conjuntos ii

31

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Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}

Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}

Números Racionales (Q) Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}

Números Irracionales ( I ) I={...; ;....}2; 3;

Números Reales ( R )

R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2; 3

12

15

12

43

Números Complejos ( C )

C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}2; 312

N

ZQ

I

RC

EJEMPLOS:

Expresar por extensión los siguientes conjuntos:

A ) 2P x N /x 9 0

B )

C )

D ) T x Q /(3x 4)(x 2) 0

E ) B x I /(3x 4)(x 2) 0

2Q x Z /x 9 0 2F x R /x 9 0

P={3}

Q={-3;3}

F = { }

4T

3

B 2

RESPUESTAS

INDICE

76

556

A B

El conjunto “A unión B” que se representa asi es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A,a B o a ambos conjuntos.

A B

A B x /x A x B

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS

Si A y B son no comparables Si A y B son comparables

Si A y B son conjuntos disjuntos

U

U

U

A

A

A B

B

B

AUB AUB

PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS

INDICE

76

556

A B

El conjunto “A intersección B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B.

A B

A B x /x A x B

Ejemplo:

A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 5;6;7

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

Si A y B son no comparables Si A y B son comparables

Si A y B son conjuntos disjuntos

U

U

U

A

A

A B

B

B

PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

INDICE

76

556

A B

El conjunto “A menos B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

A B

A B x /x A x B

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4

76

556

A B

El conjunto “B menos A” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.

B A

B A x /x B x A

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

B A 8;9

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Si A y B son no comparables Si A y B son comparables

Si A y B son conjuntos disjuntos

U

U

U

A

A

A B

B

A - B A - B

B

A - B=A

INDICE

76

556

A B

El conjunto “A diferencia simétrica B ” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a (A-B) o(B-A).

A B

A B x /x (A B) x (B A)

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4 8;9

También es correcto afirmar que:

A B (A B) (B A)

A B (A B) (A B)

A BA-B B-A

A B

Dado un conjunto universal U y un conjunto A,se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A.

Notación: A’ o AC

Ejemplo:

U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} A ={1;3; 5; 7; 9}y

Simbólicamente: A ' x /x U x A

A’ = U - A

12 3

45

6

78

9

U AA

A’={2;4;6,8}

PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO

1. (A’)’=A 4. U’=Φ

5. Φ’=U

INDICE

PROBLEMA 1PROBLEMA 2PROBLEMA 3PROBLEMA 4PROBLEMA 5

SOLUCIÓN

Los elementos de A son:Primero analicemos cada conjunto

1 3x1

tt4tt1 3x2

tt7tt1 3x3

tt tt101 3x11

tt3 tt4

1 3x0

tt1tt

...

Los elementos de B son:

2x2

tt4tt2x3

tt6tt 2x4

tt8tt 2x13

tt tt262x1

tt2tt ...

n(B)=13

n(A)=12

Los elementos de C son:

3 4x1

tt7tt3 4x2

tt tt113 4x3

tt tt153 4x7

tt tt31

3 4x0

tt3tt

...

a) Expresar B y C por comprensión

b) Calcular: n(B) + n(A)

n(C)=8

n(B) + n(A) = 13 +12 = 25

A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34} B = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}C = {3;7;11;15;19;23;27;31}

C – A = { 3;11;15;23;27 }

Sabemos que C - A esta formado por los elementos de C que no pertenecen a A, entonces:

SOLUCIÓN

Observa que los elementos de A son:

1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11

es VERDADERO

Entonces:

es VERDADERO porque Φ estaincluido en todo los conjuntos

es VERDADERO porque {3}es un elemento de de G

es FALSO porque {{7};10}

no es elemento de G es FALSO

SOLUCIÓN

Analicemos cada conjunto:

2x2 + 5x – 3 = 02x – 1

+ 3x(2x-1)(x+3)=0

2x-1=0 x = 1/2x+3=0 x = -3

Observa que xZ , entonces:P = { -3 }

M = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }

Cada factor lo igualamos a cero y calculamos los valores de x

Por lo tanto:T = { -3;3;4 }

a) Calcular: M - ( T – P )

M - (T –P)= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } - {3 ;4 }

M - (T –P)= {1 ; 2 ; 5 }

b) Calcular: Pot( M – T )

M – T = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } - { -3;3;4 } M – T = {1 ; 2 ; 5 }

Pot( M – T ) = { {1}; {2}; {5};

{1;2};{1;5};{1;2;5};

{2;5};Φ }

Expresar la región sombreada en términos de operaciones entre los conjuntos A,B y C.

A B

C

A

B

C

SOLUCIÓN

A B

C

A B

CA

B

C

AB

C

A B

A

B

C

Observa como se obtiene la región sombreada

C

Finalmente le agregamos C y se obtiene:

=