unidad ii conjuntos(para blog)

ALGEBRA I

UNIDAD II CONJUNTOS

ALGEBRA I “La matemática honra el espíritu humano” Leibnitz UNIDAD N° 2

INDICE:

Prologo 2Introducción 3Noción de conjuntos 3Relación de pertenencia 3Conjuntos numéricos 4Clases de conjuntos 6Subconjuntos 6Igualdad de conjuntos 8Operaciones entre conjuntos 9Propiedades de las operaciones entre conjuntos 12Formas de demostrar igualdad de conjuntos 13Numero de elementos de un conjunto finito 15Numero de elementos de la unión 15Bibliografía 17

Autor: Elio Romero Cuéllar Página 2


UNIDAD N° 2

CONJUNTOS

PROLOGO.- UNIDAD II

En el último cuarto del siglo XIX se vivió un episodio apasionante de la historia de la matemática que la ligaría desde entonces a la historia de la lógica.Primero, Georg Boole (1815-1864) en su Mathematical Analysis of Logic trató de presentar la lógica como parte de la matemática. Poco después Gottlob Frege (1848-1925) intentó mostrar que la aritmética era parte de la lógica en su Die Grundlagen der Arithmetik. Pero, dando un gran paso tanto en la historiade la matemática como en la historia de la lógica, G. Cantor se había adelantado a Frege con una fundamentación lógica de la aritmética. Cantor había demostrado que la totalidad de los números naturales comprendidos en el intervalo de extremos 0 y 1 no es numerable, en el sentido de que su infinitud no es la de los números naturales. Como una consecuencia de esa situación, Cantor creó una nueva disciplina matemática entre 1874 y 1897: la teoría de conjuntos. Su obra fue admirada y condenada simultáneamente por sus contemporáneos. Desde entonces los debates en el seno de la teoría de conjuntos han sido siempre apasionados, sin duda por hallarse estrechamente conectados con importantes cuestiones lógicas. Según la definición de conjunto de Cantor, éste es “una colección en un todo de determinados y distintos objetos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, llamados los elementos del conjunto”. Frege fue uno de los admiradores de la nueva teoría de Cantor, y dio una definición de conjunto similar. En 1903 B. Russell demostraría que la teoría de conjuntos de Cantor era inconsistente y cuestionaría la definición de conjunto en la teoría de Cantor. Pero pronto la teoría axiomática de Zermelo (1908) y refinamientos de ésta debidos a Fraenkel (1922), Skolem (1923), von Newman (1925) y otros sentaron las bases para la teoría de conjuntos actual.



INTRODUCCION.-

Una teoría se fundamenta y se va construyendo a partir de conceptos fundamentales, encadenando los nuevos conocimientos o proposiciones que se basan en las anteriores. Es así como se parte de términos no definidos o conceptos fundamentales. Luego hay proposiciones que relacionan estos conceptos fundamentales y que son tan evidentes que se aceptan como verdaderas. Estas proposiciones se denominan axiomas de la teoría. Siguiendo con la construcción aparecen las proposiciones cuya veracidad debe ser probada o demostrada, éstos son los llamados teoremas que según su importancia se puede denominar proposición, lema, corolario o teorema.Se dice que un concepto es primitivo, cuando dicho concepto se admite sin definición.Así los conceptos de conjunto, elemento y relación de permanencia son conceptos primitivos en la matemática.

NOCION DE CONJUNTOS.- Toda agrupación o colección de objetos es considerado como conjunto, siempre que exista un criterio preciso que nos permita afirmar que un objeto pertenece o no a dicha agrupación. Si enunciamos una propiedad y buscamos los objetos que la cumplen, tendremos un agregado al que llamamos CONJUNTO.

NOTACION.- Usaremos letras mayúsculas para denotar conjuntos como A, B, C, …………….. y letras minúsculas para los elementos de un conjunto como a, b, c, ………..El conjunto se escribe entre llaves { }. Entre ellas se incluyen bien los elementos que forman el conjunto (esto solo es posible si el conjunto es finito), o bien se escribe la propiedad que nos permite decidir si un elemento es del conjunto o no {x / x cumple la propiedad p}, se lee conjunto de los x, talque x cumple con la propiedad p. La primera forma se llama determinación de conjuntos por extensión y la segunda por comprensión.

RELACION DE PERTENENCIA.-La relación de elemento a conjunto es de pertenencia.La notación “xA” se lee “x pertenece a A”, indicando así, que x forma parte del conjunto A.La negación de P(x): “xA”.Autor: Elio Romero Cuéllar Página 4


Es ~P(x): “xA” y se lee “x no pertenece a A”.

CONJUNTO UNIVERSAL.- Es el conjunto que contiene a todos los elementos que se están considerando en un estudio o contexto particular. Generalmente se representa con la letra U.

DIAGRAMA DE VENN-EULER.-Los conjuntos se suelen representar gráficamente a través de los diagramas de Venn- Euler.Se llaman diagramas de Venn-Euler a las regiones del plano delimitadas por líneas curvas o quebradas que sirven para ilustrar y establecer relaciones entre conjuntos.En general el conjunto universal se lo representa con un rectángulo y los conjuntos por bucles cerrados.

CONJUNTOS NUMERICOS.-

NUMEROS COMPLEJOS.- [C]Constan de dos partes una parte real y la otra imaginaria, generalmente se representan con la letra zz= a + b i , siendo la parte real y b la parte imaginaria i = .Se representan gráficamente por un punto del plano.

NUMEROS REALES.- [R]Una propiedad importante de los números reales es el poder los representar por puntos de una línea recta. (Recta real)

Un número real siempre admite representación decimal, (exacta o no exacta).

Ejemplos.-

a)

b)

c) Autor: Elio Romero Cuéllar Página 5

b

a Eje Real

Eje Imaginario

z = a + bi

0 11

21

31

41

-1-2

π1

-∞ +∞


d)

NUMEROS IMAGINARIOS.- [I]Los numeros imaginarios son aquellos que resultan de la raiz cuadrada de números negativos. Ejemplo

NUMEROS RACIONALES.- [Q]Los números racionales son los reales que se pueden expresar como razón de dos números enteros. Se denota el conjunto de los números racionales por q.

NUMEROS IRRACIONALES.- [Q']Los números irracionales son los reales que no se pueden expresar como la razón de dos números enteros. Es decir son aquellos que no son racionales. Generalmente se denotan por q'.

NUMEROS ENTEROS.- [z]

NUMEROS FRACCIONARIOS.- [f]

NUMEROS NATURALES.- [n] [z]Son los números con los que aprendemos a contar. Son también los números enteros positivos.

NUMEROS ENTEROS NEGATIVOS.- [z-]

EL CERO.-

NUMEROS PRIMOS.- [p]Son aquellos números que solo son divisibles por si mismo y la unidad. Ejemplo 2,3,5,7,11,13,…



ESQUEMA QUE RELACIONA LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS.-

CLASES DE CONJUNTOS.-

CONJUNTO UNITARIO.- Se denomina conjunto unitario al que esta compuesto por un único elemento.

CONJUNTO FINITO.- Es el conjunto que tiene un número determinado de elementos.

CONJUNTO INFINITO.- Es el conjunto que tiene un número inconmensurable de elementos.

SUBCONJUNTOS.- (INCLUSION)

DEFINICION.- Sean A y B dos conjuntos. Se dice que A es subconjunto de B si y solamente si todo elemento de A está en B. Y se simboliza por: A B Y se lee: “A está incluido en B”

“A está contenido en B”“A es una parte de B”“A es subconjunto de B”

Si se simboliza por B A se lee:“B incluye a A”“B contiene a A”“B es todo de A”“B es superconjunto de A”

Simbólicamente tenemos:A B x, xA xBAutor: Elio Romero Cuéllar Página

Nº Complejos

Nº Imaginarios Nº Reales

Nº Irracionales Nº Racionales

Nº Fraccionarios Nº Enteros

Nº Enteros Negativos Cero Nº Enteros Positivos

Nº Primos

7


B A x, xB xASu diagrama de Venn- Euler es:

Observaciones:

1.- Si A es un conjunto finito de n elementos, entonces tiene exactamente 2n subconjuntos distintos.2.- El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.3.- Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.

NEGACIÓN DE LA RELACIÓN DE INCLUSIÓN.-

A B ( A B) ( x, xA xB) x: ( xA xB) x: xA xB

SUBCONJUNTO PROPIO.- A es un subconjunto propio de B si y solo si ( A B) AB

SUBCONJUNTOS COMPARABLES Y NO COMPARABLES.-Dos conjuntos A y B son comparables si (A B) (B A).Dos conjuntos A y B no son comparables si (A B) (B A).

Ejemplo.-

Autor: Elio Romero Cuéllar Página

B

AB

A

A B (Ay B son comparables) B A (B y A son comparables)

(A B) (B A) (Ay B son no comparables)

B

B A

A B

A

8


CONJUNTOS DISJUNTOS.- Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos en común.IGUALDAD DE CONJUNTOS.- Definición.-Dos conjuntos A y B son iguales y escribiremos A=B si y solo si, A está incluido en B y B está incluido en A.Simbólicamente tenemos:A = B (A B) (B A)

(x, xA xB) (x, xB xA) x, (xA xB) (xB xA) x, (xA xB)

Es decir dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

Ejemplo.- Determine cuáles de los siguientes conjuntos son iguales.A = x xN, x2-7x+12=0E = x x es una letra de la palabra RAULB = 3,4F = x x es una letra de la palabra ULTRA

CONJUNTO POTENCIA.- (conjunto de partes)Dado un conjunto A, se llama conjunto potencia de A o conjunto de partes de A, al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A.Notación.- P(A), se lee “ Conjunto potencia de A” o “Conjunto de partes de A”.Simbólicamente: P(A) = s s AEjemplo.- Determine el conjunto potencia del conjunto B = a,b,c.



OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.-A continuación definiremos las operaciones más usuales y las graficaremos según el diagrama de Venn-Euler. Consideraremos el conjunto Universo como el rectángulo que contiene a todos los demás conjuntos.

Unión de conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, se llama unión de A y B y se denota por A B al conjunto que contiene los elementos de A, los elementos de B y los elementos que están en ambos conjuntos. A B = {x / x A x B}, es decir x(A B) x A x BSi A=x/ F(x) y B=x/G(x), entonces:A B = x/ F(x) x/ G(x)A B = x/ F(x) G(x)

Diagrama de Venn de la Unión, región rayada al menos una vez.

Definición de la Unión

Intersección de conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, se llama intersección de A y B y se denota por A B al conjunto que contiene los elementos que están simultáneamente en ambos conjuntos. Dos conjuntos cuya intersección es vacía se denominan conjuntos disjuntos. A B={x / x A x B}, es decir x(A B) x A x BSi A=x/ F(x) y B=x/G(x), entonces:A B = x/ F(x) x/ G(x)A B = x/ F(x) G(x)

Diagrama de Venn de la inter, región rayada dos veces. Definición de Intersección


A

B

U

A

B

U

AB

AB


Diferencia de conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B y se denota por A - B al conjunto que contiene a los elementos de A y no están en B. A - B={x / x A x B}, es decir que x(A – B) x A x BSi A=x/ F(x) y B=x/G(x), entonces:A - B = x/ F(x) - x/ G(x)A - B = x/ F(x) G(x)

Diagrama de Venn de la diferencia, región rayada únicamente vertical.

Definición de Diferencia.

Diferencia simétrica de conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia simétrica de A y B y se denota por A ∆ B al conjunto que contiene a los elementos que están en A y no están en B más los elementos que están en B y no están en A. A B={x / (x A x B) (x B x A)} , es decir x (A B) (x A x B) (x B x A)A B=(A - B) (B - A)

Diagrama de Venn de la diferencia simétrica, región rayada una sola vez.

Definición de diferencia simétrica.

omplemento Absoluto: Dado un conjunto A llamaremos complementos de A y lo denotaremos por A', Ac, o CA al conjunto que contiene a todos los elementos del universo que no están en A. Ac= U-A = {x / x U x A}, es decir, x Ac x U x ASi A=x/ F(x), entonces:Ac=x/ F(x)

Diagrama de Venn del complemento absoluto de A, región rayada únicamente vertical.

Definición de complemento absoluto


UA

A

B

B

U

A∆B

A - B

Ac

A

U


Complemento relativo: Dados A y B, si BA, entonces la diferencia A-B, se llama conjunto complementario de B en A o complemento de B en A.

Su notación:

= A-B = {x / x A x B}, es

decir, x x A x B

Diagrama de Venn del complemento relativo de B en A, región rayada únicamente vertical.

Definición de complemento relativo

Ejemplo.- Dados los conjuntos:

U = -

A = xU x-3=0

B = xU x= , yU, y1

C = xU x= 2y+1, y1 yU

D = xU x.(2x+1)=0

E = xU x -

F = xU x=0 x=1

Hallar por extensióna) (AB)Cb) (Ac Bc)-Ec) A-(B-D)d) (CE)Fe) (AB)c – (CD)c

f) P(A) P(B)g) P(AB)h) P(AF)

Ejemplo.-

1.- Si A = x F(x), B = x G(x) y C = x H(x). Determinar el E.P. que define el conjunto

a) A(Bc-C)b) (Ac Bc) C

Autor: Elio Romero Cuéllar Página

A

12

B


2.- Si A = x H(x) y B = x S(x). Determinar en términos de A, B y operaciones de conjuntos, los siguientes conjuntos:

a) x H(x) S(x)b) x H(x) S(x)

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CONJUNTISTAS.-

1.- IDEMPOTENCIA.-AA=AAA=A

2.- CONMUTATIVA.-AB = BAAB = BAAB = BA

3.- ASOCIATIVA.-(AB)C = A(BC)(AB)C = A(BC)(AB)C = A(BC)

4.- DISTRIBUTIVA.-A(BC) = (AB)(AC)A(BC) = (AB)(AC)A(BC) = (AB)(AC)

(BC)A = (BA)(CA)(BC)A = (BA)(CA)(BC)A = (BA) (CA)

5.- IDENTIDAD.-A=A=AAU=AAU=U

6.- COMPLEMENTARIEDAD.-AAc = AAc = U

7.- INVOLUCION.-(Ac )c= A

8.- LEYES DE MORGAN.-(AB)c = Ac Bc

9.- ABSORCION.-



A (AB) = AA (AB) = A

10.- DIFERENCIA RELATIVA Y COMPLEMENTO.-A-B = A Bc

FORMAS DE DEMOSTRACION DE LA IGUALDAD DE CONJUNTOS.-i) Mediante el uso de la definición de igualdad de conjuntos por inclusión.ii) Utilizando formulas lógicamente equivalentesiii) Mediante igualdades conjuntistas ya conocidas

Ejemplos.-

Ejemplo 1.- Demostrar por definición de igualdad de conjuntos que:AB = BA

Solución.- Sabemos que dos conjuntos A y B son iguales si: A=B (AB) (BA)

Usando esta definición AB = BA si y solo si

De 1, si x(AB), entonces xA xBxB xAx(BA) (AB) (BA)

De 2, si x(BA), entonces xB xAxA xBx(AB) (BA) (AB)

Como ambos se contienen, entonces AB = BA.

Ejemplo 2.- Utilizando formulas lógicamente equivalentes demostrar que:

(AB)c = Ac Bc

Solución.-

Considerando que: A= {x/ E(x)} y B= {x/ F(x)}

(AB)c = ({x/ E(x)} {x/ F(x)})c Cambio de notación

= ({x/ E(x) F(x)})c Definición de uniónAutor: Elio Romero Cuéllar Página 14


= {x/ (E(x) F(x))} Def. de complem.

= {x/ (E(x)) (F(x))} Ley de Morgan

= {x/ (E(x))} {x/ (F(x))} Def. de unión

= {x/ E(x)}c {x/ F(x)}c Def. de complem.

= Ac Bc Cambio de notación.

Ejemplo 3.- Demostrar mediante igualdades conjuntistas ya conocidas que:

A-(B-C) = (A-B) (AC)

Solución.-

A-(B-C) = A-(BCc) Diferencia y complemento= A((BCc))c Diferencia y complemento= A(Bc(Cc)c) Ley de Morgan= A(BcC) Ley de involución= (A Bc) (AC) Distributiva= (A- B) (AC) Difer. complem. hacia atrás

Ejemplo 4.- Demostrar mediante igualdades conjuntistas ya conocidas que: A ∆ (A B) = A - B

Solución.-

A ∆ (A B) = (A – (AB)) ((AB)-A) Def. de ∆

= (A(AB)c) ((AB)Ac) Difer. Complemento.

= (A(AB)c) (AcA)B) Conmu. y asociat.

= (A(AB)c) (ØB) Complementación

= (A(AB)c) Ø Identidad

= A(AB)c Identidad

= A(AcBc) Ley de Morgan

= (AAc)(ABc) Distributiva

= Ø (ABc) Complemento



= ABc Identidad

= A-B Diferencia y complemento.

NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO FINITO.-

DEFINICION.- El numero de elementos de un conjunto A cualquiera, es el número de elementos distintos que tiene dicho conjunto<

NOTACION.- n(A), se lee “número de elementos de A”

NUMERO DE ELEMENTOS DE LA UNION DE CONJUNTOS.-

n(AB) = n(A) + n(B) - n(AB)

Ejemplo.- De un grupo de 60 alumnos que aprobaron al menos una de las dos materias, 28 han aprobado FIS 100 y 46 han aprobado MAT 101. ¿Cuántos alumnos podemos asegurar que han aprobado ambas materias?

Ejemplo.-En una encuesta a cerca de programas de televisión que se realizó entre los estudiantes de tecnología, se tienen los siguientes resultados:

60 % prefieren el programa A50 % prefieren el programa B50 % prefieren el programa C30 % prefieren los programas A y B20 % prefieren los programas B y C30 % prefieren los programas A y C10 % prefieren los programas A, B y C

a) ¿Qué porcentaje prefiere los programas A y B pero no el C?b) ¿Qué porcentaje prefiere exactamente dos de los

programas mencionados?c) ¿Qué porcentaje no ve ninguno de los programas

mencionados?

d) ¿Qué porcentaje prefieren los programas B o C pero no el A?

Ejemplo.- Demostrar que:

n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AB)-n(AC)-n(BC)+n(ABC)



Ejemplo.- En la Facultad se está organizando las mini olimpiadas en los deportes: Fútbol, Béisbol y Natación. Hay 870 alumnos en la Facultad que van ha participar en estas disciplinas deportivas de los cuáles:400 pueden participar en Fútbol390 pueden participar en Béisbol480 pueden participar en Natación680 pueden participar en Fútbol o Béisbol210 no van ha participar en ninguno de los tres deportes9 participan en Fútbol, Béisbol pero no en Natación190 pueden participar solo en Natación

a) ¿Cuántos alumnos pueden participar por lo menos en dos de los tres deportes?b) ¿Cuántos alumnos pueden participar en los tres deportes mencionados?c) ¿Cuántos alumnos tiene la Facultad?

Ejemplo.-

1. De 180 maestros de una universidad 135 tienen su Doctorado, 146 son investigadores de tiempo completo. De los Doctores 114 son investigadores de tiempo completo. Indicar cuántos de estos maestros:

a) tienen su Doctorado o se dedican a investigar de tiempo completo.b) no tienen su Doctorado ni se dedican a investigar de tiempo completo.

BIBLIOGRAFIA:

1.- Armando Rojo : Algebra I : Editorial Ateneo2.- Lipschutz Seymour : Matemáticas finitas : Editorial Mc. Graw Hill3.- Lipschutz Seymour : Teoría de Conjuntos y temas afines : Editorial Mc. Graw Hill4.- Braulio Cáceres Ch. : Lógica y conjuntos : Editorial El País4.- Sebastian Lazo G. : Algebra Moderna : Impresiones Soipa Ltda.


unidad ii conjuntos(para blog)

Documents