Desarrollo.

INTRODUCCION A LA MECANICA.La mecnica es la rama de la fsica que trata de la respuesta de los cuerpos a la accin de las fuerzas. La materia sujeto de este campo constituye gran parte de nuestros conocimientos de las leyes que rigen el comportamiento de gases y lquidos, as como tambin el comportamiento de los cuerpos slidos. Las leyes de la mecnica encuentran aplicaciones en astronoma y fsica, as como tambin en el estudio de estructuras y maquinas que entraan la practica de la ingeniera. Por conveniencia el estudio de la mecnica se divide en tres partes:Mecnica de cuerpos rgidos, mecnica de cuerpos deformables, y mecnica de fluidos. El estudio de la mecnica de cuerpos rgidos se puede subdividir a su vez en tres secciones fundamnteles: esttica, cinemtica y cintica. La esttica se ocupa de los cuerpos sometidos a fuerzas equilibradas.La cintica se ocupa del movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que causan dicho movimientos. La cintica se ocupa de los cuerpos sometidos a fuerzas no equilibradas.La mecnica de cuerpos deformables es la rama de la mecnica que se ocupa de las distribuciones de fuerzas interiores y las deformaciones que tienen lugar en la estructura de ingeniera reales y en los componentes de maquinas, cuando estn sometidos a sistemas de fuerzas.La mecnica de fluidos es la rama de la mecnica que se ocupa de los lquidos o gases en reposo o en movimiento. Los fluidos pueden clasificarse en comprensibles e incomprensibles.Se dice que un fluido es comprensible cuando su densidad varia con la temperatura y la presin, si el volumen de un fluido se mantiene constante durante un cambio de presin se dice que se trata de un fluido incomprensible, la parte de la mecnica de fluidos que trata de los fluidos incomprensibles recibe frecuentemente el nombre de hidrulica.

MAGNITUDES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA.Las magnitudes fundamentales de la mecnica son: el espacio, el tiempo, la masa y la fuerza tres de ellas (espacio, tiempo y masa) son magnitudes absolutas.Ello quiere decir que son independientes entre si y no pueden expresarse en funcin de la otra o de manera mas sencilla. La magnitud llamada fuerza no es independiente de las otras tres sino que esta relacionada con la masa de cuerpo y con la manera de cmo varia la velocidad del cuerpo con el tiempo.El espacio es la regin geomtrica en donde tiene lugar los sucesos fsicos de inters en mecnica dicha regin se extiende sin limites en todas direcciones.El tiempo puede definirse como el intervalo que transcurre entre dos sucesos.La fuerza se puede definir diciendo que es la accin de un cuerpo sobre otro. El efecto exterior de una fuerza sobre un cuerpo es la aceleracin de este o el desarrollo de fuerzas resistentes (reacciones) en lUn punto material tiene masa pero no tiene ni forma ni tamao. Cuando, en un problema, podamos tratar como punto material un cuerpo (grande o pequeo), el anlisis se simplificara mucho, ya que podremos considerar que la masa se halla concentrada en un punto y, por lo tanto, en la solucin del problema no intervendr el concepto de rotacin.Un cuerpo rgido

Leyes de newton

El Estudio de la mecnica tcnica se fundamenta en las leyes que formulo y publico en 1687 Sir Isaac Newton, en un tratado llamado principio Newton estableci las leyes fundamentales que rigen el movimiento de un punto material de la manera siguiente:Leyes de Newton del movimiento

Primera ley: todo cuerpo se mantiene en su estado de reposo o de movimiento uniforme, salvo si se ve obligado a cambiar dicho estado por fuerzas aplicadas. Segunda ley: la variacin del movimiento es proporcional a la fuerza matriz aplicada y tiene lugar en la direccin de la recta segn la cual se aplica la fuerza.Tercera ley: la reaccin es siempre igual y opuesta a la accin, es decir, las acciones que se ejercen mutuamente dos cuerpos son siempre iguales y directamente opuestas.

Estas leyes que se conocen como leyes de Newton del movimiento se suelen expresar hoy en da de la forma siguiente:

Primera leyLa ausencia de fuerzas exteriores, un punto que estuviere inicialmente en reposo o movindose con velocidad constante, seguir en reposo o movindose con velocidad constante en lnea recta. Segunda leySi sobre un cuerpo material se ejerce una fuerza exterior, dicho punto se acelerara en direccin y sentido de la fuerza y el modulo ser directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa del punto.Tercera leyLa reaccin es siempre igual y opuesta a la reaccin; es decir, las acciones que se ejercen dos cuerpos, uno sobre otro, son siempre iguales y directamente opuestas.

Las tres leyes de newton se desarrollaron a partir del estudio del movimiento planetario (movimiento de puntos materiales); por tanto, solo son aplicables a puntos materiales. Durante el siglo XVIII, leonhard Euler (1707-1783) extendi el trabajo de newton de puntos materiales al caso de sistema de cuerpos rgidos.La primera ley del movimiento constituye un caso particular de la segunda y contiene el caso en que el punto este en equilibrio. La segunda ley del movimiento nos da la base del estudio de la dinmica. La expresin matemtica de la segunda ley, que tan ampliamente se utiliza en dinmica, esF=m*a

Donde:

F es la fuerza exterior que se ejerce sobre el puntom es la masa del punto y a es la aceleracin del punto y tiene la direccin de la fuerza.

La tercera ley nos da la base para la compresin del concepto de fuerza ya que, en las aplicaciones practicas, con la palabra accin se quiere significar fuerza. As pues, si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, este ejerce sobre el primero una fuerza igual y opuesta.La ley que rige la accin mutua entre dos cuerpos aislados tambin la formulo newton y se conoce por el nombre de ley de la gravitacin esta ley se puede expresar matemticamente en la forma

Donde:F es el modulo de la fuerza mutua de atraccin entre los dos cuerpos,G es la constante de la gravitacin universal,m1 es la masa de uno de los cuerpos,m2 es la masa del otro y r es la distancia entre las centros de masa de los dos cuerpos.

Masas y distancias del sistema solar

masa

De la tierraDe la lunaDel sol =4,095 slug = 5,037 slug = 1,364 slug=5,976 kg=7,350 kg= 1,990 kg

Radio medio:

De la tierraDelalunaDel sol =2,090 ft =5,702 ft =2,284 ft=6,371 m=1,738 m=6,960 m

Distancia media de la tierra:

A la lunaAl sol =1,261 ft = 4,908 ft=3,844 m=1,496 m

Radio de una esfera de igual volumen.Radio polar =2,0856 ft =6,357 mRadio ecuatorial =2,0925 ft =6,378 m

Masa y peso.La masa m de un cuerpo es una magnitud absoluta que no depende de la posicin del cuerpo ni de lo que lo rodea. El peso w de un cuerpo es la atraccin gravitatoria que sobre l ejerce el planeta tierra o cualquier otro cuerpo masivo como la luna. Por tanto, el peso de un cuerpo depende de la posicin de ste relativa al otro cuerpo. As pues, segn la ecuacin en la superficie terrestre

Donde: Es la masa de la tierra Es el radio medio de la tierra yG es la aceleracin de la gravedad.Los valores aproximados de la gravedad, adecuado para la mayora delas clculos tcnicos son:

g = 32,17 ft/ =9,81 m/

Problema Un cuerpo pesa 2000 N en la superficie terrestre. Determinar

a. La masa del cuerpob. El peso del cuerpo 1000 Km por encima de la superficie terrestre.c. El peso del cuerpo en la superficie de la luna.

Solucin

a. El peso d un cuerpo en la superficie terrestre viene dado por la ecuacinW=mgAs pues m=W/g = 204 Kgb. la fuerza de atraccin entre dos cuerpos viene dada por la ecuacinW=F=GO sea, W=Gm1 m2= constanteEl radio medio de la tierra es =6,371() m= 6371 Km. As pues, para las dos posiciones del cuerpo We= = G = constante = = = 1494 N

c. En la superficie de la luna el peso del cuerpo viene dado por la ecuacinW= GEl radio medio y la masa de la luna son= 1,738 () m y =7,350 () kg. Adems, G= 6,673()).

As pues, W=G = 6,673( = 331 N

UNIDADES DE MEDIDAS.

Los sillares de mecnica son las unidades de medidas fsicas que se utilizan para expresar sus leyes. Entre dichas magnitudes podemos citar: masa, longitud, fuerza, tiempo, velocidad, y aceleracin. Las magnitudes fsicas se dividen en fundamentales y derivadas.Las magnitudes no pueden definirse en funcin de otros magnitudes fsicas en mecnica se consideran fundamentales la longitud y el tiempo.Las magnitudes derivadas son aquellas cuyas operaciones de definicin se basan en medidas de otras magnitudes fsicas en mecnica son: el rea de una superficie, el volumen, la velocidad y la aceleracin alguna magnitudes pueden considerarse o bien fundamentales o bien derivadas ejemplo de ellas: la masa y la fuerza.En el sistema internacional (SI) de unidades la masa se considera una magnitud fundamental y la fuerza una magnitud derivada, en el U.S. Costomary System of units, la fuerza se considera una magnitud fundamental y la masa una magnitud derivada.

Sistema de unidades U.S.Customary SystemHasta hace poco todos los ingenieros de los estados unidos utilizaban el sistema de unidades U.S.Customary System (a veces llamado sistema gravitatorio britnico) en el que las unidades fundamentales son el pie (ft) para la longitud, la libra (lb) para la fuerza y el segundo (s) para el tiempo. En este sistema se define el pie (ft) diciendo que es 0,3048 m exactamente. La definicin de la libra es: el peso a nivel del mar a 45 de longitud de un patrn de platino. Que se conserva en el Bureau of standards en Washington D.C. Este patrn de platino tiene una masa de 0,45359243 kg el segundo se define de igual manera que en el sistema (SI)Sistema internacional de unidades (SI)El sistema mtrico original proporcionaba un conjunto de unidades de medida de la longitud, la superficie, el volumen, la capacidad y la masa basados en dos unidades fundamentales: el metro y el kilogramo. Al aadir unidad de tiempo, las medidas prcticas comenzaron a basarse en el sistema de unidades metro-kilogramo-segundo (MKS). En 1960, lla XI conferencia general de pesas y medidas adopto formal mente el sistema internacional de unidades, cuya abreviatura en todos los idiomas es (SI), como norma internacional.El sistema internacional de unidades adoptado por la mencionada conferencia contiene tres clases de unidades: (1) unidades de base, (2) unidades complementarias y (3) unidades derivadas.

Unidades Bases y sus Smbolos

MagnitudNombre de la unidadSmbolo

LongitudMasaTiempoIntensidad de corrienteTemperatura termodinmicaCantidad de sustanciaIntensidad luminosaMetroKilogramoSegundoAmpereKelvinMolcandelamkgsAKmolcd

Unidades Complementarias y sus Smbolos

MagnitudNombre de la unidadSmbolo

ngulo planongulo solidoRadianestereorradinRadsr

Unidades Derivadas y sus Smbolos

MagnitudNombre de la unidadSmboloNombre particular

reaVolumenVelocidad linealVelocidad angularAceleracin linealFrecuencia

Densidad

Fuerza

Momento de una fuerza

Presin EsfuerzoTrabajoEnergaPotenciametro cuadradometro cubicometro por segundoradian por segundo metro por segundo cuadrado(ciclo) por segundo

Kilogramo por metro cubico

Kilogramo * metro por segundo al cuadrado

Newton por metro

Newton por metro cuadradoNewton por metro cuadradoNewton * metroNewton * metroJoule por segundo

HZ

N

N*m

PaPaJJW--------------------------------------------------Hertz----------Newton

----------

----------

PascalPascalJouleJoulewatt

Factores de conversin entre unidades del (SI) y U.S. Customary system

MagnitudU.S.C.S a SISI a U.S.C.S

Longitud

rea

Volumen

Velocidad

Aceleracin

Masa

Momento segundo de superficie1 in =25,40mm1 ft =0,3048m1 mi =1.609 km

1 =645,21 =0,0929

1 =16,39()1 =0,028321 gal =3,785

1 in/s = 0,0254 m/s1ft/s = 0,3048 m/s1mi/h =1,609 km/h

1in/ =0,0254 m/1 ft/ =0,3048 m/ 1 slug = 14,59 kg

1 =0,4162()1 m = 39,37 in1 m =3,281 ft1 km =0,6214 mi

1 =1550 1 =10,76

1 =61,02() 1 =35,31 1 L =0,2646 gal

1 m/s =39,37 in/s 1 m/s =3,281 ft/s 1 km/h =0,6214 mi/h

1 m/ =39,37 in/ 1 m/ =3,281 ft/

1 kg =0,06854 slug

1 =2,402()

Problema.

El valor G (constante de la gravedad universal) utilizados en clculos tcnicos con el U.S.C.S es G=3,439()/(slug * ). Utilizar los valores de conversin para determinar valor de G en unidades /(kg * ) adecuadas para efectuar los clculos en el sistema SI de unidades.

Solucin.

Los factores de conversin necesarios son:

1 0,028321 kg =0,06854 slug

As pues, G=3,439() x 0,02832 x 0,06854 = 6,675()

LAS FUERZAS Y SUS CARACTERISTICAS.

La fuerza ya la habamos definido anteriormente diciendo que es la accin de un cuerpo sobre otro. La accin puede ser debido al contacto fsico entre los cuerpos o puede deberse a un efecto gravitatorio, elctrico o magntico entre cuerpos separados. La fuerza que se ejerce sobre un cuerpo tiene sobre l dos efectos: (1) uno exterior, que es tendencia a cambiar su movimiento o a desarrollar fuerzas resistentes (reacciones) en el cuerpo y (2) un efecto interior, que es la tendencia a deformarse. En muchos problemas el efecto exterior es importante y el interior no. este es el caso en muchos problemas d esttica y dinmica, en el que el cuerpo se supone rgido, en otros casos cuando el cuerpo no puede considerarse rgido los efectos interiores son importantes

Las propiedades que se utilizan para describir una fuerza las llamaremos caractersticas de la fuerza. Las caractersticas de las fuerzas son: Modulo. Direccin y Sentido.Punto de Aplicacin.

El modulo (valor numrico positivo) de una fuerza es la intensidad de la misma.La Direccin y Sentido de una fuerza es la direccin y sentido del segmento orientado que se utiliza para representarla. En un problema bidimensional, se puede especificar dado un ngulo o dado dos dimensiones. En un problema tridimensional, la direccin y sentido se puede especificar dado tres ngulos, o dado tres dimensiones para especificar el sentido de la fuerza se coloca una punta de flecha en el extremo apropiado del segmento rectilneo que representa la mencionada fuerza tambin puede colocarse un signo positivo o negativo al modulo de la fuerza para indicar su sentido

Dado un ngulo Dado dos dimensiones

Dado tres ngulos Dado tres dimensiones

El punto de aplicacin de una fuerza es el punto de contacto entre dos cuerpos, la recta que pasa por el punto de aplicacin y tiene la direccin de la fuerza es llamada recta soporte o lnea de accin. Ejemplo en la figura se ilustran tres caractersticas de una fuerza. En este caso, puede decirse que la fuerza aplicada al bloque es una fuerza de 100 N (modulo) dirigida hacia la derecha del bloque y que forma con la horizontal un ngulo de 30 hacia arriba (direccin y sentido) y que pasa por el punto A (punto de aplicacin) El estudio como influye estas caractersticas en las reacciones que se desarrollan al mantener un cuerpo en reposo constituye una parte importante de la esttica. De manera anloga, el estudio de cmo influyen estas caractersticas en la variacin del movimiento de un cuerpo constituye una parte importante de la cinematica.

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.

Las magnitudes escalares son que quedan completamente descrita por un numero.En mecnica magnitudes escalares son: la masa, la densidad, e, volumen, la celeridad, la energa, el tiempo y la temperatura.Las magnitudes vectoriales tienen modulo direccin y sentido (recta soporte y sentido) y obedecen a la regla del paralelogramo. En mecnica magnitudes vectoriales son: la fuerza, el movimiento, la velocidad, la aceleracin, el desplazamiento, el impulso y la cantidad de movimiento.Los vectores pueden clasificarse en tres tipos: libres, deslizantes y fijos.Vector Libre: tiene modulo direccin y sentido especifico pero su recta soporte no pasa por ningn punto definido del espacio.Vector Deslizante: tiene modulo direccin y sentido y su recta soporte pasa por un punto definido del espacio. El punto de aplicacin de un vector deslizante puede ser uno cualquiera de su recta soporte.Vector Fijo: tiene modulo direccin y sentido especifico y su recta soporte pasa por un punto definido del espacio, el punto de aplicacin esta confinado a un punto fijo de su recta soporte.

La utilizacin de escalares y vectoriales para representar magnitudes fsicas constituye un ejemplo sencillo de modulo de magnitudes fsicas mediante mtodos matemticos, un ingeniero debe ser capaz de construir buenos mtodos matemticos e interpretar correctamente su significado fsico.

PRINCIPIOS DE TRANSMISIBILIDAD.

En la mayora de los problemas de esttica y dinmica se supone que el cuerpo es rgido a consecuencia de ello solo interesa conocer los efectos exteriores de cualquier fuerza privada al cuerpo. En tal caso, la fuerza se pueda aplicar a cualquier punto de su recta soporte sin que cambien los efectos exteriores de dicha fuerza. Por ejemplo podemos mover un automvil estacionado empujando por su parachoques trasero o tirando de su parachoques delantero si el modulo direccin y sentido de las dos fuerzas coinciden el efecto exterior ser el mismo. Queda claro que el punto de aplicacin de las fuerzas no tiene ningn efecto sobre el efecto exterior (movimiento del automvil)Este hecho lo expresa formalmente el principio de transmisibilidad que dice:el efecto exterior de una fuerza sobre un cuerpo rgido es el mismo para todos los puntos de aplicacin de la fuerza a lo largo de su recta soporte. Hay que notar que solo queda invariado el efecto exterior el efecto interior de una fuerza (esfuerzo y deformacin) puede verse muy influido si varia el punto de aplicacin de la fuerza a lo largo de su recta soporte, en los casos que puedan aplicarse el principio de transmisibilidad (mecnica de cuerpos rgidos) las fuerzas pueden tratarse como vectores deslizantes.

CLASIFICACION DE LAS FUERZAS.

Se ha definido la fuerza como la accin de un cuerpo fsico sobre otro. Como la interaccin puede tener lugar estando los cuerpos a distancia o estando fsicamente separados, las fuerzas se pueden clasificar dos grandes epgrafes: (1) Fuerza de contacto o de superficie tales como el empuje o la traccin efectuados por medios mecnicos y (2) fuerzas msicas o de accin a distancia tales como la traccin gravitatoria que la tierra ejerce sobre todo los cuerpos fsicos.Las fuerzas tambin se pueden clasificar atendiendo a la zona sobre la cual actan. Una fuerza aplicada a lo largo de una longitud o sobre una superficie se dice que es una fuerza distribuida, la distribucin puede ser uniforme o no. como ejemplo de fuerza distribuida podemos decir el piso uniforme de hormign de un puente. Toda fuerza aplicada a un rea relativamente pequea frente al tamao del miembro cargado puede considerarse que es una carga concentrada. Por ejemplo la fuerza que aplica las ruedas de automvil a los miembros longitudinales de un puente.

Fuerza distribuida. Fuerza concentrada.

Un nmero cualquiera de fuerzas que se atraen en conjunto constituye un sistema de fuerzas. Los sistema de fuerzas pueden ser mono-bi-tri-dimensionales.se dice que un sistema de fuerzas es concurrentes cuando la recta soporte de todas las fuerzas se corten en un punto comn y se dice que es coplanario cuando todas fuerzas estn en un mismo plano.Un sistema de fuerzas paralelas es aquel en el cual las rectas soportes de las fuerzas son paralelas. En un sistema de fuerzas paralelas, los sentidos de las misma no tienen por que ser los mismos. Si las fuerzas de un sistema de fuerzas tienen una recta soporte comn, se dice que el sistema es colinial.

DIAGRAMA DE CUERPOS LIBRES.

El diagrama de cuerpos libres es fundamental para la resolucin de problema en mecnicas.Es un dibujo cuidadosamente preparado que muestra el cuerpo de inters separado de los dems cuerpos que interactan con el y en el cual figuren todas las fuerzas aplicadas exteriormente a dicho cuerpo.Es importante notar que estas fuerzas pueden ser superficiales o msicas. El procedimiento para el trazado de un diagrama de solido libre consta de dos pasos esenciales:1) Decidir que cuerpo (o que parte de un cuerpo o grupo de cuerpos) hay que aislar y analizar. Preparar un esquema del contorno exterior del cuerpo seleccionado.2) Representar todas las fuerzas, conocidas y desconocidas aplicadas por otros cuerpos aislados, mediante vectores en sus posiciones correctas.Cada fuerza de un diagrama de slidos libre completo deber rotularse con su modulo conocido o con un smbolo que la identifique cuando sea desconocida, deber indicarse la pendiente o al ngulo de inclinacin de todas las fuerzas. Se puede suponer el sentido de una fuerza desconocida cuando no se conozca aquel. Una vez finalizado los clculos, un signo positivo en la respuesta indicara que la fuerza tiene el sentido que se le puso, mientras que el signo negativo indicara que el sentido de la fuerza es opuesto al que se le puso.

RESULTANTE DE DOS FUERZAS CONCURRENTES.

Dos fuerzas concurrentes cualquieras F1 y F2 que acten sobre un cuerpo se pueden sustituir por una solo fuerza R, llamada resultante, que producir sobre el cuerpo el mismo efecto que las dos fuerzas originales. La resultante de dos fuerzas se puede determinar sumando vectorialmente mediante la regla del paralelogramo. Matemticamente la fuerza viene dada por la ecuacin: F1 + F2= R En la figura puede verse el proceso mediante el cual se suman grficamente dos fuerzas empleando la regla del paralelogramo.La resultante R de dos fuerzas tambin puede determinarse grficamente empleando la mitad del paralelogramo. Como dicha mitad es un triangulo este mtodo se llama regla del triangulo para la adicin de vectores. Cuando se use la regla del triangulo para determinar la resultante R de dos fuerzas y se dibuja primeramente a escala a fuerza ; despus, se dibuja a escala fuerza determina la resultante R

Regla del paralelogramo Regla del triangulo

Problema.A un encaje estn aplicadas dos fuerzas como se indica en la figura. Determinar el modulo de la resultante R de las dos fuerzas y el ngulo que forma con el eje X la recta soporte de dicha resultante.

A. B. C.

Solucin.Las dos fuerzas R, y el ngulo se han representado en la figura B. Podemos aplicar la regla del triangulo para la adicin de vectores, tal como se indica en la figura C. Aplicando al triangulo el teorema del seno tenemos:

=+-2(900)(600)cos (180-40)

Donde R es el modulo de la fuerza resultante. As pues,

R= [R]=1413,3=1413N

Aplicando al triangulo el teorema del seno tenemos,

Sen = =sen (180-40) =0,2729

Donde =15, 84

As pues, =15,84+35 = 50,84 = 50,8

RESULTANTE DE TRES O MS FUERZAS CONCURRENTES.

En el aparato anterior se ha estudiado la regla del paralelogramo y dl triangulo para determinar la resultante R de dos fuerzas concurrentes F1 y F2. El mtodo se puede extender fcilmente a los casos de tres o ms fuerzas, considerando el caso de tres fuerzas concurrentes la aplicacin de la regla del paralelogramo a las fuerzas F1 y F2 de la resultante combinado despus la resultante con la fuerza mediante una nueva aplicacin grafica de la regla del paralelogramo, nos da la resultante Que es la suma vectorial de las fuerzas.

Tres fuerzas coplanarias concurrentes Paralelogramo de las fuerzas y

Cuatro fuerzas coplanarias concurrentes Paralelogramo.

DESCOMPOCISION DE UNA FUERZA EN COMPONENTES.

Estudiando la regla del paralelogramo y del triangulo a la determinacin de la resultante R de dos fuerzas concurrentes F1 y F2 o de tres o mas fuerzas concurrentes F1, F2, de igual manera una fuerza F se puede sustituir por un sistema de dos o mas fuerzas , , estas ultimas reciben el nombre de componentes de las fuerzas originales. En el caso ms general las componentes de una fuerza pueden constituir un sistema cualquiera de fuerzas que se pueden combinar mediante la regla del paralelogramo para dar la fuerza original.Tales componentes no tienen porque ser concurrentes o coplanarias. Sin embargo, el trmino componente se utiliza normalmente para designar una de dos fuerzas coplanarias concurrentes o una de tres fuerzas concurrentes no coplanarias que se pueden cambiar vectorialmente para reproducir la fuerza original. El proceso de sustituir una fuerza por dos o mas fuerzas recibe el nombre de descomposicin o resolucin.

El proceso de descomposicin nos da un conjunto nico de vectoriales. Por ejemplo consideremos los cuatro esquema representados en la figura en ellos resulta evidente queA+B=R E+F=RC+D=R G+H+I=R

Donde R es el mismo vector en todas las expresiones. As pues, para todo vector existir una infinidad de sistema de componentes.

En el siguiente problema se ilustrara el uso de la regla del paralelogramo para descomponer una fuerza en componentes segn dos rectas soportes oblicuas.

Problema.

Determine las magnitudes de las componentes u y v de la fuerza de 900N representada en la figura.

(A) (B)

Solucion.En la figura (B) podemos ver el modulo, direecion y sentido de la fuerza de 900 N. Las componentes y segn los ejes u y v se puede determinar trazando rectas paralelas po los ejes u y v por el extremo y el origen del vector que representa la fuerza de 900 N. Al parelelogramo asi construido se le puede aplicar el teorema de seno para determinar las fuerzas y ya que se conocen los angulos de los triangulos que forma el paralelogramo.

= =

De donde = || 0 = 677 N

= || = = 405 N

Problema.

Se aplican dos fuerzas a un anclaje en la forma que indica la figura. La resultante R de dos fuerzas tiene por modulo 1000 N y su recta soporte esta dirigida segn el eje x. Si la fuerza tiene por modulo 250 N determinar.

a. El modulo de la fuerza b. El ngulo que forma la recta soporte de la fuerza con el eje x.

(A) (B)

Solucin.En la figura (B) se indican las dos fuerzas y la resultante R y el ngulo . El triangulo de fuerzas se a trazado utilizando y R y el angulo de 38. Completando el paralelogramo se identifica la fuerza a.Aplicando el teorema de coseno al triangulo superior de la figura(B) tenemos

= + 2(250)(1000)cos 38

De donde =|| = 817,6 N

Aplicando el teorema del sen tenemos al triangulo superior tenemos,

= Asi pues, sen = sen 38 =0,18825 de donde = 10,85

COMPONENTES REGULARES DE UNA FUERZA.

En la solucin de la mayora de los problemas tcnicos prcticos no es concurrente la utilizacin de componentes oblicuas de fuerzas. En cambio si es muy corriente el empleo de componentes mutuamente ortogonales (rectangulares) el proceso de obtencin de componentes rectangulares, ya que el paralelogramo que se utilice para representar la fuerza y sus componentes es un rectngulo y el teorema del coseno que se utiliza para hallar el valor numrico de las componentes se reduce entonces al teorema de Pitgoras.Una fuerza F se puede descomponer en una componente rectangular dirigida en el eje X y otra fuerza dirigida en el eje Y.Las fuerzas y son las componentes vectoriales de la fuerza F, los ejes X e Y suelen tomarse como horizontales y verticales, no obstante se puede tomar en dos direccionales perpendiculares cualquiera. La fuerza F y sus componentes bidireccionalesy se pueden escribir en forma vectorial cartesiana usando los vectores unitarios I y J dirigido segn los ejes positivos X e Y.

Donde los escalares y son las componentes escalares x e y de la fuerza F. las componentes escalares y estn relacionadas con el modulo F = [F] y con el ngulo de inclinacin (direccin) de la fuerza F a travs de las expresiones siguientes:

Las componentes escalares y de la fuerza F pueden ser positivas o negativas, segn cual sea el sentido de las componentes vectoriales y la componente escalar ser positiva si la componente vectorial correspondiente tiene el mismo sentido que el vector unitario asociado y negativo en caso contrario.

Descomposicin de fuerza F vectores unitarios i y j Fuerza en el espacio

RESULTANTE POR COMPONENTES RECTANGULARES.

Tal como se ha visto en los aparatos anteriores exigen procedimientos extensos y exigen clculos geomtricos y trigonomtricos para localizar modulo y la resta soporte de la resultante R, sin embargo los problemas de este tipo se resuelven con facilidad utilizando los componentes rectangulares de las fuerzas.En el caso de un sistema cualquiera de dos fuerzas coplanarias concurrentes, y un sistema constituido por tres fuerzas, se pueden determinar las componentes rectangulares F1x y F1y, F2x y F2y y F3x y F3y sumando por separado los componentes X y las componentes Y tenemos:

Rx = Fx = F1X+F2X+F3X+ = (F1X+F2X+F3X+FnX) I = RXi

RY = FY = F1Y+F2Y+F3Y+FnY = (F1Y+F2Y+F3Y+FnY) J = RYJ

Segn la regla del paralelogramo

R=RX+RY=RXI+RYJ

El modulo R de la resultante se puede determinar mediante el teorema de Pitgoras:

El ngulo que forma la recta de la resultante R con el eje x es,

El ngulo se puede tambin determinas, si fuese ms conveniente mediante las ecuaciones

En la suma hay que tener en cuanta el sentido de cada componente asignndole un signo positivo si su sentido es el positivo del eje x o del eje y, y asignndole negativo en el caso contrario.

Componentes rectangulares ngulo

Problema.Determinar el modulo R de la resultante de las cuatro fuerzas representadas en la figura y el ngulo que forma la recta soporte con el eje x.

Solucin.

El modulo R de la resultante se determina utilizando las componentes rectangulares y de cada una de las fuerzas. As

= 80 cos 140 =-61,28 N =80 sen 140 =+51,42 N =60 cos 110 =-20,52N =60 sen 110 = +56,38 N =75 cos 45 =+53,03 N =75 sen 45 =+53,03 N =90 cos 17 =+86,07 N =90 sen 17 =+26,31 N

Una vez conocidas las componentes rectangulares de las fuerzas, se obtiene las componentes y d la resultante mediante las expresiones

= =+++ =- 61,28 - 20,52 + 53,03 + 86,07 = +57,03 N

= = + + + = + 51,42 + 56,38 + 53,03 + 26,31 =+1817,14 N

El modulo R de la resultante es:

R= = =197,7 N

El ngulo se obtiene a partir de la expresin

= t = t = 73,0

EQUILIBRIO DE UN PUNTO.En esttica se utiliza el termino punto para describir un cuerpo cuando su forma y tamao no afectan de manera apreciable a la solucin del problema en consideracin y cuando pueda suponerse que su masa esta concentrada en un punto. Si se considera la masa al cuerpo es ms correcto llamarle punto material a consecuencia de lo anterior resultaba que un punto solo puede estar sometido a un sistema de fuerzas concurrentes y que la condicin necesaria y suficiente para su equilibrio se puede expresar matemticamente escribiendo:R=F=0

Donde F es el vector suma de todas las fuerzas que se ejercen sobre el punto.Problemas bidimensionales:En el caso de fuerzas coplanarias (en el plano XY) y concurrente la ecuacin se puede escribir en la forma:

R= RX+RY=+=0

= RXI+RYJ==0

= FXI+FYJ==0

La ecuacin es satisfactoria solamente si:

RX=RXI=FXI=0

RY=RYJ=FYJ=0

===0

===0

En forma escalar estas ecuaciones se convierten en:

RX=FX=0RY=FY=0Rn==0=Ft=0

Es decir, la suma de las componentes rectngulas segn una direccin cualquiera debe ser nula aun cuando esta pueda sugerir que da un numero infinito de ecuaciones, no mas de dos serian independientes las restantes ecuaciones se podran obtener mediante combinaciones de las ecuaciones independientes, no obstante es conveniente utilizar como ecuacin independiente FX=0 y =0 en vez de FY=0 Las ecuaciones escalares se pueden utilizar para determinar dos magnitudes incgnitas (dos mdulos, dos pendientes o un modulo y una pendiente)

Problema.

En la figura puede verse el diagrama de solido libre de un punto sometido a cuatro fuerzas. Determinar los mdulos de las fuerzas y que hagan que el punto este en equilibrio.

Solucin.

El punto esta sometido a un sistema de fuerzas coplanarias concurrentes. Las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio vienen dadas por la ecuaciones en la forma =0Y =0. Aplicando estas ecuaciones, y utilizando el diagrama de slidos libre de la figura se tiene

+ =+++ =0 = cos 60 + cos 30 -40 cos 56 - 10 cos 15 =0 =0,5000 + 0,8660 - 22,37 9,659 =0

De donde

+ 1,732 =64,06

+ = + + + =0 = sen 60 + sen 30 - 40 sen 56 + 10 sen 15 =0 =0,8660 + 0,5000- 33,16 + 2,588 =0

De donde

+0,5774 =35,30

Resolviendo el sistema constituido por las ecuaciones se tiene

=20,9 KN=24,9 KN

De otra manera, sumando fuerzas en una direccin n perpendicular a la recta soporte de la fuerza , como se indica en la figura se tiene

+ =++ =0 = sen 30 - 40 sen 26 + 10 sn 45 =0

De donde

= 20,93 =20,9 KN

Una vez conocida , se pueden sumar fuerzas en cualquier direccin para obtener . As pues, sumando fuerzas en la direccin x se tiene

+ + + + =0 = 20,93 cos 60 + cos 30 - 40 sen 56 - 10 cos 15 =0

De donde

=24,90 =24,9 KN

Sumando fuerzas en una direccin perpendicular a una de las fuerzas incgnitas se elimina la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones en los problemas bidimensionales.

MOMENTO DE UNA FUERZA.

El momento de una fuerza respecto a un punto o respecto a un eje es una medida de la tendencia de la fuerza a hacer girar al cuerpo alrededor del punto 0 del eje. Por ejemplo, el momento de la fuerza F respecto al punto O es una medida de la tendencia de la fuerza a hacer girar al cuerpo alrededor del eje AA. La recta AA es perpendicular al plano que contiene a la fuerza F al plano O.El momento tiene modulo, direccin y sentido y se suma de acuerdo con la regla de accin del paralelogramo; por tanto, es una magnitud vectorial. El modulo [M] del momento es, por definicin, el producto del modulo [F] de la fuerza por distancia d medida desde la recta soporte de la fuerza al eje. As pues, en la figura el modulo del momento de la fuerza F respecto al punto O (en realidad respecto al eje AA perpendicular al papel y que pasa por O)es

= | | = |F|dAl punto O se le llama centro del momento, a la distancia d brazo del momento y a la recta AA eje del momento.El sentido del momento en un problema bidimensional se puede especificar mediante una flecha curva en torno al punto, segn se indica en la figura. Si la fuerza tiende a originar una rotacion en sentido antihorario, se dice que el momento es positivo, por definicion. Analogamente, si la fuerza tendria a originar una rotacion en el mismo sentido de las agujas del reloj, el momento sera negativo, por definicion.Como el modulo del momento de una fuerza es el producto del modulo de la fuerza por una longitud, la expresion dimensional del momento sera FL. En el U.S.C.S. las unidadesque se utilizan corrientemente para el momento son la Lb * ft y la lb * inEn el sistema SI, las unidades que se utilizan corrientemente son el N * m, KN*m, etc. En primer lugar puede expresarse la unidad de fuerza o la de longitud; esto no tiene mayor importancia.

Problema.

Se aplica tres fuerzas representada en la figura. Determinar

a. El momento de la fuerza respecto al punto E.b. El momento de la fuerza respecto al punto A.c. El momento de la fuerza respecto al punto B.

Solucion.

El modulo de un momento con respcto a un punto cualquiera O se puede determinar utilizando la ecuacion = | | = |F|d. Asipues,

a. = = 100(10) =1000 N*m = 1000 N*m

b. = =200(12) =2400 N*m = 2400 N*m c. = =300(14) =4200 N*m =4200 N*m

Esquema.1. Introduccin a la mecnica2. Magnitudes fundamentales de la mecnica.3. unidades de medidas. 4. las fuerzas y sus caractersticas 4.1 Magnitudes escalares y vectoriales.4.2 Principio de transmisibilidad4.3 Clasificacin de las fuerzas.5. Resultante de dos o ms fuerzas concurrentes.6. Descomposicion de una fuerza en componentes7. Componentes rectangulares de una fuerza.8. Resultante por componentes rectangulares.9. Equilibrio de un punto10. Momento de una fuerza.