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3 Lenguaje algebraico

80Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

La unidad recoge un concepto que se empezó a trabajar el curso pasado, el uso del algebra. Este año comienza un trabajo más amplio que será retomado en cursos superiores. Esta unidad se centra en el estudio de los monomios y los polinomios, conceptos que se retomarán en las dos unidades siguientes para aplicarlos en la resolución de ecuaciones y sistemas.

La primera parte de la unidad se centra en las expresiones algebraicas y los monomios, sirviendo como enlace con el curso anterior.

La segunda parte se dedica al estudio de los polinomios y de algunas de sus operaciones, suma, resta, multiplicación y potencias, dejando la división para la sección Avanza o para el curso siguiente. La unidad se cierra con el uso de los productos notables.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y la adquisición de la competencia matemática, y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL)Es la protagonista de la sección Lee y comprende las matemáticas en la que se trabaja la comprensión lectora partiendo de artículos y activi-dades relacionados con el lenguaje algebraico.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para compren-der determinados contenidos relacionados con la suma, la resta y la multiplicación de polinomios, y las identidades notables.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como es la interpretación de las facturas de la luz, el agua y el gas, los alumnos profundizarán en las aplicaciones del lenguaje algebraico.

Competencias sociales y cívicas (CSC)La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)La unidad contiene un gran número de problemas y la resolución de los mismos contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal, por-que se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Utilizar el lenguaje algebraico, comprendiendo qué es una expresión algebraica y calculando su valor numérico.

❚❚ Reconocer los monomios como expresiones algebraicas, identificar los semejantes y operar con ellos.

❚❚ Reconocer polinomios, identificando sus términos y grado, y calcular su valor numérico.

❚❚ Realizar sumas, restas y multiplicaciones de polinomios, así como calcular el opuesto y sus potencias (en particular el cuadrado de un binomio).

❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso del lenguaje algebraico.

❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando el lenguaje algebraico.

LENGUAJE ALGEBRAICO3

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3Lenguaje algebraico

Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio del lenguaje algebraico.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre el lenguaje algebraico, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con el lenguaje algebraico pueden acceder a las leccio-nes 1150, 1155, 1178, 1186 y 1247 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Expresiones algebraicas

1. Utilizar el lenguaje algebraico para expresar, comunicar y realizar predicciones sobre el comportamiento de los procesos numéricos al modificar las variables.

1.1. Describe situaciones o enunciados que dependen de cantidades variables o desconocidas y secuencias lógicas o regularidades, mediante expresiones algebraicas, y viceversa.1.2. Identifica propiedades y leyes generales a partir del estudio de procesos numéricos recurrentes o cambiantes, las expresa mediante el lenguaje algebraico y las utiliza para hacer predicciones.1.3. Realiza predicciones sobre el comportamiento de expresiones algebraicas al modificar el valor de las variables.

2-4747, 48, 5051-54

1

5, 647, 49, 55Matemáticas vivas

CMCTCLCSCCAACSIEE

MonomiosOperaciones con monomios

2. Analizar monomios, identificando los patrones y las leyes generales que los rigen.

3. Operar con monomios.

2.1. Identifica y reconoce monomios.

2.2. Calcula el valor numérico de monomios.

3.1. Elige la forma de cálculo apropiada utilizando diferentes estrategias que permitan simplificar operaciones con monomios.3.2. Opera con monomios utilizando la jerarquía de las operaciones, medios tecnológicos o estrategias de cálculo mental.

8, 1056-599

11-1760-65

18, 1966

CMCTCLCSCCAACSIEE

Polinomios 4. Analizar polinomios, identificando los patrones y las leyes generales que los rigen.

4.1. Identifica, reconoce y escribe polinomios.

4.2. Calcula el valor numérico de polinomios.

20-23, 2767-7024-2628, 2971-72

CMCTCLCSCCAACSIEE

Suma y resta de polinomios

5. Operar con polinomios.

6. Utilizar las operaciones con polinomios para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana.

5.1. Elige la forma de cálculo apropiada utilizando diferentes estrategias que permitan simplificar sumas y restas con polinomios.5.2. Elige la forma de cálculo apropiada utilizando diferentes estrategias que permitan simplificar multiplicaciones con polinomios.5.3. Opera con polinomios utilizando la jerarquía de las operaciones, medios tecnológicos o estrategias de cálculo mental.5.4. Utiliza las identidades algebraicas notables y las propiedades de las operaciones para transformar expresiones algebraicas.

6.1. Emplea adecuadamente las operaciones con polinomios para resolver problemas cotidianos contextualizados.

30-3773-77

38-4378-81

4582, 86

4483-85

4687-90

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Multiplicación y potencias de polinomiosMultiplicación de polinomiosPotencias de polinomios


MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Monomios • Operaciones con monomios

AvanzaDivisión de polinomios

Cálculo mentalEstrategias para el cálculo de potencias

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Al-Khowarizmi

1. Expresiones algebraicas

3. Polinomios

4 Suma y resta de polinomios Vídeo. Suma y resta de polinomios

5. Multiplicación y potencias de polinomios

• Multiplicación de polinomios • Potencias de polinomios

Vídeo. Multiplicación de polinomiosGeoGebra. Identidades notables

MisMates.esLecciones 1150, 1155, 1178, 1186 y 1247 de la web mismates.es

Practica+

Adaptación curricular

Comprende y resuelve problemas

Lee y comprende las matemáticas¿Existe una fórmula matemática para el árbol de Navidad perfecto? • Utilización del lenguaje algebraico

para descubrir cómo debe ser el árbol de Navidad perfecto.

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

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¿Qué tienes que saber? • Expresiones algebraicas • Monomios y polinomios • Sumas y restas de polinomios • Multiplicación de polinomios

Actividades interactivasActividades finales

Matemáticas vivasFacturas básicas • Utilización de fracciones y números

decimales en la compra diaria

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia cooperactiva es Plantear el trabajo que se va a realizar, de Ferreiro Gravié

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Sugerencias didácticas

La introducción a la unidad utiliza una pregunta que suelen realizar los alumnos: ¿Cuál es la utilidad de las matemáti-cas?

Podemos establecer un debate utilizando las repuestas que vayan surgiendo y enlazar con un nueva pregunta: ¿Dónde se puede utilizar el algebra?

Dentro de los diferentes usos del álgebra que puedan surgir en el debate, es posible que soprenda a los alumnos la uti-lización del algebra al analizar el comportamiento humano; por ejemplo, en la fórmula usada para averiguar el día más triste del año.

Contenido WEB. AL-KHOWARIZMI

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información relati-va a la unidad. En este caso se presenta la figura de Al-Khowariz-mi, explicando algunos datos sobre su trabajo y sobre la época en la que desarrolló sus estudios. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad, situando histó-ricamente el contexto en el que se introdujeron las expresiones algebraicas actuales, o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

REPASA LO QUE SABES1. Resuelve.

a) 3 + 5 − 7 b) 2 − 8 + 4

2. Aplica la propiedad distributiva y calcula los resultados.

a) (−2) ⋅ (5 − 7) b) (7 + 12) ⋅ 3 c) 5 ⋅ (−5 + 8)

3. Saca factor común en estas expresiones.

a) 2 ⋅ 6 − 2 ⋅ 7 b) 5 ⋅ 4 + 4 ⋅ 8 c) 3 ⋅ (−2) + 7 ⋅ (−2)

4. Expresa como una potencia única.

a) 52 ⋅ 53 ⋅ 5 b) 23 ⋅ 26 : 24 c) 34( )3

55

3Hoy en día es fácil contestar a la pregunta acerca de la utilidad de las matemáticas. Sin embargo, no todo el mundo tiene una respuesta a la pregunta sobre el uso que se puede dar al álgebra.

Pues bien, el álgebra nos ayuda, por ejemplo, a predecir y evaluar el éxito o el fracaso de un negocio, a realizar planos o maquetas e, incluso, a conseguir enviar un cohete a la Luna.

Pero, por increíble que parezca, el álgebra también es capaz de analizar sentimientos y estados de ánimo. En efecto, existe una fórmula matemática que indica que el tercer lunes de enero es el día más triste del año. A ese día se lo conoce como blue monday. En esta fórmula se incluyen variables como el clima, la escasa liquidez para pagar deudas o la decepción por haber incumplido los propósitos del nuevo año.

LENGUAJE ALGEBRAICO

Hoy en día es fácil contestar a la pregunta acerca de utilidad de las matemáticas. tiene una respuesta a la pregunta sobre dar al álgebra.

Pues bien, el álgebra nos ayuda, por ejemplo, a predecir y evaluar el éxito o el fracaso de un negocio, a realizar planos o maquetas e, incluso, a conseguir enviar un cohete a la Luna.

Pero, por increíble que parezca, el álgebra también es capaz de analizar sentimientos y estados de ánimo. En efecto, existe una fórmula matemática que indica que el tercer lunes de enero es el día más triste del año. A ese día se lo conoce como blue mondayclima, la escasa liquidez para pagar deudas o la decepción

IDEAS PREVIAS

❚ Los números enteros

y sus propiedades.

❚ Operaciones con

números enteros.

❚ Las potencias de

números enteros

y sus propiedades.

ma2e8

La palabra álgebra deriva del vocablo árabe al-jabr utilizado por Mohammed ibn-Musa Al_Khowarizmi (c.780-c.850) en su obra más importante, un tratado sobre cálculo en el que introducía símbolos para representar cantidades desconocidas.

Matemáticas en el día a día ][Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Resuelve.

a) 3 + 5 − 7 b) 2 − 8 + 4

a) 3 + 5 − 7 = 1 b) 2 − 8 + 4 = −2

2. Aplica la propiedad distributiva y calcula los resultados.

a) (−2) ⋅ (5 − 7) b) (7 + 12) ⋅ 3 c) 5 ⋅ (−5 + 8)

a) (−2) ⋅ (5 − 7) = (−2) ⋅ 5 − (−2) ⋅ 7 = −10 − (−14) = − 10 + 14 = 4

b) (7 + 12) ⋅ 3 = 7 ⋅ 3 + 12 ⋅ 3 = 21 + 36 = 57

c) 5 ⋅ (−5 + 8) = 5 ⋅ (−5) + 5 ⋅ 8 = − 25 + 40 = 15

3. Saca factor común en estas expresiones.

a) 2 ⋅ 6 − 2 ⋅ 7 b) 5 ⋅ 4 + 4 ⋅ 8 c) 3 ⋅ (−2) + 7 ⋅ (−2)

a) 2 ⋅ 6 − 2 ⋅ 7 = 2 ⋅ (6 − 7)

b) 5 ⋅ 4 + 4 ⋅ 8 = 4 ⋅ (5 + 8)

c) 3 ⋅ (−2) + 7 ⋅ (−2) = (−2) ⋅ (3 + 7)

4. Expresa como una potencia única.

a) 52 ⋅ 53 ⋅ 5 b) 23 ⋅ 26 : 24 c) 34( )3

a) 52 ⋅ 53 ⋅ 5 = 52+3+1 = 56

b) 23 ⋅ 26 : 24 = 23+6−4 = 25

c) 34( )3 = 34⋅3 = 312



1. Expresiones algebraicas

57

3Actividades3 Lenguaje algebraico

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1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Iván y Sara tienen sendas bolsas en las que guardan el mismo número de canicas; por su parte, Andrea tiene 6 canicas.

Aprenderás a… ● Utilizar el lenguaje algebraico.

● Comprender qué es una expresión algebraica.

● Hallar el valor numérico de una expresión algebraica.

Normalmente no se escribe el signo de multiplicación entre las letras y los números.

2x = 2 ⋅ x

5(x + y) = 5 ⋅ (x + y)

Lenguaje matemático

❚ El lenguaje cotidiano expresa la información con palabras.

❚ El lenguaje numérico expresa la información con números y operadores matemáticos.

❚ El lenguaje algebraico expresa la información con letras, números y operadores matemáticos.

Recuerda

Desconocemos el número de canicas que hay en la bolsa de Iván y en la de Sara. Solo sabemos que hay la misma cantidad en cada bolsa.

Por tanto, hay 2 bolsas con el mismo número de canicas en cada una, y Andrea tiene 6 canicas aparte.

Expresamos el número total de canicas utilizando una letra para indicar las canicas que hay dentro de cada bolsa.

x + x + 6 = 2x + 6

Alberto tiene otra bolsa de canicas. No sabemos cuántas canicas hay en ella, solo que es un número de canicas diferente al de Iván y Sara.

Podemos expresar el número total de canicas utilizando letras distintas para indicar las canicas que hay dentro de las diferentes bolsas.

x + x + y + 6 = 2x + y + 6

Observa que escribimos letras distintas para representar cantidades desconocidas que pueden ser diferentes entre sí.

Una expresión algebraica combina letras, números y operaciones aritméticas.

Utilizamos letras para representar cantidades desconocidas que pueden variar.

A cada una de estas letras se las denomina variables o indeterminadas.

Si conocemos cuántas canicas hay en cada bolsa, es sencillo determinar cuántas canicas hay en total.

Por ejemplo, si Iván y Sara tienen 15 canicas cada uno, Alberto tiene 20 y Andrea, como ya sabemos, 6, en total hay:

2x + y + 6 x =15y =20

⎯ →⎯⎯⎯ 2 ⋅ 15 + 20 + 6 = 30 + 20 + 6 = 56 canicas

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por su valor y realizar las operaciones indicadas.

DESAFÍO

Lee la conversación que mantienen Diego y Olivia.DIEGO.–Olivia, piensa un número pero no me lo digas.OLIVIA.–¡Vale!DIEGO.–Súmale 5. Multiplica el resultado por 6. Resta luego 6 al producto. Y, finalmente… divide por 6.OLIVIA.–¡Ya está!DIEGO.–¿Qué número te ha salido?OLIVIA.–El número 10.DIEGO.–Pues… el número en el que pensaste era… ¡el 6!Justifica matemáticamente cómo ha averiguado Diego el número que pensó Olivia.

7

Relaciona en tu cuaderno cada enunciado con la expresión algebraica que corresponde.

El doble de un número x2

El cuadrado de un número x2

La mitad de un número 2x

Escribe estas expresiones con lenguaje algebraico.a) El triple de un número menos su doble.b) La mitad de un número más cinco.c) El cuadrado de un numero más dos.

Escribe en lenguaje cotidiano estas expresiones algebraicas.

a) 2x + 3y b) x + y

4 c) (x + y)2 d)

x

3+ 3 y

Cada una de estas cajas tiene, según su tamaño, un número específico de pelotas. Escribe la expresión algebraica que indica el total de pelotas que hay en cada situación.

a) c)

b) d)

Halla el valor numérico de x2 − 2x

x en cada caso.

a) x = 2 b) x = −1 c) x = −3 d) x = 4

Calcula el valor numérico de estas expresiones algebraicas para los valores a = 2 y b = −2.

a) a2 + ab b) a + b

b c)

5

a+b

3 d) 2a − 3b + ab

1

2

3

4

5

6

Soluciones de las actividades1 Relaciona en tu cuaderno cada enunciado con la expresión algebraica que corresponde.

El doble de un número x2

El cuadrado de un número x2

La mitad de un número 2x

El doble de un número → 2x

El cuadrado de un número → x2

La mitad de un número → x

2

2 Escribe estas expresiones con lenguaje algebraico.

a) El triple de un número menos su doble.

b) La mitad de un número más cinco.

c) El cuadrado de un numero más dos.

a) 3x − 2x b) x

2+ 5 c) x2 + 2


El uso del álgebra no es nuevo para los alumnos ya comen-zaron a utilizarlo el curso pasado. Por este motivo es nece-sario averiguar cuáles son los conocimientos asentados así como los errores que adquirieron.

Uno de los problemas que suelen tener los alumnos es la identificación del uso del álgebra con la resolución de ecua-ciones pues siempre intentan resolver cualquier expresión.

Para trabajar el álgebra puede ser útil la utilización de bolsas o cajas con diferentes elementos y realizar diferentes ejem-plos como los que se proponen en el epígrafe.

Por otro lado, tenemos que intentar que los alumnos com-prendan que las letras son números que no conocemos, y por ser números, cumplen sus propiedades.

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3 Escribe en lenguaje cotidiano estas expresiones algebraicas.

a) 2x + 3y b) x + y

4 c) (x + y)2 d)

x

3 + 3y

a) El doble de un número más el triple de otro. c) La suma de dos números al cuadrado.

b) Un cuarto de la suma de dos números. d) La tercera parte de un número más el triple de otro.4 Cada una de estas cajas tiene, según su tamaño, un número específico de pelotas. Escribe la expresión algebraica que

indica el total de pelotas que hay en cada situación.

a) c)

b) d)

Llamamos x, y, z al número de pelotas de la caja azul, roja, y verde, respectivamente.

a) 4x b) 2x + y + 7 c) z + 5 d) x + y + z

5 Halla el valor numérico de x2 − 2x

x en cada caso.

a) x = 2 b) x = −1 c) x = −3 d) x = 4

a) 22 − 2 ⋅2

2=4− 4

2= 0 c)

−3( )2 − 2 ⋅ −3( )

−3( )=9 + 6

−3= −5

b) −1( )2 − 2 ⋅ −1( )

−1( )=1+ 2

−1= −3 d)

42 − 2 ⋅ 4

4=16− 8

4= 2

6 Calcula el valor numérico de estas expresiones algebraicas para los valores a = 2 y b = −2.

a) a2 + ab b) a + b

b c)

5

a+b

3 d) 2a − 3b + ab

a) 22 + 2 ⋅ (−2) = 0 b) 2 + (−2)

−2= 0 c)

5

2+−2

3=11

6 d) 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ (−2) + 2 ⋅ (−2) = 6

Desafío7 Lee la conversación que mantienen Diego y Olivia.

Diego.–Olivia, piensa un número pero no me lo digas.

olivia.–¡Vale!

Diego.–Súmale 5. Multiplica el resultado por 6. Resta luego 6 al producto. Y, finalmente… divide por 6.

olivia.–¡Ya está!

Diego.–¿Qué número te ha salido?

olivia.–El número 10.

Diego.–Pues… el número en el que pensaste era… ¡el 6!

Justifica matemáticamente cómo ha averiguado Diego el número que pensó Olivia.

Llamamos x al número que ha pensado Olivia. Le sumamos 5: x + 5

Multiplicamos el resultado por 6: 6 ⋅ (x + 5) = 6x + 30

Restamos 6 al producto: 6x + 30 − 6 = 6x + 24

Dividimos el resultado por 6: (6x + 24) : 6 = x + 4

Sabemos que el resultado de la expresión anterior es 10. Entonces: x + 4 = 10 → x = 6

El número pensado es 6.



2. Monomios

Soluciones de las actividades8 ¿Cuáles de estas expresiones algebraicas son monomios? Indica su coeficiente, su parte literal y su grado.

a) x2 + 1

x b)

ab

4 c) x2 + y d) 5x2yz e) a2b f) −

4

5xy5

Son monomios las expresiones de los apartados b), d), e) y f).ab

4 → Coeficiente:

1

4; Parte literal: ab; Grado: 2 5x2yz → Coeficiente: 5; Parte literal: x2yz; Grado: 4

a2b → Coeficiente: 1; Parte literal: a2b; Grado: 3 −4

5xy5 → Coeficiente: −

4

5; Parte literal: xy5; Grado: 6

9 Calcula el valor numérico de estos monomios.

a) 5x2y si x = 1 e y = −1 b) −abc2

3 si a = 3, b = −2 y c = 1

a) 5x2y → 5 ⋅ 12 ⋅ (−1) = −5 b) −abc2

3→ −

3 ⋅ (−2) ⋅12

3=6

3= 2

10 ¿Qué parejas de monomios son semejantes? Escríbelas en tu cuaderno.

a) ab2 y a2b b) xyz

3 y 3yzx c) x2y3 y −3y3x2 d)

xy2

2 y 2xy2

Son semejantes las parejas de los apartados b) y d) porque tienen la misma parte literal.


En este epígrafe nos centraremos en el estudio de algunas expresiones algebraicas que cumplen ciertas condiciones.

Es conveniente repasar la suma y la resta de números enteros para evitar dificultades a la hora de operar con monomios.

59


58

Aprenderás a… ● Reconocer los monomios como expresiones algebraicas.

● Identificar monomios semejantes.

● Operar con monomios.

Presta atención

Un monomio que solo está formado por letras tiene coeficiente 1.

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

Recuerda

Identificamos el coeficiente, la parte literal y el grado de esas expresiones.

5x2 −3ab3

4x2 y a2b5

Coeficiente (número) 5 −3

3

41

Parte literal (letras) x2 ab x2y a2b5

Grado (suma de exponentes) 2 1 + 1 = 2 2 + 1 = 3 2 + 5 = 7

❚ Un monomio es el producto de un número, llamado coeficiente, por una o diversas variables con exponente natural que forman la parte literal.

❚ El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman.

Operaciones con monomios

❚ Suma o resta de monomios

» Con la misma parte literal: se suman o restan los coeficientes y se deja la parte literal.

3ab2 + 5ab2 = (3 + 5)ab2 = 8ab2

3ab2 − 5ab2 = (3 − 5)ab2 = −2ab2

» Con distinta parte literal: se deja la suma o la resta indicada.

3a2b + 5ab2

3a2b − 5ab2

❚ Multiplicación y división de monomios

1 Multiplicamos o divimos los coeficientes.

2 Aplicamos las propiedades de las potencias para multiplicar o dividir las partes literales.

8x2y3 ⋅ 2xy3 = 8 ◊ 2( ) ◊ x2 ◊ x( ) ◊ y3 ◊ y3( ) = 16 ⋅ x2+1 ⋅ y3+3 = 16x3y6

8x2y3 : 2xy3 = 8 : 2( ) ◊ x2 : x( ) ◊ y3 : y3( ) = 4 ⋅ x2−1 ⋅ y3−3 = 4 ⋅ x1 ⋅ y0 = 4x

❚ Para sumar o restar monomios semejantes se deja la misma parte literal y se suman o restan los coeficientes.

❚ La suma o la resta de monomios no semejantes se deja indicada.

❚ Para multiplicar o dividir monomios se multiplican o dividen los coeficientes por un lado, y las partes literales, por el otro.

¿Cuáles de estas expresiones algebraicas son monomios? Indica su coeficiente, su parte literal y su grado.

a) x2 + 1

x d) 5x2yz

b) ab

4 e) a2b

c) x2 + y f) −4

5xy5

Calcula el valor numérico de estos monomios.a) 5x2y si x = 1 e y = −1

b) −abc2

3 si a = 3, b = −2 y c = 1

¿Qué parejas de monomios son semejantes? Escríbelas en tu cuaderno.a) ab2 y a2b c) x2y3 y −3y3x2

b) xyz

3 y 3yzx d)

xy2

2 y 2xy2

Resuelve estas operaciones con monomios.a) 5xy2 + 7xy2 c) −5xy2 + 7xy2

b) 5xy2 − 7xy2 d) −5xy2 − 7xy2

Opera.a) 3a3b2 + 5a3b2 − 7a3b2

b) 3

5ab− 2ab +

7

10ab

c) x2 y

5−

2x2 y

10+ x2 y +

2

3x2 y

8

9

10

11

12

Simplifica.a) x2 + 3x − 5x2 + x − 6x b) 5x2y + 7xy + xy − xy2 − 9x2yc) 5 − 12xy − xy2 − xy + xy2

Reduce estas expresiones.

a) xy2

2+ 2xy −

y2 x

3−

7 xy

2+ 1− yx

b) 3

5a2b−

ab

2+5

6ba− a2 +

ba2

10

c) −z2 −3z2 x

5+x2z

5− xz2 +

2

5z2

Realiza los siguientes productos.

a) 3x2 ⋅ −xy3( ) c) −ab( ) ⋅ −2a2b( )

b) 12xy2z ⋅ x3 yz( ) d) −2x3 y2( ) ⋅ 5 x2 y( )

Calcula estos cocientes.

a) 12x2y : xy c) −9a3bc2( ) : −3a2bc( )

b) −2a5b4( ) : a3b( ) d) −18 x3z2( ) : 6 x2z( )

Resuelve.

a) 2

5xy2 ⋅

7

10x3 y

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ b)

2

3x5 y3 :

1

6x3 y

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

13

14

15

16

17

EJERCICIO RESUELTO

} Simplifica esta expresión:

2ab3 − 3ab − 7ab3 + 12a + 5ab

SoluciónOperamos los monomios semejantes y dejamos indicadas las operaciones de los monomios no semejantes.2ab3 − 3ab − 7ab3 + 12a + 5ab = = −5ab3 − 3ab + 12a + 5ab = − 5ab3 + 2ab + 12a

EJERCICIO RESUELTO

} Expresa como suma y resta de monomios:

2x ⋅ 3x2 + 5xy − y3( )

SoluciónAplicamos la propiedad distributiva.

2x ⋅ 3x2 + 5 xy − y3( ) == 2x ⋅3x2 + 2x ⋅5 xy − 2x ⋅ y3 == 2 ⋅3( ) x ⋅ x2( ) + 2 ⋅5( ) x ⋅ xy( )− 2 x ⋅ y3( ) == 6 x3 + 10 x2 y − 2xy3

Expresa como suma o resta de monomios.

a) 3x2 ⋅ 5 x3 − 3x + 2( )

b) a2b ⋅ b3 − 2ab + 5ab2( )

c) −2 y2 ⋅ xy3 − 3xy + x2 y( )

18

2. MONOMIOS

Roberto observa las expresiones algebraicas que están escritas en la pizarra. Busca aquellas que son el producto de un número por una o varias letras con exponente natural. El resto, las tacha.

DESAFÍOLas siguientes operaciones con monomios aparecen con una mancha.a) 3xy 2x = 6x y4 b) xy2 3 y = 6y c) 3xy2 2 = 5xy2

Cópialas y complétalas de modo que las operaciones sean correctas.

19

87



11 Resuelve estas operaciones con monomios.

a) 5xy2 + 7xy2 b) 5xy2 − 7xy2 c) −5xy2 + 7xy2 d) −5xy2 − 7xy2

a) 12xy2 b) −2xy2 c) 2xy2 d) −12xy2

12 Opera.

a) 3a3b2 + 5a3b2 − 7a3b2 b) 3

5ab− 2ab +

7

10ab c)

x2 y

5−

2x2 y

10+ x2 y +

2

3x2 y

a) a3b2

b) 3

5− 2 +

7

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ab =

6

10−

20

10+

7

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ab = −

7

10ab

c) 1

5−

2

10+ 1+

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟x2 y =

1

5−

1

5+ 1+

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟x2 y =

5

3x2 y

13 Simplifica.

a) x2 + 3x − 5x2 + x − 6x b) 5x2y + 7xy + xy − xy2 − 9x2y c) 5 − 12xy − xy2 − xy + xy2

a) −4x2 − 2x b) −4x2y + 8xy − xy2 c) 5 − 13xy 14 Reduce estas expresiones.

a) xy2

2+ 2xy −

xy2

3−

7 xy

2+ 1− yx b)

3

5a2b−

ab

2+5

6ba− a2 +

ba2

10 c) −z2 −

3z2 x

5+x2z

5− xz2 +

2

5z2

a) 1

2−

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟xy2 + 2−

7

2−1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟xy + 1 =

1

6xy2 −

5

2xy + 1

b) 3

5+

1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟a2b + −

1

2+5

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ab− a2 =

7

10a2b +

1

3ab− a2

c) −1+2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟z2 + −

3

5−1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟xz2 +

x2z

5= −

3

5z2 −

8

5xz2 +

x2z

5

15 Realiza los siguientes productos.

a) 3x2 ⋅ −xy3( ) b) 12xy2z ⋅ x3 yz( ) c) (−ab ) ⋅ −2a2b( ) d) −2x3 y2( ) ⋅ 5 x2 y( )a) −3x3y3 b) 12x4y3z2 c) 2a3b2 d) −10x5y3

16 Calcula estos cocientes.

a) 12x2 y : xy b) −2a5b4( ) : a3b( ) c) −9a3bc2( ) : −3a2bc( ) d) −18 x3z2( ) : 6 x2z( )

a) 12x b) −2a2b3 c) 3ac d) −3xz17 Resuelve.

a) 2

5xy2 ⋅

7

10x3 y

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ b)

2

3x5 y3 :

1

6x3 y

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

a) 14

50x4 y3 =

7

25x4 y3 b)

12

3x2 y2 = 4 x2 y2

18 Expresa como suma o resta de monomios.

a) 3x2 ⋅ 5 x3 − 3x + 2( ) b) a2b ⋅ b3 − 2ab + 5ab2( ) c) −2 y2 ⋅ xy3 − 3xy + x2 y( )

a) 15x5 − 9x3 + 6x2 b) a2b4 − 2a3b2 + 5a3b3 c) −2xy5 + 6xy3 − 2x2y3

Desafío19 Las siguientes operaciones con monomios aparecen con una mancha.

a) 3xy 2x = 6x y4 b) xy2 3 y = 6y c) 3xy2 2 = 5xy2

Cópialas y complétalas de modo que las operaciones sean correctas.

a) 3xy ⋅ 2xy3 = 6x2y4 b) 18xy2 : 3xy = 6y c) 3xy2 + 2xy2 = 5xy2



3. Polinomios

Soluciones de las actividades20 Copia y completa la tabla.

Polinomio Variables Términos Grado

3xy − xy2 + y2 x, y 3xy, −xy2, y2 3

abc2 − a5 − b a, b, c abc2, −a5, −b 5

2x2 − 5x3 + 7x − 1 x 2x2, −5x3, 7x, −1 3

3x − 2y + 4z x, y, z 3x, −2y, 4z 1

21 Describe cuáles son los términos y el grado de estos polinomios.

a) A(x, y) = 3x2y − 5x3 + 3y4 c) C(a) = a4 − 8a2 + 15a3 − 3

b) B(y) = −4y + 12y3 − 3 + y2 d) D(a, b, c) = ab2 − 4abc + a2b3c

a) Términos: 3x2y, −5x3, 3y4; Grado: 4 c) Términos: a4, −8a2, 15a3, −3; Grado: 4

b) Términos: −4y, 12y3, −3, y2; Grado: 3 d) Términos: ab2, −4abc, a2b3c; Grado: 6


Una vez que se han estudiado los monomios, el paso a los polinomios no suele crear grandes dificultades. Los alumnos tienen que comprender que aplican lo que ya han aprendido.

Suele resultar útil utilizar el cálculo de áreas sencillas para introducir los polinomios y usarlas para introducir el valor numérico de un polinomio: dando diferentes valores al lado desconocido obtenemos diferentes áreas.

A la hora de calcular el valor numérico de un polinomio los alumnos vuelven a tener problemas con la jerarquía de las operaciones. Es importante recordarla y trabajar operacio-nes combinadas con números enteros.

También puede ser necesario recordar el cálculo de poten-cias con base negativa, haciendo hincapié en la importancia de la paridad del exponente.

61


60

3. POLINOMIOS

Juanma quiere comprarse un estudio, pero en el plano que tiene faltan algunos datos y no puede calcular cuánto mide su superficie. Así, marca con una x en el plano la longitud desconocida y expresa algebraicamente el área.

Aprenderás a… ● Reconocer polinomios.

● Identificar los términos y el grado de un polinomio.

● Hallar el valor numérico de un polinomio.

Los polinomios se suelen designar con una letra mayúscula y, entre paréntesis, las variables del polinomio.

A(x) = x2 + 3x − 5

P(x, y) = 2x2 + 3xy − xy2

Lenguaje matemático

Copia y completa la tabla.

Polinomio Variables Términos Grado

3xy − xy2 + y2 O O O

abc2 − a5 − b O O O

2x2 − 5x3 + 7x − 1 O O O

3x − 2y + 4z O O O

Describe cuáles son los términos y el grado de estos polinomios.a) A(x, y) = 3x2y − 5x3 + 3y4 c) C(a) = a4 − 8a2 + 15a3 − 3 b) B(y) = −4y + 12y3 − 3 + y2 d) D(a, b, c) = ab2 − 4abc + a2b3c

Reduce los términos semejantes de los siguientes polinomios y ordena sus términos de mayor a menor grado.a) 5x3 − 7x + 12x − 4x3 + 3x2 c) −4x − 12x4 − x3 + x2

b) 5x2 − 3 − 7x2 + 12x − x2 + 3x d) 5x3 − 4x3 − 3x3 + 2x − 5x2 − 7x + 9x2

Escribe, en cada caso, un polinomio que cumpla lo que se indica.a) Tres términos, grado 5 y variable x.b) Cuatro términos, grado 4 y variables a y b.c) Dos términos, grado 1 y variable z.d) Cinco términos, grado 8 y variables x e y.

Calcula el valor numérico de cada polinomio para x = −2.a) A(x) = −4x3 + 2x2 + 3x − 1 c) C(x) = x4 − 3x2 − 2x3 + 6b) B(x) = 7x2 − 5x + 12 d) D(x) = 8 − x3 − 5x + 2x2

Calcula el valor numérico de estos polinomios para x = 2 e y = −2.a) A(x, y) = 3x2 − 2xy c) C(x, y) = 3x2y − 2y b) B(x, y) = −y3 + 2xy + y2 d) D(x, y) = 3y − 2x + x2y − y2x

El valor numérico del polinomio P(x) para x = 2 es 12. Calcula el valor de a en cada caso.a) P(x) = 2x + a c) P(x) = x2 − 2x + ab) P(x) = ax − 4 d) P(x) = x2 − ax + 6

Calcula el polinomio que expresa el área de las siguientes figuras.a)

x

x

x

x

1 cm

1 cm

b)

x

x3 cm

El valor numérico del polinomio A(t) = −t2 + 32t indica la altura, en metros, alcanzada por una jabalina en un lanzamiento, y t, el tiempo, en segundos, desde su lanzamiento. ¿Cuál es la altura pasados 4 s?

20

21

22

23

24

25

26

27

28

} Escribe los términos y el grado del polinomio P(x) = 4x4 + 5x3 − 2x − 3. Después, calcula su valor numérico para x = −2.

Solución

4x4 + 5x3 − 2x − 3

Términos 4x4 5x3−2x −3

Grado de cada término 4 3 1 0

Grado del polinomio 4

Para calcular P(−2), sustituimos todas las x por −2 y resolvemos la expresión matemática, respetando la jerarquía de las operaciones.

P (−2) = 4 ⋅ (−2)4 + 5 ⋅ (−2)3 − 2 ⋅ (−2)− 3 == 4 ⋅16 + 5 ⋅ (−8)− 2 ⋅ (−2)− 3 == 64− 40 + 4− 3 = 25

EJERCICIO RESUELTO

La expresión para calcular el área del estudio es: P(x) = x2 + 5x + 2

Observa que se trata de varios monomios no semejantes; luego, no se puede simplificar.

❚ Un polinomio es la suma de dos o más monomios no semejantes.

❚ Los términos de un polinomio son cada uno de los monomios que lo forman, y el grado es el mayor de los grados de sus términos.

Posteriormente, la empresa constructora informa a Juanma de que el dato que falta en el plano es 4 m. Como el polinomio P(x) representa el área del estudio, sustituye cada x por su valor, 4.

P(x) = x2 + 5x + 2 x = 4⎯ →⎯⎯ P(4) = 42 + 5 ⋅ 4 + 2 = 16 + 20 + 2 = 38

Entonces, el estudio tiene 38 m2.

El valor numérico de un polinomio, P(x), para un valor x = a, se escribe P(a) y se obtiene sustituyendo la variable x por el valor a en el polinomio y realizando todas las operaciones.

x 5 m

x

2 m 2 · 1 = 2

5 · x = 5xx · x = x²

1 m

x

DESAFÍOLas raíces de un polinomio son los valores de x que hacen que el valor numérico del polinomio sea 0. Averigua una raíz de los siguientes polinomios.a) A(x) = x2 − 1 b) B(x) = x2 − 4x + 4 c) C(x) = x2 + 3x + 2

29

89



22 Reduce los términos semejantes de los siguientes polinomios y ordena sus términos de mayor a menor grado.

a) 5x3 − 7x + 12x − 4x3 + 3x2 c) −4x − 12x4 − x3 + x2

b) 5x2 − 3 − 7x2 + 12x − x2 + 3x d) 5x3 − 4x3 − 3x3 + 2x − 5x2 − 7x + 9x2

a) x3 + 3x2 + 5x b) −3x2 + 15x − 3 c) −12x4 − x3 + x2 − 4x d) −2x3 + 4x2 − 5x23 Escribe, en cada caso, un polinomio que cumpla lo que se indica.

a) Tres términos, grado 5 y variable x. c) Dos términos, grado 1 y variable z.

b) Cuatro términos, grado 4 y variables a y b. d) Cinco términos, grado 8 y variables x e y.

Respuesta abierta. Por ejemplo:

a) 3x5 − 2x + 1 b) a2b2 + 2b3 + a2 + ab c) 2z −1 d) x8 + 3x3y − x2y2 + 2x2 + y 24 Calcula el valor numérico de cada polinomio para x = −2.

a) A(x) = −4x3 + 2x2 + 3x − 1 c) C(x) = x4 − 3x2 − 2x3 + 6

b) B(x) = 7x2 − 5x + 12 d) D(x) = 8 − x3 − 5x + 2x2

a) A(−2) = 33 b) B(−2) = 50 c) C(−2) = 26 d) D(−2) = 3425 Calcula el valor numérico de estos polinomios para x = 2 e y = −2.

a) A(x, y) = 3x2 − 2xy c) C(x, y) = 3x2y − 2y

b) B(x, y) = −y3 + 2xy + y2 d) D(x, y) = 3y − 2x + x2y − y2x

a) A(2, −2) = 20 b) B(2, −2) = 4 c) C(2, −2) = −20 d) D(2, −2) = −2626 El valor numérico del polinomio P(x) para x = 2 es 12. Calcula el valor de a en cada caso.

a) P(x) = 2x + a b) P(x) = ax − 4 c) P(x) = x2 − 2x + a d) P(x) = x2 − ax + 6

a) 12 = 2 ⋅ 2 + a → 12 = 4 + a → a = 8 c) 12 = 22 − 2 ⋅ 2 + a → 12 = 4 − 4 + a → a = 12

b) 12 = a ⋅ 2 − 4 → 12 = 2a − 4 → a = 8 d) 12 = 22 − a ⋅ 2 + 6 → 12 = 4 − 2a + 6 → a = −127 Calcula el polinomio que expresa el área de las siguientes figuras.

a)

x

x

x

x

1 cm

1 cm

b)

x

x3 cm

28 El valor numérico del polinomio A(t) = −t2 + 32t indica la altura, en metros, alcanzada por una jabalina en un lanzamiento, y t, el tiempo, en segundos, desde su lanzamiento. ¿Cuál es la altura pasados 4 s?

A(4) = −42 + 32 ⋅ 4 = −16 + 128 = 112 La altura es 112 m.

Desafío29 Las raíces de un polinomio son los valores de x que hacen que el valor numérico del polinomio sea 0. Averigua una raíz

de los siguientes polinomios.

a) A(x) = x2 − 1 b) B(x) = x2 − 4x + 4 c) C(x) = x2 + 3x + 2

a) x2 − 1 = 0 → x2 = 1 → x = ±1. Las raíces son 1 y −1.

b) x2 − 4x + 4 = 0 → x =4 ± 16− 4 ⋅1⋅ 4

2 ⋅1=4 ± 16−16

2= 2 → La raíz es 2.

c) x2 + 3x + 2 = 0 → x =−3 ± 9− 4 ⋅1⋅2

2=−3 ± 9− 8

2=−3 ± 1

2→

x1 = −1x2 = −2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ → Las raíces son −1 y −2.

a) 2x2 − 1

b) x ⋅ (x − 3) = x2 − 3x



4. Suma y resta de polinomios

Soluciones de las actividades30 Calcula las siguientes sumas de polinomios.

a) 7 x3 − 3x2 + 5 x − 9( ) + 4 x3 + 6 x2 + 7 x + 1( )

b) 8 x4 −7 x2 − 3( ) + −12x4 −7 x3 + 5 x2 − x + 5( )

c) −12x5 + 5 x3 + 8 x2 −13x −5( ) + x5 − 4 x4 − 8 x2 + 12x + 7( )

a) 11x3 + 3x2 + 12x − 8 b) −4x4 − 7x3 − 2x2 − x + 2 c) −11x5 − 4x4 + 5x3 − x + 231 ¿Cuáles son los opuestos de estos polinomios? Escríbelos en tu cuaderno.

a) 5x3 − 3x2 + x + 1 b) −12x5 + x3 − 3x − 5 c) x4 − 8x3 + 3x2 + 8x − 9 d) x6 − 2x4 + x3 − 3x2 + 5x − 7

a) −5x3 + 3x2 − x − 1 b) 12x5 − x3 + 3x + 5 c) −x4 + 8x3 − 3x2 − 8x + 9 d) −x6 + 2x4 − x3 + 3x2 − 5x + 732 Realiza estas restas de polinomios.

a) 5 x3 − 9 x2 + 10 x −7( )− 3x3 −10 x2 − 2x − 9( ) a) 2x3 + x2 + 12x + 2

b) −7 x5 − 4 x2 + 3x + 10( )− −x5 + 3x3 − 4 x2 + 7 x −1( ) b) −6x5 − 3x3 − 4x + 11

c) 15 x4 −7 x3 + 3x2 − 6( )− x5 + 15 x4 + 7 x3 + 9 x2 − x + 4( ) c) −x5 − 14x3 − 6x2 + x − 10


A la hora de sumar y restar polinomios, es importante hacer hincapié en la utilidad de que estén ordenados, así como en dejar un hueco si no existe un monomio de algún grado en el polinomio. Conviene recordar a los alumnos que se pue-den sumar y restar varios polinomios a la vez sin más que transformar las restas en sumas de los opuestos.

Vídeo. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

En el vídeo se resuelve una operación con polinomios indicando en cada paso las cuestiones a tener en cuenta para obtener el resultado correcto. Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta página o como recurso para que los alumnos repasen este tipo de ejercicios.

63


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4. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

Raquel quiere sumar dos polinomios, pero no sabe cómo hacerlo.

Recuerda que un polinomio está formado por varios monomios y que estos solo se pueden sumar cuando son semejantes.

Si P(x) = 3x4 − 5x3 + 7x − 12 y Q(x) = −9x4 + 5x2 − 7x − 3, para calcular P(x) + Q(x), colocamos un polinomio debajo del otro, procurando que coincidan los monomios semejantes, y realizamos las operaciones.

P(x) = 3x4 − 5x3 + 7x − 12

+ Q(x) = − 9x4 + 5x2 − 7x − 3

P(x) + Q(x) = − 6x4 − 5x3 + 5x2 − 15

Para sumar polinomios, se suman los monomios semejantes y se deja indicada la suma de los monomios no semejantes.

Raquel se pregunta si, para cualquier polinomio, existe otro tal que, al sumarlo, lo anule. De nuevo, pensar en los monomios le ayuda, porque si suma cada monomio con su opuesto, el resultado es nulo.

P(x) = 3x4 − 5x3 + 7x − 12

−P(x) = − 3x4 + 5x3 − 7x + 12

P(x) + (−P(x)) = 0x4 + 0x3 + 0 = 0

El opuesto de un polinomio es otro polinomio que, al sumarlo al primero, lo anula.

Para calcular P(x) − Q(x), se transforma esta operación en la suma del opuesto del sustraendo.

P(x) = 3x4 − 5x3 + 7x − 12

−Q(x) = 9x4 − 5x2 + 7x + 3

P(x) − Q(x) = 12x4 − 5x3 − 5x2 + 14x − 9

Para restar dos polinomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Si el resultado de sumar los monomioses 0x, no se escribe.

Escribimos el opuesto de cada término.

P(x) − Q(x)

P(x) + op(Q(x))

Aprenderás a… ● Realizar sumas y restas de polinomios.

● Calcular el opuesto de un polinomio.

El opuesto de un número entero es otro número entero con el signo contrario.

op(+5) = −5 op(−5) = +5

Recuerda

} Considera los siguientes polinomios:

P(x) = 8x2 − 3x + 1 Q(x) = − 7x3 + 2x2 + 5x − 7 R(x) = x3 + 4x − 5

Calcula P(x) − Q(x) + R(x).

Solución

EJERCICIO RESUELTO

Calcula las siguientes sumas de polinomios.

a) 7x3 - 3x2 + 5 x - 9( ) + 4 x3 + 6 x2 + 7x + 1( )

b) 8 x4 -7x2 - 3( ) + -12x4 -7x3 + 5 x2 - x + 5( )

c) −12x5 + 5 x3 + 8 x2 −13x −5( ) + x5 − 4 x4 − 8 x2 + 12x + 7( )

¿Cuáles son los opuestos de estos polinomios? Escríbelos en tu cuaderno.a) 5x3 − 3x2 + x + 1 c) x4 − 8x3 + 3x2 + 8x − 9 b) −12x5 + x3 − 3x − 5 d) x6 − 2x4 + x3 − 3x2 + 5x − 7

Realiza estas restas de polinomios.

a) 5 x3 − 9 x2 + 10 x −7( )− 3x3 −10 x2 − 2x − 9( )

b) −7 x5 − 4 x2 + 3x + 10( )− −x5 + 3x3 − 4 x2 + 7 x −1( )

c) 15 x4 −7 x3 + 3x2 − 6( )− x5 + 15 x4 + 7 x3 + 9 x2 − x + 4( )

Realiza las operaciones que se indican con estos polinomios.A(x) = 7x2 − 3x + 1 B(x) = −4x3 + 5x − 3 C(x) = 7x3 − 5x − 9a) A(x) + B(x) c) C(x) − B(x) e) B(x) − A(x)b) A(x) − C(x) d) A(x) + C(x) f) B(x) + C(x)

Calcula las operaciones que se indican con estos polinomios.A(x) = −5x3 + 7x2 − 3x + 5 B(x) = 7x3 − 8x2 + 6 C(x) = 5x2 + 12x − 3a) A(x) + B(x) + C(x) d) A(x) + C(x) − B(x)b) A(x) + B(x) − C(x) e) B(x) − A(x) + C(x)c) A(x) − B(x) − C(x) f) C(x) − B(x) − A(x)

Completa estas sumas en tu cuaderno.a) 5x2 § + 7 c) 8x3 § + x2 § − 10

§ + 3x − 8 § + 3x3 § − 5x + 8

2x2 − 3x § 5x3 − x3 + x §

b) 6x2 § + 9 d) − x4 § − 9x2 + x − 6

x3 − 6x2 + 3x − § § + 3x3 − 5x2 + § + 7

§ § − 4x + 1 − 2x4 + 2x3 § − 3x §

Escribe en tu cuaderno el polinomio que falta en cada caso.

a) 5 x2 − 4 x + 3( )−§ = 3x2 − x + 2

b) §− 4 x3 −7 x2 + 12x −5( ) = −2x2 + 5 x + 1

c) −x3 − 3x2 + 10( )−§ = 5 x2 − 3

30

31

32

33

34

35

36

DESAFÍOOrdena estas fichas en tu cuaderno para que se cumpla la resta.37

9 7 –5x²x

–x²

–4x²–4x

–3x2

2x³–3x³

–x³

En una resta de polinomios, los términos son minuendo y sustraendo.

P(x) − Q(x)

minuendo sustraendo

Recuerda

ma2e9

91



33 Realiza las operaciones que se indican con estos polinomios.

A(x) = 7x2 − 3x + 1 B(x) = −4x3 + 5x − 3 C(x) = 7x3 − 5x − 9

a) A(x) + B(x) b) A(x) − C(x) c) C(x) − B(x) d) A(x) + C(x) e) B(x) − A(x) f) B(x) + C(x)

a) A(x) + B(x) = 7x2 − 3x + 1 − 4x3 + 5x − 3 = −4x3 + 7x2 + 2x − 2

b) A(x) − C(x) = 7x2 − 3x + 1 − 7 x3 −5 x − 9( ) = 7x2 − 3x + 1 − 7x3 + 5x + 9 = −7x3 + 7x2 + 2x + 10

c) C(x) − B(x) = 7x3 − 5x − 9 − −4 x3 + 5 x − 3( ) = 7x3 − 5x − 9 + 4x3 − 5x + 3 = 11x3 − 10x − 6

d) A(x) + C(x) = 7x2 − 3x + 1 + 7x3 − 5x − 9 = 7x3 + 7x2 − 8x − 8

e) B(x) − A(x) = −4x3 + 5x − 3 − 7 x2 − 3x + 1( ) = −4x3 + 5x − 3 − 7x2 + 3x − 1 = −4x3 − 7x2 + 8x − 4

f) B(x) + C(x) = −4x3 + 5x − 3 + 7x3 − 5x − 9 = 3x3 − 12 34 Calcula las operaciones que se indican con estos polinomios.

A(x) = −5x3 + 7x2 − 3x + 5 B(x) = 7x3 − 8x2 + 6 C(x) = 5x2 + 12x − 3

a) A(x) + B(x) + C(x) c) A(x) − B(x) − C(x) e) B(x) − A(x) + C(x)

b) A(x) + B(x) − C(x) d) A(x) + C(x) − B(x) f) C(x) − B(x) − A(x)

a) −5x3 + 7x2 − 3x + 5 + 7x3 − 8x2 + 6 + 5x2 + 12x − 3 = 2x3 + 4x2 + 9x + 8

b) −5x3 + 7x2 − 3x + 5 + 7x3 − 8x2 + 6 − 5x2 − 12x + 3 = 2x3 − 6x2 − 15x + 14

c) −5x3 + 7x2 − 3x + 5 − 7x3 + 8x2 − 6 − 5x2 − 12x + 3 = −12x3 + 10x2 − 15x + 2

d) −5x3 + 7x2 − 3x + 5 + 5x2 + 12x − 3 − 7x3 + 8x2 − 6 = −12x3 + 20x2 + 9x − 4

e) 7x3 − 8x2 + 6 + 5x3 − 7x2 + 3x − 5 + 5x2 + 12x − 3 = 12x3 − 10x2 + 15x − 2

f) 5x2 + 12x − 3 − 7x3 + 8x2 − 6 + 5x3 − 7x2 + 3x − 5 = −2x3 + 6x2 + 15x − 1435 Completa estas sumas en tu cuaderno.

a) 5x2 − 6x + 7 c) 8x3 − 4x3 + x2 + 6x − 10

− 3x2 + 3x − 8 − 3x2 + 3x3 − x2 − 5x + 8

2x2 − 3x − 1 5x3 − x3 + x − 2

b) 6x2 − 7x + 9 d) − x4 − x3 − 9x2 + x − 6

x3 − 6x2 + 3x − 8 − x4 + 3x3 − 5x2 − 4x + 7

x3 − 4x + 1 − 2x4 + 2x3 − 14x2 − 3x + 136 Escribe en tu cuaderno el polinomio que falta en cada caso.

a) 5 x2 − 4 x + 3( )−§ = 3x2 − x + 2

b) §− 4 x3 −7 x2 + 12x −5( ) = −2x2 + 5 x + 1

c) −x3 − 3x2 + 10( )−§= 5 x2 − 3a) 2x2 − 3x + 1 b) 4x3 − 9x2 + 17x − 4 c) −x3 − 8x2 + 13

Desafío37 Ordena estas fichas en tu cuaderno para que se cumpla la resta.

9x³

7 – 5x²x

– x²

– 4x²– 4x

– 3x2

2x³– 3x³

−x3 −5 x2 − 3x + 9( )− −3x3 − 4 x2 − 4 x + 7( ) = 2x3 − x2 + x + 2



5. Multiplicación y potencias de polinomios

Soluciones de las actividades38 Realiza las siguientes operaciones.

a) 2 ⋅ −3x2 −5 x + 2( ) c) 2x3 −7 x2 + x − 3( ) ⋅5

b) x4 − 4 x2 + 3x −7( ) ⋅ −3( ) d) −4( ) ⋅ −x5 − 3x4 + 6 x2 −5 x + 7( )

a) −6x2 − 10x + 4 c) 10x3 − 35x2 + 5x − 15

b) − 3x4 + 12x2 − 9x + 21 d) 4x5 + 12x4 − 24x2 + 20x − 28


El mayor problema con el que se encuentran los alumnos a la hora de multiplicar polinomios es el orden. Es aconsejable que los polinomios se ordenen antes de mutiplicar.

Al multiplicar polinomios, los alumnos tienen que recordar que cada término tiene su signo, sobre todo si es negativo. Es importante que ordenen los monomios y que dejen hue-cos para los grados que no aparezcan antes de multiplicar.

A la hora de realizar potencias, el problema se encuentra si la potencia es mayor que dos o el polinomio tiene muchos términos, por cuestiones de extensión.

La dificultad de las identidades notables es similar a la que suele ocurrir con la jerarquía de las operaciones, la falta de constancia a la hora de aplicarlas. Suele ser muy útil que visualizen gráficamente el resultado y que realizen la de-mostración gráfica en diferentes casos.

Vídeo. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

En el vídeo se realiza, paso a paso, la multiplicación de dos polino-mios indicando el monomio que efectúa la operación para hallar cada término del resultado. Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta página o como recurso para que los alumnos repasen esta operación.

GeoGebra. IDENTIDADES NOTABLES

En este recurso se muestra una demostración geométrica de las identidades notables de la suma y de la resta. Los cuadrados y los rectángulos de la parte derecha pueden moverse sobre la figuras de la izquierda para comprobar las relaciones entre las áreas correspondientes. Puede utilizarse en clase como apoyo a la explicación de las identidades notables o como recurso para que los alumnos investiguen sobre las relaciones geométricas y algebraicas.

65


64

Aprenderás a… ● Realizar multiplicaciones de polinomios.

● Calcular potencias de polinomios.

● Calcular el cuadrado de un binomio.

Propiedad distributiva de la multiplicación.

a ⋅ (b + c) = ab + ac

Recuerda

5. MULTIPLICACIÓN Y POTENCIAS DE POLINOMIOS

Multiplicación de polinomios

Raquel continúa investigando sobre cómo operar con polinomios.

Por ejemplo, para multiplicar P(x) = 2x3 + 3x2 − 2x + 4 y Q(x) = 3x2 − x + 2, aplicamos la propiedad distributiva de esta manera:

Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término de uno de los factores por todos los términos del otro factor y se suman los términos semejantes.

Potencias de polinomios

A la hora de resolver potencias, Raquel solo recuerda que una potencia es un producto de factores iguales. n veces

P ( x )n = P ( x ) ⋅ … ⋅ P ( x )

Sin embargo, existen ciertos productos de binomios, llamados productos o identidades notables, cuyos resultados son muy útiles a la hora de realizar cálculos con expresiones algebraicas.

❚ Cuadrado de una suma

❚ Cuadrado de una resta

ma2e10

ma2e11

Realiza las siguientes operaciones.

a) 2 ⋅ −3x2 −5 x + 2( )

b) x4 − 4 x2 + 3x −7( ) ⋅ −3( )

c) 2x3 −7 x2 + x − 3( ) ⋅5

d) −4( ) ⋅ −x5 − 3x4 + 6 x2 −5 x + 7( )

Calcula.

a) 4 x2 ⋅ −5 x2 + 3x − 3( )

b) −2x3( ) ⋅ 4 x3 −7 x2 + x − 2( )

c) −2x5 + 3x4 −5 x3 + x2 − x + 2( ) ⋅ −3x( )

d) 5 x3 − 3x + 7( ) ⋅ −x2( )

Copia y completa el factor que falta en cada caso.

a) § ⋅ −2x3( ) = 2x5 −10 x4 + 6 x3

b) 4 x ⋅§ = −12x6 + 8 x4 − 28 x2

Realiza estos productos de polinomios.

a) 4 x2 − 3x + 5( ) ⋅ x −1( )

b) −5 x3 + 3x −7( ) ⋅ 3x2 − 4( )

c) −3x2 + 2x( ) ⋅ 6 x3 −7 x + 3( )

d) x3 − 3x( ) ⋅ −3x4 − 8 x2 − 2x( )

Resuelve.

a) 5 x2 − 3x + 2( ) ⋅ x2 − x + 1( )

b) −x3 + 4 x2 − 3( ) ⋅ 3x2 − 4 x −5( )

c) −3x4 −5 x + 1( ) ⋅ x3 − 2x + 3( )

d) 2x5 - 3x2 - 3( ) ◊ 4 x3 -5 x -1( )

Copia y completa los términos que faltan en las siguientes multiplicaciones de polinomios.a) § − 7x + 2

− 3x + §

10x2 − § + 4− 15x3 + § − 6x

§ § § §

b) − x3 + § − 3x − 2

§ + 7

§ + 28x2 − 21x − §§ § + 15x2 + §

§ § § §

38

39

40

41

42

43

Desarrolla los siguientes binomios.

a) 2x + 5( )2 b) 5 x3 + 3x( )2 c) 4 x − 2( )244

EJERCICIO RESUELTO

} Desarrolla estos productos notables.

a) (3x + 4)2 b) x2 −5x( )2

Solucióna) Aplicamos la formula del cuadrado de la suma. (3x + 4)2 = (3x)2 + 42 + 2 ⋅ 3x ⋅ 4 = = 32 ⋅ x2 + 16 + (2 ⋅ 3 ⋅ 4) ⋅ x = 9x2 + 16 + 24xb) Aplicamos la formula del cuadrado de la resta.

x2 −5 x( )2 = x2( )2 + 5 x( )2 − 2 ⋅ x2 ⋅5 x = = x2⋅2 + 52 ⋅ x2 − (2 ⋅ 5) x2+1 = x4 + 25x2 − 10x3

EJERCICIO RESUELTO

} Realiza la siguiente operación con polinomios.

5x2 + 6 x − 7( )− 4 x −1( ) x2 − 3x( )

SoluciónRespetando la jerarquía de las operaciones:

1 Resolvemos la multiplicación.

x2 − 3x

4x − 1

− x2 + 3x4x3 − 12x2

4x3 − 13x2 + 3x

2 Calculamos la resta sumando el opuesto del resultado anterior.

5x2 + 6x − 7

−4x3 + 13x2 − 3x

−4x3 + 18x2 + 3x − 7

Opera.

a) x3 − 4 x2 −5 x + 3( ) + 3x − 2( ) ⋅ −x + 1( )

b) x −1( ) ⋅ 2x − 3( )− 3x − 2( ) ⋅ x2 − 2( )

45

DESAFÍOOtro de los productos notables más utilizados en el álgebra es el llamado suma por diferencia:

(a + b) ⋅ (a − b)Multiplica estos dos polinomios y averigua cuál es su resultado. Utiliza el rectángulo para demostrar geométricamente el desarrollo obtenido.

46

a – b

(a + b)

a

a

b

b

93



39 Calcula.

a) 4 x2 ⋅ −5 x2 + 3x − 3( ) c) −2x5 + 3x4 −5 x3 + x2 − x + 2( ) ⋅ −3x( )

b) −2x3( ) ⋅ 4 x3 −7 x2 + x − 2( ) d) 5 x3 − 3x + 7( ) ⋅ −x2( )

a) −20x4 + 12x3 − 12x2 c) 6x6 − 9x5 + 15x4 − 3x3 + 3x2 − 6x

b) −8x6 + 14x5 − 2x4 + 4x3 d) −5x5 + 3x3 − 7x2

40 Copia y completa el factor que falta en cada caso.

a) § ⋅ −2x3( ) = 2x5 −10 x4 + 6 x3 b) 4x ⋅ § = −12x6 + 8x4 − 28x2

a) −x2 + 5 x − 3( ) ⋅ −2x3( ) = 2x5 −10 x4 + 6 x3 b) 4 x ⋅ −3x5 + 2x3 −7 x( ) = −12x6 + 8 x4 − 28 x2

41 Realiza estos productos de polinomios.

a) 4 x2 − 3x + 5( ) ⋅ x −1( ) c) −3x2 + 2x( ) ⋅ 6 x3 −7 x + 3( )

b) −5 x3 + 3x −7( ) ⋅ 3x2 − 4( ) d) x3 − 3x( ) ⋅ −3x4 − 8 x2 − 2x( )

a) 4x3 − 4x2 − 3x2 + 3x + 5x − 5 = 4x3 − 7x2 + 8x − 5

b) −15x5 + 20x3 + 9x3 − 12x − 21x2 + 28 = −15x5 + 29x3 − 21x2 − 12x + 28

c) −18x5 + 21x3 − 9x2 + 12x4 − 14x2 + 6x = −18x5 + 12x4 + 21x3 − 23x2 + 6x

d) −3x7 − 8x5 − 2x4 + 9x5 + 24x3 + 6x2 = −3x7 + x5 − 2x4 + 24x3 + 6x2

42 Resuelve.

a) 5 x2 − 3x + 2( ) ⋅ x2 − x + 1( ) c) −3x4 −5 x + 1( ) ⋅ x3 − 2x + 3( )

b) −x3 + 4 x2 − 3( ) ⋅ 3x2 − 4 x −5( ) d) 2x5 − 3x2 − 3( ) ⋅ 4 x3 −5 x −1( )

a) 5x4 − 5x3 + 5x2 − 3x3 + 3x2 − 3x + 2x2 − 2x + 2 = 5x4 − 8x3 + 10x2 − 5x + 2

b) −3x5 + 4x4 + 5x3 + 12x4 − 16x3 − 20x2 − 9x2 + 12x + 15 = −3x5 + 16x4 − 11x3 − 29x2 + 12x + 15

c) −3x7 + 6x5 − 9x4 − 5x4 + 10x2 − 15x + x3 − 2x + 3 = −3x7 + 6x5 − 14x4 + x3 + 10x2 − 17x + 3

d) 8x8 − 10x6 − 2x5 − 12x5 + 15x3 + 3x2 − 12x3 + 15x + 3 = 8x8 − 10x6 − 14x5 + 3x3 + 3x2 + 15x + 343 Copia y completa los términos que faltan en las siguientes multiplicaciones de polinomios.

a) 5x2 − 7x + 2

− 3x + 2

10x2 − 14x + 4− 15x3 + 21x2 − 6x

− 15x3 + 31x2 − 20x + 4

44 Desarrolla los siguientes binomios.

a) 2x + 5( )2 b) 5 x3 + 3x( )2 c) 4 x − 2( )2

a) 4x2 + 20x + 25 b) 25x6 + 30x4 + 9x2 c) 16x2 − 16x + 445 Opera.

a) x3 − 4 x2 −5 x + 3( ) + 3x − 2( ) ⋅ −x + 1( ) b) x −1( ) ⋅ 2x − 3( )− 3x − 2( ) ⋅ x2 − 2( )

a) x3 − 4x2 − 5x + 3 − 3x2 + 3x + 2x − 2 = x3 − 7x2 + 1

b) 2x2 − 3x − 2x + 3 − 3x3 − 6 x − 2x2 + 4( ) = 2x2 − 3x − 2x + 3 − 3x3 + 6x + 2x2 − 4 = −3x3 + 4x2 + x − 1

Desafío46 Otro de los productos notables más utilizados en el álgebra es el llamado suma por diferen-

cia: (a + b) ·(a − b)

Multiplica estos dos polinomios y averigua cuál es su resultado. Utiliza el rectángulo para demostrar geométricamente el desarrollo obtenido.

(a + b) ⋅ (a − b) = a2 − ab + ba − b2 = a2 − b2

b) − x3 + 4x2 − 3x − 2

− 5x + 7

− 7x3 + 28x2 − 21x − 145x4 − 20x3 + 15x2 + 10x

5x4 − 27x3 + 43x2 − 11x − 14

a – b

(a + b)

a

a

b

b



Lee y comprende las matemáticas

3 LEE Y COMPRENDE LAS MATEMÁTICAS

66 67

3Actividades

¿Existe una fórmula matemática para el árbol de Navidad perfecto?

Sí, según acaban de demostrar estudiantes de la Universidad de Sheffield (Reino Unido), que han desarrollado una calculadora que estima en base a cuatro fórmulas matemáticas, cuántas bolas, espumillón y luces se necesitan para decorar de manera óptima el árbol de Navidad.

La fórmula es la que sigue:

❚ Número de bolas = 17

20 ⋅ altura árbol

❚ Longitud espumillón = 13π

8 ⋅ altura árbol

❚ Longitud luces = π ⋅ altura árbol

❚ Altura de estrella/ángel = altura árbol

10

«Esperamos que nuestras fórmulas permitan que la Navidad sea más fácil para todos», aseguran sus creadores. Además de para uso doméstico, la aplicación también permite calcular la decoración que requieren los grandes árboles navideños que se colocan en las plazas de las ciudades en estas fechas. Por ejemplo, el de la Plaza Trafalgar (Londres), con 21 metros de altura, necesitaría 433 bolas para lucir «perfecto».

Fuente: muyinteresante.es

Jaime quiere que su árbol de Navidad sea perfecto.

De las pasadas navidades, tiene 40 bolas, 6 m de luces y 11 m de espumillón. El árbol del año pasado está en muy mal estado, por lo que decide comprar uno nuevo.

Duda entre comprar un árbol de 1,80 m de altura o uno de 2 m. ¿Qué medida debería elegir si quiere utilizar el máximo de adornos posibles sin comprar ninguno nuevo?

Analiza la pregunta

¿Cuánto debe medir de alto su árbol para que le sobre la menor cantidad posible de adornos?

❚ Primero, calculamos la cantidad perfecta de adornos para cada tipo de árbol.

❚ Después, comparamos la cantidad perfecta de adornos con la cantidad de adornos que tiene Jaime.

Busca los datos

Llamamos x a la altura del árbol y construimos expresiones algebraicas para las cantidades perfectas de adornos.

Expresión algebraica Restricción

N.º bolas = 17

20 ⋅ altura árbol 0,21x ≤ 40

Longitud espumillón =

= 13π

8 ⋅ altura árbol 5,11x ≤ 11

Longitud luces = π ⋅ altura árbol

3,14x ≤ 6

Utiliza las matemáticas

Para cada árbol, calculamos el valor numérico de cada expresión algebraica y redondeamos el resultado.

180 cm 200 cm

N.º bolas0,21 ⋅ 180 == 37,8 < 40

0,21 ⋅ 200 == 42 bolas > 40

Longitud espumillón

5,11 ⋅ 180 = = 919,8 cm =

= 9,2 m < 11

5,11 ⋅ 200 = = 1 022 cm =

= 10,22 m < 11

Longitud luces

3,14 ⋅ 180 = = 565,2 cm = = 5,65 m < 6

3,14 ⋅ 200 = = 628 cm =

= 6,28 m > 6

El árbol perfecto es el de 180 cm, pues para el de 200 cm le faltan bolas y luces.

Un grupo de amigos de distintos puntos de la geografía española lee esta noticia.

47

Andrea va a dejar el coche en el aeropuerto durante sus vacaciones y lee este artículo.

48

Rosalía y Julián son pareja y leen esta noticia.49

Si cada uno de ellos conoce la altura con respecto al nivel del mar del punto donde está:

a) Escribe una expresión algebraica que exprese la altura con respecto al nivel del mar en el año 1992.

b) Si la altura en relación con el nivel del mar en un punto geográfico es de 205,3 m, aplica la expresión algebraica para calcular la altura en el año 1992.

Calcula el tiempo, en años, de la relación entre Rosalía y Julián si sus datos en la encuesta son estos.

Y P Hm/f J G Sm/f I C

Rosalía1,5

3 4 3 3 3 3 3

Julián 2 4 2 3 3 4 2

El nivel del mar subió de media casi 8 centímetros desde 1992

El nivel del mar ha subido casi 8 centímetros de media en todo el mundo desde 1992 a causa del calentamiento global, ha informado la Agencia Aeroespacial Estadounidense, NASA, que ha alertado de que se trata de una tendencia que se mantendrá en los próximos años.

Fuente: elmundo.es

Descubierta la fórmula matemática del amor eterno

O X

Y

x² + (y – ³√x²)² = 1

Una investigación de 2 000 hombres y mujeres […] revela la que puede ser la solución final para medir la duración de una relación.Teniendo en cuenta estos resultados, los científicos han formulado esta expresión para la duración prevista, en años, de la relación:

8 + 0,5Y − 0,2P + 0,9Hm + 0,3Hf + + J − 0,3G − 0,5 (Sm − Sf ) 2 + I + 1,5C

En la expresión anterior:Y: número de años que llevan conociéndose los dos miembros de la pareja antes de iniciar una relación.P: número de parejas anteriores que suman las dos personas.Hm y Hf: importancia que el hombre (m) y la mujer (f) atribuye a la honestidad en la relación.J: suma de la importancia que ambos atribuyen al sentido del humor.G: suma de la importancia que ambos atribuyen a la apariencia física Sm y Sf: importancia que el hombre (m) y la mujer (f) atribuyen al sexo.I: suma de la importancia atribuida a tener buenas relaciones con los familiares.C: suma de la importancia que se atribuye a tener niños.

Todas las medidas de «importancia» se califican de 1 a 5, donde 1 significa «no es importante en absoluto», y 5, «es muy importante».

Fuente: elperiodico.esa) Escribe una expresión algebraica que calcule el

precio que hay que pagar de media por hora, día o semana.

b) Escribe la expresión algebraica del precio que se paga de más por día, hora y semana en los parkings más caros.

Precios de lujo en los aeropuertos

Dejar el vehículo durante una hora en el parking del aeropuerto representa de media algo más de un euro, mientras que el coste por un día de estacionamiento asciende de media a los 11 euros y la semana completa llega hasta los 70 euros. Sin embargo, debe destacarse que en los aeródromos de San Sebastián, Vitoria y Zaragoza el parking es gratuito. Los más caros: Madrid, Barcelona, Alicante y Málaga, donde estacionar el vehículo cuesta 1,55 euros la hora, 15,45 euros un día completo y casi 100 euros la semana (aunque el aeropuerto de Madrid dispone de un parking exclusivo para las largas estancias que reduce considerablemente el coste).

Fuente: consumer.es

Escribe la expresión algebraica que corresponde a cada una de estas oraciones.

a) El doble de un número al que se le suma uno. b) El doble de un número más uno.

50

Soluciones de las actividades47 Un grupo de amigos de distintos puntos de la geografía española lee esta noticia.

El nivel del mar subió de media casi 8 centímetros desde 1992El nivel del mar ha subido casi 8 centímetros de media en todo el mundo desde 1992 a causa del calentamiento global, ha informado la Agencia Aeroespacial Estadounidense, NASA, que ha alertado de que se trata de una tendencia que se mantendrá en los próximos años.

Fuente: elmundo.es

Si cada uno de ellos conoce la altura con respecto al nivel del mar del punto donde está:a) Escribe una expresión algebraica que exprese la altura con respecto al nivel del mar en el año 1992.b) Si la altura en relación con el nivel del mar en un punto geográfico es de 205,3 m, aplica la expresión algebraica para

calcular la altura en el año 1992.a) N(x) = x − 0,08 donde x representa la altura al nivel del mar de una ciudad expresada en metros.b) N(205,3 − 0,08) = 205,22 m


En esta sección se trabaja la comprensión lectora desde las matemáticas. Se presenta un artículo y, tras su lectura, se plantea a los alumnos alguna situación que pueden encon-trarse en su vida cotidiana y que deben resolver extrayendo información de dicha noticia.

Para llegar a la solución del problema propuesto deben se-guir estos pasos:

1.º Analizar la pregunta que se les plantea.

2.º Buscar los datos necesarios en la noticia.

3.º Utilizar las matemáticas para poder resolver la pregunta planteada.

En este caso, se pretende que los alumnos reflexionen sobre cómo resolver problemas con expresiones algebraicas.

Una vez analizado este ejemplo resuelto los alumnos se en-frentan a otras situaciones similares.

95



48 Andrea va a dejar el coche en el aeropuerto durante sus vacaciones y lee este artículo.

Precios de lujo en los aeropuertosDejar el vehículo durante una hora en el parking del aeropuerto representa de media algo más de un euro, mientras que el coste por un día de estacionamiento asciende de media a los 11 euros y la semana completa llega hasta los 70 euros. Sin embargo, debe destacarse que en los aeródromos de San Sebastián, Vitoria y Zaragoza el parking es gratuito. Los más caros: Madrid, Barcelona, Alicante y Málaga, donde estacionar el vehículo cuesta 1,55 euros la hora, 15,45 euros un día completo y casi 100 euros la semana (aunque el aeropuerto de Madrid dispone de un parking exclusivo para las largas estancias que reduce considerablemente el coste).

Fuente: consumer.es

a) Escribe una expresión algebraica que calcule el precio que hay que pagar de media por hora, día o semana.

b) Escribe la expresión algebraica del precio que se paga de más por día, hora y semana en los parkings más caros.

a) Si llamamos x a las horas en el parking, el precio por hora es x.

Si llamamos y a los días en el parking, el precio por día es 11y.

Si llamamos z a las semanas en el parking, el precio por semana es 70z.

b) Por horas: (1,55 −1)x = 0,55x

Por días: (15,45 − 11)y = 4,45y

Por semanas: (100 − 70)z = 30z49 Rosalía y Julián son pareja y leen esta noticia.

Descubierta la fórmula matemática del amor eternoUna investigación de 2 000 hombres y mujeres […] revela la que puede ser la solución final para medir la duración de una relación.Teniendo en cuenta estos resultados, los científicos han formulado esta expresión para la duración pre-vista, en años, de la relación:

8 + 0,5Y − 0,2P + 0,9Hm + 0,3Hf + J − 0,3G − 0,5 (Sm − Sf) 2 + I + 1,5CEn la expresión anterior:Y: número de años que llevan conociéndose los dos miembros de la pareja antes de iniciar una relación.P: número de parejas anteriores que suman las dos personas.Hm y Hf: importancia que el hombre (m) y la mujer (f) atribuye a la honestidad en la relación.J: suma de la importancia que ambos atribuyen al sentido del humor.G: suma de la importancia que ambos atribuyen a la apariencia física Sm y Sf: importancia que el hombre (m) y la mujer (f) atribuyen al sexo.I: suma de la importancia atribuida a tener buenas relaciones con los familiares.C: suma de la importancia que se atribuye a tener niños.Todas las medidas de «importancia» se califican de 1 a 5, donde 1 significa «no es importante en absoluto», y 5, «es muy importante».

Fuente: elperiodico.es

O X

Y

x² + (y – ³√x²)² = 1

Calcula el tiempo, en años, de la relación entre Rosalía y Julián si sus datos en la encuesta son estos.

Y P Hm/f J G Sm/f I C

Rosalía1,5

3 4 3 3 3 3 3

Julián 2 4 2 3 3 4 2

Duración: 8 + 0,5 ⋅ 1,5 − 0,2 ⋅ 5 + 0,9 ⋅ 4 + 0,3 ⋅ 4 + 5 − 0,3 ⋅ 6 − 0,5 ⋅ (3 − 3) ⋅ 2 + 7 + 1,5 ⋅ 5 = = 8 + 0,75 − 1 + 3,6 + 1,2 + 5 − 1,8 − 0 + 7 + 7,5 = 30,25 años

Analiza50 Escribe la expresión algebraica que corresponde a cada una de estas oraciones.

a) El doble de un número al que se le suma uno.

b) El doble de un número más uno.

a) 2x + 1

b) 2(x + 1)




En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Utilizar el lenguaje algebraico.

❚❚ Hallar el valor numérico de una expresión algebraica.

❚❚ Reconocer monomios y polinomios como expresiones algebraicas, así como sus términos y su grado.

❚❚ Realizar sumas, restas y multiplicaciones de polinomios.

Actividades finalesSoluciones de las actividades51 Traduce a lenguaje algebraico.

a) La suma de un número y su doble. c) El doble de un número más cuatro.

b) El doble de la suma de un número más tres. d) La suma del doble de un número y su triple.

a) x + 2x b) 2(x + 3) c) 2x + 4 d) 2x + 3x52 Expresa estas situaciones en lenguaje algebraico.

a) La mitad de un número más el triple de otro.

b) La suma de un número más el siguiente.

c) El cuadrado de un número menos el cuadrado de la mitad de otro número.

d) La raíz cuadrada de la suma de dos números.

a) x

2+ 3 y b) x + (x + 1) c) x2 −

y

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

d) x + y

¿Qué tienes que saber?

68 69

¿QUÉ3 tienes que saber? Actividades Finales 3

Expresiones algebraicasTen en cuenta

❚ El lenguaje algebraico expresa la información con letras, números y operaciones matemáticas.

❚ El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene al sustituir las letras por su valor y realizar las operaciones indicadas.

Traduce a lenguaje algebraico el doble de un número más el cuadrado de otro.

El doble de un número (x) más el cuadrado de otro (y) → 2x + y2

Calcula su valor numérico para x = −2 e y = 3.

2x + y2 x=−2 y=3⎯ →⎯⎯⎯⎯ 2 ⋅ (−2) + 32 = −4 + 9 = 5

Monomios y polinomiosTen en cuenta

❚ Un monomio es el producto de un número (coeficiente) por una o diversas variables con exponente natural (parte literal). Su grado es la suma de los exponentes de las variables.

❚ Un polinomio es la suma de dos o más monomios no semejantes. Los términos del polinomio son los monomios que lo forman. El grado del polinomio es el mayor de los grados de los términos.

Clasifica las siguientes expresiones algebraicas en monomios o polinomios. Escribe su grado y sus elementos principales.

5x2 − 3x + 7 6xy2 4 x2 yz5

3

❚ Monomios: 6xy2 → Coeficiente: 6; parte literal: xy2; grado: 1 + 2 = 3

4 x2 yz5

3 → Coeficiente:

4

3; parte literal: x2yz5; grado: 2 + 1 + 5 = 8

❚ Polinomio: 5x2 − 3x + 7 → Términos: 5x2, −3x, 7; grado: 2

Suma y resta de polinomiosTen en cuenta

❚ Para sumar polinomios, se suman los monomios semejantes y se deja indicada la suma de los no semejantes.

❚ El opuesto de un polinomio es otro polinomio que, al sumarlo al primero, lo anula.

❚ Para restar polinomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Realiza la siguiente operación con polinomios.

5x3 − 3x2 + 7x − 3( )− x4 −5x2 + 6x + 7( ) + −5x4 + 3x2 − 3x + 2( )

Colocamos los términos semejantes uno debajo del otro y transformando las restas en sumas del opuesto.

5x3 − 3x2 + 7x − 3

− x4 + 5x2 − 6x − 7

− 5x4 + 3x2 − 3x + 2

− 6x4 + 5x3 + 5x2 − 2x − 8

Multiplicación de polinomiosTen en cuenta

Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término de uno de los factores por todos los términos del otro factor. Después, se suman los términos semejantes.

Calcula esta multiplicación: x4 −5x2 − 3x + 4( ) ⋅ 3x2 − 2( )

x4 − 5x2 − 3x + 4

3x2 − 2

− 2x4 + 10x2 + 6x − 83x6 − 15x4 − 9x3 + 12x2

3x6 − 17x4 − 9x3 + 22x2 + 6x − 8

Expresiones algebraicas

Traduce a lenguaje algebraico.

a) La suma de un número y su doble.

b) El doble de la suma de un número más tres.

c) El doble de un número más cuatro.

d) La suma del doble de un número y su triple.

Expresa estas situaciones en lenguaje algebraico.

a) La mitad de un número más el triple de otro.

b) La suma de un número más el siguiente.

c) El cuadrado de un número menos el cuadrado de la mitad de otro número.

d) La raíz cuadrada de la suma de dos números.

Escribe la expresión algebraica que corresponde en cada caso.

a) Un número par.

b) Un número impar.

c) Un número múltiplo de 2 y de 3.

d) Un número positivo.

Escribe las expresiones algebraicas que calculan el área y el perímetro de estas figuras.

a)

x

x

1 cm2 cm

c)

x

x

y

y

b)

x

x

y—3y—2

y

x

3x

6x

d)

x –1

y

x

y—2

Calcula el valor numérico de estas expresiones para los valores indicados.

a) 3xy2 − x2y para x = 2 e y = −2

b) 3x + 2 y

6 para x = 3 e y = −1

c) x

2+y

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ para x = −1 e y = 2

d) x2 + y2 para x = 3 e y = −4

e) x + y

x − y para x = 2 e y = −2

51

52

53

54

55

Monomios. Operaciones

Indica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son monomios.

a) 2b − a d) 25x3y5z

b) 2x2y e) 1

2xy3

c) x

2 y f)

3xy

2

Copia y completa esta tabla en tu cuaderno.

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

3xy2 O O O

O1

2a2b5 O

2abc3

3O O O

O 12 xy4z2 O

Escribe el coeficiente, la parte literal y el grado de estos monomios.

a) 3xy2 d) a2b5

b) 12z e) 2abc3

3

c) 1

2xy f) 4x

Indica qué parejas son monomios semejantes.

a) 3xy, 2yx d) 4xy2, −7y2x

b) 2ab3

3, 3ac3

2 e) 7x2y2, 3xy

c) 5xy2z, −y2zx f) 32ab2, −ba2

Resuelve estas sumas y restas de monomios.

a) 5xy + 7yx − 3xy − xy

b) −2ab2 + 6ab2 − 5ab2 + ab2

c) 12x3y + yx3 − x3y − 20yx3

d) 2ab

3+3

5ab− ba +

7

15ba

Simplifica estas expresiones.

a) 3x − 15x2 + x − 8x + 3x2

b) 12xy2 + 7xy − 10xy + 3x2y − 7xy2

c) 5xyz + 12xy − 7yzx + 3zx − 15yx + 2yz

Reduce estas expresiones.

a) x

3+5

6x2 − x2 −

3

4x + x

b) 5

6ab−

ba

4+ 2ab2 − ba2 −

7

5b2a

56

57

58

59

60

61

62

97



53 Escribe la expresión algebraica que corresponde en cada caso.

a) Un número par. c) Un número múltiplo de 2 y de 3.

b) Un número impar. d) Un número positivo.

a) 2x c) 6x

b) 2x + 1 d) |x|54 Escribe las expresiones algebraicas que calculan el área y el perímetro de estas figuras.

a)

x

x

1 cm2 cm

b)

x

x

y—3y—2

y

x

3x

6x

c)

x

x

y

y

d) x –1

y

x

y—2

a) Área = x2 − 2; Perímetro = x + x + 1 + 1 + 2 + x − 1 = 3x + 3

b) Área = 3x ⋅y

3+ 2x ⋅

y

2+ x ⋅ y = xy + xy + xy = 3xy ; Perímetro = 2 ⋅ (3x + 6x) = 18x

c) Área = x2 − y2; Perímetro = 4x + 4y

d) Área = xy − ( x −1) ⋅y

2= xy −

xy

2+y

2=

y ( x + 1)

2; Perímetro = 2x + 2y + y + 2(x − 1) = 4x + 3y − 2

55 Calcula el valor numérico de estas expresiones para los valores indicados.

a) 3xy2 − x2y para x = 2 e y = −2 d) x2 + y2 para x = 3 e y = −4

b) 3x + 2 y

6 para x = 3 e y = −1 e)

x + y

x − y para x = 2 e y = −2

c) x

2+y

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ para x = −1 e y = 2

a) 3 ⋅ 2 ⋅ (−2)2 − 22 ⋅ (−2) = 24 + 8 = 32 d) 32 + (−4)2 = 9 + 16 = 25 = ±5

b) 3 ⋅3 + 2 ⋅ (−1)

6=9− 2

6=7

6 e)

2 + (−2)

2− (−2)=0

4= 0

c) −1

2+2

3=−3

6+4

6=1

6

56 Indica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son monomios.

a) 2b − a b) 2x2y c) x

2 y d) 25x3y5z e)

1

2xy3 f)

3xy

2

Son monomios las expresiones de los apartados b), d), e) y f).57 Copia y completa esta tabla en tu cuaderno.


3xy2 § § §

§1

2a2b5 §

2abc3

3§ § §

§ 12 xy4z2 §


3xy2 3 xy2 3

a2b5

2

1

2a2b5 7

2abc3

3

2

3abc3 5

12xy4z2 12 xy4z2 7



58 Escribe el coeficiente, la parte literal y el grado de estos monomios.

a) 3xy2 b) 12z c) 1

2xy d) a2b5 e)

2abc3

3 f) 4x

a) Coeficiente: 3; Parte literal: xy2; Grado: 3 d) Coeficiente: 1; Parte literal: a2b5; Grado: 7

b) Coeficiente: 12; Parte literal: z; Grado: 1 e) Coeficiente: 2

3; Parte literal: abc3; Grado: 5

c) Coeficiente: 1

2; Parte literal: xy; Grado: 2 f) Coeficiente: 4; Parte literal: x; Grado: 1

59 Indica qué parejas son monomios semejantes.

a) 3xy, 2yx c) 5xy2z, −y2zx e) 7x2y2, 3xy

b) 2abc3

3, 3ac3

2 d) 4xy2, −7y2x f) 32ab2, −ba2

Son semejantes las parejas de monomios de los apartados a), c) y d).60 Resuelve estas sumas y restas de monomios.

a) 5xy + 7yx − 3xy − xy c) 12x3y + yx3 − x3y − 20yx3

b) −2ab2 + 6ab2 − 5ab2 + ab2 d) 2ab

3+3

5ab− ba +

7

15ba

a) 8xy c) −8x3y

b) 0 d) 2

3+3

5−1+

7

15

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ab =

10

15+

9

15−15

15+

7

15

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ab =

11

15ab

61 Simplifica estas expresiones.

a) 3x − 15x2 + x − 8x + 3x2

b) 12xy2 + 7xy − 10xy + 3x2y − 7xy2

c) 5xyz + 12xy − 7yzx + 3zx − 15yx + 2yz

a) −12x2 − 4x b) 5xy2 + 3x2y − 3xy c) −2xyz − 3xy + 3xz + 2yz62 Reduce estas expresiones.

a) x

3+5

6x2 − x2 −

3

4x + x b)

5

6ab−

ba

4+ 2ab2 − ba2 −

7

5b2a

a) 5

6−1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟x2 +

1

3−

3

4+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟x = −

1

6x2 +

4

12−

9

12+12

12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟x = −

1

6x2 +

7

12x

b) 5

6−

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ab + 2−

7

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ab2 − ba2 =

10

12−

3

12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ab +

10

5−

7

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ab2 − ba2 =

7

12ab +

3

5ab2 − ba2

99



63 Calcula estos productos de monomios.

a) 5x2 ⋅ (3xy) c) 7 xyz( ) ⋅ −3x2 y3z( ) e) 3

4x2 y ⋅ −2xy3( )

b) −6 xy2( ) ⋅ x3

d) (−2ab) ⋅ 3a2b f) −5

14xy2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅−7

5xy3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

a) 15x3y b) −2x2y2 c) −21x3y4z2 d) −6a3b2 e) −3

2x3 y 4 f)

x2 y5

2

64 Realiza, si es posible, los siguientes cocientes de monomios.

a) 9 x3 y : −3x2( ) c) 7xy : 3x e)

−x2 y5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟: −3xy3( )

b) 2

5x5 y2 :

−10

3xy

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ d) −12ab4( ) : −5ab2( ) f) −7a3b2c4( ) : −3ab2c( )

a) −3xy c) 7

3y e)

xy2

6

b) −3

25x4 y d)

12

5b2 f)

7

3a2c3

65 Copia en tu cuaderno y completa los monomios que faltan.

a) 3x2 ⋅ § = 15x3y c) § : 9ab2 = 2a2

b) 7xyz2 : § = 7z2 d) § ⋅ 2xz3 = 6x2y2z3

a) 3x2 ⋅ 5xy = 15x3y c) 18a3b2 : 9ab2 = 2a2

b) 7xyz2 : xy = 7z2 d) 3xy2 ⋅ 2xz3 = 6x2y2z3

71

Actividades Finales 3

70


Calcula estos productos de monomios.

a) 5 x2 ⋅ 3xy( ) d) −2ab( ) ⋅3a2b

b) −6 xy2( ) ⋅ x3

e) 3

4x2 y ⋅ −2xy3( )

c) 7 xyz( ) ⋅ −3x2 y3z( ) f) −5

14xy2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅−7

5xy3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Realiza, si es posible, los siguientes cocientes de monomios.

a) 9 x3 y : −3x2( ) d) −12ab4( ) : −5ab2( )

b) 2

5x5 y2 :

−10

3xy

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ e)

−x2 y5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ : −3xy

3( )

c) 7xy : 3x f) −7a3b2c4( ) : −3ab2c( )

Copia en tu cuaderno y completa los monomios que faltan.a) 3x2 ⋅ § = 15x3yb) 7xyz2 : § = 7 z2

c) § : 9ab2 = 2a2

d) § ⋅ 2xz3 = 6x2y2z3

Expresa estas expresiones sin paréntesis.

a) 5 x2 ⋅ 3x − 2xy + 7 x2( )b) −12x2 y( ) ⋅ 6 x − 3 y + xy( )

c) −abc( ) ⋅ 2a + 3bc − 2a2c + abc( )

d) xz2 ⋅ −3zx + y − x3z + 4 xzy( )

Polinomios

Clasifica según sean monomios, polinomios o expresiones algebraicas.a) xy2 d) x2 + 2x −1 g) 3xy + 5xy

b) 2

x e) −

xy2

z h) x + 1

c) 3xy + 1 f) a

2+a2

3 i) ab + 2a − 2b

Escribe los términos y el grado en cada expresión.a) A(x) = 3x2 − 6x3 − 12x + 4b) B(x, y) = 2x − 3x2y + 5y3 − 7c) C(a, b) = 2a − b3 + ab + 5a2b3

d) D(z) = 3 − 2z + z4 − 5z7

Reduce estas expresiones.a) 3x2 + 2x − 4x − 5 + 7x2 − x b) 12xy + x2 − 3xy + y2 − 5y2 − x2 + 2c) ab2 − 7a2 + 2a − a2 + ab − 7ab

d) x

2− x2 + x −

3

4x2 +

5

4

63

64

65

66

67

68

69

Escribe los polinomios que cumplan las condiciones que se indican.

Copia y completa esta tabla.

x = 1 x = −1 x = −2

P(x) = 3x2 − 2x + 1 O O O

P(x) = −2

3x2 + 3x − 1 O O O

P(x) =

x3

2−

3

4x +

1

6O O O

P(x) = −2x3

3+ 3x2 −

1

4O O O

Halla los valores numéricos de los siguientes polinomios.a) P(x, y) = 3x2 − 2xy + xy2

para x = −2 e y = 3b) P(x, y, z) = yz − xy2 + x2z para x = 2, y = −1 y z = 1

c) P(a, b) = −ab

2+ 3a2 −

3

4b

para a = −2 y b = −1

Operaciones con polinomios

Copia y realiza las siguientes sumas de polinomios.

a) 3x2 + 2x −5( ) + 5 x2 − 4 x + 2( )

b) 7 x5 − 3x4 + 2x2 − 6( ) + 4 x4 − 3x3 − 2x2 + x( )

c) 5 x4 + 3x2 + 1( ) + 8 x3 − 6 x − 2( )

Calcula las restas de polinomios propuestas.

a) 3x5 - 4 x3 + 2x2 - 2( )- x4 + 4 x3 -7 x2 + x( )

b) −x3 + 3x2 − 8 x + 3( )− x4 + 5 x2 −7 x + 1( )

c) 12x5 - 3x4 + x3 -1( )- x4 + 3x2 - 2x + 5( )

Realiza estas operaciones con los polinomios P(x) = 6x2 − x + 2 y Q(x) = 5x3 − 2x2 + 5x − 6.a) P(x) + Q(x) c) Q(x) − P(x)b) P(x) − Q(x) d) P(x) + P(x)

70

71

72

73

74

75

a) Tiene grado 3; el coeficiente de

grado 2 es −5.b) Tiene grado 2; el coeficiente de

grado 1 es −3.c) Tiene grado 3; el coeficiente de

grado 3 es −3.d) Tiene grado 2; solo tiene dos

términos.

Copia y completa los polinomios que faltan en estas operaciones.

a) § + 2x3 − 3x2 + 3x −5( ) == 7 x4 + 2x3 − 8 x2 − 2

b) 12x2 − 6 x + 1( )−§ == −3x3 + 8 x2 − 3x − 4

c) §− x4 − 2x + 1( ) == 3x5 − x4 −5 x2 + 5 x − 2

d) 7 x3 − 3x2 + 2x − 3( )−§ == 7 x3 + 3x − 4

Resuelve las operaciones que se indican.

a) A(x) + B(x) + C(x) c) A(x) − B(x) + C(x)b) B(x) − C(x) + A(x) d) C(x) − B(x) − A(x)

Realiza estas multiplicaciones.

a) 4 x4 + 3x3 −5 x2 − 2( ) ⋅ −3( )

b) −2( ) ⋅ −x3 + x2 − 3x −1( )

c) 6 x4 + 4 x3 − 2x2 + 2x − 8( ) ⋅3

2

d) 1

2⋅2

3x2 − 4 x +

4

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Opera.

a) x4 + 2x3 − 3x2 −1( ) ⋅ −2x2( )

b) −x( ) ⋅ −x4 − 2x3 + 3x2 − x −1( )

c) 2x4 − 4 x2 + 8 x − 4( ) ⋅1

2x3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

d) 2

3x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

3

2x2 + 2x +

3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Resuelve.

a) 3x −1( ) ⋅ 6 x2 − 2x − 3( )

b) 5 x2 + 2x − 3( ) ⋅ 2x2 − 3( )

c) −x + 2( ) ⋅ −x4 −7 x3 + 3x2 − 3( )

d) −2x3 − 4 x2 + 7 x − 3( ) ⋅ −3x2 + 1( )

Realiza.

a) x2 − 3x( ) ⋅ 5 x4 − 2x2 − 3( )

b) −x5 + 3x4 − x + 7( ) ⋅ 2x2 − x( )

c) −x2 + 3( ) ⋅ −x4 + 2x2 − 4 x + 1( )

d) -x5 -5 x3 + 2x - 3( ) ◊ -2x2 - 3( )

76

77

78

79

80

81

Desarrolla estas expresiones.

a) x2 + 2x + 3( )2 c) −x2 + 2x − 3( )2

b) x2 + 2x − 3( )2 d) −x2 − 2x − 3( )2

Aplica la fórmula para desarrollar los siguientes binomios al cuadrado.

a) x + 2( )2 c) x2 − 2( )2

b) x − 3( )2 d) x2 + 3( )2

Desarrolla estos binomios al cuadrado.

a) 3x + 4( )2 c) 2x2 − 3x( )2

b) 3− 2x2( )2 d) 5 x2 + 2x( )2

Copia y completa los términos que faltan en estos desarrollos.

a) 3x + §( )2 = § + 24 x + 16

b) §- 3( )2 = x2 + §-§

c) §- 2x( )2 = 25 + 4 x2 -§

Calcula estas operaciones con polinomios.

a) 6 x3 − x + 3( ) + 3x −1( ) ⋅ 4 x2 − 3x + 2( )

b) 12x4 − 3x2 + 5( )− x2 − 4 x + 1( ) ⋅ 2x2 − 3( )

c) x −1( ) ⋅ 2x − 3( ) + x − 2( ) ⋅ 3x2 − 2x + 4( )

Problemas con polinomios

Juan es comercial de una empresa de electrodomésticos. Su sueldo es de 450 € fijos más 50 € por cada electrodoméstico que venda. ¿Cuál es la expresión algebraica que permite calcular su sueldo?

Escribe la expresión algebraica del número de ruedas que hay en un parking con motos y coches.

Una empresa calcula el precio de fabricación y de vent al público para x artículos.F(x) = (100 − 0,1x) ⋅ x V(x) = (150 − 0,2x) ⋅ xa) ¿Cuál es el precio de fabricación y de venta de

100 artículos?b) ¿Cuál es la expresión que nos da los ingresos

para x artículos?

Escribe la expresión algebraica que indica el volumen del siguiente cuerpo.

x—2

x

x

x

2x

82

83

84

85

86

87

88

89

90

A(x) = −3x3 − 6x + 3B(x) = −x4 + 2x2 − 5x − 7

C(x) = 2x3 − 7x2 + 3x − 1

D(x) = −5x4 + 3x3 − 7x2 + 1



66 Expresa estas expresiones sin paréntesis.

a) 5 x2 ⋅ 3x − 2xy + 7 x2( ) c) −abc( ) ⋅ 2a + 3bc − 2a2c + abc( )

b) −12x2 y( ) ⋅ 6 x − 3 y + xy( ) d) xz2 ⋅ −3zx + y − x3z + 4 xzy( )a) 15x3 − 10x3y + 35x4 c) −2a2bc − 3ab2c2 + 2a3bc2 − a2b2c2

b) −72x3y + 36x2y2 − 12x3y2 d) −3x2z3 + xyz2 − x4z3 + 4x2yz3

67 Clasifica según sean monomios, polinomios o expresiones algebraicas.

a) xy2 c) 3xy + 1 e) −xy2

z g) 3xy + 5xy i) ab + 2a − 2b

b) 2

x d) x2 + 2x − 1 f)

a

2+a2

3 h) x + 1

Es un monomio la expresión del apartado a).

Son polinomios las expresiones de los apartados c), d), f), g) e i).

Son expresiones algebraicas las expresiones de los apartados b), e) y h).68 Escribe los términos y el grado en cada expresión.

a) A(x) = 3x2 − 6x3 − 12x + 4 c) C(a, b) = 2a − b3 + ab + 5a2b3

b) B(x, y) = 2x − 3x2y + 5y3 − 7 d) D(z) = 3 − 2z + z4 − 5z7

a) Términos: 3x2, −6x3, −12x, 4; Grado: 3 c) Términos: 2a, −b3, ab, 5a2b3; Grado: 5

b) Términos: 2x, −3x2y, 5y3, −7; Grado: 3 d) Términos: 3, −2z, z4, −5z7; Grado: 769 Reduce estas expresiones.

a) 3x2 + 2x − 4x − 5 + 7x2 − x c) ab2 − 7a2 + 2a − a2 + ab − 7ab

b) 12xy + x2 − 3xy + y2 − 5y2 − x2 + 2 d) x

2− x2 + x −

3

4x2 +

5

4

a) 10x2 − 3x − 5 c) −8a2 + ab2 − 6ab + 2a

b) −4y2 + 9xy + 2 d) −1−3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟x2 +

1

2+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟x +

5

4= −

7

4x2 +

3

2x +

5

4

70 Escribe los polinomos que cumplan las condiciones que se indican.

a) Tiene grado 3; el coeficiente de grado 2 es −5.

b) Tiene grado 2; el coeficiente de grado 1 es −3.

c) Tiene grado 3; el coeficiente de grado 3 es −3.

d) Tiene grado 2; solo tiene dos términos.

Respuesta abierta. Por ejemplo:

a) 4x3 − 5x2 + 1

b) x2 − 3x + 1

c) −3x3 + 1

d) x2 + 1

71 Copia y completa esta tabla.

x = 1 x = −1 x = −2

P(x) = 3x2 − 2x + 1 § § §

P (x) = −2

3x2 + 3x −1 § § §

P (x) =x3

2−

3

4x +

1

6§ § §

P (x) = −2x3

3+ 3x2 −

1

4§ § §

x = 1 x = −1 x = −2

P(x) = 3x2 − 2x + 1 2 6 17

P (x) = −2

3x2 + 3x −1 4

3−14

3−29

3

P (x) =x3

2−

3

4x +

1

6−

1

12

5

12−7

3

P (x) = −2x3

3+ 3x2 −

1

4

25

12

41

12

205

12

101



72 Halla los valores numéricos de los siguientes polinomios.

a) P(x, y) = 3x2 − 2xy + xy2 para x = −2 e y = 3

b) P(x, y, z) = yz − xy2 + x2z para x = 2, y = −1 y z = 1

c) P (a, b ) = −ab

2+ 3a2 −

3

4b para a = −2 y b = −1

a) P(−2, 3) = 3 ⋅ (−2)2 − 2 ⋅ (−2) ⋅ 3 + (−2) ⋅ 32 = 12 + 12 − 18 = 6

b) P(2, −1, 1) = −1 ⋅ 1 − 2 ⋅ (−1)2 + 22 ⋅ 1 = −1 − 2 + 4 = 1

c) P (−2,−1) = −(−2) ⋅ (−1)

2+ 3 ⋅ (−2)2 −

3

4⋅ (−1) = −1+ 12 +

3

4=47

4

73 Copia y realiza las siguientes sumas de polinomios.

a) 3x2 + 2x −5( ) + 5 x2 − 4 x + 2( )

b) 7 x5 − 3x4 + 2x2 − 6( ) + 4 x4 − 3x3 − 2x2 + x( )

c) 5 x4 + 3x2 + 1( ) + 8 x3 − 6 x − 2( )

a) 8x2 − 2x − 3

b) 7x5 + x4 − 3x3 + x − 6

c) 5x4 + 8x3 + 3x2 − 6x − 174 Calcula las restas de polinomios propuestas.

a) 3x5 − 4 x3 + 2x2 − 2( )− x4 + 4 x3 −7 x2 + x( )

b) −x3 + 3x2 − 8 x + 3( )− x4 + 5 x2 −7 x + 1( )

c) 12x5 − 3x4 + x3 −1( )− x4 + 3x2 − 2x + 5( )

a) 3x5 − 4x3 + 2x2 − 2 − x4 − 4x3 + 7x2 − x = 3x5 − x4 − 8x3 + 9x2 − x − 2

b) −x3 + 3x2 − 8x + 3 − x4 − 5x2 + 7x − 1 = −x4 −x3 − 2x2 −x + 2

c) 12x5 − 3x4 + x3 − 1 − x4 − 3x2 + 2x − 5 = 12x5 − 4x4 + x3 − 3x2 + 2x − 675 Realiza estas operaciones con los polinomios P(x) = 6x2 − x + 2 y Q(x) = 5x3 − 2x2 + 5x − 6.

a) P(x) + Q(x) b) P(x) − Q(x) c) Q(x) − P(x) d) P(x) + P(x)

a) 6x2 − x + 2 + 5x3 − 2x2 + 5x − 6 = 5x3 + 4x2 + 4x − 4

b) 6x2 − x + 2 − 5x3 + 2x2 − 5x + 6 = −5x3 + 8x2 − 6x + 8

c) 5x3 − 2x2 + 5x − 6 − 6x2 + x − 2 = 5x3 − 8x2 + 6x − 8

d) 6x2 − x + 2 + 6x2 − x + 2 = 12x2 − 2x + 476 Copia y completa los polinomios que faltan en estas operaciones.

a) § + 2x3 − 3x2 + 3x −5( ) = 7 x4 + 2x3 − 8 x2 − 2

b) 12x2 − 6 x + 1( )−§= −3x3 + 8 x2 − 3x − 4

c) §− x4 − 2x + 1( ) = 3x5 − x4 −5 x2 + 5 x − 2

d) 7 x3 − 3x2 + 2x − 3( )−§= 7 x3 + 3x − 4

a) 7 x4 −5 x2 − 3x + 3( ) + 2x3 − 3x2 + 3x −5( ) = 7 x4 + 2x3 − 8 x2 − 2

b) 12x2 − 6 x + 1( )− 3x3 + 4 x2 − 3x + 5( ) = −3x3 + 8 x2 − 3x − 4

c) 3x5 −5 x2 + 3x −1( )− x4 − 2x + 1( ) = 3x5 − x4 −5 x2 + 5 x − 2

d) 7 x3 − 3x2 + 2x − 3( )− 3x2 − x + 1( ) = 7 x3 + 3x − 4



77 Resuelve las operaciones que se indican.

A(x) = −3x3 − 6x + 3B(x) = −x4 + 2x2 − 5x − 7

C(x) = 2x3 − 7x2 + 3x − 1

D(x) = −5x4 + 3x3 − 7x2 + 1

a) A(x) + B(x) + C(x) b) B(x) − C(x) + A(x) c) A(x) − B(x) + C(x) d) C(x) − B(x) − A(x)

a) −3x3 − 6x + 3 − x4 + 2x2 − 5x − 7 + 2x3 − 7x2 + 3x − 1 = −x4 − x3 − 5x2 − 8x − 5

b) −x4 + 2x2 − 5x − 7 − 2x3 + 7x2 − 3x + 1 − 3x3 − 6x + 3 = −x4 − 5x3 + 9x2 − 14x − 3

c) −3x3 − 6x + 3 + x4 − 2x2 + 5x + 7 + 2x3 − 7x2 + 3x − 1 = x4 − x3 − 9x2 + 2x + 9

d) 2x3 − 7x2 + 3x − 1 + x4 − 2x2 + 5x + 7 + 3x3 + 6x − 3 = x4 + 5x3 − 9x2 + 14x + 3 78 Realiza estas multiplicaciones.

a) 4 x4 + 3x3 −5 x2 − 2( ) ⋅ −3( ) c) 6 x4 + 4 x3 − 2x2 + 2x − 8( ) ⋅3

2

b) −2( ) ⋅ −x3 + x2 − 3x −1( ) d) 1

2⋅2

3x2 − 4 x +

4

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

a) −12x4 − 9x3 + 15x2 + 6 c) 9x4 + 6x3 − 3x2 + 3x − 12

b) 2x3 − 2x2 + 6x + 2 d) 1

3x2 − 2x +

2

5

79 Opera.

a) x4 + 2x3 − 3x2 −1( ) ⋅ −2x2( ) c) 2x4 − 4 x2 + 8 x − 4( ) ⋅1

2x3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) −x( ) ⋅ −x4 − 2x3 + 3x2 − x −1( ) d) 2

3x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

3

2x2 + 2x +

3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

a) −2x6 − 4x5 + 6x4 + 2x2 c) x7 − 2x5 + 4x4 − 2x3

b) x5 + 2x4 − 3x3 + x2 + x d) −x3 +4

3x2 +

1

2x

80 Resuelve.

a) 3x −1( ) ⋅ 6 x2 − 2x − 3( ) c) −x + 2( ) ⋅ −x4 −7 x3 + 3x2 − 3( )

b) 5 x2 + 2x − 3( ) ⋅ 2x2 − 3( ) d) −2x3 − 4 x2 + 7 x − 3( ) ⋅ −3x2 + 1( )

a) 18x3 − 6x2 − 9x − 6x2 + 2x + 3 = 18x3 − 12x2 − 7x + 3

b) 10x4 − 15x2 + 4x3 − 6x − 6x2 + 9 = 10x4 + 4x3 − 21x2 − 6x + 9

c) x5 + 7x4 − 3x3 + 3x − 2x4 − 14x3 + 6x2 − 6 = x5 + 5x4 − 17x3 + 6x2 + 3x − 6

d) 6x5 − 2x3 + 12x4 − 4x2 − 21x3 + 7x + 9x2 − 3 = 6x5 + 12x4 − 23x3 + 5x2 + 7x − 3

81 Realiza.

a) x2 − 3x( ) ⋅ 5 x4 − 2x2 − 3( ) c) −x2 + 3( ) ⋅ −x4 + 2x2 − 4 x + 1( )

b) −x5 + 3x4 − x + 7( ) ⋅ 2x2 − x( ) d) −x5 −5 x3 + 2x − 3( ) ⋅ −2x2 − 3( )

a) 5x6 − 15x5 − 2x4 + 6x3 − 3x2 + 9x

b) −2x7 + x6 + 6x6 − 3x5 − 2x3 + x2 + 14x2 − 7x = −2x7 + 7x6 − 3x5 − 2x3 + 15x2 − 7x

c) x6 − 2x4 + 4x3 − x2 − 3x4 + 6x2 − 12x + 3 = x6 − 5x4 + 4x3 + 5x2 − 12x + 3

d) 2x7 + 3x5 + 10x5 + 15x3 − 4x3 − 6x + 6x2 + 9 = 2x7 + 13x5 + 11x3 + 6x2 − 6x + 9

103



82 Desarrolla estas expresiones.

a) x2 + 2x + 3( )2 b) x2 + 2x − 3( )2 c) −x2 + 2x − 3( )2 d) −x2 − 2x − 3( )2

a) x2 + 2x + 3( ) ⋅ x2 + 2x + 3( ) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x3 + 4x2 + 6x + 3x2 + 6x + 9 = x4 + 4x3 + 10x2 + 12x + 9

b) x2 + 2x − 3( ) ⋅ x2 + 2x − 3( ) = x4 + 2x3 − 3x2 + 2x3 + 4x2 − 6x − 3x2 − 6x + 9 = x4 + 4x3 − 2x2 − 12x + 9

c) −x2 + 2x − 3( ) ⋅ −x2 + 2x − 3( ) = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x3 + 4x2 − 6x + 3x2 − 6x + 9 = x4 − 4x3 + 10x2 − 12x + 9

d) −x2 − 2x − 3( ) ⋅ −x2 − 2x − 3( ) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x3 + 4x2 + 6x + 3x2 + 6x + 9 = x4 + 4x3 + 10x2 + 12x + 983 Aplica la fórmula para desarrollar los siguientes binomios al cuadrado.

a) x + 2( )2 b) x − 3( )2 c) x2 − 2( )2 d) x2 + 3( )2

a) x2 + 2x + 4 b) x2 − 6x + 9 c) x4 − 4x2 + 4 d) x4 + 6x2 + 984 Desarrolla estos binomios al cuadrado.

a) 3x + 4( )2 b) 3− 2x2( )2 c) 2x2 − 3x( )2 d) 5 x2 + 2x( )2

a) 9x2 + 24x + 16 b) 9 − 12x2 + 4x4 c) 4x4 − 12x3 + 9x2 d) 25x4 + 20x3 + 4x2

85 Copia y completa los términos que faltan en estos desarrollos.

a) 3x + §( )2 = § + 24 x + 16 c) §− 3( )2 = x2 + §−§ c) §− 2x( )2 = 25 + 4 x2 −§

a) 3x + 4( )2 = 9 x2 + 24 x + 16 b) x − 3( )2 = x2 + 9− 6 x c) 5− 2x( )2 = 25 + 4 x2 − 20 x

86 Calcula estas operaciones con polinomios.

a) 6 x3 − x + 3( ) + 3x −1( ) ⋅ 4 x2 − 3x + 2( )

b) 12x4 − 3x2 + 5( )− x2 − 4 x + 1( ) ⋅ 2x2 − 3( )

c) x −1( ) ⋅ 2x − 3( ) + x − 2( ) ⋅ 3x2 − 2x + 4( )

a) 6x3 − x + 3 + 12x3 − 9x2 + 6x − 4x2 + 3x − 2 = 18x3 − 13x2 + 8x + 1

b) 12x4 − 3x2 + 5− 2x4 − 3x2 − 8 x3 + 12x + 2x2 − 3( ) = 10 x4 + 8 x3 − 2x2 −12x + 8

c) 2x2 − 3x − 2x + 3( ) + 3x3 − 2x2 + 4 x − 6 x2 + 4 x − 8( ) = 3x3 − 6 x2 + 3x −587 Juan es comercial de una empresa de electrodomésticos. Su sueldo es de 450 € fijos más 50 € por cada electrodoméstico

que venda. ¿Cuál es la expresión algebraica que permite calcular su sueldo?

Llamamos x al número de electrodomésticos que vende Juan.

Entonces su sueldo es 450 + 50x euros.88 Escribe la expresión algebraica del número de ruedas que hay en un parking con motos y coches.

Llamamos x al número de coches e y al número de motos.

Entonces, el número de ruedas es 4x + 2y.89 Una empresa calcula el precio de fabricación y de venta al público para x artículos.

F(x) = (100 − 0,1x) ⋅ x V(x) = (150 − 0,2x) ⋅ x

a) ¿Cuál es el precio de fabricación y de venta de 100 artículos?

b) ¿Cuál es la expresión que nos da los ingresos para x artículos?

a) F(100) = (100 − 0,1 ⋅ 100) ⋅ 100 = 9 000 €

V(x) = (150 − 0,2 ⋅ 100) ⋅ 100 = 13 000 €

b) I(x) = V(x) − F(x) = (150 − 0,2x) ⋅ x − (100 − 0,1x) ⋅ x = 150x − 0,2x2 − 100x + 0,1x2 = 50x − 0,1x2

90 Escribe la expresión algebraica que indica el volumen del siguiente cuerpo.

x—2

x

x

x

2x

V(x) = x ⋅ x ⋅ x + 2x ⋅ x ⋅ x

2 = x3 + x3 = 2x3 u3



Matemáticas vivas. Facturas básicas


En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana: conocer el consumo real de una factura en la que intervienen expresiones algebraicas.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Resuelve, Utiliza el lenguaje matemático, Piensa y razona o Argumenta.

Para finalizar la sección se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Plantear el trabajo que se va a realizar, de Ferreiro Gravié. Los alumnos realizarán un estudio algebraico sobre la factu-ra del gas. Además, compararán las expresiones algebraicas de esas facturas con las que se utilizan en las facturas de sus casas.

¿Cómo se realizará la tarea? El profesor pedirá a los equipos que precisen su plan de trabajo para conseguir el objetivo de la actividad. Al finalizar, los grupos ponen en común sus planes con el resto de la clase.

Soluciones de las actividades

Comprende1 Uno de los principales servicios básicos de un hogar es la electrici-

dad. El importe de la factura eléctrica depende de varios concep-tos.

a) ¿Cuántos días abarca el período de esta factura?

b) ¿Cuántos kilovatios hora (kWh) se han consumido en este pe-ríodo?

a) Abarca 45 días.

b) Se han consumido 166 kWh.

3 MATEMÁTICAS VIVAS 3Facturas básicas

72 73

Hay facturas fijas que llegan a los hogares con un período mensual, bimestral o trimestral. Se trata de facturas que recogen el importe de consumos básicos del hogar, como el de luz, agua o gas.

A veces, resulta complejo conocer el consumo real en una de estas facturas o calcular el importe de otra factura con un consumo distinto.

Posiblemente, la factura del agua en algunos municipios es la más compleja de calcular, ya que es preciso aplicar varias fórmulas para poder determinar cuánto se tiene que pagar por cada uno de los conceptos.

Por otro lado, cada concepto de la factura se divide, a su vez, en una parte que depende del consumo y otra que está en función del número de días del período de consumo.

A continuación, se muestran las distintas expresiones algebraicas con las que se calculan los diferentes conceptos.

ADUCCIÓNVariable: 0,2968 ⋅ NM

Fijo:0,0178 ⋅ d2 + 225( )

60⋅DP

DISTRIBUCIÓNVariable: 0,1335 ⋅ NM

Fijo:0,0081⋅ d2 + 225( )

60⋅DP

DEPURACIÓNVariable: 0,3115 ⋅ NM

Fijo:3,1402

60◊ DP

ALCANTARILLADOVariable: 0,1094 ⋅ NM

Fijo:1,0712

60◊ DP

d = diámetro del contador expresado en milímetros NM = número de metros cúbicos consumidosDP = días que conforman el período de consumo

a. Comprueba que el importe de cada uno de los cuatro apartados de la factura se corresponde con el consumo de metros cúbicos realizado y el período de facturación que aparece en la factura.

b. El titular de la factura hace una reclamación porque el diámetro del contador que aparece en la factura es de 20 mm, cuando en realidad tiene 15 mm. ¿Cuánto dinero le tienen que devolver?de 20 mm, cuando en realidad tiene 15 mm. ¿Cuánto dinero le tienen que devolver?

RESUELVE

c. Calcula el precio de cada apartado en una factura con un consumo de 7 m3 en un período de 42 días.

d. Las expresiones que aparecen en cada uno de los términos fijos son polinomios o monomios. Escribe los términos de las expresiones que son polinomios, y la parte literal y el coeficiente de las que son monomios.

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

4

REFLEXIONA

TRABAJO

COOPERATIVO

COMPRENDE

Uno de los principales servicios básicos de un hogar es la electricidad. El importe de la fac tura eléctrica depende de varios conceptos.

a. ¿Cuántos días abarca el período de esta factura?

b. ¿Cuántos kilovatios hora (kWh) se han consumido en este período?

La expresión algebraica que calcula el coste de la energía consumida es 0,149 198 ⋅ kWh.

a. ¿Es correcta la aplicación de esta expresión en la factura?

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

b. ¿A cuánto ascendería el precio que habría que pagar por el concepto de energía consumida para un gasto de 132 kWh?

1

2

TAREARealizad un estudio algebraico sobre la factura del otro servicio básico: el gas.Comparad las expresiones algebraicas de las facturas de esta sección con las que se utilizan en las facturas de vuestros hogares.

Uso: Doméstico, 1 vivienda/usosNº contador: 05617892 Diámetro: 20 mmTipo de suministro: ACOMETIDA ÚNICA

LECTURAS Y CONSUMOPeriodo: fecha lectura Lectura ConsumoAnterior Actual Anterior Actual Modo de cálculo m³

02–01–2016 29–02–2016 1 046 1 070 Diferencia de índices 24Fecha de la próxima factura: 03 de abril de 2016Su consumo medio mensual ha sido de 24 m³ El importe diario medio de su factura durante el último periodo ha sido de 0,686 euros.

FACTURAConcepto Importe Importe IVA TOTALADUCCIÓN 18,06 1,81 19,87DISTRIBUCIÓN 8,18 0,82 9,00DEPURACIÓN 10,56 1,06 11,62ALCANTARILLADO 3,68 0,00 3,68Total factura (euros) 40,48 3,69 44,17€ Importe total a pagar 44,17€

FACTURACIÓN EUROS

Potencia contratada 5,5 kW × 45 días × 0,059817 €/kW día 14,80Energía consumida 166 kWh × 0,149198 €/kWh 24,77Impuesto sobre electricidad 4,864% s/39,57 × 1,05113 2,02Alquiler equipos de medida 45 días × 0,0187 €/día 0,84IVA (21% s/42,43) 8,91

IMPORTE TOTAL 51,34

CONSUMO N.º Contador 0086243298 Lectura actual (real) 17/02/2016 44600– Lectura anterior 04/01/2016 –44434

CONSUMO REAL 04/01/2016 a 17/02/2016 166 kWh

1 kilovatio-hora (kWh) equivale al consumo de una lámpara de 100 vatios funcionando durante 10 horas

RESUELVE

RELACIONA

Una nueva empresa le propone al usuario de la vivienda anterior un modelo distinto de facturación basado en la expresión 0,27 ⋅ nd + 0,51 ⋅ kWh. En ella, nd = número de días del período de la factura y kWh = número de kilovatios hora.

a. ¿Crees que es más ventajoso este nuevo método de facturación para el consumo y los días indicados en la factura anterior?

b. En la última factura de una vivienda que dispone de calefacción eléctrica aparece este gráfico con los consumos mensuales del último año. ¿Se trata de un país del hemisferio norte o del hemisferio sur? Explica tu respuesta.

3

PIENSA Y RAZONA300250200150100

500

F A J A DE M M J O NS

hemisferio sur? Explica tu respuesta.

ARGUMENTA

FACTURACIÓN EUROS

Potencia contratada 5,5 kW × 45 días × 0,059817 €/kW día 14,80Energía consumida 166 kWh × 0,149198 €/kWh 24,77Impuesto sobre electricidad 4,864% s/39,57 × 1,05113 2,02Alquiler equipos de medida 45 días × 0,0187 €/día 0,84IVA (21% s/42,43) 8,91

IMPORTE TOTAL 51,34

CONSUMO N.º Contador 0086243298 Lectura actual (real) 17/02/2016 44600– Lectura anterior 04/01/2016 –44434

CONSUMO REAL 04/01/2016 a 17/02/2016 166 kWh

1 kilovatio-hora (kWh) equivale al consumo de una lámpara de 100 vatios funcionando durante 10 horas

105



2 La expresión algebraica que calcula el precio de la energía consumida es 0,149 198 ⋅ kWh.

a) ¿Es correcta la aplicación de esta expresión en la factura?

b) ¿A cuánto ascendería el precio que habría que pagar por el concepto de energía consumida para un gasto de 132 kWh?

a) Sí. 166 ⋅ 0,149 198 = 24,76686... = 24,77 €

b) 132 ⋅ 0,149 198 = 19,6941... = 19,69 €

Relaciona3 Una nueva empresa le propone al usuario de la vivienda anterior un modelo distinto de facturación basado en la expresión

0,027 ⋅ nd + 0,51 ⋅ kWh. En ella, nd = número de días del período de la factura y kWh = número de kilovatios hora.

a) ¿Crees que es más ventajoso este nuevo método de facturación para el consumo y los días indicados en la factura anterior?

b) En la última factura de una vivienda que dispone de calefacción eléctrica aparece este gráfico con los consumos mensuales del último año. ¿Se trata de un país del hemisferio norte o del hemisferio sur? Explica tu respuesta.

a) 0,027 ⋅ 45 + 0,51 ⋅ 166 = 1,215 + 84,66 = 85,875 = 85,88 €

Este método es menos ventajoso.

b) Los gastos de calefacción se concentran en los meses de mayo a agosto.

Por tanto, lo más probable es que se trate de una zona del hemisferio sur.

Reflexiona4 Posiblemente, la factura del agua en algunos municipios es la

más compleja de calcular, ya que es preciso aplicar varias fórmu-las para poder determinar cuánto se tiene que pagar por cada uno de los conceptos.

Por otro lado, cada concepto de la factura se divide, a su vez, en una parte que depende del consumo y otra que está en función del número de días facturados.

A continuación, se muestran las distintas expresiones algebrai-cas con las que se calculan los diferentes conceptos.

d = diámetro del contador expresado en milímetros

NM = número de metros cúbicos consumidos

DP = días que conforman el período de consumo

ADUCCIÓN

Variable: 0,296 5 ⋅ NM

Fijo:0,0178 ⋅ d2 + 225( )

60⋅DP

DISTRIBUCIÓN


Fijo:0,0081⋅ d2 + 225( )

60⋅DP

DEPURACIÓN

Variable: 0,311 5· NM

Fijo:3,1402

60◊ DP

ALCANTARILLADO


Fijo:1,0712

60◊ DP

a) Comprueba que el importe de cada uno de los cuatro apartados de la factura se corresponde con el consumo de me-tros cúbicos realizado y el período de facturación que aparece en la factura.

d = 20; NM = 24; DP = 59

Aducción: 0,2965 ⋅ 24 + 0,0178 ⋅ 202 + 225( )

60⋅59 = 7,116 + 10,94 = 18,055... = 18,06 €

Distribución: 0,1335 ⋅ 24 + 0,0081⋅ 202 + 225( )

60⋅59 = 3,204 + 4,98 = 8,182… = 8,18 €

Depuración: 0,3115· 24 + 3,1402

60⋅59 = 7,476 + 3,087… = 10,563… = 10,56 €

Alcantarillado 0,1094 ⋅ 24 + 1,0712

60⋅59 = 2,6256 + 1,05… = 3,6789 = 3,68 €

300250200150100

500

F A J A DE M M J O NS

Uso: Doméstico, 1 vivienda/usosNº contador: 05617892 Diámetro: 20 mmTipo de suministro: ACOMETIDA ÚNICA

LECTURAS Y CONSUMOPeriodo: fecha lectura Lectura ConsumoAnterior Actual Anterior Actual Modo de cálculo m³

02–01–2016 29–02–2016 1 046 1 070 Diferencia de índices 24Fecha de la próxima factura: 03 de abril de 2016Su consumo medio mensual ha sido de 24 m³ El importe diario medio de su factura durante el último periodo ha sido de 0,686 euros.

FACTURAConcepto Importe Importe IVA TOTALADUCCIÓN 18,06 1,81 19,87DISTRIBUCIÓN 8,18 0,82 9,00DEPURACIÓN 10,56 1,06 11,62ALCANTARILLADO 3,68 0,00 3,68Total factura (euros) 40,48 3,69 44,17€ Importe total a pagar 44,17€



b) El titular de la factura hace una reclamación porque el diámetro del contador que aparece en la factura es 20 mm, cuando en realidad tiene 15 mm. ¿Cuánto dinero le tienen que devolver?

c) Calcula el precio de cada apartado en una factura que refleja un consumo de 7 m3 en un período de 42 días.

d) Las expresiones que aparecen en cada uno de los términos fijos son polinomios o monomios. Escribe los términos de las expresiones que son polinomios, y la parte literal y el coeficiente de las que son monomios.

b) Aducción: 0,2965 ⋅ 24 + 0,0178 ⋅ 152 + 225( )

60⋅59 = 7,116 + 7,8765 = 14,9925 = 15 €

Distribución: 0,1335 ⋅ 24 + 0,0081⋅ 152 + 225( )

60⋅59 = 3,204 + 3,58425 = 6,78825 = 6,79 €

18,06 − 15 = 3,06 € 8,18 − 6,79 = 1,39 €

Le tiene que devolver 3,06 + 1,39 = 4,45 €.

c) d = 20; NM = 7; DP = 42

Aducción: 0,2965 ⋅ 7 + 0,0178 ⋅ 202 + 225( )

60⋅ 42 = 2,0755 + 7,7875 = 9,863 = 9,86 €

Distribución: 0,1335 ⋅ 7 + 0,0081⋅ 202 + 225( )

60⋅ 42 = 0,9345 + 3,54375 = 4,47825 = 4,48 €

Depuración: 0,3115 ⋅ 7 + 3,1402

60⋅ 42 = 2,1805 + 2,19814 = 4,37864 = 4,38 €

Alcantarillado 0,1094 ⋅ 7 + 1,0712

60⋅ 42 = 0,7658 + 0,74984 = 1,51564 = 1,52 €

d) Monomios: Depuración y Alcantarillado

Depuración → Coeficiente; 3,1402

60, parte literal: NM

Alcantarillado→ Coeficiente 1,0712

60, parte literal: NM

Polinomios: Aducción y Distribución

Aducción→ 0,2965 ⋅ NM, 0,0178 ⋅ d2 + 225( )

60⋅DP

Distribución→ 0,1335 ⋅ NM, 0,0081⋅ d2 + 225( )

60⋅DP

Trabajo cooperativo

Respuesta abierta.

TAREARealizad un estudio algebraico sobre la factura del otro servicio básico: el gas.Comparad las expresiones algebraicas de las facturas de esta sección con las que se utilizan en las facturas de vuestros hogares.

107



74


❚ Para dividir un polinomio por un monomio, dividimos cada término del polinomio por el monomio.

6 x5 − 8 x3 + 2x2( ) : 2x = 6 x5 : 2x( )− 8 x3 : 2x( ) + 2x2 : 2x( ) = 3x4 − 4 x2 + x

❚ Para dividir dos polinomios, seguimos el mismo proceso que en la división de números naturales.

2x3 + 3x2 − 5x + 1 x2 + 3x − 2 2x3 + 3x2 − 5x + 1 x2 + 3x − 2

2x − 2x3 − 6x2 + 4x 2x

− 3x2 − x + 1

2x3 + 3x2 − 5x + 1 x2 + 3x − 2

− 2x3 − 6x2 + 4x 2x − 3

− 3x2 − x + 1

3x2 + 9x − 6

8x − 5

AVANZA

A1. Calcula estos cocientes.

a) 12x4 − 3x2 + 18 x( ) : 3xb) 25 x5 + 10 x4 −5 x3( ) : 5 x2

c) −16 x3 + 4 x2 − 8 x( ) : −2x( )

A2. Realiza estas divisiones entre polinomios.

a) 2x4 − 3x2 + x −5( ) : x2 − 3x + 2( )

b) 7 x3 − 4 x2 + x −5( ) : x − 3( )

A3. Calcula el cociente y resto de las siguientes divisiones.

a) 8 x5 − 4 x2 − x + 3( ) : 2x3 −1( )

b) 12x4 − 3x + 5( ) : 6 x3 − x + 1( )

A4. Resuelve.

a) 7 x2 − 3x + 5( ) : 3x −5( )

b) 6 x4 − 2x3 + x −5( ) : 3x3 − x + 1( )

División de polinomios

CÁLCULO MENTAL Estrategias para el cálculo de potencias

A la hora de calcular valores numéricos de polinomios, el uso de estrategias para el cálculo rápido de las potencias puede resultar muy útil.

Las siguientes estrategias de cálculo mental se basan en las propiedades de las potencias.

❚ Suma de exponentes

35 = 33+2 = 33 ⋅ 32 = 27 ⋅ 9 = (20 + 7) ⋅ 9 = (20 ⋅ 9) + (7 ⋅ 9) = 180 + 63 = 180 + 60 + 3 = 243

❚ Producto de exponentes

210 = 25⋅2 = (25)2 = 25 ⋅ 25 = 32 ⋅ 32 = (30 + 2) ⋅ 32 = 960 + 64 = 1 024

❚ Resta de exponentes

28 = 210 − 2 = 210 : 22 = 1 024 : 4 = 256

CM1. Utiliza alguna de las estrategias anteriores para calcular mentalmente estas potencias.a) 44 c) 73 e) 96

b) 38 d) 74 f) 55

CM2. Utiliza las técnicas de cálculo mental para resolver estas potencias con los datos que se indican.a) 39 si conocemos que 310 = 59 049b) 55 si conocemos que 57 = 78 125

Dividimos el término de mayor grado del dividendo y del divisor.

Multiplicamos este término por el divisor. Se cambia de signo y se suma al dividendo.

2x ⋅ x2 + 3x − 2( )= 2x3 + 6 x2 − 4 x

Repetimos el proceso hasta que el polinomio resto sea de grado

menor que el divisor.


En la sección Avanza de esta unidad se introduce la divi-sión de polinomios. Esta operación se trabajará más am-pliamente en el siguiente curso. En las actividades A1 y A2 el coeficiente de mayor grado del divisor es 1, situación que simplifica notablemente los cálculos. En las actividades A3 y A4 aumenta notablemente la dificultad.


A1. Calcula estos cocientes.

a) 12x4 − 3x2 + 18 x( ) : 3x

b) 25 x5 + 10 x4 −5 x3( ) : 5 x2

c) −16 x3 + 4 x2 − 8 x( ) : −2x( )

a) 4x3 − x + 6 b) 5x3 + 2x2 − x c) 8x2 − 2x + 4

A2. Realiza estas divisiones entre polinomios.

a) 2x4 − 3x2 + x −5( ) : x2 − 3x + 2( )

b) 7 x3 − 4 x2 + x −5( ) : x − 3( )

a) Cociente: 2x2 + 6x + 11: Resto: 22x − 27

b) Cociente: 7x2 + 17x + 52; Resto: 151

A3. Calcula el cociente y resto de las siguientes divisiones.

a) 8 x5 − 4 x2 − x + 3( ) : 2x3 −1( )

b) 12x4 − 3x + 5( ) : 6 x3 − x + 1( )

a) Cociente: 4x2; Resto: −x + 3

b) Cociente: 2x; Resto: 2x2 − 5x + 5A4. Resuelve.

a) 7 x2 − 3x + 5( ) : 3x −5( ) b) 6 x4 − 2x3 + x −5( ) : 3x3 − x + 1( )

a) Cociente: 7

3x +

26

9; Resto:

175

9 b) Cociente: 2x −

2

3; Resto: 2x2 −

5

3x −

13

3

Cálculo mental. Estrategias para el cálculo de potenciasSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se trabaja una estrategia de cálculo mental para calcular potencias, que puede ser muy útil a la hora de calcular el valor numérico de un polinomio.


CM1. Utiliza alguna de las estrategias anteriores para calcular mentalmente estas potencias.

a) 44 b) 38 c) 73 d) 74 e) 96 f) 55

a) 44 = 42 ⋅ 42 = 16 ⋅ 16 = (10 + 6) ⋅ 16 = 160 + 96 = 256

b) 38 = 34 ⋅ 34 = 81 ⋅ 81 = (80 + 1) ⋅ (80 + 1) = 6 400 + 80 + 80 + 1 = 6 561

c) 73 = 72 ⋅ 7 = 49 ⋅ 7 = (50 − 1) ⋅ 7 = 350 − 7 = 343

d) 74 = 72 ⋅ 72 = 49 ⋅ 49 = (50 − 1) ⋅ (50 − 1) = 2 500 − 50 − 50 + 1 = 2 401

e) 96 = 312 = 38 ⋅ 34 = 6 561 ⋅ 34 = 6 561 ⋅ (80 + 1) = 524 880 + 6 561 = 531 441

f) 55 = 53 ⋅ 52 = 125 ⋅ 25 = (100 + 25) ⋅ 25 = 2 500 + 625 = 3 125

CM2. Utiliza las técnicas de cálculo mental para resolver estas potencias con los datos que se indican.

a) 39 si conocemos que 310 = 59 049 b) 55 si conocemos que 57 = 78 125

a) 39 = 310 : 3 = 59 049 : 3 = 19 683 b) 55 = 57 : 52 = 78 125 : 25 = 3 125

Avanza. División de polinomios



1. Escribe estas expresiones con lenguaje algebraico.

a) El doble de un número c) La mitad de un número.

b) El triple de un número más tres. d) La suma de dos números.

a) 2x c) x

2

b) 3x + 3 d) x + y

2. Realiza las siguientes operaciones con monomios e indica el coeficiente y la parte literal del resultado.

a) 3xy + 5xy c) 3x2y ⋅ 2x3y2

b) 2x2 − 5x2 d) 8x4y : 2xy

a) 3xy + 5xy = 8xy c) 3x2y ⋅ 2x3y2 = 6x5y3

Coeficiente: 8; Parte literal: xy Coeficiente: 6; Parte literal: x5y3

b) 2x2 − 5x2 = −3x2 d) 8x4y : 2xy = 4x3

Coeficiente: −3; Parte literal: x2 Coeficiente: 4; Parte literal: x3

3. Reduce el siguiente polinomio e indica el grado, los términos y las variables.

3x2 − 4x5 − 6x2 + x − 5 + 7x

Simplificamos y ordenamos el polinomio.

3x2 − 4x5 − 6x2 + x − 5 + 7x = −4x5 − 3x2 + 8x − 5

Grado: 5

Términos: −4x5, −3x2, 8x, −5

Variable: x

4. Realiza las operaciones que se indican con estos polinomios.

A(x) = x2 − 3x + 5 B(x) = −4x + 2 C(x) = −3x2 + 2

a) A(x) + C(x) b) A(x) − B(x) c) B(x) ⋅ C(x)

a) A(x) + C(x) = x2 − 3x + 5 − 3x2 + 2 = −2x2 − 3x + 7

b) A(x) − B(x) = x2 − 3x + 5 + 4x − 2 = x2 + x + 3

c) B(x) ⋅ C(x) = −4 x + 2( ) ⋅ −3x2 + 2( ) = 12x3 − 6x2 − 8x + 4

5. Desarrolla las siguientes potencias de polinomios.

a) (x + 5)2 b) (4 − x)2

a) (x + 5)2 = x2 + 2 ⋅ 5 ⋅ x + 52 = x2 + 10x + 25

b) (4 − x)2 = 42 − 2 ⋅ 4 ⋅ x + x2 = 16 − 8x + x2

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

109



1. Escribe estas expresiones con lenguaje algebraico.

a) El doble un número más su mitad.

b) Un número más tres, elevado al cuadrado.

c) Un número más su siguiente.

a) 2x +x

2 b) (x + 3)2 c) x + (x + 1)

2. Expresa la siguiente operación como suma y resta de monomios.

3xy2 ⋅ 2x −5 xy + 3 y3( )

3xy2 ⋅ 2x −5 xy + 3 y3( ) = 3xy2 ⋅2x − 3xy2 ⋅5 xy + 3xy2 ⋅3 y3 = 6 x2 y2 −15 x2 y3 + 9 xy5

3. Calcula el valor numérico de estos polinomios para x = 2 e y = −1.

a) 3xy − 2x2 + 4y b) 3x2 + 2x2y + xy2 − y2

a) 3 ⋅ 2 ⋅ (−1) − 2 ⋅ 22 + 4 ⋅ (−1) = −6 − 8 − 4 = −18

b) 3 ⋅ 22 + 2 ⋅ 22 ⋅ (−1) + 2 ⋅ (−1)2 − (−1)2 = 12 − 8 + 2 − 1 = 5

4. Realiza la siguiente operación con polinomios.

(2x3 − 3x + 5 ) − (−x2 + 4x − 5) ⋅ (−3x + 1)

Realizamos primero el producto de polinomios.

− x2 + 4x − 5

− 3x + 1

− x2 − 4x − 53x3 − 12x2 + 15x

3x3 − 13x2 + 19x − 5

Ahora calculamos la resta como suma del opuesto.

2x3 − 3x + 5

− 3x3 + 13x2 − 19x + 5

− x3 + 13x2 − 22x + 10

5. Opera este polinomio.

(x − 3)2 − (2x + 1)2

Desarrollamos las potencias.

(x − 3)2 = x2 − 6x + 9

(2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1

Realizamos la resta como suma del opuesto.

x2 − 6x + 9

− 4x2 − 4x − 1

− 3x2 − 10x + 8

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

3 lenguaje algebraico 3 lenguaje algebraico · la primera parte de la unidad se centra en las...

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