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Guía de Trabajos PrácticosGuía de Trabajos PrácticosDeDe

2º AÑO2º AÑO

UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOSUNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS

1

LOS NÚMEROS REALES

Los números racionales son los que pueden expresarse en forma de fracción. Los números naturales, los enteros, las expresiones decimales exactas y las periódicas pueden ser expresadas en forma de fracción, por lo tanto, todos ellos son números racionales.Pero hay números que no pueden expresarse en forma de fracción, ya que su expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas: los números irracionales.La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales forman el conjunto de los números reales, que “completan” la recta numérica, ya que todos sus puntos pueden ser representados mediante un número real. Por ejemplo, son números irracionales:

Las raíces de números naturales cuyos resultados no son naturales: . Expresiones decimales “inventadas” con cierto criterio, de modo tal que la cantidad de cifras

decimales resulten infinitas y no periódicas: El número y el número

1) Marcar con una cruz los conjuntos numéricos a los que pertenece cada número:

2) Descubrir la secuencia con la que se inventaron los siguientes números irracionales y agregar a cada uno seis cifras decimales más:

a)

b)

3) Indicar cuáles de los siguientes números son racionales ( ) y cuáles son irracionales (I):

a) 2,473473473473…

b) 0,929929929929…

c)

d)

e)

f) -7,43

g)

h)

i) 4,2666666…

j) -13

k) 4,1411411141111…

l)

4) Señalar entre los siguientes números el menor conjunto numérico al que pertenecen, ya sea naturales ( ), enteros ( ), racionales ( ), irracionales ( ):

a) b)

2

c) 8

d) 0,3

e)

f)

g) -2,8

h)

LOS NÚMEROS RACIONALES

LAS FRACCIONES Y SUS SIGNIFICADOS

Recordemos a través de algunos ejemplos, los distintos significados con los que podemos interpretar un número escrito en forma de fracción.

Parte del todo : “Me comí las dos quintas partes del chocolate” (dividí el chocolate en 5 partes iguales

y me comí 2).

Relación entre cantidades : “La relación entre las horas trabajadas por Juan y por Pedro es ” (cada cinco

horas que trabaja Juan, Pedro trabaja 7). Porcentaje : “Pagué el 20% del precio total de un auto de $80.000” (pagué $20 de cada $100 de los

$80.000 o pagué ).

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

Si multiplicamos o dividimos el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número, obtenemos una fracción equivalente a la dada.

El procedimiento que consiste en dividir el numerador y denominador de una fracción por un mismo número se llama simplificación.

Cuando una fracción no se puede simplificar se llama fracción irreducible.

5) Responder:a) ¿Qué fracción de la semana representa 2 días?

b) ¿Qué fracción de la hora representan 12 min?

c) ¿Qué fracción del año representan 9 meses?

d) ¿Qué fracción de la hora representan 30 seg?

6) Calcular:a) El 25% de 840.

b) Las tres cuartas partes de 2284.

c) El número cuyo 50% es 75.

d) Qué fracción de 198 es 44.

e) Qué porcentaje de 140 es 20.

f) Qué porcentaje de 20 es 140.

REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

La fracción , por ejemplo, nos indica que hemos dividido al

entero en cinco partes iguales y hemos tomado dos de esas cinco partes.

3

Para representar en la recta numérica, como es positivo y menor que 1, lo ubicamos entre 0 y 1. Dividimos el

segmento unidad en 5 partes iguales y tomamos 2 de esas partes, a partir del 0:

¿Cómo representamos una fracción mayor que 1?

Representemos, por ejemplo, . Podemos hacerlo de dos formas:

Primera forma: dividimos la unidad en 4 partes iguales y tomamos 9 de ellas:

Segunda forma: tenemos en cuenta

que , o

expresado como número mixto, .

Para representar fracciones negativas, procedemos de la misma forma, pero desplazándonos hacia la izquierda del cero.

Por ejemplo, si representamos :

7) Representar en la recta numérica los siguientes números (utilizar una escala grande):

8) Representar los siguientes números en la recta numérica como fracción (trabajar con fracciones equivalentes

de igual denominador):

9) Representar en la recta numérica los números:

FRACCIONES Y EXPRESIONES DECIMALES

4

TRANSFORMACIÓN DE UNA EXPRESIÓN FRACCIONARIA EN UNA EXPRESIÓN DECIMAL

Las fracciones pueden expresarse como números decimales, dividiendo el numerador por el denominador.Por ejemplo, tres situaciones que se pueden presentar:

Cuando el numerador es múltiplo del denominador, se obtiene un número entero.

Cuando se puede “terminar” la división llegando a un resto cero, se dice que la expresión decimal es exacta.

Cuando no se puede “terminar” la división y el resto se repite, se dice que la expresión decimal es periódica.

TRANSFORMACIÓN DE UNA EXPRESIÓN DECIMAL EN UNA EXPRESIÓN FRACCIONARIA

Expresiones decimales exactas

El número decimal sin la coma.Ejemplos:

En el numerador se escribe el número decimal sin la coma y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número original.

Expresiones periódicas puras

Ejemplos:

Expresiones periódicas mixtas

Ejemplos:

10) Completar con la expresión correspondiente en cada caso:

Expresión fraccionaria Expresión decimal Expresión fraccionaria Expresión decimal

RELACIÓN DE ORDEN

11) Completar con >, < ó = según corresponda:

a) b) c)

5

d)e) f)

12) Transformar en fracciones equivalentes de igual denominador y ordenar en forma creciente:

a)

b)

c)

d)

13) Ordenar en forma decreciente el siguiente conjunto de números racionales (utilizando fracciones equivalentes de igual denominador):

14) ¿Cuál es el mayor número entero menor que ?

15) ¿Cuál es el menor número entero mayor que ?

16) Ordenar en forma creciente los siguientes números decimales:

3,098 / 3,98 / -3,980 / -3,0980 / 3,89 / 3,9 / -3,98

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

17) Resolver y reducir a la mínima expresión:a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

18) Resolver las operaciones indicadas hasta obtener expresiones que sean lo más sencillas posible:a)

b)

c)

d)

e)

f)

19) Simplificar las siguientes expresiones:

a)

b)

c)

d)

20) Encontrar el valor numérico de cada expresión, teniendo en cuenta el valor de x:a) -3 x2 – x – 5 Para x= -2 Rta: -15

b) – x2 – 2 x + 1 Para Rta:

c) Para Rta:

6

OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

SUMA ALGEBRAICA DIVISIÓN

Ejemplo: Ejemplo:

MULTIPLICACIÓN OPERACIÓN COMBINADA

Ejemplo: Ejemplo:

21) Resolver los siguientes cálculos:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

22) Resolver respetando los pasos en fracción:

a)

b)

c)

RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

7

ÍNDICE PAR – RADICANDO POSITIVO ÍNDICE IMPAR – RADICANDO POSITIVO

Ejemplos: Ejemplos:

porque porque

porque porque

porque

ÍNDICE PAR – RADICANDO NEGATIVO ÍNDICE IMPAR – RADICANDO NEGATIVO

Ejemplos: Ejemplos:

porque

porque porque

porque

Importante:

Para calcular cualquier raíz de una fracción:

Para calcular cualquier raíz de una expresión decimal existe una regla práctica: la cantidad de lugares

decimales de la raíz es igual a la cantidad de lugares decimales del radicando dividido el índice.

Ejemplos: porque

porque

Si la cantidad de lugares decimales del radicando no se puede dividir exactamente por el índice, entonces la raíz

no es exacta: no tienen raíz exacta.

23) Calcular las siguientes raíces:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

8

i) j) k)

l)

24) Resolver los siguientes cálculos, simplificando siempre que sea posible:

a) b)

25) Resolver las siguientes operaciones combinadas:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

26) Resolver:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

27) Observar los ejercicios anteriores y completar el párrafo:

La radicación y la potenciación se pueden distribuir con las operaciones………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………………………..

y no se pueden distribuir con las operaciones……………………………………………………………………...

Las siguientes propiedades son válidas siempre que existan todas las raíces involucradas.

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

En muchos casos, estas propiedades nos facilitan la resolución de operaciones con números irracionales expresados mediante radicales.

28) Resolver aplicando propiedades:

9

a)

b)

c)

d)

e)

f)

POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO

Para cualquier par de números naturales y y cualquier :

Ejemplos:

Las potencias de exponente fraccionario conservan todas las propiedades de las potencias de exponente entero.

29) Completar la tabla:

Potencia de exponente fraccionario

Radical

30) Resolver y escribir el resultado como radical, siempre que sea posible:

a)

b)

c)

31) Transformar las raíces en potencias de exponente fraccionario, resolver las operaciones indicadas y expresar el resultado en forma de radical:

a)

b)

c)

d)

e)

10

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica es una forma de escribir números muy grandes o muy pequeños. Se utiliza para poder expresarlos de una manera abreviada y para poder operar con mayor facilidad.Consiste en expresar al número como producto entre un decimal, cuyo valor absoluto sea mayor o igual que 1 y menor que 10, y una potencia de 10.

Ejemplos:

OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICAEjemplos:

32) Escribir los siguientes números en notación científica:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

33) Escribir los números que se encuentran expresados en notación científica:a)

b)

c)

d)

e)

f)

34) Expresar en notación científica las cifras que aparecen en los textos:

a) La velocidad de la luz es de ………………………………………………………………

b) Se calcula que el universo tiene quince mil millones de años…………………………………………………

c) El volumen de un grano de arena es de alrededor de …………………………………

d) La distancia del Sol a Plutón es de aproximadamente

………………………………….

e) La Luna está a unos de la Tierra………………………………………………………………...

f) El tamaño del virus del resfrío común es de ……………………………………………..

11

35) Resolver los siguientes cálculos y expresar los resultados en notación científica:a)

b) c)

USO DE LA CALCULADORA

Para operar con notación científica utilizando una calculadora científica se usa la tecla .

Ejemplo:

36) La luz viaja a una velocidad aproximada de .a) Calcular, ¿cuántos kilómetros recorre la luz en un año? (esta distancia es

un año luz).b) La distancia de la Tierra a la estrella más próxima, que es ,

es de 4 años luz. ¿A cuántos kilómetros equivale esta distancia?

37) Resolver utilizando y expresando el resultado en notación científica:

a) 190.000.000 . 3.720.000 =

b)

c)

d)

e)

PORCENTAJE

En nuestra vida cotidiana, oímos a menudo comentarios como éstos:

“El veinte por ciento de los alumnos no aprobó la evaluación.”“Compré una campera y me hicieron el diez por ciento de descuento.”“El banco está dando el doce por ciento anual sobre los depósitos.”

Tomemos la primera expresión.El 20% (veinte por ciento) significa veinte de cada cien. Podemos decir entonces que el porcentaje es una razón,

en nuestro ejemplo: .

Si se evaluó a 35 alumnos, ¿cuántos alumnos no aprobaron?Como el 20% no aprobó, decimos que de cada 100 alumnos no aprobaron 20.Llamando a la cantidad de alumnos no aprobados, planteamos la siguiente regla de tres simple:

Respuesta: No aprobaron 7 alumnos.

12

Si pensamos el porcentaje como una fracción de denominador 100, y recordando que el de una

cantidad significa hallar los de ella, resulta más fácil aún plantear el problema así:

Si en otro curso de 48 alumnos no aprobaron 9 alumnos la misma evaluación, ¿podrían afirmar que en este curso el rendimiento es menor que en el primero?

Calculamos qué porcentaje de alumnos no aprobó la evaluación:

Respuesta: El porcentaje de alumnos no aprobados es 18,75%; como este porcentaje es menor que el de no aprobados del primer curso, el segundo curso tiene mejor rendimiento que el primero.

A partir del ejemplo que hemos visto, podemos entonces decir que los porcentajes nos permiten comparar.

38) Calcular:

a) 15% de 250 =

b) 200% de 85 =

c) 100% de 70 =

d) 25% de 1.000 =

e) 50% de 400 =

f) 1% de 348

39) Indicar qué porcentaje representa cada expresión decimal:

a) 0,07 =

b) 0,47 =

c) 0,6 =

d) 2,7 =

40) Indicar qué porcentaje representa cada fracción:

a)

b)

c)

d)

13

41) ¿Cuáles de estas expresiones indican lo mismo?

a) El 25% de los chicos usa anteojos.

b) La cuarta parte de los chicos usa anteojos.

c) 1 de cada 4 chicos usa anteojos.

d) 25 centésimos de los chicos usan anteojos.

RECARGOS Y DESCUENTOS

El porcentaje es muy utilizado en el área comercial para calcular los recargos y los descuentos.

Ejemplos de recargos: En un negocio figura el precio de una bicicleta de la siguiente forma:

Calcular el precio total de la bicicleta.

El (impuesto al valor agregado) es un recargo o aumento que hay que pagar por todos los productos que se compran y es igual al 21% del precio.

Para calcular el :

Por lo tanto,

Otra forma de resolución es utilizando la regla de tres simple directa:

Respuesta: El precio total de la bicicleta es .

Juan se compró un celular de $1.200 y por pago con tarjeta de crédito sufrió un recargo del 6%. ¿Cuánto pagó Juan por el celular?

Respuesta: Juan pagó por el celular .

Ejemplos de descuentos: En un negocio de electrodomésticos, se efectúa un 8% de descuento sobre el precio de lista por pago en

efectivo. ¿Cuánto se pagará por un TV de $1.500?

Respuesta: Se pagará .

Calcular el precio de lista de una computadora que se abonó $2.937 con un descuento del 11%.

Respuesta: El precio de lista de la computadora es .

42) Una inmobiliaria cobra como comisión, sobre el precio de cada inmueble, un 2% al vendedor y un 3,5% al

comprador. Por un departamento de $68.000, ¿cuánto recibe de comisión?

43) a) En un negocio de venta de ropa, se efectúa un 15% de descuento sobre el precio de lista por pago a contado.

Laura compró un pantalón cuyo precio era de $78. ¿Cuánto pagó por el mismo?

b) Graciela no tenía dinero en efectivo, por lo tanto decide comprar una campera pero con tarjeta de crédito; en

este caso, en lugar de efectuarle un descuento, sufre un recargo del 10%. Si la campera costaba $165, ¿cuánto

pagó Graciela por la misma?

44) Un vendedor de autos recibe como comisión el equivalente al 5% de las ventas que realiza. ¿Cuál fue el

importe de las ventas del mes de Octubre si recibió $3.680 de comisión?

45) Calcular:

a) El valor de una cafetera de $250 con un descuento del 12%.

b) El importe a pagar por una tostadora de $175 con un recargo del 4%.

c) El importe de un impuesto que con un recargo del 3% se abonó $149,35.

46) En una ciudad la población aumentó en un 30% de 1975 a 1985. ¿Cuál era la cantidad de habitantes en el año

1975 si en 1985 había 52.000 habitantes?

47) En un negocio de electrodomésticos se hace un 5% de descuento por pago en efectivo y un 12% de recargo

por pago con tarjeta de crédito en 3 cuotas de igual valor. Completar la lista de precios (aproximar el resultado por

redondeo a dos cifras decimales, en caso de ser necesario):

Artículo Precio de lista Pago en efectivoPago con tarjeta: valor de

cada cuota

Heladera $1.650

Televisor $440

Videocasetera $134,40

48) En un negocio nos encontramos con el siguiente cartel:

1 artículo $50

4 artículos $175

¿Qué porcentaje de descuento hacen por cada artículo?

49) En un club que tiene 15.000 socios, el 30% practica fútbol, el 15% practica tenis, 2.380 practican hockey y el

resto solo asisten a clases de gimnasia aeróbica. Calcular:

a) ¿Cuántos socios practican fútbol?

b) ¿Cuántos socios practican tenis?

c) ¿Qué porcentaje practica hockey?

d) ¿Qué porcentaje asiste a aeróbica?

e) ¿Cuántos socios practican gimnasia aeróbica?

50) Los alumnos de 5º año del Sagrado Corazón realizaron un desfile para recaudar fondos. Se sabe que

obtuvieron una ganancia del 45%, siendo la misma de $856. ¿Qué gastos tuvieron para la realización del desfile?

51) En una empresa, los empleados están distribuidos de la siguiente forma: 5 pertenecen a gerencia, 20

pertenecen al sector de diseño y 6 son administrativos. Escribir el porcentaje de empleados que tiene cada sección.

(Aproximar los resultados por redondeo a los centésimos).

52) Mariana pagó en el mes de mayo las facturas de gas y servicio eléctrico. En los dos casos se abonó el IVA

(21%), que se calcula sobre el subtotal.

a) ¿Cuánto pagó por la factura de gas, si el subtotal que figura en la boleta era de $16,88 sin considerar el IVA?

b) Si por la factura de electricidad le cobraron de IVA $6,99, ¿cuál fue el importe total que debió abonar?

(Aproximar los resultados por redondeo a los centésimos).

53) El precio de lista de un LCD es de $7.200. Si se paga en efectivo, tiene un descuento del 12%.

a) ¿Cuánto dinero representa el descuento?

b) ¿Cuál es el precio en efectivo?

c) Si se paga en cuotas iguales, con tarjeta de crédito, tiene un recargo según la cantidad de cuotas.

Calcular y completar la tabla:

Cantidad de

cuotas

Porcentaje del

recargo

Valor del

recargo

Precio con

recargo

Valor de cada

cuota

2 3%

3 5%

6 11%

9 17%

12 26%

54) Se compra un MP4 con un recargo del 8% y se lo abona en 9 cuotas iguales de $21. ¿Cuál es el precio de lista

del MP4?

Para pensar:

55) En una bolsa de 900 kg, el 35% son porotos y el resto, lentejas. ¿Cuántos kilogramos de lentejas habrá que

sacar para que la cantidad de porotos sea el 60% del nuevo total?