apuntes algebra lineal completo

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI EN ELESTADO DE CAMPECHE

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL PARA

INGENIERIA

Docente:L. M. Angel Can M. C. M.

Indice general

I Parcial 1 7

1. Numeros complejos 91.1. Antecedentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Definiciones y Propiedades Fundamentales. . . . . . . . . . . . 101.3. La unidad imaginaria i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4. Interpretacion geometrica, modulo y argumento. Forma Polar. 151.5. Exponenciales complejos y teorema de DeMoivre . . . . . . . . 191.6. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6.1. Los polinomios como funciones . . . . . . . . . . . . . 211.6.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6.3. Suma y Producto de polinomios . . . . . . . . . . . . . 211.6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6.5. Division con residuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6.6. Raıces de polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7. Practicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7.1. Practica 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7.2. Practica 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

II Parcial 2 29

2. Matrices 312.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2. Operaciones Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1. Igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.2. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.3. Multiplicacion por un escalar . . . . . . . . . . . . . . 33

3

4 INDICE GENERAL

2.2.4. Multiplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3. Definiciones complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4. Propiedades de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.1. Propiedades de la suma y multiplicacion por escalar . . 342.4.2. Propiedades de la multiplicacion de Matrices . . . . . . 35

2.5. Clasificacion de las Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7. Operaciones Elementales Renglon. . . . . . . . . . . . . . . . . 422.8. Algoritmo de reducccion de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.8.1. Algoritmo de reduccion de Gauss-Jordan. . . . . . . . . 442.9. Calculo de la Inversa de una Matriz. . . . . . . . . . . . . . . 452.10. El Determinante de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . 462.11. La matriz Adjunta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3. Sistemas de Ecuaciones Lineales 533.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2. Clasificacion de los Sistemas de Ecuaciones Lineales. . . . . . . 54

3.2.1. Interpretacion Grafica de las soluciones . . . . . . . . . 553.2.2. Ecuaciones lineales degeneradas . . . . . . . . . . . . . 59

3.3. Metodos de solucion de los sistemas de Ecuaciones Lineales. . 603.3.1. Sistemas equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.2. Forma Triangular y Escalonada . . . . . . . . . . . . . 613.3.3. Forma Escalonada Reducida. . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4. Algoritmo de reducccion de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . 643.4.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

III Parcial 3 67

4. Espacios Vectoriales 694.1. Definicion de Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.1.1. Propiedades de los Espacios Vectoriales . . . . . . . . . 714.2. Subespacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.1. Propiedades de los subespacios . . . . . . . . . . . . . 724.3. Combinaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.4. El Conjunto Generado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4.1. Dependencia e Independencia Lineal. . . . . . . . . . . 744.5. Producto Interno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

INDICE GENERAL 5

4.5.1. Normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.6. Base Ortonormal y proceso de Ortonormalizacion de Grahm-

Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.6.1. Algoritmo de Grahm-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . 774.6.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.7. Practicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.7.1. Practica 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5. Transformaciones Lineales 815.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1.1. Propiedades de las transformaciones Lineales . . . . . . 835.2. El Kernel y la Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.4. Matrices y Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . 875.5. Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6 INDICE GENERAL

Parte I

Parcial 1

7

Capıtulo 1

Numeros complejos

El presente material tiene como finalidad complementar el material deaprendizaje del alumno y no debe ser tomado como unico recurso deestudio. Es responsabilidad del alumno leer el presente material de maneraanticipada y prepararse para las clases en que se aborden los temas ası comotambien investigar de manera mas amplia los temas aquı tratados.

1.1. Antecedentes.

Al inicio de los estudios que una persona realiza, uno de primeros concep-tos adquiridos es el de “numero”. De hecho el primer conjunto de “numeros”estudiado es aquel que nos sirve para contar objetos materiales, los numerosnaturales: N = {1, 2, 3, ...} y con ello inicia nuestra formacion matematica.Habiendo conocido este conjunto tambien definimos la primera operacion quepodemos realizar con este conjunto de numeros: la suma.

Ahora que podemos sumar, deseamos “deshacer” esta operacion y por ellodefinimos la operacion inversa a la suma: la resta, sin embargo esta ultimapresenta problemas cuando nos topamos con cosas del tipo: 4 − 8 =? dadoque la respuesta no tiene explicacion sobre el conjunto de numeros naturalesque conocemos hasta el momento. Es entonces cuando pasamos al siguientenivel en los numeros: los enteros: Z = {0,±1,±2, · · · }.

Posteriormente se inventa una nueva operacion que nos permite simpli-ficar las sumas extensas: la multiplicacion, 2 + 2 + 2 + 2 = 4 × 2 = 8, ynuevamente nos enfrentamos al problema de “deshacer” aquellos resultadosque obtenemos con esta nueva operacion. Esto nos lleva a la definicion de

9

10 CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS

la operacion inversa a la multiplicacion: la division. Sin embargo esta nuevaoperacion nos presenta un nuevo tipo de problemas dado que divisiones deltipo 8

4tienen respuesta dentro de Z pero divisiones del tipo 8

3no lo tienen.

Para resolver el problema anterior definimos un nuevo conjunto de numeros,los racionales1: Q = {a

b|b 6= 0}. Y este conjunto resuelve el problema anterior.

Nuevamente creamos una nueva operacion que no ayudara a simplificarla ultilicacion: 2× 2× 2× 2 = 24. Y de la misma manera que en los conjun-tos anteriores tambien buscamos una operacion “inversa” a la potenciaion yesta nos llevara ante la necesidad de definir un nuevo conjunto de numeros,esto debido a que expresiones del tipo

√2 no tienen explicacion dentro del

conjunto de los numeros racionales. Esto nos sirve para definir a los numerosirracionales.

Hasta este punto hemos mostrado de manera superficial aquellos proble-mas que han planteado la necesidad de definir a los diferentes conjuntos denumeros hasta llegar al conjunto universalmente conocido, los reales: R. Sinembargo quedaba pendiente un problema que no se resolvıa con ayuda de losirracionales, puesto que a pesar de poder explicar expresiones del tipo

√2,

aun no exisıa una explicacion logica para el resultado de√−1. PArtiremos

a partir de este punto para definir el siguiente nivel dentro de los conjuntosde numeros, los complejos.

1.2. Definiciones y Propiedades Fundamen-

tales.

Definicion 1.2.1 (Numeros Complejos). Si a y b son numeros reales, elpar (a, b) es llamado un numero complejo, y donde la igualdad, suma ymultiplicacion de estos pares estan definidas como sigue:

(a) Igualdad: (a, b) = (c, d) significa que a = c y b = d.

(b) Suma: (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d).

(c) Producto: (a, b)(c, d) = (ac− bd, ad+ bc).

Notacion. Denotamos por C al conjunto de todos los numeros complejos.

1En realidad el conjunto de los racionales se define con ayuda de relaciones de equiv-alencia pero este no es el objetivo de este curso, por lo cual bastara con la definiciondada

1.2. DEFINICIONES Y PROPIEDADES FUNDAMENTALES. 11

Como se vera mas adelante, existen diferentes formas de representar a losnumeros complejos, sin embargo partiremos de la definicion anterior.

Definicion 1.2.2. Los numeros a y b son llamados componentes de (a, b). Elprimer componente, a, es tambien llamado parte real del numero complejo;la segunda componente, b, es llamada parte imaginaria.

EjemploDebemos observar que esta definicion nos plantea las reglas de las op-

eraciones basicas de numeros complejos. Por ejemplo, si queremos sumar elcomplejo (1,−1) con el complejo (5, 3) simplemente aplicamos la regla des-crita en la definicion:

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)

(1,−1) + (5, 3) = (1 + 5,−1 + 3)

= (6, 2).

Por otro lado si queremos multiplicarlos, simplemente seguimos las reglasde la definicion:

(a, b) · (c, d) = (ac− bd, ab+ bc)

(1,−1) · (5, 3) = ((1)(5)− (−1)(3), (1)(3) + (−1)(5))

= (5 + 3, 3− 5)

= (8,−2).

Teorema 1.2.1. Las operaciones de suma y multiplicacion de numeros com-plejos satisfacen las leyes asociativa, conmutativa y distributiva. Es decir, six, y, z son numeros complejos arbitrarios, tenemos lo siguiente:

Ley asociativa: x+ (y + z) = (x+ y) + z y x(yz) = (xy)z.

Ley conmutativa: x+ y = y + x y xy = yx.

Ley distributiva: x(y + z) = xy + xz.

Hay que remarcar que en este teorema las variables x, y, z representannumeros complejos y que dichas propiedades deberıan expresarse con lossımbolos usados para complejos, por ejemplo, supongamos que tenemos:


x = (a1, b1)

y = (a2, b2)

z = (a3, b3)

entonces la ley conmutativa deberıa escribirse como:

(a1, b1) + (a2, b2) = (a2, b2) + (a1, b1)

Ejercicio 1. Siguiendo la idea anterior, ¿Como deberıa describirse las propiedadesasociativa y la distributiva para numeros complejos?

Notese el hecho de que la “formula” x + y = y + x representa lo que laoperacion de los complejos como parejas ordenadas debe cumplir.

Teorema 1.2.2. Existen 2 propiedades mas dentro del conjunto de los com-plejos:

Existencia de los neutros:

• (Aditivo) ∃0 ∈ C tal que ∀x ∈ C, x+ 0 = x.

• (Multiplicativo) ∃1 ∈ C tal que ∀x ∈ C, x · 1 = x.

Existencia de los inversos:

• (Aditivo) ∀x ∈ C,∃ − x ∈ C tal que x+ (−x) = 0.

• (Multiplicativo) ∀x 6= 0 ∈ C,∃x−1 ∈ C tal que x · (x−1) = 1.

Los neutros (aditivo y multiplicativo) son representados por el 0 y el 1aunque en realidad estos son solo sımbolos que representan a ciertos numeroscomplejos particulares que son faciles de reconocer ya que:

(0, 0) + (a, b) = (a, b) y (a, b)(1, 0) = (a, b)

De manera similar, cuando definimos el inverso aditivo de x ∈ C como−x en realidad estamos describiendo al inverso de cada complejos (a, b) como−(a, b) = (−a,−b).

1.2. DEFINICIONES Y PROPIEDADES FUNDAMENTALES. 13

Para definir al inverso multiplicativo debemos usar la definicion de la mul-tiplicacion, dado que para todo complejo x = (a, b) 6= 0 podemos encontrarotro complejo x−1 = (c, d) tal que

x · x−1 = 1

⇒ (a, b)(c, d) = (1, 0)

de hecho, sabemos que esta ecuacion es equivalente a resolver el siguiente parde ecuaciones

ac− bd = 1, ad+ bc = 0

el cual tiene solucion unica:

c =a

a2 + b2, d =

−ba2 + b2

.

Ejercicio 2. Justifique los 2 parrafos anteriores.

La condicion (a, b) 6= 0 asegura que a2 + b2 6= 0 con lo cual el recıpro-co (c, d) esta bien definido. Escribimos (a, b)−1 o 1

(a,b)para representar al

recıproco de (a, b). Ası pues tenemos:

1

(a, b)=

(a

a2 + b2,−b

a2 + b2

).

Con el desarrollo anterior podemos definir la division de numeros com-plejos como sigue:

(c, d)

(a, b)= (c, d) · 1

(a, b)= (c, d) ·

(a

a2 + b2,−b

a2 + b2

),

siempre que (a, b) 6= 0.Consideremos el subconjunto C0 de C consistente de todos los numeros

complejos de la forma (a, 0), esto es, todos los numeros complejos con parteimaginaria cero. La suma o el producto de dos miembros de C0 esta de nuevoen el conjunto C0. De hecho tenemos:

(a, 0) + (b, 0) = (a+ b, 0) y (a, 0)(b, 0) = (ab, 0).

con esto observamos que los elementos de C0 se comportan “como si fuerannumeros reales”. De hecho podemos formalizar esta observacion si definimosuna funcion biyectiva f : R→ C dada por f(a) = (a, 0) para toda a ∈ R, conla cual es facil probar que el conjunto de los numeros reales es un subconjuntode los numeros complejos (bajo isomorfismo), R ⊂ C, (de hecho podemosafirmar que R es un subcampo de C). Ası podemos pensar en el sistema delos numeros complejos como una extension del sistema de los numeros reales.


1.3. La unidad imaginaria i.

Definicion 1.3.1. El numero complejo (0, 1) es denotado por i y es llamadola unidad imaginaria.

Es facil probar con la definicion anterior, que el complejo i tiene lapropiedad de que su cuadrado

(0, 1)2 = i2 = (−1, 0) = −(1, 0) = −1

y por tanto x = ±i es solucion de la ecuacion x2 + 1 = 0. Esto nos acerca ala solucion del problema planteado en la seccion 1.1

Esta propiedad anterior del numero comlejo i nos permite formar la si-guiente lista:

i0 = 1i1 = ii2 = −1i3 = (i2)i = (−1)i = −ii4 = (i3)i = (−i)i = −(i2) = −(−1) = 1i5 = (i4)i = (1)i = ii6 = (i5)i = (i)i = i2 = −1...

Claramente podemos ver cierta relacion entre las potencias de i.

Ejercicio 3. Calcule i99

Ahora podemos relacionar la idea de “pares ordenados” (con respecto a ladefinicion de numeros complejos) con la notacion que usaron los matematicosal inicio del estudio de los numeros complejos. Primero notemos que de ladefinicion de multiplicacion tenemos

(b, 0)(0, 1) = (0, b)

y ası tenemos que:

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1).

por tanto si escribimos a = (a, 0), b = (b, 0) e i = (0, 1), tenemos (a, b) =a+ bi. Esto se resume en el siguiente teorema:

Teorema 1.3.1. Cada complejo (a, b) puede ser expresado en la forma a+bi.Esta representacion recibe el nombre de“forma binomial”

1.4. INTERPRETACION GEOMETRICA, MODULO Y ARGUMENTO. FORMA POLAR.15

1.4. Interpretacion geometrica, modulo y ar-

gumento. Forma Polar.

Como un numero complejo (x, y) es un par ordenado de numeros reales,este puede ser representado geometricamente por un punto en el plano, o poruna flecha o un vector geometrico del origen al punto (x, y), como lo muestrala figura 1:

Hx,yL

r=ÈÈx+iyÈÈ

y=rSenHΑL

Αx=r CosHΑL

x

y

Figura 1.1: Representacion geometrica

En este contexto, el plano xy es usualmente referido como el plano com-plejo. El eje x es llamado el eje real; el eje y es el eje imaginario. Es usualintercambiar el uso de las palabras “numero complejo” y “punto”. Ası nosreferiremos al punto z = a+ ib como aquel correspondiente al punto (a, b) enel plano xy asociado al complejo z.

Las operaciones de suma y resta de numeros complejos tiene una inter-pretacion geometrica simple. si dos complejos z1 y z2 son representados porflechas del origen a z− 1 y z2, entonces la suma z1 + z2 esta determinada porla ley de los paralelogramos: La flecha del origen a z1 + z2 es la diagonal delparalelogramo determinado por 0, z1 y z2 como se ilustra en el ejemplo dela figura 2:

La otra diagonal del paralelogramo esta relacionada con la diferencia dez1 y z2. La flecha de z1 a z2 es paralela e igual en longitud a la flecha de 0 az2 − z1, la flecha en la direccion opuesta, de z2 a z1, esta relacionada con ladiferencia z1 − z2.

Si (x, y) 6= (0, 0) podemos expresar x e y en coordenadas polares, paraello bastara observar detenidamente la figura 1. Usando las definiciones delas funciones trigonometricas Seno y Coseno es facil ver que se cumple:


z1

z2

z1+z2

z1-z2

x

y

Figura 1.2: Interpretacion geometrica de la suma y resta.

x = rCosθ, y = rSenθ

y con ello obtenemos:

x+ iy = r(Cosθ + iSenθ).

Esta ultima expresion es conocida como la representacion de los numeroscomplejos en la forma polar. Observese que lo unico que debemos hacer paracambiar un numero escrito en forma polar a la forma binomial es simplementeevaluar las funciones trigonometricas dadas y multiplicar por el valor r.

Definicion 1.4.1. El numero r, el cual representa la distancia de (x, y) alorigen, es llamado el modulo o valor absoluto de x + iy y es denotado por|x+ iy|, ası pues tenemos:

|x+ iy| =√x2 + y2.

Definicion 1.4.2. El angulo polar θ es llamado el argumento de x + iy. Yse representa como

Arg(a, b) =

ArcTan( b

a) si a y b > 0

180◦ + ArcTan( ba) si a < 0 y b > 0 o bien si a, b < 0

360◦ + ArcTan( ba) si a > 0 y b < 0

1.4. INTERPRETACION GEOMETRICA, MODULO Y ARGUMENTO. FORMA POLAR.17

Nosotros solo definimos a θ como un argumento y no como el argumento,debido a que para un punto (x, y) el angulo θ esta determinado solamentehasta multiplos de 2π. Algunas veces es deseable asignar un unico argumentoa un numero complejo, esto se puede realizar restringiendo θ a pertenecer aun intervalo semi-abierto de longitud 2π. Usualmente usamos el intervalo[0, 2π). Denotamos este θ por arg(x+ iy).

EjemplosVamos a calcular el modulo y el argumento de los siguieets complejos:

1. (√

3, 1)Para calcular el modulo simplemente sustituimos en la formula:

‖(√

3, 1)‖ =

√(√

3)2 + 12 = 2

Y el argumento serıa:

Arg(√

3, 1) = ArcTan

(1√3

)= 30◦

2. (1,−√

3)Para calcular el modulo simplemente sustituimos en la formula:

‖(1,−√

3)‖ =

√12 + (−

√3)2 = 2


Arg(1,−√

3) = 180◦ + ArcTan

(−√

3

1

)= 180◦ + (−60◦) = 120◦

3. (−2,−2) Para calcular el modulo simplemente sustituimos en la formu-la:

‖(−2,−2)‖ =√

(−2)2 + (−2)2 =√

8 = 2√

2


Arg(−2,−2) = 180◦ + ArcTan

(−2

−2

)= 180◦ + 45◦ = 225◦


4. (−2, 2) Para calcular el modulo simplemente sustituimos en la formula:

‖(−2, 2)‖ =√

(−2)2 + 22 =√

8 = 2√

2


Arg(−2, 2) = 360◦ + ArcTan

(−2

2

)= 360◦ + (−45◦) = 315◦

Como el valor absoluto de un numero complejo z es simplemente la longi-tud de un segmento de linea, no debe sorprendernos el hecho de que tiene lasmismas propiedades que el valor absoluto de los numeros reales: por ejemplotenemos

Teorema 1.4.1. Sea z un numero complejo y |z| su norma (valor absoluto),entonces

|z| > 0 si z 6= 0.

|z1 − z2| = |z2 − z1|.

|z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|.

|z1z2| = |z1||z2|.

| z1z2| = |z1|

|z2| .

Definicion 1.4.3. Si z = x + iy, el conjugado complejo de z es el numerocomplejo z = x− iy.

Geometricamente, z representa la refleccion de z con respecto al eje realx. La definicion de conjugado implica que

Teorema 1.4.2. Sea z un numero complejo y sea z su conjugado, entonces:

z1 + z2 = z1 + z2.

z1z2 = z1z2.

(z1/z2) = z1/z2.

zz = |z|2.

1.5. EXPONENCIALES COMPLEJOS Y TEOREMA DE DEMOIVRE 19

1.5. Exponenciales complejos y teorema de

DeMoivre

Deseamos extender la definicion de ex de tal forma que la expresion tengasentido cuando x sea remplazada por un numero complejo z. Deseamos queesta extension sea tal que la ley de los exponentes eaeb = ea+b siga siendovalida para todos los complejos a y b. Ademas tambien deseamos que ez

coincida con la exponencial usual cuando z sea real.

Definicion 1.5.1. Si z = x+ iy, definimos ez como el complejo dado por laecuacion

ez = ex(Cosy + iSeny).

Esta definicion resulta de gran utilidad para demostrar un teorema muyconocido: El teorema de Moivre, pero antes de presentarlo, sugerimosdesarrollar una practica que nos dara una idea del funcionamiento de dichoteorema (ver practica 1)

Teorema 1.5.1. Si n es un entero positivo, entonces

(Cos θ + iSen θ)n = Cos nθ + iSen nθ

Con ayuda de este ultimo teorema, conocido como elteorema de DeMoire,podemos inclusive calcular las raıces de cualquier numero complejo, de hechola formula para calcular cualquier raız esta dada por le siguiente teorema (verpractica 2):

Teorema 1.5.2. Si n es cualquier numero entero y positivo, y r y α son,respectivamente, el modulo y el argumento de cualquier numero complejo,entonces

[r(Cosα + iSen(α)]n = rn(Cosnα + iSennα

Teorema 1.5.3. Si a y b son complejos, tenemos

eaeb = ea+b


Teorema 1.5.4. Cada complejo z 6= 0 puede ser expresado en la forma

z = reiθ

donde r = |z| y θ = arg(z) + 2πn siendo n un entero. Esta representacion esllamada la forma exponencial de z.

Esta representacion de los numeros complejos en forma exponencial esespecialmente util en relacion con la multiplicacion y division de los numeroscomplejos. Por ejemplo, si z1 = r1e

iθ y z2 = r2eiφ, tenemos

z1z2 = r1eiθr2e

iφ = r1r2eθ+φ.

1.6. Polinomios

Llamamos polinomios a las expresiones

a0 + a1x+ ...+ anxn

donde a0, a1, ..., an son numeros complejos. A estos numeros se les llama coe-ficientes del polinomio. Al sımbolo x se le llama indeterminada. a0, a1x, ..., anx

n

son los terminos del polinomio. Los coeficientes ai pueden ser todos reales,en cuyo caso decimos que se trata de un polinomio con coeficientes reales, opueden ser todos racionales (o enteros), y diremos entonces que el polinomiotiene coeficientes racionales (o enteros).

Haremos varias observaciones:

Cuando ai = 0 se conviene en que se puede omitir el termino aixi al

escribir el polinomio.

Se conviene en escribir xi en lugar de 1xi, y −axi en lugar de (−a)xi ode +(−a)xi.

El termino a0 tambien puede escribirse como a0x0. Nos referimos al

termino aixi como al termino de grado i. Al termino de grado cero le

llamamos termino independiente. Al polinomio 0 le llamamos polinomionulo.

No es necesario escribir los terminos de un polinomio siempre en elmismo orden.

Definicion 1.6.1. El grado de un polinomio no nulo es el mayor de losgrados de los terminos que tienen coeficiente diferente de cero.

1.6. POLINOMIOS 21

1.6.1. Los polinomios como funciones

Al polinomio a0 + a1x + .. + anxn le corresponde la funcion que a cada

complejo α le asocia el complejo:

a0 + a1α + ...+ anαn

que se obtiene al poner α en lugar de la indeterminada x y darle a los signos+ en el sentido usual de suma. Si a esa funcion la denotamos por f tenemos:

f(α) = a0 + a1α + ...+ anαn

Se acostumbra denotar el polinomio al que le corresponde la funcion f conf(x).

1.6.2. Ejercicios

1. Si sabemos que el termino independiente de un polinomio f(x) es 3,¿cuanto vale f(0)?, ¿por que?

2. ¿Existe algun polinomio no nulo de la forma f(x) = a + bx + cx2 talque f(0) = f(1) = f(−1) = 0?

1.6.3. Suma y Producto de polinomios

Definicion de la suma

(a0+a1x+a2x2+...)+(b0+b1x+b2x

2+...) = (a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2+...)

Definicion del producto

(a0+a1x+a2x2+...)∗(b0+b1x+b2x

2+...) = a0b0+(a1b0+a0b1)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+...

El coeficiente de xn en la suma es an + bn, y en el producto es∑i+j=n

aibj.

Proposicion 1.6.1. El grado de la suma de dos polinomios no nulos esmenor o igual que el maximo de los grados de los sumandos.

Proposicion 1.6.2. El grado del producto de dos polinomios no nulos es lasuma de los grados de los factores.


1.6.4. Ejercicios

1. Encuentre un polinomio de grado dos f(x) tal que f(0) = 1, f(2) =1, f(−3) = 0.

1.6.5. Division con residuo.

Proposicion 1.6.3. Sea f(x) cualquier polinomio y sea g(x) un polinomiono nulo. Existen dos unicos polinomios, q(x) y r(x), que satisfacen las condi-ciones siguientes:

1. f(x) = g(x)q(x) + r(x).

2. grado de r(x) < grado de g(x).

Los polinomios q(x) y r(x) son el cociente y el residuo respectivamente.Los polinomios f(x) y g(x) son el dividendo y el divisor, respectivamente.

1.6.6. Raıces de polinomios.

Se dice que a es raız de f(x) si f(a) = 0. A las raıces de f(x) tambien seles llama ceros de f(x). Las raıces de f(x) son las soluciones de la ecuacionf(x) = 0, entendiendo por ecuacion una ecuacion que solo es verdadera si enlugar de x se ponen ciertos numeros a los cuales llamamos soluciones de laecuacion.

Proposicion 1.6.4. Sea f(x) un polinomio y sea a ∈ C. Existen un poli-nomio q(x) (cociente) y r ∈ C (resto), tales que

f(x) = (x− a)q(x) + r.

Ademas q(x) y r son unicos.

Teorema 1.6.5. El residuo de la division de f(x) entre x−a es igual a f(a).

Teorema 1.6.6. Sea f(x) un polinomio de grado n > 0 con coeficientescomplejos. Existen n numeros complejos α1, α2, ..., αn, no necesariamentediferentes dos a dos, y un compljeo c tales que

f(x) = c(x− α1)(x− α2) · · · (x− αn)

ademas esta factorizacion es unica.

Definicion 1.6.2. α es raız de multiplicidad m del polinomio f(x) de gradopositivo si (x− α)m divide a f(x) pero (x− α)m+1 no lo divide.

1.7. PRACTICAS 23

1.7. Practicas

1.7.1. Practica 1

Vamos a estudiar el producto de numeros complejos con ayuda de la formapolar. Para ello usaremos dos identidades trigonometicas:

Sen(a+ b) = Sen(a)Cos(b) + Sen(b)Cos(a)

Cos(a+ b) = Cos(a)Cos(b)− Sen(a)Sen(b)

1. Supongamos que z1 y z2 son dos numeros complejos tales que susmodulos y argumentos son (r1, θ1) y (r2, θ2), respectivamente. ¿Comoquedarıa la representacion de los numeros en forma polar?

2. Ahora deseamos calcular el producto de esos numeros z1 · z2 con ayudade la representacion polar. Escriba el resultado usando la formula delproducto de complejos.

3. El resultado anterior se puede simplificar usando las identidades trigonometri-cas que mencionamos al principio. ¿Como quedarıa el resultado?

4. Supongamos que z3 = z1 · z2, este es un complejo y se puede expresaren forma polar con ayuda del paso anterior. ¿cual es el modulo y elargumento de z3?

5. El resultado anterior nos da informacion sobre el modulo y el argumentode un producto de complejos. Escriba dos teoremas que expliquen esteresultado: “Supongamos que ... entonces el modulo (argumento) delproducto ....”

6. Repetiremos los pasos pero ahora simplemente multiplicaremos z1 · z1,es decir z21 . ¿Como quedarıa la representacion polar del resultado?

7. Continuando con la idea del paso anterior, ahora queremos determinarel resultado en forma polar de z31 = z21 · z1. Escribalo en forma polar.

8. Ahora calcule en forma polar los resultados de z41 , z52 , ... ¿Cual es el

patron que se repite en todos los casos?


9. ¿Como quedarıa la representacion polar del caso general zn1 ? Escribalas conclusiones en forma de teorema.

1.7.2. Practica 2

1. Vamos a calcular las raıces sextas del numero complejo (1,0), poste-riormente vamos a generalizar los resultados para tratar de hallar lasraıces en cualquier otra potencia y por ultimo calcularemos las raıcesde un complejo diferente a (1, 0).

2. Dado que conocemos la forma polar de escribir los numeros complejos,usaremos esta herramienta: Escribimos el complejo (1,0) en forma polar(es decir, buscamos escribirlo de la forma r(Cos α +i Sen α).) ¿Cuantovale r, α?

3. Dado que queremos calcular las raıces sextas, podemos encontrar facil-mente algunas de ellas sin necesidad de hacer muchas cuentas, ¿cualesserıan? (se deben encontrar al menos 2 raıces sextas reales). ¿Sera queestas que encontramos son todas las que existen?, ¿existiran mas raıcesreales (complejas)?

4. Dado que no podemos encontrar mas soluciones reales, entoncessupondremos que las demas soluciones son complejas, y como no cono-cemos realmente cuales son estas soluciones, simplemente supongamosque z = r’(Cos β +i Sen β) es una raız sexta, es decir, se cumpleque 6√

(1, 0) = zen los pasos siguientes trataremos de encontrar el val-or especıfico de z, es decir, trataremos de determinar su modulo y suargumento. Para empezar, de acuerdo con el teorema de Moivre pode-mos calcular (al menos simbolicamente) el valor de z6, ¿como quedarıaz6? Ademas de acuerdo con la ecuacion anterior podemos, inclusive,determinar (despejando) el valor de z6 ¿que sucede con r’ y con β?

5. Dado que z es raız sexta del complejo (1,0), entonces podemos igualarel resultado anterior con el primero, es decir (1, 0) = z6. ¿Como seescribirıa la igualdad en terminos polares?

6. Comparemos, ¿Cual es el argumento de z, z6 y (1,0)?, ¿Cual es sumodulo? (Usar incognitas o variables, si es necesario, por ejemplo elvalor β del paso 2). Complete la siguiente tabla

1.7. PRACTICAS 25

z z6 (1, 0)Argumento

Modulo

7. Usando el hecho de que z6 = (1, 0), podemos igualar las utimas doscolumnas de la tabla anterior (¿por que?), y con ello despejar los valoresdel modulo y el argumento de z hallados en el paso 4. ¿Que valoresobtenemos para r’ y β?

8. Como mencionamos anteriormente no conocıamos el valor real de zpuesto que no conocıamos su modulo ni su argumento, sin embargocon ayuda de las propiedades conocidas hemos podido encontrar esosvalores (¿cuales fueron estas propiedades?), con lo cual podemos darotra raız sexta de (1,0). Escriba la solucion final para z.

9. De acuerdo con la definicion del argumento, existen varias alternativasa elegir para representar el argumento, de hecho sabemos que si el argu-mento del complejo (1,0) es α (de hecho sabemos que α = 0) tambienpodemos tomar como angulo al valor α+2π (en este caso especıficoserıa 0 + 2π), ¿por que podemos cambiar el angulo sin preocuparnos deestar haciendo algo incorrecto? ¿Como varıan los pasos anteriores conrespecto a este nuevo angulo?

10. Repita todos los pasos anteriores y determine el valor final de z (nue-vamente) ¿es el mismo que el resultado del paso 7? ¿por que?

11. Podemos repretir los pasos anteriores si consideramos ahora el valordel angulo igual a α+2(2π). ¿El resulado para z es el mismo a algunode los anteriores? ¿cuantos valores de z diferentes podemos encontrar?¿que hay que hacer para encontrar todos los valores de z?

12. Supongamos ahora que en lugar de calcular las raıces sextas queremoscalcular las raıces octavas, ¿que hay que cambiarle al proceso paraobtener las respuestas?

13. Por ultimo supongamos que no queremos las raıces del complejo (1,0)sino mas bien queremos calcular las raıces de un complejo (a, b) cuyomodulo sea R y su argumento sea α ¿que cambiarıamos para obtenerlas respuestas al problema?


1.8. Ejercicios

1. Exprese los siguientes numeros complejos en la forma a+ bi :

a) (1 + i)2

b) 1/(1 + i)

c) 1 + i+ i2 + i3

2. Calcule los valores absolutos de los siguiente numeros complejos

a) 1 + i2 + i3

b) 2(1− i) + 3(2 + i)

c) −3 +√

3i

3. En cada caso determine los valores de x y y que satisfacen la relaciondada:

a) x+ iy = x− iyb) x+ iy = ‖x+ iy‖c) (x+ iy)2 = (x− iy)2

4. Exprese cada uno de los siguientes numeros complejos en la forma a+bi

a) eπi/2

b) i+ e2πi

c) 3eπi

5. En cada caso determine los valores reales x e y que satisfacen las rela-ciones dadas:

a) x+ iy = xeiy

b) x+ iy = yeix

1.8. EJERCICIOS 27

6. Realice las siguientes operaciones con numeros complejos y calcule elmodulo del resultado:

(√

3,√34

)(√

3, −√3

4)

(5,8)(10,−8)

( 4+6i3

)

(2+3i)

7. Calcule las siguientes potencias de i :

i−99

i4x+j donde x = 2010, 2011 y j = 1, 2, 3.

8. Convertir a la forma polar y exponencial los siguientes complejos:

(7, 7)

(7,−7)

(0,−5)

9. Encuentrese las soluciones de las siguientes ecuaciones:

x2 + x+ 1 = 0

x2 + 5 = 0

x2 + 1

x2 − 2x+ 2 = 0

10. Demuestre que si a+bi es solucion de la ecuacion x2 +k = 0 con k > 0,real, entonces la otra solucion serıa a− bi.

11. Calcule las raıces sextas de 1 y -1.

12. Si α es real encuentre expresiones en terminos de eiα para las siguientesfunciones:

Cos α

Sen α

13. Encuentre dos numeros complejos z, w tales que√zw 6=

√z√w.


14. Calcule √1− i

√3

2

15. ¿Para que parejas de numeros complejos u y v se cumplen las siguientesecuaciones?

uv = uv

u+ (u+ v)− u− v = u

16. Determine los valores de los complejos z, u, v que satisfacen cadaigualdad.

zz = |z|2

|uv| = |u||v||u| = |v|

17. Determine el cociente indicado en forma binomial

1 + i

i;

1

Cos(π4) + iSen(π

4);i4 − 1

i− 1

18. Determine 4 numeros complejos tales que su conjugado tenga modulo4.

19. Convierta el resultado de las siguientes operaciones a las distintas rep-resentaciones de numeros complejos.

(Cos(35o), Sen(35o)) · (Cos(55o), Sen(55o))

(0,−1)85(√5e

π3

)6

Parte II

Parcial 2

29

Capıtulo 2

Matrices

2.1. Definiciones basicas

Definicion 2.1.1. Una matriz sobre un campo F es un arreglo rectangularde elementos del campo F, ordenados en filas y columnas (para los objetivosde nuestro curso, bastara con considerara que F = R o bien F = C).

El sımbolo Mm×n(F ) denota la coleccion de todas las matrices de mrenglones con n columnas sobre el campo F.

Las matrices usualmente seran denotadas por letras mayusculas, y laecuacion A = [aij] significa que el elemento en el i-esimo renglon y laj-esima columna de la matriz A es igual a aij.

En ocasiones tambien es conveniente escribir aij = (A)ij.

Ejemplo 1. La formula aij = 1/(i + j) para 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 4 defineuna matriz A de 3 renglones con 4 columnas que tiene la forma:

A =

12

13

14

15

13

14

15

16

14

15

16

17

Nota 2.1.1. Dada una matriz de la forma

A =

a11 a12 ... a1ma21 a22 ... a2m...

.... . .

...an1 an2 ... anm

31

32 CAPITULO 2. MATRICES

es usualmente llamada matriz de orden n×m.

2.2. Operaciones Basicas

2.2.1. Igualdad

Definicion 2.2.1 (Igualdad de Matrices). Diremos que dos matrices A y Bson iguales si tienen la misma dimension y sus correspondientes elementosson iguales; es decir si A y B ∈ Mm×n(F ) y si A = [aij], B = [bij], conaij = bij para 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Las matrices

A =

12

13

14

15

13

14

15

16

14

15

16

17

B =

1

1+11

1+21

1+31

1+4

12+1

12+2

12+3

12+4

13+1

13+2

13+3

13+4

son iguales ya que el valor de cada elemento aij es igual al valor de cadaentrada bij.

Por otro lado, las matrices

A =

12

13

14

15

13

14

15

16

14

15

16

17

B =

12

13

14

13

14

15

14

15

16

15

16

17

no son iguales.

2.2.2. Suma

Definicion 2.2.2 (Suma de Matrices). Sean A = [aij] y B = [bij] matri-ces de igual dimension. Entonces A + B es la matriz obtenida al sumar loscorrespondientes elementos de A y B; es decir

A+B = [aij] + [bij] = [aij + bij].

2.2. OPERACIONES BASICAS 33

Si

A =

12

13

14

15

13

14

15

16

14

15

16

17

B =

12

23

34

45

−13

−14

−15

−16

14

15

16

17

Entonces, por la definicion anterior

A+B =

1 1 1 10 0 0 024

25

26

27

2.2.3. Multiplicacion por un escalar

Definicion 2.2.3 (Multiplicacion por un escalar). Sea A = [aij] y t ∈ F (=R, = C)1. Entonces tA es la matriz obtenida de multiplicar todos los ele-mentos de A por t; es decir

tA = t[aij] = [taij]

Sean

A =

12

13

14

15

13

14

15

16

14

15

16

17

t = 2

Entonces

tA =

2 · 1

22 · 1

32 · 1

42 · 1

5

2 · 13

2 · 14

2 · 15

2 · 16

2 · 14

2 · 15

2 · 16

2 · 17

=

1 2

312

25

23

12

25

13

12

25

13

27

2.2.4. Multiplicacion

Definicion 2.2.4. Sean A = [aij] una matriz de tamano m× n y B = [bjk]una matriz de tamano n×p; (es decir, el numero de columnas de A es igual al

1en este caso decimos que t es un escalar


numero de renglones de B). Entonces definimos la multiplicacion AB comola matriz de m × p, C = [cij] donde los elementos (i, j) estan definidos porla formula

cik =n∑j=1

aijbjk = ai1b1k + ...+ ainbnk

(1 23 4

)(5 67 8

)=

(1× 5 + 2× 7 1× 6 + 2× 83× 5 + 4× 7 3× 6 + 4× 8

)=

(19 2243 50

)

2.3. Definiciones complementarias

Definicion 2.3.1 (La Inversa Aditiva de una Matriz). Sea A = [aij]. En-tonces −A es la matriz obtenida al reemplazar los elementos de A por susinversos aditivos (negativos); es decir

−A = −[aij] = [−aij]

Definicion 2.3.2. Para cada m, n la matriz en Mm×n(F ), cuyos elementosson todos cero, es llamada la matriz cero (de tamano m× n) y es denotadapor el sımbolo 0.

Definicion 2.3.3 (Resta de Matrices). La resta matrices esta definida parados matrices A = [aij] y B = [bij] del mismo tamano, de la manera usual; esdecir

A−B = [aij]− [bij] = [aij − bij]

2.4. Propiedades de las operaciones

2.4.1. Propiedades de la suma y multiplicacion por es-calar

Teorema 2.4.1. Sean A, B y C matrices de dimension n×m y sean s, t ∈ F,entonces:

1. (Asociativa para la suma)(A+B) + C = A+ (B + C).

2.4. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES 35

2. (Conmutativa para la suma)A+B = B + A.

3. (Neutro aditivo)0 + A = A.

4. (Inverso aditivo)A+ (−A) = 0.

5. (Distributiva por la derecha)(s+ t)A = sA+ tA, (s− t)A = sA− tA.

6. (Distributiva por la izquierda)t(A+B) = tA+ tB.

7. (Asociativa para la multiplicacion por escalar)s(tA) = (st)A.

8. 1A = A, 0A = 0, (−1)A = −A.

9. tA = 0⇒ t = 0 o bien A = 0.

2.4.2. Propiedades de la multiplicacion de Matrices

Teorema 2.4.2. Para la multiplicacion de matrices tenemos las siguientespropiedades:

1. (AB)C = A(BC) si A,B,C son de tamano m × n, n × p, p × qrespectivamente

2. t(AB) = (tA)B = A(tB), A(−B) = (−A)B = −(AB)

3. (A+B)C = AC +BC si A,B son de tamano m× n y C es de n× p

4. D(A+B) = DA+DB si A y B son de m× n y D es de p×m

Nota 2.4.3. A pesar de que tenemos las propiedades anteriores una comunen aritmetica y que no se cumple para matrices es la siguiente:

AB = BA ∀A, B matrices que se puedan multiplicar.


2.5. Clasificacion de las Matrices

Matriz Triangular.

Definicion 2.5.1. Se dice que una matriz es triangular superior si todos loselementos que estan por debajo de la diagonal principal son nulos.

Definicion 2.5.2. Se dice que una matriz es triangular inferior si todos loselementos que estan por encima de la diagonal principal son nulos.

Ejemplos

Triangular Superior: 1 4 20 3 40 0 1

Triangular Inferior: 1 0 0

2 8 04 9 7

Matriz Diagonal.

Definicion 2.5.3. Se llama diagonal principal de una matriz A a la di-agonal formada por los elementos aii. La Matriz diagonal, es una matrizcuadrada donde sus elementos aij = 0 si i 6= j.

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas o valoresson todos nulas salvo en la diagonal principal, y estos incluso pueden ser nuloso no. Otra forma de decirlo es que es diagonal si todos sus elementos son nulossalvo algunos de la diagonal principal.

Ejemplos

MATRIZ DIAGONAL: (1 00 4

)

2.5. CLASIFICACION DE LAS MATRICES 37

Matriz Escalar.

Definicion 2.5.4. Matriz Escalar es el nombre que recibe aquella matrizdiagonal en la cual los elementos que conforman la diagonal principal soniguales.

EjemploMATRIZ ESCALAR 2 0 0

0 2 00 0 2

Matriz Identidad.

Definicion 2.5.5. Se llama matriz identidad de orden n y se nota In a unamatriz cuadrada de orden n en la que los elementos de la diagonal principalson 1 y el resto 0.

La matriz identidad es una matriz diagonal.EjemplosMATRIZ IDENTIDAD (

1 00 1

); 1 0 0

0 1 00 0 1

.

Matriz Perodica.

Definicion 2.5.6. Una matriz A se llama periodica, si existe k, el menornumero entero y positivo, para el cual se cumple Ak+1 = A. Se dice que lamatriz A tiene como periodo k.

Ejemplo MATRIZ PERIODICA(1 00 1

)2

=

(1 00 1

)


Matriz Nilpotente.

Definicion 2.5.7. Sea A una matriz cuadrada. Si existe un entero positivop para el cual Ap = 0, entonces decimos que A es nilpotente de orden p.Tambien llamada matriz nulipotente.

EjemploMATRIZ NILPOTENTE 0 −8 0

0 0 00 5 0

2

=

0 0 00 0 00 0 0

Matriz Idempotente

Definicion 2.5.8. Una matriz idempotente1 es una matriz la cual es iguala su cuadrado, es decir: A es idempotente si A · A = A2 = A.

Ejemplo.MATRIZ IDEMPOTENTE(

1 00 1

)2

=

(1 00 1

)

Matriz Involutiva

Definicion 2.5.9. Una matriz A es involutiva si cumple con A2 = I.

Ejemplo:MATRIZ INVOLUTIVA(

−1 00 1

)2

=

(1 00 1

)

Matriz Transpuesta

Definicion 2.5.10. Se llama matriz traspuesta de una matriz A a aquellamatriz cuyas filas coinciden con las columnas de A y las columnas coincidencon las filas de A. Es representada por el sımbolo At.

2.5. CLASIFICACION DE LAS MATRICES 39

La matriz transpuesta se puede obtener intercambiando las filas por lascolumnas de una matriz dada.

Ejemplo:MATRIZ TRANSPUESTA

A =

(1 23 4

)→ At =

(1 32 4

)

B =

1 2 34 5 67 8 9

→ Bt =

1 4 72 5 83 6 9

.

Matriz Simetrica

Definicion 2.5.11. Una matriz A es simetrica si cumple con A = At.

Ejemplo:MATRIZ SIMETRICA: (A = At )

A =

1 2 32 0 53 5 6

→ At =

1 2 32 0 53 5 6

= A

B =

4 −5 2−5 0 32 3 9

→ Bt =

4 −5 2−5 0 32 3 9

= B.

Matriz Antisimetrica.

Definicion 2.5.12. Una matriz A es antisimetrica, cuando cumple con A =−At.

Ejemplo:MATRIZ ANTISIMETRICA: (At = −A)

A =

0 −2 42 0 2−4 −2 0

→ At =

0 2 −4−2 0 −24 2 0

= −

0 −2 42 0 2−4 −2 0

= −A.


Matriz Compleja.

Definicion 2.5.13. Sea A una matriz de tamano mxn, se llama compleja sisus elementos con numeros complejos.

Ejemplo:

MATRIZ COMPLEJA

A =

(1 + i 2− 3i2− 4i 3 + 8i

).

Matriz Conjungada.

Definicion 2.5.14. Sea A una matriz compleja, la matriz conjugada de Ase forma con los conjugados de cada elemento de A, se representa por A.

Ejemplo:

MATRIZ CONJUGADA

A =

2 + i 3 −1 + 4i4− i 5 −2− 2i

1 3− i 1 + 3i

→ Ac =

2− i 3 −1− 4i4 + i 5 −2 + 2i

1 3 + i 1− 3i

.

Matriz Hermıtica.

Definicion 2.5.15. Sea A es una matriz compleja, decimos que A es unamatriz hermıtica (o hermitiana) si cumple que At = A .

Ejemplo:

MATRIZ HERMITICA:

A =

(3 2 + i

2− i 1

)→ Ac =

(3 2− i

2 + i 1

)→ Ac

t

=

(3 2 + i

2− i 1

)= A.

Matriz Antihermıtica

Definicion 2.5.16. Si A es una matriz compleja y ademas cumple conAt = −A, entonces se llama matriz antihermitiana, hermihermıtica o an-tihermıtica.

2.6. EJERCICIOS 41

Ejemplo:MATRIZ ANTIHERMITICA: (A∗ = −A)

A =

(i 2 + i

−2 + i 3i

)→ Ac =

(−i 2− i−2− i −3i

)→ . . .

· · · → Act

=

(−i −2− i

2− i −3i

)= −

(i 2 + i

−2 + i 3i

)= −A.

Matroz Ortogonal.

Definicion 2.5.17. Una matriz cuadrada es ortogonal si A ·At = At ·A = I.

Ejemplo:MATRIZ ORTOGONAL:

A =

(1√2

1√2

− 1√2

1√2

)→ At =

(1√2− 1√

21√2

1√2

)

A ∗ At =

(1√2

1√2

− 1√2

1√2

)∗

(1√2− 1√

21√2

1√2

)=

(1 00 1

).

2.6. Ejercicios

Sea A =

(1 2−1 3

)y B =

(3 1 24 3 1

),

1. ¿cuales son las dimensiones de A y B?

2. ¿que operaciones se pueden realizar entre A y B?

3. ¿cual es la dimension de AB?

4. Calcule el elemento (2,3) y el elemento (3,2) de AB

5. Calcule AB

6. Sea Ri = (ai,1, ai,2), ¿Cual es el valor de R2?


7. Si sabemos que X ∈M2x2(R) y que AX = A, ¿quien es X?

8. Si sabemos que X ∈M2x2(R) y que AX = 02×2, ¿quien es X?

2.7. Operaciones Elementales Renglon.

Vamos a definir unas funciones f : Mn×n −→Mn×n usando los renglonesRi de una matriz dada A, de la siguiente manera:

f (Ri, Rj) −→ Ri

donde el resultado de la formula

f (Rj)

lo vamos a colocar en Ri de la matriz A. Por ejemplo:

(R1 +R2)→ R1

significa que el resultado (R1 +R2) (la suma del renglon 1 mas el renglon 2)lo vamos a colocar en R1 (el renglon 1).

En particular vamos a definir 3 tipos diferentes de formulas que podemosusar sobre las matrices, estas son llamadas operaciones elementales renglon,puesto que como mencionamos anteriormente, unicamente utilizan los ren-glones de una matriz.

A continuacion definimos las operaciones elementales que usaremos pararealizar la reduccion de las matrices:

Definicion 2.7.1. Sea

A =

R1...Rm

una matriz, donde cada Ri representa el renglon i de la matriz, entoncesdefinimos las siguientes operaciones elementales renglon:

1.- Intercambiar el renglon i-esimo y la j-esimo. Es decir,

2.8. ALGORITMO DE REDUCCCION DE GAUSS 43

R1

...Ri

...Rj

...Rm

Ri↔Rj−→

R1

...Rj

...Ri

...Rm

2.- Reemplazar el renglon i por un multiplo constante no cero de el mismo.

Es decir, R1

...Ri

...Rm

kRi→Ri−→

R1

...k ∗Ri

...Rm

3.- Reemplazar el renglon i por una combinacion de el mismo mas un

multiplo constante del renglon jR1

...Ri

...Rm

(kRj+Ri)→Ri−→

R1

...k ∗Rj +Ri

...Rm

2.8. Algoritmo de reducccion de Gauss

Definicion 2.8.1. Forma Escalonada: Una matriz se dice que es escalon-ada, escalonada por filas, o que esta en forma escalonada si:

1. Todas las filas cero, estan en la parte inferior de la matriz.

2. El primer elemento no nulo (es decir diferenete de cero) de cada filallamado pivote, esta a la derecha del pivote de la fila anterior (estosupone que todos los elementos debajo del pivote son cero).

Definicion 2.8.2. Forma Escalonada Reducida: Esta es una matriz quecumple las condiciones de escalonada y ademas:


1. Todos los elementos pivotes son iguales a 1.

2. Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos.

EjemplosEsta es una matriz en forma escalonada. 0 2 −1

0 0 80 0 0

Matriz en forma escalonada, aunque sin renglones cero: 2 3 0

0 −3 00 0 1

Esta es una matriz en forma escalonada reducida. 0 1 0

0 0 10 0 0

Esta matriz esta en forma escalonada, ademas es la identidad. 1 0 0

0 1 00 0 1

Existen dos algoritmos que nos ayudan a convertir matrices en formas

mas “simples”, estos son:

1. Algoritmo de Gauss: Convierte la matriz en una escalonada.

2. Algoritmo de Gauss-Jordan: Convierte la matriz en una forma escalon-ada reducida.

2.8.1. Algoritmo de reduccion de Gauss-Jordan.

A continuacion listamos los pasos del algoritmo de reduccion de Gausspar simplificar los sistemas de ecuaciones:

2.9. CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ. 45

1. Realizar la operacion elemental 1 hasta conseguir que el primer renglontenga como primer elemento a un valor diferente de cero.

2. Se divide el primer renglon entre una constante, para hacer el elementoa11 igual a 1 . Esto se logra con operaciones tipo 2.

3. Se “eliminan” los elementos de la primera columna de los demas ren-glones usando las operaciones del tipo 3.

4. Se usa la operacion del tipo 1 para conseguir que el segundo renglontenga como primer elemento a un elemento diferente de cero.

5. Se repiten los pasos 2 y 3 con el elemento a22.

6. Se repiten los pasos anteriores con cada elemento (aii) hasta conseguirtransformar el sistema a la forma escalonada.

Ejemplo:Aplicar el algoritmo de Gauss-Jordan para calcular la forma escalonada

reducida de la matriz

6 5 −32 1 40 8 7

.

Unicamente mostraremos la cadena de operaciones usadas y los resuladosobtenidos: 6 5 −3

2 1 40 8 7

16R1→R1−→

1 56−12

2 1 40 8 7

−2R1+R2→R2−→

1 56

−12

0 −23

50 8 7

−32R2→R2−→ 1 5

6−12

0 1 −152

0 8 7

−8R2+R3→R3−→

1 56

−12

0 1 −152

0 0 67

167R3→R3−→

1 56

−12

0 1 −152

0 0 1

−5/6R2+R1→R1−→ 1 0 234

0 1 −152

0 0 1

−23/4R3+R1→R1−→

1 0 00 1 −15

2

0 0 1

15/2R3+R2→R2−→

1 0 00 1 00 0 1

2.9. Calculo de la Inversa de una Matriz.

Podemos aplicar el algoritmo de Gauss-Jordan para calcular la inversa deuna matriz cuadrada, unicamente necesitamos formar una matriz especialconayuda de la identidad:


Calcularemos la inversa de la siguiente matriz por medio de algoritmo de

Gauss-Jordan: A =

7 8 3−5 2 −39 0 4

7 8 3 1 0 0−5 2 −3 0 1 09 0 4 0 0 1

17R1→R1−→

1 87

37

17

0 0−5 2 −3 0 1 09 0 4 0 0 1

5R1+R2→R2−→ 1 87

37

17

0 00 54

7−67

57

1 09 0 4 0 0 1

−9R1+R3→R3−→

1 87

37

17

0 00 54

7−67

57

1 00 −72

717

−97

0 1

754R2→R2−→ 1 8

737

17

0 00 1 −1

9554

754

00 −72

717

−97

0 1

−87R2+R1→R1−→

1 0 59

127

−427

00 1 −1

9554

754

00 −72

717

−97

0 1

727R2+R3→R3−→ 1 0 5

9127

−427

00 1 −1

9554

754

00 0 −1 −1

343

1

−R3→R3−→

1 0 59

127

−427

00 1 −1

9554

754

00 0 1 1

3−43−1

−59R3+R1→R1−→ 1 0 0 −4

271627

59

0 1 −19

554

754

00 0 1 1

3−43−1

19R3+R2→R2−→

1 0 0 −427

1627

59

0 1 0 754

−154

−19

0 0 1 13

−43−1

Por ultimo, la matriz inversa de la matriz A es aquella que queda en el

lado derecho:

A−1 =

−427

1627

59

754

−154

−19

13

−43−1

2.10. El Determinante de una matriz cuadra-

da.

Definicion 2.10.1. Sea S = {1, 2, 3, ..., n} el conjunto de enteros de 1 a n,odenados en forma creciente. Cualquier reordenamiento de la forma j1j2...jnde los elementos de S se llama una permutacion de S.

EjemplosSi S = {1, 2, 3, 4} algunas permutaciones serıan:

3142

2.10. EL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 47

2134

4321

1234

Ademas las permutaciones se pueden definir como funciones, ası por ejem-plo, para la permutacion 3142 tenemos la funcion:

f(1) = 3, f(2) = 1, f(3) = 4, f(4) = 2.

Denotamos al conjunto de todas las permutaciones de S con el sımboloSp

Definicion 2.10.2. Se dice que una permutacion j1j2...jn del conjunto S ={1, 2, ..., n} tiene una inversion si un entero mayor jr aparece antes de unomenor ji en dicha permutacion.Ademas, una permutacion se denomina par o impar si el numero total deinversiones en ella es par o impar, respectivamente.

Ejemplos

La permutacion 2134, tiene unicamente una inversion, por lo tanto esimpar.

Por otro lado, la permutacion 4132 tiene 4 inversiones por lo tanto es par

Definicion 2.10.3. Dada una permutacion p ∈ Sp, definimos el signo de pcomo:

Sgn(p) =

{+ Si p es par− Si p es impar

Definicion 2.10.4. Sea A = (aij) una matriz de n×n. Definimos el deter-minante de A (que se escribe como det(A) o |A|) como

det(A) = |A| =∑σ∈Sp

Sgn(σ)a1σ(1) · a2σ(2) · ... · anσ(n)

donde la suma varıa sobre todas las permutaciones σ ∈ Sp consideradas comofunciones.


2.11. La matriz Adjunta.

Definicion 2.11.1. Sea A una matriz de n × n y sea Mij la matriz de(n − 1) × (n − 1) que se obtiene de A eliminando el renglon i y la columnaj. Mij se llama el menor i, j de A.

Ejemplo:

Sea A =

2 −1 40 1 56 3 −4

. Encuentre M13 y M32.

M13 =

(0 16 3

).

M32 =

(2 40 5

).

Definicion 2.11.2. Sea A una matriz de n×n. El cofactorEl cofactorEl cofactor i, j de A, deno-tado por Aij, esta dado por

Aij = (−1)i+j |Mij|

donde |Mij| es el determinante del menor ij.

Ejemplos: (Usaremos la matriz A anterior)

A13 = (−1)1+3 |M13| = (−1)4 det

(0 16 3

)= 1 · (−6) = −6.

A32 = (−1)3+2 |M32| = (−1)5 det

(2 40 5

)= (−1)(10) = −10.

Teorema 2.11.1. Sea A una matriz de n× n. Entonces el determinante deA, denotado por det(A) esta dado por

det(A) = |A| = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n =n∑

k=1a1kA1k

esta definicion es llamada expansion por cofactores.

Ejemplos:

2.11. LA MATRIZ ADJUNTA. 49

1.- Sea A =

3 2 94 8 −13 2 9

, entonces de acuerdo con el teorema anterior,

el determinante serıa:

A11 = (−1)1+1 |M11| = (−1)2 det

(8 −12 9

)= 1 · (74) = 74.

A12 = (−1)1+2 |M12| = (−1)3 det

(4 −13 9

)= (−1) · (39) = −39.

A13 = (−1)1+3 |M13| = (−1)4 det

(4 83 2

)= 1 · (−16). = −16.

Luego,el determinante serıa:det(A) = (3) · (74) + (2)(−39) + (9)(−16) = 0

2.- Sea A =

2 −1 40 1 56 3 −4

, Por cofactores tendrıamos:

A11 = (−1)1+1 |M11| = (−1)2∣∣∣∣( 1 5

3 −4

)∣∣∣∣ = −19

A12 = (−1)1+2 |M12| = (−1)3∣∣∣∣( 0 5

6 −4

)∣∣∣∣ = −(−30) = 30

A13 = (−1)1+3 |M13| = (−1)4∣∣∣∣( 0 1

6 3

)∣∣∣∣ = −6

Ası pues el determinante serıa:Det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13

= 2(−19) + (−1)(30) + 4(−6)

= −38 +−30 + 4(−6)

= −68− 24

= −92

Nota 2.11.2. El teorema anterior tambien funciona si se lo aplicamos acualquier otro renglon diferente del primero, inclusive funciona si se loaplicamos a columnas.

Este metodo para calcular el determinante tambien es llamado ex-pansion por cofactores.


Si acomodamos todos los signos que se forman en los cofactores por elelemento (−1)i+j, dentro de la matriz con su correspondiente coorde-nada (i, j), entonces nos quedarıa una matriz como la siguiente:

+ − + −− + − ++ − + −− + − +

Definicion 2.11.3. Sea A una matriz de n × n y sea B la matriz formadapor los cofactores de A, es decir

B =

A11 A12 ... A1n

A21 A22 .. A2n

.. .. .. ..An1 An2 .. Ann

Entonces la adjunta de A, escrito Adj(A), es la transpuesta de la matriz Bde n× n.

Adj(A) = BT =

A11 A21 ... An1

A12 A22 .. An2

.. .. .. ..A1n A2n .. Ann

Teorema 2.11.3. Sea A una matriz de n× n. Entonces A es invertible si ysolo si det(A) 6= 0. Ademas si det(A) 6= 0, la inversa de A esta dada por:

A−1 =1

det(A)Adj(A).

Ejemplo:

Sea A =

2 −1 40 1 56 3 −4

y calculamos su adjunta:

A11 = −19 A12 = 30 A13 = −6A21 = 8 A22 = −32 A23 = −12A31 = −9 A32 = −10 A33 = 2

det(A) = 1(−32) + 5(−12) = −32− 60 = −92

Cof(A) =

−19 30 −68 −32 −12−9 −10 2

=⇒ Adj(A) =

−19 8 −930 −32 −10−6 −12 2

2.11. LA MATRIZ ADJUNTA. 51

Pot ultimo

A−1 = 1det(A)

Adj(A) = 1−92

−19 8 −930 −32 −10−6 −12 2

=

1992

− 223

992

−1546

823

546

346

323

− 146

Capıtulo 3

Sistemas de EcuacionesLineales

3.1. Definiciones

Definicion 3.1.1. Una ecuacion lineal en n incognitas x1, x2, ..., xn es unaecuacion de la forma

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b

Por ejemplo una ecuacion lineal serıa 2x+ 3y = 6.

Definicion 3.1.2. Un sistema de m ecuaciones lineales en n incognitasx1, ..., xn es una familia de ecuaciones lineales

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

...

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

Nosotros deseamos determinar si un sistema de esta forma tiene una solu-cion, es decir, determinar si existen numeros x1, x2, ..., xn los cuales satisfagancada una de las ecuaciones al mismo tiempo.

53

54 CAPITULO 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Usando el hecho de la existencia de soluciones podemos diferenciar dos tiposde sistemas de ecuaciones lineales:

3.2. Clasificacion de los Sistemas de Ecua-

ciones Lineales.

Definicion 3.2.1. Un sistema de ecuaciones lineales es consistente (o cm-patible) si tiene por lo menos una solucion. Un sistema es inconsistente (oincompatible) si carece de solucion.

Sistemas de ecuaciones

{Sistemas consistentes (compatibles)

Sistemas inconsistentes (incompatibles)

Ejercicio 4. ¿Si sabemos que un sistema de ecuaciones lineales tieneal menos una solucion, cuantas soluciones tiene en total?

¿Existe un sistema que tenga exactamente una solucion?, ¿dos?, ¿n?,¿infinitas?

Definicion 3.2.2. De acuerdo al numero de soluciones que posea un sistemade ecuaciones, los podemos clasificar en:

Determinados: si solo poseen una unica solucion.

Indeterminados: si poseen infinitas soluciones.

Con estas ultimas definiciones, nuestra clasificacion de los sistemas deecuaciones lineales queda de la siguiente manera:

sistemas de ecuaciones lineales

Consistentes

{Determinados

IndeterminadosInconsistentes

Ejemplos

Consideremos los sistemas de ecuaciones lineales

3.2. CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.55

2x+ 3y = 6

4x+ 6y = 2

2x+ 3y = 6

3x− 2y = 8

Las graficas de estas ecuaciones forman lıneas rectas, y dependiendo de laforma de las graficas sera el tipo de solucion que tengamos para los sistemasde ecuaciones.La grafica para el primer sistema serıa:

2.5 3.0 3.5 4.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

Como podemos observar la primera ecuacion tiene una solucion, puestoque las graficas se intersectan en un punto. De hecho, las coordenadas de esepunto son los valores solucion para las incognitas (x, y). Por otro lado, parael segundo sistema su grafica serıa:

En el caso del segundo sistema de ecuaciones observamos que sus graficasno se intersectan por lo cual no existen soluciones (coordenas) que satisfaganel sistema.

3.2.1. Interpretacion Grafica de las soluciones

Para cada sistema de ecuaciones lineales podemos observar lo siguiente:

Cada una de las ecuaciones involucradas en un sistema de ecuaciones sepuede “despejar” para ası obtener una “funcion” en terminos de ciertonumero de variables.


-4 -2 2 4

-2

2

4

Dicha funcion puede ser representada en el hiperespacio Rn. Y las grafi-cas resultante son conocidas como hiperplanos.

En R2, las graficas representan lineas rectas, enR3, las graficas repre-sentan planos.

Cada uno de los puntos pertenecientes a las correspondientes graficasse corresponde con un punto “solucion” de la respectiva ecuacion.

Podemos conocer el tipo de sistema de ecuacciones lineales con el quetrabajamos si conocemos las graficas de las ecuaciones lineales con lasque trabajamos.

El punto en el que todas las graficas se intersecten, representara lasolucion del sistema.

Con base en las observaciones anteriores podemos distinguir tres casosespeciales que se pueden presentar en los sistemas de 2 ecuaciones linealescon 2 variables:

Compatible Determinado.

Las graficas de las ecuaciones del sistema se cortan en un solo punto:

Compatible Indeterminado.

Las graficas de las ecuaciones del sistema se cortan en infinitos puntos(estan sobrepuestas):


-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

15

Incompatible.

Las graficas de las ecuaciones del sistema no se cortan:Con base en estas observaciones podemos listar algunas de las caracterısti-

cas principales que debe cumplir un sustema compatible indeterminado:

La solucion generica consiste en expresar una o mas variables comofuncion matematica del resto.

Al menos una ecuacion se puede hallar como combinacion lineal delresto, es decir, es linealmente dependiente.linealmente dependiente.linealmente dependiente.

El determinante de la matriz asociada al sistema es cero.


-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

Ejercicio 5. ¿Como podemos extender el analisis anterior a un problema dedimension n?

Pensemos ahora en un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas:

2u+ v + w = 5

4u− 6v = −2

−2u+ 7v + 2w = 9

Observando su grafica vemos claramente que el sistema tiene una solucionunica.

Ejercicio 6. De las siguientes afirmaciones con respecto a la solucion de unsistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas, ¿cual de ellas no es verdadera?

Es un par ordenado que satisface ambas ecuaciones.

Su grafica consiste en el (los) punto(s) de interseccion de las graficasde las ecuaciones.

Su grafica es la abcisa de las graficas de las ecuaciones.

Si el sistema es inconsistente no existe solucion.

¿Cual de las siguientes afirmaciones es cierta para un sistema incompatiblede 2 por 2?


0.5

1.0

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0

2

4

No existe una solucion. La grafica del sistema esta sobre el eje y. lagrafica de la solucion es una linea recta. La grafica de la solucion es elpunto interseccion de dos rectas.

¿Cual de las siguientes ecuaciones forma un sistema consistente indeter-minado con la ecuacion x+2y=-5?

y = −12x− 5

2

6x− 3y = −15

6y = 3x+ 15

3.2.2. Ecuaciones lineales degeneradas

Definicion 3.2.3. Una ecuacion lineal se dice degenerada si tiene la forma

0x1 + 0x2 + ... + 0xn = b

es decir, si cada coeficiente es igual a cero.

Ademas la solucion de tal ecuacion se halla como sigue:

Teorema 3.2.1. Consideremos una ecuacion degenerada

0x1 + 0x2 + ... + 0xn = b.


Si b 6= 0, la ecuacion no tiene solucion.

Si b=0, todo vector u = (k1, ..., kn ) es una solucion.

Por la primera incognita de una ecuacion lineal, entendemos la primeracon coeficiente no nulo. Su posicion p en la ecuacion es entonces el menorvalor entero de j para el cual aj 6= 0.

Teorema 3.2.2. Consideremos una ecuacion no degenerada a1x1 + ... +anxn = b con primera incognita xp Entonces:

Cualquier conjunto de valores de las incognitas xj con j 6=p dara unasolucion particular de la ecuacion (las incognitas xj se llaman variableslibres).

Toda solucion de la ecuacion se obtiene en el paso anterior.

3.3. Metodos de solucion de los sistemas de

Ecuaciones Lineales.

3.3.1. Sistemas equivalentes.

Definicion 3.3.1. Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales con lasmismas incognitas son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucion.

Una forma de producir un sistema que sea equivalente a uno dado, conecuaciones L1, ..., Lm, es efectuar una sucesion de las siguientes operacioneselementales:

Definicion 3.3.2. Definimos 3 tipos de operaciones elementales para lossistemas de ecuaciones lineales:

Intercambiar las ecuaciones i-esima y j-esima: Li → Lj.(Operacion detipo I).

Multiplicar la ecuacion i-esima por un escalar no nulo k: kLi → Li, k 6=0. (Operacion de Tipo II).

Sustituir la ecuacion i-esima por ella misma mas k veces la j-esima:(kLj + Li)→ Li. (Operacion de Tipo III).

Estas operaciones elementales nos sirven para formar sistemas equiva-lentes pero mas faciles de resolver. En particular nos interesan 2 tipos desistemas.

3.3. METODOS DE SOLUCION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.61

3.3.2. Forma Triangular y Escalonada

Definicion 3.3.3. Un sistema de ecuaciones lineales esta en forma triangularsi el numero de ecuaciones es igual al numero de incognitas y si xk es laprimera incognita de la k-esima ecuacion. Por tanto, un sistema de ecuacioneslineales triangular tiene la forma

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...

annxn = bn

Ejemplo:El siguiente sistema de ecuaciones lineales se encuentra en forma trian-

gular:

2x− 4y + 2z + 8w = 2

6y + 0z − 4w = 3

2z − w = −8

w = 0.

Definicion 3.3.4. Un sistema de ecuaciones esta en forma escalonada sininguna ecuacion es degenerada y la primera incognita de cada ecuacionesta a la derecha de la primera incognita de la ecuacion anterior:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a2j2xj2 + ... + a2nxn = b2...

arjrxr + ... + arnxn = bn

Nota 3.3.1. Un sistema triangular tambien esta en forma escalonada.

En caso de que un sistema este escrito en forma escalonada y tenga menosecuaciones que incognitas, entonces no puede tener una solucion unica.


-10

-5

0

5

10

-10

-5

0

5

10

-50

0

Por ejemplo si el sistema tiene 3 incognitas pero solo 2 ecuaciones, las graficasse verıan de la siguiente forma:

y como se puede observar, las soluciones estan dadas por la lınea que seforma en la interseccion de los planos.

Teorema 3.3.2. Consideremos el sistema de “r” ecuaciones lineales con“n” incognitas, en forma escalonada. Existen dos casos:

r=n. Hay tantas ecuaciones como incognitas. Entonces el sistema tienesolucion unica.

r<n. Hay menos ecuaciones que incognitas. Entonces podemos asignararbitrariamente valores a las n-r variables libres y obtener una soluciondel sistema.

Definicion 3.3.5. La matriz asociada a un sistema de ecuaciones linealeses la matriz que se forma al acomodar los coeficientes de todas las variablesinvolucradas en las ecuaciones lineales, poniendo cero en aquella variablesque no aparezcan en una ecuacion.De la misma manera formamos la matriz aumentada, usando la matriz de co-eficientes y anadiendole una columna al final, la cual se toma de los terminosindependientes del sistema.

Ejemplo:

3.3. METODOS DE SOLUCION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.63

El sistema dado por:

c1 + c2 + c3 = 0

−3c1 + 2c2 − c3 = 0

9c1 + 4c2 + c3 = 1

tiene como matriz de coeficientes a la matriz: 1 1 1−3 2 −19 4 1

y la matriz aumentada: 1 1 1 0

−3 2 −1 09 4 1 1

.

3.3.3. Forma Escalonada Reducida.

Definicion 3.3.6. Un sistema se encuentra en la forma escalonada reducidapor renglones si se cumplen las siguientes condiciones:

Todos las ecuaciones degeneradas aparecen en la parte inferior del sis-tema.

El primer numero diferente de cero en cualquier renglon no degeneradoes 1.

Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entones elprimer 1 del renglon de abajo esta a la derecha del primer 1 del renglonde arriba.

Cualquier columna que contiene el primer 1 en un renglon tiene 0 en elresto de sus elementos.


3.4. Algoritmo de reducccion de Gauss-Jordan.

Definicion 3.4.1. A continuacion listamos los pasos del algoritmo de reduc-cion de Gauss par simplificar los sistemas de ecuaciones:

1. Realizar la operacion elemental tipo 1 hasta conseguir que el primerrenglon tenga como primer valor un numero diferente de 0.

2. Se divide el primer renglon entre una constante, para hacer el valor dela primera columna igual a 1.

3. Se “eliminan” los valores de la primera columna de los demas renglonesusando las operaciones del tipo 3. Es decir los convertimos en cero.

4. Se usa la operacion del tipo 1 para conseguir que el segundo renglontenga como segunda columna a un valor diferente de cero.

5. Se repiten los pasos 2 y 3 con el (renglon 2)-(columna 2).

6. Se repiten los pasos anteriores hasta conseguir transformar la matriz ala forma escalonada (o escalonada reducida segun se desee).

3.4.1. Ejemplos

El sistema de ecuaciones es... 2x+ 4y + 6z4x+ 5y + 6z3x+ 7y + 6z

=

81011

Empezamos el proceso de reduccion de Gauss con ayuda de la matriz au-mentada del sistema:

Operacion tipo 2, en el renglon 1 multiplicado por el escalar 12 1 2 3

4 5 63 7 6

41011

Operacion tipo 3, con el renglon 1 multiplicado por el escalar -4 sumado alrenglon 2 1 2 3

0 −3 −63 7 6

4−611

3.4. ALGORITMO DE REDUCCCION DE GAUSS-JORDAN. 65


0 −3 −60 1 −3

4−6−1

Operacion tipo 2, en el renglon multiplicado por el escalar −1

3 1 2 30 1 20 1 −3

42−1


0 1 20 0 −5

42−3

Operacion tipo 2, en el renglon 3 multiplicado por el escalar −1

5 1 2 30 1 20 0 1

4235

Por ultimo observamos que el sistema ya se encuentra en forma escalonaday este se puede resolver por medio del metodo de sustitucion hacia atras.

Ejercicio 7. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones S:

a1x+ a2y + a3z = b1

c1x+ c2y + c3z = b2

d1x+ d2y + d3z = b3

A este sistema le aplicamos la operacion elemental de tipo 3: (k ∗ EC1 + EC3)→EC3. Llamemos S ′ al sistema recien creado. Por otro lado, sabemos que unasolucion del sistema S esta dado por los valores x = t1, y = t2, z = t3.Explique por que estas soluciones tambien son solucion del sistema S ′.

Ejercicio 8. Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x+ y + z = 1

2x+ 3y + 4z = 6

3x+ 4y + Az = B


1. Determine todos los valores posibles para A y B de tal forma que elsistema siempre tenga solucion unica.

2. Determine todos los valores posibles para A y B de tal forma que elsistema siempre tenga soluciones infinitas.

3. Determine todos los valores posibles para A y B de tal forma que elsistema siempre sea incompatible.

Parte III

Parcial 3

67

Capıtulo 4

Espacios Vectoriales

4.1. Definicion de Espacios Vectoriales

Para poder definir un espacio vectorial necesitamos 4 elementos princi-palmente:

1 Conjunto no vacıo V

1 Conjunto de numeros (campo).

2 Operaciones (suma y multiplicacion por escalar).

Definicion 4.1.1. Un conjunto no vacıo V es llamado un espacio vectorialsobre un campo F (generalmente F=R) cuando las operaciones de suma ymultiplicacion por escalar satisfacen las siguientes propiedades:

Cerradura para la suma y multiplicacion por escalar:

∀u, v ∈ V, u+ v ∈ V

∀u ∈ V, ∀c ∈ F, c · u ∈ V

Asociativa para la suma:

u+ (v + w) = (u+ v) + w = u+ v + w.

Conmutativa para la suma:

u+ v = v + u.

69

70 CAPITULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

Elemento neutro Aditivo.(neutro aditivo):

∃ 0 ∈ V tal que v + 0 = 0 + v = v.

Inverso aditivo:

Para toda v ∈ V ∃ − v ∈ V tal que v + (−v) = 0.

Asociativa para la multiplicacion por escalares:

(rs)u = r(su) = rsu.

Distributiva por la izquierda:

r(u+ v) = ru+ rv.

Distributiva por la derecha:

(r + s)u = ru+ su.

Neutro multiplicativo

1v = v para toda v ∈ V.

Nota 4.1.1. Para reforzar y comprender mejor la definicion, recomendamosrealizar la practica 1 de este capıtulo.

Ejemplos de Espacios Vectoriales

V = R2conK = R.

V = R3 con K=R.

V = Mnxm(R), conK = R.

V=R[x], con K=R, (V es el conjunto de los polinomios en la variablex).

R3[x] (polinomios de grado menor o igual a 3).

4.2. SUBESPACIOS VECTORIALES 71

4.1.1. Propiedades de los Espacios Vectoriales

Teorema 4.1.2. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Entonces secumpen las siguientes propiedades:

El neutro aditivo es unico.

Para cada elemento del espacio vectorial, su inverso aditivo es unico.

0F ∗ v = 0v

α ∗ 0v = 0v.

Si ku=0, donde k∈K y u∈V, entonces k = 0F o u = 0V .

(-1)*v=-v.

Para todo k∈K y todo u∈V, (-k)u=k(-u)=-ku.

Ejercicio 9. ¿Cuales son los inversos en los E. V.: Mn×n, Rn y R[x]?

4.2. Subespacios Vectoriales

Ejercicio 10. Consideremos el siguiente conjunto: (sea α ∈ R)

L = {(x, y)|y = αx}

Probar que este es un espacio vectorial.

¿Cuales son los elementos del conjunto?

¿Que elementos no pertenecen al conjunto?

¿Cual serıa el 0V , 0F ?

Definicion 4.2.1. Sea S un subconjunto no vacıo de un espacio vectorial Vsobre F (simbolicamente S⊆V). Si S es tambien un espacio vectorial sobre Fusando las mismas operaciones de suma y multiplicacion por escalar, entoncesdecimos que S es un subespacio vectorial de V sobre F.


4.2.1. Propiedades de los subespacios

Teorema 4.2.1. Sea V un espacio vectorial sobre F y S⊆V un conjuntono vacıo, entonces S es un subespacio vectorial de V si y solo si cumple lassiguientes condiciones:

El conjunto S es cerrado bajo la suma: Cualquiera dos elemen-tos de S sumados dan como resultado un elemento que tambien esta enS.

El conjunto S es cerrado bajo la multiplicacion por es-calares: Cualquier elemento de S multiplicado por cualquier escalarda como resultado un elemento que tambien esta en S.

Teorema 4.2.2. Sea U un subespacio de un espacio vectorial V. EntoncesU contiene al vector cero de V (0V ).

Ejercicios

Compruebe que los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales.

W =

{(a 00 b

)∣∣∣∣ a, b ∈ R}⊂M2x2(R).

W={(a,b,0)|a, b ∈ R} ⊂ R3.W = {(a, a2, b)} ⊂ R3

W = {ax+ 3ax2} ⊂ R[x]

4.3. Combinaciones Lineales

Definicion 4.3.1. Dado un espacio vectorial V y un conjunto U = {v1, ..., vn}de elementos de V, decimos que w∈V es una combinacion lineal de U si ex-isten elementos escalares c1, ..., cn tales que

w = c1v1 + ... + cnvn.

Ejercicios

El problema principal al demostrar que “algo” es combinacion lineal de“otros” consiste en encontrar los escalares que cumplen la igualdad anterior.Pruebe que los vectores dados son combinacion lineal de los conjuntos dados:

4.4. EL CONJUNTO GENERADO 73

1. (5,4,2) c. l. de {(1, 2, 0), (3, 1, 4}, (1, 0, 3)}.

2.

(2 −30 2

)c. l. de

{(1 00 1

),

(0 10 0

)}3. 3x3 − 2x2 + 7x− 2 c. l. de {x+ 1, x− 1, x2, x3}.

4.4. El Conjunto Generado

DEFINICIONDado un conjunto W = {v1, v2, ..., vn}W = {v1, v2, ..., vn}W = {v1, v2, ..., vn} de vectores de un espacio vectorial,definimos el conjunto generadoel conjunto generadoel conjunto generado por W, representado Span(W ),Span(W ),Span(W ), como el con-junto formado por todas las combinaciones lineales que se pueden formar conlos vectores deW. (Tambien se representa por gen(W)gen(W)gen(W), o bien< v1, v2, ..., vn >< v1, v2, ..., vn >< v1, v2, ..., vn >)

TEOREMADado un conjunto W = {v1, v2, ..., vn}W = {v1, v2, ..., vn}W = {v1, v2, ..., vn} de vectores de un espacio vectorial VVV,entonces Span(W)Span(W)Span(W) es un subespacio vectorial de VVV.

DEFINICIONDado un conjunto W = {v1, v2, ..., vn}W = {v1, v2, ..., vn}W = {v1, v2, ..., vn} de vectores de un espacio vectorial V,decimos que WWW es un conjunto de generadores de VVV si Span(W ) = V.Span(W ) = V.Span(W ) = V.

Ejercicios

1. ¿Como se verıan los vectores del espacio generado por W en cada unode los casos siguientes?

{(1, 0), (1, 1)}.{(1 10 0

),

(0 01 1

)}.

{1, x+ 1, x2 − 4x, x5 + 2x3} .

2. Determine si los siguientes elementos son combinacion lineal del con-junto dado

2− 7x+ 8x2 de {1-x, 3− x2}.2− 7x+ 8x2 de {x2 + 1, x2 − 1, x+ 6}.(

2 79 −4

)de

{(2 10 0

),

(0 02 1

),

(3 −10 0

),

(0 03 1

)}


3. Muestre que los espacios generados por los siguientes conjuntos son losdados:

{x2 + 1, x2 − 1, x+ 6} es R2[x].{(2 10 0

),

(0 02 1

),

(3 −10 0

),

(0 03 1

)}es M2×2(R).

4.4.1. Dependencia e Independencia Lineal.

Definicion 4.4.1. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Se diceque los vectores v1, ..., vm ∈ V son linealmente dependientes sobre K,o simplemente dependientes, si existen escalares a1, ..., am ∈ K, no todos 0,tales que

a1v1 + a2v2 + ... + amvm = 0V

En caso contrario se dice que los vectores son linealmente independientessobre K, o simplemente independientes.

Teorema 4.4.1. Sea V un espacio vectorial y sean {v1, v2, ..., vn} ⊂ V, en-tonces:

Si 0 es uno de los vectores v1, ..., vm, los vectores deben ser linealmentedependientes.

Cualquier vector no nulo v es por sı solo linealmente independiente.

Si dos de los vectores son iguales, o si uno es un multiplo escalar deotro, los vectores son linealmente dependientes.

Si un conjunto S de vectores es linealmente independiente, necesaria-mente lo es cualquier subconjunto de S.

Ejercicios

1. Determine cual de los siguientes conjuntos es linealmente dependienteo independiente:

u=(1,-1,0), v=(1,3,-1) y w=(5,3,-2)

u=x, v = x2 + x, w = x2.

4.5. PRODUCTO INTERNO. 75

u=

(2 10 −1

), v=

(−4 −20 2

), w=

(1 2−1 0

), x=

(0 41 3

).

2. Determine cual de los siguientes conjuntos es l. i.

s1 =

{(10

),

(01

)}.

s2 =

{(1−1

),

(11

)}.

s3 =

{(10

),

(01

),

(11

)}s4 = {x, x+ 1, x2, x2 − x+ 1}

Teorema 4.4.2. Para un conjunto no vacıo de vectores S = {u1, u2, ..., un}en un espacio V, las siguientes afirmaciones son verdaderas

Si S contiene un subconjunto l. d, entonces S por sı mismo es l. d.

Si S es l. i. entonces cualquier subconjunto de S es l. i.

4.5. Producto Interno.

Definicion 4.5.1. Un producto interno en un espacio vectorial real (o com-plejo) V es una funcion que mapea cada par ordenado de vectores (x, y) a unescalar real (o complejo) < x|y > tal que las siguientes cuatro propiedadesse cumplan:

1. < x|y > es real con < x|x >≥ 0, y < x|x >= 0 si y solo si x = 0.

2. < x|αy >= α < x|y >.

3. < x|y + z >=< x|y > + < x|z >.

4. < x|y >=< y|x > para espacios reales.


4.5.1. Normas

Definicion 4.5.2. Si V es un espacio vectorial con producto interno <x|y>,entonces

‖v‖ =√< v|v >

define una norma en V.

Teorema 4.5.1. Si V es un espacio vectorial con producto interno, y si

definimos∥∥∥∗∥∥∥=

√< ∗|∗ > , entonces

‖ < x|y > ‖ ≤ ‖x‖ ∗ ‖y‖.

la igualdad se cumple si y solo si y=αx con α = <x|y>‖x‖2 .

Preguntas

Calcule los productos de los vectores dados en cada espacio vectorial, conla formula dada para el producto interno.

1.- M2×2(R),

(2 03 −4

),

(3 −72 1

)con < A,B >= tr (At ·B) .

2.- R3, (1, 3, 8), (2,−4,−9)con < A,B ≥∑aibi.

4.6. Base Ortonormal y proceso de Ortonor-

malizacion de Grahm-Schmidt

Definicion 4.6.1 (Base Ortogonal). Sea V un espacio vectorial con productointerno y sea w = {v1, v2, ..., , vn} una base de V , entonces decimos que w esuna base ortogonal si se cumple que

< vi, vj >= 0

para cada pareja diferente de elementos de w.

Definicion 4.6.2 (Bases Ortonormal). Sea V un espacio vectorial con pro-ducto interno y sea w = {v1, v2, . . . , vn} un base de V , entonces decimos quew es una base ortonormal si se cumple que

1. < vi, vj >= 0 para cada pareja diferente de elementos de w.

2. ‖vj‖ = 1 para cada vector de la base.

4.6. BASE ORTONORMAL Y PROCESO DE ORTONORMALIZACION DE GRAHM-SCHMIDT77

4.6.1. Algoritmo de Grahm-Schmidt

Definicion 4.6.3. Sea {v1, v2, ..., vm} una base de un espacio vectorial V

Paso 1: Eleccion de primer vector unitario

u1 =v1|v1|

.

Paso 2: Eleccion del segundo vector ortogonal a u1.

v′2 = v2 − (v2 · u1)u1

Paso 3: Eleccion del segundo vector unitario

u2 =v′2|v′2|

.

Paso 4: Continuacion del proceso para calcular el vector V ′k+1

v′k+1 = vk+1 − (vk+1 · u1)u1 − (vk+1 · u2)u2 − ...− (vk+1 · uk)uk

Paso 5: Normalizacion

uk+1 =v′k+1∣∣v′k+1

∣∣ .EjemplosVamos a aplicar el proceso de Grahm-Schmidt en el espacio vectorial

V = R3 con la base S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} :

Paso 1:u1 = v1

||v1‖ = (1,1,1)‖(1,1,1)‖ = (1,1,1)√

3=(

1√3, 1√

3, 1√

3

)Paso 2:v′2 = v2 − (v2 · u1)u1

= (0, 1, 1)−[(0, 1, 1) ·

(1√3, 1√

3, 1√

3

)](1√3, 1√

3, 1√

3

)= (0, 1, 1)−

(0 + 1√

3+ 1√

3

)(1√3, 1√

3, 1√

3

)= (0, 1, 1)−

(23, 23, 23

)=(−2

3, 13, 13

).


Paso 3:u2 =

v′2

|v′2|

=(−2

3, 13, 13)

‖(−23, 13, 13)‖

=(−2

3, 13, 13)√

6/9

=(−2

3, 13, 13)√

2/3

=(−√

23, 1√

6, 1√

6

)

Paso 4v′3 = v3 − (v3 · u1)u1 − (v3 · u2)u2

= (0, 0, 1)−[(0, 0, 1) ·

(1√3, 1√

3, 1√

3

)](1√3, 1√

3, 1√

3

)−[(0, 0, 1) ·

(−√

23, 1√

6, 1√

6

)](−√

23, 1√

6, 1√

6

)= (0, 0, 1)−

(1√3

)(1√3, 1√

3, 1√

3

)−(

1√6

)(−√

23, 1√

6, 1√

6

)= (0, 0, 1)−

(13, 13, 13

)−(−1

3, 16, 16

)=(0,−1

2, 12

)Paso 5:u3 =

v′3

|v′3|

=(0,− 1

2, 12)

‖(0,− 12, 12)‖

=(0,− 1

2, 12)√

12

=(

0, −1√2, 1√

2

)

Concluimos que la base ortonormal obtenida es:{(1√3, 1√

3, 1√

3

),(−√

23, 1√

6, 1√

6

),(

0, −1√2, 1√

2

)}

4.7. PRACTICAS 79

4.6.2. Ejercicios

1.- Encuentre una base ortonormal para el conjunto de vectores en R3

que esta sobre el plano π =

x

yz

: 2x− y + 3z = 0

.

2.- Construya una base ortonormal para R3 comenzando con la base

{v1, v2, v3} =

1

10

,

011

,

101

.

3.- Construya una base ortonormal para el conjunto de vectores formadopor las soluciones del sistema

x− 3y + z = 0−2x+ 2y − 3z = 04x− 8y + 5z = 0

4.7. Practicas

4.7.1. Practica 1

Complete la siguiente tabla con la informacion que se solicita en cadaespacio vectorial

R2 Mm×n(R) R[x]¿Como se llaman? Polinomios

SumaMult por Esc.

Neutro Aditivo (0V )

0 · · · 0...

. . .

0 · · · 0

Inversos Aditivos −(a, b) = (−a,−b)

ConmutativaDistrib. por la izq.

¿Como se ven ? p0 + p1x+ p2x2 + · · ·+ pnx

n

Capıtulo 5

Transformaciones Lineales

5.1. Definicion

Definicion 5.1.1. Sean U y V espacios vectoriales sobre un campo F.

Una transformacion lineal de U sobre V esta definida como una funcionlineal T que mapea a U sobre V. Es decir,

T (x+ y) = T (x) + T (y)

yT (αx) = αT (x)

o bien equivalentemente

T (αx+ βy) = αT (x) + βT (y)

Un operador lineal sobre U es una transformacion lineal de U en sı mis-mo.

Ejemplos Las siguientes transformaciones son lineales:

Proyeccion:L : R3 → R3

definida como L(x, y, z) = (x, y, 0)

Dilatacion:L : R3 → R3

definida como L(u) = ru, r > 1.

81

82 CAPITULO 5. TRANSFORMACIONES LINEALES

Contraccion:

L : R3 → R3

definida como L(u) = ru, 0 < r < 1.

Reflexion:

L : R2 → R2

definida como L(x, y) = (x,−y)

Rotacion:

L : R2 → R2

definida como

L(u) =

(Cos θ −Sen θSen θ Cos θ

)

Ejercicios

1.- Encuentre las formulas de las transformaciones lineales que transfor-man el vector dado en el vector senalado:

(2, 4,−3) −→ (6, 12,−9)

(2, 0,−3) −→ (1, 0,−1,5)

(1, 1) −→ (−1, 1)

(2,−1, 4) −→ (0,−1, 4)

(1, 1) −→ (−2, 2)

2.- Representemos por Rn[x] al espacio vectorial de todos los polinomiosde grado ≤ n. Sea L : R1[x]→ R2[x], definida como

L[p(t)] = tp(t) + t2

¿L es una transformacion lineal?

5.1. DEFINICION 83

5.1.1. Propiedades de las transformaciones Lineales

Definicion 5.1.2. Una transformacion lineal L : V → W es uno a uno (oinyectiva) si para todo v1, v2 en V, v1 6= v2 implica que L(v1) 6= L(v2).

Definicion 5.1.3. Una transformacion Lineal L : V → W es suprayectiva(o sobre) si todo w ∈ W es la imagen de, al menos, un v ∈ V

Definicion 5.1.4. Una transformacion que es inyectiva y suprayectiva se diceque es una biyeccion (o biyectiva). Estas funciones siempre son invertibles.

Definicion 5.1.5. Dos espacios vectoriales U y V sobre un campo K, sonisomorfos si existe una aplicacion lineal biyectiva F : V → U. La aplicacionF se denomina entonces isomorfismo entre V y U.

Ejercicio1.- Sea L : Mmn →Mnm, definida como

L(A) = AT

¿Es L una transformacion lineal?

¿Es 1-1?

¿Es sobre?

¿Es isomorfismo?

Proposicion 5.1.1. Sea T : V → W una transformacion lineal inyectiva ysea {v1, ..., vn} un conjunto de vectores l. i. de V, entonces {T (v1), ..., T (vn)}es un conjunto de vectores l. i. en W.

Ejemplo 1Consideremos la transformacion lineal T : R2 → R2 dada por T (v) = AvT

donde

A =

(3 52 4

)y los vectores linealmente independientes {(1, 0), (0, 1)}. Entonces el conjuntoresultante de aplicar la transformacion es un conjunto l. i.

Ejemplo 2Consideremos la transformacion Proyeccion:

L : R3 → R2


definida como L(x, y, z) = (x, y)¿Entonces el conjunto de vectores {L(3, 1, 1), L(2, 4, 2), L(1, 1, 3)} es un

conjunto de vectores l. i.?

Teorema 5.1.2. Si L : V → W es una transformacion lineal, entonces

L(c1v1 + c2v2 + ...+ ckvk) = c1L(v1) + c2L(v2) + ...+ ckL(vk)

Teorema 5.1.3. Sea L : V → W una transformacion lineal. Entonces:

L(0V ) = 0W .

L(u− v) = L(u)− L(v).

Corolario 5.1.4. Sea T : V → W una funcion. Si T (0V ) 6= 0W , entonces Tno es una transformacion lineal.

Teorema 5.1.5. Sea L : V → W una transformacion lineal de un espaciovectorial V de dimension n en un espacio vectorial W. Ademas, sea S ={v1, ..., vn} una base de V.

Si u es cualquier vector en V, entonces L(u) queda completamente deter-minada por {L(v1), ..., L(vn)}.

Ejemplos Sea L : Q1 → Q2 una transformacion lineal para la cualsabemos que

L(t+ 1) = t2 − 1; y L(t− 1) = t2 + t

¿A que es igual L(7t+ 3)?

¿A que es igual L(at+ b)?

5.2. El Kernel y la Imagen

Definicion 5.2.1. Sea L : V → W una transformacion lineal. El nucleo (okernel) de L, o nucleo(L) es el subconjunto de V que consta de todos losvectores v tales que L(v) = 0. Es decir

ker(L) = {v ∈ V | L(v) = 0}

5.2. EL KERNEL Y LA IMAGEN 85

Definicion 5.2.2. Si L : V → W es una transformacion lineal, definimos laimagen de V bajo L como el conjunto de vectores w ∈ W tales que existe unv ∈ V que cumple que L(v) = w. Es decir

Im(L) = {w ∈ W | L(v) = w para algun v ∈ V }

Este conjunto se representa por Im(L).

Ejercicios1.- Sea L : R2 → R2 definida como

L(x, y) = (x+ y, x− y).

¿El L uno a uno?

¿Cual es el kernel de L?

2.- Sea L : R3 → R2 dada por

L(x, y, z) = (x, y)

¿Es L uno a uno?

¿Cual es el kernel de L?

¿Cual es la imagen de L?

Teorema 5.2.1. Sea T : U → W una transformacion lineal, entonces elKernel de T (Ker(T )) y la imagen de T (Im(T )) forman subespacios vecto-riales de U y W respectivamente

Teorema 5.2.2. Sea T : U → W una transformacion lineal, entonces elKernel de T (Ker(T )) y la imagen de T (Im(T )) forman subespacios vecto-riales de U y W respectivamente

Teorema 5.2.3. Supongamos que v1, v2, ..., vn generan un espacio vectorialV y que F : V → U es lineal. Entonces F (v1), F (v2), ..., F (vn) generan aIm(F ).

Ejercicio1.- Sea L : R3 → R3 definida como

L

a1a2a3

=

1 0 11 1 22 1 3

a1a2a3


¿L es sobre?

¿L es uno a uno?

¿Determine el kernel de L? una base del kernel.

¿Determine una base para Im(L)?

Determine una base para la imagen de la transformacion.

Teorema 5.2.4. Sea V de dimension finita y sea F : V → W una aplicacionlineal. Entonces

dim(V ) = dim(Ker(F )) + dim(Im(F )).

Nota 5.2.5. Sea F : V → U una transformacion lineal. Se define el Rangode F como la dimension de su imagen y la nulidad de F como la dimensionde su nucleo.

Definicion 5.2.3. Definimos el rango de una matriz cuadrada A como elnumero de pivotes que posee en la forma escalonada, y la nulidad de lamatriz como n− rango, donde n es la dimension de la matriz

Ejemplo Sea T : R4 → R3 la transformacion definida por

T (x, y, s, t) = (x− y + s+ t, x+ 2s− t, x+ y + 3s− 3t)

Encontremos una base y la dimension de la imagen de T :

T (1, 0, 0, 0) = (1, 1, 1) T (0, 0, 1, 0) = (1, 2, 3)T (0, 1, 0, 0) = (−1, 0, 1) T (0, 0, 0, 1) = (1,−1,−3)

Necesitamos encontrar vectores l. i. que generen al espacio vectorial dadopor estos vectores

Para conseguir este proposito, construimos la matriz cuyas filas son estosvectores imagen y la reducimos a su forma escalonada reducida:

1 1 1−1 0 11 2 31 −1 −3

∼

1 1 10 1 20 0 00 0 0

De este modo (1, 1, 1), (0, 1, 2) constituyen una base de Im(T ), luego

dim(Im(T )) = 2, o en otras palabras, rango(t) = 2.

5.3. EJERCICIOS 87

Nota 5.2.6. Tarea 1: Completar el proceso anterior para llevar la matrizoriginal a la forma escalonada.

Tarea 2: Encontrar una base y la dimension de Ker(T ).

5.3. Ejercicios

ejercicios

1. Escoja dos matrices cuadradas A1 y A2 de dimension 3. Tales que A1

sea no singular y A2 sea singular.

2. Defina dos transformaciones T1 y T2 ambas de R3 → R3, dadas por

Ti(v) = AivT .

3. Determine si las transformaciones son inyectivas y suprayectivas (paracada caso.)

4. Determine bases para Ker(Ti) e Im(Ti) para i = 1, 2. ¿Cuales son lasdimensiones?

5.4. Matrices y Transformaciones Lineales

Supongamos que {v1, ..., vn} es una base de un espacio vectolrial V sobreun cuerpo K, y para v ∈ V supongamos que

v = a1v1 + ...+ anvn

Entonces el vector vector coordenado de v relativo a la base S, se denota ydefine como

[v]s =

a1...an

= [a1, ..., an]T

Sea T uhn operador lineal en un espacio vectorial V sobre un cuerpo K ysupongamos que S = {u1, ..., un} es una base de V. Ahora T (u1), ..., T (un)


son vectores en V por lo tanto cada uno de ellos es combinacion lineal de losvectores de la base S, digamos

T (u1) = a11u1 + ...+ a1nun...

T (un) = an1u1 + ...+ annun

Definicion 5.4.1. La transpuesta de la matriz de los coeficientes anterior,denotada por ms(T ) o [T ]s, se denomina la representacion matricial de Trelativa a la base S, es decir

[T ]s =

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n...

. . ....

an1 an2 ... ann

Ejemplos

Sea V el espacio vectorial de los polinomios en t sobre R de grado ≤ 3y D : V → V el operador de derivacion. Calculemos la matriz de D enla base {1, t, t2, t3}.

Consideremos el operador lineal F : R2 → R2 definido por F (x, y) =(4x− 2y, 2x+ y) y las bases de R2 :

S = {u1 = (1, 1), u2 = (−1, 0)}, E = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)}

Calculemos la representacion matricial de F.

Teorema 5.4.1. Sean S = {u1, ..., un} una base de V y T un operador linealen V. Entonces, para todo vector v ∈ V,

[T ]s[v]s = [T (v)]s.

Esto es, si multiplicamos el vector coordenado de v por la representacionmatricial de T, conseguimos el vector coordenado de T (v).

Teorema 5.4.2. Sean S = {u1, ..., un} una base de un espacio vectorial Vsobre K y M el algebra de Matrices n-cuadradas sobre K. En tal caso, laaplicacion m : A(V )→M definida por m(T ) = [T ]s es un isomorfismo entreespacios vectoriales. Es decir, para todo par de operaciones F, G ∈ A(V ) ytodo k ∈ K tenemos:

5.5. CAMBIO DE BASE 89

m(F +G) = m(F ) +m(G) o sea [F +G]s = [F ]s + [G]s

m(kF ) = km(F ), o sea [kF ] = k[F ]

m es inyectiva y suprayectiva.

5.5. Cambio de Base

Definicion 5.5.1. Sean S = {u1, ..., un} una base de V y S ′ = {v1, ..., vn}otra base. Supongamos que para i = 1, 2, ..., n

vi = ai1u1 + ai2u2 + ...+ ainun

La transpuesta P de la matriz de coeficientes precedente se llama matriz decambio de base (o matriz de transicion) desde la antigua base S hasta lanueva base S ′.

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