⟨ – 5; – 2] ∪ [5; 10])E) R – (⟨ – 5; – 2⟩ ∪ ⟨5; 10⟩)

3. Si A y B son dos conjuntos definidos por A=x ∈ R/x > 1 → x < 2 B=(x+3) ∈ R / (x – 2) ∈ A entonces halle el número de elementos de B ∩ ⟨ – 2; +∞⟩ ∩ Z.

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

4. Si x ∈ [ – 1; 4⟩ determine el intervalo al cual pertenece la ex-

presión

Exx

=−+

2 13 5

Desigualdades

A) −

32

717

; B) 12

1;

C) −

16

2139

;

D) − −

741

218

; E) − −

551

356

;

5. Si – 10 < a < – 5 – 2 < b < – 1 2 < c < 5 entonces ab/c está comprendido entre

A) ⟨1; 10⟩B) ⟨ – 40; – 25⟩C) ⟨2; 20⟩D) ⟨ – 50; – 10⟩E) ⟨ – 10; 1⟩

6. Se sabe que a > b > 0 y x > 0. Determine el intervalo al que pertenece M si

Ma bb x

= +−+

1

A) 1< <Mab

B) ab

M< < 1

C) a < M < bD) b < M < a

E) 2 < <Mab

7. Indique cuáles de las siguientes proposiciones son correctas.

I. Si a < 0 ∧ b < 0, entonces aba a+

<1 1

II. Si a > 0 ∧ b > 0, entonces a b ab

a b

2 2

22+

≥+

III. ∀ a; b; c ∈ R: a2+b2+c2 ≥ ab+bc+ac

A) I y II B) I y III C) II y IIID) I, II y III E) solo I

9

Álgebra

11


8. Halle el menor valor entero que adquiere f, donde

fx

x x=−

+ >4

11;

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

9. Si la desigualdad (a+b)(b+c)(a+c) ≥ Kabc se verifica para cualquier a; b; c ∈ R+, indique

el máximo valor de K.

A) 6 B) 10 C) 9D) 12 E) 8

NIVEL INTERMEDIO

10. Si x ∈[a; b]; a < b, entonces para algún t ∈[0; 1],x se puede escribir como

A) tb+(1– t)aB) tb+(t –1)aC) ta+(1+ t)aD) ta+(t –1)bE) (b – a)t

11. Si A m m= +

;13

y Bm m

=+ +

1

22

2;

determine todos los posibles valores de m ∈ Z, tal que A ⊂ B.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 y 5 E) 6 y 8

12. Si m ∈ ⟨ – 1; 1⟩ – 0; además x; y ⊂ ⟨2; 5⟩ ¿en

qué intervalo se encuentra m2x+(1 – m2)y?

A) [0; +∞⟩ B) ⟨0; 5⟩ C) ⟨0; 10⟩D) ⟨2; 5⟩ E) ⟨2; 10⟩

13. Si x ∈ ⟨ – 3; 3⟩, halle el intervalo al que pertenece

3 3+ + −( )x x

A) ⟨ – 3; 3⟩ B) − 3 3; C) [0; 3⟩

D) 6 2 3; E) 0 6;

14. Determine el máximo valor de K, tal que

aa

bb

K22

22

4

9

25

16+

+

≥ ; a; b < 0.

A) 1 B) 40/3 C) 0D) 10/3 E) 5/3

15. Si x ∈ R+, determine el mínimo valor de

x x

x x

+( ) +( )

+ +

3 2

5 22

A) 2 B) 2 2 C) 4 2D) 4 E) 8

16. Si a; b; c son números reales no nulos, tal que 3(a2+b2+c2) ≥ l(a+b+c)2

determine el mayor valor de l.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

17. ¿Cuál es la variación de l para que la desigualdad(a+b+c)(ab+bc+ac) ≥ l(abc)

se cumpla para a; b; c ∈ R+.

A) ⟨a; +∞⟩ B) ⟨ – ∞; 9] C) ⟨ – 9; 9⟩D) ⟨0; 9] E) R

18. Si a; b ∈ R+ y a ≠ b, halle el mayor valor entero negativo de m, tal que se cumpla que

a

b

b

a a bm2 2

1 1+ − − >

A) – 5 B) – 1 C) – 2D) – 3 E) – 4

19. Determine la variación de

fx y z

x y x z y z=

+ +( )+( ) +( ) +( )

3

; x; y; z ⊂ R+

A) 0278

;

B) 1278

;

C) [3; +∞⟩

D) 278

27;

E) 278

; + ∞

10

Álgebra

11


8. Halle el menor valor entero que adquiere f, donde

fx

x x=−

+ >4

11;

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

9. Si la desigualdad (a+b)(b+c)(a+c) ≥ Kabc se verifica para cualquier a; b; c ∈ R+, indique

el máximo valor de K.

A) 6 B) 10 C) 9D) 12 E) 8

NIVEL INTERMEDIO

10. Si x ∈[a; b]; a < b, entonces para algún t ∈[0; 1],x se puede escribir como

A) tb+(1– t)aB) tb+(t –1)aC) ta+(1+ t)aD) ta+(t –1)bE) (b – a)t

11. Si A m m= +

;13

y Bm m

=+ +

1

22

2;

determine todos los posibles valores de m ∈ Z, tal que A ⊂ B.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 y 5 E) 6 y 8

12. Si m ∈ ⟨ – 1; 1⟩ – 0; además x; y ⊂ ⟨2; 5⟩ ¿en

qué intervalo se encuentra m2x+(1 – m2)y?

A) [0; +∞⟩ B) ⟨0; 5⟩ C) ⟨0; 10⟩D) ⟨2; 5⟩ E) ⟨2; 10⟩

13. Si x ∈ ⟨ – 3; 3⟩, halle el intervalo al que pertenece

3 3+ + −( )x x

A) ⟨ – 3; 3⟩ B) − 3 3; C) [0; 3⟩

D) 6 2 3; E) 0 6;

14. Determine el máximo valor de K, tal que

aa

bb

K22

22

4

9

25

16+

+

≥ ; a; b < 0.

A) 1 B) 40/3 C) 0D) 10/3 E) 5/3

15. Si x ∈ R+, determine el mínimo valor de

x x

x x

+( ) +( )

+ +

3 2

5 22

A) 2 B) 2 2 C) 4 2D) 4 E) 8

16. Si a; b; c son números reales no nulos, tal que 3(a2+b2+c2) ≥ l(a+b+c)2

determine el mayor valor de l.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

17. ¿Cuál es la variación de l para que la desigualdad(a+b+c)(ab+bc+ac) ≥ l(abc)

se cumpla para a; b; c ∈ R+.

A) ⟨a; +∞⟩ B) ⟨ – ∞; 9] C) ⟨ – 9; 9⟩D) ⟨0; 9] E) R

18. Si a; b ∈ R+ y a ≠ b, halle el mayor valor entero negativo de m, tal que se cumpla que

a

b

b

a a bm2 2

1 1+ − − >

A) – 5 B) – 1 C) – 2D) – 3 E) – 4

19. Determine la variación de

fx y z

x y x z y z=

+ +( )+( ) +( ) +( )

3

; x; y; z ⊂ R+

A) 0278

;

B) 1278

;

C) [3; +∞⟩

D) 278

27;

E) 278

; + ∞

12


NIVEL AVANZADO

20. Sean a; b; c números reales, tal que a2+b2+c2=9. Determine el máximo valor de (a+b+c).

A) 3 3 B) 3 C) 9D) 3 E) 0

21. Si x; y; k son números reales positivos, tal que

3 22

2

2

2= +

+ +

kx

y

y

xk

xy

yx

determine el máximo valor de k.

A) 1 5

2+

B) −+1 52

C) 1 7

2+

D) −−1 72

E) −+1 72

22. Si a; b; c son números reales positivos menos que 1 con a+b+c=2, determine el máximo valor de l.

aa

bb

cc1 1 1−

−

−

≥ λ

A) 6 B) 4 C) 12D) 8 E) 2

23. Determine el mayor valor de l si

ac

cb

bc

ca

ac

ba

cb

⋅

+

+

≥ + +

2 2 2 2

λ

considere que a; b; c ∈ R+.

A) 3 3 B) 4 4 C) 2D) 1 E) 1/2

24. Si la desigualdad

27 82 3

1xxx

k x+ ++

≥ −

se verifica para x > 1, determine el mayor valor de k.

A) 3 B) 5 C) 2D) 4 E) 1

25. Sean a, b números reales positivos, tal que a+b=1. Determine el máximo valor de a.

aa

bb

+

+ +

≥

1 12 2

α

A) 12 B) 4 C) 25/2D) 23/2 E) 21/2

11

Álgebra

13


NIVEL BÁSICO

1. Resuelva

3 1

22 3

35 12

5x x x−

<+

<+

A) −175

65

; B) −215

95

; C) −145

95

;

D) −215

65

; E) −175

135

;

2. Dados los conjuntos A=x ∈ R/x2 – 16x+64 ≥ 0 B=x ∈ R/4x2+4x+1 > 0 determine A – B.

A) R – – 2 B) R C) – 2D) – 1/2 E) f

3. Dados los conjuntos A=x ∈ R/2x2 – 3x < 5 B=x ∈ R/3x2 – 5x ≥ 2 determine la longitud de A ∩ B.

A) 1 B) 2 C) 3D) 7/6 E) 1/6

4. Determine el valor entero de n para que el conjunto solución de la inecuación cuadrática

(n+3)x2 – (3n+1)x+1 ≤ 0 sea unitario

A) 1 B) 2 C) 9D) 11 E) –11

5. Para qué valores de a la inecuación cuadrática x2+ax – 2 < 2x2 – 2x+2 se verifica ∀ x ∈ R

A) a ∈ ⟨ – 6; 2⟩B) a ∈ ⟨ – 15; – 10⟩C) a ∈ ⟨ – 10; – 7⟩D) a ∈ ⟨3; 6⟩E) a ∈ ⟨1; 3⟩

6. Resuelva x4 – 25x2+144 ≤ 0 e indique un intervalo solución.

A) [ – 3; – 3] B) ⟨4; +∞⟩ C) [3; 4]D) [ – 4; 4] E) [ – 3; 4]

7. Resuelva (x2+2x – 24)(x+3) < 0 e indique un intervalo solución.

A) ⟨ – 6; 3⟩ B) ⟨ – 6; – 3⟩ C) ⟨ – 3; +∞⟩D) ⟨ – ∞; – 3⟩ E) ⟨ – 3; 4⟩

8. Al resolver la inecuación (x4 – 1)(x – 2)2(x3+1) ≥ 0 se obtiene como solución x ∈ [b; +∞⟩ ∪ – 1 Determine b.

A) – 2 B) 2 C) 1D) 0 E) – 1

9. Determine el conjunto solución de

x bx a

ab

−−

< si 0 < a < b.

A) ⟨a; b⟩B) ⟨0; b⟩C) ⟨b; a+b⟩D) ⟨a – b; a+b⟩E) ⟨a; a+b⟩

NIVEL INTERMEDIO

10. Resuelva

xn

x xn

−−

<+1 3

21

4; n < – 0,5

A) −∞;12

B) 13

; + ∞ C) −∞;13

D) − + ∞13

; E) − + ∞12

;

Inecuaciones polinomiales

12

Álgebra

13


NIVEL BÁSICO

1. Resuelva

3 1

22 3

35 12

5x x x−

<+

<+

A) −175

65

; B) −215

95

; C) −145

95

;

D) −215

65

; E) −175

135

;

2. Dados los conjuntos A=x ∈ R/x2 – 16x+64 ≥ 0 B=x ∈ R/4x2+4x+1 > 0 determine A – B.

A) R – – 2 B) R C) – 2D) – 1/2 E) f

3. Dados los conjuntos A=x ∈ R/2x2 – 3x < 5 B=x ∈ R/3x2 – 5x ≥ 2 determine la longitud de A ∩ B.

A) 1 B) 2 C) 3D) 7/6 E) 1/6

4. Determine el valor entero de n para que el conjunto solución de la inecuación cuadrática

(n+3)x2 – (3n+1)x+1 ≤ 0 sea unitario

A) 1 B) 2 C) 9D) 11 E) –11

5. Para qué valores de a la inecuación cuadrática x2+ax – 2 < 2x2 – 2x+2 se verifica ∀ x ∈ R

A) a ∈ ⟨ – 6; 2⟩B) a ∈ ⟨ – 15; – 10⟩C) a ∈ ⟨ – 10; – 7⟩D) a ∈ ⟨3; 6⟩E) a ∈ ⟨1; 3⟩

6. Resuelva x4 – 25x2+144 ≤ 0 e indique un intervalo solución.

A) [ – 3; – 3] B) ⟨4; +∞⟩ C) [3; 4]D) [ – 4; 4] E) [ – 3; 4]

7. Resuelva (x2+2x – 24)(x+3) < 0 e indique un intervalo solución.

A) ⟨ – 6; 3⟩ B) ⟨ – 6; – 3⟩ C) ⟨ – 3; +∞⟩D) ⟨ – ∞; – 3⟩ E) ⟨ – 3; 4⟩

8. Al resolver la inecuación (x4 – 1)(x – 2)2(x3+1) ≥ 0 se obtiene como solución x ∈ [b; +∞⟩ ∪ – 1 Determine b.

A) – 2 B) 2 C) 1D) 0 E) – 1

9. Determine el conjunto solución de

x bx a

ab

−−

< si 0 < a < b.

A) ⟨a; b⟩B) ⟨0; b⟩C) ⟨b; a+b⟩D) ⟨a – b; a+b⟩E) ⟨a; a+b⟩

NIVEL INTERMEDIO

10. Resuelva

xn

x xn

−−

<+1 3

21

4; n < – 0,5

A) −∞;12

B) 13

; + ∞ C) −∞;13

D) − + ∞13

; E) − + ∞12

;

Inecuaciones polinomiales

14


11. ¿Qué valor debe tomar k para que la inecua-ción cuadrática en x tenga solución única?

kx2 – (5k+2)x+8k+2 ≥ 0

A) 2 B) 0 C) – 2/7D) – 7/2 E) 2/7

12. Halle la intersección de los conjuntos P=x ∈ R/x2 – 2x+a ≥ 0 y Q=x ∈ R/x2 – ax – 2a2 ≥ 0

donde 34

1≤ <a .

A) f

B) − − − a a; 1 1

C) −∞ − − ; 1 1 a

D) 1 1+ − + ∞ a;

E) − − − ∪ + − − a a a a; ;1 1 1 1 2UNI 2007 - II

13. Calcule la suma de todos los números natura-les múltiplos de 23 que verifican

07 175 900

51

2

2<− −( )

+<

x x

x x

A) 69 B) 92 C) 391D) 138 E) 220

14. Dada la inecuación en x (a – b)x2+(b – c)x+(c – a) > 0 se obtuvo como CS=⟨ – ∞; m⟩ ∪ ⟨3; +∞⟩.

Determine c ba b

−−

.

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) – 3

15. Al resolver la inecuación en x

ax ax b

b a b a<++

< ≠ >; ; 1

se obtiene a b− −2143

;

Determine a+b.

A) 3 B) 8/3 C) 10D) 8 E) 6

16. Resuelva x(x+6)(2x+1) < x(x+6)(x – 7) e indique el conjunto solución.

A) ⟨ – ∞; – 6⟩ ∪ 0B) ⟨ – ∞; – 8⟩ ∪ ⟨ – 6; 0⟩C) R+ – 3D) R – – – 3E) R – – 6

17. Determine las soluciones negativas de la ine-cuación

x x x x

x x x

2 3

5 3 22 35 2 1

2 20

− −( ) +( ) −( )+ − −

≥

A) ⟨ – 1; 0⟩ B) ⟨ – 7: 0⟩ C) [ – 5; – 2]D) [ – 5; – 1] E) R –

18. Halle los valores de a para que la desigualdad

− <+ −− +

<32

12

2

2x ax

x x se verifique ∀ x ∈ R.

A) ⟨ – 1; 4⟩ B) R C) ⟨ – 1; 2⟩D) [1; 2⟩ E) ⟨0; 1⟩

19. Indique su conjunto solución de

2 1 2 3

4 5 30

2 5 2

2 5x x x

x x x

−( ) +( ) −( )

+ +( ) −( )<

A) ⟨ – 2; 6⟩

B) ⟨ – 2; +3⟩ – 1/2

C) − ∪212

3 6; ;

D) − − 2 612

3; ;

E) 12

6 3; −

13

Álgebra

15


NIVEL AVANZADO

20. Indique para qué valores de k el polinomio P(x)=(k+1)x2+2x+2 tiene sus dos raíces den-

tro del intervalo de ⟨ – 1; 1⟩.

A) − −

512

; B) ⟨1; 2⟩ C) − −112

;

D) − −

112

; E) − −

112

;

21. Sea P(x)=x3 – 3ax2 – a2x+3a3

donde a > 0; Q(x)= – P(x – a)

Indique lo correcto.

A) Q(x) ≥ P(x); ∀ x < 0B) Q(x) ≥ P(x); ∀ x ∈ ⟨0; a⟩C) P(x) ≥ Q(x); ∀ x ∈ ⟨a; 2a⟩D) Q(x) ≥ P(x); ∀ x ∈ ⟨2a; 3a⟩E) Q(x) ≥ P(x); ∀ x > 3a

UNI 2000 - II

22. En la inecuación

x x x x x

x x

+( ) −( ) −( ) + +( )+( ) +( )

<1 2 3 1

7 50

17 13 5 2 40

11 17

Dé como respuesta la suma de los extremos finitos del conjunto solución.

A) – 4 B) – 5 C) – 7D) – 8 E) – 6

23. Dado el polinomio P(x)=x4+mx3+nx2+dx+36 de raíces a; b; c y d donde a+2b+3c+6d=24 a; b; c; d ⊂ R+ resuelva la inecuación P(x) ≤ 0 y dé como respuesta el supremo de su conjun-to solución.

A) 6 B) 4 C) 3D) 5 E) 2

24. Sean a; b; c lados de un triángulo y ka2 < (a+b+c)2... P(1)

Resuelva la inecuación (x – 5k0)(x3 – 6k0x2+11k0

2x – 6k03) < 0

donde CS=A, k0=máxk ∈ Z/k verifica P1 Halle Sup(A)+Inf(A).

A) 15 B) 18 C) 21D) 12 E) 24

25. Al resolver la inecuación

1

1

21

1

31

1

43

500

2

500

2

500

2

500

2

++

+ ++

+ ++

−>x x x

x ++( )+

++ +

++

++

1

2

3 9 1

3

2 9

4

2

2

3

2

2

2x

x x

x

x

x

presenta un conjunto solución CS=⟨ – 2; h⟩

si a+b=|h|, determine (a2+b)5 – (a+b2)5

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

14

Álgebra

15


NIVEL AVANZADO

20. Indique para qué valores de k el polinomio P(x)=(k+1)x2+2x+2 tiene sus dos raíces den-

tro del intervalo de ⟨ – 1; 1⟩.

A) − −

512

; B) ⟨1; 2⟩ C) − −112

;

D) − −

112

; E) − −

112

;

21. Sea P(x)=x3 – 3ax2 – a2x+3a3

donde a > 0; Q(x)= – P(x – a)

Indique lo correcto.

A) Q(x) ≥ P(x); ∀ x < 0B) Q(x) ≥ P(x); ∀ x ∈ ⟨0; a⟩C) P(x) ≥ Q(x); ∀ x ∈ ⟨a; 2a⟩D) Q(x) ≥ P(x); ∀ x ∈ ⟨2a; 3a⟩E) Q(x) ≥ P(x); ∀ x > 3a

UNI 2000 - II

22. En la inecuación

x x x x x

x x

+( ) −( ) −( ) + +( )+( ) +( )

<1 2 3 1

7 50

17 13 5 2 40

11 17

Dé como respuesta la suma de los extremos finitos del conjunto solución.

A) – 4 B) – 5 C) – 7D) – 8 E) – 6

23. Dado el polinomio P(x)=x4+mx3+nx2+dx+36 de raíces a; b; c y d donde a+2b+3c+6d=24 a; b; c; d ⊂ R+ resuelva la inecuación P(x) ≤ 0 y dé como respuesta el supremo de su conjun-to solución.

A) 6 B) 4 C) 3D) 5 E) 2

24. Sean a; b; c lados de un triángulo y ka2 < (a+b+c)2... P(1)

Resuelva la inecuación (x – 5k0)(x3 – 6k0x2+11k0

2x – 6k03) < 0

donde CS=A, k0=máxk ∈ Z/k verifica P1 Halle Sup(A)+Inf(A).

A) 15 B) 18 C) 21D) 12 E) 24


1

1

21

1

31

1

43

500

2

500

2

500

2

500

2

++

+ ++

+ ++

−>x x x

x ++( )+

++ +

++

++

1

2

3 9 1

3

2 9

4

2

2

3

2

2

2x

x x

x

x

x

presenta un conjunto solución CS=⟨ – 2; h⟩

si a+b=|h|, determine (a2+b)5 – (a+b2)5

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

16

Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 1 05SEMANA

NIVEL BÁSICO

1. Sean A y B dos conjuntos, tales que A=x ∈ R/|3x – 1|=|5x – 15| B=x ∈ R/|x+5|=2x – 4 Entonces determine (A – B) ∪ (B – A).

A) 7 B) 9 C) 0D) ⟨ – ∞; 0] E) 2; 7; 9

2. Dada la igualdad |x – a+b|=|x+a – b| indique lo correcto.

A) x=0 ∨ a2=b2

B) x=a=bC) x=0 ∧ a=bD) x=0 ∨ a=bE) x=a= – b

UNI 2009 - I

3. Si A=x ∈ R/|3x – 1|=2x+5 B=x ∈ R/|x+2|+6=3x halle la suma de los elementos de A ∪ B.

A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 46/5

4. Resuelva 4 – x ≥ |x2 – 6x+8|

A) [1; 3] ∪ ⟨4; +∞⟩B) [1; 3] ∪ ⟨2; +∞⟩C) ⟨1; 3⟩ ∪ 4D) [1; 3] ∪ 4E) f

5. Resuelva |x – 2|2 – 3|x – 2| – 28 < 0

A) ⟨ – 4; 9⟩ B) ⟨ – 5; 9⟩ C) ⟨ – 3; 6⟩D) ⟨ – 5; 6⟩ E) ⟨ – 2; 3⟩

Valor absoluto y Expresiones irracionales

6. Resuelva |x2+4x – 7| > |x2 – 2x – 5|

A) − ∪ + ∞313

2; ;

B) ⟨2; +∞⟩C) ⟨ – 3; 3⟩ ∪ ⟨2; +∞⟩D) ⟨ – 3; 2⟩E) R

7. Luego de resolver la ecuación

4 5 3 1 1 2 1x x x x+ − + + − = − determine el número de soluciones.

A) 0 B) 1 C) 3D) 4 E) 2

8. Resuelva la inecuación

x2 16 3− ≤

A) ⟨ – ∞; – 4] ∪ [4; +∞⟩B) [ – 5; 5]C) [ – 5; – 4] ∪ [4; 5]D) R – [ – 5; 5]E) f

9. Resuelva x x+ >42

A) x ∈ [ – 6; 7⟩B) x ∈ ⟨ – 6; 7⟩C) x ∈ [ – 42; +∞⟩D) x ∈ ⟨0; 7⟩E) x ∈ [ – 42; 7⟩

NIVEL INTERMEDIO

10. Determine el conjunto solución de la ecuación 5 2 3 2− − = −x x

A) 14

94

; B) − 14

94

; C) − 52

52

;

D) 14

94

52

52

; ; ;− E) f

15

Álgebra

17


11. Dado el conjunto A x x x x= ∈ − − − − = R 2 3 3 4 determine el número de elementos de A.

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

12. Resuelva la siguiente inecuación.

xx

x− + − ≥1

4 08

A) [ – 1; 0⟩ ∪ [1; 4]B) [1; 4]C) ⟨ – 1; 0⟩ ∪ [1; 7]D) RE) f

13. Resuelva

x x x2 5 4 7− + < −

A) ⟨ – ∞; 1] ∪ [4; 5⟩B) ⟨ – ∞; 1] ∪ [3; 4⟩C) ⟨ – ∞; 1] ∪ ⟨4; 5⟩D) ⟨ – ∞; 1] ∪ [4; 6⟩E) ⟨ – ∞; 2] ∪ [3; 4⟩

14. Resuelva

x x x x3 23 3 5 6 2− + − > − e indique su intervalo solución.

A) x ∈ −∞ ∪ + ∞; ;13

2

B) x ∈ −∞ − ∪ + ∞; ;14

14

C) x ∈ − + ∞16

;

D) x ∈ RE) x ∈ f

15. Luego de resolver la inecuación

x x

xx

2 2 22 4

4− − −

− +≥ −

se obtiene como conjunto solución x ∈ [a; b] ∪ [c; d] Determine a+b+c+d.

A) – 4 B) – 2 C) – 1D) 3 E) 2

16. Dados los conjuntos A x x x= ∈ − ≤ R 1

B x A x x= ∈ − − ≤ 1 1 determine A\B.

A) f B) −

12

12

; C) −

12

0;

D) −

12

0; E) [0; +∞⟩

UNI 2009 - II

17. Resuelva

xx

xx

+−

<−+

12

23

A) ⟨ – ∞; – 4⟩ B) ⟨ – ∞; – 3⟩ C) ⟨ – ∞; – 1⟩D) ⟨ – ∞; – 5⟩ E) f

18. Resuelva |x – 1| – |x|+|2x+3| > 2x+4

A) −∞ −;32

B) −∞ − ∪; ;32

0 1

C) ⟨0; 1⟩ ∪ ⟨1; +∞⟩

D) −∞ − ∪ + ∞; ;32

1

E) R


4 1

21 1

4 26

85− + −

−≥ − −

x x

xx

su conjunto solución es ⟨a; b]. Determine a2+b2.

A) 5 B) 10 C) 20D) 17 E) 13

16

Álgebra

17


11. Dado el conjunto A x x x x= ∈ − − − − = R 2 3 3 4 determine el número de elementos de A.

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

12. Resuelva la siguiente inecuación.

xx

x− + − ≥1

4 08

A) [ – 1; 0⟩ ∪ [1; 4]B) [1; 4]C) ⟨ – 1; 0⟩ ∪ [1; 7]D) RE) f

13. Resuelva

x x x2 5 4 7− + < −

A) ⟨ – ∞; 1] ∪ [4; 5⟩B) ⟨ – ∞; 1] ∪ [3; 4⟩C) ⟨ – ∞; 1] ∪ ⟨4; 5⟩D) ⟨ – ∞; 1] ∪ [4; 6⟩E) ⟨ – ∞; 2] ∪ [3; 4⟩

14. Resuelva

x x x x3 23 3 5 6 2− + − > − e indique su intervalo solución.

A) x ∈ −∞ ∪ + ∞; ;13

2

B) x ∈ −∞ − ∪ + ∞; ;14

14

C) x ∈ − + ∞16

;

D) x ∈ RE) x ∈ f

15. Luego de resolver la inecuación

x x

xx

2 2 22 4

4− − −

− +≥ −

se obtiene como conjunto solución x ∈ [a; b] ∪ [c; d] Determine a+b+c+d.

A) – 4 B) – 2 C) – 1D) 3 E) 2

16. Dados los conjuntos A x x x= ∈ − ≤ R 1

B x A x x= ∈ − − ≤ 1 1 determine A\B.

A) f B) −

12

12

; C) −

12

0;

D) −

12

0; E) [0; +∞⟩

UNI 2009 - II

17. Resuelva

xx

xx

+−

<−+

12

23

A) ⟨ – ∞; – 4⟩ B) ⟨ – ∞; – 3⟩ C) ⟨ – ∞; – 1⟩D) ⟨ – ∞; – 5⟩ E) f

18. Resuelva |x – 1| – |x|+|2x+3| > 2x+4

A) −∞ −;32

B) −∞ − ∪; ;32

0 1

C) ⟨0; 1⟩ ∪ ⟨1; +∞⟩

D) −∞ − ∪ + ∞; ;32

1

E) R


4 1

21 1

4 26

85− + −

−≥ − −

x x

xx

su conjunto solución es ⟨a; b]. Determine a2+b2.

A) 5 B) 10 C) 20D) 17 E) 13

18


NIVEL AVANZADO

20. Resuelva

x x x> + −( ) − +( )4 1 1 1 1

A) x ∈ −12

0;

B) x ∈ 012

;

C) x ∈ ⟨0; 1⟩

D) x ∈ ⟨ – 1; 1⟩

E) x ∈[ – 1; 0⟩

21. Si el conjunto

A x x x= ∈ − − − ≥ R 2 1 1 0 entonces el conjunto R \ A está dado por

A) f B) [ – 2; 2] C) ⟨ – 2; 2⟩D) ⟨ – 2; 1⟩ E) [ – 2; 1]

22. El conjunto

A x a ax x ax= ∈ < − − > + R 4 2 2y

es igual a

A) −∞ ] ∪ − + ∞

; ;01a

B) 01

; −

a

C) 1a

; + ∞

D) R

E) −∞ −;1a

UNI 2002 - I

23. Luego de resolver la ecuación.

x x x x x1 3 3 0− + −( ) = ≠,

se obtuvo como solución xmn

= . Determine m+n.

A) 11 B) 12 C) 13D) 10 E) 14

24. Si x1 es una solución de la ecuación

3 2 3

2 3

23

10 3 182

22x x

x xx x

− −

−= + −

indique M=(x1 – 1) – 4.

A) 1/4 B) 1/16 C) 1/8D) 1/32 E) 1/81

25. Dado el conjunto

A x xx x

x xx= ∈ − − + = +

R 7

3 8 1 82 2

halle el cardinal de A.

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

17

Álgebra

Números complejos

01 - b

02 - c

03 - d

04 - b

05 - e

06 - e

07 - a

08 - a

09 - e

10 - b

11 - d

12 - e

13 - c

14 - b

15 - d

16 - b

17 - a

18 - d

19 - a

20 - b

21 - a

22 - b

23 - b

24 - d

25 - c

ecuacioNes poliNomiales

01 - d

02 - c

03 - b

04 - e

05 - d

06 - d

07 - e

08 - c

09 - d

10 - a

11 - c

12 - c

13 - a

14 - a

15 - d

16 - a

17 - b

18 - d

19 - c

20 - c

21 - e

22 - b

23 - d

24 - d

25 - e

DesigualDaDes

01 - e

02 - b

03 - e

04 - a

05 - a

06 - a

07 - d

08 - e

09 - e

10 - a

11 - a

12 - d

13 - d

14 - d

15 - d

16 - a

17 - b

18 - b

19 - e

20 - a

21 - d

22 - d

23 - d

24 - c

25 - c

iNecuacioNes poliNomiales

01 - b

02 - d

03 - d

04 - a

05 - a

06 - c

07 - e

08 - c

09 - e

10 - c

11 - c

12 - e

13 - c

14 - c

15 - e

16 - b

17 - c

18 - c

19 - b

20 - d

21 - d

22 - d

23 - a

24 - e

25 - a

Valor absoluto y expresioNes irracioNales

01 - e

02 - d

03 - e

04 - d

05 - b

06 - a

07 - a

08 - c

09 - e

10 - b

11 - b

12 - a

13 - a

14 - a

15 - c

16 - d

17 - b

18 - a

19 - c

20 - e

21 - d

22 - b

23 - c

24 - b

25 - b

Semestral Intensivo

algebra-1 uni-2015-semestral intensivo(academia cesar vallejo)

Documents