1

ALGEBRA LINEAL LISTA DE EJERCICIOS

SISTEMAS DE ECUACIONES

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el mtodo de Gauss:

a)

-23y-x

32

132

yx

yx

b)

1021432-

15814

852

032

4321

431

21

4321

xxxx

xxx

xx

xxxx

2. 45 marineros de la Academia Naval a bordo de un bote con 15 miembros de la tripulacin tienen alimentos para 30 das. 12 das despus, rescatan a 10 personas en una lancha

inflable con alimentos para 4 das. Cunto tiempo durar el suministro total de alimentos,

si al personal en el bote se le da la misma racin?

Sol. 16 das.

3. Una tienda de helados vende slo helados con soda y malteadas. Se pone 1 onza de jarabe y 4 onzas de helado en un helado con soda, y 1 onza de jarabe y 3 onzas de helado en una

malteada. Si la tienda usa 4 galones de helado y 5 cuartos de jarabe en un da, Cuntos

helados con soda y cuntas malteadas vende? (1 cuarto = 32onzas; 1 galn = 128 onzas)

Sol. 32 sodas y 128 malteadas

4. Supn que la matriz es el resultado de una reduccin Gaussiana Cuntas soluciones tiene el sistema? Cules son?

a)

000

610

421

b)

200

4/310

2/52/71

c)

0000

0000

3210

5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el mtodo de Gauss-Jordan

a)

1032

4 4

1132

321

321

321

xxx

xxx

xxx

b)

0322

95 4

7

321

321

321

xxx

xxx

xxx

c)

242

42

652

21

31

32

xx

xx

xx

d)

2223

5

42462

321

431

4321

xxx

xxx

xxxx

e)

010135

0342

0

321

321

321

xxx

xxx

xxx

f)

223

732

4

21

21

21

xx

xx

xx

Prof. Judith Margarita Tirado Lule

2

g)

726

14

5223

22

321

432

431

4321

xxx

xxx

xxx

xxxx

h)

032

037

053

02

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

6. Dado el sistema de ecuaciones lineales 0 ,0 dycxbyax

a) Muestra que si , 00 yyxx es una solucin, entonces para todo k,

, 00 kyykxx tambin es solucin

b) Muestra que si , 00 yyxx y , 11 yyxx son dos soluciones, entonces

y , 1010 yyxxx tambin es solucin

7. Muestra que el sistema es inconsistente si 32 bac

cxxx

bxxx

axxx

321

321

321

2155

53

32

8. Dado el sistema tyxyx 24 , 52 . Determina t de modo que el sistema:

a) Tenga solucin nica b) Tenga una infinidad de soluciones c) No tenga solucin

9. Para que valor de k tendr soluciones no triviales el siguiente sistema?

0114

07

0532

321

321

321

kxxx

xxx

xxx

10. Encuentra la ecuacin del polinomio de grado dos cuya grfica pasa por los puntos: a) (1,0), (-1,6) y (2,0) b) (1,14). (2,22) y (3,32)

11. Balancea la ecuacin qumica de cada reaccin.

a) FeS2 + 02 Fe2O3 + SO2

b) C7H6O2 + O2 H2O + CO2

c) Na2CO3 + C + N2 NaCN + CO

12. En la figura 1 se muestra una red de acequias de irrigacin con los flujos medidos en millares de litros por da.

a) Establece y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para hallar los flujos posibles f1, f2 , f3 , f4. y f5.

b) Cules son los posibles flujos mnimo y mximo en cada tubera? c) Supongamos que DC est cerrado. Qu amplitud de flujo necesitar ser mantenida a

travs de DB?

3

13. El centro de Ciudad Gtica se compone de calles de un solo sentido, y se ha medido el flujo de trnsito en cada interseccin. En el rea de la ciudad que aparece en la figura 2,

las cifras representan el nmero promedio de vehculos por minuto que entran y salen de

los puntos de interseccin A, B, C. y D durante las horas de trabajo.

a) Establece y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para hallar los flujos posibles f1, f2 , f3 y f4.

b) Si el trnsito es regulado en CD de manera que f4 = 10 vehculos por minuto, Cules sern los flujos promedio en las otras calles?

c) Cules son los posibles flujos mnimo y mximo en cada calle? d) Cmo cambiara la solucin si todas las direcciones fueran invertidas?

14. Encuentra la descomposicin en fracciones parciales de la siguiente igualdad.

411)4)(1)(1(

12222

x

EDx

x

CBx

x

A

xxx

x

15. Realiza la descomposicin en fracciones parciales de: 22

2

)2)(3(

22156

xx

xx

16. Un padre desea distribuir sus bienes races, cuyo valor es de $234, 000, entre sus 4 hijas, de la manera siguiente: 2/3 de las propiedades deben dividirse por igual entre las hijas.

Para el resto, cada hija debe recibir $3,000 cada ao hasta su vigsimo primer cumpleaos.

Como entre ellas se llevan 3 aos Cunto recibir cada una de los bienes de su padre?

Qu edades tienen ahora las hijas?

17. Un comerciante internacional necesita, en promedio, cantidades fijas de yenes japoneses, francos franceses y marcos alemanes para cada uno de sus viajes de negocios. Este ao

viaj 3 veces. La primera cambio un total de $2,400 a la siguiente paridad: 100 yenes, 1.5

francos y 1.2 marcos por dlar. La segunda vez cambio un total de $2,350 con las

siguientes tasas: 100 yenes, 1.2 francos y 1.5 marcos por dlar. La tercera vez cambio

$2,390 en total a 125 yenes, 1.2 francos y 1.2 marcos por dlar respectivamente. Qu

cantidad de yenes, francos y marcos compr cada vez?

Sol. 80000 yenes, 900 francos y 1200 marcos.

18. En un zoolgico hay aves (de dos patas) y bestias (de cuatro patas). Si el zoolgico contiene 60 cabezas y 200 patas Cuntas aves y cuntas bestias viven en l?

f2

f3 f4

f1

f5

A

B

C D

100

150

150 200

Figura 1

f2 f3

f4

f1

10

10

10 15

15 15

20

5

Figura 2

A B

CD

4

MATRICES

19. Dadas las matrices

24

13A y

11

32B , resuelve la siguiente ecuacin para X:

3(2A + B + X) = 5(X A + B)

20. a) Si A = (r, 1, -2) y B = (1, 3, -1) determina un valor de r de modo que ABT=0.

b) Si A=(1, r, 1) y B=(-2,2,5) para que valores de r ABT = 0

Sol. a) r=-5 b) r= 1

21. Si x es un vector de tamao n. a) Es posible que xx sea negativo?

b) Si xx=0 Quin es el vector x?

22. Sean Amxn con entradas reales, muestra que si AAT=0mxm entonces A=0mxn

23. Si A y B son matrices diagonales nxn Es cierto que AB=BA?

24. Encuentra la matriz resultante

9910

13219

351518

Sol.

132

601

532

401

532-

641

532

417

32-

40

61

)

114-

208 Sol.

60

14

21-

32 )

iii)

ii

i

25. Sea

68

62A encuentra un vector no nulo

y

xb tal que Ab = 6b

26. Encuentra la matriz A 2x2 tal que IA

31

20

27. Sean a11, a12, a21, y a22 nmeros reales dados tales que a11a22 a12a21 0. Encuentra la

matriz B tal que IBaa

aa

2221

1211

28. Se dice que u y v son ortogonales si uv=0 Cules de los siguientes vectores son ortogonales?

a) (2,-3) , (3,2)

b) (1, 4, -7) , (2, 3, 2)

c) (1, 0, 1, 0) , (0, 1, 0, 1)

d) (a, 0, b, 0, c) , (0, d, 0, e, 0)

5

29. a)Determina el nmero tal que (1, -2, 3, 5) es ortogonal a (-4, , 6,-1) b) Determina los nmeros y tales que (1, , 2, 3) y (4, 5, -, 7) son ortogonales.

30. Si

1-01

5-74

2-02

C ,

231-

403

2-11

B ,

083

154

031

A determina, sin calcular toda

la matriz, los siguientes elementos de la matriz D=2(AB)+C2

a) d11 b) d21 c) d32 Sol. a) -14

31. A4x2 , B2x6, C3x4 , D6x3 determina el tamao de los productos siguientes: a) ABC b) ABD c) CAB d) DCAB e) A

2DCB

32. Si n es un entero positivo y A y B matrices tales que AB=BA demuestra que (AB)n=AnBn

33. Sean A y B matrices diagonales del mismo tamao. Demuestra que: a) A+B es diagonal

b) cA es diagonal

c) AB es diagonal

34. Si A y B son matrices diagonales del mismo tamao, demuestra que AB=BA

35. Sean A y B dos matrices nxn. Qu condiciones deben cumplir A y B para que (A + B)

2 = A

2 + 2AB + B

2?

DETERMINANTES

36. Si A encuentra

651

412

011

A

a) expandiendo por cofactores por la fila 2 b) usando el mtodo pivotal c) usando el esquema de Sarrus

37. Si A=diag(a1, a2,, an) y B= diag(b1, b2,, bn) demuestra que |AB|=|A||B|

6

38. Si

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31

8 Evala los siguientes determinantes

3 3 3

a) 2 2 2 Sol. 16 b) 2 2 2

5 5

a a a

a a a

a a a

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a

32 33

11 21 12 22 13 23

31 32 33

21 22 23

Sol. -240

5

2 3 2 3 2 3

c) Sol. -16

a

a a a a a a

a a a

a a a

39. Usando las propiedades encuentra el determinante de las siguientes matrices:

2 -1 0 4 1

-2 3 13 1 -1 2 0

a) Sol. 138 b) 4 6 5 Sol. 43 2 -2 5 1

0 2 10 0 4 -1 6

3 2 1 -1 1

-2 0 0 7 4 2 3 -4

1 2 -1 4 3 -2 1 5c) Sol. 274 d)

3 0 -1 5 -2 0 1 -3

4 2 3 0

Sol. -30

8 -2 6 4

40. Para que valores de a ocurre que 14

22

031

10

10

310

012

a

a

a

a

41. Demuestra que en general no se cumple que |A+B|=|A|+|B|

42. Demuestra que si A es triangular, entonces |A|0 si y solo si todos los elementos en su diagonal son diferentes de cero.

43. Utiliza operaciones elementales por rengln para verificar que:

2

2

2

1 1 1 1

) 1 1 ) 1 1

1 1 1 1

a b a a b a bc a a

a b c b b c b b ca b b

c a c c a c ab c c

7

INVERSA DE UNA MATRIZ

44. Usa determinantes para encontrar si la matriz es no singular, calcula la inversa por el mtodo de Gauss-Jordan en los casos que sea posible.

11-1

23-4

32-1

g)

1-37

642

321

f)

900

310

7-42

e)

13

27 d)

23

46 c)

1-6

13- b)

31

74 a)

45. Encuentra la inversa de la matriz, con la definicin )(11 AAdjA

A

641

321

330

c)

354

210

321

b) 23

41 a)

46. Para que valores de K la matriz las siguientes matrices son invertibles:

0

2

0

B b)

1-k8-k

11k0

3k-k

A a) 2

kk

kk

kk

47. Resuelve el sistema usando la Regla de Cramer:

7x4x 72x-x3

4x3x 59x6x2

9x2x b) 34x3x a)

321321

321321

321321

xx

xx

xx

48. Un mercader cafetero vende tres mezclas de caf. Una bolsa de la mezcla de la casa contiene 300gramos de grano colombiano y 200 gramos de grano francs tostado. Una

bolsa de la mezcla especial contiene 200 gramos de grano colombiano, 200 gramos de la

variedad de Kenia y 100 gramos de grano francs tostado. Una bolsa de la mezcla

gourmet contiene 100 gramos de grano colombiano, 200 gramos de grano de Kenia y 200

gramos de francs tostado. El comerciante tiene disponibles 30 kilos de grano de

Colombia, 15 kilos del de Kenia y 25 kilos del caf tostado de Francia. Si deseamos

utilizar la totalidad de los granos, Cuntas bolsas de cada tipo de mezcla pueden hacerse?

a) Plantea el sistema de ecuaciones. b) Escribe el sistema en forma matricial. c) Encuentra la solucin utilizando la inversa de la matriz de coeficientes.

49. Manufacturas PATITO S.A. de C.V. fabrica tres tipos de computadora personal: Cicln, Cclope y Cicloide. Para armar una Cicln se necesitan 10 horas, otras 2 para probar sus

componentes y 2 horas ms para instalar sus programas. El tiempo requerido para la

Cclope es de 12 horas en su ensamblado, 2.5 para probar y 2 horas para instalarla. La

Cicloide, que es la ms sencilla de la lnea, necesita 6 horas de armado, 1.5 horas de

prueba y 1.5 horas de instalacin. Si la fbrica de esta empresa dispone de 1560 horas para

armar, 340 horas para probar y 320 horas para instalar. Cuntas PC de cada tipo puede

producir en un mes?

8

a) Plantea el sistema de ecuaciones b) Escribe el sistema en forma matricial c) Encuentra la solucin utilizando la inversa de la matriz de coeficientes por el mtodo

de la adjunta de una matriz.

ESPACIO VECTORIAL

50. Sea V el conjunto de todos los nmeros reales con las operaciones u v = 2u v, y cu = cu. Es V un espacio vectorial? Si la respuesta es si prubalo, si la respuesta es no da un contraejemplo de alguna propiedad que no se cumpla.

51. Sea R con operaciones definidas como x=(x) y x y= max(x,y) Es un espacio vectorial?

52. V= R con u v = u v (resta ordinaria) y cu = cu (multiplicacin ordinaria) Es V un espacio vectorial?

SUBESPACIOS VECTORIALES

53. Determina si W es un subespacio vectorial de M2x2

a) | , b) | 1

c) | 0 d) | 0

a b a bW a b W a d

b a c d

a b a bW ad W a d

c d c d

54. Si V1 y V2 son subespacios de Rn, demuestra que V1V2 es un subespacio vectorial de

Rn

55. Si W1 y W2 son subespacios vectoriales de V y W1+W2 es el conjunto de todos los vectores v V tales que v = w1+w2 donde w1 W1 y w2 W2. Demuestra W1+W2 es un subespacio vectorial de V.

ESPACIO GENERADO

56. Es v una combinacin lineal de los vectores dados?

1 2 3

1 2 3

a) v (2,1,5); v (1,2,1), v (1,0, 2), v (1,1,0)

5 1 1 1 1 1 2 2b) v ; v , v , v

1 9 0 3 0 2 1 1

9

1 2

1 2

2 1 2c) v ; v , v

4 3 4 3

1 1 0

d) v 2 ; v 1 , v 1

0 1 1

a b

a b

57. Describe el conjunto V de todas las combinaciones lineales de los vectores dados: a) (1, 0), (0, 1) b) (1, 0, 0), (0, 1, 0)

58. Calcula el o los valores de k tales que

a)

k

k

2

2 sea una combinacin lineal de

1

2

0 y

k

0

1

b)

1

0sea una combinacin lineal de las columnas de

00

11

k

k

59. En P2 sean v1=2t2 + t + 2, v2=t

2 2t, v3=5t

2 5t + 2, v4=t

2 3t 2.

Si u= t2 + t + 2 Est u en gen{ v1, v2, v3, v4}?

60. Prueba que si S1={v1, v2,, vn, vn+1}genera un espacio vectorial V y vn+1 es una c. l. de {v1, v2,, vn} entonces S2={v1, v2,, vn} tambin genera a V.

61. Sea V un espacio vectorial tal que gen{v1, v2}=V. Sean u1, u2V tales que u1=a1v1+a2v2 y u2=b1v1+b2v2 en donde a1b2 a2b1 0. Prueba que gen{u1, u2}= V

62. Demuestra que para cualesquiera vectores u, v de un espacio vectorial V gen{u, v}= gen {u+v, u-v}

63. a) Escribe tres vectores en el subespacio de R3 generado por los vectores (1,2,3), (1,2,0).

c) Escribe tres vectores en el subespacio de R2 generado por el vector (1, 2).

64. Sea U el subespacio R3 generado por los vectores (1, 2, 3) y (-1, 2, 5). Sea V el

subespacio de R3 generado por los vectores (1,6,11) y (2, 0, -2). Demuestra que U = V

65. Proporciona tres funciones del espacio vectorial generado por g(x) = 2x2 + 3 y h(x) = x

2 + 3x 1

66. Sean v, v1 y v2 vectores en un espacio vectorial V. Sea v una combinacin lineal de v1 y v2. Si c1 y c2 son escalares distintos de cero, demuestra que v tambin es una

combinacin lineal de c1v1 y c2v2

INDEPENDENCIA LINEAL

67. Determina si los vectores son linealmente independientes o linealmente dependientes. a) v1 = (-1, 1, 0, 0), v2 = (-2, 0, 1, 1)

b) v1 = (1, 0, 1, 2), v2 = (0, 1, 1, 2 ), v3 = (1, 1, 1, 3),

c) v1 = (1, 2, -1), v2 = (1, -2, 1), v3 = (-3, 2, -1), v4 = (2, 0, 0)

10

d) P1 = t2 + t + 2, P2 = 2t

2 + t, P3 = 3t

2 + 2t + 2

e) x1 = (1, 2, 0, 1), x2 = (1, 0, -1, 1), x3 = (1, 6, 2, 0)

68. Encuentra el o los valores de t para los cuales son l.i. los conjuntos siguientes: a) {(3, t), (6, t-1)} b) {(2, -t), (2t+6, 4t)}

69. Determina si los conjuntos siguientes son l.i. o l.d.

a) {f, g, h} con f(x) = 2x2 +1, g(x) = x

2 + 4x, h(x) = x

2 4x + 1

b)

40

00,

03

00,

00

20,

00

01 c)

35

21,

11

21,

01

21

70. Sea {v1, v2, v3} l.i. en V. Sea un escalar distinto de cero, demuestra que los siguientes conjuntos son l.i.

a) {v1, v1+v2, v3}

b) {v1, v2, v3}

c) {v1, v1 + v2, v3}

71. Sea {v1, v2} l.i. en V. Demuestra que si v3 no tiene la forma av1 + bv2 entonces el conjunto {v1, v2, v3} es l.i.

BASES Y DIMENSIONES

72. Di si los vectores dados forman una base para el espacio vectorial V.

a) v1= (1, 0, 1, 0) v2= (0, 1, -1, 2) v3 = (0, 2, 2, 1) V = R4

b) 1 2 3 41 0 0 1 0 0 0 0

v v v v 0 0 0 0 1 0 0 1

V=M2x2

c) v1= 1 x2, v2 = x V = P2

d) v1 = x2 1, v2 = x 2, v3 = x

2 3 V = P2

e) Encuentra una base en R3 para e l conjunto de vectores en el plano 2x y z = 0

f) v1 = (1, 1, 1) v2 = (0, 1, 2) v3 = (3, 0, 1) V = R3

73. Encuentra una base y la dimensin para el espacio solucin del sistema homogneo Ax = 0 dado:

a) x y = 0 b) x 3y + z = 0 c) 2x 6y + 4z = 0 2x + 2y = 0 2x + 2y 3z = 0 x + 3y 2z = 0 4x 8y + 5z = 0 3x + 9y 6z = 0

74. a) Encuentra una base de R2que incluya al vector (1, 2)

b) Encuentra una base de R3 que incluya a los vectores (-1, 0, 2) y (0, 1, 1)

75. El conjunto de vectores {(1, 2, 1), (2, 1, 3), (3, 3, 4), (1, 2, 0)} generan a R3? si es as Cules son los vectores que estn en la base?

11

76. Sea 1 2 3 4 5{ , , , , }S v v v v v un conjunto de vectores en R

4, donde

1 (1,2, 2,1),v

2 ( 3,3, 9,6),v 3 (2,1,1, 1),v 4 ( 3,0, 4,5)v y 5 (9,3,7, 6).v Determina una

base para el conjunto generado por S.

77. Considera los vectores 1 (1, 1,3)w y 2 ( 4,1,6)w del espacio vectorial R

3. Determina

el espacio vectorial generado por estos vectores.

78. Determina una base para cada subespacio de R3, indicando tambin su dimensin.

a) { v | v = (a, a, 2a) con aR }

b) { v | v = (a, 2b, a+3b) con a, bR} c) { v | v = (a, b, c) con a+b+c=0 y a, b, cR }

79. Sea u = (u1, u2) un vector distinto de cero en R2. Demuestra que el conjunto de vectores

ortogonales a u forman un subespacio de dimensin uno de R3. [Se dice que dos vectores son ortogonales cuando el producto punto entre ellos da como resultado el cero. Si v =

(a, b) y w = (c, d) se dice que v y w son ortogonales si y solo si vw = 0]

80. Para qu valores de a los vectores (a, 1, 0), (1, 0, a), (1+a, 1, a) forman una base para

R3?

81. Determina una base para el espacio nulo de (I3A)x = 0 si = 2 y

200

012

103

A

82. Determina una base para el espacio generado por los renglones de la matriz

34021

32732

41823

43021

A Cul es la dimensin de tal espacio?

83. Encuentra el rango y la nulidad de A

1 2 0 1 3 7 31 -2 2

3 0 1 2 2 5 5a) b) -1 -1 0 c)

1 2 3 0 5 1 33 0 1

6 0 -1 5 3 0 4

1 4 2 12 4 0 1

3 12 6 3 d) e) 1 0 3 2

2 1 0 12 1 7 1

0 1 3 1

12

CAMBIO DE BASE

84. Deduce el polinomio P, a partir de la base B de nP y el vector de coordenadas BP .

b

a

-

B

B

22

B

P ,x33 ,2x 2B c)

2

3

4

P ,2x1 , x ,2xx 1B b)

6

3-P ,5x ,2x 1B a)

85. Calcula el vector de coordenadas BP a partir de la base B y el vector P.

222 861 P 212221617P 3247 a)

xx,x , xx, xx b) B

x, xx , B

86. Sea 1 1 1 0 2 0 1 2

B , , ,0 0 0 0 1 0 3 4

una base de 22xM Calcula:

B

4

3a) M si M

8

10

4 -1b) El vector de coordenadas de M si: M

-4 -4

87. Encuentra la matriz de transicin de 21 v,v a 21 w,w si 11v1 , , 2,1v2 , 3,1w1 y 4,1w 2

88. Si 1,2,1 , 0,1,1 , 2,2,1S y 1,1,0 , 0,1,0 , 0,1,1T son bases para R3

y si

1

0

2

Sv

a) Encuentra TSST TT y

b) Usando a) encuentra Tv c) Cunto vale TSST TT ?

89. Si 21 v,vS y 1tt, T son dos bases para 1P y la matriz de transicin de S a T es

21

32 encuentra los vectores de S.

13

90. Usando el mtodo de Gram-Schmidt determina una base ortonormal para V si:

a)

5

2

1

,

1

2

4

genV b)

2

2

2

2

,

0

1

2

0

,

1

1

0

3

genV

91. Construye una base ortonormal para R3 que contenga los vectores 1 2

1 2

2 y 3

1 1

v v

TRANSFORMACIN LINEAL.

92. Determina cuales de las siguientes transformaciones son lineales.

a) 2:T R R con ,T x y x y

b) 2 3:T R R con , , ,T x y x y z cuando i) 0z , ii) 1z

c) 3:T R R con ,2 ,3T x x x x

d) 2 2:T R R con 2, ,T x y x y e) 3 3:T R R con , , 2 , ,3T x y z x y x y z z

93. Sea 2 3:T R R definida por la matriz

1 2

1 3

1 2

A

encuentra la imagen de

1 3 5, ,

1 2 2x y z

94. Sean 1 1T u Au y 2 2T u A u definidas por las matrices 1A y 2A . Sea 1 2T T T . Encuentra la matriz que define T y utilzala para determinar la imagen del vector x bajo

T :

a) 1 21 2 1 0 5

, ,3 0 1 5 2

A A x

b) 1 2

2 23 2 3

, 1 1 ,0 1 2

0 4

A A x

95. Sean ,U V y W espacios vectoriales. Sean 1T U V y 2 :T V W dos

transformaciones lineales. Es igual 1 2T T y 2 1T T ?

96. a) Comprueba que : m mT R R tal que T x x b con 0b es no lineal. (Esta es la

traslacin de mR ).

14

b) Determina la dimensin de A y b y demuestra que : n mT R R tal que

T u Au b con 0b no es lineal. (A esta transformacin se le llama transformacin afn).

NCLEO, IMAGEN E ISOMORFISMO.

97. Considera las siguientes transformaciones lineales. Determina el rango y la imagen de cada

una de ellas y demuestra que dim ker dim imagen dimT T V . Menciona cual(es) es (son) una transformacin lineal.

a) 2 3:T R R definida por , 2 ,2 4 ,0T x y x y x y

b) 3 2:T P P definida por 2 3 2T a bx cx dx a b b d x c d x

c) 2 4:T R R definida por , 2 , , , 2T x y x y x y x y x y

d) 3 3:T R R definida por

1 2 3

2 2 3

3 3 3

x x

T y y

z z

98. Si B es una matriz n n , demuestra que : n n n nL M M tal que L A AB es un isomorfismo.

REPRESENTACIN MATRICIAL DE UNA T. L.

99. Sea :T V W una transformacin lineal y sean 1B y 2B las bases para V y W

respectivamente. Encuentra la matriz L con respecto a 1B y 2B para cada una de las

siguientes transformaciones lineales.

a) 2 3:T R R tal que

2 3

x yx

T x yy

x y

con 12 1

,5 1

B

y 2

1 0 0

0 , 1 , 0

0 0 1

B

b) 3 2:T R R tal que 2

3

xx y z

T yy z

z

con 1

1 1 1

0 , 1 , 1

1 0 1

B

y

2

1 2,

1 3B

c) 2 3:T R R tal que 2

x yx

T x yy

y

con 12 1

,1 2

B

y 2

1 0 0

1 , 2 , 2

0 0 5

B

100. Sea 1 2:L P P definida como L P t tP t .

a) Determina la matriz de L con respecto a las bases S y T con ,1S t y 2 , ,1T t t para 1P y 2P respectivamente.

b) Si 3 2P t t encuentra L P t usando el inciso a)

15

VALORES Y VECTORES PROPIOS, DIAGONALIZACIN.

101. Calcula los valores, vectores propios y espacios propios de las siguientes matrices.

a) 2 2

5 1

b)

1 1 0

1 2 1

0 1 1

c)

5 4 2

4 5 2

2 2 2

d)

4 1 0 1

2 3 0 1

2 1 2 3

2 1 0 5

102. Demuestra que si A es una matriz diagonal, entonces los valores propios de A son las componentes de la diagonal de A .

103. En los siguientes problemas determina si la matriz A es diagonalizable. Si lo es,

encuentra las matrices C y D tales que 1C AC D .

110

121

211

A b) 15-

2-2-A a)

2500

1200

0015

0022

A e)

221

342

5-7-3-

A e)

3-2-6

2-03

4-2-7

A d)

200

100

003

A c)

104. Demuestra que si A es semejante a B y B es semejante a C , entonces A es semejante a

C .

105. Si A es semejante a B , demuestra que det detA B

106. Demuestra que si los valores propios de A son k ,...,, 21 entonces los valores propios

de A son k ,...,, 21

107. Sea

10

01-D Calcula D

22

108. Demuestra que si A es semejante a B entonces An es semejante a Bn para todo Nn

109. Si A es diagonalizable encuentra Am

16

110. Utiliza la diagonalizacin para encontrar A2, A3 y An con

2-03

010

302-

A

DIAGONALIZACIN ORTOGONAL

111. En los siguientes problemas encuentra la matriz Q que diagonaliza ortogonalmente a la

matriz A y verifica que tQ QA D , es una matriz diagonal cuyas componentes

diagonales son los valores propios de A

3 4 1 1a) b) A

4 3 1 1

3 2 2 1 2 2

c) A 2 2 0 d) A 2 1 2

2 0 4 2 2 1

A

112. Muestra que si las matrices A y B son ortogonales, entonces AB tambin lo es.