Prof. Domingo de la Cerda

Capitulo 2. Óptica geométrica.

La óptica geométrica está relacionada con el estudio de las imágenes que se forman cuando ondas esféricas inciden sobre superficies planas y esféricas. En este capítulo conoceremos que las imágenes se forman por los efectos de refracción y refracción y que los llamados espejos y lentes trabajan debido a este fenómeno. Se emplea la aproximación de rayos y el supuesto de que la luz viaja en línea recta.

2.1 imágenes formadas por espejos.

2.1.1 imágenes formadas por espejos planos.

Un espejo plano es el más sencillo de los espejos. Considere la figura 2.1.1, en donde una fuente puntual se ubica en O a una distancia p frente del espejo plano. A la distancia p se le denomina distancia al objeto. Los rayos luminosos salen de la fuente y se reflejan en el espejo, después de que se reflejan los rayos divergen, es decir se dispersan, pero para el observador parece que los rayos reflejados provienen de un puno I localizado detrás del espejo.

El punto I se denomina Imagen del objeto y estas imágenes siempre se forman detrás en el punto desde el cual parece que divergen. La distancia que existe desde el punto I al espejo (q’), se le denomina distancia de la imagen.

Las imágenes formadas en los espejos pueden ser reales o virtuales. Una imagen real se forma cuando los rayos de luz pasan por el punto de la imagen y divergen de él, la imagen se forma frente al espejo; una imagen virtual se forma cuando de él. La imagen se forma atrás del espejo. La imagen formada por la figura 2.1.2 es virtual.

Por geometría simple, es fácil examinar las propiedades de las imágenes formadas por espejos planos. Considere la figura 2.1.2. Aunque la imagen formada está integrada por un número infinito de rayos de luz que dejan cada punto del objeto, solo re requiere seguir dos de ellos para determinar en donde se forma la imagen. El primer rayo empieza en P y sigue una trayectoria horizontal hacia el espejo y se refleja de regreso sobre sí mismo.

El segundo rayo se origina también en P y sigue una trayectoria PR y se refleja cómo se muestra en la figura de acuerdo a la ley de reflexión. Un observador al frente del espejo trazar los dos rayos reflejados de regreso al punto en donde aparentemente se originan, es decir al punto P’ detrás del espejo, continuando con el mismo proceso para cada uno de los puntos del objeto daría como resultado una imagen virtual como la representada por la flecha en la figura detrás del espejo.

Como los triángulos PQR y P’QR son congruentes, concluimos que la imagen formada por un objeto situado frente a un espejo plano esta a la misma distancia detrás del espejo a la que está el objeto frente al espejo, es decir p=q. por geometría también se demuestra que la altura del objeto h, es igual a la altura de la imagen h’.

Al aumentar lateral M, se le define como:

El aumento lateral M es una definición general para cualquier tipo de espejo y nos dice que tanto aumento la altura de la imagen en función de la altura del objeto.

Un espejo plano produce una imagen que tiene inversión aparente de izquierda a derecha, podemos ver esta inversión al pararnos frente a un espejo plano y levantar la mano derecha, la imagen que vemos, levanta la mano izquierda o un lunar en la mejilla izquierda, aparece en la imagen en la mejilla derecha. Esta inversión no es realmente izquierda derecha, sino que realmente es una inversión del frente hacia atrás, causado por los rayos de la luz que van hacia el espejo y luego se reflejan hacia atrás de este.

Un sencillo experimento lo puede demostrar si fijas una calcomanía trasparente con palabras en la ventana trasera de su automóvil. Si la calcomanía se puede leer desde el exterior del auto, también se puede leer mirándolo desde el espejo retrovisor desde el interior del auto

Podemos concluir que la imagen formada por un espejo plano tiene las siguientes propiedades:

La imagen esta atrás del espejo a la misma distancia a la cual el objeto esta frente al espejo (p=q)

La imagen no esta ampliada (M=1), es virtual y está de pie (la flecha de la imagen apunta siempre en la misma dirección que la flecha del objeto como en la figura 2.1.2)

La imagen se ha invertido de atrás hacia adelante.

Ejemplo 2.1Una persona de 1.75m de altura se para frente a un espejo plano vertical. ¿Cuál es la altura mínima del espejo y a qué altura debe estar su borde inferior sobre el piso para que ella pueda ver totalmente su cuerpo en el espejo? Considere que los ojos de la persona están a 10 cm debajo de la parte superior de su cabeza como se muestra en la figura.

Solución. De la figura consideremos los rayos que parten de la punta del pie, AB y el rayo reflejado B. como la luz reflejada entra al ojo en el punto E, es necesario que el espejo no extienda más abajo que el puente B, puesto que el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia a la altura BD es la mitad de la altura de la persona.

Como AE = 1.75 m -10 cm = 1.65 m y BD = 82.5 cm. Análogamente, si la persona observara la parte superior de su cabeza, el borde superior del espejo solo requiere llegar al punto F que se encuentra 5 cm debajo de la parte superior de su cabeza, la mitad de GE.

Por lo tanto DF =AG-DF =1.75 cm -5 cm =1.70 y el espejo requiere una altura de solo 1.70 m – 82.5 cm = 87.5 cm.En general solo es necesario que un espejo de la mitad delo a la mitad de la altura de una persona para que esta se mire completamente. ¿Este resultado depende de la distancia de la persona al espejo?

Ejemplo 2.2

En la siguiente figura se observan dos espejos planos formando entre si un angulo recto, si un objeto se coloca en el punto. ¿Cuántas imágenes se forman en este caso? Localiza las posiciones de estas imágenes.

La imagen del objeto es el espejo 1 estará en l1 y la imagen es el espejo 2 estará en la imagen l2. Además se forma una imagen l3. Esta tercera imagen es la imagen de l1 en el espejo 2, o de forma similar es la imagen de l2 en el espejo 1. Esto significa que la imagen l1 o l2 imagen l2

sirven de imagen del objeto para la imagen l3.

Ejemplo2.3

Una vela de 3.45 cm de alto esta a 43.6 cm a la izquierda de un espejo plano. ¿En donde se encuentra la imagen formada por la vela en un espejo plano y cuál es la altura de la imagen?

Solución. Como en los espejos planos la distancia del objeto al espejo (p) siempre es igual a la distancia de la imagen al espejo (q), entonces:P = q = 43.6 cm y como en los espejos planos la imagen formada siempre es virtual, entonces la imagen se encuentra a 43.6 cm a la derecha del espejo.En un espejo plano la altura del objeto es igual a la altura de la imagen, por tanto: h = h’ = 3.45 cm., además la imagen está de pie.

2.1.2 imágenes formadas por espejos esféricos.

Un espejo esférico tiene la forma de un segmento de una esfera. Este tipo de espejos enfoca los rayos paralelos entrantes en un punto. Los espejos esféricos pueden ser cóncavos y convexos.

Espejos cóncavos.

Las figuras 2.1.3a y 2.1.3b muestran lo anterior e indican la sección transversal de un espejo esférico cuya superficie está representada por las líneas negras curva y continua. Un espejo como este en el que refleja la luz en la superficie interior, recibe el nombre de espejo cóncavo.

El espejo tiene un radio de curvatura R, su centro de curvatura se localiza en el punto C, el centro del segmento esférico se localiza en el punto V y la línea dibujada de C a V se denomina eje principal del espejo.

Consideremos ahora la figura 2.1.3b en donde se coloca una fuente puntual de luz en el punto 0.0 puede ser cualquier punto sobre el eje principal a la izquierda del punto C. la figura muestra tres rayos divergentes que se originan en O. después de reflejarse en el espejo los tres rayos convergen (se juntan) en el punto de la imagen, los rayos continúan a partir de I como si ahí hubiera un objeto. Como resultado se tiene en el punto I una imagen real producto de la fuente puntual en O.Para este análisis estamos considerando solo rayos que divergen desde el objeto que formen un pequeño ángulo con el eje principal. A estos rayos de les denominan rayos paraxiales. Todos los rayos paraxiales se reflejan a través del punto imagen.

Los rayos que divergen desde el objeto y formen ángulos mayores (no paraxiales)Con el eje principal produce una imagen difusa. Este efecto se le denomina aberraciones esféricas y se representan hasta cierto grado en cualquier tipo de espejo esférico. La figura 2.1.4 ilustra dicho efecto.

Consideremos ahora la figura 2.1.5 para calcular la distancia q a partir del conocimiento de la distancia p y del radio de curvatura R. por convención estas distancias se miden desde el punto V a la imagen y al objeto respectivamente.

La figura nos presenta dos rayos de luz que emergen desde la punta del objeto. Una de los rayos pasa por el centro de curvatura C del espejo, encontrándose con la perpendicular del espejo en su viaje al espejo y se refleja de regreso sobre sí mismo. El segundo rayo llega al espejo en su centro V y se refleja cómo se muestra obedeciendo a la ley de reflexión. La imagen de la punta de la flecha se localiza en el punto donde los dos rayos se cruzan.

Considerando el triangulo rectángulo (punta de flecha-V-O) de la figura, se observa que:

tanϴ= hp

en tanto que en el triangulo rectángulo pequeño de la figura tenemos que

tanϴ=−h 'p

El signo negativo indica que la imagen esta invertida, de modo que h’ se

considera negativa. Como consecuencia la ecuación 2.1.1 se puede expresar la amplitud de espejo como:

En los triángulos de la figura se observa también que el ángulo α es igual a:

De donde se encuentra que:

Comparando las ecuaciones 2.1.2 y 2.1.3 vemos que:

Reduciendo algebraicamente:

Esta expresión recibe el nombre de ecuación del espejo y es aplicable solo para rayos paraxiales.

Si el objeto se encuentra situado muy lejos del espejo, es decir si la distancia p es más grande que R, de modo que pueda decirse que p se acerca al infinito; entonces 1/p=0, y la ecuación 2.1.4 queda 1/q=2/R, lo que significa que cuando el objeto se encuentra muy lejos del espejo, el punto imagen esta a la mitad entre el centro de curvatura C y el punto centro del espejo V.

La figura 2.1.6 ilustra lo anterior. Los rayos entrantes del espejo. En este caso particular al punto imagen se le llama punto focal F y a la distancia a la imagen longitud focal f donde:

La longitud focal f de un espejo depende solo de la curvatura del espejo y no del material de que está hecho. Es un parámetro particular de cada espejo. La ecuación del espejo se puede expresar en función de la longitud focal como:

Espejos Convexos.

Un espejo convexo es aquel que se forma de un segmento de esfera en donde la luz se refleja en la superficie convexa exterior. La figura 2.1.7 presenta la formación de una imagen en un espejo convexo, también conocido como espejo divergente porque los rayos incidentes desde cualquier punto sobre un objeto divergente después de reflejarse, como si partiera desde un punto detrás del espejo.

La imagen en la figura es virtual, ya que los rayos reflejados solo parecen originarse en el punto imagen, como los muestran las líneas punteadas. Además, la imagen siempre esta vertical y es más pequeña que el objeto.

Las ecuaciones deducidas para los espejos cóncavos se aplican también para los espejos convexos solo si seguimos las reglas siguientes:

Considerar la región frontal como aquella en que los rayos se mueven hacia el espejo y el otro lado del espejo como lado posterior.

Considerar los signos de p y q de acuerdo a la siguiente figura.

Considerar las convecciones de signos para todas las cantidades de acuerdo a la siguiente tabla:

Convecciones de signo para espejos

P es positiva si el objeto está enfrente del espejo (objeto real).P es negativa si el objeto está detrás del espejo (objeto virtual).

Q es positiva si la imagen está enfrente del espejo (imagen real).Q es negativa si la imagen está detrás del espejo (imagen virtual).

Tanto f como R son positivas si el centro de curvatura está enfrente del espejo.Tanto f como R son negativas si el centro de curvatura está detrás del espejo.

Si M es positiva, la imagen esta vertical.Si M es negativa, la imagen esta invertida.

2.1.3 Determinación de imágenes por diagramas de rayos para espejos cóncavos y convexos.

Para determinar las posiciones y tamaños de las imágenes formadas por espejos empleando diagramas de rayos, necesitamos conocer la posición del objeto, la ubicación del punto focal del espejo y el centro de curvatura.

Se dibujan tres rayos como lo muestran las figuras 2.1.8a, 2.1.8b y 2.1.8c. Todos los rayos parten del mismo punto del objeto y pueden partir desde cualquier punto del objeto-, aquí por simplicidad se eligió la parte superior del objeto. Se dibuja del modo siguiente.

El rayo 1 inicia en la parte superior del objeto paralelo al je principal y se refleja a través del punto focal f.

El rayo 2 se dibuja desde la parte superior del objeto a través del punto focal f y se refleja paralelo al eje principal.

El rayo 3 se dibuja desde la parte superior del objeto a través del centro de curvatura C y se refleja sobre sí mismo.

En la intersección de dos de cualquieras de los tres rayos se formara la imagen. El tercer rayo servirá para comprobar la construcción. El punto imagen obtenido así deberá concordar con el valor de q calculado a partir de la ecuación del espejo.

La figura 2.1.8a nos permite observar lo que sucede con espejos cóncavos cuando el objeto se acerca al espejo, la imagen invertida real se mueve hacia la izquierda a medida que el objeto se aproxima al punto focal. Cuando el objeto se encuentra en el punto ocal, la imagen esta infinitamente lejos del lado izquierdo. Cuando el objeto se sitúa entre el punto focal y la superficie del espejo, como lo muestra la figura 2.1.8b, la imagen es virtual, vertical y aumentada.

La figura 2.1.8c nos muestra un espejo convexo. Aquí la imagen siempre es virtual y de tamaño reducido, conforme la distancia del objeto aumenta, la imagen virtual reduce su tamaño y se acerca al punto focal a medida que p tiende a infinito.

Ejemplo 2.4

Un espejo esférico tiene longitud focal de +10cm. Localice y describa la imagen formada para distancias al objeto de a) 20.0cm, b) 10cm y c) 4cm.

Solución. Como la distancia focal f, es positiva, podemos determinar que se trata de un espejo cóncavo (ver tabla 2.1). esta situado es similar a la de la figura 2.7a; por lo que se espera que la imagen sea real y este más cercano al espejo que el objeto. La figura nos indica también que la imagen esta invertida y es de tamaño menor que el objeto.

Calculamos la distancia a la imagen (q) empleando la ecuación del espejo:Para distancia al objeto de 20.0cm:

El aumento esta dado por la ecuación: M=−qp

; sustituyendo valores:

M=−2020

=−1; El valor absoluto de M es la unidad, significa que la imagen es igual al objeto y

esta se encuentra invertida.Como q es positiva, la imagen se encuentra al frente del espejo y es real.

Para la distancia al objeto igual a 10cm.

Lo que significa que los rayos originados desde un objeto colocado en el punto focal de un espejo, se refleja de manera que la imagen se forma a una distancia infinita del espejo; es decir, los rayos viajan paralelos entre si después de la reflexión. Esta es la situación en una linterna en donde el filamento del bulbo se coloca en el punto focal de un reflector, produciendo un haz paralelo de luz.

P=4 cm, lo que significa que el objeto está ubicado entre el punto focal y la superficie del espejo, por lo que se espera una imagen ampliada, virtual y vertical.

La imagen es virtual, se encuentra detrás del espejo. El aumento lateral:

M=−qp

=−−6.6620

=1.66 ; La imagen es de 1.66 más grande que el objeto y se encuentra

vertical.

Ejemplo 2.5Una persona de 1.70m de altura se encuentra parada a 2.5m de un espejo convexo antirrobos. La longitud focal del espejo es de -0.2m. Encuentre la posición de la imagen y el aumento.

Solución. La figura 2.7c. Representa esta situación por lo que se espera encontrar una imagen virtual, vertical y reducida.Para encontrar la posición de la imagen utilizamos la ecuación del espejo:

El valor negativo de q indica que la imagen es virtual, se encuentra detrás del espejo. El aumento es:

M=−qp

=−−0.22720

=0.09 ; La imagen es mucho más pequeña que el objeto y se encuentra

vertical.

2.2 imágenes formadas por refracción.

Cuando los rayos de luz son refractados en la frontera entre dos materiales transparentes se forman imágenes. Considere dos medios transparentes cuyos índices de refracción son n1 y n2, donde la frontera entre los dos medios es una superficie esférica de radio R como lo muestra la figura 2.2.1.

El objeto se encuentra en O en un medio de índice de refracción n1, donde n1 es mayor que n22. Solo se consideran los rayos paraxiales que salen de O. todos los rayos se refractan en la superficie esférica y se enfocan n el punto imagen I.

La figura 2.2.2, muestra un solo rayo que sale de O y se enfoca en el punto I.

La ley de Snell aplicada para este rayo produce: n1ϴ1=n2ϴ2, ya que los ángulos ϴ1 y ϴ2 se suponen pequeños y podemos emplear la aproximación de ángulo pequeño sin ϴ=ϴ (en radianes) y decir que.

n1ϴ1=n2ϴ2

Aplicando la regla de que un ángulo exterior de cualquier triangulo es igual a la suma de los ángulos interiores opuestos, entonces de los triángulos OPC y PIC de la figura, se obtiene:

ϴ1=α+β

β=ϴ2+γ

Cambiando las tres ecuaciones y eliminando ϴ1 y ϴ2, encontramos:

n1α+n2 γ=(n2−n1)β (2.7)

Si se observan los tres triángulos de la figura 2.2.2 se ve que los tres tienen un lado común de longitud d. para rayos paraxiales, los lados horizontales de dichos triángulos son aproximadamente p para el triangulo de α, R para el triangulo que contiene a β y q para el triangulo que contiene a γ. En la aproximación de ángulos pequeños, tan ϴ=ϴ, nos permite escribir las relaciones aproximadas para estos triángulos de la siguiente forma:

tanα ≈ α ≈dq

tan β ≈ β ≈dq

tan γ ≈ γ ≈dq

Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación 2.1.7 y dividiendo entre d, obtenemos:

n1p

+n2q

=n2−n1

R (2.8)

Como en el caso de los espejos se debe emplear una convención de signos para poder aplicar esta ecuación en diversas circunstancias.

Lado frontal de la superficie se define aquel en el que los rayos se originan. Al otro lado se le llama lado posterior.

Las imágenes reales se forman por refracción en el lado posterior de la superficie, en contraste con los espejos, donde las imágenes reales se forman al frente de la superficie reflejante.

Los signos para q y R son opuestos a la convención de signos para la reflexión. La tabla 2.2 siguiente muestra la convección de signos para la refracción.

Convecciones de signo para espejos

p es positiva si el objeto está enfrente del espejo (objeto real).p es negativa si el objeto está detrás del espejo (objeto virtual).

q es positiva si la imagen está enfrente del espejo (imagen real).q es negativa si la imagen está detrás del espejo (imagen virtual).

R es positiva si el centro de curvatura está detrás de la superficie convexa.R es negativas si el centro de curvatura está enfrente de la superficie convexa.

Si M es positiva, la imagen esta vertical.Si M es negativa, la imagen esta invertida.

Tabla 2.2 Convención de signos para superficies refractantes.

2.2.1. Superficies de refracción planas.

Si la superficie de refracción es plana, entonces R tiende a infinito y la ecuación 2.1.8 se transforma en:

n1p

=−n2

q; donde; q=

−n2n1

p (2.9)

La expresión nos muestra que signo de q es siempre opuesto al signo de p, por lo que la imagen formada por una superficie de refracción plana esta en el mismo lado de la superficie que el objeto. La figura 2.2.3 ilustra el caso en que el objeto esta en el medio de índice n 1 y n1>n2.

En este caso se forma una imagen virtual entre el objeto y la superficie. Si n1<n2, los rayos en el lado de atrás divergen entre sí en ángulos menores que los de la figura, dando como resultado que la imagen virtual se forma a la izquierda del objeto.

Ejemplo 2.6

Una semilla de diente de león de 4 cm de diámetro esta incrustada en el centro de una esfera de plástico de 6 cm de diámetro, como lo muestra la figura, el índice de refracción del plástico es de 1.50. Encuentre la posición de la imagen del extremo cercano de la semilla a la superficie de la bola.

Solución: el índice de refracción del plástico = n1=1.50 y el índice de refracción del aire n2= 1; por tanto n1>n2. Lo que ocasiona que los rayos que se origina en el objeto se refracta alejándose se la normal en la superficie y divergen hacia fuera como lo muestra la figura. En consecuencia la imagen se forma dentro de la bola de plástico. La figura muestra que el extremo más cercano de la semilla a la superficie de la bola esta a 1 cm. Aplicando la ecuación:

n1p

+n2q

=n2−n1

R; Sustituyendo valores tenemos:

1.51

+ 1q=1−1.5

−3 ; resolviendo para q tenemos:

q=-0.75 cm

El signo negativo indica que la imagen se encuentra enfrente de la superficie dentro de la bola de plástico, por lo que se trata de una imagen virtual (ver tabla 2.2).

Ejemplo 2.7Un pez nada a una profundidad d debajo de la superficie de un estanque. ¿Cuál es la profundidad aparente del pez si se observa directamente desde arriba?

Solución: Como la superficie refractante es plana, el radio de curvatura de la esfera (R) es infinita, por lo que utilizamos la ecuación para refracción plana para determinar la imagen con p=d.

2.3 Lentes delgados.Los lentes en general se usan para formar imágenes por medio del efecto de refracción y son utilizados en instrumentos ópticos como cámaras, telescopios, microscopios y otros. Es el dispositivo óptico más familiar y más utilizado después del espejo.

Una lente es un sistema óptico que posee dos superficies refractoras. La lente más sencilla tiene dos superficies esféricas lo suficientemente cercanas entre sí como para que se pueda despreciar la distancia entre ellas y la llamamos lente delgada.

La luz que pasa a través de los lentes experimenta refracción en dos superficies. El diseño de los lentes está basado en el concepto de que la imagen formada por una superficie de refracción sirve como objeto para la segunda superficies.

2.3.1 Propiedades de una lente.

Una lente como la mostrada en la figura 2.3 la, propiedad de que, cuando un haz de rayos paralelos pasa a través de la lente, los rayos convergen en un punto F2 y forma una imagen real en ese punto. Se conoce como lente convergente.

Similarmente, los rayos que pasan por el punto F1 emergen de la lente como un haz de rayos paralelos como lo muestra la figura 2.3.1b. Los puntos F1 y F2 se conocen como puntos focales y la distancia f se conoce como longitud focal. Observamos que los puntos focales tienen gran semejanza con el punto focal de un espejo cóncavo. La longitud focal de un lente convergente se define como una cantidad positiva, por lo que se conoce también como lente positiva.

A la línea central de la figura 2.3.2 se le conoce como eje óptico. Los centros de curvatura de las dos superficies esféricas se encuentran sobre el eje óptico y lo definen.

Como vemos las mismas ecuaciones y reglas de los signos utilizamos para los espejos esféricos también se aplican a las lentes delgadas convergentes o positivas, lo que facilita nuestro estudio.

Hasta aquí hemos estudiado lentes convergentes. En la figura 2.3.3 se muestra una lente divergente.

El haz de rayos paralelos incidentes en esta lente diverge después de ser refractado. La longitud focal de un lente divergente es una cantidad negativa y la lente se conoce también como lente negativa. Los puntos focales de una lente negativa están invertidos en relación con las de lentes positivas. El segundo punto focal F2 de una lente negativa es el punto del cual los rayos que son originalmente paralelos al eje parecen divergir después de la refracción como lo muestra la figura 2.3.3a. Los rayos incidentes que convergen hacia el primer punto focal F 1, salen de la lente paralelos a su eje como muestra la figura 2.3.3b

Las ecuaciones deducidas para lentes convergentes, se aplican también para lentes divergentes.

En las figuras 2.3.4, se muestran varios tipos de lentes utilizadas, la figura 2.3.4a muestra tipos de lentes convergentes: menisco, planoconvexa y doble convexa. La figura2.3.4b muestra tipos de lentes divergentes: menisco, planocóncava y doble cóncava.

En la figura 2.3.2 se muestra como encontrar la posición y el aumento lateral de una imagen formada por una lente delgada por una lente delgada convergente. Utilizamos las mismas reglas de las signos y notaciones que antes, hacemos que p y q sean las distancias objeto e imagen respectivamente y tomamos h y h’ como las alturas objeto e imagen.

El rayo QA paralelo al eje óptico, pasa por F2 después de la refracción. El rayo QOQ’ pasa sin desviarse por el centro de la lente, debido a el centro de las superficies son paralelas y están muy juntas, existen refracción donde el rayo entra y sale del material del lente, pero no existe un cambio neto en la dirección.Los dos ángulos identificados con α en la figura son iguales, por lo tanto, los dos triángulos rectángulos PQO y P’Q’O son semejantes y las razones de los lados correspondientes son iguales, por tanto:

hp=h '

q;o

h 'h

=−qp

(2.10)

El signo negativo indica que la imagen se encuentra por debajo del eje óptico y que q es negativa.Los dos ángulos representados por β son iguales y los dos triángulos rectángulos OAF2 y P’Q’F2

son semejantes, por tanto:hf= h '

q−f;o

h'h

=−q−ff

(2.11)

Igualamos las ecuaciones 2.1.10 y 2.1.11, dividiendo entre q y reordenando términos, tenemos:

1p+ 1

q=1

f(relacionimagen−objeto ,lente delgada)

El aumento lateral M, también se define como:

M=−qp

(aumento lateral ,lente delgada)

Una importante observación para lentes delgadas es:

Cualquier lente mas gruesa en su centro que en sus bordes es convergente con f positiva.

Cualquier lente que sea más gruesa en sus extremos que en su centro es lente divergente con f negativa

Lo anterior es valido para lentes con índice de refracción mayor que el del material que lo rodea

Si la lente esta rodeada por un material con índice de refracción mayor que el del lente, la lente convergente se vuelve divergente y la lente divergente se vuelve convergente.

¿Cómo una lente forma imagen por medio de la refracción, utilizando como objeto la imagen formada por una superficie de refracción?

Consideremos la figura 2.3.5 que muestra una lente que tiene un índice de refracción n y dos superficies esféricas de radio de curvatura R1 y R2, en donde R1 es el radio de curvatura de la superficie del lente que la luz alcanza primero al dejar el objeto y R2 es el radio de curvatura de la otra superficie del lente.

Un objeto se coloca en el punto O a una distancia p1 frente a la superficie1, los rayos de luz provenientes del objeto que pegan en la superficie cubren un amplio rango de ángulos y no son paralelos entre si, en este caso la refracción en la superficie no es suficiente y ocasiona que los rayos converjan en el lado derecho de la superficie, estos divergen dando como resultado una imagen virtual del objeto en I1 a la izquierda de la superficie, como lo muestra la figura. Esta imagen I1 despues se utiliza como objeto para la superficie 2, lo que da como resultado una imagen real I2 a la derecha de la lente como lo ilustra la figura.

Comencemos analizando la imagen virtual formada por la superficie I. usando la ecuación 2.1.8 y suponiendo que n1=1, ya que el lente esta rodeado por aire, encontramos que la imagen I1

formada por la superficie 1 satisface la ecuación:

1p1

+ nq1

=n−1R1

(1)

Donde q1 es un número negativo porque representa una imagen virtual formada en el lado frontal de la superficie 1.

Aplicando la ecuación 2.1.8 para la superficie 2 donde n1=n y n2=1 y tomando a p2 como la distancia al objeto para la superficie 2 y q2 como la distancia a la imagen, tenemos:

np2

+ 1q2

=1−nR2

(2)

Ahora asumimos matemáticamente el hecho de que la imagen formada por la primera superficie actúa como objeto para la segunda superficie, observando que p2=q1+t y p2=-q1+t, donde t es el grosor de la lente. Para una lente delgada el grosor es pequeño y podemos despreciar t, en tal aproximación se ve que p2=-q1. En consecuencia la ecuación 2 se convierte en:

−nq1

+ 1q2

=1−nR2

(3 )

Al sumar las ecuaciones 1 y 3 obtenemos:

1p1

+1q2

=(n−1 )( 1R1− 1R2 )(4)

Para un lente delgado se pueden omitir los subíndices en p1 y q2 en la ecuación 4, denominando a p como la distancia al objeto y a q como la distancia a la imagen, quedando entonces la expresión como:

2p+1q= (n−1 )( 1R1− 1

R2) (2.12 )

La figura 2.3.6 muestra la geometría simplificada para un lente delgado.

Esta expresión relaciona la distancia a la imagen formada por un lente delgado con la distancia al objeto. Solo es válida para rayos paraxiales y solo para lentes de grosor despreciable respecto de R1 y R2.

La longitud focal de un lente delgado es la distancia que corresponde a una distancia al objeto infinita, entonces haciendo p igual al infinito y q se aproxime a f, tenemos la ecuación 2.12 se transforme en:

1f= (n−1 )( 1R1− 1

R2 ) (2.1.13 )

Esta relación se llama ecuación del fabricante de lentes, se emplea para determinar los valores de R1 y R2 que son necesarios para la longitud focal f y un índice de refracción dados e inversamente si el índice de refracción y el radio de curvatura de un lente estas determinamos, la ecuación permite calcular la longitud focal. Si el lente está inmerso en algo diferente que el aire, esta ecuación utiliza con n interpretada como la razón del índice de refracción del material del lente y del fluido que lo rodea.

2.3.2 Diagramas de rayos para Lentes Delgados.

Los diagramas de rayos de usan para las imágenes formadas por lentes delgados. La figura 2.3.7 muestra el método para tres situaciones de un solo lente.

Figura 2.3.7 diagrama de rayos para localizar la imagen formada por un lente delgado.

Para localizar la imagen de un Lente Convergente se dibujan tres rayos desde la parte superior del objeto de la siguiente forma, figura 2.3.7ª

El rayo 1 se dibuja paralelo al eje principal. Después de ser refractado por el lente, este rayo pasa por el punto focal de atrás del lente.

El rayo 2 se dibuja por el centro del lente y continúa en línea recta. El rayo 2 se dibuja por el punto focal en el lado frontal del lente (o como si

viniera del punto focal para p>f) y emerge del lente paralelo al eje principal.

Para localizar la imagen de un lente divergente, figura 2.3.7b. Los tres rayos se dibujan desde la parte superior del objeto.

El rayo 1 se dibuja paralelo al eje principal, después de ser refractado por el lente, dicho rayo emerge de tal manera que parece haber pasado a través del punto focal al frente del lente. Esta dirección se indica por la línea punteada.

El rayo 2 se dibuja atravesando el centro del lente y continúa en línea recta. El rayo 3 se dibuja hacia el punto focal en el lado posterior del lente y emerge del

lente paralelo al eje óptico.

Para el caso de la figura 2.3.7ª, donde el objeto está situado a la izquierda del punto focal del objeto (p>f1), la imagen es real e invertida. En la figura 1.3.7b, p<f1, el objeto esta entre el

punto focal del objeto y el lente, la imagen es virtual y vertical. Para un lente divergente figura 13.7c, la imagen siempre es virtual y vertical sin considerar donde se encuentra el objeto.

Ejemplo 2.8

Un lente divergente que tiene una longitud focal de -18cm y se pone frente a él un objeto de 15cm de altura a una distancia de 25cm. Localice la imagen producida por el lente.

Utilizamos la ecuación del lente delgado y sustituyendo valores:

1p+ 1

q=1

f= 125cm

+ 1q= 1

−18cm

Resolviendo para q tenemos:

q= -10.46cm

El signo menos indica que la imagen está enfrente del lente y es virtual y vertical. Encuentre el aumento lateral M y la altura de la imagen:

Para determinar el aumento lateral:

M=−qp

=−−10.46 cm25cm

=0.418

La imagen es más pequeña que el objeto 0.418.

La altura de la imagen es.

M=h'

h;de dondeh'=Mh=0.418 x 15cm=6.27cm

h’ = 6.27cm

La imagen tiene una altura de 6.27cm.

Ejemplo 2.9Una lente convergente que tiene una longitud focal de 12cm forma una imagen de un

objeto situado a: a) 25cm, b) 12cm, c) 5cm. Enfrente del lente. Encuentre las distancias a la imagen y descríbala en cada caso.

Solución: Para el inciso a: f= 12cm y p= 25cm. Utilizamos la ecuación del lente delgado:

1p+ 1

q=1

f;

Sustituyendo valores:

125cm

+ 1q= 112cm

;

Resolviendo para q:q= 23.0cm

El signo positivo indica que la imagen está en la parte de atrás del lente y que es real. El aumento M es:

M=−qp

=−23cm25cm

=−0.92 ;

La imagen ha reducido un poco su tamaño y el signo negativo nos dice que esta invertida.

Para el inciso b, tenemos f= 12cm y p= 5cm, por lo que no es necesario realizar ningún calculo, pues se sabe que cuando el objeto está en el punto focal, la imagen se forma en el infinito.Para el inciso c, tenemos que f=12cm y p=5cm. Utilizando la ecuación:

15cm

+ 1q= 112cm

;

Resolviendo para q, tenemos:q= -8.57cm; el signo menos indica que la imagen está enfrente del lente y es virtual. El aumento M es:

M=−qp

=−−8.57cm5cm

=−1.71

La imagen es más grande que el objeto y es vertical.

Ejemplo 2.10Un lente convergente de vidrio de n=1.52, tiene una longitud focal de 35cm en el aire. Determine su longitud focal cuando está inmerso en el agua, la cual tiene un índice de refracción de 1.33.

Solución: Se emplea la fórmula del fabricante de lentes para índices de refracción, para el vidrio y el agua y se observa que R1 y R2 permanecen iguales y se determina la relación de índices de refracción n para los dos medios, vidrio y agua:

Relación de índices de refracción para el vidrio y agua:

n'=nvid .

nagua

=1.521.33

=1.14

1f aire

=(n−1 )( 1R1

−1R2 )

1F vidrio

= (n'−1 )( 1R1− 1R2 )

Dividiendo la primera ecuación entre la segunda se obtiene:

f agua

f aire

= n−1n'−1

=1.52−11.14−1

=3.71 ;resolviendo paraf agua ,tenemos

f agua=3.71 f aire=3.71 (35 cm)=129.85cm

La longitud focal de cualquier lente de vidrio se incrementa en un factor:(n-1)(n’-1) cuando los lentes se sumergen en agua.

2.4 APLICACIONES.

Las aplicaciones de la óptica geométrica son muchas y muy variadas y van desde sencillas aplicaciones en espejos hasta muy complejas en instrumentos ópticos. En esta parte analizaremos algunas aplicaciones básicas más comunes y por tanto más conocidas.

2.4.1 La Cámara Fotográfica.

Es un instrumento óptico sencillo con características esenciales que se muestran en la figura 2.4.1.

Figura 2.4.1 Sección transversal de una cámara simple (Serway*Beichner)

Se compone de una caja cerrada a la luz, un lente convergente que produce una Imagen real y una película detrás del lente para recibir la imagen.El enfoque de la cámara para obtener imágenes nítidas se logra al variar la distancia entre el lente y la película que se complementa con un fuelle ajustable en las cámaras antiguas o con algunos dispositivos mecánicos en las cámaras modernas. La distancia del lente a la película dependerá de la distancia al objeto, así como, de la longitud focal del lente.

El obturador, localizado detrás del lente, es un dispositivo mecánico que se abre en Intervalos de tiempos seleccionados llamados tiempos de exposición. Uno es capaz de fotografiar objetos en movimiento empleando tiempos de exposición cortos o escenas con poca luz usando largos tiempos de exposición. La rapidez de disparo (tiempos de exposición) más comunes son 1/30s, 1/60s, 1/125s y 1/250s.

Las cámaras más costosas también tienen una abertura de diámetro ajustable para controlar más la intensidad de la luz que llega a la película.

La intensidad a la luz I que llega a la película es proporcional al área del lente y como el área es proporcional al cuadrado del diámetro D, se concluye que I también en Proporcional a D2. La intensidad de la luz es una medida de la rapidez a la cual la energía Es recibida por la película por unidad de área de la imagen.

Como el área de la imagen es proporcional a q2 y q ≈ f cuando p >>f, entonces p se aproxima a

infinito, por lo que concluimos que la intensidad es proporcional a 1/ f 2, de manera que I∝D 2/

f 2. La brillantez de la imagen formada en la película depende de la intensidad de la luz, por lo que depende de la longitud focal como del diámetro del lente.

La relación f/D se define como numero f de un lente.

La intensidad de la luz incidente sobre la película se expresa como:

El número f se da como una descripción de la rapidez del lente. Cuanto menor sea el número f, mas ancha será la abertura y mayor será la proporción a la cual la energía de la luz se expone a la película.

Ejemplo 2.11 Un lente de cámara de 35 mm, tiene una longitud focal de 55 mm y una rapidez (numero f) de f/1.8. El tiempo de exposición correcto para dicha rapidez es de (1/500) s. Determine el diámetro del lente.

Utilizando la ecuación número f= f/D y despejando D, tenemos:

2.4.2 El Amplificador Simple. La Lupa.

El amplificador simple se compone de un solo lente convergente y se emplea para aumentar el tamaño aparente de un objeto.

Figura 2.4.2 Tamaño de la imagen formada por la retina.

Asumamos que un objeto se ve a cierta distancia p del ojo, como se ilustra en la figura 2.4.2. El tamaño de la imagen formada en la retina del ojo dependerá del ángulo ϴ

subtendido por el objeto en el ojo. A medida que el objeto se acerca al ojo, ϴ aumenta y se observan objetos más grandes. Un ojo normal promedio es incapaz de enfocar un objeto más cercano que aproximadamente 25 cm, por lo que ϴ será máximo en ese punto cercano, como se ve en la figura 2.4.3 a.

Para lograr un mayor aumento del tamaño angular aparente del objeto, puede colocarse un lente convergente enfrente del ojo como lo muestra la figura 2.4.3b, con el objeto localizado en el punto O, apenas dentro del punto focal del lente. En esta posición el lente forma una imagen virtual vertical y alargada.

Figura 2.4.3 Objeto situado en un punto cercano del ojo.

Se define el aumento angular m, como la razón entre el ángulo subtendido por un objeto con un lente en uso (ángulo ϴ), al ángulo subtendido por el objeto colocado cerca del punto sin lente en uso (ánguloϴ Ɵ0).El aumento angular es un máximo cuando la imagen esta en el punto cercano del ojo, es decir, q=-25 cm.La distancia al objeto correspondiente a esta distancia se calcula a partir de la ecuación del lente delgado:

Donde f es la longitud focal del aumento en centímetros. Considerando la aproximación de ángulos pequeños.

La ecuación 2.1.16 se transforma en:

El ojo tiene la capacidad de enfocar una imagen formada en cualquier lugar entre el punto cercano y el infinito, el ojo está más relajado cuando la imagen esta en el infinito.

Para que la imagen formada por el lente de aumento aparezca en el infinito, el objeto tiene que estar en el punto focal del lente. En este caso las ecuaciones anteriores se transforman en:

Con un solo lente se pueden obtener aumentos angulares casi por arriba de 4 sin grandes aberraciones. Los aumentos superiores a 20 se logran con uno o dos lentes adicionales para corregir las aberraciones.

Ejemplo 12

¿Cuál será el aumento máximo posible de un lente que tiene una longitud focal de 13 cm y cuál es el aumento de este lente cuando el ojo esta relajado?

Solución. El aumento máximo posible ocurre cuando la imagen se localiza en el punto cercano del ojo.En esta circunstancia la ecuación respectiva produce:

Cuando el ojo esta relajado, la imagen se encuentra en el infinito. En tal caso se emplea la ecuación 2.1.19:

2.4.3 El Microscopio.

Un amplificador simple solo proporciona una ayuda limitada para inspeccionar los diminutos detalles de un objeto. Un aumento mayor se logra al combinar dos lentes en un dispositivo denominado microscopio compuesto.

Figura 2.4.4 Diagrama de un Microscopio Compuesto (Henry Leap y Jim Lehman).

La figura 2.4.4 muestra un diagrama esquemático del microscopio. Este consta de un lente objetivo que tiene una longitud focal muy corta f<1cm y de un segundo lente ocular que tiene una longitud focal f ede unos cuantos centímetros. Las 2 lentes están separadas por una

distancia L, la cual es mucho más grande que f 0 o f e. El objeto que se coloca en el lado

extremo del punto focal del lente objetivo, forma una imagen invertida real en I 1 y dicha imagen se localiza cerca del punto focal del lente ocular. El lente ocular sirve como amplificador, produce en I 2 una imagen de I 1, virtual e invertida.

El aumento lateral de la primera imagen M 1 es -q1/ p1. Nótese en la figura que q1 es aproximadamente igual a L y que el objeto esta muy cerca del punto focal del lente objetivo, esto es que p1≈ f 0, aumento la por consiguiente el aumento lateral para el objetivo es:

El aumento angular del lente ocular para un objeto (correspondiente a la imagen en I 1) situado en el punto focal del ocular se encuentra que es:

El aumento total del microscopio compuesto se define como el producto de los aumentos lateral y angular.

El signo negativo indica que la imagen esta invertida.El microscopio ha extendido la visión humana hasta el punto donde se pueden ver detalles antes desconocidos de objetos increíblemente pequeños. Las capacidades de este instrumento se incrementan en forma continua con técnicas mejoradas para la precisión del pulido de lentes.

La capacidad de un microscopio óptico para observar un objeto depende del tamaño del objeto en relación con la longitud de onda de la luz empleada para observarlo, por consiguiente, nunca podremos observar átomos o moléculas con un microscopio óptico porque sus dimensiones son pequeñas alrededor de 0.1nm en relación con la longitud de onda de la luz que es de aproximadamente 500nm.

2.4.4 El telescopio.

El telescopio es un instrumento diseñado para observar objetos distantes, como los planetas de nuestro Sistema Solar. Existen 2 tipos de telescopios: el telescopio de refracción que utiliza una combinación de lentes para formar una imagen y el telescopio reflector que utiliza un espejo curvo y un lente.

Figura 2.4.5 Diagrama de lentes en un Telescopio de Refracción (Henry Leap y Jim Lehman)

La figura 2.4.5, muestra el diagrama de un telescopio de refracción. Similar al microscopio, el telescopio tiene un lente objetivo y un ocular, los 2 lentes se disponen de manera que el objetivo forme una imagen real e invertida del objeto distante muy cerca del punto focal del lente ocular. Este punto en el cual. Este punto en el cual se forme la I 1, es el punto focal del objetivo, puesto que el objeto esta esencialmente en el infinito. Como consecuencia, los 2 lentes están separados por una distancia f 0 + f e que corresponde a la longitud del tubo del

telescopio. El lente ocular forma entonces en I 2, una imagen invertida y mas grande que la

imagen en I 1.

El aumento angular del telescopio esta dado por: θ/θ0; donde:

Θ Es el ángulo subtendido por el objeto en el lente objetivo. Ɵ θ0 Es el ángulo subtendido por la imagen final en el ojo del observador.

Considere la figura 2.4.4ª en la que el objeto esta a una distancia muy grande a la izquierda de la figura, el ángulo Ɵ0 (a la izquierda del lente objetivo) subtendido por el objeto en el lente objetivo es igual al ángulo (a la derecha del objetivo) subtendido por la primera imagen en el lente objetivo, de esta forma:

Donde el signo negativo indica que la imagen esta invertida.

El ángulo θ subtendido por la imagen final en el ojo es el mismo que el ángulo de un rayo que viene de la punta de I 1 y viaja paralelo al eje principal después de que pasa por el lente, por tanto:

La imagen final I 2 que crea I 1 no esta invertida, ambas apuntan en la misma dirección. El aumento angular del telescopio se puede expresar como:

El aumento angular de un telescopio es igual a la relación de la longitud focal del lente objetivo con la longitud focal del lente ocular. El signo negativo indica que la imagen esta invertida.

Si se observan a través de un telescopio objetos relativamente cercanos como la luna o los planetas el aumento es importante, pero, si se observan las estrellas mucho mas alejadas, aparecen como pequeños puntos de luz, sin importar cuanto aumento se use. Por esta razón los grandes telescopios de investigación utilizados para estudiar objetos muy distantes deben tener un gran diámetro para adquirir la mayor cantidad de luz posible. Es muy costoso fabricar grandes lentes de refracción, además su gran peso les provoca problemas de deformación que provocan aberraciones en las imágenes que se producen.

Debido a estos problemas se han eliminado parcialmente sustituyendo el lente objetivo por un espejo cóncavo, lo que da como resultado un telescopio reflector. Como la luz se refleja del espejo y no atraviesa el lente, el espejo puede estar rígidamente soportado por el lado posterior eliminando los problemas de aberraciones de imágenes.

Figura 2.4.6 Telescopio de Reflexión. La figura 2.4.6 presenta el diagrama de un telescopio de reflexión común. Los rayos de luz que entran atraviesan el cilindro del telescopio y se reflejan en un espejo parabólico en la base de un cilindro. Estos rayos convergen hacia el punto A donde se formaría una imagen. Antes de que se forme esta imagen, un pequeño espejo plano M refleja la luz hacia una abertura en el lado del tubo que circula el lente ocular. Tal diseño particular tiene un foco Newtoniano

porque fue Newton quién lo desarrollo. La luz nunca atraviesa el vidrio en el telescopio de reflexión, obteniéndose como resultado la eliminación de los problemas de aberración cromática.

Los telescopios de reflexión más grandes del mundo se encuentran en el observatorio Keck en Mauna Keck, Hawai, donde hay 2 telescopios con diámetro de 10 m, cada uno con 36 espejos hexagonales. Controlados por una computadora que funcionan en conjunto para formar una gran superficie reflectora y es telescopio de refracción mas grande del mundo se encuentra en Yerkes en la bahía Williams en Wisconsin, y tiene un diámetro de solo un metro.