UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

CALCULO INTEGRAL

TRABAJO COLABORATIVO 3

Integrantes:

Jos Diaz Valds

Jos Gerardo Giraldo Nieto

Diana Constanza Motta

Flix Humberto Gonzlez

Tutor:

JACKSON ARIEL URRUTIA

GRUPO: 100411_21

ABRIL 25 DE 2014

INTRODUCCIN

En el proceso de formacin como futuros ingenieros, en el conocimiento sobre el clculo

integral y la aplicacin de los ejercicios matemticos es de vital importancia para

desarrollar habilidades y destrezas en la solucin creativa de problemas.

La finalidad de este trabajo sobre integrales es comprender los conceptos bsicos del

clculo integral, como tambin adquirir destreza en las tcnicas de integracin.

Tambin aplicaremos la integracin como es el caso de anlisis de grficas (rea de

regiones planas, rea entre curvas, longitud de una curva, longitud de un arco en forma

paramtrica, entre otros.

Respuesta 1:

Hallar el rea que hay entre las grficas de () = 2 + 2 y () = 1 entre x = 0 y x = 1.

Segn la grfica la mayor es () = 2 + 2. Integramos:

[2 + 2 (1 )] = [ 2 + 2 1 + ]

= [ 2 + + 1]

[2 + 2 (1 )] = 3

3+

2

2+ +

Procedemos a evaluar:

[ 2 + 2 (1 )]1

0

= 3

3+

2

2+ ]

0

1

=(1)3

3+

(1)2

2+ (1) (

(0)3

3+

(0)2

2+ (0))

=1

3+

1

2+ 1 0

=11

6

El rea es de 2 unidades cuadradas

Respuesta 2:

Hallar el rea de la regin limitada por las grficas de () = ( 1)2 y () = + 3

Primero averiguamos donde se cortan las grficas para hallar el rea a

calcular.

( 1)2 = + 3

2 2 + 1 = + 3

2 2 + 1 + 3 = 0

2 2 = 0

( + 1)( 2) = 0

Como g(x) > f(x) entonces.

+ 3 ( 1)2

+ 3 ( 2 2 + 1)

+ 3 2 + 2 1

2 + + 2

= 3

3+

2

2+ 2 +

Ahora procedemos a evaluar.

+ 3 ( 1)22

1

= 3

3+

2

2+ 2]

2

1

= 23

3+

22

2+ 2(2) (

13

3+

12

2+ 2(1))

= 8

3+ 2 + 4 (

1

3+

1

2 2)

= 8

3+ 6

1

3

1

2+ 2

=9

2

3. Hallar el rea de superficie lateral del solido que se obtiene al rotar la

grfica de = 2 entre = 3 y = 8 alrededor del eje x.

Aplicando la frmula de volumen de por discos:

= 2

(2)2

8

3

414

8

3

4 14

8

3

4 (4

5

54 ) +

= (2)2 =

8

3

16

5

54]

8

3

=16

5 8

54 (

16

5 3

54 ) = 135.25 39.69 = 95.69

4. Hallar la longitud de =3

6+

1

2 entre = 1 y = 3.

Para empezar derivamos f(x).

() = 3

6+

1

2

() = 2

2

2

2

Procedemos a resolver la frmula:

= 1 + [() ]2

= 1 + ( 2

2

2

2)

23

1

= (1 +1

4 4

1

2+

1

4 4)

3

1

= 1 4

4+

1

4 4+

1

2

3

1

= 8 + 1 + 2 4

4 4

3

1

= ( 4 + 1)2

4 4

3

1

= 4

2 2+

1

2 2

3

1

= 2

2+

1

2 2 =

3

6

3

1

+1

2+

= 1 + ( 2

2

2

2)

2

3

1

= 3

6

1

2]

3

1

= 33

6

1

2 3 (

13

6

1

2 1) =

27

6

1

6

1

6+

1

2=

14

3

Respuesta 5

La regin limitada por las grficas de f (x) = x y g (x) = 0.5 x2 gira alrededor del eje X.

Cul es el volumen del slido que resulta de esta rotacin?

=1

2 2

1 = 0 2 = 0

2 2 = 2 = 2 (2 ) = 0

= [()2 (1

2 2)

2

] 2

0

= [ 2 1

4 4]

2

0

= 22

0

(1

4) 4

2

0

=

= 3

3]

0

2

5

20]

0

2

= [(2)

3

3

(2)5

20] = (

8

3

8

5)

=16

15

Respuesta 6

La regin limitada por las grficas de y = (x 1)2 y y = 1+ x se hace girar alrededor del eje

X. Hallar el volumen del slido resultante.

1 + = ( 1)2 1= 0

3 = 0

1 + = 2 2 + 1 3 = 2 1 + 2 + 2 1 = 0

2 + 3 = 0 ( + 3) = 0

= [(1 + )2 [( 1)2]2]3

0

= [ 2 2 + 1 ( 1)4]3

0

=

[ 2 2 + 1 4 (4 3 + 6 2 4 + 1)]3

0

= [ 2 2 + 1 4 + 4 3 6 2 + 4 1]3

0

= [4 ( 4

4) 5 (

3

3) + 2 (

2

2)

5

5]

0

3

= [ 4 5 ( 3

3) + 2

5

5]

0

3

= [(3)4 5 ((3)3

3) + (3)2

(3)5

5]

0

3

= (81 45 + 9 8

5)

=217

5

Respuesta 7

Hallar el centroide de la regin limitada por la grfica de y = x2, el eje X y la recta x = 2.

= ( 2)

2

0

22

0

= ( 2)

2

0

22

0

= 3

2

0

22

0

=

4

4 ]0

2

3

3 ]0

2=

(2)4

4(2)3

3

=4 3

8=

3

2= ,

Respuesta 9

Un objeto se empuja en el plano desde x = 0, hasta x = 10, pero debido al viento la fuerza. Que debe aplicarse en el punto x es: () = 3 2 + 10 Cul es el trabajo realizado al recorrer esta distancia? Especificar el trabajo en Julios.

= 3 2 + 10

10

0

= 3 2

2+ 10]

0

10

= (10)3 (10)2

2+ 10(10)

= 1000 50 + 100

= 1050

Punto 10

Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulgadas. Si una fuerza de 20 libras estira el

resorte 1/2 pulgada, determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 pulgadas a 11

pulgadas.

Consideremos el resorte ubicado a lo largo del eje x, con su extremo fijo en el origen:

Por la ley de Hooke se sabe que F=kx

Como x=0,5 pulgadas cuando F=20 libras, entonces 20=k(0,5) de donde k=40

Luego, F=40x. Se desea calcular el trabajo realizado por esta fuerza si aumenta la extensin

de 8 a 11 pulgadas. Luego:

() = 403

0

() = [402

2]

0

3

() = [202]03

() = (20 (3)2) (20 + (0)2)

() = 180

Respuesta 11

Dadas las funciones demanda () = 50 2

2 y la oferta () = 26 + , el excedente

del consumidor en el punto de equilibrio es:

Punto de Equilibrio:

() = ()

26 + = 50 2

2

2 + 2 48 = 0 ( 6)( + 8)

Tomamos como vlida la respuesta positiva: x = 6

(6) = 26 + 6 = 32

Por lo tanto en punto de equilibrio sera (6,32)

El excedente del consumidor ser:

. . = 50 2

2

6

0

= 50 3

6]

0

6

6(32) = 50(6) (6)2

6 192 = 102

Respuesta 12

Hallar el Excedente del Productor (EP), el Excedente del consumidor (EC) y el Punto de

Equilibrio (PE) de () = y () =

3+ 4

Punto de Equilibrio:

() = () = 3 (3,3)

=

3+ 4

3 = 12 = 3

Excedente del consumidor:

. . = 4

3

3

0

= 4 2

6]

0

3

3(3) = 4(3) (3)2

6 9 = 1.5

Excedente del Productor

. . =

3

0

= 9 2

6]

0

3

= 9 (3)2

2= 7.5

CONCLUSIONES

Despus de desarrollar los ejercicios propuestos sobre la aplicacin de las integrales, hemos

llegado a las siguientes conclusiones:

Solo con la prctica sistemtica, se podr llegar a entender y resolver ejercicios de

aplicabilidad de las integrales

El estudio de la aplicacin de integrales es muy importante para los ingenieros ya

que estas optimizan procesos importantes.

Para el anlisis de ejercicios con integrales no existen reglas generales, es la prctica

sistemtica lo que determina la aplicacin del mtodo adecuado de integracin

segn sea el caso.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Bombal, F., Rodrguez, L., & Vera, G. (1987). Problemas de Anlisis Matemtico 3.

Editorial AC. Obtenido de Clculo integral.

DURAN, J. E. (2010). MODULO DE CALCULO DIFERENCIAL. BOGOT D.C:

SCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA UNIDAD

DE CIENCIAS BSICAS, UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A

DISTANCIA.

Manura, D. (2005). Tabla de Integrales. Obtenido de math2 sitio web:

http://math2.org/math/integrals/es-tableof.htm

profesor en linea. (2006). Trabajo. Chile. Obtenido de profesor en linea:

http://www.profesorenlinea.cl/fisica/Trabajo_concepto_fisica.html

Universidad Autnoma de Madrid. (2006). El descubrimiento del Calculo Integral. Madrid,

Espaa. Obtenido de UAM pagina web:

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/histmatem/calculo/calculo.html

Universidad de Sevilla. (2007). Tabla de Derivadas. Obtenido de Universidad de Sevilla

sitio web: http://departamento.us.es/dma1euita/TMRP/tabder.PDF