inversa 02 02 -...
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2.2
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Algebra de Matrices
LA INVERSA DE UNA MATRIZ
Slide 2.2- 2
INVERSA DE UNA MATRIZ
§ Una matriz A de es invertible si existe una matriz C de tal que
y donde , es la matriz identidad de .
§ En este caso, C es la inversa de A. § De hecho, C es única y está determinada por A,
porque si B fuera otra inversa de A, entonces . La inversa de A se denota por , de manera que: y .
n n×n n×CA I= AC I=nI I= n n×
( ) ( )B BI B AC BA C IC C= = = = =
1A A I− = 1AA I− =
1A−
INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2x2
Ejemplo 1: Determinar la inversa de la matriz
La inversa debe ser otra matriz de 2x2, digamos
2 5−3 −7
"
#$
%
&'
a bc d
!
"#
$
%&
INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2x2
Aplicando la definición
Se observan dos sistemas de ecuaciones lineales con la misma
matriz de coeficientes (recordar definición de producto de matricies),
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−− 1001
7352
dcba
2 5−3 −7
"
#$
%
&'⋅ a
c
"
#$
%
&'= 1
0
"
#$
%
&' 2 5
−3 −7
"
#$
%
&'⋅ b
d
"
#$
%
&'= 0
1
"
#$
%
&'
INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2x2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−− 10730152
Con matriz escalonada reducida (comprobarlo)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
23105701
Los dos sistemas se pueden resolver en una sola matriz aumentada
INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2x2
La solución a cada sistema de ecuaciones es ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
37
ca b
d
!
"#
$
%&= −5
2
!
"#
$
%&
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
23105701
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INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2x2
La solución a cada sistema de ecuaciones es Y la inversa de la matriz
−1
A = −7 −53 2
"
#$
%
&'
ac
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%&= −7
3
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$
%& b
d
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2
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CALCULO DE LA INVERSA
§ Denotar las columnas de In por e1, e2, … en y las columnas de A-1 por x1, x2, … xn
§ El producto AA-1 = In se puede interpretar como n sistemas de ecuaciones lineales Ax1=e1, Ax2=e2, …, Axn=en. Estos n conjuntos se pueden escribir en una sola matriz aumentada
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A e1 e2 ! en!"#
$%&= A I!
"#$%&
CALCULO DE LA INVERSA
§ La solución a los n sistemas de ecuaciones son las columnas de A-1, esto es, si A es invertible la forma escalonada de la matriz aumentada es
§ Y si no es invertible?? § Ver ejemplos de matrices invertibles y no
invertibles de 2x2
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A I!"#
$%& I A−1"
#$%&'
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Calculo de la inversa
§ Ejemplo 2: Encontrar la inversa de la matriz
, si existe. § Solución:
0 1 01 0 34 3 8
A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]0 1 2 1 0 0 1 0 3 0 1 01 0 3 0 1 0 0 1 2 1 0 04 3 8 0 0 1 4 3 8 0 0 1
A I⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
:
1A−
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Calculo de la inversa
1 0 3 0 1 0 1 0 3 0 1 00 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 00 3 4 0 4 1 0 0 2 3 4 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
: :
1 0 3 0 1 00 1 2 1 0 00 0 1 3 / 2 2 1/ 2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
:
1 0 0 9 / 2 7 3 / 20 1 0 2 4 10 0 1 3 / 2 2 1/ 2
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
:
1A−
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Calculo de la inversa § La forma escalonada reducida de A es I, entonces A es
invertible, y .
§ Verificando la respuesta.
1
9 / 2 7 3 / 22 4 1
3 / 2 2 1/ 2A−
− −⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
1
0 1 2 9 / 2 7 3 / 2 1 0 01 0 3 2 4 1 0 1 04 3 8 3 / 2 2 1/ 2 0 0 1
AA−
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1A−
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EJERCICIOS
§ Ejercicios: determinar la inversa, si existe
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⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
=
531532211
A⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
=
412721511
B
PROPIEDADES DE LA INVERSA
§ Sean A y B matrices invertibles, c un escalar y n un número natural:
§ (A-1)-1 = A § (cA)-1 = A-1
§ (AB)-1 = B-1A-1
§ (An)-1 = (A-1)n
§ (At)-1 = (A-1)t
Ver la demostración de las propiedades
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c1
ALGEBRA DE LAS MATRICES
§ Ejemplo 3: determinar la mínima expresión para determinar X de :
Solución:
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)2(2
2233233222
ABAAXAAABAX
ABAAABAXAXABAXAXABAA
+=
−−=−
+−−=−
−=+−
2A(A− B+ Z ) = 3A(X − B)
ALGEBRA DE MATRICES
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ABXABIIX
ABAAAXA
2)2(
)2(11
+=
+=
+= −−
ALGEBRA DE MATRICES
§ Ejemplo 4: expander el binomio: Solución:
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2)( BA+
BBBAABAABABABBAABA
BABABA
+++=+
+++=+
+⋅+=+
2
2
2
)()()()(
)()()(
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LA MATRIZ INVERSA Y LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES § Teorema 5: Si A es una matriz invertible de ,
entonces para cada b in Rn , la ecuación tiene la solución única .
§ Demostración: Asumir cualquier b en Rn . § Si se sustituye por x, se tiene
§ De manera que es una solución. § Para demostrar que la solución es única, mostrar que
si u es cualquier solución, entonce u debe ser . § Si ,multiplicamos ambos lados por , y
tenemos , , y .
n n×x bA =
1x bA−=
1 1x ( b) ( )b b bA A A AA I− −= = = =
u bA =1 1u bA A A− −= 1u bI A−= 1u bA−=
1bA−
1bA−
1bA−
1A−
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Ejercicios de tarea
Sección 2.2 del libro de texto. Ejercicios: 1 a 11, 13, 14, 16, 31, 32, 35