ESCUELA DE ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES

TEORÍA DE CONTROL AUTOMÁTICO

AVANCE DEL PROYECTO DE AUTOMATIZACIÓN Y CONTROL

TEMA:

CONTROL DE ESTABILIDAD DE UN CUADCOPTER

INTEGRANTES: Cristian Ortiz Jonathan Villagómez Cristian Peréz Renato Torres

PARALELO:

“A”

Loja-Ecuador

INFORMACIÓN DE CADA DISPOSITIVO

MOTORES BRUSHLESS OUTRUNNER

- Característica básica de un motor brushless:

Kv, ésta constante significa simplemente la cantidad de vueltas (RPM) que da el motor por cada voltio de continua aplicado al ESC (A máxima potencia). Es decir que si a un motor de 1100 Kv le aplicamos 11,1v funcionará a 12210 RPM como máximo (Con el ESC se puede disminuir). Esta es su velocidad nominal y nunca subirá más velocidad a no ser que aumentemos la diferencia de potencial (Voltaje).

- Motor Brushless A2212

Características específicas:

Modelo: 2212-13Motor size: Ф28*26mmShaft size: Ф3.175*37mmWeight: 50gKV(rpm/v): 1000Max Power: 150WBattery: 2-3Li-PoTest Prop: 11x7/10x5Ri (MΩ): 0.127ESC(A): 30A

CONTROL DE VELOCIDAD PARA MOTORES BRUSHLESS (ESC)

¿Qué es un ESC? ¿Para qué sirve? Un ESC (Electronic Speed Controller) es un dispositivo electrónico que sirve para controlar la velocidad del motor brushless.

El variador o ESC recibirá la señal PWM de 50 Hz y dependiendo de la longitud del ancho de pulso entregará más o menos potencia al motor. La longitud del pulso PWM varía de 1 ms a 2 ms a mínima y a máxima potencia respectivamente.

Lo primero que debemos conocer de los ESC son sus conectores:

Cable rojo y negro: Alimentación del motor, va conectado a la batería lipo.

Conector de 3 pines: amarillo, señal PWM 50Hz desde el arduino; rojo y negro, alimentación del ESC

3 cables de trifásica para la alimentación del motor brushless.

- Características técnicas ESC

Entrada de Voltaje: 6V-12V Corriente constante: 30 Corriente máxima: 40 Baja Tensión de corte: Auto detectar y establece Tamaño: 55 * 24.5 * 5.3m Peso: 22 g (peso neto Alto índice PWM Menor resistencia Programable por el usuario freno Bajo voltaje configuración automática sobre la base de la batería Rango de ajuste automático del acelerador Arranque suave rampa hasta Auto de corte de motor con restablecimiento El motor funciona en avance o retroceso Programa de Seguro de armado de energía asegura motor no funcionará

accidentalmente después de encender Bajo par de arranque Auto apagado cuando se pierde la señal Dimensiones: 2,17 x 0,94 en en x 0,28 en Peso: 1.06 oz

ESTRUCTURA DEL SISTEMA

- Dimensiones y masa:

La estructura consta de 4 brazos de plástico de 22 cm cada uno, con bases para los motores en los extremos, además la parte central donde se unen los 4 brazos es metálica y contiene un circuito impreso para la distribución de la corriente en cada uno de los controles de velocidad.

ARDUINO PRO MICRO

- Características Principales:

Micro controlador ATmega32u4

Voltaje de Operación 5V

Voltaje de entrada(recomendado) 7-12V

Voltaje de entrada (limites) 6-20V

Pines digitales I/O 20

Canales PWM 7

Canales de entrada analógica 12

Corriente DC para pines I/O 40 mA

Corriente DC para pines de 3,3V 50 mA

Flash Memory32 KB (ATmega32u4) of which 4 KB used by bootloader

SRAM 2.5 KB (ATmega32u4)

EEPROM 1 KB (ATmega32u4)

Velocidad de reloj 16 MHz

- Pines de salida

SENSOR IMU (GY-80)

Tarjeta que integra cuatro sensores: Acelerómetro de 3 ejes, Giroscopio de 3 ejes, sensor de campo magnético de 3 ejes y barómetro.

- L3G4200D giroscopio

- Interfaz serial I2C

Hay dos señales asociadas con el bus I2C: la línea de reloj serie (SCL) y la línea de datos serie (SDA). Esta última es una línea bidireccional utilizado para enviar y recibir los datos a / desde la interfaz. Ambas líneas deben estar conectados a través de un Vdd, y un VIO a través de una resistencia pull-up externa. Cuando el bus está libre, ambas líneas están en estado alto. La interfaz I2C es compatible con el modo rápido (400 kHz) estándares I2C, así como con el modo normal.

MODELO MATEMÁTICO DEL CUADCOPTER

El cuadcopter tiene 2 tipos de movimientos: 3 movimientos angulares, y 3 lineales. Estos son vectores de posición y vectores de orientación con respecto a la tierra.

Para encontrar la fuerza total se usará el modelo de Euler–Lagrange debido a que el desarrollo matemático lo hace muy rápido. En cambio el cálculo de los momentos se hace a través de mecánica de Newton para simplificar los cálculos.

Modelo Euler-Lagrange para la fuerza total

El lagrangiano de la energía será:

L (q , q )=T K+T R−T P=12

mT εT ˙ε+ 1

2ηT J η−mgz

El modelo matemático total del sistema se obtiene de la ecuación de Lagrange de la energía con las fuerzas externas. La expresión es la siguiente:

ddt

∂ L∂ q

−∂ L∂q

=[F ε

τ ]Donde F =Mε RF es la fuerza de traslación, aplicada al cuadricóptero para cada una de las componentes (x,y,z). La letra F es la fuerza que se le está aplicando al vehículo. La letra MR

es la matriz rotacional que entrega la orientación del vehículo respecto de los ángulos de Euler.

Finalmente, las expresiones escalares de las fuerzas en los tres ejes son:

m x=LT senψsenθ

m y=LT cosψsenθ

m z=LT cosθ−mg

Modelo Newton para los Momentos

La letra representa a los tres momentos que hay en el vehículo en los tres ejes. Estáτ referido a los ángulos de yaw, pitch y roll.

Para el momento de yaw se tiene:

τψ=τ1+τ2+τ3+τ4=∑i=0

4

τ i

Este momento se debe al momento creado por el giro de los motores. La tercera ley de Newton dice que toda acción tiene una reacción igual pero en distinto sentido. Aquí se cumple que la fuerza total de los motores genera una fuerza de giro igual pero en distinto sentido. Es por lo anterior que se colocan dos motores girando en otro sentido porque así se contrarresta esta fuerza.

Para el momento de pitch, la expresión es:

τθ=Δ L1,3 l

Donde ∆L1,3 es la diferencia de fuerza de sustentación que habrá entre los motores 1 y 3 multiplicada por la distancia desde el motor hasta el centro de gravedad, es decir, se cumple la ecuación.

Para el movimiento de roll, la expresión es parecida al de pitch, pero con los otros dos motores, es decir:

τθ=Δ L2,4 l

Combinando los tres momentos, se tiene la siguiente matriz total:

τT=[τψ

τθ

τ φ]=[ ∑i=0

4

τ i

Δ L2,4 lΔ L1,3l

]Finalmente, reescribiendo la matriz con las velocidades angulares, se obtiene:

τT=[τψ

τθ

τ φ]=[kT (ω1

2−ω22+ω3

2+ω42)

lk (ω22−ω4

2)lk (ω3

2−ω12) ]

Con kτ > 0 constante que depende de la fricción aerodinámica

Planta del modelo

La planta es una representación matemática de la relación entre la entrada y la salida de un sistema. A través de esta se puede modelar el comportamiento del sistema ante algún tipo de excitación. Para llegar a esta planta se usará la transformación de Laplace, que transforma una ecuación diferencial ordinaria en una ecuación algebraica de fácil solución.

Además, para simplificar el cálculo se tomarán las siguientes consideraciones:

El sistema de referencia del vehículo rotará en el eje Z junto con el sistema de referencia terrestre, por lo que = 0. ψ

1. Los valores de y llegarán hasta los ±10°, es decir, son ángulos pequeños.θ φ Matemáticamente se puede considerar cos =1, cos =1, sin = y sin = .φ θ φ φ θ θ

m x=0

m y=LT θ

m z=LT

Además reordenando la ecuación, considerando ciertas constantes:

k T (ω12−ω2

2+ω32+ω4

2 )=Ω1

k (ω22−ω4

2 )=Ω2

k (ω32−ω1

2 )=Ω3

[τψ

τθ

τφ]=[I X ψ

I X θI X φ ]

Entonces:

I Z ψ=Ω1

I Y θ=l Ω2

I X¨φ=l Ω3

Aplicando Laplace:

mY (s)s2=LT θ(s)

mZ (s )s2=LT (s)

I X (s ) s2=l Ω3(s )

Trabajando en el dominio de Laplace (S), las funciones de transferencia del modelo quedan:

Hφ=φ(s)Ω3(s)

= lI x s2

H XY=Y (s)φ (s )

=LT

s2 m

HZ=Z (s )LT (s )

= 1s2 m

Para la función de transferencia de XY, se considerará un vuelo de ascensión estacionaria, es decir que mantiene los movimientos del eje Z constante. De lo anterior se saca que la fuerza de sustentación debe ser igual a la de peso, entonces simplificando quedan:

Hφ=l

I x s2

H XY=mg

s2m= g

s2

HZ=1

s2 m

Modelo Matemático Alternativo

Modelo dinámico

Se analizará también un modelo dinámico diferente para hacer comparaciones en el momento de las simulaciones. Se considerará la figura 3.1 para describir el modelo.

Figura 3.1: Sistema de referencia fijo y móvil

Se considerarán los ángulos de Euler: ángulo rotación en Z, ángulo rotación en X y ψ φ θ ángulo rotación en Y.

FXYZ ¿

τ φθψ I X φ=θ ψ ( I y−I z )−J R θ Ω+l U 2

I Y θ=φ ψ ( I z−I x )−J RθΩ+l U 3

I Z ψ=φθ ( I x−I y )+l U 4

Donde:

ψ=ÁnguloYaw I XYZ=momento de inercia del cuerpo

φ=Ángulo Roll J=Rotor de Inercia

θ=Ángulo Pitch l=Longitud del brazo

k=Coeficiente de empuje d=coeficientede resistencia

Ωi=Velocidad del motor i

U 1=k (Ω12+Ω2

2+Ω32+Ω4

2 ) : Empuje total

U 2=k (Ω42+Ω2

2 ) : Diferencia deempuje del ejeY

U 3=k (Ω32+Ω1

2 ) : Diferencia de empujedel eje X

UU =d (−Ω12+Ω2

2−Ω32+Ω4

2 ) : Diferencia de par

Ω=Ω1+Ω2−Ω3+Ω 4:Velocidad general de girodel motor

Simplificaciones:

El sistema de referencia fijado a la tierra gira solidariamente con el eje fijado en el cuerpo, respecto al eje Z. Por lo anterior =0. ψ

1. Se considera que los ángulos de roll y pitch no serán mayores a 15°, por lo que se consideran ángulos pequeños. De lo anterior se tiene:

cos = cos =1, sin = y sin = . φ θ φ φ θ θ

2. En el cálculo de momento, solo se tiene en cuenta el momento creado por la diferencia de empuje de los motores. Así que se eliminan las dependencias entre , , . φ ψ θ

Finalmente, de las simplificaciones anteriores se sacan las ecuaciones del modelo dinámico:

maX=θ U 1

maY=−θ U 1

maZ=U 1−mg

I X φ=lU 2

I Y θ=lU 3

I Z ψ=lU 4

Planta del modelo dinámico

Si a las ecuaciones anteriores se les hace la transformada de Laplace se tiene:

mX (s)s2=θ(s)U 1

mY (s)s2=φ(s)U 1

mZ ( s ) s2=U 1−mg

I X φ(s)s2=I U 2

I Y θ(s)s2=I U 3

I X ψ (s )s2=I U4

Finalmente se obtiene la planta del modelo:

Planta Z:

Z (s)(U 1−mg)

= 1s2 m

→ H z (s )= 1s2m

Planta XY: Y (s )φ(s)

=U 1

s2 m→ H XY=

U 1

s2 m= mg

s2 m= g

s2

Planta , , :φ ψ θφ(s)U 2

= 1I X s2 → Hφ ψθ=

1I X s2

Comparando las plantas obtenidas en este trabajo, definidas en las ecuaciones

Ahora que ya se tienen las plantas del vehículo, es importante saber cómo van a responder a los impulsos. Por lo anterior se tiene que hacer una simulación previa y ver el comportamiento de las plantas por separado y luego combinándolas.

Controlador de Z:

m z=LT−mg

z=LT

m−g

El error puede ser considerado como la diferencia entre la altura deseada y la real:

e=h−z

e=h− z

LT

m= ˙K D e (t )+¿K p e (t )−g ¿

z= ˙K D e ( t )+¿ K p e (t )¿

Función de transferencia:

CPDz=Ks+K P

Esta función CPDz es el aspecto que va a tener el controlador para la planta de Z.

Controlador de XY:

m y=LT θ

y=LT θ

m

El error considerando py como la posición deseada es Y la posición real, se define como:

e=p y− y

e= p y− y

LT

m= ˙K D e (t )+¿K p e (t )−g ¿

z= ˙K D e ( t )+¿ K p e (t )¿

Función de transferencia:

CPDxy=Ks+K P

Controlador de :ᶲ

Este controlador se encarga de la respuesta del sistema en el ángulo de inclinación , φaunque para el ángulo funciona igual pero de manera frontal.θ

e=ᶲ d−ᶲ real

e= ˙ɸd−˙ɸ

real

Función de transferencia:

CPDᶲ=Ks+KP

Integración controlador angular y de posición.

La posición en el plano XY y el ángulo tiene una relación directa, ya que la inclinación delφ ángulo permite que se produzca el desplazamiento a la posición deseada. No se considera la planta y controlador de Z ya que se mantiene la altura constante.

El controlador de XY entrega el ángulo deseado lazo de la planta . El controlador de φ φ hace los cálculos intenta entregar este ángulo para que finalmente se envíe la respuesta. La figura 4.33 muestra cual es la respuesta de esta integración. Se observa que el sistema es muy estable, aunque tiene un sobreimpulso muy pequeño, pero es despreciable.

BIBLIOGRAFÍA:

[1] http://upcommons.upc.edu/pfc/bitstream/2099.1/8168/1/memoria.pdf

- SIMULACIÓN

http://arduino.cc/en/Main/arduinoBoardMicro

http://www.quadruino.com/guia-2/materiales-necesarios-1/esc

http://www.dx.com/es/p/flying-30a-bec-electronic-speed-controller-for-brushless-motors-esc-11981#.U2wL1Pl5OSo

http://www.quadruino.com/guia-2/estructurahttp://www.forkrobotics.com/wp-content/uploads/2013/05/L3G4200D.pdfhttp://www.quadruino.com/guia-2/materiales-necesarios-1/motores-brushless

http://www.rctimer.com/product_118.html