CIRCUNFERENCIADEFINICIN: una circunferencia es el lugar geomtrico del conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro . La distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia se llama radio

ELEMENTOSCentro: Radio:Dimetro: Cuerda: BK+rK -rh -rh +rNMAC0Nota:rea de la circunferencia Longitud de la circunferencia

ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA1. ECUACION CARTESIANA U ORDINARIAPor definicin de distancia entre dos puntos se tiene:

Elevando al cuadrado.. (1)

Ejemplo:Encontrar la ecuacin de una circunferencia cuyo centro es Solucin: entonces:

2. ECUACIN CANNICASi el centro est en el origen de coordenadas, entonces La ecuacin de la circunferencia se reduce a:.. (2)

Ejemplo: Encontrar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro est en el origen decoordenadas y radio r =5 Solucin: entonces

3. ECUACIN GENERALResolviendo la ecuacin cartesiana se obtiene la ecuacin general.

Donde: (3)A partir de la ecuacin (3), se tiene la ecuacin cartesiana en trminos de D, E y F.Completando cuadrados para se tiene.

Comparando con la ecuacin cartesiana, se tiene:

Analizando el radicando 1. Si La ecuacin (3) representa a una circunferencia de centro y radioen 2. Si La ecuacin (3) representa slo un punto que es ; puesto que

3. Si La ecuacin (3) no representa una circunferencia en porque su radio .

Ejemplo 1. Analizar si la siguiente ecuacin representa una circunferencia.

Solucin:Simplificando la ecuacin:

Ejemplo 2. Analizar si la siguiente ecuacin representa una circunferencia.

Solucin:Simplificando la ecuacin:

DOMINIO Y RANGO DE UNA CIRCUNFERENCIA:1. Si el centro de la circunferencia esta en el origen de coordenadas

0Ejemplo: Sea la circunferencia , determinar el domino y el rangoSolucin:

2. Si el centro de la circunferencia es

K+rK -rh -rh +rC0Ejemplo: Sea la circunferenciaDeterminar el domino yel rango.Solucin:yr = 3

RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIALa recta tangente a la circunferencia en el punto de tangencia, esta dado por:

Una recta tal que recibe al nombre de recta normal.Ejemplo: Hallar la recta tangente a la circunferencia , en el punto de tangencia Solucin:

Resolviendo: la ecuacin de la recta tangente es:CASOS PARTICULARES:1. CIRCUNFERENCIA TANGENTE AL EJE X

CEjemplo:Hallar la ecuacin de la circunferencia tangente al eje de centroSolucin:Cuando la circunferencia es tangente al eje se cumple La ecuacin de la circunferencia es:

2. CIRCUNFERENCIA TANGENTE AL EJE Y

CEjemplo: Hallar la ecuacin de la circunferencia tangente al eje , de centro en Solucin:Cuando la circunferencia es tangente al eje Y se cumple La ecuacin de la circunferencia es3. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A LOS EJES COORDENADOS

Cr = =Ejemplo:Hallar la ecuacin de la circunferencia tangente a los ejes de coordenadas con centro en Solucin:Cuando la circunferencia es tangente a los ejes de coordenadas se cumple = La ecuacin de la circunferencia es:

EJERCICIOS

CEPRU UNSAAC ALGEBRA CEPRU UNSAAC ALGEBRA

113CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO

114CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO

115CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO1) La ecuacin de la circunferencia de centro y que es tangente a la recta , es:Rpta.: .

2) Hallar la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en la recta y pasa por los puntos y .Rpta.: .

3) Hallar el radio y centro de la circunferencia:

Rpta.: 7 y .

4) Hallar la mxima distancia del punto (11,8) a la circunferencia

Rpta.: 14.

5) Determinar la suma de los valores de , para que la recta , sea tangente a la circunferencia

Rpta.: .

6) Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto (6,8) y cuyo centro es el punto de interseccin de las rectas. y Rpta.: .

7) La ecuacin de la circunferencia cuyo centro esta sobre la recta y que pasa por los puntos y , es:Rpta.: .

8) Hallar la ecuacin de la circunferencia concntrica con y que es tangente a la recta .Rpta.: .

9) La ecuacin de la circunferencia de centro y que pasa por , es:Rpta.: .

10) La ecuacin de la circunferencia de centro y que es tangente a la recta , es:Rpta.: .

11) Una circunferencia pasa por los puntos y cuyo centro esta sobre la recta . La suma de los componentes del centro es:

12) Hallar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro esta sobre el eje Y, tangente a la recta en el punto de tangencia

13) Una recta es tangente a la circunferencia en el punto de tangencia La pendiente de la recta tangente es:

14) Los extremos del dimetro de una circunferencia son los puntos y El dominio de la circunferencia es:

15) Hallar si la circunferencia es tangente a los ejes coordenados con centro

16)

Determine si la recta es una recta tangente, secante o exterior a la circunferencia Rpta: secante

17)

Determine si la recta es una recta tangente, secante o exterior a la circunferencia Rpta: tangente

18)

Determine si la recta es una recta tangente, secante o exterior a la circunferencia Rpta: exterior

19)

Hallar la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en la recta y pasa por los puntos y

Rpta:

20)

Hallar la mxima distancia del punto a la circunferencia Rpta: 15

21) Hallar el radio y centro de la circunferencia

Rpta: 5 y

22)

Determinar el valor de para que la recta sea tangente a la circunferencia de ecuacin Rpta: 25

23)

Hallar la recta tangente a en el punto .

Rpta:

24)

Hallar la ecuacin de la circunferencia concntrica a y tangente a la recta .

Rpta:

25)

Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto y cuyo centro es el punto de interseccin de las rectas y

Rpta:

26)

Si la recta es tangente a la circunferencia en el punto , hallar Rpta: 1

27)

Hallar la ecuacin de la circunferencia que es tangente al eje X en y que pasa por el punto

Rpta:

28)

Hallar la ecuacin de la circunferencia concntrica con y que es tangente a la recta

Rpta:

29) Hallar la ecuacin de la circunferencia con centro en el punto P=(3,1) y tangente a la recta .

Rpta.

30) Hallar la ecuacin de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de interseccin de:

Rpta.

31)

Si el centro de la circunferencia: , es . Hallar el radio.Rpta. 3

32) Encontrar la ecuacin de la circunferencia C1 cuyo centro es el mismo de la circunferencia C: , y cuyo radio es r = 4. La ecuacin de la circunferencia C1, es:

Rpta.

33) El punto (3,-1) es el centro de una circunferencia que intercepta a la recta en una cuerda de 6 unidades de longitud. La ecuacin de la circunferencia, es.

Rpta.

34) Calcular la ecuacin de la circunferencia que es tangente al eje Y en (0,-8) y la distancia del punto ms cercano al eje X es 5u, adems el centro pertenece al III cuadrante. Rpta.

35) Dada las circunferencias:

Hallar la ecuacin de la circunferencia de mayor radio tangente interior a C1 y tangente exterior a C2

Rpta.

36) Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos (1,4) (1,2) y (3,4).

Rpta.

37) La ecuacin de la circunferencia cuyo centro es el punto C=(-4,-1) y es tangente a la recta , es:

Rpta.