algebra (06-02-07)

A)

FACTORIZACINConcepto:Proceso por el cual se transforma un polinomio, en una multiplicacin indicada de sus factores primos

Factor Algebraico

Es aquella expresin que posee al menos una variable y divide exactamente al polinomio

Ejemplo:

Dado el polinomio

Factorizando se tiene:

Entonces los factores son:

*) x

*)

*)

*) x+3

*)

*) x3

*)

Conteo de factores algebraicos

Dado el polinomio factorizado:

Donde son los factores primos

Ejemplo

Dado el polinomio

Factorizando se tiene:

Entonces se tiene:

N F.A = (2+1)(1+1)(1+1)1

N F.A = 11Factor Primo AlgebraicoEs aquel factor algebraico que es divisible por si misma y por la unidad. Es decir, estas expresiones no admiten factores de menor grado.

Ejemplo

En el polinomio factorizado

Los factores primos son:

Problema 1Del polinomio factorizado

Indicar:

*)N factores Primos ( ______________*)El factor primo de mayor grado ( ____*)N factores lineales (1er grado) ( ____*)La suma de sus factores lineales ( ___

*)N factores algebraicos ( ___________*)El factor primo de mayor suma de coeficientes ( __________________

CRITERIO DE FACTORIZACIN

I.CRITERIO DEL FACTOR COMN Y/O AGRUPACIN DE TRMINOS

Se aplica en polinomios donde todos sus trminos tienen variables o factores comunes. el producto de las variables y factores comunes elevadas a sus menores exponentes representar el FACTOR COMN GENERAL.

En caso de no haber algo en comn, se agruparn convenientemente los trminos del polinomio, tratando que aparezca el FACTOR COMN GENERALEjemplo: Factorizar el polinomio e indicar un factor primo

Solucin1.Identificando el factor comn

2.Dividiendo cada trmino del polinomio entre el F.C. se tendr

3.Los factores primos son:

x ; y ; z ; (x+2) ; (x2)Ejemplo: Sumar los factores lineales del polinomio

Solucin1.Como no existe factor comn, agruparemos convenientemente los trminos para hallar el F.C.

2.Extrayendo el factor comn en cada una de las agrupaciones se tendr:

Obteniendo as el factor comn general

3.Dividiendo cada trmino del polinomio anterior entre el factor comn general tendremos


(z+3); (z3) y (z2+3z+9)

Los lineales (1er grado) son dos

(f. Lineales= z+3+z3

(f. Lineales= 2zProblema 2Factorizar el polinomio

E indicar el nmero de factores y la suma de ellos

A)4; y5+y2+x2B) 5; 2x+3y2

C) 4; 2x+y2D) 5; 2xy

E) 5; 3x+2y2

Problema 3

Factorizar el polinomio

E indicar la suma de sus factores de primer grado

A) 2x+zB) 3x+zC) 3x2

D) 3x8E) 3x2z

II.CRITERIOS DE LAS IDENTIDADES

En este caso utilizaremos las equivalentes algebraicas (productos notables) en sentido inverso. Entre lo ms importantes tenemos:A.DIFERENCIA DE CUADRADOS

B.SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

C.TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

D.IDENTIDAD DE ARGAND

Ejemplo: Sumar los factores primos cuadrticos del polinomio

Solucin1.

2.Aplicando la suma y diferencia de cubos

3.Los factores primos cuadrticos son:

;

Sumndolos se tendr

Ejemplo: Indique los factores primos del polinomio

Solucin1.Formando un T.C.P., para originar una D.C.

2.Aplicando la D.C al polinomio transformado

Ordenando


;

Problema 4Indicar un factor primo del polinomio

A) x+y+zB) xy+zC) x3y+z

D) xy3zE) x+y+3z

Problema 5

Sealar un factor primo del polinomio

A) a+25B) a25C) a2+4a+16

D) a24a+16E) a4

III.CRITERIOS DEL ASPAS SIMPLESe utiliza en trinomios de grado par de la forma:

Donde: m;

Procedimiento

1.Descompones los trminos extremos en dos factores respectivamente y verificarlos es ASPA, para luego verificar que la suma de dichos productos sea igual al trmino central

Donde:

*)

*)

*)

2.Formar los factores sumando algebraicamente y en forma horizontal las expresiones que conforman el ASPA

Ejemplo: Indicar los factores primos del polinomio

Solucin1.

2.


Ejemplo: Sumar los factores primos del polinomio

Solucin1.

Comprobando el aspa simple

Entonces los factores son:

2.Reduciendo cada factor se tiene


x 4z ; x + 3z ; x 2z ; x + z

(F.P. = x4z+x+3z+x2z+x+z

(F.P. = 4x2zProblema 6

Factorizar el polinomio

E indicar el nmero de factores primos y la suma de ellos

A) 5; 5x+zB) 6; 5x+zC) 4; 5x+y+z

D) 6; 5x+y+zE) 5; 5x+9y+z

Problema 7

Sumar los factores primos del polinomio

A) 4x6yB) 4x+3yC) 5xy

D) 4x2yE) x+4y

IV.ASPA DOBLE ESPECIAL

Polinomio General:

Caso Particular: n=1

Procedimiento1.Adecuamos el polinomio a la forma general, en caso faltase uno ms trminos, estos se completan con ceros.

Luego descomponer convenientemente los extremos en dos factores respectivamente, se multiplican en ASPA y se suman los productos obtenidos hallando as una cantidad parcial (C.P) semejante al trmino central

2.Hallar la diferencia entre el trmino central y la cantidad parcial (CP)

Est diferencia ser la expresin a descomponer en la parte central en dos factores originando las 2 aspas simple que verificarn el segundo y cuarto trmino

3.Los factores se formarn Horizontalmente

Ejemplo: Si ; es un factor primo del polinomio

Calcular:

Solucin1.

2.

3.El factor primo que cumple la condicin del problema es:

entonces

de donde se deduce que:

A=1 ; B=6 y C=2

EMBED Equation.DSMT4 Ejemplo: Indicar un factor primo del polinomio

Solucin1.

2.

3.

Los factores primos son:

Problema 8

Factorizar:

E indicar la suma de los coeficientes de un factor primo

A) 8B) 9C) 10

D) 13E) 5

Problema 9

Si: es un factor primo del polinomio

Calcular

A) 4B) 25C) 36

D) 49E) 125

IV.CRITERIOS DE LOS DIVISORES BINOMIOS

Se aplica para factorizar polinomios de grado superior generalmente de una variable, que admiten por lo menos un factor lineal

Antes de aplicar este criterio debemos conocer algunos conceptos previos

RAZ DE UN POLINOMIOSea:

a es raz de

Es decir, raz es el valor que anula al polinomio

Ejemplo:

Luego podemos concluir que: 1; 3 y 4 son races de

POSIBLES RACES RACIONALES (P.R.R.)

Ejemplo:

TEOREMA DEL FACTORDado un polinomio P(x) tal que se cumpla

Donde:

es un polinomio de grado

Ejemplo:

Si

Entonces (x+1) es factor de

Si

Entonces (x+3) es factor de

Si

Entonces (x4) es factor de

Procedimiento:1.Calcular los P.R.R.

2.Hallar las races del polinomio mediante divisiones sucesivas por el mtodo de Ruffini

3.Con el teorema del factor formar los factores lineales que multiplicar al cociente final de las divisiones sucesivas

Ejemplo: sumar los factores primos del polinomio

Solucin1.Coeficiente principal =1

2.Calculando las races por ruffini

3.Utilizando el teorema del factor se formar los factores binmicos


x+1 ; x+2 ; x+4 ; x3

(f.P.= x+1+x+2+x+4+x3

(f.P.= 4x+4

Ejemplo: Indicar el factor primo de menor grado

Solucin1.Coeficiente principal=2

2.Calculando las races por ruffini

3.Por el teorema del factor se tiene

4.El factor primo de menor grado es:

2a1Problema 10

Indicar el nmero de factores primos y la suma de ellos

A) 5; 5y6B) 3; 3yC) 4; 4y2

D) 5; 3y5E) 3; 3y6

Problema 11

Si la suma de los factores lineales del polinomio

Es equivalente a: Pz+Q

Calcular:

A) 25B) 81C) 36

D) 4E) 100

Problema 12

Si el factor primo cuadrtico del polinomio

Es equivalente a

Calcular:

A) 27B) 64C) 49

D) 125E) 243

PROBLEMAS PROPUESTOS

01.Respecto al polinomio factorizado

Indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

I.El nmero de factores primos es 4

II.La suma de los factores lineales es 3x+4

III.El factor primo de mayor grado es x3

IV.El nmero de factores algebraicos es 143

A) VFVFB) FVFVC) FVVF

D) VVVVE) FFVF

02.Factorizar el polinomio

E indicar el nmero de factores primos y la suma de ellosA) 5; 4xB) 4; 3xzC) 5; xz

D) 4; 4xzE) 5; 4z+x

03.Sumar los factores lineales del polinomio

A) 3a8bB) 3a3C) 4ab

D) 3a4bE) a+2b

04.Indicar un factor primo del polinomio

A) x3y+4zB) x+3y4zC) x+y5z

D) x3y5zE) x6y+5z

05.Indique el factor primo de mayor grado

A)

B)

C)

D)

E)

06.Sumar los factores primos del polinomio

A) n2+4n5 B) n2+3n6C) n2n+3

D) n25n+4E) n2+4n6

07.Sumar los factores lineales del polinomio

A) 4xB) 4x6C) 5x+z

D) x+zE) 5x+2z

08.Si la suma de los factores primos del polinomio

Es equivalente a

Calcular: (AB)xC

A) 14B) 42C) 24

D) 56E) 32

09.Indique el nmero de factores primos del polinomio

A) 8B) 7C) 6

D) 5E) 2

10.Indique un factor primo del polinomio

A) m+1B) m2C) m+3

D) m6E) m3

11.Indique el nmero de factores primos y la suma de ellos

A) 4; 4x1B) 4; 4x8C) 4; 3x4

D) 3; 3x3E) 3; 2x4

12.Indique un factor primo del polinomio

A) a+3B) a3C) a2

D) a2+3E) a2a+313.Factorizar el polinomio

E indicar el nmero de factores primos y la suma de ellos

A) 4; 4x1B) 3; 3x+3C) 4; 3x3

D) 4; 3x1E) 3; 3x4

14.Si un factor primo del polinomio:

Es equivalente a Mx2+Nx+P donde N

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