capitulo ii teoria de conjuntos

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  • 7/26/2019 Capitulo II Teoria de Conjuntos

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    TEORIA DE CONJUNTOS

    Objetivo General.-

    Incentivar el uso adecuado de la teora de

    conjuntos aplicados en los diferentes esqueas

    de aprendi!aje"

    Objetivos Especfcos.-

    Deterinar los conceptos #$sicos necesarios

    para la coprensi%n de la Teora de Conjuntos"

    Capacitar al estudiante en la identi&caci%n de

    las diferentes clases ' operaciones de conjuntos

  • 7/26/2019 Capitulo II Teoria de Conjuntos

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    CONJUNTOS

    Concepto.-

    Un conjunto constitu'e la a(rupaci%n) clase) o

    colecci%n de o#jetos o en su defecto de eleentos

    que pertenecen ' responden a la isa cate(ora o(rupo de cosas) sean estos ateriales o a#stractos.

    Es usual denotar a los conjuntos por letras

    a'*sculas"

    En el caso de enuerar eleentos de los conjuntos

    con letras) se los representa con letras in*sculas

  • 7/26/2019 Capitulo II Teoria de Conjuntos

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    CONJUNTOS

    Determinacin de Conjuntos:E+isten dos aneras de deterinar a los conjuntoslos cuales pueden ser por e+tensi%n ' coprensi%n"

    Por extensin enumeracin:Se descri#e unoa uno los coponentes de un deterinadoconjunto) por ejeplo,

    A - . /)0)1)2)3)4)56"

    Por comprensin o tabulacin: Se e+presa alos eleentos del conjunto a trav7s depropiedades que posean los eleentos

    inte(rantes de ese deterinado conjunto) por-

  • 7/26/2019 Capitulo II Teoria de Conjuntos

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    CONJUNTOS

    En el ejeplo anterior se dice que est$deterinado por coprensi%n porque se enuerauna caracterstica co*n que re*nen todos loseleentos que lo coponen"

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    C9ASI:ICACION DECONJUNTOS

    /"; :inito

    0"; In&nito

    1"; Unitario

    2";

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    C9ASI:ICACION DE 9OS CONJUNTOS

    .- Conjunto fnito

    Cuando los ie#ros o eleentos del conjuntose pueden contar o enuerar"

    or ejeplo el conjunto de las letras delalfa#eto es un conjunto &nito que e+presadopor coprensi%n es,

    A - .+ I + son las letras del alfa#eto castellano6

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    C9ASI:ICACION DE 9OS CONJUNTOS

    !.- Conjunto "nfnito:

    Cuando los eleentos o ie#ros no se puedenenuerar o contar) se considera coo conjunto

    in&nito"

    Un ejeplo de conjunto in&nito son las estrellasdel cielo" 9os conjuntos in&nitos siepre de#er$n

    deterinarse por coprensi%nB para el ejeplo,

    8 - .+ I + son las estrellas del universo6

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    C9ASI:ICACION DE 9OS CONJUNTOS

    #.- Conjunto $nitario:

    Es el conjunto que tiene un solo ie#ro o eleento" Un

    ejeplo, C - .luna6

    %.- Conjunto &aco:

    Se trata del conjunto que no tiene eleentos) o que estosson ine+istentes) ejeplos,

    D - .+ I + son perros con alas6

    E - . 6Se considera el conjunto vaco coo su#conjunto decualquier conjunto"

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    C9ASI:ICACION DE 9OS CONJUNTOS

    '.- Conjunto $niversal o (e)erencial:

    Se llaa as al conjunto conforado por losie#ros o eleentos de todos los eleentos

    que acen parte de la caracteri!aci%n"or ejeplo) dados,

    A - ./) 1) 3) 56 8 - .0) 1) 26 C - . 4) 5) =) >6

    El conjunto universal o referencial es,

    U -./) 0) 1) 2) 3) 4) 5) =) >6

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    C9ASI:ICACION DECONJUNTOS

    *.- Conjuntos dis+untos o disjuntos

    Son aquellos conjuntos que no tienen nin(*nie#ro o eleento en co*n" Otra fora de

    e+presarlos es decir que la intersecci%n de dos o$s conjuntos dis'untos o disjuntos es elconjunto vaco"

    or ejeplo los conjuntos 8 ' C encionadoscoo ejeplos del conjunto universal sonconjuntos dis'untos pues no tienen nin(*nie#ro en co*n

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    C9ASI:ICACION DECONJUNTOS

    ,.- Conjuntos euivalentes

    Corresponde a los conjuntos con el ison*ero cardinal) es decir cuando tienen la

    isa cantidad de eleentos"

    or ejeplo,

    A - .a) #) c) d6

    8 - ./) a) I) alpa6

    or lo tanto A ' 8 son conjuntos equivalentes

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    C9ASI:ICACION DE 9OS CONJUNTOS

    .- Conjuntos i/uales

    Cuando los conjuntos contienen los isoseleentos) estos conjuntos son i(uales) por ejeplo,

    A - . 0) 2) 4) =) /@6

    8 - . 2) /@) 0) =) 46

    A ' 8 son i(uales porque contienen los isoseleentos" Es #ueno anotar que en un conjunto noiporta el orden en que se u#iquen) por eso elconjunto 8 es i(ual que el A

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    C9ASI:ICACION DE 9OS CONJUNTOS

    0.- Conjuntos 1omo/2neos

    Cuando sus ie#ros o eleentos que locoponen) pertenecen al iso tipo o (7nero"

    or ejeplo un conjunto copuesto por letras*nicaente) o por n*eros) etc"

    A - . a) l) ) p) r 6

    El conjunto es oo(7neo pues todos susie#ros son letras"

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    C9ASI:ICACION DE 9OS CONJUNTOS

    3.- Conjuntos 1etero/2neos

    Son aquellos conjuntos copuestos porie#ros de diferentes tipos) clases) (7neros)

    etc"

    or ejeplo , 8 - . /) a) prado) rojo6

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    C9ASI:ICACION DECONJUNTOS

    .- Conjuntos con/ruentes

    Dos conjuntos nu7ricos son con(ruentescuando sus respectivos ie#ros se pueden

    poner en correspondencia uno a uno) deanera que la distancia entre ellos seanten(a,

    A - .0) 2) 4) =) /@6 8 - .5) >) //) /1) /36

    As, 0 ' 5B 2 ' >B 4 ' //B = ' /1B /@ ' /3tienen todos ellos coo distancia entre ellos '

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    C9ASI:ICACION DE 9OS CONJUNTOS

    !.- Conjuntos no con/ruentes

    Cuando entre dos conjuntos no se puede daruna correspondencia entre los ie#ros de los

    conjuntos) de anera que la distancia entreellos no sea constante) los conjuntos seconsideran no con(ruentes"

    Ejemplo:

    4 5 6!7 %7 *7 7 3 8 C 5 6'7 *7 ,7 708

  • 7/26/2019 Capitulo II Teoria de Conjuntos

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    CONJUNTOS

    ertenencia

    Si a es un eleento del conjunto A se denotacon la relaci%n de pertenencia a A"

    En caso contrario) si a no es un eleento deA se denota a A"

    Cuando en deterinado conte+to seconsideran siepre conjuntos que son partes

    de uno dado U) se suele considerar a dico Ucoo conjunto universal o de referencia"

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    OERACIONES DECONJUNTOS

    Conocida ta#i7n coo Al(e#ra deconjuntos) siendo las operaciones entreconjuntos, uni%n) intersecci%n) diferencia)

    diferencia si7trica ' copleento" /"; UNION DE CONJUNTOS

    9a uni%n de conjuntos A ' 8 constitu'e elconjunto soluci%n que se encuentraforado por todos los eleentos de losconjuntos A ' 8) sin que nin(uno de susie#ros se repita"

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    UNION DE CONJUNTOS

    Ejeplo /,

    A - . a ) # ) c 6

    8 - . c ) d ) e ) f 6

    A U 8 - a ) # ) c ) d ) e ) f 6Se lee, F A uni%n 8 G

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    UNION DE CONJUNTOS

    Ejeplo 0,

    A - .;/) /) 0) 16

    8 - .0) 2) 46

    C- .2) 3) 5) =6A U 8 - . ;/) /) 0) 1) 2) 46

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    ROIEDADES DE 9A UNION DECONJUNTOS

    Conutativa, A uni%n 8 - 8 uni%n A

    Asociativa, HA U 8 U C - A U H8 U C"

    Distri#utiva, A U H8 C - HA U 8 HA U C

    A#sorci%n, A uni%n HA intersecci%n 8 - A Idepotencia, A uni%n A - A

    Eleento neutro, A uni%n conjunto vaco - A

    Doinaci%n, U uni%n A - U

    Inversa, A uni%n A - U

    Inversa de Kor(an, HA uni%n 8 - A intersecci%n 8

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    INTERSECCION DECONJUNTOS

    9a intersecci%n de los conjuntos A ' 8) es elconjunto que contiene eleentos a losconjuntos A ' 8"

    Ejeplo /,

    A - . / ) 0 ) 1 ) 2 ) 3 6 8 - . / ) 1 ) 3 ) 5 6

    A L 8 - . / ) 1 ) 3 6

    Se lee, F A intersecci%n 8 G

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    INTERSECCION DECONJUNTOS

    Ejeplo 0, A - . / ) 0 ) 1 ) 2 ) 3 6

    8 - . / ) 0 ) 2 ) 5 6

    C - . 2 ) 3 ) > ) /@ 6

    A L 8 L C - . 2 6

    Se lee, F A intersecci%n 8 intersecci%n C G

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    ROIEDADES DE 9A INTERSECCION

    Conutativa, A 8 - 8 A Asociativa, HA 8 C - A H8 C"

    Distri#utiva, A H8 U C - HA 8 U HA C

    A#sorci%n, A HA U 8 - A Idepotencia, A A - A

    Eleento neutro, A conjunto vaco - M

    Doinaci%n, conjunto vaco A - M

    Inversa, A A - M

    Inversa de De Kor(an, HA 8 - A U 8

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    DI:ERENCIA DE CONJUNTOS

    9a diferencia de dos conjuntos) A enos 8) esel conjunto forado por eleentos de A queno pertene!can a 8"

    Ejeplo 0,

    A - . a ) # ) c ) d ) e 68 - . d ) e ) f ) ( ) 6

    A 8 - . a ) # ) c 6

    Se lee, FEl conjunto A enos el conjunto 8) esel conjunto a) #) cG"

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    DI:ERENCIA DE CONJUNTOS

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    COK9EKENTO DE UNCONJUNTO

    Sean los conjuntos A ' universal U" Elcopleento del conjunto A es la partedel conjunto universal que no pertenece

    a A" Ejeplo ,

    A - . vocales 6

    8 - . el alfa#eto 6A - U A - . las consonantes 6

    Se lee, FA es el copleento de AG"

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    COK9EKENTO DE UNCONJUNTO

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    DI:ERENCIA SIKETRICA

    Es el conjunto forado por la parteno co*n de dos conjuntos"

    Ejeplo ,

    A - . 0 )2 ) 4 ) = ) /@ 6 8- . 0 ) 2 )3 ) 5 ) > 6

    A P 8 - H A U 8 H A L 8

    A P 8 - H 3 ) 4) 5 ) = )> ) /@

    Se lee, FA diferencia si7trica 8G"

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    DI:ERENCIA SIKETRICA

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    P(OP"ED4DE9 DE 49 OPE(4C"O;E9CO; CO;$=4="&"D4D: 4 $ @ 5 @ $ 4

    4 ? @ 5 @ ? 4

    #.- 49OC"4="&"D4D: 4 $ A@ $ CB 5 A4 $ @B $ C

    4 ? A@ ? CB 5 A4 ? @B ? C

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    P(OP"ED4DE9 DE 49OPE(4C"O;E9 CO; CO;

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    P(OP"ED4DE9 DE 49OPE(4C"O;E9 CO; CO;PE>E;=O:

    4 $ 4C 5 $

    4 ? 4C 5

    A4C

    BC

    5 4

    $C5

    C5 $

    ,.- DE >O(G4;: A4 $ @BC5 4C? @C

    A4 ? @BC5 4C$ @C

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    P(OP"ED4DE9 DE 49OPE(4C"O;E9 CO; CO;

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    P(OP"ED4DE9 DE 49OPE(4C"O;E9 CO; CO;

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    P(OP"ED4DE9 DE 49OPE(4C"O;E9 CO; CO;or/an

    A4 $ @ $ CB ? A4C$ @CB distribut conmutat

    FA4 $ @ $ CB ? 4C $ FA4 $ C $ @B ? @C conmutatividad

    F4C ? A4 $ @ $ CB $ F @C ? A4 $ C $ @B asociatividad

    64C ? F4 $ A@ $ CB 8 $ 6@C ? FA4 $ CB $ @8distribuitividad

    6A4C ? 4B $ F4C? A@ $ CB8 $ 6FA@C? A4 $ CB $ A@C? @B8complem

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    P(OP"ED4DE9 DE 49OPE(4C"O;E9 CO; CO;

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    OERACIONES DECONJUNTOS

    Ejercicio,Una persona toa lece o ju(o cada aQana eles de julio" Si toa lece 03 aQanas ' toa ju(o/= aQanas Cu$ntas aQanas toa los dos

    alientosA - . la aQana toa lece6 nHA - 03

    8 - . la aQana toa ju(o6 nH8 - /=

    /= 03 - 1/ /= 03 1/ -

    - /0

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    OERACIONES DE CONJUNTOS

    E

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    OERACIONES DECONJUNTOS

    a A U 8 f Cc

    # 8 L A ( 8 U A

    c A P 8 A L 8

    d 8 U i H A U 8 c

    e U 8

    OERACIONES DE

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    OERACIONES DECONJUNTOS

    OERACIONES DE

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    OERACIONES DECONJUNTOS

    OERACIONES CON

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    OERACIONES CONCONJUNTOS

    OERACIONES CON

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    OERACIONES CONCONJUNTOS

    OERACIONES CON

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    OERACIONES CONCONJUNTOS

    OERACIONES CON

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    OERACIONES CONCONJUNTOS

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    OERACIONES CONCONJUNTOS

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    OERACIONES CONCONJUNTOS

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    OERACIONES CONCONJUNTOS

    OERACIONES CON

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    OERACIONES CONCONJUNTOS

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    OERACIONES CONCONJUNTOS

    En los si(uientes ejeplos utili!ar eldia(raa de

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    OERACIONES CON CONJUNTOS

    H A U 8 U C H

    A L 8 HL C

    H A L 8 HL H C U A

    H 8 HL C H L H A L C

    H H A L C U C H A P 8 H

    . 8 H A U 8 HV P H A L 8 6 C H 8 P C U A V L H AHL 8H P A V

    H A L CH U H 8HL C H

    OERACIONES CON

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    OERACIONES CONCONJUNTOS

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    OERACIONES CONCONJUNTOS

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    OERACIONES CONCONJUNTOS

    OERACIONES CON

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    OERACIONES CONCONJUNTOS

    OERACIONES CON

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    OERACIONES CONCONJUNTOS

    OERACIONES CON

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    OERACIONES CONCONJUNTOS

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    OERACIONES CONCONJUNTOS