apuntes algebra lineal completo

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ALGEBRA LINEAL

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  • INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI EN ELESTADO DE CAMPECHE

    APUNTES DE ALGEBRA LINEAL PARA

    INGENIERIA

    Docente:L. M. Angel Can M. C. M.

  • 2

  • Indice general

    I Parcial 1 7

    1. Numeros complejos 91.1. Antecedentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Definiciones y Propiedades Fundamentales. . . . . . . . . . . . 101.3. La unidad imaginaria i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4. Interpretacion geometrica, modulo y argumento. Forma Polar. 151.5. Exponenciales complejos y teorema de DeMoivre . . . . . . . . 191.6. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.6.1. Los polinomios como funciones . . . . . . . . . . . . . 211.6.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6.3. Suma y Producto de polinomios . . . . . . . . . . . . . 211.6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6.5. Division con residuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6.6. Races de polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.7. Practicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7.1. Practica 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7.2. Practica 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    II Parcial 2 29

    2. Matrices 312.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2. Operaciones Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.2.1. Igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.2. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.3. Multiplicacion por un escalar . . . . . . . . . . . . . . 33

    3

  • 4 INDICE GENERAL

    2.2.4. Multiplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3. Definiciones complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4. Propiedades de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.4.1. Propiedades de la suma y multiplicacion por escalar . . 342.4.2. Propiedades de la multiplicacion de Matrices . . . . . . 35

    2.5. Clasificacion de las Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7. Operaciones Elementales Renglon. . . . . . . . . . . . . . . . . 422.8. Algoritmo de reducccion de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    2.8.1. Algoritmo de reduccion de Gauss-Jordan. . . . . . . . . 442.9. Calculo de la Inversa de una Matriz. . . . . . . . . . . . . . . 452.10. El Determinante de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . 462.11. La matriz Adjunta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    3. Sistemas de Ecuaciones Lineales 533.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2. Clasificacion de los Sistemas de Ecuaciones Lineales. . . . . . . 54

    3.2.1. Interpretacion Grafica de las soluciones . . . . . . . . . 553.2.2. Ecuaciones lineales degeneradas . . . . . . . . . . . . . 59

    3.3. Metodos de solucion de los sistemas de Ecuaciones Lineales. . 603.3.1. Sistemas equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.2. Forma Triangular y Escalonada . . . . . . . . . . . . . 613.3.3. Forma Escalonada Reducida. . . . . . . . . . . . . . . 63

    3.4. Algoritmo de reducccion de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . 643.4.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    III Parcial 3 67

    4. Espacios Vectoriales 694.1. Definicion de Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    4.1.1. Propiedades de los Espacios Vectoriales . . . . . . . . . 714.2. Subespacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    4.2.1. Propiedades de los subespacios . . . . . . . . . . . . . 724.3. Combinaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.4. El Conjunto Generado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    4.4.1. Dependencia e Independencia Lineal. . . . . . . . . . . 744.5. Producto Interno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

  • INDICE GENERAL 5

    4.5.1. Normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.6. Base Ortonormal y proceso de Ortonormalizacion de Grahm-

    Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.6.1. Algoritmo de Grahm-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . 774.6.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    4.7. Practicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.7.1. Practica 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    5. Transformaciones Lineales 815.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    5.1.1. Propiedades de las transformaciones Lineales . . . . . . 835.2. El Kernel y la Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.4. Matrices y Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . 875.5. Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

  • 6 INDICE GENERAL

  • Parte I

    Parcial 1

    7

  • Captulo 1

    Numeros complejos

    El presente material tiene como finalidad complementar el material deaprendizaje del alumno y no debe ser tomado como unico recurso deestudio. Es responsabilidad del alumno leer el presente material de maneraanticipada y prepararse para las clases en que se aborden los temas as comotambien investigar de manera mas amplia los temas aqu tratados.

    1.1. Antecedentes.

    Al inicio de los estudios que una persona realiza, uno de primeros concep-tos adquiridos es el de numero. De hecho el primer conjunto de numerosestudiado es aquel que nos sirve para contar objetos materiales, los numerosnaturales: N = {1, 2, 3, ...} y con ello inicia nuestra formacion matematica.Habiendo conocido este conjunto tambien definimos la primera operacion quepodemos realizar con este conjunto de numeros: la suma.

    Ahora que podemos sumar, deseamos deshacer esta operacion y por ellodefinimos la operacion inversa a la suma: la resta, sin embargo esta ultimapresenta problemas cuando nos topamos con cosas del tipo: 4 8 =? dadoque la respuesta no tiene explicacion sobre el conjunto de numeros naturalesque conocemos hasta el momento. Es entonces cuando pasamos al siguientenivel en los numeros: los enteros: Z = {0,1,2, }.

    Posteriormente se inventa una nueva operacion que nos permite simpli-ficar las sumas extensas: la multiplicacion, 2 + 2 + 2 + 2 = 4 2 = 8, ynuevamente nos enfrentamos al problema de deshacer aquellos resultadosque obtenemos con esta nueva operacion. Esto nos lleva a la definicion de

    9

  • 10 CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS

    la operacion inversa a la multiplicacion: la division. Sin embargo esta nuevaoperacion nos presenta un nuevo tipo de problemas dado que divisiones deltipo 8

    4tienen respuesta dentro de Z pero divisiones del tipo 8

    3no lo tienen.

    Para resolver el problema anterior definimos un nuevo conjunto de numeros,los racionales1: Q = {a

    b|b 6= 0}. Y este conjunto resuelve el problema anterior.

    Nuevamente creamos una nueva operacion que no ayudara a simplificarla ultilicacion: 2 2 2 2 = 24. Y de la misma manera que en los conjun-tos anteriores tambien buscamos una operacion inversa a la potenciaion yesta nos llevara ante la necesidad de definir un nuevo conjunto de numeros,esto debido a que expresiones del tipo

    2 no tienen explicacion dentro del

    conjunto de los numeros racionales. Esto nos sirve para definir a los numerosirracionales.

    Hasta este punto hemos mostrado de manera superficial aquellos proble-mas que han planteado la necesidad de definir a los diferentes conjuntos denumeros hasta llegar al conjunto universalmente conocido, los reales: R. Sinembargo quedaba pendiente un problema que no se resolva con ayuda de losirracionales, puesto que a pesar de poder explicar expresiones del tipo

    2,

    aun no exisa una explicacion logica para el resultado de1. PArtiremos

    a partir de este punto para definir el siguiente nivel dentro de los conjuntosde numeros, los complejos.

    1.2. Definiciones y Propiedades Fundamen-

    tales.

    Definicion 1.2.1 (Numeros Complejos). Si a y b son numeros reales, elpar (a, b) es llamado un numero complejo, y donde la igualdad, suma ymultiplicacion de estos pares estan definidas como sigue:

    (a) Igualdad: (a, b) = (c, d) significa que a = c y b = d.

    (b) Suma: (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d).

    (c) Producto: (a, b)(c, d) = (ac bd, ad+ bc).Notacion. Denotamos por C al conjunto de todos los numeros complejos.

    1En realidad el conjunto de los racionales se define con ayuda de relaciones de equiv-alencia pero este no es el objetivo de este curso, por lo cual bastara con la definiciondada

  • 1.2. DEFINICIONES Y PROPIEDADES FUNDAMENTALES. 11

    Como se vera mas adelante, existen diferentes formas de representar a losnumeros complejos, sin embargo partiremos de la definicion anterior.

    Definicion 1.2.2. Los numeros a y b son llamados componentes de (a, b). Elprimer componente, a, es tambien llamado parte real del numero complejo;la segunda componente, b, es llamada parte imaginaria.

    EjemploDebemos observar que esta definicion nos plantea las reglas de las op-

    eraciones basicas de numeros complejos. Por ejemplo, si queremos sumar elcomplejo (1,1) con el complejo (5, 3) simplemente aplicamos la regla des-crita en la definicion:

    (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)

    (1,1) + (5, 3) = (1 + 5,1 + 3)= (6, 2).

    Por otro lado si queremos multiplicarlos, simplemente seguimos las reglasde la definicion:

    (a, b) (c, d) = (ac bd, ab+ bc)(1,1) (5, 3) = ((1)(5) (1)(3), (1