PROYECTO DE ESTÁTICAFRICCIÓN EN CORREAS Y BANDAS

GRUPO #4

Nelson Chiriboga CedeñoMarcos Montaño GuiracochaNelson Muñoz GoyburuJonathan Sánchez MartínezJavier Tacuri Montaño

Cuando dos superficies están en contacto, se presentan fuerzas tangenciales, llamadas fuerzas de fricción, cuando se trata de mover una de las superficies con respecto a la otra. Por otra parte, estas fuerzas de fricción están limitadas en magnitud y no impedirán el movimiento si se aplican fuerzas lo suficientemente grandes. Por tanto, la distinción entre superficies sin fricción y superficies rugosas es una cuestión de grado. Existen dos tipos de fricción: la fricción seca, que algunas veces es llamada fricción de Coulomb, y la fricción de fluidos.

La fricción de fluidos se desarrolla entre capas de fluido que se mueven a diferentes velocidades, y es de gran importancia en problemas que involucran el flujo de fluidos a través de tuberías y orificios o cuando se trabaja con cuerpos que están sumergidos en fluidos en movimiento. Además, la fricción en fluidos también es básica en el análisis del movimiento de mecanismos lubricados.

LEYES DE LA FRICCIÓN SECA. COEFICIENTES DE FRICCIÓN

La evidencia experimental muestra que el máximo valor Fm de la fuerza de fricción estática es proporcional a la componente normal N de la reacción de la superficie. Así, se tiene que

Fm=μsNDonde μs es una constante llamada coeficiente de fricción estática. De forma similar, la magnitud F k de la fuerza de fricción cinética puede expresarse de la siguiente forma:

F k=μk NDonde μk es una constante denominada coeficiente de fricción cinética. Los coeficientes de fricción μs y μk no dependen del área de las superficies en contacto, sino que dependen en gran medida de la naturaleza de las superficies en contacto. Como dichos coeficientes también dependen de la condición exacta de las superficies, sus valores casi nunca se conocen con una precisión mayor a 5 por ciento. En la tabla 8.1 se presentan valores aproximados de los coeficientes de fricción estática para distintas superficies secas. Los valores correspondientes de fricción cinética son alrededor de 25 por ciento menores. Como los coeficientes de fricción son cantidades adimensionales, los valores proporcionados en la tabla 8.1 se pueden utilizar tanto con unidades del SI como con las unidades de uso común en Estados Unidos.

Tabla 8.1. Valores aproximados de los coeficientes de fricción estática para superficies secasMetal sobre metal 0.15-0.60Metal sobre madera 0.20-0.60Metal sobre piedra 0.30-0.70Metal sobre cuero 0.30-0.60Madera sobre madera 0.25-0.50Madera sobre cuero 0.25-0.50Piedra sobre piedra 0.40-0.70Tierra sobre tierra 0.20-1.00Hule sobre concreto 0.60-0.90

Pueden ocurrir cuatro situaciones diferentes cuando un cuerpo rígido está en contacto con una superficie horizontal:

1. Las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo no tienden a moverlo a lo largo de la superficie de contacto; por tanto, no hay fuerza de fricción.2. Las fuerzas aplicadas tienden a mover al cuerpo a lo largo de la superficie de contacto pero no son lo suficientemente grandes para ponerlo en movimiento. La fuerza de fricción F que se ha desarrollado puede encontrarse resolviendo las ecuaciones de equilibrio para el cuerpo. Como no hay evidencia de que F ha alcanzado su valor máximo, no se puede utilizar la ecuación Fm=μsN para determinar la fuerza de fricción.

3. Las fuerzas aplicadas hacen que el cuerpo esté a punto de comenzar a deslizarse, en este momento se dice que el movimiento es inminente. La fuerza de fricción F ha alcanzado su valor máximo Fm y, junto con la fuerza normal N, equilibra las fuerzas aplicadas. Se pueden utilizar tanto las ecuaciones de equilibrio como la ecuación Fm=μsN . También es necesario señalar que la fuerza de fricción tiene un sentido opuesto al sentido del movimiento inminente.

4. El cuerpo se desliza bajo la acción de las fuerzas aplicadas y ya no se pueden aplicar las ecuaciones de equilibrio. Sin embargo, ahora F es igual a F k y se puede utilizar la ecuación F k=μk N . El sentido de F k es opuesto al sentido del movimiento.

ANGULOS DE FRICCIÓN:

Algunas veces es conveniente reemplazar la fuerza normal N y la fuerza de fricción F por su resultante R. Considere un bloque de peso W que descansa sobre una superficie horizontal plana. Si no se aplica una fuerza horizontal al bloque, la resultante R se reduce a la fuerza normal N. Sin embargo, si la fuerza aplicada P tiene una componente horizontal P x que tiende a mover el bloque, la fuerza R

tendrá una componente horizontal F y, por tanto, formará un ángulo ∅ con la normal a la superficie.

Si se incrementa P x hasta que el movimiento se vuelva inminente, el ángulo entre R y la vertical aumenta y alcanza un valor máximo. Este valor recibe el nombre de ángulo de fricción estática y se representa con ∅ s. Con base en la geometría de la figura de la izquierda, se observa que

tan∅ s=Fm

N=μs N

Ntan∅ s=μs

Si en realidad llega a ocurrir el movimiento, la magnitud de la fuerza de fricción decae a F k; en forma similar, el ángulo ∅ entre R y N decae a un valor menor ∅ k, llamado ángulo de fricción cinética. Con base en la geometría de la figura de la derecha, se escribe

tan∅ k=Fk

N=μkN

Ntan∅ k=μk

Se demostrará con otro ejemplo cómo el ángulo de fricción se puede utilizar con ventaja para el análisis de cierto tipo de problemas. Considérese un bloque que descansa sobre una tabla y que está sujeto a las fuerzas correspondientes a su peso W y a la reacción R de la tabla. Se le puede dar a la tabla cualquier inclinación que se desee. Si la tabla permanece horizontal, la fuerza R ejercida por la tabla sobre el bloque es perpendicular a la tabla y equilibra al peso W (figura

de la izquierda). Si se le da a la tabla un pequeño ángulo de inclinación θ, la fuerza R se desviará de la perpendicular a la tabla por el mismo ángulo θ y continuará equilibrando a W (figura de la derecha); entonces, R tendrá una componente normal N de magnitud N=W cosθ y una componente tangencial F de magnitud F=W sin θ.

Si se continúa incrementando el ángulo de inclinación el movimiento será inminente en poco tiempo. En ese momento, el ángulo entre R y la normal habrá alcanzado su valor máximo ∅ s (figura de la izquierda). El valor del ángulo de inclinación correspondiente al movimiento inminente recibe el nombre de ángulo de reposo. Obviamente, el ángulo de reposo es igual al ángulo de fricción estática ∅ s.Si se incrementa aún más el ángulo de inclinación θ,

comienza el movimiento y el ángulo entre R y la normal decae al valor menor ∅ k (figura de la derecha). La reacción R ya no es vertical y las fuerzas que actúan sobre el bloque están desequilibradas.

ROZAMIENTO EN LAS CORREAS

Los rozamientos son importantes en las transmisiones de potencia por medio de correas y cables impulsadores, y en los frenos, cabrestantes, etc., que tienen por objeto resistir grandes cargas. Si sobre un cilindro de superficie lisa o una polea que ofrecen resistencia al giro, pasa una correa, un cable o una banda de acero, las tensiones en la correa, la cuerda o la banda, a ambos lados de la polea, son iguales, pues pata que exista una diferencia entre ellas se precisa que haya rozamiento entre las superficies de contacto de la polea y la correa. Sin embargo, si el cilindro o polea, es basto o rugoso, las tensiones en general, no serán iguales. Se determina la relación que existe entre las tensiones en la correa, etc., en los dos lados de una polea áspera, cuando la corea está a punto de resbala. Es evidente que la tensión mayor tiene que ser justo lo suficiente grande para vencer la tensión más pequeña más el rozamiento entre la polea y la correa. En la figura 1a se ha representado una correa sobre una polea, siendo α el ángulo de contacto y T1 y T2 las tensiones en la correa. Supongamos que sea T1 la tensión mayor y supongamos además que la correa está a punto de resbalar sobre la polea. Designaremos por ρ la presión normal entre la correa y la polea por unidad de longitud de la correa, esto es. La intensidad de la presión en un punto cualquiera y por T la tensión en la correa en ese mismo punto. La figura 1b es un diagrama de cuerpo libre de un elemento de correa de longitud ds. Las fuerzas que actúan sobre este elemento son, las tensiones T y T + dT en los extremos, y la reacción en la polea

Figura 1

Esta última fuerza puede descomponerse en una componente en un componente dN = pds, normal a la superficie de la polea y una componente de rozamiento dF’ = μpds, tangente a la superficie de la polea. Las ecuaciones de equilibrio pueden aplicarse como sigue:

∑ F x=(T+dT ) cos dθ2

−T cosdθ2

−μpds=0 (1)

∑ F x=pds−(T +dT ) sin dθ2

−T sindθ2

=0 (2)

Puesto que dθ2

es pequeño, cosdθ2

es aproximadamente igual a la unidad y sindθ2

es

aproximadamente igual a dθ2

. El término dT sindθ2

es un infinitésimo de segundo orden que

puede despreciarse. Utilizando esas aproximaciones, las ecuaciones (1) y (2) se convierten en

dT−μpds=0 (3)

pds−Tdθ (4)

Eliminando pds de las ecuaciones (3) y (4), tenemos:

dTT

=μdθ (5)

Integrando la ecuación (5) puede halarse la relación entre T1 y T2 como sigue:

∫T 2

T 1

dTT

=∫0

a

μdθ ,o logeT1T2

=μα

Esto es,

T1T2

=eμα ,oT 1=T2e

μα (6)

En la que e es la base de los logaritmos naturales y α está expresada en radianes. Se observará que al derivar la ecuación (6) se supone que la correa es perfectamente flexible.

Las fórmulas que se han derivado se pueden aplicar tanto a problemas que involucran bandas planas que pasan sobre tambores cilíndricos fijos como a problemas que involucran cuerdas enrolladas alrededor de un poste o de un cabrestante. Además, dichas fórmulas también pueden utilizarse para resolver problemas que involucran frenos de banda. En este tipo de problemas que involucran frenos de banda. En este tipo de problemas, el cilindro es el que está a punto de girar mientras que la banda permanece fija. Por otra parte, las fórmulas también pueden aplicarse en problemas que involucren transmisiones de banda.

En estos problemas giran tanto la polea como lavanda, entonces, se desea determinar si la banda se deslizará, esto es, si la banda se moverá con respecto a la polea.

Las fórmulas (3) y (4) sólo deben utilizarse si la banda, la cuerda o el freno están a punto de deslizarse. Se utilizará la fórmula (4) si se desea determinar T1 y T2; se preferirá la fórmula (3) si se desea determinar el valor μS o si se desea determinar el ángulo de contacto β. Es necesario señalar que T2 siempre es mayor que T1; por tanto, T2 representa la tensión en aquella parte que jala,

mientras que T1 es la tensión en aquella parte resistente. También se debe mencionar que el ángulo de contacto β debe expresarse en radianes. El ángulo β puede ser mayor que 2π; por ejemplo, si una cuerda está enrollada n veces alrededor de un poste, β será igual a 2πn.

Si la banda, la cuerda o el freno están deslizándose, deben utilizarse fórmulas similares a las ecuaciones (3) y (4) pro que involucren el coeficiente de fricción cinética μk. Si la banda, la cuerda o el freno no están deslizándose y tampoco están a punto de deslizarse, no se pueden utilizar las fórmulas mencionadas antes.

Figura 3

Las bandas que se utilizan en las transmisiones por lo general tienen forma en V. En la banda en V que se muestra en la figura 3a el contacto entre está y la polea ocurre a lo largo de los lados de la ranura. Dibujando el diagrama de cuerpo libre de un elemento de la banda (figura 3b y 3c), se puede obtener la relación que existe entre los valores T1 y T2 de la tensión en las dos partes de la banda cuando ésta a puno de deslizarse. De esta forma se derivan fórmulas similares a las ecuaciones (1) y (2), pero ahora la magnitud de la fuerza de fricción total que actúa sobre el elemento es igual a 2 ΔF, y la suma de las componentes de las fuerzas normales es igual a 2 ΔN sin (α /2 ). Procediendo de la misma forma en la que se hizo antes, se obtiene

lnT2T1

=μS β

sin (α /2 )

T2T1

=eμ Sβ / sin (α /2 )

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Un cable de remolque lanzado desde un barco a un muelle se enrolla dos vueltas completas alrededor de un bolardo o noray. La tensión en el cable es de 7500N, que ejerce una fuerza de 150N sobre el extremo libre del cable, un trabajador del muelle apenas puede evitar que el cable se deslice; determine: a) el coeficiente de fricción entre el cable y el bolardo o noray, y b) la tensión en el cable que podría ser resistida por la fuerza de 150N si el cable estuviera enrollado tres vueltas completas alrededor del bolardo o noray.

a)Coeficiente de friccion. Como el deslizamiento del cable es inminente, se usa la ecuación.

lnT2T1

=μsβ

Como el cable esta enrollado dos vueltas completas alrededor del bolardo, se tiene que

β=2 (2π rad )=12.57 rad

T 1=150NT 2=7500N

Por tanto,

μs β=lnT 2T 1

μs (12.57 rad )=ln 7500N150N

=ln50=3.91

μs=0.311

b) Cable enrollado tres veces completas alrededordel bolardo. Con el valor de μs obtenido en el inciso a) de este problema, ahora se tiene que

β=3 (2π rad )=18.85 rad

T 1=150N μs=0.311

Sustituyendo estos valores en la ecuación se obtiene

T2T1

=eμ sβ

T 2150N

=e(0.311 )(18.85)=e5.862=351.5

T 2=52725NT 2=52.7 kN

Una banda plana conecta una polea A que mueve una máquina herramienta, con una polea B, la cual está unida a la flecha de un motor eléctrico. Los coeficientes de fricción entre ambas poleas y la banda son s = 0.25 y k= 0.20. Si se sabe que la tensión máxima permisible en la banda es de 600 lb. Determine el movimiento torsional máximo que puede ejercer la banda sobre la polea A.

Debido a que la resistencia al deslizamiento depende tanto del ángulo de contacto β entre la polea y la banda como del cociente de fricción estática s, y puesto que s, es el mismo para ambas poleas, el deslizamiento ocurrirá primero en la polea B, para lo cual β es menor.

POLEA B

T 2=600 lb

s=0.25

Β=120o=2π/3 radT2T1

=eμ sβ 600 lbT 1

=e0.25¿¿

T 1=600lb1.688

=355.4 lb

POLEA A

El par Ma se aplica a la polea por la máquina herramienta a la cual está unida la polea y es igual y opuesto al momento torsional ejercido por la banda. Así se escribe.

∑M A=0 :M A−(600¿lb )¿¿

M A=1957 lb ∙∈MA=163.1 lb ∙ ft

Nota. Se puede comprobar que la banda no se desliza sobre la polea A calculando el valor μs requerido para evitar el deslizamiento en A y verificando que este es menor que el valor real de μs . A partir de la ecuación se tiene que

μs β=lnT 2T 1

=ln 600 lb355.4 lb

=0.524

Y, como β=240 °=4 π3

rad

4 π3

μs=0.524 μs=0.125<0.25

La tensión máxima que puede ser desarrollada en la cuerda mostrada en la figura es de 500N. Si la polea puede girar libremente y el coeficiente de fricción estática en los tambores fijos B y C es μS=0,25, determine la masa más grande que puede tener el cilindro y ser levantado por la cuerda. Suponga que la fuerza F aplicada en el extremo de la cuerda esta dirigida verticalmente hacia abajo, como se muestra.

Solución. Levantar el cilindro, que tiene un peso W=mg, ocasiona que la cuerda se mueva en sentido contrario al de las manecillas del reloj sobre los tambores localizados en B y C; por tanto, la tensión máxima T 2 en la cuerda ocurre en D. Así, T 2=500N . Una sección de la cuerda que pasa sobre el tambor en B se muestra en la figura (Movimiento inminente b). Como 180°=π rad, el angulo de contacto entre el tambor y la cuerda es β=(135°/180°) π=3 π /4 rad. Tenemos,

T 2=T1∗eμβ ;500N=T 1∗e

0,25 [ (3 /4) π ]

Por consiguiente,

T 1=500N

e0,25 [ (3/4 )π ] =500N1,80

=277,4N

Como la polea ubicada en A puede girar libremente, el equilibrio requiere que la tensión en la cuerda permanezca igual en ambos lados de l polea.

La sección d la cuerda que pasa sobre el tambor en C se muestra en la figura (Movimiento inminente c). El peso W<277,4 N ¿Por qué? Tenemos,

T 2=T1∗eμβ ;500N=T 1∗e

0,25 [ (3 /4) π ]

de modo que

m=Wg

= 153,9N

9,81m /s2=15,7 kg

En el freno de cinta de la figura, la fuerza P es de 50 kg. el ángulo de contacto α es 270° (3/2 π radianes), y el coeficiente de rozamiento μ para la cinta y la ruda del freno es 0,2. Calcular las tensiones en la cinta y el momento de rozamiento desarrollado, si la rueda del freno gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

Solución. Puesto que la palanca de acción ACB esta en equilibrio puede aplicarse la ecuación ∑MB=0, que nos servirá para hallar la fuerza de tracción de la cinta en C, esto es, la tensión T 2. Así, pues,

∑MB=50∗0,65−T 2∗0,05=0

∴T 20650Kg

Una vez calculada T 2, puede hallarse la tensión T 1 partiendo de la formula para el rozamiento de la correa. Así,

T 1=T2∗eμα=650∗e0,2∗1,5π

logT 1=log 650+0,3 π log e

¿2,813+0,942∗0,434=3,221∴T 1=1660Kg

Momento derozami ento=(T 1−T 2 )∗0,25=1000∗0,25=252,5mKg

Un cable se coloca alrededor de tres tubos paralelos como se muestra en la figura. Si los coeficientes de fricción son µs=0.25 y µk=0.20, determine a) el peso W mínimo para el cual se mantiene el equilibrio, b) el peso W máximo que puede levantarse si el tubo B se gira lentamente en sentido contrario al de las manecillas del reloj mientras que los tubos A y C permanecen fijos.

a) Calculo del peso mínimo

Tomamos en cuenta que para que el peso sea mínimo la carga de 50 lb esta jalando

DCL en la masa

T2

50lb

ΣFy = 0 = T1 – 50lbT1 = 50lb

DCL en el tubo A

T1

T1

jala

resiste

b) Calculo del peso máximo

Tomamos en cuenta que para que el peso sea máximo la carga W esta jalando

El tubo B esta girando en sentido antihorario, usamos coeficiente cinetico µk=0.20

DCL para el tubo BT2

T3

jala

resiste

DCL para el tubo CT3

W

jala

resiste

DCL en la masa

50lb

ΣFy = 0 = T1 – 50lbT1 = 50lb

T1 T2

DCL en el tubo A

T1

jala

resiste

BIBLIOGRAFÍA

-Mecánica Vectorial para Ingenieros 9na edición, Estática. Beer, Johnston, Mazurek, Eisenberg

-Mecánica Analítica para Ingenieros 3ra edición. Seely, Ensign

-Mecánica Vectorial para Ingenieros 10ma edición, Estática. Russel C. Hibbeler

DCL para el tubo B

T2

T3

jala

resiste

DCL para el tubo C

T3

W

jala

resiste