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Curso: Estática Aplicada (3271). Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles.

Profesor: Mauricio Muñoz P. / Ayudante: Eduardo Hurtado

Clase: 1 (09/03/07)

Unidad 1 Introducción

1.1 Definición

La estática es el estudio de los sistemas inmóviles o los que se mueven con velocidad

constante, y es parte de la mecánica, que es la ciencia que considera la respuesta de un

cuerpo bajo la acción de cargas.

1.2 Antecedentes Históricos

Muchos historiadores asocian el nacimiento de la mecánica con las investigaciones del

matemático griego Arquímedes (287-212 a.C.), quien desarrolló los principios para el

análisis de las fuerzas paralelas y los aplicó a la estática de palancas simples, los

sistemas de poleas, los cuerpos flotantes y los centros de gravedad de los cuerpos.

El análisis de fuerzas no paralelas no fue realizado sino hasta casi 2000 años después

de la muerte de Arquímedes, cuando el matemático e inventor flamenco Simon Stevin

(1548-1620) resolvió el problema del plano inclinado (el cual comprende fuerzas no

paralelas). Stevin también usó segmentos rectilíneos dirigidos para representar las

fuerzas, e incluyó una punta de flecha a un segmento rectilíneo para indicar el sentido

de la fuerza a lo largo de la recta (Fig. 1.1). Mostró como sumar dos fuerzas para

obtener su resultante, construyendo un paralelogramo de fuerzas con éstas (flechas)

como los lados. Así, la diagonal del paralelogramo representa la suma, o resultante, de

las dos fuerzas (Fig. 1.2).

Fig. 1.1 Fig. 1.2

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Las cantidades que se suman como fuerzas se llaman vectores. El científico francés

René Descartes (1596-1650) desarrolló la idea de resolver los vectores en proyecciones

paralelas a ejes de coordenadas (origen de las coordenadas cartesianas). Al

complementar la ley del paralelogramo de Stevin, esta idea facilita mucho los cálculos

tanto en dos como en tres dimensiones, en términos de proyecciones de vectores. Las

cantidades vectoriales se distinguen de las escalares (por ejemplo, la temperatura) en

cuanto a que estas últimas sólo poseen magnitud.

Stevin también ideó el principio del trabajo virtual. Este principio condujo a una teoría

alternativa del equilibrio: el método del trabajo virtual.

Los antiguos sabios griegos, en particular Aristóteles (384-322 a.C.), intentaron

explicar el movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas. Sin embargo, debido

a una incapacidad para medir la distancia o el tiempo con exactitud y una creencia falsa

de que la fuerza era necesaria para mantener el movimiento, estos intentos condujeron

a conclusiones erróneas. Un ejemplo de estos errores es la teoría aristotélica de que los

cuerpos pesados caen más rápido en un campo de gravedad que los ligeros.

Después de estos antiguos estudios, el campo de la mecánica se desarrolló de manera

gradual hacia tres divisiones principales: estática, cinemática y cinética. La estática se

refiere a los sistemas inmóviles o los que se mueven con velocidad constante en línea

recta y a las fuerzas que actúan para establecer estos estados del movimiento. Por

ejemplo, un libro colocado sobre el escritorio del lector o su automóvil viajando a lo

largo de un camino recto a velocidad constante son sujetos para las leyes de la estática

y se analizan con éstas. La cinemática se refiere a las razones de cambio en las

cantidades geométricas de un sistema en movimiento; no comprende el concepto de

fuerza. La cinética trata las causas y la naturaleza del movimiento que resulta a partir

de fuerzas especificadas. La cinemática y la cinética forman el campo de la dinámica.

Las relaciones entre la posición, la velocidad y la aceleración de un cuerpo en

movimiento (por ejemplo, una pelota lanzada) son definidas por la cinemática. La

relación entre las fuerzas que actúan sobre el cuerpo (por ejemplo, el viento y la

gravedad) y el movimiento de éste comprende la cinética.

No fue sino hasta el siglo XVII en que Galileo (1564-1642) expuso el fundamento para

la ciencia de la dinámica por medio de experimentos y análisis cuidadosos. Galileo

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hizo contribuciones a la teoría del equilibrio (estática) y a la cinemática. Sin embargo,

se le conoce más por sus contribuciones a la cinética. El trabajo de Galileo fue el

primer esfuerzo con éxito para desvanecer las falsas doctrinas de la dinámica de

Aristóteles, la cual se había estado enseñando sin cuestionarse con seriedad ni

conformarse durante casi 2000 años. Galileo comprendió la ley de la inercia, según se

manifiesta en su afirmación de que un cuerpo en movimiento sin fuerzas externas

aplicadas seguirá moviéndose a velocidad constante en línea recta. Comprendió que la

aceleración (la razón de cambio de la velocidad) de un cuerpo queda determinada por

las fuerzas externas y que, por lo tanto, la aceleración depende de las fuerzas aplicadas

al cuerpo y a la inercia (masa) del mismo.

El estudio de la mecánica también puede clasificarse según la clase de sistema físico

que se esté considerando. El sistema mecánico más sencillo es la partícula. Una

partícula se define como un cuerpo cuyo tamaño, en una situación física dada, no tiene

influencia sobre las reacciones a las fuerzas que actúan sobre él. En otras palabras, el

cuerpo puede modelarse como un punto de masa concentrada, y se puede ignorar el

movimiento de rotación de ese cuerpo. En una situación física en la que no puede

ignorarse el tamaño o la rotación de un cuerpo, este último no puede tratarse como una

partícula.

Un sistema más complicado es el de dos o más partículas que interactúan (ejercen

fuerzas sobre cada una de las otras). Las partículas también pueden estar sujetas a

fuerzas causadas por cuerpos que están fuera del sistema. Newton usó este tipo de

modelo para estudiar el movimiento de los planetas.

En algunas situaciones físicas, la deformación de un cuerpo tiene un efecto

significativo sobre el movimiento (o equilibrio) de ese cuerpo debido a las fuerzas que

actúan sobre él; ésa deformación no se puede ignorar. Por otra parte, si la deformación

de un cuerpo es muy pequeña y tiene poco efecto sobre su movimiento o equilibrio, esa

deformación se puede ignorar al considerar el movimiento o el equilibrio del cuerpo.

Entonces, se puede dar por hecho que el cuerpo es rígido, y referirnos a él en efecto

como cuerpo rígido. Cada punto de un cuerpo rígido siempre está a una distancia

constante de cualquier otro punto del mismo cuerpo.

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Dependiendo de la situación física, un cuerpo dado se puede tratar como una partícula,

como un cuerpo rígido o como un cuerpo deformable. Por ejemplo, en el cálculo del

movimiento de la Tierra alrededor del Sol, aquélla puede modelarse con exactitud

como una partícula, ya que la rotación de la Tierra tiene un efecto muy pequeño sobre

su movimiento alrededor del Sol. De manera semejante, con respecto a la rotación de

la Tierra alrededor de su propio eje, aquélla puede modelarse como un cuerpo rígido,

ya que la deformación de la Tierra tiene un efecto muy pequeño sobre su rotación. Sin

embargo, en la determinación de la forma de la Tierra deben considerarse las

deformaciones elásticas y plásticas de ésta; es decir, ya no se puede suponer que a

Tierra sea rígida.

Conjuntamente, el estudio de la estática y la dinámica se denomina mecánica clásica.

La mecánica clásica trata del movimiento de los cuerpos de tamaño “ordinario” que se

mueven a velocidades pequeñas en comparación con la de la luz. Incluye el caso

especial de la estática (el equilibrio) en el que un cuerpo se encuentra en reposo o se

mueve en línea recta con velocidad constante, así como el caso en el cual un cuerpo es

suficientemente rígido de manera al que su deformación no tiene efecto sobre su

movimiento.

Sir Isaac Newton (1642-1727), quién nació el año en que Galileo murió, resumió,

aclaró y extendió el trabajo de este último. Además, formuló la ley de la gravitación

universal y las matemáticas del cálculo. Newton introdujo y aclaró los conceptos de

fuerza y masa. También formuló las tres leyes del movimiento que constituyen la base

de las aplicaciones a la ingeniería de la mecánica. Aún cuando estas tres leyes habían

sido descubiertas en forma experimental por Galileo alrededor de cuatro años antes que

Newton naciera, éste fue el primero en sistematizarlas. La gran importancia de las

contribuciones de Newton a la mecánica se manifiesta por el hecho de que, a menudo,

a la mecánica clásica se le llama mecánica newtoniana.

Las teorías de la relatividad y de la mecánica cuántica hacen ver que la mecánica

newtoniana es inexacta cuando las velocidades se aproximan a la de la luz o cuando se

considera el movimiento de partículas subatómicas. Sin embargo, la mecánica

newtoniana es en extremo precisa para todos los demás casos. Como consecuencia, la

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mecánica newtoniana constituye la base para el análisis de la vasta mayoría de los

problemas modernos de la ingeniería.

1.3 Leyes de Newton del Movimiento

Isaac Newton, en su tratado Principia, enunció tres leyes principales que describen el

movimiento de una partícula. Newton estableció estas leyes del movimiento a partir de

su estudio del movimiento de los planetas. Ya que los tamaños de los planetas son en

extremo pequeños en comparación con las distancias que intervienen, el movimiento

de un planeta se predice con exactitud al considerarlo como una partícula; es decir, un

cuerpo que puede tratarse como una masa puntual. Las leyes de Newton se pueden

enunciar, en términos de una partícula, como sigue:

Primera ley: En ausencia de fuerzas aplicadas, una partícula originalmente en reposo

o moviéndose con velocidad constante en línea recta, permanecerá en reposo o

seguirá moviéndose con velocidad constante en línea recta.

Segunda ley: Si una partícula se sujeta a una fuerza, esa partícula será acelerada (es

decir, su velocidad cambiará). La aceleración de la partícula será en la dirección de

la fuerza y la magnitud de esa aceleración será proporcional a la magnitud de la

fuerza e inversamente proporcional a la masa de la partícula.

Tercera ley: Para toda acción, se tiene una reacción igual y opuesta. Es decir, las

fuerzas mutuas ejercidas por las partículas, una sobre la otra, poseen la misma

magnitud, dirección y sentido opuestos.

La primera ley de Newton es un caso especial de la segunda. Implica las condiciones

en que una partícula se encuentra en un estado de equilibrio estático. También implica

que una partícula se resiste a los cambios en su movimiento; es decir, posee masa (o

inercia). La segunda ley de Newton es una ley cuantitativa que se expresa

matemáticamente en la forma

amF o m

Fa (1.1)

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donde F es la fuerza, m la masa y a la aceleración.

La ecuación (1.1) indica que la aceleración es proporcional a la fuerza e inversamente

proporcional a la masa (inercia). Por consiguiente, entre mayor sea la masa de la

partícula, mayor será la fuerza requerida para producir una aceleración dada.

En la segunda ley se supone que una sola fuerza (resultante) actúa sobre una sola

partícula. Sin embargo, la tercera ley hace notar que una sola fuerza, o acción, no existe

sola; por el contrario, siempre se le opone una reacción. La importancia de la tercera

ley de Newton es que permite que su segunda ley, la cual se aplica a una sola partícula,

se extienda hacia un sistema de dos o más partículas sobre las que actúa un sistema de

fuerzas.

1.4 Unidades de Medida y Magnitudes Físicas

En los cálculos de ingeniería se usan unidades de medida para describir magnitudes

físicas como las fuerzas. En la actualidad, en casi todas las naciones industrializadas se

usa el Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI Una versión moderna del

sistema métrico, el SI fue adoptado en 1960 por los delegados de la Undécima

Conferencia General sobre Pesas y Medidas. Aun cuando Estados Unidos participó en

esta conferencia, el SI todavía no se ha adaptado por completo. El alumno tendrá que

ser experto no sólo en el SI, sino también en el sistema usado en Estados Unidos, por

lo que se enseñarán ambos sistemas.

El campo de la mecánica para ingeniería se apoya en el estudio de fenómenos físicos y

en resultados experimentales. Los ingenieros usamos números para cuantificar ésos

fenómenos y resultados. Estos números se llaman magnitudes físicas, y a cada

magnitud se le asigna una unidad. Una medición de una magnitud en realidad es una

comparación con un estándar de referencia.

Cuando en una pista se menciona, por ejemplo, una carrera de 400 metros, significa

que la distancia de carrera tiene una longitud igual a 400 veces el metro, la unidad

estándar internacional de longitud.

Para garantizar mediciones precisas, los ingenieros necesitan unidades estándar de

medición que no cambien y que puedan ser duplicadas por quienes hacen

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experimentos. Cuando la Academia de Ciencias de París estableció el sistema métrico

de medición en 1791, el metro (m) se definió como la distancia (a cero grados Celsius)

entre dos marcas en una barra de platino e iridio que se conserva en la Oficina

Internacional de Pesas y Medidas, en Sèvres, Francia (cerca de París). Esta distancia

era equivalente a la diezmillonésima (1x10-7

) parte de la distancia del Ecuador al Polo

Norte, medida a lo largo del meridiano que pasa por París. Desde 11, se han usado

otras varias definiciones del metro. En la definición actual, establecida en noviembre

de 1983, se define el metro como la distancia que recorre la luz en un vacío en

1/299792458 segundo. Esta definición tiene el efecto de definir la velocidad de la luz

con precisión como 299792458 metros por segundo. Un segundo (s) se define como el

tiempo requerido para que se emitan 919263170 ciclos de radiación por el átomo de

cesio cuando realiza la transición entre sus dos estados más bajos de energía (Young,

1992). Estas definiciones del metro y del segundo son inútiles en un taller mecánico,

pero hacen que las unidades básicas de longitud y tiempo sean accesibles a los físicos

en todo el mundo, sin tener que recurrir a una barra estándar que mida un metro.

Unidades de Masa y Fuerza

La masa de un objeto se puede medir con una balanza. En la terminología científica,

una balanza mide la masa en campo gravitacional. Un cuerpo cuya masa se va a medir

se coloca e uno de los platillos de la balanza. La fuerza gravitacional de la Tierra que

actúa sobre la masa del cuerpo se equilibra por la fuerza gravitacional de la Tierra que

actúa sobre las masas conocidas que se colocan en el otro platillo. En estas

condiciones, la masa del cuerpo es igual a la de las masas conocidas.

La unidad estándar de masa es el kilogramo (kg). En un principio se pretendió que el

kilogramo fuera igual a la masa de 1000 centímetros cúbicos de agua (1 litro), siendo

un centímetro igual a 0.01 metro. En la actualidad, el kilogramo es la masa de un

cilindro de platino de 39 milímetros de largo y 39 milímetros de diámetro, siendo un

milímetro (mm) igual a 0.01 metro. El kilogramo estándar está almacenado en la

Oficina Internacional de Pesas y Medidas. La masa de un objeto es de 1 kilogramo si

ese objeto es equilibrado con exactitud por el kilogramo estándar en una balanza, con

el indicador en el centro del brazo de ésta.

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En el comercio se usan balanzas para medir masa porque éstas no se ven afectadas por

las diferencias en la fuerza de gravedad (la atracción de la Tierra sobre el cuerpo) en

diferentes ubicaciones geográficas. En un lugar dado, la atracción gravitacional de la

Tierra actúa por igual sobre el cuerpo cuya masa se va a medir y sobre las masas

conocidas que están en el otro platillo.

Como señaló Newton, todos los cuerpos se atraen entre sí. Sin embargo, dado que las

atracciones entre cuerpos pequeños son muy pequeñas, sólo se pueden detectar con

instrumentos de alta sensibilidad. Sin embargo, una persona puede sentir la fuerza de

atracción entre un cuerpo de tamaño grande y la Tierra cuando levanta ese cuerpo.

Esta fuerza es tan familiar que se le ha dado un nombre especial: el peso del cuerpo.

Con una balanza no se mide el peso, ya que el peso de un cuerpo depende de la

ubicación del cuerpo con respecto a la Tierra. Por ejemplo, si una nave espacial

estuviera alejándose de la Tierra con velocidad constante, los pesos de los objetos en la

nave disminuirían paulatinamente. Los propios viajeros en la nave se sentirían cada

vez más ligeros y podrían levantar grandes objetos que no podrían mover sobre la

Tierra. Una balanza en equilibrio e la nave espacial no detectaría este fenómeno en lo

absoluto. Permanecería en equilibrio, ya que las masas en los dos platillos seguirían

siendo iguales entre sí.

A diferencia de la balanza, que mide masa, el dinamómetro es un aparato con el que se

mide fuerza. Los experimentos de Robert Hooke (1635-1703) demostraron que la

extensión de un resorte elástico es proporcional a la fuerza que se aplica al mismo. El

dinamómetro opera con este principio. En un dinamómetro, un objeto de masa fija

tendrá un peso variable, dependiendo del campo gravitacional en el que se encuentre.

Por ejemplo, una masa de 1 kilogramo no tendrá peso en el espacio; pesará alrededor

de 1.6 newton sobre la luna y pesará más o menos 9.8 newton sobre la Tierra.

La unidad de fuerza en el SI es el newton (N). Por definición, un newton es la fuerza

que origina una aceleración de 1 metro por segundo al cuadrado (m/s2) al kilogramo

estándar. La razón para determinar esta convención se discute en el estudio de la

cinética.

El kilogramo estándar pesa 9.806 N en un punto sobre la Tierra en donde la aceleración

de la gravedad tenga el valor estándar, g = 9.806 m/s2. Esto se deduce a partir de la

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segunda ley de Newton, ecuación 1.1. Si la masa es de 1kg y la aceleración de la

gravedad sobre la superficie de la Tierra es de 9.806 m/s2, la ecuación 1.1 da

NsmkgsmkgamF 806.9806.9806.91 22

donde 1kg∙m/s2 se define como un newton. Por tanto, en el SI, la unidad de fuerza, el

newton (N), se obtiene a partir de la segunda ley de Newton en términos de las

unidades básicas del SI: kilogramo (kg), metro (m) y segundo (s).

El peso de un cuerpo es la fuerza con la cual la Tierra atrae a ese cuerpo. La fuerza de

atracción se llama fuerza de gravedad. Ya que el peso es una fuerza, se expresa en

newtons. Por la ecuación 1.1, con a = g, el peso W de un cuerpo con masa de 1kg, en

un lugar en donde g = 9.806 m/s2, es

NsmkgmgW 806.9806.91 2

De modo más general, si en unidades coherentes, se establece m = 1 en la ecuación W

= mg, se obtiene W = g. Este resultado tiene el significado siguiente:

Para ser coherentes con la ecuación F = ma, el peso de una unidad de masa debe ser

exactamente g unidades de fuerza.

Esta condición es independiente de la aceleración local de la gravedad, porque si g

varía, el peso de un objeto varía en forma proporcional.

Ha surgido una gran confusión porque, en el uso cotidiano, los conceptos y unidades de

peso y masa se han entremezclado, incluso en los círculos científicos y de ingeniería.

La adopción del SI es un esfuerzo supremo para terminar con esa confusión.

El Sistema Internacional de Unidades (SI)

Las siguientes cuatro cantidades físicas: longitud, tiempo, masa y fuerza, tienen

unidades asociadas que se denominan unidades cinéticas (metro, segundo, kilogramo,

newton), ya que forman un conjunto coherente de unidades que satisfacen la ecuación

1.1. Las tres primeras unidades son las unidades básicas o unidades fundamentales; es

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decir, se definen de modo independiente de cualquier otra unidad. La cuarta unidad, el

newton, es una unidad derivada; es decir, se define en términos de las unidades básicas.

En el SI, las unidades básicas se definen de tal modo que no dependen del lugar, como

se vio en el caso del kilogramo. Por esta razón se dice que el SI es un sistema absoluto.

En el sistema de uso común en EUA, las unidades básicas elegidas para la longitud, el

tiempo y la fuerza son el pie(ft), el segundo (s) y la libra (lb), respectivamente. La

unidad de masa, llamada slug, es una unidad derivada. En este sistema, la definición

de la libra depende del lugar y, por lo tanto, de la fuerza de gravedad en ese lugar. Por

esta razón, se dice que el sistema de so común en EUA es un sistema gravitacional.

La sencillez del SI se acrecienta por el hecho de que sólo existe una unidad básica para

cada magnitud física; no se tienen factores de conversión ni constantes adicionales que

recordar. Por ejemplo, en el SI, el metro es la unidad única de longitud; en tanto que

en el sistema de uso común en EUA, la pulgada, el pie, la yarda, la braza, y la milla se

usan como unidades de longitud.

Otro sistema decimal que aún se utiliza es el sistema cgs, basado en el centímetro, el

gramo y el segundo.

Las unidades SI se dividen en tres clases: unidades básicas, unidades suplementarias y

unidades derivadas. Como se izo notar con anterioridad, en el estudio de la cinética se

usan tres unidades básicas. En otros campos científicos y de ingeniería, cuatro

unidades básicas adicionales se consideran como dimensionalmente independientes.

Éstas son el ampere (A), el kelvin (K), el mol (mol) y la candela (cd). Por tanto, el SI

se basa en siete unidades bien definidas que, por convención, se consideran como

dimensionalmente independientes. La clase de unidades suplementarias sólo contienen

dos unidades: el radián (rad) y el estereorradián (sr). Sin embargo, ya que el radián se

define como la razón entre dos longitudes y el estereorradián como una razón entre un

área y el cuadrado de una longitud, estas unidades también pueden considerarse como

unidades derivadas adimensionales.

Homogeneidad Dimensional

El matemático francés Fourier observó que las leyes de la naturaleza son

independientes de los sistemas humanos de medición. Por lo tanto, las ecuaciones que

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representan fenómenos naturales deben ser independientes de las unidades; es decir,

estas ecuaciones deben ser válidas para el SI, para el sistema de uso común en EUA o

para cualquier otro sistema de medición. Esta propiedad de una ecuación se llama

homogeneidad dimensional. Por ejemplo, la forma escalar de la segunda ley de

Newton, F = m∙a, es válida si las unidades de sus cantidades son el metro, el kilogramo

y el segundo, o bien, el pie, el slug y el segundo. Por lo tanto, se dice que F = m∙a es

dimensionalmente homogénea.

El concepto de homogeneidad dimensional conduce a una extensa teoría llamada

análisis dimensional (Langhaar, 1980). Esta teoría ha probado su utilidad para muchos

tipos de estudios físicos. Por ejemplo, un teorema de análisis dimensional expresa que

una ecuación del tipo x = a + b + c es dimensionalmente homogénea si, y sólo si, las

variables x, a, b y c tienen las mismas dimensiones. Este teorema resulta útil para

comprobar ecuaciones algebraicas. Si una ecuación deducida contiene una suma o

diferencia de dos o más términos que tienen dimensiones diferentes, se ha cometido un

error. En términos comunes, no se pueden sumar manzanas con naranjas y obtener

manzanas como suma. Por ejemplo, considere un problema para el cual se ha obtenido

la ecuación F – mv2 = 0, donde F denota fuerza, m masa y v velocidad. Si se

comprueban las dimensiones de los términos, se descubre que la ecuación no es

dimensionalmente homogénea, ya que la expresión mv2 no tiene las dimensiones de

fuerza. De hecho, se ve que

FFLTLTFLmv 22212

Como consecuencia, la relación F – mv2

= 0 no puede representar una ley física.

La homogeneidad dimensional es una condición necesaria, pero no suficiente, para que

una ecuación describa correctamente un fenómeno físico. Una ecuación puede tener

las mismas dimensiones en cada término y todavía no tener un significado físico. Por

ejemplo, la ecuación FL = mv2 es dimensionalmente homogénea, pero no representa un

fenómeno físico.

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1.5 Cálculos Numéricos en Ingeniería y Modelos

Una solución realista y con éxito para un problema de ingeniería suele iniciarse con un

modelo exacto de ese problema y la comprensión de las hipótesis aplicadas. Los

físicos y los ingenieros definen un modelo como una aproximación de un sistema que

sea suficientemente exacto para los fines del análisis físico. Por ejemplo, suponga que

se tiene el problema de calcular el movimiento de una pelota de béisbol lanzada en el

aire con una velocidad dada. La pelota suele modelarse como una partícula; es decir,

como una masa puntual. ¿Es bueno este modelo para la pelota de béisbol?. Para dar

respuesta a esta pregunta, debe considerarse una pelota real de béisbol: ¿Es un punto de

masa concentrada? ¡No! ¿Es importante este hecho? Podría ser, ¡si la rotación de la

pelota es importante!

Una reproducción en video de la pelota en vuelo mostraría que gira. Recuerde que una

partícula no gira; es decir, su rotación tiene un efecto insignificante sobre su

movimiento. Sin embargo, como todo fanático del béisbol sabe, el giro impartido a

una pelota por un lanzador tiene un efecto significativo en el movimiento de esa pelota.

La velocidad de la pelota, su giro y su interacción con el aire influyen en su

movimiento. (Debido a estas complicaciones, los físicos aún están desconcertados

sobre por qué algunos lanzadores lanzan mejores pelotas curvas que otros). Otro factor

que debe considerarse es el efecto de la gravedad. ¿Es constante la fuerza de gravedad

que actúa sobre la pelota? No; la fuerza de gravedad cambia con la altitud de la pelota.

¿Es significativo este cambio para este problema? Es probable que no. ¿Influye la

rotación de la Tierra sobre el movimiento de la pelota? ¡Sí! ¿Será importante este

efecto en este problema? ¿Existen otros factores que influyan sobre el movimiento de

la pelota?.

En pocas palabras, si se intenta incluir todos los efectos en el análisis, el problema se

vuelve extremadamente complejo. Por tanto, ¿qué se hace? Se simplifica el problema

de modo que permita obtener una aproximación suficientemente exacta a la solución

del problema real. En primer lugar, se ignora el tamaño y forma de la pelota; es decir,

se le considera como una partícula. En seguida, se desprecia la resistencia del aire y

los efectos del viento y se da por hecho que la pelota se mueve en el vacío. Por último,

se desprecian los cambios en la fuerza de gravedad y el efecto de la rotación de la

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Tierra. Ahora se cuenta con un modelo del problema: una partícula en un campo de

gravedad constante moviéndose en el vacío con una velocidad inicial. Con este

modelo simplificado, el problema se puede manejar. La solución es que la pelota se

mueve a lo largo de un arco parabólico. ¿Pero con cuánta exactitud esta solución

modelo representa la solución real? Lo veremos más adelante.

La búsqueda de respuestas para cuestiones como la antes planteada es el arte de la

ingeniería. Un componente propio de la buena ingeniería es el arte de modelar bien.

En general, el objetivo de un buen modelo es conservar los efectos más importantes en

un problema y descartar los menos importantes. Por supuesto, no deben descartarse

demasiados. Por ejemplo, si, además de las simplificaciones antes discutidas, se

despreciara por completo la fuerza de gravedad (en lugar de tomarla como constante),

la solución del problema de la pelota de béisbol sería que ésta viajaría a velocidad

constante en línea recta, ya que ninguna fuerza actúa sobre ella (primera ley de

Newton). ¡Seguiría viajando en línea recta hacia el espacio exterior y nunca regresaría

a la Tierra! Es obvio que ésta es una mala solución para e problema real.

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Curso: Estática Aplicada (3271). Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles.

Profesor: Mauricio Muñoz P. / Ayudante: Eduardo Hurtado

Clase: 2 (13/03/07)

Unidad 1 (continuación)

1.6 Características de las Fuerzas

Se explorarán las características de las fuerzas y se analizarán las reglas de adición,

sustracción y proyección de fuerzas. Las reglas para manipular fuerzas también se

aplican a otras cantidades físicas llamadas cantidades vectoriales, o vectores. Ya que

comprender las características de las fuerzas y las reglas mediante las que se combinan

es esencial para el estudio de sus efectos sobre los sistemas físicos, aquí se establece un

fundamento para las discusiones del equilibrio que se estudiarán posteriormente.

En primer lugar, se discuten las fuerzas resultantes y las componentes de las fuerzas en

términos de representaciones gráficas. Se consideran la ley del paralelogramo y la

construcción del polígono para la composición (adición) y la resolución de fuerzas.

Este procedimiento gráfico demuestra que las operaciones sobre las fuerzas son

independientes de un sistema de coordenadas. Con este enfoque, los conceptos se

visualizan con facilidad y, por consiguiente, se comprenden. Después, se examinan los

conceptos de ejes y proyecciones de las fuerzas sobre ejes de coordenadas cartesianas

rectangulares. Este segundo procedimiento es aplicable de modo más general que el

gráfico, en particular para los problemas tridimensionales. Por último, se consideran el

concepto de vectores unitarios y su uso en las operaciones con vectores. Este tercer

enfoque resulta útil para considerar el equilibrio de los cuerpos rígidos.

Una fuerza se crea por la interacción entre dos cuerpos. A menudo, utilizaremos la

nomenclatura usada en los libros para referirnos a una fuerza, es decir, F representa el

carácter vectorial de una fuerza (magnitud y dirección) y F solo la magnitud. También

se usa F con una flecha superior para la representación manual de una fuerza.

Cuando dos cuerpos interactúan, se supone que uno ejerce la fuerza y el otro la resiste

(por ejemplo, la Tierra y la manzana), siendo cualquiera de las dos fuerzas acción o

reacción, dependiendo del sistema de referencia (tercera ley de Newton).

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La fuerza de gravedad suele expresarse en términos de su magnitud (peso), porque su

dirección es conocida (centro de masa de la Tierra). En general, toda fuerza debe

expresarse en términos de su magnitud, dirección y sentido.

La magnitud y dirección de una fuerza se representan gráficamente con una flecha

dirigida en un sentido u otro, como se muestra en la figura 1.3. En general, las

características restantes de las fuerzas se muestran también en la figura.

Fig. 1.3

(a) Representación de una fuerza F por una flecha. (b) Magnitud de F (1in= 10lb). (c) Línea de acción y

punto de aplicación de F. (d) Vector negativo de fuerza, -F

El punto de aplicación es importante para determinar los efectos físicos que puede

producir esa fuerza sobre el cuerpo que actúa.

La práctica común es hablar de dirección, incluyendo el sentido de la fuerza, por lo que

una fuerza queda completamente definida al expresar su magnitud y dirección. Por lo

tanto, dos fuerzas F1 y F2 tienen direcciones diferentes si se encuentran a lo largo de

dos líneas de dirección paralelas (Figura 1.4). Sin embargo, si se requiere mayor

claridad, el sentido y la línea de dirección de una fuerza se darán por separado.

Asimismo, se especificará el punto de aplicación de la fuerza cuando sea necesario

hacerlo.

Fig. 1.4

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Por lo general, las fuerzas se aplican en puntos específicos de los cuerpos; es decir, se

considera que son fuerzas concentradas o puntuales. Sin embargo, estas situaciones

están idealizadas. En el mundo real no se tienen fuerzas concentradas. Por ejemplo, una

rueda del vagón de un ferrocarril que se apoya sobre un riel se deforma ligeramente en

la zona de contacto. Como consecuencia, la fuerza que la rueda transmite al riel se

distribuye sobre una pequeña área de contacto en la superficie del riel. Por lo que, la

fuerza debida a la rueda podría considerarse una fuerza distribuida.

Si una fuerza pudiera concentrarse en un punto de un cuerpo, perforaría ese cuerpo. Sin

embargo, en muchos casos, las áreas sobre las que se distribuyen las fuerzas son

relativamente pequeñas y, por consiguiente, pueden considerarse de forma aproximada

como puntos. Asimismo, la teoría de las fuerzas puntuales es un estudio preliminar para

el fundamento de la teoría de las fuerzas distribuidas.

Fuerzas Concurrentes

Dos o más fuerzas que actúan en un mismo punto se llaman fuerzas concurrentes. Estas

fuerzas no necesitan tener la misma dirección (simplemente actúan e el punto). Si, de

hecho, tienen la misma dirección, son fuerzas colineales. Sin embargo, dos fuerzas

colineales no necesitan ser concurrentes; pueden tener puntos diferentes de aplicación a

lo largo de la misma recta.

Fuerzas Coplanares

Dos o más fuerzas cuya recta de acción se encuentre en el mismo plano se llaman

fuerzas coplanares. Ya que dos fuerzas concurrentes siempre se encuentran en el

mismo plano, siempre son coplanares. Tres o más fuerzas concurrentes no tienen que

ser necesariamente coplanares. Por el contrario, las fuerzas coplanares no son

necesariamente concurrentes. Sin embargo, con frecuencia, las fuerzas son tanto

coplanares como concurrentes.

Ejemplo 1. Características de un sistema de fuerzas

4

Determine el tipo de sistema para cada uno de los sistemas que se muestran en las

figuras 1.5(a) hasta 1.5(b).

(a) (b) (c) (d)

Fig. 1.5 Sistemas de fuerzas

En la figura (a), el sistema de fuerzas es concurrente y coplanar. El sistema de la figura

(b) es colineal, y por consiguiente, coplanar. En la figura (c), el sistema de fuerzas es

coplanar. El sistema de fuerzas de la figura (d) es concurrente pero no coplanar (o

tridimensional).

1.7 Tercera Ley de Newton

La tercera ley de Newton (ley de acción y reacción) se puede expresar como sigue:

Para toda acción, existe una reacción igual y opuesta. O bien, las fuerzas mutuas de

dos cuerpos (partículas), de uno sobre el otro, siempre son iguales y en magnitud,

dirección y sentido opuesto.

Para explicar esta ley, Newton escribió: “Todo lo que tire del otro o lo oprima, será

igualmente tirado u oprimido por ese otro. Si oprime una piedra con su dedo, el dedo

también es oprimido por la piedra”.

Si una fuerza F actúa sobre un sistema, su reacción actúa sobre otra parte del mismo

sistema o sobre un cuerpo fuera de éste. En el primer caso, la fuerza se llama fuerza

interna (reacción de un cable que sostiene un peso); en el segundo caso se llama fuerza

externa (la rueda del vagón sobre el riel, si la rueda es el sistema).

5

El análisis de estructuras o de máquinas a menudo se interesa en la fuerza que cierta

parte del miembro ejerce sobre otra parte. Por ejemplo, considere el miembro AB de la

figura 1.6, con las fuerzas de igual magnitud FA=FB actuando sobre sus extremos. Si el

miembro se separa en dos partes, AC y DB, y entre las dos partes actúan las dos fuerzas

FC y FD en C y D, siguen siendo dos partes del mismo miembro. En este contexto, con

respecto al miembro AB, FA y FB son fuerzas externas, y FC y FD son fuerzas internas.

1.8 Resultantes de Fuerzas y Componentes de Fuerzas

Las investigaciones de Stevin, Descartes, Newton y otros científicos del siglo XVII

condujeron a la conclusión de que los efectos de varias fuerzas que actúan en un punto

común P de un cuerpo pueden ser producidas invariablemente por una sola fuerza que

actúe en el punto P. La fuerza única que es equivalente a varias fuerzas se llama fuerza

resultante o, sencillamente, resultante.

Ley del Paralelogramo y la Composición de Fuerzas

Dos fuerzas F y G que actúan en un punto P de un cuerpo se representan por dos flechas

trazadas hacia fuera del punto P (figura 1.6). Estas flechas forman dos lados de un

paralelogramo. La diagonal R del paralelogramo, trazada desde el punto P, representa la

resultante de las fuerzas F y G, y es en todos los aspectos equivalente. Este proceso se

denomina composición de fuerzas

Fig. 1.6

Ley del Paralelogramo y Resolución de Fuerzas

El proceso inverso de la composición de fuerzas se llama resolución de fuerzas. Es

decir, la fuerza R se descompone en dos fuerzas F y G, las que conocen como

componentes de R. Para llevar a cabo la operación de resolución, se traza un segmento

6

rectilíneo PA que represente la fuerza R. Sean PM y PN dos rectas que pasan por P, de

tal modo que las rectas PM, PN y PA se encuentran en un plano, y trace los segmentos

AB y AC paralelas a los segmentos PN y PM, respectivamente. Entonces, por la ley del

paralelogramo, los dos segmentos rectilíneos PB y PC representan las fuerzas F y G,

cuya resultante es R. Es decir, la fuerza dada R se ha resuelto en las componentes F y

G. En todos los aspectos, las dos fuerzas F y G juntas son equivalentes a la fuerza dada

R. Las fuerzas R, F y G son coplanares y concurrentes.

Las direcciones de las rectas PM y PN son arbitrarias, sin embargo, es más conveniente

elegir estos segmentos de modo que se encuentren a o largo de ejes de coordenadas

rectangulares que resulten apropiadas para resolver un problema en particular.

Ley del Polígono de Fuerzas

La figura 1.6 mostró la construcción del paralelogramo de la resultante R de dos fuerzas

concurrentes F y G. Esta construcción se puede simplificar trazando sólo el triángulo

PBA (figura 1.7 a). El lado BA representa la fuerza F, aún cuando no designa la línea

real de acción de F. De modo alternativo, se puede obtener la resultante por el

desplazamiento del segmento PB, que representa la fuerza G, hasta que coincida con

CA (figura 1.7 b). Este método se llama construcción del triángulo de la fuerza

resultante.

(a) (b)

Fig. 1.7

La construcción del triángulo se generaliza con facilidad al caso donde se tienen más de

dos fuerzas concurrentes. Por ejemplo, suponga tres fuerzas F, G y H actuando en un

punto P (figura 1.8 a)

7

(a) (b)

Fig. 1.8

La construcción del triángulo produce en primer lugar la resultante R’ de las dos fuerzas

F y G. La aplicación, una vez más, de la construcción del triángulo con las fuerzas R’ y

H da la resultante R de las tres fuerzas. La resultante intermedia R’ sólo se muestra con

fines ilustrativos. Este método se aplica a cualquier número de fuerzas concurrentes, y

se denomina construcción del polígono de la resultante de varias fuerzas concurrentes.

1.9 Vectores y Cantidades Vectoriales

Las fuerzas no son las únicas cantidades vectoriales que se pueden representar por

flechas y combinarse por la construcción del paralelogramo o del polígono. Otras

cantidades físicas también se pueden representar como vectores (desplazamientos,

velocidades y aceleraciones de partículas), es decir tienen magnitud, dirección y

sentido. Una cantidad física que sólo tiene magnitud se llama cantidad escalar

(temperatura).

Tipos de Vectores

Si no se puede cambiar el punto de aplicación de un vector sin cambiar el significado

físico o el efecto físico del mismo, se dice que el vector es fijo. Una fuerza que actúa

sobre un cuerpo se representa por un vector fijo cuando la deformación y los esfuerzos

producidos por esa fuerza dependen del punto en el que ésta actúa. Por ejemplo, el

peso de un clavadista se puede considerar como un vector fijo con respecto al

trampolín, ya que la deformación depende de la posición del clavadista.

8

S un vector no se puede trasladar sobre su recta de acción se dice que es un vector

libre. Por ejemplo, un vector que representa la velocidad de un cuerpo, como un

automóvil en movimiento, es un vector libre.

También hay vectores que se pueden desplazar de manera arbitraria a lo largo de la

recta sobre la cual se encuentran, pero no pueden desplazarse respecto de esas rectas

sin cambiar sus efectos físicos. Estos se conocen como vectores deslizantes.

Cantidades No Vectoriales

No todas las cantidades físicas que se pueden representar por flechas son vectores (o

cantidades vectoriales). Por ejemplo, una rotación finita de un cuerpo rígido alrededor

de un eje (una recta con una orientación y un sentido dados) se puede representar por

un segmento rectilíneo dirigido (una flecha) que se encuentre sobre el eje de rotación y

que tenga una magnitud igual al desplazamiento angular. El sentido de la rotación

puede definirse por la regla de la mano derecha. Es decir, el cuerpo se gira en el

sentido que haría que un tornillo derecho avanzara en la dirección de la flecha. Si

imaginamos que sostenemos una flecha en la mano derecha con el pulgar apuntando en

la dirección de la punta, los otros dedos se enroscarían alrededor de la flecha en el

sentido positivo de la rotación.

Podría esperarse que una rotación finita de un cuerpo rígido fuera una cantidad

vectorial. La determinación de si esto es verdadero comprende la determinación de si

las rotaciones se combinan o no por la construcción del polígono. Un experimento

sencillo muestra que los desplazamientos angulares finitos no se combinan de la misma

manera como lo hacen los vectores. En la figura 1.9a se indican dos desplazamientos

angulares de 90° de un dado mediante las flechas A y B, las cuales se extienden

paralelas a las aristas del propio dado.

Fig. 1.9

9

En la figura 1.9b se muestra la posición del dado después de haberse realizado las

rotaciones en el orden A, B. En la figura 1.9c se muestra la posición del mismo dado

después de que se han realizado esas rotaciones en el orden B, A. Es evidente que la

posición final del dado depende del orden en el cual se realicen las dos rotaciones.

Este comportamiento no es coherente con el hecho de que el vector resultante obtenido

por la construcción del triángulo es independiente del orden de los vectores en éste.

Por tanto, un desplazamiento angular finito de un cuerpo rígido no es una cantidad

vectorial, aun cuando puede representarse por una flecha. Siempre deben mirarse los

principios físicos para determinar si una cantidad que puede representarse por una

flecha es una cantidad vectorial.

Aritmética Vectorial

Igualdad de vectores La ecuación vectorial A=B significa que os vectores A y B

tienen la misma magnitud y la misma dirección, pero necesariamente el mismo punto

de aplicación o la misma línea de acción. La ecuación A=B implica que A=B.

Vector negativo El vector -F se define como el que tiene la misma magnitud que el

vector F pero el sentido opuesto. Si F denota una fuerza que actúa sobre un cuerpo, su

reacción es –F.

Suma vectorial, adición vectorial La resultante R de varios vectores F1, F2,…se

llama suma de los vectores, representada simbólicamente como R = F1 + F2 +…El

proceso de obtener la suma por la construcción del polígono u otros medios se llama

adición vectorial. Las expresiones “adición vectorial” y “composición de vectores”

tienen el mismo significado. Puede parecer extraño que se usa el símbolo + para una

operación que es diferente de la adición escalar. Sin embargo, como se verá, la adición

vectorial tiene ciertas características en común con la adición escalar y el símbolo +

sirve para destacar aspectos comunes. También existen diferencias distintivas. Por

ejemplo, la relación R = F + G no implica que R = F + G. La expresión F + G denota

la suma escalar de las magnitudes F y G, pero, en general, F + G es mayor que R, ya

que los tres vectores R, F y G forman los lados de un triángulo.

Sustracción de vectores La sustracción de un vector se define como la adición del

vector negativo: A - B = A + (-B). Es decir, para restar un vector B de un vector A,

10

súmese -B a A. Se puede restar el mismo vector de ambos miembros de una ecuación

vectorial. Por ejemplo, si A + B = F, entonces, de modo análogo a la sustracción

escalar, A + B - B = F - B, por lo que A = F – B. Estas relaciones se ilustran en la

figura 1.10

Fig.1.10 Sustracción de un vector

Producto de un escalar y un vector De modo semejante a la adición escalar, resulta

natural escribir F + F = 2F, 2F + F = 3F, y así sucesivamente. En consecuencia, si k es

un número no negativo, el producto de un escalar y un vector, se define como un vector

con la dirección F y de magnitud kF. En vista de la definición de un vector negativo, el

producto de un número negativo k y vector F se define como un vector con magnitud

|k|F y sentido opuesto al del vector F. La notación |k| designa el valor absoluto de k.

El efecto de multiplicar un vector por un escalar es cambiar la magnitud o el sentido, o

ambos, de ese vector, en tanto que su dirección se deja sin alteración. Por ejemplo, la

multiplicación de un vector por el escalar -1 invierte el sentido del vector sin alterar su

magnitud. En la figura 1.11 se ilustran estos efectos.

Fig. 1.11 Producto de un escalar y un vector

1

Curso: Estática Aplicada (3271). Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles.

Profesor: Mauricio Muñoz P. / Ayudante: Eduardo Hurtado

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Unidad II Vectores

2.1 Componentes Rectangulares de un Vector

Ejes

Un eje es una recta con una orientación en el espacio y un sentido dados (Fig. 2.1). Los ejes

se usan para establecer direcciones con respecto a cierto sistema fijo. Para la mayoría de los

fines de la ingeniería, las direcciones se establecen con respecto a cierta posición fija sobre

la Tierra. El sentido de un eje se indica por medio de una punta de flecha sobre la recta. El

sentido positivo del eje corresponde a la dirección hacia la cual se orienta la punta de

flecha; el sentido negativo es la dirección opuesta. Un eje no es un vector, ya que no tiene

magnitud, sólo dirección. Por comodidad, en los diagramas a veces se omite la punta de

flecha cuando no se corre el sentido positivo del eje.

Fig. 2.1 Fig. 2.2

Un punto dado sobre un eje, conocido como origen, separa el eje en dos partes: la parte

positiva y la parte negativa. Estas partes se extienden en el sentido positivo y en el sentido

negativo a partir del origen, respectivamente.

Para definir el ángulo entre dos ejes, se trasladan estos ejes (es decir, se desplazan sin

cambiar de dirección), si es necesario, de modo que se intercepten en el punto P. El ángulo

positivo entre los ejes es aquél que se encuentra entre sus partes positivas. En los problemas

2

tridimensionales, se entiende que el ángulo entre la pareja de ejes no debe ser mayor que

180°. Por ejemplo, el ángulo entre la pareja de ejes que se muestran en la figura 2.2 se

denota por α. Sin embargo, en los problemas bidimensionales a veces se considera que el

ángulo entre dos ejes es un ángulo reflejo (un ángulo mayor que 180°), como se indica

mediante el ángulo β en la figura 2.2. En cualquier caso, se atribuye un significado al

ángulo entre dos ejes, aun cuando éstos podrían no interceptarse. El ángulo entre dos

vectores o el ángulo entre un vector y un eje se definen de la misma manera que el ángulo

entre dos ejes.

Sistemas de Coordenadas Cartesianas Rectangulares

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio se compone de tres ejes

mutuamente perpendiculares que se intersecan en un punto común, llamado origen. Los

ejes se designan por tres símbolos diferentes, por lo común x, y y z. Existen dos tipos de

sistemas de coordenadas cartesianas rectangulares: sistemas derechos y sistemas izquierdos.

Éstos se ilustran en la figura 2.3. Estos sistemas difieren en que no pueden llevarse a que

uno y otros sean congruentes entre sí, de tal modo que los ejes con las mismas letras tengan

el mismo sentido. Con el sistema derecho, si se toma el eje z con la mano derecha, con el

pulgar apuntando en el sentido positivo del eje, los otros dedos se enroscarán alrededor del

eje z, yendo del eje x hacia el eje y (Fig. 2.3a). La mano izquierda guarda la misma relación

con el sistema coordenado izquierdo (Fig. 2.3b).

Fig. 2.3

3

En dos dimensiones, también existe la distinción entre los sistemas de coordenadas

derechos e izquierdos. Si los sistemas coordenados que se muestran en la figura 2.4

permanecen en el plano del papel, no pueden llevarse a la congruencia entre ambos de tal

modo que los ejes con el mismo símbolo tengan el mismo sentido. Si se imagina que existe

un eje z perpendicular al plano del papel, apuntando hacia afuera, el sistema que se muestra

en la figura 2.4a es derecho y el que se muestra en la 2.4b es izquierdo. Para evitar

confusión, usaremos las coordenadas derechas tanto para los sistemas bidimensionales

como para los tridimensionales.

(a) (b)

Fig. 4

Sistemas de coordenadas cartesianas en el plano: (a) sistema derecho; (b) sistema izquierdo

Proyección Ortogonal de un Vector sobre un Eje

Algunas de las propiedades más importantes de los vectores están relacionadas con las

proyecciones ortogonales de éstos sobre ejes fijos (Fig. 2.5). Se construye una proyección

ortogonal de un vector de un vector A sobre un eje L al trazar rectas de proyección

(mostradas como líneas punteadas en la figura 2.5), del eje hacia la cola y la punta del

vector; estas rectas de proyección son perpendiculares (ortogonales) al eje. La proyección

tiene una magnitud definida por la distancia entre las dos rectas de proyección. La

proyección tiene un signo determinado por la orientación del vector A con respecto al eje L.

El signo de la proyección es positivo si la componente de A paralela a L tiene el mismo

sentido que el eje; de lo contrario, el signo de la proyección es negativo (véase la figura

2.5). Si el vector es perpendicular al eje, su proyección sobre éste es cero. Si un vector de

magnitud A forma un ángulo θ con un eje, la proyección de ese vector sobre tal eje se

representa en magnitud y en signo por A cosθ . Esto es verdadero si se interpreta θ como el

ángulo menor o el ángulo reflejo que el vector forma con el eje (Fig. 2.2). Por lo tanto, la

4

proyección de un vector sobre un eje se considera como un escalar, ya que se caracteriza

como un valor numérico con signo. En consecuencia, la proyección de un vector no tiene

punto de aplicación. En este libro, cuando se hace referencia a la proyección de un vector

sobre un eje debe entenderse que implica una proyección ortogonal. Cuando se consideren

proyecciones no ortogonales, se identificarán en forma explícita como tales.

Fig. 2.5

Proyección ortogonal de un vector sobre un eje

Proyecciones Cartesianas Rectangulares de un Vector

Las proyecciones de un vector sobre los ejes xyz cartesianos rectangulares en el espacio se

denotan agregando los subíndices x, y y z al símbolo que denota la magnitud de ese vector.

Por ejemplo, las proyecciones de un vector F sobre los ejes xyz se denotan por (Fx, Fy, Fz);

véase la figura 2.6. Los términos Fx, Fy, y Fz se llaman proyecciones cartesianas

rectangulares del vector F.

Fig. 2.6

El ángulo entre un vector y un eje de coordenadas cartesianas se llama ángulo de dirección

del vector con respecto a ese eje. Los tres ángulos de dirección, θx, θy y θz, de un vector con

referencia a los tres ejes cartesianos rectangulares determinan la dirección del mismo (véase

5

la figura 2.7). Se especifica que los ángulos de dirección de un vector se encuentran en el

rango de 0 a 180°. En consecuencia, un ángulo de dirección puede determinarse por su

coseno. Si el coseno es negativo, el ángulo es mayor que 90°. Los cosenos de los ángulos

de dirección de un vector se llaman cosenos directores del mismo.

Fig. 2.7

Si θx, θy y θz son los ángulos de dirección de F y si F denota la magnitud de F, entonces

xx FF cos yy FF cos zz FF cos (2.1)

En términos de las proyecciones cartesianas rectangulares, la magnitud de cualquier vector

F se determina por la ecuación

2222

zyx FFFF (2.2)

Para obtener esta ecuación, véase la figura 2.8. El teorema de Pitágoras da OP2 = OB

2 +

BP2, ya que OBP es un triángulo rectángulo. Asimismo, como OAB es un triángulo

rectángulo, OB2 = AB

2 + OA

2. Usando esta ecuación para eliminar OB de la ecuación

anterior, se obtiene OP2 = AB

2 + OA

2 + BP

2. Ya que OP = F, AB = Fx, OA = Fy y BP = Fz,

se obtiene la ecuación (2.2).

Fig. 2.8 Vector en el espacio

6

Del mismo modo, al sustituir las ecuaciones (2.1) en la (2.2) y cancelando F2, se tiene

1coscoscos 222 zyx (2.3)

La ecuación (2.3) muestra que los tres cosenos directores de un vector en el espacio no son

independientes entre sí; cualquiera se puede determinar, excepto por el signo, por medio de

los otros dos.

En los problemas bidimensionales sólo se necesitan considerar los ejes x y y, ya que θz =

90° y, por lo tanto, Fz = 0. En el análisis de fuerzas coplanares por lo general se emplean las

coordenadas cartesianas en el plano (x, y) en un sistema derecho. Entonces se puede

especificar la dirección de una vector F por el ángulo único θ que ese vector forma con el

eje x (véase la figura 2.9). Por lo común, θ va desde 0 hasta 360° y se mide en sentido

contrario al del movimiento de las manecillas del reloj.

Fig. 2.9

(a) Dirección de un vector F en un plano. (b) Signo de la proyección de F en cada uno de los cuadrantes del

plano xy

Las proyecciones de un vector F sobre los ejes x y y son

cosFFx FsenFy (2.4)

donde, como es costumbre, F denota la magnitud del vector F. En la figura 2.9b se dan los

signos de las proyecciones (Fx, Fy) de F en cada uno de los cuadrantes del plano xy. Por la

ecuación (2.4), también se puede ver que

222

yx FFF (2.5)

7

Adición Vectorial usando Proyecciones Cartesianas Rectangulares

En la figura 2.10 se muestra la construcción del polígono de la resultante de varios

vectores. En la figura 2.10 se puede ver que la proyección AE de la resultante R sobre el eje

x es igual a la suma algebraica de las proyecciones AB, BC, CD y DE de los vectores F, G,

H y J sobre ese eje. En otras palabras, Rx = Fx + Gx + Hx + Jx, donde Fx, Gx, Hx y Jx son las

proyecciones de los vectores F, G, H y J sobre el eje x, respectivamente. En el caso de los

ejes xyz cartesianos rectangulares, la expresión para Rx puede complementarse mediante

relaciones semejantes Ry, y Rz para las proyecciones sobre los ejes y y z. El conjunto

completo de relaciones es

xxxxx JHGFR

yyyyy JHGFR (2.6)

zzzzz JHGFR

o, en una notación vectorial más concisa,

R = F + G + H + J (2.7)

Fig. 2.10

Proyección del vector resultante, representado como la suma algebraica de las proyecciones de las

componentes

Por tanto, las proyecciones de un vector resultante sobre los ejes de coordenadas xyz son

iguales a las sumas de las proyecciones de cada uno de los vectores sobre los mismos ejes

xyz. Esto conduce al teorema siguiente.

8

Teorema

La resultante de varios vectores es un vector cuya proyección sobre cualquiera de los ejes

es la suma algebraica de las proyecciones de los vectores originales sobre ese eje.

Este teorema afirma que se puede obtener la resultante de varios vectores al proyectar cada

uno de éstos sobre los ejes rectangulares xyz y, para cada eje, sumar las proyecciones

correspondientes a fin de obtener las proyecciones (x, y, z), (Rx, Ry, Rz), de la resultante R.

Por el teorema de Pitágoras con (Rx, Ry, Rz), se puede obtener la magnitud R de la resultante

R. Entonces, por la ecuación (2.1), se pueden calcular los cosenos directores (cosθx, cosθy,

cosθz) y, por consiguiente, los ángulos (θx, θy, θz) que forma R con los ejes xyz. En vista de

la ecuación (2.7), R se llama suma vectorial de F, G, H y J. Las expresiones “suma

vectorial” y “resultante” se usan de manera intercambiable. La ecuación (2.7) sugiere el uso

de la construcción del polígono para hallar el vector resultante R. Sin embargo, las

ecuaciones de las proyecciones (2.6) y la ecuación vectorial (2.7) son equivalentes. La

construcción del polígono es útil en el trabajo visual (gráfico), pero las proyecciones

cartesianas a menudo son más convenientes para el trabajo analítico (algebraico).

Ley Asociativa de la Adición Vectorial

La suma de varios vectores se puede determinar por la construcción del polígono. Si se

varía el orden en el cual se combinan los vectores, no se cambia el vector resultante. Para

demostrar que esto es cierto, se debe probar que

F + G + (H + J) = (F + G) + H + J = F + (G + H) + J (2.8)

y así sucesivamente. La demostración de la ecuación (2.8) se deduce de inmediato a partir

de las ecuaciones (2.6), ya que las proyecciones (escalares) se suman en forma algebraica.

Por tanto,

xxxxxxxxxxxx JHGFJHGFJHGF )()()(

yyyyyyyyyyyy JHGFJHGFJHGF )()()( (2.9)

9

zzzzzzzzzzzz JHGFJHGFJHGF )()()(

y así sucesivamente. La ecuación (2.8) expresa la ley asociativa de la adición vectorial. En

vista de la ley asociativa, los paréntesis no son necesarios en la adición vectorial. Como

consecuencia, la suma vectorial de F, G, H y J se representa por F + G + H + J, como en la

ecuación (2.7). Esta conclusión se expresa por el planteamiento de que la adición vectorial

es asociativa.

Ley Conmutativa de la Adición Vectorial

La ecuación (2.6) también sirve para verificar que

F + G + H + J = F + H + G + J = H + G + J + F (2.10)

y así sucesivamente. Esto se puede demostrar de inmediato a partir del hecho de que las

proyecciones cartesianas (2.6) de los vectores obedecen la ley conmutativa:

xxxxxxxxxxxx FJGHJGHFJHGF

yyyyyyyyyyyy FJGHJGHFJHGF (2.11)

zzzzzzzzzzzz FJGHJGHFJHGF

Por lo tanto, el cambio del orden de los vectores en el polígono de la figura 2.10 hacia G, J,

H, F da R = G + J + H + F, lo cual es equivalente a la ecuación (2.7). La ecuación (2.10)

expresa la ley conmutativa de la adición vectorial. Como consecuencia, el orden de los

vectores en la construcción del polígono no influye sobre la resultante que se obtiene. Esta

conclusión se expresa por el planteamiento de que la adición vectorial es conmutativa.

Vector General en el Espacio

Considérense dos vectores A y B que se extienden desde el origen hasta los puntos A: (Ax,

Ay, Az) y B: (Bx, By, Bz), respectivamente. Considérese que el vector L se extiende desde A

hasta B (ver figura 2.11). De donde, L = B - A. La magnitud (o longitud) de L se determina

por la ecuación (2.2):

10

2/1222

zyx LLLL (2.12)

donde Lx = Bx – Ax, Ly = By – Ay, y Lz = Bz – Az son las proyecciones del vector L sobre

los ejes x, y y z. Por las ecuaciones (2.1), los cosenos directores de L son

L

AB

L

L xxx

x

cos

L

AB

L

L yyy

y

cos (2.13)

L

AB

L

L zzzz

cos

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Unidad II Vectores

2.1 Vectores Unitarios

Un vector unitario n es un vector que tiene una magnitud n = 1. La magnitud n es

adimensional; no tiene unidades físicas. La finalidad principal de un vector unitario es

denotar una dirección en el espacio. Como se verá, los vectores unitarios resultan una

herramienta conveniente para expresar la composición de vectores en términos de

proyecciones.

Vectores Tridimensionales

Para los problemas tridimensionales (no coplanares) se pueden definir los vectores unitarios

i, j y k que se encuentran en las direcciones positivas de los ejes cartesianos rectangulares

(véase la figura 2.11a). Entonces, si se expresa un vector A en términos de sus proyecciones

(Ax, Ay, Az) (Fig. 2.11a) y también en términos de sus componentes cartesianos (Ax, Ay, Az)

(Fig. 2.11b), se pueden relacionar los componentes con las proyecciones como sigue:

Ax = Ax i Ay = Ay j Az = Az k (2.14)

Entonces el vector A se puede expresar en la forma

A = Ax i + Ay j + Az k (2.15)

De esta forma, se pueden concebir las proyecciones (Ax, Ay, Az) como factores de escala que

multiplican los vectores unitarios i, j y k, respectivamente. Entonces, el vector dado A se

describe como la suma (resultante) de los vectores unitarios multiplicados por el factor de

escala (ecuación 2.15)

2

Fig. 2.11

Vectores unitarios a lo largo de los ejes de coordenadas: (a) proyecciones del vector A; (b) componentes del

vector A

También se puede definir la dirección de una recta o un vector arbitrario en el espacio por

un vector unitario n (Fig. 2.12). Por ejemplo, ya que n = 1, por las ecuaciones (2.1), el

vector unitario n se puede expresar como

n = (cosθx)i + (cosθy)j + (cosθz)k (2.16)

Por tanto, las proyecciones (nx, ny, nz) del vector unitario n sobre los ejes de coordenadas

xyz son

nx = cosθx ny = cosθy nz = cosθz (2.17)

Es decir, las proyecciones (nx, ny, nz) son idénticas a los cosenos directores de n.

Ya que la magnitud de n es n = 1, se tiene, por las ecuaciones (2.16) y (2.17),

n2 = nx

2 + ny

2 + nz

2 = 1 (2.18)

Fig. 2.12

Dirección en el espacio definida por un vector unitario n

3

o sea, cos2θx + cos

2θy + cos

2θz = 1 (2.19)

La ecuación (2.19) concuerda con el resultado obtenido con anterioridad; véase la ecuación

(2.3). Si la dirección del vector unitario n coincide con la del vector F, entonces este último

se puede representar como el producto de su magnitud F y n. Es decir, F es un vector con

magnitud F y dirección correspondiente a la de n (Fig. 2.13). Por tanto, se puede escribir

F = F n (2.20)

La sustitución de la ecuación (2.16) en la (2.20) da

F = (F cosθx)i + (F cosθy)j + (F cosθz)k (2.21)

donde, por las ecuaciones (2.1),

F cosθx = Fx F cosθy = Fy F cosθz = Fz (2.22)

Las magnitudes escalares (F cosθx, F cosθy, F cosθz) son las proyecciones (Fx, Fy, Fz) de F

sobre los ejes de coordenadas xyz. En consecuencia, por las ecuaciones (2.22), los cosenos

directores de F se expresan por las relaciones

F

Fx

x cos F

Fy

y cos F

Fzz cos (2.23)

Fig. 2.13

Vector unitario n en la dirección del vector F

Por las ecuaciones (2.21) y (2.22), el vector unitario n en la dirección de F es

n = F/F = Fx/F i + Fy/F j + Fz/F k (2.24)

4

Varias operaciones aritméticas que se llevan a cabo sobre los vectores (ítem 2.4) se pueden

expresar con los vectores unitarios, usando la ecuación (2.2 1). Considérense dos vectores

Ay B con magnitudes A y B y cosenos directores (cos αx, cos αy, cos αz) y (cos βx, cos βy,

cos βz), respectivamente. Entonces, por la ecuación (2.21), A y B se pueden representar por

A = (A cos αx)i + (A cos αy)j + (A cos αz)k (2.25a)

B = (B cos βx)i + (B cos βy)j + (B cos βz)k (2.25b)

o, en términos de las proyecciones,

A = Axi + Ayj + Azk (2.26)

B = Bxi+ Byj + Bzk

donde Ax = A cos αx Ay = A cos αy Az = A cos αz

Bx = B cos βx By = B cos βy Bz = B cos βz (2.27)

De manera semejante a la discusión realizada en el ítem 2.4, la igualdad de A y B requiere

que

A cos αx = B cos βx

A cos αy = B cos βy (2.28)

A cos αz = B cos βz

o bien

Ax = Bx Ay = By Az = Bz (2.29)

Del mismo modo, a partir de la ecuación (2.25a), el negativo de un vector A es

-A = - (A cos αx)i - (A cos αy)j - (A cos αz)k (2.30)

o bien -A = -Axi - Ayj - Azk (2.31)

La resultante R de los vectores A y B es, con las ecuaciones (2.25),

R = (A cosαx + B cosβx)i + (A cosαy + B cosβy)j + (A cosαz + B cosβz)k (2.32)

o bien

5

R = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k (2.33)

Como consecuencia, las proyecciones (Rx, Ry, Rz) de R son

Rx = A cosαx + B cosβx = Ax + Bx

Ry = A cosαy + B cosβy = Ay + By (2.34)

Rz = A cosαz + B cosβz = Az + Bz

Vectores Bidimensionales

Para los vectores bidimensionales (coplanares) en el plano xy, la proyección de z de

cualquier vector A es cero; es decir, Az=0. Así pues, las componentes vectoriales (Ax, Ay)

de A son, en términos de los vectores unitarios i y j (ver ecuaciones 2.14)

Ax = Ax i Ay = Ay j (2.35)

Donde (Ax, Ay) son las proyecciones (x, y) de A.

De manera semejante al caso de los vectores no coplanares, un vector unitario n, con

ángulo de dirección θ con relación al eje x positivo, es (ver figura 2.14)

n = (cosθ)i + (senθ)j (2.36)

Fig. 2.14

Dirección en un plano definido por un vector unitario n

Por lo tanto, las proyecciones (x, y) de n son

nx = cosθ ny = senθ (2.37)

En consecuencia, la magnitud de n es n=1, por las ecuaciones (2.37),

n2 = nx

2 + ny

2 = cos

2θ + sen

2θ = 1 (2.38)

6

Si la dirección y el sentido del vector unitario n coinciden con los del vector A, entonces

(ver ecuación 2.20)

A = An (2.39)

Las ecuaciones (2.36) y (2.39) dan

A = (A cosθ)i + (A senθ)j (2.40)

o bien A = Axi + Ayj (2.41)

donde los factores de escala de los vectores unitarios i y j, a saber,

Ax = A cosθ Ay = A senθ (2.42)

son las proyecciones (x, y) de A. Como consecuencia, por las ecuaciones (2.42), los

cosenos directores de A son

cosθx = cosθ = Ax/A (2.43)

cosθy = senθ = Ay/A

Por las ecuaciones (2.39) y (2.41), el vector unitario n en la dirección de A es

n = A/A = Ax/A i + Ay/A j (2.44)

De manera semejante al caso de los vectores no coplanares (ecuación 2.33), la resultante R

de dos vectores A y B es

R = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j (2.45)

y las proyecciones (Rx, Ry) de R son

Rx = Ax + Bx Ry = Ay + By (2.46)

En las tablas 2.1 y 2.2 se resumen las propiedades generales de las fuerzas (y de otras

cantidades vectoriales) discutidas en esta unidad.

7

Tabla 2.1 Resumen de las propiedades de las fuerzas (vectores)

8

Tabla 2.2 Resumen de los vectores unitarios y los cosenos directores

1

Curso: Estática Aplicada (3271). Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles.

Profesor: Mauricio Muñoz P. / Ayudante: Eduardo Hurtado

Clase: 5 (03/04/07)

Unidad III Estática o Equilibro de la Partícula

3.1 Generalidades

En esta unidad se desarrollan las condiciones bajo las cuales una partícula está en

equilibrio. El concepto de equilibrio se interpreta a partir de la primera ley de Newton del

movimiento y se emplea para determinar las fuerzas que actúan sobre cuerpos que están en

reposo. Se discute la necesidad crítica de diagramas apropiados de cuerpo libre y se

muestran algunos ejemplos de aplicación. Se utiliza el equilibrio de la partícula para

resolver muchos problemas prácticos en la mecánica, incluyendo aquellos que comprenden

brazos de grúas, sistemas de cables y cuerpos rígidos sujetos a fuerzas concurrentes. Con

cierta amplitud, incluso se puede usar para formar la base analítica para el análisis de

reticulados.

Luego del estudio de esta unidad, el alumno debe haber comprendido el concepto de

equilibrio de una partícula y cómo interpretar el equilibrio en diferentes situaciones. Debe

saber cuándo y cómo aplicar los conceptos de equilibrio de partículas a una situación en

particular y debe ser capaz de despejar las fuerzas en sistemas estáticamente determinados a

los cuales pueda aplicarse ese tipo de equilibrio. También debe ser capaz de aplicar el

concepto de equilibrio de partículas a un cuerpo rígido sujeto a fuerzas concurrentes.

3.2 Concepto de equilibrio de una partícula

El concepto de equilibrio de una partícula se deduce de la primera ley de Newton

(estudiada en las unidades anteriores):

2

En ausencia de fuerzas aplicadas, una partícula originalmente en reposo o

moviéndose con velocidad constante en línea recta, permanecerá en reposo, o

seguirá moviéndose con velocidad constante en línea recta.

Por tanto, la primera ley de Newton no establece distinción entre una partícula que está en

reposo y una que se mueve con velocidad constante. Se dice que una partícula que se

encuentra en reposo o que se mueve con velocidad constante está en equilibrio. La primera

ley de Newton implica que no existe fuerza que esté actuando sobre la partícula o que las

fuerzas que están actuando sobre ella tienen una resultante cero.

En un sentido limitado, se puede considerar una partícula como un punto de masa

concentrada; es decir, como un cuerpo de tamaño infinitesimal. Sin embargo, en muchas

situaciones, un cuerpo de tamaño finito puede tratarse como una partícula. Por lo tanto, las

fuerzas que actúan sobre una partícula son concurrentes; actúan en el punto de masa

concentrada. El concepto de equilibrio de una partícula se puede interpretar de dos

maneras, pero es importante recordar que estas interpretaciones son tan sólo

representaciones diferentes de la primera ley de Newton.

Interpretación 1: Las fuerzas que actúan sobre una partícula tienen resultante cero. Si la

resultante de varias fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, el polígono de fuerzas se

cierra. En consecuencia, las fuerzas no producen cambio en el movimiento de la partícula y

se dice que ésta se encuentra en equilibrio bajo la acción de estas fuerzas.

Interpretación 2: Las fuerzas que actúan sobre una partícula no producen cambio en su

movimiento. Por el contrario, si varias fuerzas, incluyendo el peso de la partícula, actúan

sobre ésta pero no producen cambio en el movimiento de ella, su resultante es cero. De

nuevo, se dice que la partícula se encuentra en equilibrio bajo la acción de estas fuerzas.

El tema de si un cuerpo está en reposo o moviéndose con velocidad constante depende del

marco de referencia en el cual se observa el movimiento de ese cuerpo. En otras palabras, la

3

primera ley Newton sólo es válida con relación a cierto marco de referencia. Por lo general,

los ingenieros se refieren al marco de referencia en el cual las leyes de Newton son válidas

como marco newtoniano; los físicos suelen referirse a un marco de este tipo como marco

inercial. La definición de marcos de referencia se examina cuando se estudia la cinemática

de una partícula. En el presente análisis se supone que el marco de referencia es aquel en el

cual se cumple la primera ley de Newton.

El estudio de la estática trata de los cuerpos que están inmóviles. Por lo tanto, para los

problemas de la estática, las interpretaciones antes dadas se resumen por el teorema

siguiente.

Teorema 3.1

Una partícula que inicialmente está inmóvil se encuentra en equilibrio si, y sólo si, la suma

vectorial de las fuerzas que actúan sobre ella es cero.

En el estudio de la Dinámica se puede ver, que una partícula que se mueve con una

velocidad constante sigue moviéndose con esa velocidad constante si, y sólo si, la suma

vectorial de las fuerzas que actúan sobre ella es cero. Éste es un enunciado más general del

equilibrio de partículas; una partícula inmóvil es sencillamente un caso especial para el cual

la velocidad es cero.

En general, con la palabra “partícula” reemplazada por “cuerpo”, las afirmaciones

anteriores siguen siendo verdaderas para un cuerpo sujeto a fuerzas concurrentes, sin

considerar su tamaño, forma y propiedades físicas. En particular, estas proposiciones siguen

siendo verdaderas para un cuerpo rígido sujeto a fuerzas concurrentes, incluyendo el peso

del cuerpo; es decir, un cuerpo rígido sujeto a fuerzas concurrentes puede tratarse como una

partícula en relación con su equilibrio.

Por lo general, el objetivo en el estudio de la estática es determinar ciertas fuerzas

desconocidas que actúan sobre un sistema que está en equilibrio, o dentro de éste. En el

presente capítulo se estudian sistemas compuestos de una o más partículas a los cuales es

posible aplicar cualquiera de las dos interpretaciones del equilibrio de partículas. Se supone

4

que el sistema está en equilibrio y, a continuación, se emplean las ecuaciones de equilibrio

para determinar las cantidades desconocidas (fuerzas o cantidades geométricas) que

garantizan el equilibrio.

Como un ejemplo, considere una partícula P que está en equilibrio bajo la acción de dos

fuerzas A y B. Suponga que las fuerzas tienen la misma magnitud (A = B) y la misma línea

de acción L, pero sentidos opuestos (Fig. 3.1). El polígono de fuerzas degenera en dos

fuerzas iguales y con direcciones opuestas (Fig. 3.2). Por lo tanto, su resultante es cero.

Fig. 3.1 Fig. 3.2

Partícula sujeta a fuerzas colineales Paralelogramo de fuerzas para fuerzas colineales

Si una partícula está en equilibrio bajo la acción de más de dos fuerzas, el polígono de

fuerzas debe cerrarse de nuevo; es decir, la resultante de las fuerzas es cero. Esto es

verdadero para los sistemas de fuerzas no coplanares así como para las coplanares. Ya que

la fuerza resultante es cero, la suma de las proyecciones de las fuerzas sobre cualquier recta

es cero. Por tanto, las sumas de las proyecciones sobre los ejes cartesianos rectangulares

xyz son cero. Por ejemplo, para fuerzas coplanares que se mencionan como ejes de

coordenadas rectangulares xy (Fig. 3.3), las condiciones necesarias y suficientes para el

equilibrio de una partícula que recibe la acción de esas fuerzas se expresan por las

ecuaciones

0xF 0yF (3.1)

donde Fx y Fy son las proyecciones x y y, respectivamente, de las fuerzas que actúan sobre

la partícula. La letra griega (sigma mayúscula) denota la sumatoria, o suma, de las

proyecciones.

5

Fig. 3.3

Partícula sujeta a fuerzas coplanares

Para fuerzas no coplanares, las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de la

partícula son

0xF 0yF 0zF (3.2)

donde Fx, Fy, y Fz son las proyecciones x, y y z, respectivamente, de las fuerzas que actúan

sobre la partícula. Las ecuaciones (3.1) y (3.2) pueden expresarse en forma vectorial como

F=0. Para las fuerzas coplanares, se puede escribir

F = (Fx)i + (Fy)j = 0 (3.3)

ya que Fx = 0 y Fy = 0. De modo semejante, para las fuerzas no coplanares,

F = (Fx)i + (Fy)j + (Fz)k (3.4)

donde i, j y k denotan vectores unitarios en las direcciones x, y y z positivas.

Si varias fuerzas no equilibradas actúan sobre una partícula, la fuerza que se requiere para

establecer el equilibrio de esa partícula se llama la equilibrante de las fuerzas no

equilibradas. Por tanto, la equilibrante es una fuerza que tiene igual magnitud que la

resultante de las otras fuerzas pero cuyo sentido es opuesto. En otras palabras, la

equilibrante es la fuerza -R que se requiere para cerrar el polígono de fuerzas de las fuerzas

no equilibradas.

6

Fig. 3.4

La equilibrante –R de las fuerzas no equilibradas A, B, y C es colineal con su resultante R, con igual

magnitud pero con sentido opuesto a ésta.

3.3 Diagramas de cuerpo libre

En la unidad 2 se analizó cómo obtener la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes

que actúan en un punto (o sobre una partícula). En algunos casos, una parte de un sistema

físico se puede modelar como una partícula que tiene masa o como una que no la tiene.

Entonces, pueden aplicarse las leyes de Newton. La primera ley de Newton puede aplicarse

al equilibrio de una partícula. Por lo tanto, puede aplicarse a cada partícula por separado de

un sistema que esté en equilibrio. En un problema en particular, debe decidirse qué parte (o

partícula) de un sistema se desea examinar. En algunos casos, la solución completa para el

problema requerirá el examen de dos o más partículas. La elección de una partícula es el

primer paso esencial en el proceso de resolución para las condiciones de equilibrio del

sistema. Una vez que se ha elegido una partícula en el sistema, deben identificarse todas las

fuerzas que actúan sobre ella. Esta identificación no es asunto trivial, ya que es fácil

confundirse entre las fuerzas que actúan sobre una partícula y aquéllas que la partícula

ejerce sobre alguna otra parte del sistema; es decir, entre las acciones y las reacciones.

A menos que se siga un procedimiento sistemático, podrían pasarse por alto con facilidad

algunas fuerzas que actúan sobre una partícula. Para ayudarse a identificar las fuerzas que

actúan sobre una partícula, debe construirse el diagrama de cuerpo libre. Un diagrama de

cuerpo libre es un esquema de la partícula en el que se muestran ésta (por sí misma, libre de

las demás partes del sistema) y todas las fuerzas que se aplican a ella; es decir, todas las

fuerzas ejercidas sobre ella por las demás partes del sistema. Debe tenerse cuidado en

7

mostrar todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. También debe tenerse cuidado en no

mostrar alguna de las fuerzas que la partícula ejerce sobre las demás partes del sistema.

Para ser específico, nunca deben mostrarse, en el mismo diagrama de cuerpo libre, dos

fuerzas que pertenezcan a una relación de acción-reacción, ya que actúan sobre cuerpos

diferentes.

Muchos ingenieros consideran que la construcción del diagrama de cuerpo libre es uno de

los pasos más importantes, si no el de mayor importancia, en el proceso de resolución de

problemas en la mecánica.

Un diagrama de cuerpo libre es esencial al resolver problemas de equilibrio. El diagrama

incluye todas las fuerzas que actúan sobre la partícula en cuestión. Aquí, la trepadora se

modela como una partícula con masa concentrada en su centro de gravedad. El ancla A de

protección contra la caída es una partícula separada, con su propio diagrama de cuerpo

libre.

Existen razones importantes para usar diagramas de cuerpo libre que sean claros y

adecuados en el proceso de resolución de problemas:

• Ayudan a reducir los sistemas reales a modelos exactos e idealizados que pueden

analizarse de manera matemática.

• Ayudan a ver y comprender las partes separadas de un problema.

• Ayudan a hacer aproximaciones exactas y simplificadoras.

8

• Ayudan a avanzar paso a paso hasta llegar a una solución.

• Hacen más fácil presentar y explicar la solución a otros, en particular al profesor o al

empleador.

Como se vio en el ítem 3.2, para tener el equilibrio de una partícula, la suma vectorial de

todas las fuerzas que actúan sobre ella debe ser cero; es decir, F=0. Por lo tanto, es

esencial la identificación de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula (no se olvide su

peso). Esta identificación se facilita mucho mediante el uso de un diagrama de cuerpo libre

de la partícula. Por ejemplo, considere una partícula P, sin peso, en equilibrio, sujeta a las

tres fuerzas concurrentes A, B y C de magnitud F igual (Fig. 3.5). La partícula se

representa por un punto grande y las fuerzas concurrentes se muestran con sus magnitudes

y direcciones apropiadas. La condición de equilibrio de la partícula se determina en forma

gráfica por el hecho de que el polígono de fuerzas cierra (Fig. 3.6).

Fig. 3.5 Fig. 3.6 Fig. 3.7

Tres fuerzas concurrentes Polígono de las tres fuerzas Proyecciones de las tres fuerzas

de magnitudes iguales en equilibrio de la figura 3.5 de la figura 3.5 sobre los ejes xy

De modo alternativo, se puede mostrar el equilibrio de la partícula al sumar las

proyecciones de las fuerzas sobre los ejes x y y, como se muestra en la figura 3.7. Por tanto,

para el equilibrio de la partícula P, donde F denota la magnitud de cada una de las fuerzas

A, B y C, se tiene

xxxx CBAF

9

= Fcos30° - Fcos30° + Fcos90°

= 0.866F - 0.866F + 0 = 0

yyyy CBAF

= Fsen30° - Fsen30° + Fsen90°

= -0.5F - 0.5F + F = 0

La construcción apropiada del diagrama de cuerpo libre de una partícula depende de la

tercera ley de Newton, ya que las fuerzas (acciones) que actúan sobre la partícula son

producidas por los demás cuerpos en el sistema. Las reacciones son las fuerzas que la

partícula ejerce sobre estos otros cuerpos.

Es esencial que se decida de manera correcta cuál partícula, o cuáles partículas, de un

sistema deben considerarse al resolver un problema en particular. Para algunos problemas,

la selección de una partícula puede ser obvia; para otros, puede no serlo tanto. En cualquier

caso, una vez que se ha seleccionado un cuerpo, deben identificarse todas las fuerzas que

actúan sobre él. Para que exista equilibrio, la suma vectorial de estas fuerzas debe ser cero.

En algunos casos, no se conocen las magnitudes y las direcciones de todas las fuerzas que

actúan sobre una partícula. En esos casos, se puede emplear la ecuación de equilibrio F=0

para ayudarse a determinar las incógnitas. Dependiendo de cuántas incógnitas existen en un

problema, pueden requerirse diagramas de cuerpo libre de más de una partícula del sistema

a fin de obtener un número suficiente de ecuaciones para despejar las incógnitas. Cuando el

número de ecuaciones independientes (cada una de las cuales contiene una o más de las

incógnitas y que, en conjunto, incluyen todas éstas) obtenidas a partir de las condiciones de

equilibrio es igual al número de incógnitas, se dice que el sistema es estáticamente

determinado. Se pueden despejar las incógnitas de esas ecuaciones; es decir, las ecuaciones

de equilibrio son suficientes para analizar un sistema estáticamente determinado. Un

sistema que es estáticamente indeterminado tiene más incógnitas que ecuaciones

independientes de equilibrio. No es posible despejar todas las incógnitas de las ecuaciones.

El análisis de esos sistemas requiere la aplicación de principios adicionales de la mecánica.

10

Técnica de Resolución de Problemas

Equilibrio de una partícula; problemas estáticamente determinados

Para resolver un problema relacionado con el equilibrio de la partícula:

1. Dibuje un esquema adecuado del sistema o estructura mecánico descrito en el problema,

en el que se muestren todas las dimensiones importantes, incluyendo los ángulos.

2. Seleccione la partícula de interés. Si deben considerarse varias partículas, las condiciones

de equilibrio se aplican a cada partícula por separado. Recuerde que, para cada partícula,

las ecuaciones de equilibrio dan lugar a la determinación de sólo dos incógnitas en los

problemas bidimensionales coplanares (ecuaciones 3.1) y sólo de tres en los problemas

tridimensionales (ecuaciones 3.2). Si se tienen varias partículas, puede resultar conveniente

escribir las ecuaciones para las partículas en una secuencia que permita evaluar de

inmediato una o más de las incógnitas, en lugar de reunir todas las ecuaciones de todas las

partículas y despejarlas de manera simultánea. Para problemas más o menos sencillos, este

método a menudo resulta conveniente. Para problemas más complejos, puede ser que las

ecuaciones tengan que resolverse de manera simultánea.

3. Seleccione ejes apropiados de referencia y dibuje un diagrama de cuerpo libre para la

partícula; es decir, haga un esquema de la partícula e identifique las fuerzas conocidas y las

desconocidas. Señale las fuerzas conocidas con sus magnitudes y sentidos. Marque las

fuerzas desconocidas con un símbolo vectorial como F, o F. Si se desconoce la magnitud

de una fuerza pero se conoce su dirección, utilice una letra como F para denotar su

magnitud. Si se desconocen tanto la magnitud como la dirección de una fuerza, muestre

esta última como una flecha de magnitud F con una línea de acción y un sentido supuestos

con relación a los ejes de referencia. Recuerde que se supone que la magnitud F de una

fuerza es un número positivo. Entonces, si en la solución F es negativa, la fuerza en

realidad actúa en el sentido opuesto al que se supuso

4. Utilice la ecuación F=0 con el método de la construcción del polígono para definir las

condiciones de equilibrio de la partícula. De modo alternativo, con los ejes apropiados, use

Fx=0 y Fy=0 con el método de proyección de las fuerzas para definir el equilibrio de las

fuerzas coplanares. Para las fuerzas no coplanares, utilice las ecuaciones Fx=0, Fy=0 y

11

Fz=0. Para cada partícula, se pueden usar estas ecuaciones para despejar dos incógnitas

en un problema coplanar, y tres incógnitas en uno no coplanar.

5. Con el método de proyección de las fuerzas, la selección apropiada de un sistema de

coordenadas, en el que se muestren el origen y las direcciones positivas de los ejes, con

frecuencia simplifica la solución. Por ejemplo, si un problema se relaciona con un cuerpo

que se apoya sobre un plano inclinado, puede resultar más sencillo hacer que dos de los ejes

de coordenadas sean uno paralelo y el otro perpendicular al plano. Debe existir coherencia

en los signos de las proyecciones. Una vez que se hayan definido las direcciones positivas

de los ejes, la proyección de una fuerza sobre un eje es positiva si esa fuerza tiene un

componente que apunta en el sentido positivo del eje; de lo contrario, la proyección es

negativa. Si una fuerza es perpendicular a un eje, su proyección sobre ese eje es cero.

6. Si existen más incógnitas que ecuaciones (desde el paso 4), se necesitará considerar otros

cuerpos en el sistema y repetir los pasos del 2 al 5. Si 1os cuerpos interactúan entre sí,

utilice la tercera ley de Newton a fin de relacionar las fuerzas que ejercen uno sobre el otro.

Para despejar las incógnitas en un problema estáticamente determinado, se necesitan

escribir tantas ecuaciones independientes (cada una de las cuales contiene una o más de las

incógnitas y que, en conjunto, incluyen todas éstas) como incógnitas se tengan. En seguida,

despeje las incógnitas de estas ecuaciones.

7. Una vez que se hayan evaluado las incógnitas, examine los resultadas para ver si tienen

lógica. Por ejemplo, ¿los resultados satisfacen las condiciones de equilibrio? ¿Las unidades

son coherentes ¿Son razonables los órdenes de magnitud, es decir, se ha evitado colocar

mal el punto decimal?

3.4 Tipos de fuerzas

Las fuerzas se pueden clasificar como internas o externas. Pero también pueden clasificarse

de otras maneras. Por ejemplo, en el ejemplo 3.1, la fuerza T es resultado del contacto entre

el armazón suspendido y el cable. En consecuencia, se llama fuerza de contacto. Por otra

parte, la fuerza gravitacional W se transmite a través del espacio. No se requiere el contacto

físico entre los cuerpos para que esta fuerza exista. Otras clases de fuerzas se ejercen sin

12

contacto físico; son notables las fuerzas producidas por efectos electromagnéticos. Las

fuerzas que se ejercen sin contacto físico se llaman fuerzas sobre la totalidad del cuerpo, ya

que se distribuyen en todo el cuerpo sobre el cual actúan.

En general, si un cuerpo se oprime contra otro, las fuerzas de contacto que existen entre

esos cuerpos no son únicamente fuerzas normales (fuerzas dirigidas de modo perpendicular

a la superficie de contacto). En general, tienen componentes que son tanto normales a la

superficie como tangenciales a ésta. La componente tangencial de la fuerza de contacto se

llama fuerza de fricción. Sin embargo, en un punto de contacto entre dos cuerpos sin

fricción, la fuerza que uno de los cuerpos ejerce sobre el otro es normal a la superficie de

contacto.

La fuerza de gravedad que actúa sobre un sistema es la resultante de los pesos de todas las

partículas de ese sistema. Esta resultante se representa por un vector que pasa por un punto

del sistema llamado centro de gravedad.

El centro de gravedad de un cuerpo homogéneo con tres planos de simetría mutuamente

perpendiculares coincide con el punto de intersección de estos planos. Por tanto, el centro

de gravedad de una esfera homogénea se localiza en su centro. De modo semejante, el

centro de gravedad de un disco circular homogéneo se localiza en su centro. En la figura

3.8 se muestran los centros de gravedad de varias formas geométricas simples. Consulte

esta figura cuando se resuelvan problemas en los que intervengan los pesos de objetos con

estas configuraciones.

Fig. 3.8 Centro de gravedad para algunas formas geométricas simples

13

Con frecuencia, un cuerpo está sujeto a apoyos que restringen su movimiento. En este curso

se usan símbolos especiales para representar el método por el cual un cuerpo se sujeta a sus

apoyos:

En estos símbolos, la base sombreada representa una superficie rígida de apoyo. Los dos

primeros símbolos son representaciones diferentes de un apoyo de rodillos; el tercer

símbolo representa un pasador o articulación sin fricción.

En la figura 3.9 se ilustran estos símbolos y las correspondientes reacciones en los apoyos.

En este curso se sigue la convención (común en el análisis estructural) de que un apoyo de

rodillo no puede oponerse a una fuerza que esté dirigida paralela a la superficie rígida de

apoyo (Figs. 3.9a y 3.9b). Esta fuerza perpendicular puede tener un sentido hacia la

superficie o hacia afuera de ésta. Por lo tanto, un símbolo de rodillo representa un apoyo

que puede oponerse a un empuje contra la superficie rígida de apoyo o a una tensión hacia

afuera de ésta. Un símbolo de pasador o articulación representa un apoyo que puede

oponerse a una fuerza en cualquier dirección (Fig. 3.9c).

Fig. 3.9 Símbolos de apoyos: a) y b) rodillo; c) pasador (articulado); d) apoyo inclinado de rodillo

14

La superficie rígida de apoyo, representada por la base sombreada, no es necesario que sea

horizontal. En ocasiones está inclinada, formando algún ángulo con relación a la horizontal.

En ese caso, el símbolo para el apoyo se inclina formando el mismo ángulo, como se

muestra en la fig. 3.9d.

Para un apoyo de rodillo, la reacción en el apoyo (la fuerza que el apoyo ejerce sobre el

cuerpo) tiene dirección conocida, pero magnitud desconocida. De modo que la reacción en

un apoyo de rodillo se puede expresar como una sola cantidad desconocida, como R. Para

un apoyo de pasador o articulado, se desconocen tanto la magnitud R como la dirección θ

de la reacción del apoyo. De modo alternativo, estas dos cantidades desconocidas se

pueden expresar como dos componentes rectangulares de la fuerza, Rx y Ry. A menudo se

dice que un apoyo de rodillo ejerce una sola reacción sobre la estructura y que uno de

pasador o articulado puede ejercer dos reacciones.

3.5 Concepto de cuerpo rígido

Se dice que un cuerpo es un cuerpo rígido si no se deforma bajo la acción de fuerzas. En

otras palabras, las distancias entre las partículas de un cuerpo rígido permanecen

constantes, sin importar las fuerzas que actúan sobre él. En realidad, un cuerpo rígido,

como una partícula, es una idealización. Todos los cuerpos se deforman bajo la acción de

las cargas. Sin embargo, la deformación de un cuerpo a menudo es tan pequeña que no

influye de manera significativa sobre el equilibrio del mismo. En esos casos, el cuerpo se

puede tratar como si fuera rígido. Por ejemplo, a veces, una flecha de acero, una viga de

madera, un cable o una hoja de vidrio se pueden considerar como rígidos dependiendo de la

aplicación. Sin embargo, se debe tener cuidado de no aplicar la idea de rígido de manera

negligente. Algunos de los primeros estudios de las fuerzas internas en las vigas fueron

erróneos porque los científicos pasaron por alto los efectos de las deformaciones elásticas.

Lo apropiado de la aproximación del cuerpo rígido depende de la situación.

3.6 Equilibrio de un miembro de dos fuerzas

15

Si varias fuerzas actúan sobre un cuerpo rígido y no cambian el movimiento o el equilibrio

de ese cuerpo, las fuerzas son autoequilibrantes. Por ejemplo, varias fuerzas concurrentes

cuya suma vectorial es cero son autoequilibrantes (figura 3.10). Si un cuerpo rígido inmóvil

se sujeta sólo a dos fuerzas colineales que tienen magnitudes y direcciones iguales pero

sentido opuesto, entonces el cuerpo está en equilibrio (figura 3.11). Este principio se puede

comprobar usando las leyes de Newton del movimiento; aquí, no obstante, se adopta

sencillamente como una hipótesis. Queda confirmado por la experiencia cotidiana.

Fig. 3.10 Ejemplos de fuerzas autoequilibrantes Fig. 3.11 Parejas autoequilibrantes de fuerzas

Por el contrario, si un cuerpo está en equilibrio bajo la acción de sólo dos fuerzas externas,

las magnitudes de esas fuerzas son iguales y están actuando a lo largo de la misma línea de

acción, pero con sentidos opuestos. Este hecho se cumple para barras rectas (Figs. 3.11a y

3.11b) y para barras curvas (Fig. 3.11c). Este principio también se toma como hipótesis. En

resumen, se tiene el principio siguiente del equilibrio.

Teorema 3.2

Equilibrio bajo fuerzas colineales

Un cuerpo sujeto a dos fuerzas colineales está en equilibrio si, y sólo si, las fuerzas tienen

magnitudes iguales y sentidos opuestos.

Los casos ilustrados por las figuras 3.11a y 3.11b difieren con respecto a los efectos

internos producidos en la barra. En el primer caso, la barra está sujeta a una tracción; en el

16

segundo caso, a una compresión. El primer tipo de carga se llama tensión, o fuerza de

tensión; el segundo tipo, compresión, o fuerza de compresión. Por ejemplo, un tirón que se

transmite a lo largo de un cable o alambre tensos es una tensión. Un alambre o un cable no

pueden transmitir una fuerza apreciable de compresión, ya que su flexibilidad los hace

inestables (se pandean) bajo cargas pequeñas de compresión. Sin embargo, una fuerza de

compresión puede ser transmitida por un miembro rígido, como una barra de acero. Un

miembro que soporta principalmente cargas de compresión se llama montante o columna

(Fig. 3.11b). La carga sobre el gancho que se muestra en la figura 3.11c no es un caso de

tensión o compresión simples, ya que las fuerzas causan flexión en la parte curva del

gancho.

Considere una barra recta AB que está cargada en sus extremos por fuerzas de tensión que

tienen magnitudes iguales y sentido opuesto (Fig. 3.12a). La barra está en equilibrio bajo la

acción estas fuerzas. Si se pasa un plano imaginario a-a a través de la sección transversal de

la barra en C, las partes de la barra hacia arriba y hacia abajo del plano a-a están en

equilibrio. Se puede imaginar que la barra se separa en dos barras, AC y BC, las cuales

están en equilibrio (Fig. 3.12b). Por lo tanto, la fuerza de tensión en C tiene magnitud F. Si

pudiéramos pasar el plano imaginario a-a en forma transversal a través de cualquier punto

de la barra AB, quedaría claro que la fuerza de tensión interna tiene magnitud F en

cualquier corte transversal de la barra. Esta fuerza interna se llama tensión en el miembro.

Si el sentido de las fuerzas en los extremos de la barra se invierten (Fig. 3.12c), ésta se

sujeta a compresión. Una fuerza de compresión de este tipo también se menciona como

empuje en el miembro. De modo alternativo, se puede decir que una tensión o un empuje en

la barra son una fuerza interna o acción interna.

(a) (b) (c)

Fig. 3.12 Barra con una pareja de fuerzas colineales: a) tensión; b) barra en dos partes; c) compresión

17

La fuerza interna en la barra en realidad se distribuye sobre su área de sección transversal.

La razón de la magnitud F de la fuerza al área A de la sección transversal de la barra se

llama esfuerzo sobre la barra:

A

F (3.5)

Como la fuerza interna en la barra, el esfuerzo puede ser de tensión o de compresión.

Un miembro estructural que se sujeta a las acciones de sólo dos fuerzas, las cuales actúan

en puntos separados, se llama miembro de dos fuerzas. Si un miembro de dos fuerzas está

en equilibrio, la resultante de las dos fuerzas debe ser cero, Por lo tanto, las fuerzas tienen

magnitudes iguales, la misma línea de acción y sentidos opuestos. Muchos sistemas

estructurales, en particular las armaduras, contienen miembros de dos fuerzas. Observe que

la definición de miembro de dos fuerzas es un recurso conveniente que permite que los

principios del equilibrio de una partícula se apliquen a los miembros estructurales. Si se

pasa por alto un miembro de dos fuerzas y se le trata como un cuerpo rígido en general, se

pueden aplicar los principios del equilibrio de los cuerpos rígidos (unidad 4) para resolver

el problema. Observe también que un miembro de dos fuerzas no necesita ser recto. Por

ejemplo, el gancho de la figura 3.11c es un miembro de dos fuerzas en equilibrio cuando se

carga como se muestra.

Técnica de Resolución de Problemas

Miembros de dos fuerzas

Para resolver un problema que comprenda miembros de dos fuerzas en equilibrio:

1. Identifique todos los miembros de dos fuerzas. Es decir, identifique cada miembro que

sólo tenga dos fuerzas actuando sobre él en puntos separados. A menudo, un miembro de

dos fuerzas es una varilla recta, un montante o un cable, aunque no es necesario que lo sea

(figura 3.11c).

2. Recuerde que la línea de acción de las dos fuerzas que actúan sobre un miembro de dos

fuerzas en equilibrio son colineales y pasan por los dos puntos en los cuales actúan las

18

fuerzas. Para un miembro recto, la línea de acción de las fuerzas se encuentra a lo largo del

miembro.

3. Represente la fuerza de contacto que existe entre el miembro y otra parte del sistema

(como un apoyo u otro miembro) como una sola fuerza, en lugar de hacerlo como dos o tres

componentes rectangulares. De lo contrario, podría no identificarse el miembro como un

miembro de dos fuerzas.

4. Reconozca que se puede tratar el miembro de dos fuerzas usando los principios del

equilibrio de una partícula sujeta a fuerzas colineales. Asimismo, los puntos de aplicación

de las cargas sobre un miembro de dos fuerzas se pueden considerar como partículas. Por

tanto se puede seguir la técnica de resolución de problemas para el equilibrio de una

partícula.

3.7 Transmisibilidad de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido

Dos conjuntos diferentes de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido son dinámicamente

equivalentes si producen efectos idénticos sobre el movimiento o el equilibrio del cuerpo.

Por ejemplo, varias fuerzas concurrentes son dinámicamente equivalentes a su resultante.

La frase “dinámicamente equivalentes” es preferible a la expresión más convencional de

estáticamente equivalentes, ya que el reemplazo de un conjunto de fuerzas por su resultante

es válido tanto para la estática como para la dinámica de los cuerpos rígidos.

En la figura 3.13a se representa un cuerpo rígido cargado por varias fuerzas externas.

Considere la fuerza F que actúa en el punto P. Nada se altera si se introducen dos fuerzas

autoequilibrantes en otro punto Q que se encuentre sobre la línea de acción de F. Suponga

que las fuerzas en el punto Q también tienen la magnitud F y considere que son colineales

con la fuerza en el punto P (figura 3.13b). Entonces la fuerza en el punto P y la fuerza de la

derecha en Q son autoequilibrantes. Como estas fuerzas se cancelan entre sí, se les descarta.

Entonces, se queda con la carga que se muestra en la figura 3.13c. En consecuencia, los

sistemas de fuerzas que se muestran en las figuras 3.13a y 3.13c son dinámicamente

equivalentes. Por lo tanto, se obtiene el resultado siguiente:

19

Teorema 3.3

Principio de Transmisibilidad

El equilibro (o el movimiento) de un cuerpo rígido no se altera si el punto de aplicación de

cualquiera de las fuerzas que actúan sobre él se desplaza a lo largo de la línea de acción

de la propia fuerza.

Fig. 3.13 Demostración de la transmisibilidad

Este resultado se conoce como el principio de transmisibilidad de las fuerzas. Significa que

una fuerza que actúa sobre un cuerpo rígido se puede representar por un vector deslizante.

El principio de transmisibilidad permite transferir el punto de aplicación de una fuerza a un

lugar fuera del cuerpo sobre el cual ésta actúa. Es deseable hacer esto, por ejemplo, cuando

varias fuerzas actúan sobre un cuerpo y se quiere mostrar que son concurrentes. Por

ejemplo, en la figura 3.14a se ilustran dos fuerzas autoequilibrantes, F y -F, actuando sobre

un bloque rígido. Si se quiere transferir la fuerza de la izquierda más alejada hacia la

izquierda, podría proporcionarse una varilla para transmitir la fuerza, como se muestra en la

figura 3.14b. Sin embargo, se puede transmitir la fuerza sin proporcionar la varilla o

cualquier otra estructura equivalente. Las estructuras suplementarias de este tipo son

innecesarias, ya que en realidad no se están transfiriendo las fuerzas. Sencillamente, se está

imaginando su transferencia para simplificar el análisis de sus efectos.

Fig. 3.14 Transmisión de una fuerza hacia un punto fuera de un cuerpo

20

El principio de transmisibilidad no se puede aplicar a un cuerpo para el cual se van a

determinar las fuerzas o deformaciones internas.

Siempre se debe recordar que el principio de transmisibilidad sólo afirma que al mover el

punto de aplicación de una fuerza a lo largo de su línea de acción no se altera el

movimiento o el equilibrio de un cuerpo rígido. En general, el movimiento del punto de

aplicación de una fuerza altera la distribución de las fuerzas y los esfuerzos internos en un

cuerpo. Por ejemplo, una armadura de puente se puede considerar a veces como un cuerpo

rígido. Si una fuerza externa que actúa sobre la armadura se desplaza a lo largo de su línea

de acción, desde un nodo hasta otro, no se afecta el equilibrio global de la armadura. Sin

embargo, las fuerzas internas en los miembros de la armadura sí cambian.

Para los efectos internos, se pueden considerar las barras rígidas que se muestran en las

figuras 3.11a y 3.11b. La figura 3.11b se puede obtener a partir de la 3.11a, al deslizar las

fuerzas en los extremos a lo largo de la barra hasta los extremos opuestos. En ambas

figuras, las barras están en equilibrio, y se cumple todavía el teorema 3.3. Sin embargo, la

fuerza interna es una tensión en la figura 3.11a, en tanto que en la figura 3.11b es una

compresión. Para las deformaciones, considere un globo de juguete que se encuentra en

equilibrio bajo la acción de dos fuerzas diametralmente opuestas (Fig. 3.l5a). Estas fuerzas

producen cúspides pronunciadas de las deformaciones en sus puntos de aplicación. Si la

fuerza que actúa sobre el lado izquierdo del globo se transfiere hasta el punto de aplicación

de la fuerza de la derecha, se elimina la deformación (Fig. 3.15b). Por consiguiente, la

deformación del globo causada por el sistema verdadero de fuerzas no está relacionada con

la deformación causada por el sistema transferido de fuerzas. En otras palabras, los efectos

y las deformaciones internas deben evaluarse usando el sistema verdadero de fuerzas.

Fig. 3.15 Transmisibilidad de fuerzas que altera las deformaciones de un cuerpo

21

3.8 Equilibrio de un Cuerpo Rígido Sujeto a Fuerzas Concurrentes

Considere un cuerpo rígido que está sujeto a varias fuerzas cuyas líneas de acción se

interceptan en el punto P (figura 3.16a). Por el principio de transmisibilidad, los puntos de

aplicación de estas fuerzas se pueden transferir hasta el punto P sin alterar el equilibrio o el

movimiento del cuerpo (figura 3.16b). Ya que las fuerzas son concurrentes después de que

se transfieren hasta el punto P se pueden combinar en una sola fuerza resultante R, por

adición vectorial. La línea de acción de la fuerza resultante R que pasa por el punto P se

llama eje resultante (figura 3.16c). Por tanto, el principio de transmisibilidad, junto con

geometría plana sencilla, conduce a la siguiente observación:

Fig. 3.16 Fuerzas con líneas concurrentes de acción

Teorema 3.4

Dos fuerzas coplanares no paralelas cualesquiera que actúen sobre un cuerpo rígido se

pueden combinar en una sola fuerza resultante, ya que las líneas de acción de esas dos

fuerzas debe interceptarse.

En el caso más general (para más de dos fuerzas), el principio de transmisibilidad puede

combinarse con el concepto de equilibrio.

Teorema 3.5

Si las líneas de acción de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido inmóvil se

interceptan en el mismo punto, existe el equilibrio si, y sólo si, la suma vectorial de las

fuerzas es cero.

22

Por tanto, los requisitos para que exista el equilibrio de un cuerpo rígido sujeto a fuerzas

con líneas concurrentes de acción son los mismos que aquellos para que exista el equilibrio

de una partícula. Este resultado es un caso especial de la teoría general tridimensional del

equilibrio (se verá en las unidades posteriores).

Equilibrio de un miembro de tres fuerzas

Con base en la discusión anterior, se puede plantear el teorema siguiente:

Teorema 3.6

Si un cuerpo rígido está en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas no paralelas, las

fuerzas son coplanares y sus líneas de acción son concurrentes; es decir, sus líneas de

acción se interceptan en un punto común.

Para probar este teorema, considere las tres fuerzas F, G y H. La condición de equilibrio F

+ G + H = 0 permite ver que las fuerzas son coplanares, ya que esta ecuación vectorial

significa que los tres vectores de fuerza forman un triángulo. Si dos de las fuerzas

cualesquiera (digamos, F y G) no son paralelas, pueden desplazarse hasta el punto de

intersección de sus líneas de acción y, allí, se pueden combinar por la construcción del

paralelogramo en una sola resultante R (Fig. 3.17). Puesto que la fuerza R es equilibrada

sólo por la fuerza H, es equivalente a -H. En consecuencia, las líneas de acción de las

fuerzas F, G y H son concurrentes.

Fig. 3.17 Tres fuerzas concurrentes: F, G y H

23

Un cuerpo rígido bajo la acción de tres fuerzas no paralelas suele conocerse como un

miembro de tres fuerzas. La palabra “miembro” podría no ser por completo exacta para

describir un cuerpo rígido de este tipo, ya que tiende a sugerir una parte de una estructura,

como una armadura o un armazón. En ciertos casos, un componente mecánico de un

sistema (como una rueda) se puede tratar como un miembro de tres fuerzas. Sin embargo,

en la resolución de problemas de equilibrio puede resultar útil la identificación de

miembros de tres fuerzas, ya que los principios del equilibrio de partículas se pueden

aplicar a ellos.

Como la de miembro de dos fuerzas, la definición de miembro de tres fuerzas se establece

manera conveniente en la aplicación de los principios del equilibrio de partículas a un

cuerpo rígido. Si se prefiere tratar un miembro de tres fuerzas como un cuerpo rígido

general, se pueden aplicar las condiciones de equilibrio de los cuerpos rígidos para resolver

el problema.

Técnica de Resolución de Problemas

Miembros de tres fuerzas

Para resolver un problema en el que intervienen miembros de tres fuerzas en equilibrio:

1. Identifique todos los miembros de tres fuerzas. No se debe olvidar la inclusión del peso

de un miembro, si éste es significativo. Asimismo, recuerde que cualquier fuerza de

contacto debe representarse como una sola fuerza (véase la Técnica de Resolución de

Problemas de la sección 3.6)

2. Para cada miembro de tres fuerzas, aplique el principio de transmisibilidad para localizar

el punto de intersección de las tres líneas de acción de las fuerzas.

3. Ubique una partícula en la intersección de las líneas de acción de las tres fuerzas que

actúan sobre el miembro. A continuación, aplique los principios del equilibrio a la partícula

(véase la Técnica de Resolución de Problemas de la sección 3.3).

1

Curso: Estática Aplicada (3271). Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles.

Profesor: Mauricio Muñoz P. / Ayudante: Eduardo Hurtado

Clase: 6 y 7 (13/04/07 y 17/04/07)

Unidad IV Fuerzas Bidimensionales, Pares y Equilibrio del Cuerpo Rígido

En la unidad 3 se consideraron los principios del equilibrio de una partícula. Ese análisis

incluyó un estudio del equilibrio de cuerpos rígidos sujetos a fuerzas concurrentes. En este

capítulo se ampliará el concepto de equilibrio de cuerpos rígidos bajo la acción de fuerzas

coplanares que no son concurrentes.

De forma intuitiva se sabe que una fuerza puede hacer que un cuerpo se traslade (se mueva

en la dirección de la fuerza). Sin embargo, dependiendo de cómo se aplique una fuerza a un

cuerpo, también puede hacer que el cuerpo gire. La acción que causa la rotación se llama

momento. En la primera parte de esta unidad se define el concepto de momento de una

fuerza. El alumno aprenderá cómo calcular el momento de una fuerza alrededor de un eje y

cómo determinar el momento resultante de varias fuerzas coplanares. Dos fuerzas paralelas

no colineales con magnitudes iguales pero sentidos opuestos forman un par. Para un par, la

fuerza resultante es cero, pero el momento es diferente de cero.

Después de analizar los efectos de las fuerzas coplanares sobre los cuerpos rígidos se

establecerán las condiciones en las cuales un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio bajo

la acción de fuerzas coplanares. En seguida, se considerará el caso especial de equilibrio

tridimensional de un cuerpo rígido sujeto a fuerzas paralelas no coplanares.

Cuando se lleve a cabo el análisis de equilibrio para cuerpos rígidos sujetos a fuerzas

coplanares no paralelas, podrá obtener un conjunto de ecuaciones, cuya solución determina

las cantidades desconocidas en el problema.

4.1 Momento de Fuerzas Coplanares con Respecto a un Eje

Concepto Clave

2

Una fuerza F que se encuentra en un plano Q produce un momento M con respecto a un eje

que es perpendicular a ese plano Q. La magnitud M del momento M es Fr, en donde F es

la magnitud de F y r es la distancia perpendicular del eje a la línea de acción de F.

Considere una fuerza F que se encuentra en un plano dado Q (digamos, el plano xy del

cuerpo de figura 4.1a). La fuerza F actúa en el punto P. Suponga que el eje z es

perpendicular al plano Q y se intercepta con éste en el punto O. Entonces, los ejes x, y y z

forman un sistema de coordenadas rectangulares, con origen O. Los vectores i, j y k son

vectores unitarios a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente.

De modo intuitivo, se puede ver que la fuerza F tendería a hacer que el cuerpo de la figura

4.1a girara alrededor del eje z (ver figura 4.1b). La acción de una fuerza que tiende a hacer

girar un cuerpo alrededor de un eje se llama momento. La fuerza F causa un momento M

con respecto al eje z, definido por la ecuación

M = Mk = Frk (4.1)

donde M = Fr es la magnitud del momento M, F es la magnitud de la fuerza F y r es la

distancia perpendicular de la línea de acción de F al eje z (punto O). La distancia r se llama

brazo del momento de la fuerza F con respecto al eje z.

Fig. 4.1 a) Brazo del momento de una fuerza. b) Momento positivo alrededor del eje z. c) Momento

negativo alrededor del eje z. d) Representación del momento con una flecha curva

3

Pasa establecer el signo en la ecuación (4.1), se especifica de modo arbitrario que el

momento es positivo si tiene un sentido de rotación contrario al del movimiento de las

agujas del reloj, alrededor del punto O (Fig. 4.1b). Entonces, M = +Frk, y el vector de

momento M está dirigido en la dirección z positiva; tiene el mismo sentido que el vector

unitario k. El momento M se representa por una flecha con punta doble, para distinguirlo

de un vector de fuerza (ver figura 4.1b). Por tanto, para un momento positivo, la flecha con

punta doble tiene el mismo sentido que k (la dirección positiva del eje z). Si el momento M

es negativo, tiene un sentido de rotación igual al del movimiento de las agujas del reloj,

alrededor del punto O (Fig. 4.1c). Entonces, por la ecuación (4.1), M = -Frk, y la flecha de

punta doble tiene la dirección -k.

Hablando en términos generales, si un cuerpo rígido se sujeta a una fuerza F que se

encuentra en el plano xy y produce un momento positivo alrededor del punto O (o sea, el

eje z), la fuerza F tiende a causar una rotación del cuerpo en sentido contrario al

movimiento de las agujas del reloj, alrededor del eje z, cuando el cuerpo se ve desde arriba;

es decir, desde la parte positiva del eje z (Fig. 4.1b). Si F produce un momento negativo

alrededor del punto O, tiende a producir una rotación del cuerpo en el sentido del

movimiento de las agujas del reloj, cuando se ve desde la parte positiva del eje z (Fig. 4.lc).

Para problemas coplanares, el eje z se representa de manera adecuada por el punto P,

considerado como una vista desde el extremo del eje z positivo (Fig. 4.1d). En

consecuencia, en lugar de referirse al eje z y al vector unitario k, sencillamente se dice que

la ecuación (4.1) representa el momento de la fuerza F alrededor del punto O. Asimismo,

para simplificar, en el caso coplanar, la ecuación (4.1) se puede escribir como

M = ±Fr (4.2)

en el entendido de que M representa un momento, con magnitud Fr y con el sentido

positivo (signo más) o el sentido negativo (signo menos). Asimismo, el vector M se puede

representar por una flecha curva Mo, en el plano Q (Fig. 4.1 d). El subíndice O significa que

el momento es con respecto al punto O.

Concepto Clave

4

Cuando actúan varias fuerzas coplanares concurrentes, la suma de los momentos de las

fuerzas, alrededor del punto O, es igual al momento de la fuerza resultante, alrededor de O.

Cuando actúan varias fuerzas coplanares, cada una puede producir un momento alrededor

de un punto O. En un caso de ese tipo, se aplica la definición siguiente:

Definición El momento de varias fuerzas coplanares alrededor de un punto O que se

encuentra en su plano se define como la suma algebraica de los momentos de cada una de

las fuerzas, alrededor de O.

Observe que no se cambia el momento de cualquiera de las fuerzas coplanares alrededor de

un eje dado (punto O) si la fuerza se desplaza a lo largo de su línea de acción. En otras

palabras, no se afectan los momentos de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido

cuando se aplica el principio de transmisibilidad.

El concepto de momento de una fuerza adquiere su utilidad con base en el teorema

siguiente conocido como teorema de Varignon.

Teorema .4.1

Teorema de Varignon: el momento de varias fuerzas coplanares concurrentes alrededor de

cualquier punto O en su plano es igual al momento de su resultante alrededor del punto O.

Para probar este teorema, suponga que el punto O es el origen de un sistema de

coordenadas rectangulares xy que se encuentran en el plano Q (ver figura 4.2). La fuerza F

actúa en el punto P: (x, y) y se encuentra en el plano Q. Suponga que el segmento rectilíneo

ON es perpendicular a la línea de acción de F. La recta PS es perpendicular al eje x, la RS

es perpendicular a la prolongación de la ON y la PT es perpendicular a la prolongación de

la RS. Por tanto, el brazo del momento r de la línea de acción de F al punto O es

PTORONr

en donde, de la figura 4.2

5

cosxOR

ysenPT

Fig. 4.2 Demostración del teorema de Varignon

y θ es el ángulo que ON (la cual es normal a F) forma con el eje x. Ya que se considera que

r es un número positivo, se tiene, para todos los valores x, y y θ,

ysenxr cos (a)

Si se multiplica la ecuación (a) por la magnitud F de la fuerza F y se observa la ecuación

(4.2), se obtiene

ysenxFFrM cos (b)

El signo del momento M de la ecuación (b) es positivo para la fuerza F ilustrada en la

figura 4.2. De modo más general, para todos los valores de x, y y θ,

ysenxFM cos (c)

Entonces, el signo de M, correspondiente al signo del término (xcosθ - ysenθ), es correcto

para todos los valores de x, y y θ.

Las proyecciones de la fuerza F sobre los ejes x y y (Fig. 4.2) son

FsenFx cosFFy (d)

En consecuencia, por las ecuaciones (c) y (d),

6

xy yFxFM (4.3)

La ecuación (4.3) es válida independientemente del sentido de la fuerza F y del cuadrante

del sistema de coordenadas xy en el cual se encuentre el punto P; es decir, el signo del

momento M se determina de manera automática por los signos de x, y, Fx y Fy. La

magnitud del momento es |M| = |xFy – yFx|.

Para interpretar la ecuación (4.3), se resuelve la fuerza F en las componentes Fxi y Fyj,

donde i y j son vectores unitarios a lo largo de los ejes de coordenadas (ver figura 4.3). El

brazo del momento de la fuerza Fxi con respecto al origen es y, si el punto P se encuentra

en el primer cuadrante. Entonces, el momento de la fuerza Fxi alrededor del origen es

negativo. Por tanto, por la ecuación (4.2), el momento de la fuerza Fxi alrededor del origen

es –yFx. De modo semejante, el momento de la fuerza Fyj alrededor del origen es +xFy.

Por lo tanto, la ecuación (4.3) significa que el momento de la fuerza F alrededor del origen

es igual al momento de sus componentes Fxi y Fyj, alrededor del origen. Esta conclusión es

un caso especial importante del teorema de Varignon.

Fig. 4.3 Componentes de una fuerza F

Para generalizar el resultado, suponga que varias fuerzas coplanares, F1, F2,…, actúan en el

punto P (Fig. 4.4). La resultante de estas fuerzas es F. Las proyecciones x y y de estas

fuerzas se denotan por (F1x, F1y), (F2x, F2y),….. Entonces, por la ecuación (4.3), se obtiene

la fórmula siguiente para el momento de todas las fuerzas, alrededor del origen:

....2211 xyxy yFxFyFxFM

7

Fig. 4.4 Resultante de fuerzas coplanares concurrentes

Esta ecuación se puede escribir como

........ 2121 xxyy FFyFFxM (e)

Dado que las proyecciones (Fx, Fy) de la fuerza resultante se determinan por las ecuaciones

.....21 xxx FFF

.....21 yyy FFF

la ecuación (e) da

xy yFxFM (f)

Esta conclusión verifica el teorema de Varignon ya que, por la ecuación (4.3), el segundo

miembro de la ecuación (f) representa el momento de la fuerza resultante F, alrededor del

origen (Fig. 4.4). Este momento es igual a M, el momento de las componentes de la fuerza

F, según la ecuación (e).

Ejemplo 1 Momento ejercido sobre una tuerca

Planteamiento del problema Se usa una llave para apretar una tuerca sobre una parte de

una máquina (ver figura a). Determine el momento ejercido alrededor del centro O de la

tuerca por la fuerza F.

8

(a)

Solución Empleando la definición de momento dada en la ecuación (4.1), se necesita

determinar el brazo del momento, r, de la fuerza F, con relación al punto O. Con base en la

figura (b), el brazo del momento es

r = a senθ

Puesto que el sentido del momento de F es el del movimiento de las agujas del reloj, por las

ecuaciones (4.1) y (a), el momento alrededor del punto O es

Mo = -Frk

= -(Fa senθ)k

donde F es la magnitud de F, Mo = Fa |senθ| es la magnitud de Mo y k es un vector unitario

dirigido perpendicular al plano de la llave en O.

(b)

De modo alternativo, se puede calcular el momento al considerar las proyecciones (Fx, Fy)

de la fuerza F (figura c). Entonces, como el problema es coplanar, por la ecuación (4.3) y

la figura (c), se obtiene el momento Mo como

9

xyo yFxFM

cos)0()( FFsena

Fasen

La magnitud del momento es Mo = Fa |senθ|, como antes.

(c)

4.2 Resultante de Fuerzas Coplanares que actúan sobre un Cuerpo Rígido

A veces, varias fuerzas distintas actúan sobre un cuerpo rígido. Para determinar la respuesta

del cuerpo a las fuerzas, puede resultar conveniente determinar en primer lugar la resultante

del sistema de fuerzas. En particular, en algunas condiciones, cualquier número de fuerzas

coplanares que actúen sobre un cuerpo rígido pueden combinarse por la ley del

paralelogramo en una sola fuerza resultante con una línea específica de acción. Considérese

un caso con cinco fuerzas coplanares. El procedimiento más obvio es deslizar en primer

lugar cualesquiera dos vectores de fuerza no paralelos a lo largo de sus líneas de acción

hasta el punto de intersección de estas líneas, por el principio de transmisibilidad y, en

seguida, combinar las dos fuerzas por la construcción del paralelogramo. Este proceso se

puede repetir con cualesquiera dos de las fuerzas restantes, para llegar a un sistema de tres

fuerzas, y así sucesivamente. Si el sistema no se reduce a un conjunto de fuerzas paralelas,

llegará el momento en que se obtendrá una sola fuerza resultante. (Dado que las líneas de

acción de fuerzas paralelas no se intersecan, estas fuerzas requieren una considera especial.)

Un método alternativo para hallar el vector de fuerza resultante es sumar las proyecciones

de los vectores de fuerza sobre ejes de coordenadas rectangulares xy, puesto que éste

10

método proporciona las mismas proyecciones x y y que la construcción del paralelogramo.

De modo semejante, se puede usar la construcción del polígono para determinar la

magnitud, dirección y sentido de la fuerza resultante. Sin embargo, los dos últimos métodos

dejan indeterminada la línea de acción de la fuerza resultante.

En lugar de determinar la línea de acción de la fuerza resultante por un método engorroso

como la construcción del paralelogramo, se puede utilizar la teoría de los momentos que se

desarrolló en el ítem 4.1. Como se hizo notar allí, el momento de una fuerza alrededor de

un punto O no se altera por un desplazamiento de esa fuerza a lo largo de su línea de

acción. Asimismo, el teorema de Varignon afirma que la resultante de dos o más fuerzas

coplanares concurrentes ejerce el mismo momento alrededor del punto O, como lo hacen

las fuerzas por separado. Por lo tanto, las construcciones del paralelogramo antes descritas

proporcionan una fuerza resultante que ejerce el mismo momento alrededor de cualquier

punto O que las fuerzas originales. El teorema de Varignon sirve para localizar la línea de

acción de la fuerza resultante; es decir, el eje resultante. En consecuencia, se tiene el

teorema siguiente:

Teorema 4.2

Teorema del eje resultante Si cualquier número de fuerzas coplanares, F1, F2,….., actúan

sobre un cuerpo rígido, su resultante F es la suma vectorial de todas esas fuerzas. Si la

fuerza F no es cero, su línea de acción se elige de modo que F produzca el mismo momento

alrededor de cualquier punto en el plano de las fuerzas que las fuerzas originales F1, F2,…

11

Entonces la fuerza resultante F es dinámicamente equivalente a sus componentes F1, F2,….

Si la fuerza resultante es cero, no existe un eje resultante.

En el ítem 4.3 se verá que si las construcciones del paralelogramo reducen varias fuerzas a

dos fuerzas paralelas que son no colineales, tienen igual magnitud y sentido opuesto, la

fuerza resultante F es cero, pero el momento de las fuerzas es diferente de cero. En ese

caso, la construcción del paralelogramo no proporciona un eje resultante. Por lo tanto, este

caso requiere un tratamiento especial.

4.3 Fuerzas Coplanares Paralelas y Pares

Fuerzas coplanares paralelas

Las construcciones del paralelogramo discutidas en el ítem 4.2 no se pueden llevar a cabo

en forma directa si el sistema de fuerzas se reduce a dos fuerzas paralelas. Por tanto, no se

puede obtener una resultante de fuerzas paralelas a través de la construcción del

paralelogramo. Sin embargo, excepto para un caso, las fuerzas paralelas pueden convertirse

en fuerzas no paralelas, para la cual se puede determinar una resultante. La siguiente

técnica gráfica ilustra cómo se realiza esto.

Suponga que las fuerzas paralelas F1 y F2 actúan en los puntos P1 y P2 de un cuerpo rígido,

donde el segmento rectilíneo P1P2 es perpendicular a los vectores de fuerza (figura 4.5)

Para combinar F1 y F2 en una sola fuerza resultante, imagine que las fuerzas

autoequilibrantes f y -f actúan en los puntos P1 y P2 y son tales que la línea de acción de

estas fuerzas es la recta P1P2. La magnitud f de las fuerzas imaginarias f y -f es arbitraria.

La adición de estas fuerzas es admisible, ya que las fuerzas autoequilibrantes no producen

efectos dinámicos sobre un cuerpo rígido. La resultante R1 y R2 de las parejas concurrentes

se forman por la construcción del paralelogramo (Fig. 4.5). Dado que las fuerzas f y -f se

cancelan entre sí, las fuerzas R1 y R2 son dinámicamente equivalentes a las fuerzas F1 y F2

Por tanto, las fuerzas paralelas F1 y F2 se reemplazan por las fuerzas no paralelas

equivalentes R1 y R2.

12

La fuerza resultante es R = R1 + R2. Pero R1 = F1 + f y R2 = F2 - f. Por consiguiente, R =

(F1 + f) + (F2 - f), o sea R = F1 + F2. La línea de acción de la resultante R es paralela a la

de los vectores de fuerza originales F1 y F2, y pasa por el punto P3, la intersección de las

líneas de acción de R1 y R2. En el ejemplo 4.5 se demuestra este procedimiento y también

se muestra que el momento alrededor de un punto fijo de la resultante de dos fuerzas

paralelas es el mismo que el de la suma de los momentos alrededor de ese punto de cada

una de las fuerzas.

Fig. 4.5 Construcción gráfica de fuerzas no paralelas que Fig.4.6 Resultante de fuerzas paralelas

son dinámicamente equivalentes a fuerzas paralelas dadas iguales.

Si las fuerzas F1 y F2 son iguales (digamos, F1 = F y F2 = F), la resultante es R = F + F =

2F. El eje resultante pasa a la mitad entre las fuerzas F1 y F2, ya que esta condición

garantiza que el momento de la resultante R alrededor de cualquier punto en el plano de las

fuerzas (digamos, el punto O de la figura 4.6) es el mismo que la suma de los momentos de

las dos fuerzas F1 y F2 alrededor de ese punto.

La técnica que acaba de describirse es gráfica. De modo alternativo, se puede determinar R

analíticamente de la manera siguiente. En primer lugar, se suman las fuerzas paralelas

dadas, F1 y F2. Después, se requiere que el momento de la resultante alrededor de

cualquier punto en el plano (a menudo es conveniente un punto sobre la línea de acción de

una de las fuerzas paralelas) sea dinámicamente equivalente a la suma de los momentos de

13

F1 y F2 alrededor de ese punto. Por tanto, a partir de la figura 4.5, al sumar las fuerzas

paralelas F1 y F2 y tomar los momentos alrededor punto P1 se tiene

F = F1 + F2 = R (a)

MP1 = aF2 = bR (b)

donde b es la distancia perpendicular del punto P1 a la línea de acción de R. Por la ecuación

(b), se obtiene R

aFb 2

Como consecuencia, la fuerza resultante R es paralela a F1 y F2 y su línea de acción pasa

por los puntos P3 y P4.

Ejemplo 2 Fuerzas paralelas sobre una viga

Planteamiento del problema Una viga horizontal está apoyada por una articulación en su

extremo izquierdo A y por un cable inclinado en su extremo derecho D. Dos embalajes

descansan sobre la viga, como se muestra en la figura (a). El peso del embalaje B es de 0.5

kN y el de C es de 2.0 kN.

a) Determine la fuerza resultante sobre la viga debida a los pesos de los embalajes.

b) Demuestre que la fuerza resultante produce el mismo momento alrededor del punto A

que las fuerzas debidas a los pesos de los embalajes.

(a)

14

Solución a). En la figura (b) se muestran las fuerzas verticales, debidas a los pesos de los

embalajes, sobre la viga aislada; no se muestran los efectos del apoyo de articulación y del

cable. En los puntos B y C se aplican cargas imaginarias de 0.5 kN dirigidas hacia la

izquierda y hacia la derecha, respectivamente. Se usa la construcción del paralelogramo

para hallar las líneas de acción de las fuerzas resultantes en B y C. Las líneas de acción de

estas resultantes se interceptan en el punto E (Fig. b). Dado que las componentes

horizontales se cancelan, la fuerza resultante R está dirigida verticalmente pasando por el

punto E. Su magnitud es R = 2.0 + 0.5 = 2.5 kN. Por construcción gráfica, se encuentra que

la línea de acción de R está 0.5 m hacia la izquierda del punto C.

(b)

b. El momento en el sentido del movimiento de las agujas del reloj de las dos fuerzas de

peso, alrededor del punto A, es

MA = (2.0)(0.5) + (4.5)(2.0) = 10.0 kNm

De modo semejante, el momento en el sentido del movimiento de las agujas del reloj de la

resultante R, alrededor de A, está dado por

MA = (4.0)(2.5) = 10.0 kNm

Por tanto, queda demostrada la equivalencia del momento de la pareja de fuerzas al de su

resultante.

De modo alternativo, se puede determinar R en forma analítica, sumando las fuerzas y los

momentos. Por tanto, de la figura (b), se tiene

R = 0.5 + 2.0 = 2.5 kN

15

rR = MC = (0.5)(2.5) = 1.25 kNm (a)

donde r es la distancia perpendicular del punto C a la línea de acción de R. Entonces, por

las ecuaciones (a), se obtiene

R = 2.5 kN

r = 0.5 m

Por consiguiente, una vez más, la línea de acción pasa por el punto E.

Pares

Concepto clave

Un par consta de dos fuerzas paralelas no colineales de magnitudes iguales y sentidos

opuestos.

Existe un caso en el cual el uso de las fuerzas imaginarias f y -f (Fig. 4.5) no es eficaz para

hallar la resultante de dos fuerzas paralelas. Esto ocurre cuando las fuerzas no colineales F1

y F2 tienen magnitudes iguales y sentidos opuestos (es decir, cuando F1 = F y F2 = -F).

Entonces, las fuerzas R1 y R2 también son paralelas (figura 4.7). En este caso, se dice que

las fuerzas F1 y F2 constituyen un par de fuerzas o, sencillamente, un par. Para un par, la

fuerza resultante tiene magnitud cero. Puesto que R = F1 + F2 = F - F = 0. Sin embargo, un

par produce un momento constante diferente de cero alrededor de cualquier punto fijo en el

plano.

Fig. 4.7 Demostración de la imposibilidad de reemplazar un par por fuerzas no paralelas

dinámicamente equivalentes

16

Si las fuerzas que forman un par no actúan en los puntos P y Q de la figura 4.7, por el

teorema de transmisibilidad de la fuerza, se pueden desplazar las fuerzas a lo largo de sus

líneas de acción de modo que actúen en esos puntos y que el segmento rectilíneo PQ sea

perpendicular a los vectores de fuerza. Entonces, el segmento rectilíneo PQ se llama brazo

del par.

Debe verse que un par tiende a hacer girar un cuerpo rígido sobre el cual actúa. Pero,

contrario a lo que podría esperarse, por lo común el centro de rotación no es el punto medio

del brazo del par. En lugar de ello, el centro de rotación es un punto especial en el cuerpo

llamado centro de masa. La ubicación de este punto sólo depende de la distribución de la

materia en el cuerpo; es independiente del propio par.

Las alas de una viga de acero están soldadas a las alas de una columna. Las fuerzas iguales y puestas T y C en

las alas de la viga forman un par con momento M que se transfiere a la columna

Louis Poinsot (1777-1859) fue quien originó la teoría de los pares. El tratamiento siguiente

de los pares se acerca a lo presentado en su libro Elements de Statique, publicado en 1803.

Desplazamiento de un par en la dirección de una de sus fuerzas El teorema de

transmisibilidad de la fuerza permite que un par se desplace en cualquiera de las dos

direcciones de sus fuerzas. Por ejemplo, en la figura 4.8, las fuerzas F y -F de los puntos P

y Q están desplazadas hasta los puntos R y S, respectivamente. El par con brazo RS es

dinámicamente equivalente al par con brazo PQ.

17

Fig. 4.8 Desplazamiento de un par en la dirección de una de sus fuerzas.

Desplazamiento de un par en la dirección de su brazo No se cambia el efecto dinámico

de un par en un cuerpo rígido si el brazo del par se desplaza a lo largo de la recta sobre la

cual se encuentra. Para ver esto, considere un par que consta de las fuerzas F y -F y que

tiene un brazo PQ. Sea RS un segmento rectilíneo que es colineal con PQ y que tiene la

misma longitud que PQ (figura 4.9). Introduzca las parejas autoequilibrantes de fuerzas F y

-F en los puntos R y S. Las fuerzas F en los puntos P y S pueden reemplazarse por sus

resultantes 2F en el punto O, a la mitad entre los puntos P y S (figura 4.6). De modo

semejante, las fuerzas -F en los puntos Q y R pueden reemplazarse por su resultante -2F en

el punto O. Las fuerzas 2F y -2F en el punto O se cancelan entre sí. Por tanto, todas las

fuerzas se eliminan, excepto la fuerza F, en el punto R, y la fuerza -F, en el punto S. Estas

fuerzas constituyen un par que tiene un efecto idéntico al del par original. Entonces, en

efecto, el brazo del par original está desplazado desde PQ hasta RS.

Fig. 4.9 Desplazamiento de un par en la dirección de su brazo.

18

Rotación del brazo de un par No se cambia el efecto dinámico de un par sobre un cuerpo

rígido si se hace girar el brazo de ese par alrededor de su punto medio O en el plano del

mismo. En la figura 4.10, las fuerzas F y -F de magnitud F que actúan en los puntos P y Q

constituyen un par. El segmento rectilíneo RS se encuentra en el plano del par y tiene la

misma longitud que el segmento rectilíneo PQ. Los segmentos rectilíneos PQ y RS se

interceptan en sus puntos medios O. Se introducen las parejas autoequilibrantes de fuerzas

F1 y –F1 de magnitud F, en los puntos R y S. Estas fuerzas son perpendiculares al segmento

rectilíneo RS y se encuentran en el plano del par original. Por el teorema de

transmisibilidad, las fuerzas F, en P, y –F1, en R, pueden desplazarse hasta el punto M

sobre la bisectriz del ángulo θ. Allí, pueden combinarse por la construcción del

paralelogramo para formar su resultante F2. De modo semejante, las fuerzas -F, en Q, y F1

en S, tienen la resultante –F2 que actúa en el punto N. Las fuerzas F2 en M, y –F2 en N, son

autoequilibrantes. Por lo tanto, pueden descartarse, dejando sólo las fuerzas F1 en R, y –F1

en S. Estas fuerzas constituyen un par que tiene efecto idéntico al par original y que se ha

obtenido por la rotación del brazo de este último en el ángulo θ (Fig. 4.10).

Fig. 4.10 Rotación del brazo de un par en su plano

Desplazamiento de un par hasta un plano paralelo No se cambia el efecto dinámico de

un par sobre un cuerpo rígido si ese par se desplaza hasta otro plano que sea paralelo a su

19

plano original. Supóngase que las fuerzas F y -F, en los puntos P y Q, constituyen un par

en el plano T (figura 4.11). Las rectas PR y QS son perpendiculares al plano T y al U, y PR

= QS. Entonces, la recta RS se encuentra en el plano U, el cual es paralelo al plano T, y la

recta RS es paralela a la PQ. Se introducen las parejas autoequilibrantes de fuerzas F y -F

en el plano U, en los puntos R y S. Las fuerzas paralelas F, en los puntos P y S, pueden

reemplazarse por su resultante 2F, en el punto medio O de la recta diagonal PS. Las fuerzas

paralelas -F, en los puntos R y Q, se pueden reemplazar por su resultante -2F, en el punto

O. Las fuerzas 2F y -2F, en el punto O, se cancelan entre sí, dejando sólo la fuerza F, en el

punto R, y la fuerza -F, en el punto S, en el plano U. Estas fuerzas constituyen un par que

se obtuvo por el desplazamiento del brazo del par original, desde PQ hasta RS; es decir, por

el desplazamiento del par original desde el plano T hasta el plano paralelo U.

Fig. 4.11 Desplazamento de un par hasta un plano paralelo

Las conclusiones anteriores se resumen mediante el teorema siguiente.

Teorema 4.3

El efecto dinámico de un par sobre un cuerpo rígido no se cambia si el par se desplaza o se

hace girar en su plano, o bien si el par se desplaza desde su plano hasta un plano paralelo.

Por lo tanto, no tiene importancia la ubicación del plano de un par. Sólo la orientación del

plano tiene significado.

20

4.4 Momento de un Par

Como se mencionó con anterioridad, el efecto de un par sobre un cuerpo rígido es la

rotación de éste. Ya que la resultante de las fuerzas de un par tiene magnitud cero, las

magnitudes de cada una las fuerzas suelen ser de poco interés. Por sí misma, la longitud del

brazo del par también tiene poca consecuencia. Dado que el efecto de un par es causar

rotación, la cantidad que interesa es el momento causado por ese par.

Concepto Clave

La magnitud del momento de un par es el producto Fa, donde F es la magnitud de

cualquiera de las dos fuerzas de ese par y a es la longitud del brazo de éste.

El efecto (el momento) de un par sobre un cuerpo rígido no se altera si se cambia la

magnitud de las fuerzas y, en consecuencia, la longitud del brazo de ese par. Considere el

par que consta de las fuerzas F y -F que actúan en los puntos P y Q (figura 4.12). Se

pueden introducir las fuerzas autoequilibrantes colineales -f y f, en los puntos P y Q. Sean

R y -R las resultantes de las parejas concurrentes de fuerzas en los puntos P y Q,

respectivamente. Desplace los vectores R y -R a lo largo de sus líneas de acción, hasta los

puntos M y N, donde el segmento rectilíneo MN es perpendicular a los vectores R y -R.

Entonces, las fuerzas R y -R, en los puntos M y N, constituyen un par que es

dinámicamente equivalente al par original. Las longitudes de los brazos de los dos pares

son a y b. En la figura 4.12 se muestra que b=acosθ y F=Rcosθ. En consecuencia, Rb = Fa.

Fig. 4.12 Transformación de un par en un par dinámicamente equivalente con una longitud de brazo

diferente

21

El producto Fa, con el signo apropiado, se llama momento del par. La construcción

precedente permite transformar cualquier par en un par dinámicamente equivalente, con

una longitud prescrita de brazo. Puesto que Rb = Fa, la transformación deja inalterado el

momento del par.

Sentido de un par

Un par no queda únicamente determinado por su plano y la magnitud de su momento. El

sentido de un par también es importante. En la figura 4.13, se muestran dos pares que son

idénticos, excepto por su sentido. Es obvio que estos pares se cancelarían entre sí si

actuaran sobre el mismo cuerpo rígido. En los problemas en los que intervienen sistemas de

fuerzas coplanares, se puede designar el sentido de un par por la siguiente convención de

los signos: El momento de un par es positivo si tiende a producir una rotación en sentido

contrario al movimiento de las agujas del reloj alrededor de cualquier eje perpendicular a

su plano (digamos, el eje +z de la figura 4.14a). Esta convención suele asociarse con un

sistema de coordenadas derecho.

Fig. 4.13 Pares con sentidos opuestos Fig. 4.14 Dos maneras de representar un par: a) par con

sentido positivo; b) representación de un par por una

flecha curva

Representación de un par

En lugar de representarse explícitamente por sus fuerzas y su brazo (Fig. 4.14a), un par se

puede representar por una flecha curva, como se muestra en la figura 4.14b. La punta de la

flecha indica el sentido del par. Se considera que la flecha curva se encuentra en el plano

22

del par. No importa la ubicación de la flecha curva en el plano, dado que un par se puede

desplazar con libertad en su plano. La letra M de la figura 4.14b representa el momento del

par. Como con el momento de una fuerza en los problemas bidimensionales (ítem 4.1), M =

Fa representa la magnitud del momento del par.

Momento de las fuerzas de un par con respecto a un punto

Calculemos el momento de las fuerzas de un par con respecto a cualquier punto O en el

mismo plano. El teorema de transmisibilidad permite reubicar el par de modo que el punto

O se encuentre sobre la recta prolongada del brazo del propio par (figura 4.15). Entonces, la

suma de los momentos de las dos fuerzas (el momento del par) alrededor del punto O es

M = F(a + b) - Fb

obien M = Fa

Este resultado conduce al teorema siguiente.

Teorema 4.4

Las fuerzas de un par ejercen el mismo momento (el momento del par) alrededor de todos

los puntos en su plano.

Fig. 4.15 Momento de lasa fuerzas de un par

Resultante de varios pares

Varios pares que se encuentran en el plano xy o en planos paralelos se pueden combinar en

un solo par resultante. El proceso es bastante semejante a la composición de fuerzas

23

concurrentes. Puesto que los pares se encuentran en el plano xy o en planos paralelos, todos

causan rotación alrededor del mismo eje, el eje z. Asimismo, ya que cualquier par se puede

mover con libertad en su plano y se puede transferir desde su plano hasta cualquier plano

paralelo (ítem 4.3), los pares se pueden colocar de modo que coincidan entre sí. Los

momentos M1, M2,… de los pares superpuestos se pueden sumar de manera algebraica, ya

que las fuerzas de los pares se combinan por adición algebraicamente. Por tanto, el

momento del par resultante es M = M1 + M2 + ….

Ejemplo 3 Resultante de una fuerza y un par

Planteamiento del problema Un cuerpo rígido cúbico está cargado por una fuerza y un

par, como se muestra en la figura (a). Determine la resultante de este sistema

Solución La fuerza se encuentra en el plano xy, y el par en un plano paralelo a aquél. El

momento del par es (100)(2) = 200 lbft y este par actúa en sentido contrario al movimiento

de la agujas del reloj, alrededor del eje z. El par de fuerzas está reemplazado por una flecha

curva en la figura (b). El momento de la fuerza de 50 lb alrededor del punto O es (50)(4.0)

= 200 lbft. Este momento actúa en el sentido de las agujas del reloj, alrededor del eje z.

Por consiguiente, como se muestra en la figura (c), se puede trasladar la fuerza de 50 lb

hasta el punto O y agregar un par de 200 lbft actuando en el sentido del movimiento de las

agujas del reloj. Puesto que los pares tienen magnitudes iguales y sentidos opuestos, y se

encuentran en planos paralelos, sus efectos se cancelan entre sí. Por lo tanto, el sistema de

fuerzas se puede reducir a una sola fuerza de 50 lb en O (figura d).

(a) (b)

24

(c) (d)

Conclusión En general, cualesquiera fuerza y par que se encuentren en el mismo plano o

en planos paralelos se pueden reducir a una sola fuerza que sea dinámicamente equivalente

a la pareja original fuerza-par, en tanto que la línea de acción de la fuerza única se ubique

de manera apropiada. Este principio se analiza en el ítem 4.5

1

Curso: Estática Aplicada (3271). Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles.

Profesor: Mauricio Muñoz P. / Ayudante: Eduardo Hurtado

Clase: 8 (24/04/07)

Unidad IV (continuación)

4.5 Desplazamiento Lateral de Fuerzas

Concepto clave

Una fuerza se puede desplazar lateralmente desde su línea de acción si se agrega un par

compensador.

En el ejemplo 4.6, se combinaron una fuerza y un par que se encontraban en el mismo

plano para obtener una sola fuerza con una línea de acción diferente que la de la fuerza

original. En realidad, la fuerza original se desplazó en forma lateral (se movió de lado) de

modo que su nueva línea de acción permaneciera paralela a la línea original de acción para

contrarrestar (es decir, eliminar el efecto) el par. En general, una fuerza que actúa en un

punto dado de un cuerpo rígido puede moverse de lado hasta cualquier otro punto, siempre

que se introduzca un par de compensación. A continuación se demuestra esta

transformación.

Fig. 4.5.1

Considere un cuerpo rígido que se sujeta a una fuerza F en el punto P (Fig. 4.5.1a).

Introduzca las fuerzas autoequilibrantes F y -F en cualquier otro punto Q (Fig. 4.5.1b). La

fuerza F, en el punto P, y la fuerza -F, en el punto Q, constituyen un par con momento Fa,

en donde a es la distancia entre la línea de acción de esas fuerzas. En consecuencia, los

2

sistemas de fuerzas ilustrados por las figuras 4.5.1a, 4.5.1b y 4.5.1c son dinámicamente

equivalentes. La fuerza original F se ha desplazado hasta el punto Q y se ha introducido un

par compensador con momento M = Fa. Este momento es idéntico al momento de la fuerza

original F alrededor del punto Q. Esta conclusión conduce de inmediato al teorema

siguiente.

Teorema 4.5

Varias fuerzas coplanares F1, F2,…..que actúan sobre un cuerpo rígido son dinámicamente

equivalentes a su fuerza resultante F, que actúa en un punto arbitrario Q en el plano de las

fuerzas, y un par sencillo, donde la fuerza resultante F es la suma vectorial de las fuerzas

F1, F2,…..y el momento M del par asociado es la suma de os momentos de las fuerzas F1,

F2,…..alrededor del punto Q.

Para probar este teorema fundamental, se transfieren las fuerzas F1, F2, . . . hasta el punto Q

y se introducen pares de compensación con los momentos M1= ±F1a1, M2= ±F2a2,…, como

se explicó con anterioridad. Ya que las fuerzas en el punto Q son concurrentes, pueden

sumarse en forma vectorial, es decir, F = F1 + F2 +…. En otras palabras, la fuerza

resultante F se obtiene por la construcción del polígono o, de modo alternativo, por la

adición algebraica de las proyecciones de cada una de las fuerzas sobre ejes de coordenadas

cartesianas.

Asimismo, los momentos M1, M2,…. pueden combinarse en un solo momento por adición,

con la consideración apropiada del sentido (+ o -) de cada uno de los momentos (ver ítem

4.4). Es decir, el momento M del par que se asocia con la fuerza F en el punto Q es M = M1

+ M2 +….. En consecuencia, M es la suma de los momentos de las fuerzas originales

alrededor del punto Q. El teorema del eje resultante (teorema 4.2) es un caso especial del

teorema 4.5, el cual se obtiene si el punto Q se ubica de modo que M = O.

Se ha visto que a la resultante F de varias fuerzas coplanares F1, F2,… se le puede asignar

un punto arbitrario de acción Q en el plano de las fuerzas, pero que el momento M del par

asociado en general depende de la ubicación del punto Q. Ahora bien, se verá que si F = 0,

el par asociado no depende de la ubicación del punto Q.

3

Fig. 4.5.2

Supóngase que las coordenadas del punto Q son (x, y) y que las fuerzas F1, F2,…actúan en

los puntos respectivos (x1, y1), (x2, y2),…. con relación a los ejes xy (ver figura 4.5.2). Por

el teorema de Varignon, el momento M de todas las fuerzas alrededor del punto Q es

......22221111 xyxy FyyFxxFyyFxxM

o bien

............. 222211112121 xyxyyyxx FyFxFyFxFFxFFyM

Dado que, por hipótesis, F1 + F2 +… = 0, esto se reduce a

.....22221111 xyxy FyFxFyFxM

Sin embargo, por el teorema de Varignon, el segundo miembro de esta ecuación representa

el momento de todas las fuerzas alrededor del origen O, sin importar el punto Q. Este

resultado proporciona el teorema siguiente (el cual se generalizará para los sistemas de

fuerzas tridimensional en la unidad 5).

Teorema 4.6

Si la suma vectorial de un conjunto de fuerzas coplanares es cero, las fuerzas ejercen el

mismo momento alrededor de todos los puntos en su plano.

4.6 Equilibrio de un Cuerpo Rígido Sujeto a Fuerzas Coplanares

Concepto Clave

4

Un cuerpo rígido sujeto a fuerzas coplanares está en equilibrio si la fuerza neta sobre él es

cero y el momento neto alrededor de cualquier punto en el plano de las fuerzas es cero.

Una sola fuerza que actúa pasando por el centro de masa de un cuerpo tiende a hacer que

éste se traslade. En esos casos se pueden aplicar las condiciones de equilibrio para una

partícula, que se presentaron en la unidad 3, al cuerpo. Es decir el cuerpo está en equilibrio

si, y sólo si, la resultante de fuerzas es cero. Sin embargo, cuando un cuerpo rígido se sujeta

a una fuerza cuya línea de acción no pasa por el centro de masa, el cuerpo tiende a

trasladarse y girar. De modo semejante, cuando se aplica un par, un cuerpo rígido tiende a

girar alrededor de su centro de masa.

La resistencia a la flexión de una viga de madera se determina usando la carga P requerida para causar que el

material falle en un diagrama de cuerpo libre, con el fin de hallar el momento flexionante en la viga y, por

tanto, el esfuerzo a la flexión en la falla.

Por lo tanto, un cuerpo rígido debe de estar en equilibrio si, y sólo si, la fuerza y el

momento resultantes que actúan sobre él son cero. Esta conjetura puede verificarse usando

principios de la cantidad de movimiento.

Recuerde que el par resultante de un sistema coplanar de fuerzas es independiente del punto

de referencia Q si la fuerza resultante es cero (ítem 4.5). En el teorema siguiente se resume

la teoría completa del equilibrio de cuerpos rígidos sujetos a sistemas coplanares de fuerzas.

5

Teorema 4.7

Un cuerpo rígido que está sujeto a fuerzas coplanares está en equilibrio si, y sólo si, la

suma vectorial de todas las fuerzas externas es cero y el momento de todas esas fuerzas

externas, alrededor de cualquier punto en su plano, es cero.

Condiciones de equilibrio en relación con las coordenadas rectangulares

Concepto Clave

Las condiciones de equilibrio para un cuerpo rígido sujeto a fuerzas coplanares se puede

escribir en términos de dos ecuaciones independientes de fuerzas y una ecuación de

momentos, cada una de las cuales comprende las proyecciones rectangulares de esas

fuerzas coplanares.

El principio de equilibrio del teorema 4.7 se expresa por las ecuaciones

0F

0M (4.4)

donde F es la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo

rígido y ֶ M es el momento total de esas fuerzas, alrededor de cualquier punto en su plano.

Para aplicar este principio, se puede relacionar el cuerpo a ejes de coordenadas xy

rectangulares. Entonces, las ecuaciones (4.4) son equivalentes a las ecuaciones

0xF

0yF (4.5)

0M

donde Fx y Fy son las proyecciones x y y de la suma vectorial F. A su vez, Fx y Fy

quedan determinadas por las ecuaciones

.....321 xxxx FFFF

6

.....321 yyyy FFFF

donde F1x, F1y, F2x, F2y,….. son las proyecciones x y y de las diversas fuerzas externas, F1,

F2,…..que actúan sobre el cuerpo.

Ya que Fx y Fy se desvanecen para un cuerpo en equilibrio, las fuerzas externas

producen el mismo momento alrededor de todos los puntos en su plano (ítem 4.5). Por

consiguiente, al aplicar la condición M=0, pueden tomarse los momentos alrededor de

cualquier punto conveniente.

La expresión para el momento de las fuerzas externas alrededor del origen queda dado por

la ecuación (4.3). Las ecuaciones (4.5) pueden escribirse como sigue:

0ixx FF (4.6a)

0iyy FF (4.6b)

0ixiiyi FyFxM (4.6c)

donde i = 1, 2,…., N y N es el número de fuerzas que actúan. Asimismo, (xi, yi) es el punto

de aplicación de la i-ésima fuerza con las proyecciones (Fix, Fiy). Las ecuaciones (4.6)

indican que la suma de las N proyecciones de fuerzas y la suma de los momentos de las N

fuerzas que actúan sobre el cuerpo son iguales a cero.

Cuando se usa la ecuación M = (xiFiy – yiFix) = 0, debe determinarse el signo correcto

para cada una de las proyecciones de las fuerzas (Fix, Fiy) y para las coordenadas (xi, yi) de

los puntos de aplicación de esas fuerzas. El uso de tablas para organizar los cálculos, puede

resultar útil. Sin embargo, sin importar el procedimiento, se debe tener cuidado en evitar los

errores relacionados con los signos.

En la ecuación de momentos (4.6c) se usa la convención de signos establecida con

anterioridad: Un momento positivo tiende a causar rotación en sentido contrario al

movimiento de las agujas del reloj alrededor del punto O (el eje z) para las fuerzas y pares

que se encuentran en el plano xy. Pero no tiene que usarse esta convención particular

respecto a los signos. Puede ser que se desee tomar el momento positivo como aquel que

causa rotación en el sentido del movimiento de las agujas del reloj. Para que el equilibrio

7

exista, los momentos deben dar como suma cero, sin importar la convención de los signos.

Es decir, la elección de la convención de los signos (sentido positivo para la rotación) es

arbitraria. No obstante, una vez que se elige una convención respecto a los signos para los

momentos en un problema en particular, debe de usarse de manera uniforme en todo el

problema.

Información adicional A medida que el alumno desarrolle sus habilidades para resolver

problemas, podría preferir prescindir de la ecuación de equilibrio de momentos (4.6c) en

favor de un procedimiento que se base directamente en la definición de momento de una

fuerza. Por ejemplo, como una alternativa al uso de esa ecuación para el equilibrio de

momentos en problemas coplanares, considere el procedimiento que se da en seguida. En

primer lugar, elija un punto en el plano alrededor del cual se van a calcular los momentos.

Luego, para cada una de las fuerzas (o componentes de fuerzas), determine su brazo de

momento r. Encuentre la magnitud de su momento usando la ecuación (4.2). Establezca una

convención de signos de los momentos. Examine entonces cada una de las fuerzas (o

componentes de las fuerzas) para determinar si causa un momento positivo o negativo.

Asigne el signo correcto al momento de cada una de las fuerzas y sume en forma.

algebraica los momentos para obtener el equilibrio; es decir, forme la suma Mi=0. En este

procedimiento directo se emplea la definición de momento (fuerza multiplicada por una

distancia perpendicular; ver ecuación 4.2) y una comprensión del sentido en el cual la

fuerza hace girar el cuerpo.

Otros casos especiales

Si cualesquiera número de fuerzas coplanares que actúan sobre un cuerpo rígido tienen

líneas concurrentes de acción, como en la figura 4.5.3, la ecuación M=0 se satisface de

manera automática si los momentos se toman alrededor del punto de concurrencia P.

Asimismo, si la suma de las fuerzas concurrentes es cero, no se tiene momento alrededor de

cualquier punto. En este caso, la ecuación de momentos es superflua. Por tanto, una vez

más, pueden aplicarse los principios de equilibrio para una partícula.

8

Se tiene otra simplificación si un cuerpo rígido está sujeto a fuerzas coplanares paralelas. Si

todas las fuerzas son paralelas al eje y, entonces la condición Fix=0 se satisface de manera

automática. Por lo que las ecuaciones (4.6) se reducen a Fiy=0 y M=0.

Fig. 4.5.3

4.7 Formulaciones Alternativas del Equilibrio para Fuerzas Coplanares

Concepto Clave

Las condiciones de equilibrio para un cuerpo rígido sujeto a fuerzas coplanares se pueden

escribir en términos de una ecuación de fuerzas y dos ecuaciones independientes de

momentos.

La proposición fundamental de los criterios de equilibrio para un cuerpo rígido es que la

suma vectorial de las fuerzas externas sea cero y que el momento de esas fuerzas alrededor

de cualquier punto en su plano sea cero (teorema 4.7, ecuación 4.4 o 4.5). En ocasiones

resulta más conveniente expresar las ecuaciones de equilibrio en alguna forma diferente a la

de dos ecuaciones de fuerzas y una de momentos. En esta sección se consideran dos

proposiciones alternativas del principio del equilibrio que resultan útiles para ciertos

problemas. La primera de estas alternativas se expresa por el teorema siguiente.

Teorema 4.8

9

Un cuerpo rígido inmóvil que está sujeto a fuerzas coplanares se encuentran en equilibrio

si, y sólo si, se satisfacen las condiciones siguientes:

1. La suma algebraica de las proyecciones de las fuerzas sobre un eje L en el plano

de las fuerzas es cero.

2. Las fuerzas no producen momentos alrededor de dos puntos separados A y B que

se encuentran en el plano de las fuerzas sobre una recta que no es perpendicular al

eje L.

En forma de ecuaciones, las condiciones del teorema 4.8 pueden escribirse como

0LF

0AM (4.7)

0BM

donde L denota el eje sobre el cual se proyectan todas las fuerzas, y A y B identifican dos

puntos separados que se encuentran en el plano de las fuerzas sobre una recta AB que no es

perpendicular a L (fig. 4.5.4)

Fig. 4.5.4 Fig. 4.5.5

Para probar el teorema 4.8, se establece el argumento siguiente. En el ítem 4.5 se probó

que un sistema de fuerzas coplanares que actúan sobre un cuerpo rígido se puede reducir a

un sistema dinámicamente equivalente de fuerza y par. La fuerza resultante F se puede

aplicar en cualquier punto en el plano y el momento del par es igual al momento de todas

las fuerzas externas alrededor de ese punto. Del mismo modo, es posible mover la fuerza F

hasta un punto A en el plano, alrededor del cual el momento de todas las fuerzas externas es

cero. Suponga ahora que un cuerpo rígido en particular (Fig. 4.5.4) se sujeta a un sistema de

10

fuerzas coplanares. Como se hizo notar con anterioridad, el sistema de fuerzas se puede

reducir a una sola fuerza resultante que actúa en el punto A de la recta AB, tal que el par

resultante se desvanece; es decir, existe la condición descrita en el teorema 4.8 para el

punto A. Puesto que, por la primera condición del teorema 4.8, la suma de las proyecciones

de las fuerzas coplanares sobre la recta L es cero, el vector de fuerza F es perpendicular a

esta recta, o bien, F= 0. Ahora bien, ya que la recta AB no es perpendicular a la recta L, el

punto B no está sobre la línea de acción de la fuerza F. Por lo tanto, se satisfacen las

condiciones F=0 y M=0. Según las condiciones definidas por las ecuaciones (4.4), el

equilibrio debe existir. De este modo, queda probado el teorema 4.8 y las ecuaciones (4.7)

expresan las condiciones de equilibrio en una forma alternativa.

Concepto Clave

Las condiciones de equilibrio para un cuerpo rígido sujeto a fuerzas coplanares se pueden

escribir en términos de tres ecuaciones independientes de momentos.

Otra formulación del principio del equilibrio es el teorema siguiente.

Teorema 4.9

Un cuerpo inmóvil que está sujeto a fuerzas coplanares se encuentran en equilibrio si, y

sólo si, los momentos de las fuerzas alrededor de cualesquiera tres puntos no colineales, en

el plano de las fuerzas, son cero.

Expresadas en forma de ecuaciones, las condiciones del teorema 4.9 quedan así:

0OM

0PM

0QM

donde O, P y Q son puntos no colineales en el plano alrededor de los cuales se toman los

momentos (ver figura 4.5.5).

Para demostrar que estas condiciones son equivalentes a las de las ecuaciones (4.4),

suponga que los momentos de las fuerzas alrededor de los tres puntos no colineales O, P y

11

Q, que se encuentran en el plano de las fuerzas, son cero. Puesto que el momento alrededor

del punto O se anula, el sistema de fuerzas equivalente a una sola fuerza actúa en el punto

O (Fig. 4.5.5). Ya que el momento alrededor del punto P se anula, este punto se encuentra

sobre la línea de acción de la fuerza F, o bien, F=0. La misma observación se aplica al

punto Q. Puesto que los puntos O, P y Q no son colineales, los dos puntos P y Q no pueden

estar en la línea de acción de la fuerza F. Por lo tanto, la única posibilidad es F=0. Por

consiguiente, por la ecuación (4.4), el equilibrio existe. Por lo tanto, el teorema 4.9 queda

probado y las ecuaciones (4.8) expresan las condiciones de equilibrio en otra forma. Por

tanto, los teoremas (4.7), (4.8) y (4.9), y las ecuaciones correspondientes (4.5), (4.7) y (4.8),

constituyen tres representaciones equivalentes del equilibrio de un cuerpo rígido sujeto a

fuerzas coplanares.

Cada una de las formulaciones anteriores del principio del equilibrio conduce a tres

ecuaciones algebraicas. No es posible obtener más de tres ecuaciones independientes de

equilibrio para un solo cuerpo rígido que esté sujeto a fuerzas coplanares. Si se obtienen

más de tres ecuaciones, una o más de ellas son redundantes.

4.8 Teoría General de las Fuerzas Paralelas

En los ítemes anteriores de esta unidad se ha tratado el equilibrio de un cuerpo rígido bajo

la acción de un sistema de fuerzas coplanares. En este ítem se considera el equilibrio de un

cuerpo rígido bajo la acción de un sistema de fuerzas paralelas no coplanares. Aun cuando

este caso no es bidimensional, una vez más se pueden expresar las condiciones de

equilibrio del cuerpo en términos de tres ecuaciones de equilibrio. En la unidad 5 se dará un

tratamiento general completo de la estática de un cuerpo rígido en el espacio, lo que

conduce a seis ecuaciones independientes de equilibrio.

Desplazamiento lateral de una fuerza

Suponga que un cuerpo rígido está sujeto a una fuerza F que es paralela al eje z. Suponga

que el sentido positivo de F concuerda con el sentido positivo del eje z. Por el teorema de

12

transmisibilidad, puede considerarse que la fuerza F actúa en un punto P: (x, y) en el plano

xy (ver figura 4.5.6a). Sea Q un punto del eje x tal que la recta PQ es perpendicular al eje x.

En el punto Q, se introducen las fuerzas autoequilibrantes F y -F (Fig. 4.5.6a). Las tres

fuerzas en los puntos P y Q son equivalentes a una sola fuerza F en el punto Q y un par con

momento Mx= yF, el cual consta de la fuerza F en el punto P y la fuerza -F en el punto Q.

El plano del par se encuentra paralelo al plano yz. El momento del par es igual al momento

de la fuerza F en el punto P, alrededor del eje x.

Fig. 4.5.6

Al introducir las fuerzas autoequilibrantes F y -F en el origen O, se puede transferir F del

punto Q al O (Fig. 4.5.6b). El par de compensación para esta transformación se encuentra

en el plano xz. Su momento My = -xF es igual al momento de la fuerza original F alrededor

del eje y. En consecuencia, la fuerza dada F, en el punto P, es dinámicamente equivalente a

una fuerza F en el origen O y dos pares cuyos planos se encuentran paralelos a los planos yz

y xz. Los momentos Mx y My de los dos pares son, respectivamente, los momentos de la

fuerza original F alrededor de los ejes x y y. Esta conclusión es válida sin importar el

cuadrante en el cual se encuentre el punto P. Asimismo, sigue siendo válida si se invierte el

sentido de la fuerza F.

Composición de fuerzas paralelas

Suponga que un cuerpo rígido está sujeto a varias fuerzas, F1, F2,… que son paralelas al eje

z. Todas las fuerzas pueden transferirse hasta el origen, siempre que se introduzcan pares de

compensación. Así, las fuerzas pueden combinarse en una sola resultante:

13

....21 FFF

Puesto que todas las fuerzas tienen la misma dirección (aunque no necesariamente el

mismo sentido), su suma vectorial se reduce a una suma algebraica.

Además de la fuerza resultante F en el origen, el proceso de composición introduce dos

pares, Mx y My que se encuentran en los planos yz y xz. Los momentos de estos pares se

denotan por Mx y My, respectivamente. Éstos son las sumas de los momentos respectivos

de todas las fuerzas originales F1, F2,… alrededor de los ejes x y y:

iix FyM y iiy FxM

Eje resultante de un sistema de fuerzas paralelas

Como se mostró con anterioridad, varias fuerzas F1, F2,…..que son paralelas al eje z, se

pueden resolver en un sistema dinámicamente equivalente de una sola fuerza F en el origen

y dos pares con momentos Mx y My. Suponga que se ha realizado una operación de ese

tipo. Al invertir la transformación ilustrada en la figura 4.5.6, se puede desplazar la fuerza

F desde el origen hasta un punto (a, b) en el plano xy. Si F no es cero, se puede elegir el

punto (a, b) de tal forma que los momentos Mx y My se cancelen. Entonces, la fuerza F se

llama fuerza resultante R. La resultante R ejerce los mismos momentos alrededor de los

ejes x y y como todas las fuerzas originales F1, F2,….La línea de acción de R se llama eje

resultante del sistema de fuerzas.

Las conclusiones precedentes se resumen mediante el teorema siguiente:

Teorema 4.10

Si varias fuerzas F1, F2,…. que actúan sobre un cuerpo rígido, son paralelas al eje z y si su

suma vectorial R no es cero, las fuerzas dadas son dinámicamente equivalentes a la fueza

sencilla R, siempre que esta fuerza se ubique de modo que produzca los mismos momentos

alrededor de los ejes x y y como los de todas las fuerzas originales F1, F2,…..Entonces, la

fuerza R se llama fuerza resultante y se dice que se encuentra sobre el eje resultante del

sistema de fuerzas.

14

Equilibrio de un cuerpo rígido bajo la acción de fuerzas paralelas

Concepto Clave

Un cuerpo rígido que está sujeto a fuerzas paralelas se encuentra en equilibrio si, y sólo si,

la suma algebraica de las fuerzas es cero y las sumas de los momentos de las fuerzas,

alrededor de dos ejes cualesquiera que se intersequen y sean perpendiculares a las fuerzas,

son cero.

Considere un cuerpo rígido sujeto a fuerzas que son paralelas al eje z de un sistema de

coordenadas cartesianas rectangulares. Observe que el cuerpo no se restringe al plano xy;

en este caso, la forma del cuerpo no tiene importancia. Puesto que cada fuerza Fi que actúa

sobre el cuerpo es paralela al eje z, se puede expresar de manera única en términos de su

sentido (+ o -) y magnitud Fi. Entonces, las ecuaciones de equilibrio del cuerpo son

0iF

0iix FyM

0iiy FxM

donde (xi, yi) son las coordenadas en que la línea de acción de F se interseca con el plano

xy.

Este principio es un caso especial de la ley general del equilibrio para los cuerpos rígidos.

1

Curso: Estática Aplicada (3271). Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles.

Profesor: Mauricio Muñoz P. / Ayudante: Eduardo Hurtado

Clase: 9 (27/04/07)

Unidad V Fuerzas Tridimensionales, Pares y Equilibrio del Cuerpo Rígido

Los principios que rigen el equilibrio de cuerpos rígidos en sistemas no coplanares

(tridimensionales), es similar al caso estudiado en la unidad 4. Los conceptos de fuerza,

pares, composición de fuerzas y eje resultante son similares, sin embargo, el aspecto

geométrico de los problemas tridimensionales es más complejo. Esta complejidad se

supera hasta cierto punto con el uso del álgebra vectorial, facilitándose de esta manera el

análisis de equilibrio tridimensional de un cuerpo rígido.

5.1 Álgebra Vectorial

Es necesario hacer un repaso al álgebra vectorial para calcular el producto escalar y el

producto vectorial de dos vectores. También se emplearán algunas propiedades adicionales

del álgebra vectorial, y se usarán estos conceptos para representar fuerzas y pares en el

espacio tridimensional y para determinar el eje resultante de un sistema de fuerzas.

Producto escalar de dos vectores

Concepto clave

El producto escalar de dos vectores A y B se expresa por la ecuación escalar

AB = zzyyxx BABABABA cos

El producto escalar es una multiplicación de dos vectores A y B que da lugar a, como el

nombre lo implica, una cantidad escalar (un número). En notación vectorial, el producto

escalar se escribe AB y se define como la cantidad AB cos. Por tanto, se tiene

AB = ABcos (5.1)

2

donde A y B son las magnitudes de los vectores A y B, y es el ángulo entre estos últimos

(Fig. 5.la). Puesto que la notación AB se lee “A punto B”, el producto escalar también se

llama producto punto.

Figura 5.1 Producto escalar (punto) de dos vectores.

A partir de la ecuación (5.1), se ve que el producto escalar es cero si A o B son cero, o bien,

si el vector A es perpendicular al vector B (entonces cos = cos90° = 0). De modo que, para

A y B diferentes de cero, el producto escalar puede ser cero, un número positivo o un

número negativo, dependiendo del valor de .

Concepto clave

El producto escalar de dos vectores es conmutativo; es decir, A B = B A

Al manipular la ecuación (5.1), se ve que el producto escalar es conmutativo (ver figuras

5.1b y 5.1c). Es decir,

AB = AB cos = BA cos = BA (5.2)

El producto escalar también se puede expresar en términos de las proyecciones (Ax, Ay, Az)

y (Bx, By, Bz) de los vectores A y B sobre los ejes de coordenadas xyz. Puede escribirse en

la forma.

AB = AxBx + AyBy + AzBz (5.3)

Se puede demostrar que la ecuación (5.3) es la equivalente a la (5.2), como sigue: Se

trasladan los vectores A y B de modo que sus colas se coloquen en el origen O del sistema

de coordenadas xyz. Entonces, se unen las puntas de los vectores por el segmento rectilíneo

3

C. El triángulo resultante tiene los vértices en los puntos (0, 0, 0), (Ax, Ay, Az) y (Bx, By,

Bz) (ver figura 5.2). Por la ley de los cosenos de la trigonometría plana,

cos2222 ABBAC

se encuentran 222

2

1cos CBAAB (a)

Asimismo, por el teorema de Pitágoras,

2222

zyx AAAA

2222

zyx BBBB (b)

2222

zyx CCCC

2222

zzyyxx ABABABC

Ahora, si se sustituye la ecuación (b) en la (a) y se simplifica el resultado, se obtiene

zzyyxx BABABABA cos (5.4)

Fig. 5.2

Con la ecuación (5.1), esto verifica la ecuación (5.3).

Casos especiales del producto escalar: Varios casos especiales del producto escalar

merecen atención.

Caso 1. Si A y B son el mismo vector, la ecuación (5.3) da

AA =Ax2+Ay

2+Az

2 = A

2

4

En consecuencia, el teorema de Pitágoras, es un caso especial de la relación del producto

escalar. Con frecuencia, el producto escalar AA se denota por A2. Por consiguiente, A

2 =

A2, el producto escala de un vector por sí mismo es el cuadrado de su magnitud.

Caso2. Surge un caso importante si B es un vector unitario; es decir, si B = 1. Entonces,

Acos es la proyección del vector A sobre una recta en la dirección del vector B, y la

ecuación (5.4) conduce a la siguiente conclusión:

La proyección del vector A sobre una recta con la dirección y sentido de un vector unitario

B es AB = A cos (ver figura 5.lc, con B = 1).

Caso 3 Si tanto el vector A como el B son unitarios, sus proyecciones sobre los ejes xyz

quedan dadas por sus cosenos directores. Así, la ecuación (5.4) da

coscoscoscoscoscoscos BABABA (5.5)

donde A, A, A y B, B, B, son los ángulos de dirección de los vectores A y B. En la

ecuación (5.5) se expresa el ángulo entre dos rectas dirigidas cualesquiera en términos de

los cosenos directores de esas rectas.

La dirección de una recta queda determinada de manera única por sus ángulos de dirección

, y con relación a los ejes xyz. (Recuerde que cos2 + cos

2 + cos

2 = 1). Si la

dirección de una recta se especifica por tres números a, b y c, éstos se conocen como

números de dirección, o razones de dirección. En términos de los números de dirección, los

cosenos directores se dan por las fórmulas:

222cos

cba

a

222cos

cba

b

222cos

cba

c

5

Caso 4 Si los vectores A y B son perpendiculares entre sí, = 90°. Entonces, la ecuación

(5.4) da AxBx + AyBy + AzBz = 0, es decir AB = 0. En consecuencia, se tiene el teorema

siguiente:

Teorema 5.1

Si el ángulo entre dos vectores es de 90°, el producto escalar de esos vectores es cero.

Inversamente, si el producto escalar de dos vectores es cero y ninguno de éstos tiene

magnitud cero, el ángulo entre esos vectores es de 90°.

Productos escalares de vectores unitarios Dado que i, j y k son vectores unitarios,

tienen magnitud 1. Por consiguiente, por el caso 1, se tiene:

i i = j j = k k = 1 (c)

También, como los vectores i, j y k son mutuamente perpendiculares (ver caso 4),

i j = j k = k i = 0 (d)

Las ecuaciones (d) también se deducen inmediatamente a partir del teorema 5.1.

Como se hizo notar en unidades anteriores, se puede representar cualquier vector en

términos de los vectores unitarios i, j y k y las proyecciones (x, y, z) del propio vector. Así,

como un ejemplo del uso de las ecuaciones (c) y (d), se puede escribir

AB = (Axi + Ayj + Azk) (Bxi + Byj + Bzk) = AxBx + AyBy + AzBz

Otras propiedades del producto escalar El producto escalar de vectores tiene otras

propiedades en común con el producto de números. Por ejemplo, el producto escalar de

vectores obedece la ley distributiva:

A (B + C) = AB + AC (e)

Para verificar esta identidad, se usa la definición de producto escalar. Notando que las

proyecciones (x, y, z) del vector B + C son Bx + Cx, By + Cy, Bz + Cz respectivamente, por

la ecuación (5.3) se obtiene

6

A (B + C) = Ax(Bx + Cx) + Ay(By + Cy) + Az(Bz + Cz)

De donde,

A (B + C) = (AxBx + AyBy + AzBz) + (AxCx +AyCy + AzCz)

Dado que la ecuación (5.3) permite observar que las sumas de la derecha son iguales a A B

y AC, se verifica la ecuación (e).

La ecuación (e) puede generalizarse como sigue:

(A + B) (C +D) = (A + B) C + (A + B) D

Por lo que,

(A + B) (C +D) = AC + BC + AD + BD (f)

Esta fórmula puede generalizarse todavía más para proporcionar desarrollos de expresiones

como (A + B + C + ...) (P + Q + R +… ). Las fórmulas son exactamente como las del

álgebra elemental. En particular, la ecuación (f) da

(A + B) (A – B) = A2 – B

2 = A

2 – B

2

Producto vectorial de dos vectores

La ecuación (5.4) proporciona una expresión para ABcos, en la cual A y B son las

magnitudes los dos vectores A y B que incluyen el ángulo . A continuación se considera

una importante transformación de esta ecuación; a saber, el producto vectorial C = A X B

de los dos vectores A y B. El producto vectorial también se menciona como el producto

cruz, porque la expresión A X B suele leerse “A cruz B”.

El producto vectorial es útil en la representación del momento de una fuerza (ver ítems 5.2

y 5.3) y de pares (ver ítems 5.4 y 5.5). Para interpretar el significado del producto vectorial,

se parte de la ecuación (5.4) y se obtienen expresiones para las proyecciones (x, y, z) de C,

en términos de las proyecciones (x, y, z) de A y B. Así se demuestra que C es perpendicular

al plano determinado por A y B. Por último, se demuestra que los vectores A, B y C forman

una triada de vectores ordenados de la misma manera que los ejes xyz de coordenadas

7

rectangulares. El resultado final de este proceso se expresa por el teorema siguiente, en el

cual se usa la regla de la mano derecha.

Teorema 5.2

Considere dos vectores A y B separados por un ángulo . El producto vectorial A X B es

un vector C, cuya magnitud es ABsen, cuya dirección es perpendicular a los vectores A y

B, y cuyo sentido es tal que un tornillo derecho, extendido a lo largo del vector C = A X B,

avanza en el sentido positivo de este vector C cuando se hace girar del vector A hacia el

vector B.

Para empezar, observe que la ecuación (5.4) se puede escribir como

AB

BABABA zzyyxx cos (a)

Por consiguiente, la identidad trigonométrica sen = 2cos1 y la ecuación (a) dan el

resultado

222 )( zzyyxx BABABABAABsen

Por lo tanto, por el teorema de Pitágoras,

2222222

zzyyxxzyxzyx BABABABBBAAAABsen

Al reagrupar los términos que se encuentran debajo del radical se obtiene

222

xyyxzxxzyzzy BABABABABABAABsen (b)

Suponga que las cantidades Cx, Cy, Cz se definen como sigue:

yzzyx BABAC

zxxzy BABAC (5.6)

xyyxz BABAC

8

Por el teorema de Pitágoras, se pueden considerar los términos Cx, Cy y Cz, como las

proyecciones (x, y, z) de un vector C, llamado producto vectorial de A y B. Dado que C =

222

zyx CCC , donde C es la magnitud de C, las ecuaciones (b) y (5.6) dan

ABsenC (5.7)

La ecuación (5.7) determina la magnitud del vector C.

También se puede demostrar que el vector C es perpendicular tanto al vector A como al B.

Esta relación se prueba con facilidad por medio de la ecuación (5.4). Si los vectores A y C

son perpendiculares, AC = 0 (caso 4, ítem 5.1), o bien,

AxCx + AyCy + AzCz = 0 (c)

Del mismo modo, si los vectores B y C son perpendiculares, B C = 0, o bien,

BxCx + ByCy + BzCz = 0 (d)

La sustitución de las expresiones para Cx, Cy y Cz, de las ecuaciones (5.6) en las ecuaciones

(c) y (d) satisface de forma idéntica estas dos últimas. De este modo, se verifica que el

vector C es perpendicular a los vectores A y B.

Ahora se ha determinado la magnitud y dirección del vector C. Por último, se puede

demostrar que el sentido del vector C es tal que los tres vectores, A, B y C, en este orden,

forman una triada derecha; es decir, A, B y C están orientados de la misma manera que los

xyz de coordenadas rectangulares.

Para probar esta relación, considere en primer lugar el caso en el cual los vectores A y B se

encuentran en el plano xy, con sus colas en el origen O. Suponga que las direcciones de

estos dos vectores se especifican por los ángulos y , medidos en sentido contrario al

movimiento de las agujas del reloj a partir del eje x positivo (ver figura 5.3). Entonces,

Ax = A cos Ay = A sen Az = 0

Bx = B cos By = B sen Bz = 0

Por tanto, las ecuaciones (5.6) dan

Cx = Cy = 0

9

Cz = AB sen ( - ) = AB sen (e)

Fig. 5.3

El signo de Cx, determinado por la ecuación (e), es tal que los tres vectores A, B y C

forman un sistema derecho. Este resultado se cumple para el caso en el cual los vectores A

y B son paralelos al plano xy. Si se desplazan A y B de cualquier manera, sin cambiar el

ángulo entre ellos, la magnitud de C permanece constante, según la ecuación (5.7). Dado

que el vector C permanece perpendicular a los vectores A y B, mantiene un sentido

constante con respecto a estos vectores. Por consiguiente, el resultado es válido en todos los

casos.

Para un sistema derecho de coordenadas, los resultados antes obtenidos se pueden resumir

por medio del teorema 5.2. Si el sistema de coordenadas xyz es izquierdo, el sentido del

vector C se determina por la regla de la mano izquierda.

Si los vectores A y B actúan en el mismo punto, forman dos de los lados de un

paralelogramo (ver figura 5.4). El vector C = A X B es perpendicular al plano del

paralelogramo. Por la ecuación (5.7), su magnitud es igual al área de ese paralelogramo.

Fig. 5.4 Producto vectorial C = A X B

En la notación de determinantes, las ecuaciones (5.6) se expresan como sigue

10

zy

zy

x BB

AAC

xz

xz

yBB

AAC

yx

yx

z BB

AAC (5.8)

Por consiguiente, si i, j y k son vectores unitarios a lo largo de los ejes xyz, el vector c se

puede expresar como sigue:

C = A X B =

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

(5.9)

Concepto clave

El producto vectorial no es conmutativo. Es decir, A X B B X A; sino más bien A X B =

-B X A.

El producto vectorial no es conmutativo. De hecho, por la ecuación (5.9) o por la regla de

la mano izquierda, el vector C invierte su sentido cuando se invierte el orden de los

vectores A y B; es decir, A X B = C, en tanto B X A = -C (ver figuras 5.4 y 5.5)

Fig. 5.5 El producto vectorial B X A tiene sentido opuesto al de A X B

El producto vectorial de dos vectores paralelos es cero, porque si los vectores son paralelos,

= 0 y sen = 0 (ver ecuación 5.7). Inversamente, si el producto vectorial de dos vectores

es cero y ninguno de estos dos tiene magnitud cero, esos vectores son paralelos.

Ya que cualquier vector a es paralelo a sí mismo, a X a = 0. De igual forma, para los

vectores unitarios i, j y k, a lo largo de los ejes xyz de coordenadas rectangulares, se tienen

las relaciones

11

i X i = j X j = k X k = 0

También, por la ecuación (5.9), i X j =

010

001

kji

= +k y j X i =

001

010

kji

= -k

Se obtienen relaciones semejantes para los otros productos de los vectores unitarios

coordenados. En resumen,

i X j = k j X k = i k X i = j

j X i = -k k X j = -i i X k = -j (5.10)

i X i = 0 j X j = 0 k X k = 0

Estas relaciones también se deducen de inmediato a partir del teorema 5.2.

Como un ejemplo del uso de las ecuaciones (5.10), considere la identidad vectorial

A X B = (Axi + Ayj + Azk) X (Bxi + Byj + Bzk)

El desarrollo de esta identidad ectorial da, con las ecuaciones (5.10),

A X B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k

Esta expresión es idéntica al determinante de la ecuación (5.9)

1

Curso: Estática Aplicada (3271). Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles.

Profesor: Mauricio Muñoz P. / Ayudante: Eduardo Hurtado

Clase: 10 (04/05/07)

Unidad V (continuación)

Ejemplo 1 Productos vectoriales de sumas de vectores

Planteamiento del problema A pesar del hecho de que A X B = -B X A, el producto

vectorial tiene muchas propiedades semejantes a los productos escalares. Por ejemplo, el

producto vectorial es distributivo:

R X (A + B) = R X A + R X B (a)

y (A + B) X R = A X R + B X R (b)

Una generalización directa de la ecuación (a) es

(A + B) X (C + D) = (A + B) X C + (A + B) X D

= A X C + B X C + A X D + B X D

Se puede escribir una generalización semejante de la ecuación (b). Pruebe la ecuación (a).

Solución Por la ecuación (5.9) (ver apunte anterior) se puede escribir

R X (A + B) =

)()(( zzyyxx

zyx

BABABA

RRR

kji

(c)

Por un teorema de los determinantes, se puede escribir la ecuación (c) en la forma

R X (A + B) =

zyx

zyx

zyx

zyx

BBB

RRR

kji

AAA

RRR

kji

Entonces, por las ecuaciones (5.9) y (d), se tiene

R X (A + B) = R X A + R X B

2

Por tanto, queda probada la ecuación (a). La ecuación (b) se puede verificar de manera

semejante.

Observe que en estos desarrollos se mantiene el orden original de los términos, ya que, por

ejemplo, A X C C X A

5.2 Momento de una Fuerza alrededor de un Punto

Concepto Clave

El momento de una fuerza alrededor de un punto es un vector.

Sea a la distancia perpendicular de un punto de referencia O a la línea de acción de la

fuerza F (figura 5.6). El momento de la fuerza F alrededor del punto O se define como el

vector M con magnitud aF. El vector M se define como perpendicular al plano Q

determinado por la fuerza F y el punto O. El sentido del vector M se define por la regla de

la mano derecha.

Fig. 5.6

Denote por r el vector de posición del punto de referencia O al punto P sobre la línea de

acción de la fuerza F (Fig. 5.6). Entonces, las condiciones de la definición antes dada se

satisfacen por la ecuación vectorial

M = r X F (5.11)

Si se desliza la fuerza F a lo largo de su línea de acción, no se cambia su momento

alrededor del punto O (Fig. 5.6). En consecuencia, r puede definirse como el vector que va

del punto O a cualquier punto de la línea de acción de F.

En la teoría de las fuerzas coplanares (ítem 4.1), el momento de una fuerza alrededor de un

punto se define como un escalar. Esto resulta adecuado en los problemas en el plano porque

3

si el vector de fuerza F y el punto de referencia O se encuentran en el plano xy, el vector

momento M es perpendicular a ese plano. Su dirección siempre se conoce, de modo que

puede describirse por completo como un escalar. Sin embargo, en tres dimensiones, el

momento de una fuerza alrededor de un punto se interpreta como un vector. Por tanto, el

momento se especifica tanto por su magnitud como por su dirección.

Desde el punto de vista físico, el momento de una fuerza alrededor de un punto puede

considerarse como el efecto de rotación que la fuerza tiende a producir sobre un cuerpo

rígido que tiene fijo el punto O. La magnitud del momento es una medida de este efecto y

la dirección del mismo corresponde al eje y sentido de la rotación que tiende a producir.

Momento de una fuerza alrededor del origen

Si el punto de referencia O de la figura 5.6 es el origen de coordenadas rectangulares y las

coordenadas del punto P son (x, y, z), el vector r queda dado por r = xi + yj + zk. Entonces,

en vista de las ecuaciones (5.11) y (5.9), el vector momento M alrededor de O se determina

por la ecuación

M = r X F =

zyx FFF

zyx

kji

(5.12)

De modo alternativo, se puede escribir

M = Mxi + Myj + Mzk (5.13)

donde, por el desarrollo del determinante de la ecuación (5.12), las proyecciones Mx, My y

Mz de M sobre los ejes xyz quedan dadas por

Mx = yFz - zFy

My = zFx - xFz

Mz = xFy - yFx

4

Ejemplo 2 Momento de una fuerza alrededor de un punto

Planteamiento del problema La línea de acción de la fuerza

F = 10i – 10j + 20k (a)

Pasa por el punto P: (4, 2, -2), con relación a los ejes xyz (la fuerza en kips y las

dimensiones es pies).

a) Determine el momento MA de F alrededor del punto A: (2, 3, -1).

b) Determine las proyecciones de MA sobre los ejes xyz.

Solución a) En primer lugar, determínese el vector r que va del punto A al P:

r = 2i – j - k

Entonces, a partir de las ecuaciones (a) y (b),

MA = r X F (b)

201010

112

kji

(c)

= -30i – 50j – 10k

b) Por la ecuación (c), las proyecciones de MA sobre los ejes xyz son

Mx = -30 kip ft

My = -50 kip ft

Mz = -10 kip ft

5.3 Momento de una Fuerza alrededor de un Eje

Concepto Clave

El momento de una fuerza alrededor de un eje es una cantidad escalar

5

El momento de una fuerza alrededor de un eje perpendicular al plano de la fuerza se definió

en el ítem 4.1. Una generalización de esta idea hacia fuerzas no coplanares resulta útil. Esta

generalización se obtiene como sigue:

Sea F una fuerza que actúa sobre un cuerpo rígido. Sea z cualquier eje o recta dirigida en el

espacio. Si la línea de acción de la fuerza F no se intercepta con el eje z, existe un segmento

rectilíneo OP que es perpendicular tanto a la línea como al eje (figura 5.7a). La longitud r

del segmento rectilíneo OP es la distancia mínima entre la línea y el eje. Esta distancia se

llama brazo del momento de la fuerza F con respecto al eje z. Es un número no negativo.

Por el teorema de transmisibilidad, se puede desplazar la fuerza F a lo largo de su línea de

acción hasta el punto P. Allí, se puede resolver en dos componentes, Fz y Fn paralela y

perpendicular, respectivamente, al eje z (Fig. 5.7b). El momento Mz de la fuerza F

alrededor del eje z se define por la ecuación

Mz = rFn (5.14)

donde Fn es la magnitud de la fuerza Fn. Así, el momento de una fuerza alrededor de un eje

es un escalar; es decir, una magnitud con signo. Advierta que si r = 0, la fuerza F se

intercepta con el eje z. De esta manera, Mz = 0.

Fig. 5.7 Fig. 5.8 a) Regla del tornillo derecho. b) Regla

de la mano derecha demostrada con esa mano.

Por definición (ecuación 5.14), la fuerza Fz, la cual es paralela al eje z, no ejerce momento

alrededor de ese eje. Para establecer el signo en la ecuación (5.14), se especifica que Mz sea

positivo si el vector Fn causa una rotación alrededor del eje z en el sentido que se haría girar

6

un tornillo derecho, de modo que avance en la dirección z positiva. (ver teorema 5.2 y la

figura 5.8a). De modo alternativo, es posible visualizar la regla del tornillo derecho como

sigue: Imagine el alumno que agarra el eje z con su mano derecha, con el pulgar apuntando

en el sentido positivo del eje, como se muestra en la figura 5.8b. Sus otros dedos se

enrollarían entonces alrededor del eje z en el sentido positivo de la rotación.

Fig. 5.9

Considere ahora los momentos de la fuerza F alrededor de los ejes xyz. Denótense estos

momentos por Mx, My y Mz, respectivamente. La fuerza F puede resolverse en las

componentes (Fxi, Fyj, Fzk), paralelas a los ejes x, y y z, respectivamente. En la figura 5.9,

se ve que el momento de la fuerza Fzk alrededor del eje x es +yFz, donde P: (x, y, z) es el

punto de aplicación de la fuerza F. De modo semejante, el momento Fyj alrededor del eje x

es -zFy El momento de la fuerza Fxi, alrededor del eje x es cero, ya que el vector Fxi es

paralelo a ese eje. De manera que, por el teorema de Varignon, el momento de la fuerza F

alrededor del eje x es Mx = yFz – zFy Los momentos de la fuerza F alrededor de los ejes y y

z se deducen de manera similar. Por lo tanto, los momentos Mx, My y Mz de la fuerza F

alrededor de los ejes de coordenadas xyz se expresan por

Mx = yFz – zFy

My = zFx – xFz (5.15)

Mz = xFy – yFx

Al aplicar las ecuaciones (5.15), deben tomarse en cuenta los signos de las coordenadas (x,

y, z) del punto de aplicación de F y de las proyecciones Fx, Fy y Fz (Fig. 5.9). Las

ecuaciones (5.15) son las tridimensionales análogas de la ecuación (4.3).

7

Se pueden escribir las ecuaciones (5.15) en la notación de determinantes (ecuación 5.8):

Mx = zy FF

zy My =

xz FF

xz Mz =

yx FF

yx (5.16)

Momento de un fuerza alrededor de una recta con cosenos directores especificados

Como se demostró (ver ecuación 5.14), el momento de una fuerza alrededor de un eje o de

una recta dirigida es un escalar. El método usado con anterioridad para calcular el momento

requirió que la fuerza F se resolviera en las dos componentes Fz y Fn paralela y

perpendicular al eje, respectivamente. A continuación, se presenta un método alternativo

para calcular el momento de una fuerza alrededor de un eje o una recta dirigida.

Suponga que se desea hallar el momento ML de la fuerza F alrededor de un eje o de una

recta dirigida L (figura 5.10). Para que ML no sea cero, la línea de acción de F no debe

interceptarse con L ni ser paralela a ésta. Para no perder la generalidad, suponga que L se

encuentra en el plano xy y pasa por el origen O de los ejes xyz. Trasládese también F a lo

largo de su línea de acción, de modo que se intercepte con el plano xy en el punto P. Sea n

un vector unitario en la dirección de L; el sentido de n es arbitrario. Sea r un vector que va

del punto de referencia O hasta el punto P. El vector de fuerza F forma un ángulo con la

recta S, la cual es normal al plano xy (Fig. 5.10). Entonces, la proyección Fs de F sobre S es

Fs = Fcos

La distancia perpendicular de L al punto P es rsenθ, donde θ es el ángulo entre r y L. Por

tanto, el momento de F alrededor de L es (ver ecuación 5.14)

ML = ±Fs(rsenθ) = ±(Fcos )(rsenθ) = ±F(rsenθ) cos (a)

Fig. 5.10

8

Se observa que el producto vectorial n X r es un vector que tiene la magnitud rsenθ y está

dirigido perpendicular al plano xy. Por lo tanto, en vista de la ecuación (a) y las propiedades

del producto escalar, el momento ML de la fuerza F alrededor de L es

ML= F (n X r) (5.17)

El signo de ML, determinado por la ecuación (5.17), es coherente con el signo especificado

al usar la regla del tornillo derecho.

La expresión F (n X r) se llama triple producto escalar de los vectores F, n y r. A veces

usa el término triple producto mixto para indicar que, en la ecuación (5.17), se tienen tanto

un producto vectorial como uno escalar. Con referencia a un sistema de coordenadas

cartesianas rectangulares, el vector n X r tiene las proyecciones siguientes sobre los ejes

xyz:

proyección x: nyrz – nzry

proyección y: nzrx – nxrz (b)

proyección z: nxry – nyrx

En consecuencia, con las ecuaciones (b) y (5.3), la ecuación (5.17) da

ML = Fx(nyrz – nzry) + Fy(nyrz – nzry) + Fz(nxry – nyrx) (c)

La ecuación (c) se expresa de manera más compacta por medio de la notación de

determinantes, como sigue:

ML= F (n X r)=

zyx

zyx

zyx

rrr

nnn

FFF

(5.18)

Formas alternativas para expresar el momento de una fuerza alrededor de una recta

Si se intercambian dos filas de un determinante, sólo se cambia el signo de éste. No se

afecta su magnitud. Por lo tanto, dos intercambios consecutivos de dos de las filas de un

determinante ¿no lo alteran? Por consiguiente, la ecuación (5.17) puede expresarse en

cualquiera de las diversas formas siguientes:

9

ML= F (n X r) (5.19a)

ML= r (F X r) (5.19b)

ML= n (r X F) (5.19c)

Las fórmulas para los momentos de una fuerza alrededor de los ejes de coordenadas

(ecuaciones 5.15) son casos especiales de las ecuaciones (5.18) y (5.19). Por ejemplo, si la

recta L es el eje x y si el punto O es el origen, entonces nx = 1, ny = nz = O, y rx = x, ry = y, rz

= z. De esta manera, por la ecuación (5.18) o la (5.19a),

yz

zyx

x zFyF

zyx

FFF

M 001

Este resultado concuerda con las ecuaciones (5.15). De modo alternativo, por la ecuación

(5. 19b),

yz

zyx

x zFyF

zyx

FFF

M 001

De modo análogo, la ecuación (5.19c) conduce al mismo resultado.

En el ítem 5.2, el momento de una fuerza F alrededor del punto O se definió por la

ecuación M = r X F. Entonces, por la ecuación (5.19c), el momento de la fuerza F

alrededor de L es

ML = n (r X F) = n M

Este resultado conduce al teorema siguiente.

Teorema 5.3

El momento de una fuerza F alrededor de una recta L es igual a la proyección del vector

momento M = r X F sobre L, donde M es el momento de la fuerza F alrededor de

cualquier punto sobre L.

1

Curso: Estática Aplicada (3271). Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles.

Profesor: Mauricio Muñoz P. / Ayudante: Eduardo Hurtado

Clase: 11 (08/05/07)

Ejemplo 3 Momento de una fuerza alrededor de una recta

Planteamiento del problema Una fuerza (en kilonewtons) se define por F = 1.0i + 0.5j +

2.5k. Con el metro como la unidad de longitud, la fuerza F actúa en el punto Q: (2.0, 2.25,

1.0). Una recta L, con los cosenos directores (nx, ny, nz) = (0.316, -0.316, 0.895), pasa por

el punto P: (-1.25, 0.75, 0.50). Determine el momento ML de F alrededor de L.

Solución Sea r el vector que va del punto de referencia P sobre L hasta el punto Q.

Entonces, r = 3.25i + 1.50j + 0.50k. De esta manera, por la ecuación (5.18), se obtiene el

momento ML de F alrededor de L como

ML = F (n X r)

mkN 63.3

50.050.125.3

895.0316.0316.0

50.250.000.1

5.4 Representación Vectorial de Pares

En el ítem 4.3 se definió un par. En el ítem 4.4, se definieron las propiedades de los pares y

se obtuvo la resultante de varios pares que se encuentran en un plano o en planos paralelos.

En esta sección se ampliará el estudio de los pares hacia tres dimensiones. En particular,

una vez más se observa que un par se puede desplazar de modo arbitrario en su plano, a

diferencia del momento de una fuerza, el cual depende del punto O alrededor del cual se

toma (ver ítem 5.2). En el ítem 5.2, se demostró que el momento de una fuerza alrededor de

un punto O es un vector. En esta sección se demostrará que un par también es un vector.

La dirección de un par es la dirección perpendicular a su plano. Las propiedades de un par,

-su magnitud, dirección y sentido- se puede representar por una flecha con doble punta. En

la figura 5.11 se ilustra la representación vectorial de un par. El vector M que representa el

2

par es perpendicular al plano de éste. La magnitud del vector M es M = aF. El sentido de

un vector M debe relacionarse con el sentido del par. Para hacer esto, se aplica la regla de

la mano derecha: El sentido de M es aquél en el que un tornillo derecho avanza cuando se

le hace girar en el sentido indicado por el par. (Ver ítem 5.3 y la figura 5.8 en relación con

las dos interpretaciones de la regla del tornillo derecho y de la mano derecha.)

Fig. 5.11 Representación vectorial de un par

Concepto clave

Un par es u vector libre

Dado que un par se puede desplazar de manera arbitraria en su plano, el vector M no tiene

un punto definido de aplicación. Asimismo, M se puede desplazar en forma axial, dado que

el plano de un par se puede desplazar paralelo a sí mismo. En consecuencia, se puede

desplazar el vector M hacia cualquier parte, siempre que no se cambie su dirección ni su

sentido. Por lo tanto, un par es un vector libre (ítem 2.4).

Para verificar que los pares son cantidades vectoriales, se debe probar que se combinan por

la regla del paralelogramo. En primer lugar, considere los dos pares M1 y M2 que se

encuentran en los planos paralelos A y B (figura 5.12). Suponga que los brazos de los pares

tienen la misma longitud, ya que las longitudes de los brazos son ajustables (ver ítem 4.4).

Los pares se pueden mover hasta un plano común C, en donde las fuerzas de los pares se

pueden alinear entre sí. Dado que sus fuerzas se combinan en forma algebraica, los pares se

pueden sumar para obtener un solo par. Los vectores fuerzas que se combinan tienen las

mismas líneas de acción, de modo que, en este caso, la adición algebraica es equivalente a

la adición vectorial.

3

Fig. 5.12 Pares en los planos paralelos A y B

Si los dos pares M1 y M2 no se encuentran en planos paralelos, sus planos deben

interceptarse. Desplace los pares en sus planos respectivos de modo que tengan un brazo

común PQ que se encuentre sobre la línea de intersección de los dos planos (Fig. 5.13a).

Suponga que la longitud del brazo es a. Por tanto, el par M1 consta de las fuerzas F1 y –F1

con brazo de palanca a; del mismo modo, el par M2 consta de las fuerzas F2 y –F2 con

brazo de palanca a. Por la construcción del paralelogramo, las fuerzas F1 y F2 en el punto P

se combinan para formar una resultante F. Del mismo modo, las fuerzas –F1 y –F2 en el

punto Q proporcionan la resultante -F. Las fuerzas F y -F en los puntos P y Q,

respectivamente, constituyen el par resultante M.

Para ver que la resultante de pares no coplanares se obtiene por adición vectorial de los

pares, observe el paralelogramo de fuerzas ortogonalmente en el punto P, como se indica

por el ojo en la figura 5.13a. La vista ortogonal se representa por la figura 5.13b. Por

definición, los pares M1 y M2 (Fig. 5.l3b) son perpendiculares a los vectores fuerzas F1 y

4

F2. En consecuencia, los ángulos del paralelogramo PABC son respectivamente iguales a

los ángulos del paralelogramo PXYZ. También, por definición, las magnitudes de M1 y M2

son aF1 y aF2 respectivamente. Por lo tanto, los paralelogramos PABC y PXYZ son

semejantes. Por consiguiente, M es perpendicular al vector F y su magnitud M es aF. Por la

construcción del paralelogramo de los vectores (Fig. 5.13b), M = M1 + M2, y está formado

por las fuerzas F y –F, con un brazo del par a. Con esto queda demostrado que los pares

son cantidades vectoriales.

Fig. 5.13

Ejemplo 4 Pares coplanares y un trineo de propulsión a chorro

Planteamiento del problema Un trineo experimental de propulsión a chorro que pesa 14

kN se mueve a velocidad constante a lo largo de una vía (figura a). La fuerza de resistencia

D debida al viento y a la fricción es equilibrada por el empuje T del chorro, y el peso W del

trineo es equilibrado por la reacción vertical N de la vía. Si el empuje T requerido para

propulsar el trineo a velocidad constante es de 1.4 kN, determine el par de reacción MS que

la vía ejerce sobre dicho trineo.

Solución Puesto que el trineo se mueve a velocidad constante a lo largo de la vía, T = D =

1.4 kN y N = W = 14 kN. Los pares debidos a las fuerzas T y D y a las fuerzas N y W son

MTD = (0.30)(1.4)(-k) = -0.42k

MNW = (1.5)(14)(k) = 21.0k (a)

Por lo tanto, dado que el trineo está en equilibrio,

5

MS + MTD + MNW = 0 (b)

o bien, con las ecuaciones (a) y (b),

MS = -MTD – MNW = -20.58k kNm

(a)

Ejemplo 5 Resultante de un sistema de pares no coplanares

Planteamiento del problema Se diseña una barra rígida en T para transmitir cargas a una

estructura de apoyo O. Se aplican varias fuerzas a la barra en T, como se muestra en la

figura (a) (no se muestra la estructura de apoyo). Determine la fuerza y el par resultantes

transmitidos a la estructura O.

Fig. (a)

6

Solución Advierta que las fuerzas aplicadas en A, B, C y D son equivalentes a tres pares.

Las magnitudes de las fuerzas son F1 = 2 kips, F2 = 3 kips, F3 = 1.5 kips. Por lo tanto, las

magnitudes de los momentos de los tres pares son M1 = (10)(2) = 20 kipft, M2 = (20)(3) =

60 kipft, y M3 = (20)(1.5) = 30 kipft. Los vectores M1, M2 y M3 que representan los tres

pares tienen las magnitudes M1, M2 y M3 y están dirigidos a lo largo del eje x negativo, el

eje y positivo y el eje z positivo, respectivamente (Fig. b). Ya que los pares son vectores

libres, pueden moverse hasta un punto común; digamos, el origen O. Entonces, se pueden

sumar en forma vectorial. El vector resultante es M = M1 + M2 + M3 (Fig. c). Las

proyecciones (x, y, z) de este vector son Mx = 20 kipft, My = 60 kipft, Mz = 30 kipft. Por el

caso 1 del ítem 5.1, la magnitud del par resultante se calcula como sigue:

M M = M2 = (-20i + 60j + 30k) (-20i + 60j + 30k)

= (-20)2 + 60

2 + 30

2 = 4900

o M = 70 kipft. En forma vectorial, el par resultante es

M = -20i + 60j + 30k

(b) (c)

Los cosenos directores del par resultante son, por la ecuación (2.1),

28571.070

20cos

M

M x

85714.070

60cos

M

M y

42857.070

30cos

M

M z

1coscoscos 222

7

y los ángulos de dirección son α = 106.60°, β = 31.00° y = 64.62°.

Por último, por la figura (a), la fuerza resultante F es cero; es decir,

F = (0)i + (F3 – F3)j + (F1 – F1 + F2 – F2)k = 0

5.5 Representación de un Par como Producto Vectorial

Concepto clave

Un par M se puede representar por el producto vectorial M = r X F

Suponga que un par está determinado por las fuerzas -F y F que actúan en los puntos P y Q.

Denote por r el vector que va del punto de referencia P hasta el Q, como se muestra en la

figura 5.14a. A partir de la figura 5.14a, se ve que la magnitud del momento del par es

M = Fa = Fr senθ (a)

Fig. 5.14

En el ítem 5.4 se demostró que el par M es un vector, con magnitud igual al momento del

par y con dirección perpendicular al plano de las fuerzas de éste. El sentido de un par se

determina por la regla del tornillo derecho. Por lo que, en vista de la ecuación (a) y las

propiedades del producto vectorial (ítem 5.1), el par M representado en la figura 5.14a

queda determinado por la ecuación vectorial

M = r X F (5.20)

8

Observe que el vector r se traza desde el punto de aplicación de la fuerza -F (punto P) hasta

el de la fuerza F (punto Q). Este convenio se aplica sin importar las designaciones de los

signos de los vectores fuerzas. Si la figura 5.14a se reemplaza por la 5.14b, el sentido de M,

según se determina por la ecuación (5.20), no se altera. Note que, en la figura 5.14b, el

vector r se traza una vez más del punto de aplicación de -F (ahora punto Q) al de F (ahora

punto P). En general, los puntos P y Q pueden ubicarse en cualquier parte sobre las líneas

de acción de las fuerzas.

Puesto que un par es un vector, se puede resolver en componentes paralelas a los ejes de

coordenadas. Las proyecciones (x, y, z) de un par M se denotan por Mx, My y Mz. Por tanto,

M = Mxi + Myj + Mzk (b)

Por las ecuaciones (5.15) y (5.20) se demuestra con facilidad que Mx, My y Mz son idénticas

a los momentos de las fuerzas del par alrededor de los respectivos ejes de coordenadas. Por

ejemplo, si el punto P de la figura 5.14a se toma como el origen de los ejes de coordenadas

xyz y el punto Q se ubica en (x, y, z), r = xi + yj + zk. Entonces, la ecuación (5.20) en forma

de determinante es

M =

zyx FFF

zyx

kji

(5.21)

donde Fx, Fy y Fz son las proyecciones (x, y, z) de F. El desarrollo de la ecuación (5,21) da

M = (yFz — zFy)i + (zFx – xFz)j + (xFy – yFx)k (c)

Al comparar las ecuaciones (b) y (c) da (ver también ecuación 5.15)

Mx = yFz - zFy

My = zFx – xFz

Mx = xFy – yFx

Ejemplo 6 Representación de un par como producto vectorial

Planteamiento del problema Un par consta de una fuerza F que actúa en el punto (2, 9, 7)

y una –F que actúa en el punto (-5, 1, -2). La fuerza F se da por la ecuación F = 100i +

300j – 500k (unidades en libras y pies).

9

a) Defina el vector r que va del punto de referencia (-5, 1, -2) al punto (2, 9, 7).

b) Exprese el par formado por las fuerzas F y –F en forma de determinante.

c) Exprese el par en términos de los vectores unitarios i, j, k.

Solución a) El vector r se determina como sigue:

r = [2 – (-5)]i + (9-1)j + [7 – (-2)]k = 7i + 8j + 9k

b) Por la ecuación (5.20), el par es M = r X F. De manera que, por la ecuación (5.21),

M =

500300100

987

kji

(a)

c) El desarrollo de la ecuación (a) da

M = -6700i + 4400j + 1300k

O bien Mx = -6700 lbft

My = +4400 lbft

Mz = +1300 lbft

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Curso: Estática Aplicada (3271). Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles.

Profesor: Mauricio Muñoz P. / Ayudante: Eduardo Hurtado

Clase: 12 (11/05/07)

5.6 Composición de Fuerzas que actúan sobre un Cuerpo Rígido

Concepto clave

Un sistema de fuerzas tridimensionales se puede resolver en una sola fuerza y un par

resultante dinámicamente equivalentes.

Fig. 5.15

Sea la fuerza F aquella que actúa en un punto P de un cuerpo rígido (figura 5.15a). No se

producen efectos dinámicos al agregar las fuerzas autoequilibrantes F y -F en otro punto O.

La fuerza F en el punto P y la fuerza -F en el punto O constituyen un par, Mc = r X F,

donde r es el vector distancia que va del punto de referencia O al P (ver figura 5.15a y la

ecuación 5.20). Por tanto, mediante esta técnica, la fuerza F en el punto P se transfiere al

punto O y se introduce un par de compensación Mc (Fig. 5.15b). Esta transformación es la

análoga tridimensional de un procedimiento que se empleó en el análisis de las fuerzas

coplanares (ítem 4.5). Ahora se puede ver que cualquier número de fuerzas, F1, F2,…. que

actúan sobre un cuerpo rígido se pueden transferir hasta un punto común O, siempre que se

introduzcan los pares de compensación r1 X F1, r2 X F2, . . . Los vectores r1, r2,… son

aquellos que van del punto de referencia O hasta los puntos originales de aplicación de las

fuerzas F1, F2,… respectivamente.’ Las fuerzas F1, F2,…, al ser concurrentes en el punto O,

se pueden sumar en forma vectorial para proporcionar una sola resultante F:

F = F1 + F2 + ….. (5.22)

2

En este caso, se supone que F 0. Los pares se pueden sumar vectorialmente para obtener

un solo par de compensación Mc:

Mc = r1 X F1 + r2 X F2 + … (5.23)

Por la ecuación (5.23), se ve que Mc depende del punto de referencia O, ya que los vectores

r1, r2, . . . emanan de este punto. En consecuencia, se tiene el siguiente teorema:

Teorema 5.4

Cualquier número de fuerzas, F1, F2,….., que actúan sobre un cuerpo rígido se pueden

transformar en un sistema equivalente, consistente en una sola fuerza F que actúe en un

punto arbitrario O y un solo par de compensación Mc. La fuerza F y el par de

compensación Mc se determinan por las ecuaciones (5.22) y (5.23), respectivamente. El

par Mc es el momento de las fuerzas F1, F2,…. Alrededor del punto O. Para F0, el

momento Mc depende del punto O.

Fuerzas con resultante cero

Al principio, en esta sección, se vio que a la resultante F de las fuerzas F1, F2,. . . que

actúan sobre un cuerpo rígido se le puede asignar un punto arbitrario de acción O, pero que

el par de compensación Mc depende de la ubicación de ese punto O, si F 0. Demostremos

ahora que, si F = 0, el par de compensación Mc no depende de la ubicación del punto O.

Fig. 5.16

3

Para demostrar esto, en primer lugar suponga que r1, r2,. . . son los vectores que van del

punto arbitrario de referencia O a los puntos de aplicación de las fuerzas F1, F2,…

Asimismo, suponga que R1, R2,…son los vectores que van de un segundo punto arbitrario

de referencia P a los puntos de las mismas fuerzas (ver figura 5.16). Denote por el vector

que va del punto de referencia O al P. Entonces, r1 = a + R1, r2 = a + R2,… También, el par

de compensación de las fuerzas con relación al punto de referencia O es Mc = r1 X F1 + r2

X F2 + ….De esta manera

Mc = (a + R1) X F1 + (a + R2) X F2 + ......

Al agrupar los términos, se puede escribir

Mc = a X (F1 + F2 +....) + (R1 X F1 + R2 X F2 +… .) (a)

Sin embargo, la hipótesis inicial fue que F = F1 + F2 +… = 0. Asimismo, el momento de las

fuerzas alrededor del punto P es Mp = R1 X F1 + R2 X F2 +…. Por consiguiente, por la

ecuación (a), Mc = Mp. Dado que el punto P es arbitrario, el par de compensación Mc es el

mismo para cualquier punto. En consecuencia, se tiene el teorema siguiente:

Teorema 5.5

Si la suma vectorial de un conjunto de fuerzas es cero, las fuerzas ejercen el mismo

momento alrededor de todos los puntos.

Ejemplo 7 Composición de fuerzas no coplanares

Planteamiento del problema Un cuerpo rígido se sujeta a las fuerzas F1 = 2i + 2j + 4k,

F2 = 7i + 6j - 4k y F3 = -5i - 4j + 7k en los puntos (8, 10, 4),(-5, 1, 7) y (6, -11, -2),

respectivamente. La unidad de fuerza es el kilonewton y la de longitud es el metro.

Determine la magnitud y la dirección de una sola fuerza F que actúe en el punto (4, 5, 6) y

un par de compensación Mc que sean dinámicamente equivalentes al sistema dado de

fuerzas.

4

Solución Para resolver este problema, se suman las fuerzas F1, F2 y F3 para obtener la

fuerza resultante F = +2i + 2j + 4k

F1 = +2i + 2j + 4k

F2 = +7i + 6j - 4k (a)

F3 = -5i - 4j + 7k

F = 4i + 4j + 7k (b)

Ahora, por la ecuación (b), se determinan la magnitud y la dirección de F como

F2 = 4

2 + 4

2 + 7

2 = 81

F = 9 kN

y cosα = 4/9 = 0.444 cosβ = 4/9 = 0.444 cos = 7/9 = 0.777

es decir, α = β = 63.61° y = 38.94°. Como comprobación, observe que cos2α + cos

2β +

cos2 = 1.

En seguida, se coloca F en el punto de referencia (4, 5, 6), manteniendo su magnitud y

dirección originales. Recuerde que el par Mc depende del punto de referencia del momento.

Por lo tanto, para determinar el momento Mc, se forman los vectores de distancia r1, r2 y r3,

que van del punto de referencia (4, 5, 6) hasta los puntos iniciales de aplicación de las

fuerzas F1, F2 y F3, y se suman los momentos de estas fuerzas para obtener el momento

resultante Mc. Por tanto,

r1 = +4i + 5j - 2k

r2 = -9i – 4j + k (c)

r3 = +2i – 16j – 8k

Entonces, por las ecuaciones (a), (c) y (5.23),

Mc = (r1 X F1 + (r2 X F2 + (r3 X F3) (d)

Por las ecuaciones (d) y (5.9), en flotación de determinantes, se tiene

5

Mc =

745

8162

467

149

422

254

kjikjikji

(e)

El desarrollo de la ecuación (e) da

Mc = -110i - 23j - 116k

Por lo tanto, Mx = -110kNm My = -23kNm Mz = -116kNm

5.7 Eje Resultante y la Llave

En ejemplos de la unidad 4, un sistema de fuerzas coplanares se redujo a una sola fuerza

que actúa en un punto en particular, de modo que el par resultante sea cero. En esta sección

se generaliza el concepto de eje resultante hacia tres dimensiones. Sin embargo, en los

problemas tridimensionales, en general no se puede hallar un eje resultante tal que el par

resultante sea cero. Lo mejor que se puede hacer es ubicar la fuerza resultante de modo que

la magnitud del par resultante sea un mínimo.

Varias fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido se pueden resolver en una fuerza F y un

par de compensación Mc dinámicamente equivalentes. Una vez que se ha seleccionado una

línea de acción de F, ésta se representa por un vector deslizante y el par de compensación

se representa un vector libre (ver ítem 5.4). Si F0, el par de compensación depende del

punto O arbitrariamente seleccionado sobre la línea de acción de F. Si F = O, el par de

compensación es independiente de O; es decir, las fuerzas ejercen el mismo momento

alrededor de todos los puntos (ver ítem 5.6 y el teorema 5.5).

Considere una situación en la que se ha resuelto un sistema de fuerzas en una fuerza

resultante F que actúa en un punto de referencia O y un par resultante M. Este par M es la

suma de todos los pares que se encuentran en el sistema más el par de compensación

requerido para transferir esas fuerzas en el sistema hacia el punto O. Puesto que M es un

vector libre, su línea de acción se puede mover hasta que se intercepte con la de F.

Entonces, el plano determinado por estas dos rectas contiene tanto a F como a M (figura

5.17). Se procede al resolver los pares en las dos componentes Mp y Mn las cuales son

6

paralela y normal a F, respectivamente. En el caso de los sistemas de fuerzas coplanares

(unidad 4), todas las fuerzas se encuentran en el plano y los vectores asociados de los pares

son normales a ese plano y, por lo tanto, normales a las fuerzas. En ese caso, sólo existió

Mn.

Por el teorema de transmisibilidad, el par M no se altera cuando la fuerza F se desplaza

largo de su línea de acción. Por ello, sólo los desplazamientos de la fuerza F influyen sobre

M.

Fig. 5.17 Fig. 5.18

Suponga que los vectores F y M se encuentran en el plano de la hoja (Fig. 5.18). Se puede

desplazar la fuerza F de modo lateral en el plano de la hoja introduciendo las fuerzas

autoequilibrantes F y -F en un punto arbitrario de referencia O en el propio plano (Fig.

5.18), como se explicó en el ítem 5.6. El par de compensación que se introduce por esta

transformación se representa por un vector perpendicular al plano de la hoja y, por tanto,

perpendicular a M. Si se combina vectorialmente este par con M, se obtiene un par de

magnitud mayor que la de M. Por lo tanto, no se puede reducir la magnitud del par M por

un desplazamiento lateral de la fuerza F en el plano de la hoja.

Si se desplaza la fuerza F lateralmente en la dirección perpendicular al plano de la hoja, el

par de compensación se representa por un vector en la misma dirección que la del vector

Mn. Se puede elegir el sentido del desplazamiento de modo que el par de compensación

contrarreste el par Mn (Para el caso ilustrado en la figura 5.17, la fuerza F debe de moverse

alejándose del lector, hacia adentro del plano de la página, para contrarrestar Mn.) Si la

magnitud del desplazamiento es r = Mn/F, el par Mn se cancela por completo y sólo queda

7

el par Mp Entonces, el vector M = Mp es paralelo a F y su magnitud es un mínimo, ya que

un desplazamiento de la fuerza F nunca puede cambiar el par Mp

Concepto clave

Cuando se ubica la línea de acción de la resultante F de un sistema de fuerzas de modo que

F y el par resultante M sean paralelos, se dice que F se encuentra sobre el eje resultante del

sistema de fuerzas

Con base en estas consideraciones, se concluye que se puede ubicar la línea de acción de la

fuerza F de modo que ésta y el par M sean paralelos. Entonces, la magnitud del par M es

un mínimo. Esto se conoce como condición de paralelismo. En esta condición, se dice que

la fuerza F se encuentra sobre el eje resultante del sistema de fuerzas. El sistema de fuerzas

paralelas (par M y fuerza F) se llama llave. Además, dado que M es un vector libre, se le

puede colocar de modo que su línea de acción coincida con la de F (ver figura 5.19).

Fig. 5.19

Se puede usar la técnica anterior para ubicar el eje resultante de un sistema de fuerzas con

relación a las coordenadas rectangulares (x, y, z). De modo alternativo, se puede determinar

el eje resultante por la ecuación vectorial F X M = 0, lo cual significa que el eje resultante

es paralelo al vector M.

1

Curso: Estática Aplicada (3271). Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles.

Profesor: Mauricio Muñoz P. / Ayudante: Eduardo Hurtado

Clase: 13 (15/05/07)

Unidad 5 (continuación)

Ejemplo 8 Eje resultante de un sistema de fuerzas

Planteamiento del problema La fuerza F = l0i - 5j + 8k actúa sobre un cuerpo rígido en

el punto (3, 2, -5). El cuerpo también está sujeto a un par Mo = l20i + 60j - 80k. Las

unidades son libras y pies.

a. Reemplace este sistema de fuerzas por un sistema dinámicamente equivalente que conste

de la fuerza F en el punto (a, b, 0) y un par M = Mo + Mc, en donde Mc es el par de

compensación requerido para transferir F del punto (3, 2, -5) hasta el punto (a, b, 0).

b. Escriba la forma determinada de la condición de paralelismo para los vectores F y M -a

saber, F X M = 0 -para obtener una ecuación vectorial que relacione a con b. Entonces,

determine los cosenos directores del eje resultante.

c. Transforme la ecuación vectorial obtenida en el inciso b en forma escalar y resuelva dos

de las tres ecuaciones algebraicas resultantes para las constantes a y b.

d. Demuestre que, de esta manera, la tercera ecuación se satisface automáticamente.

Solución a. Para resolver este problema, en primer lugar mueva la fuerza F hasta el punto

(a, b, 0). En seguida, determine el par de compensación requerido para este movimiento.

Para hacer esto, se forma el vector r que represente el brazo del momento de la fuerza F de

(a, b, 0) hasta (3, 2, -5) (ver ítem 5.6 y la figura 5.15a). A continuación se calcula el par de

compensación Mc= r X F. Por último se determina el par requerido M = Mo + Mc.

Si se sigue el método antes descrito, se encuentra r = (3-a)i + (2-b)j + (-5)k. Entonces, por

la ecuación (5.9)

2

Mc = r X F =

8510

5)2()3(

ba

kji

(a)

= -(8b+9)i + (8a-74)j + (5a + 10b -35)k

Por lo tanto, con Mo y la ecuación (a) se tiene

M = Mo + Mc = -(8b-111)i + (8a-14)j + (5a+10b-115)k (b)

De esta manera, el par M, dado por la ecuación (b), y la fuerza F en el punto (a, b, 0)

constituyen el sistema dinámicamente equivalente de fuerzas.

b) De la ecuación (b), con F, se tiene

F X M = 0

)115105()148()8111(

8510

baab

kji

(c)

O bien, por el desarrollo de la ecuación (c), se puede escribir

(687-89a-50b)i + (2038-50a-164b)j + (415+80a-40b)k = 0 (d)

La ecuación (d) representa la condición de paralelismo para los vectores F y M. Por tanto,

el eje resultante del sistema de fuerzas es paralelo al vector M y pasa por el punto (a, b, 0).

Los números de dirección del eje resultante quedan dados por las proyecciones (x, y, z) de

F; es decir, por (20, -5, 8). Por lo que, los cosenos directores y los ángulos de dirección del

eje resultante son

7274.08510

10cos

222

; α=43.33°

3637.08510

5cos

222

; β=111.33° (e)

3

5819.08510

8cos

222

; =54.41°

c) En forma escalar, la ecuación (d) es

89a + 50b = 687 (f)

50a + 164b = 2038 (g)

80a- 40b = -415 (h)

De las ecuaciones (f) y (g) se encuentra

a = 0.8902 ft

b = 12.155 ft (i)

Por lo tanto, el eje resultante pasa por el punto (0.8902, 12.155, 0) en la dirección dada por

α, β, y de las ecuaciones (e).

Por las ecuaciones (b) e (i), el par M es

M = 13.76i – 6.88j + 11.0k [lbft] (j)

Con la ecuación (j), se puede verificar que los cosenos directores de M son los mismos que

los de F [ecuaciones (e)], ya que M y F son paralelos.

d) La sustitución de las ecuaciones (i) en la (h) verifica, dentro del orden de exactitud del

cálculo, que esta última se satisface. Es decir,

80 (0.8902) – 40 (12.155) = -414.98 -415

5.8 El Principio Fundamental del Equilibrio de un Cuerpo Rígido.

Concepto Clave

Un cuerpo rígido inmóvil está en equilibrio si, y sólo si, la fuerza y el par resultantes que

actúan sobre el mismo son cero.

4

Recuerde que si la fuerza resultante es cero, el par resultante es independiente del punto de

referencia O (teorema 5.5). En consecuencia, se puede enunciar el principio fundamental

del equilibrio de cuerpo rígido en la forma del teorema siguiente:

Teorema 5.6

Un cuerpo rígido inmóvil está e equilibrio si, y sólo si, la suma vectorial de todas las

fuerzas externas es cero y el momento de esas fuerzas externas alrededor de cualquier

punto es cero.

Condiciones de equilibrio referidas a coordenadas rectangulares

El teorema 5.6 se expresa por las ecuaciones

F = 0, M = 0 (5.24)

donde F es la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo

rígido y M es el momento de esas fuerzas alrededor de cualquier punto. Para aplicar este

principio se puede trabajar con las proyecciones de F y M sobre los ejes de coordenadas

rectangulares xyz. Entonces, las ecuaciones (5.24) son equivalentes a las ecuaciones

Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0

Mx = 0 My = 0 Mz = 0

donde Fx, Fy, Fz y Mx, My, Mz son las proyecciones de los vectores F y M sobre los ejes de

coordenadas xyz. Las proyecciones F F) y F de las fuerzas se determinan por las ecuaciones

Fx = F1x + F2x + …..

Fy = F1y + F2y + …..

Fz = F1z + F2z + …..

donde (F1x, F1y, F1z), (F2x, F2y, F2z) . . son las proyecciones (x, y, z) de las diversas fuerzas

externas que actúan sobre el cuerpo.

5

Si Fx, Fy y Fz se anulan, las fuerzas externas producen el mismo momento alrededor de

todos los puntos (ítem 5.6). Por consiguiente, al aplicar la condición M = 0, se pueden

tomar los momentos alrededor del origen. En otras palabras, las proyecciones Mx, My y Mz

del momento son idénticas a la suma de los momentos de las fuerzas originales alrededor

de los ejes respectivos. Los momentos de las fuerzas originales alrededor de los ejes de

coordenadas se determinan por las ecuaciones (5.15). Por lo tanto, si se designa la i-ésima

fuerza por (Fix, Fiy, Fiz) y su punto de aplicación por (xi, yi, zi), se tienen las seis condiciones

de equilibrio siguientes:

Fix = 0

Fiy = 0

Fiz = 0

Mix = (yiFiz – ziFiy) = 0 (5.25)

Miy = (ziFix – xiFiz) = 0

Miz = (xiFiy – yiFix) = 0

Las ecuaciones (5.25) y (5.26) son generalizaciones de los criterios de equilibrio que se

dedujeron para las fuerzas coplanares (ítem 4.6). Por el razonamiento del ítem 4.6, no sólo

son aplicables a los cuerpos rígidos aislados, sino también a sistemas de cuerpos rígidos y a

cuerpos deformables.

Apoyos tridimensionales

Para construir un diagrama tridimensional exacto de cuerpo libre, deben representarse con

exactitud las reacciones en los apoyos. En la práctica, los apoyos tridimensionales pueden

ser bastante complejos y pueden ejercer fuerzas distribuidas en lugar de fuerzas precisas

puntuales sobre un cuerpo. Sin embargo, los efectos principales de los apoyos sobre el

equilibrio de un cuerpo se pueden modelar al reemplazar esos apoyos por fuerzas puntuales

y momentos. Entonces, el modelo de la reacción más general en los apoyos consiste en una

fuerza F y un momento M, cada uno con magnitud y dirección desconocidas. De modo

6

alternativo, la fuerza y el momento se pueden representar por las tres componentes de

fuerzas Fx, Fy y Fz y los tres componentes de momentos Mx, My y Mz, con relación a los

ejes xyz.

En la tabla 1 se muestran varios tipos de apoyos que se usarán en este curso. A menudo, en

los problemas tridimensionales se usan tanto símbolos de apoyos bidimensionales como

tridimensionales. Por lo tanto, el alumno debe repasar los apoyos bidimensionales que se

muestran en la figura 3.9. Con frecuencia, en el enunciado de un problema de ejemplo o de

tarea se describen las características de un apoyo en particular con el fin de evitar la

ambigüedad en la interpretación del símbolo gráfico.

Observe que, como un apoyo tridimensional puede tener hasta tres componentes

independientes de fuerza y tres componentes independientes de momento, las condiciones

en los apoyos representadas en la tabla 1 sólo constituyen una pequeña selección de las

combinaciones posibles que existen en tres dimensiones.

Técnica de resolución de problemas

Equilibrio de sistemas estáticamente determinados de cuerpos rígidos

Como se ha mencionado, el dibujo de un diagrama de cuerpo libre es uno de los pasos más

importantes (si no el paso más importante) en la obtención de las soluciones en la mecánica

(ver ítem 3.2 para entender por qué los diagramas de cuerpo libre son tan importantes). En

la frase “diagrama de cuerpo libre”, la palabra “cuerpo” puede referirse a una estructura o

máquina completa, una parte de una estructura o máquina, un solo miembro o una sola

pieza, una partícula, etcétera. Asimismo, la palabra “libre” se refiere al hecho de que el

cuerpo se ha liberado (aislado) de sus partes circundantes, habiéndose reemplazado los

efectos de estas partes sobre el cuerpo por fuerzas y pares. Por tanto, el concepto

fundamental de diagrama de cuerpo libre es aislar una parte significativa de un sistema

(cuerpo sólido, partícula, cable, polea o cualquier combinación de estos objetos) y mostrar

las fuerzas y pares que actúan sobre ella. En pocas palabras,

En un diagrama de cuerpo libre, se debe aislar la parte significativa del sistema.

7

Para citar a W. F. Osgood (1937), la persona que concibió por primera vez esta idea merece

un monumentum aere (frase en latín que significa “monumento de bronce”).

Como una técnica general de resolución de problemas para aquellos en los que intervengan

sistemas de cuerpos rígidos, aplique los pasos siguientes. El alumno también debe repasar

la Técnica de resolución de problemas de partículas, en la unidad 3.

1. Construya los diagramas de cuerpo libre de las partes significativas del sistema. En

específico, construya diagramas de cuerpo libre de las partes que contengan las cantidades

deseadas que van a determinarse o que contienen cantidades que conducen a la solución

para las cantidades deseadas. Este paso requiere que, en primer lugar, se planee el

procedimiento para resolver el problema.

2. Asigne un sistema de coordenadas a cada uno de los diagramas de cuerpo libre de modo

que se puedan sumar las fuerzas y los momentos con eficiencia.

3. Aplique las condiciones de equilibrio a cada uno de los cuerpos libres con relación a los

sistemas de coordenadas asignados en el paso 2. En general, las condiciones de equilibrio

proporcionan un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas que deben

despejarse para encontrar las cantidades desconocidas.

4. Despeje las incógnitas del conjunto de ecuaciones simultáneas obtenido en el paso 3.

5. Sustituya las respuestas de nuevo en las ecuaciones de equilibrio para verificar que las

ecuaciones se satisfacen.

6. Para comprobar el problema, es buena idea resolverlo de dos maneras diferentes. Esta

comprobación da cierta confianza de que la solución es correcta.

8

Tabla 1

9

Descripción

Miembro construido en una base

rígida: la fuerza de reacción tiene

componentes en cada dirección

que corresponde a los ejes

coordenados; el momento de

reacción tiene también tres

componentes.

Miembro rígido sujeto a un

cilindro que se desliza sobre una

flecha lisa: tanto la fuerza como el

momento de reacción tienen dos

componentes rectangulares; no se

puede oponer resistencia a la

fuerza a lo largo de la flecha y al

momento alrededor del eje de ésta.

Miembro sujeto a un pasador

tridimensional: la fuerza de

reacción tiene tres componentes

rectangulares; en ningún momento

se le puede oponer resistencia.

Miembro liso sujeto a un cojinete

de empuje: la fuerza de reacción

tiene tres componentes

rectangulares; el momento de

reacción tiene dos componentes;

no se puede oponer resistencia al

momento alrededor del eje del

miembro.

10

Ejemplo 9 Reacciones en tres dimensiones

Planteamiento del problema Un bloque rígido de peso W está apoyado por un pasador en A

y por rodillos en B, C y D (ver figura a). El vector peso se encuentra a lo largo de la recta

vertical G que pasa por el centro de gravedad, ubicado como se muestra. El pasador

tridimensional en A opone resistencia a las fuerzas en las tres direcciones coordenadas. El

rodillo B opone resistencia a las fuerzas en la dirección z. Del mismo modo, los rodillos en

C y D oponen resistencia a las fuerzas en las direcciones x y y, respectivamente. Determine

las proyecciones (x, y, z) de las reacciones en los apoyos. Las unidades son newtons y

metros.

(a) (b)

Solución En la figura (b) se muestra el diagrama de cuerpo libre del bloque. Puesto que la

fuerza de reacción B es paralela al eje z, Bx = By = 0. Del mismo modo, Cy = Cz = Dx = Dz

= 0. Sólo se tienen seis proyecciones desconocidas de fuerzas; a saber, Ax, Ay, Az, Bz, Cx y

Dy. Las seis ecuaciones de equilibrio para un cuerpo rígido son suficientes para determinar

estas seis incógnitas. Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas para el bloque son

(ecuaciones 5.25)

Fix = Ax + Cx = 0 (a)

Fiy = Ay + Cy = 0 (b)

Fiz = Az + Bz - W = 0 (c)

11

Por las ecuaciones (5.26), con referencia a la figura (b), las ecuaciones de equilibrio de

momentos alrededor de los ejes de coordenadas son

Mix = 5Az – 4Dy – 1.682W = 0 (d)

Miy = 4Cx + 1.591W – 3Az – 3Bz = 0 (e)

Miz = 3Ay – 5Ax – 2Cx = 0 (f)

Se puede resolver este conjunto de seis ecuaciones simultáneas como sigue: En primer

lugar, multiplique la ecuación (c) por 3 y sume el resultado a la (e). En seguida, despeje Cx,

para obtener Cx = 0.3523W. A continuación, sustituya este valor en la ecuación (a) para

obtener Ax = -0.3523W.

Las cantidades conocidas los sustituimos en las ecuaciones restantes, en el orden (f), (b),

(d) y (c), con el fin de determinar las reacciones restantes en los apoyos. De esta manera,

se obtiene la solución completa:

Ax = -0.3523W

Ay = -0.3523W

Az = 0.6182W (g)

Bz = 0.3818W

Cx = 0.3523W

Dy = 0.3523W

La sustitución de las ecuaciones (g) en las de equilibrio [ecuaciones (a) a la (f)] verificará

que se satisfacen estas últimas.

Información adicional Es conveniente realizar este tipo de verificación cuando se resuelve

un conjunto de ecuaciones simultáneas. De modo alternativo, se pudo haber resuelto el

conjunto de ecuaciones simultáneas usando un programa computacional para resolver

ecuaciones, o bien, una calculadora científica avanzada. Todavía como otro procedimiento,

para resolver este problema podría haberse tomado momentos alrededor de la recta AC (fig

b) y determinar Bz de manera directa. Tomar momentos alrededor de la recta AB permitiría

12

despejar Cx de modo directo, y si se toman momentos alrededor de la AE permitiría

despejar para Dy. Por último, sumando las fuerzas en las direcciones (x, y, z), se podría

resolver para Ax, Ay y Az.

1

Curso: Estática Aplicada (3271). Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles.

Profesor: Mauricio Muñoz P. / Ayudante: Eduardo Hurtado

Clase: 14 (22/05/07)

Unidad 6 Armaduras

6.1 La Armadura: Un Sistema de Miembros de dos Fuerzas

Una armadura es una estructura de miembros delgados y rectos que soporta principalmente

cargas axiales (tensión o compresión) en esos miembros. La disposición de los miembros

en una armadura la hace un sistema eficiente para soportar cargas. Es decir, una armadura

puede soportar fuertes cargas en comparación con su propio peso. En la figura 6.1 se

muestran en forma esquemática varios tipos de armaduras usadas como soporte de techos y

en puentes de acero y madera para construcción. Estas armaduras se llaman planas porque

tanto los miembros como las cargas se encuentran en el mismo plano. Cada una de las

armaduras de la figura 6.1 tiene un nombre asociado a su configuración geométrica. Éstas y

otras configuraciones también se ven en las torres de radio, en estructuras especiales como

el domo Epcot en Disney World y en otras innumerables estructuras de ingeniería y

arquitectónicas.

Las armaduras se construyen de diversas maneras. Los materiales usados en las armaduras

incluyen madera para construcción, acero y aluminio. Los miembros de una armadura se

pueden unir por medio de pernos, placas metálicas para clavar (placas para armadura),

soldaduras, articulaciones en forma de un solo pasador de gran tamaño u otros medios. Las

uniones (nudos) de una armadura suelen ubicarse en los extremos de los miembros. Sin

embargo, a veces un miembro podrá ser continuo (sin división) mediante una unión. Por lo

general, las armaduras se diseñan de modo que las cargas (que no sean los pesos de cada

uno de los miembros) se concentren en los nudos.

La característica clave de una armadura que la distingue de otras formas estructurales es

que opone resistencia a las cargas, principalmente a través de fuerzas axiales en sus

miembros. Es decir, los miembros de una armadura se diseñan para soportar tensión o

compresión. Aunque podrían existir fuerzas flexionantes o cortantes (se estudiará en

unidad 7), su efecto sobre un miembro de una armadura suele tener una importancia

2

secundaria. En contraste, las vigas soportan cargas principalmente a través de fuerzas

flexionantes o cortantes, en lugar de fuerzas axiales.

Figura 6.1 Tipos de armaduras usadas en techos (columna de la izquierda) y puentes (columna de la

derecha).

Breve reseña histórica de las armaduras.

Las armaduras que se muestran en la figura 6.1 representan algunas de las configuraciones

clásicas usadas desde la Revolución industrial del siglo XIX. Debido a su sencillez en la

forma y a sus características únicas, a menudo se incluyen en los libros y textos sobre

estática y análisis estructural. En la época de su desarrollo, estas armaduras se distinguían

tanto por sus configuraciones como por los materiales usados en su construcción. Hoy en

3

día, las configuraciones de estas armaduras conservan los nombres de los individuos que las

desarrollaron, en tanto que no se especifican los materiales usados en su construcción. Para

ayudar al estudiante a reconocer el significado de los diversos diseños, se repasará con

brevedad el desarrollo de éstas y de otras armaduras utilizadas en los puentes.

Durante muchos siglos se han usado formas de armaduras para cubrir distancias más o

menos grandes. De hecho, el ingeniero romano Apolodoro construyó un puente del tipo de

armadura con tramos múltiples a través del río Danubio hacia el año 105. Cada tramo del

puente tomó una forma semejante a la de arco que se muestra en la figura 6.2 (Turner y

Goulden, 1981). Sin embargo, lo sorprendente es que el diseño de las armaduras para

puentes no se basó en principios matemáticos y físicos generales sino hasta la Revolución

industrial. Fue durante esta época que la disponibilidad del hierro forjado en Europa y la

expansión hacia el oeste de los ferrocarriles en EE.UU. presionaron a los ingenieros a

desarrollar diseños más racionales de armaduras para puentes ligeros y de tramos largos.

Fig. 6.2 Puente de Apolodoro a través del Danubio (adaptado por Turner y Goulden, 1981)

Fig. 6.3 Armadura Howe: a) armadura para puente; b) armadura de rigidez para puente colgante

4

Una de estas formas de armadura, la armadura Howe, fue patentada por William Howe en

1840 (Jacobs y Neville, 1968). El diseño de Howe fue un avance sobre un diseño previo en

el que se usaba un enrejado de piezas diagonales. Howe simplificó el diseño y agregó

miembros verticales de hierro forjado (figura 6.3a). Cuando las cargas se aplican a lo largo

de la cuerda de abajo de la armadura Howe, como en un puente de armadura con tablero

inferior, los miembros verticales se encuentran en tensión y los diagonales en compresión.

Howe fue el pionero en el uso del hierro forjado en los puentes debido a su capacidad

superior para soportar tensión (la madera de construcción es más adecuada bajo

compresión). La forma de la armadura Howe que se muestra en la figura 6.3b se usó con

amplitud en Europa, a principios del siglo XIX (antes de que Howe recibiera su patente),

para dar rigidez a las calzadas de los puentes colgantes (Peters, 1987). En las formas

estáticamente determinadas de la armadura de Howe (Figs. 6.lb y 6.le), los miembros

verticales se encuentran en tensión y los diagonales en compresión.

En 1844, Thomas Pratt y su padre Caleb modificaron el diseño de la armadura Howe para

crear la armadura Pratt (figuras 6.lc y 6.1f). En su diseño, la orientación de las diagonales

se invirtió, lo cual tuvo el efecto de poner tales miembros en tensión y los verticales en

compresión. Este cambio se dio como respuesta al incremento en el uso del hierro como

material de construcción para puentes completos. En la armadura Pratt, los miembros en

compresión (los verticales) son más cortos que en la armadura Howe, lo que conduce a una

mayor estabilidad inherente de esos miembros. Como la armadura Howe, hoy en día se

reconoce la Pratt por la orientación de sus miembros, no por el material usado para

construirla.

En 1848, James Warren y W. T. Manzoni patentaron en Inglaterra una armadura con

cuerdas superior e inferior horizontales y diagonales inclinadas a 60° (figura 6.lg) (Singer y

otros, 1958). La construcción de la armadura Warren comprendía el uso de fundiciones

para formar unidades triangulares que constan de la cuerda superior y dos diagonales de un

tramo. Entonces, estas unidades se unían con varillas roscadas de hierro forjado que

formaban la cuerda inferior. Se obtiene una modificación de la forma básica por la adición

de un miembro vertical en cada tramo (figura 6.lh), o bien, en tramos alternados. Estos

miembros verticales sirven para reforzar la cuerda superior contra el pandeo bajo fuerzas de

compresión.

5

Albert Fink, ingeniero nacido en Alemania y empresario de ferrocarriles, hizo

refinamientos adicionales a todos los puentes de acero de los ferrocarriles y logró un diseño

que sigue siendo popular en la actualidad. La configuración que patentó en 1851 se conoce

como armadura Fink (figura 6.4a). Esta configuración en realidad es una armadura

compuesta hecha de elementos simples (figura 6.4b). Fink se dio cuenta de que un montaje

de elementos de ese tipo hacían que la cuerda inferior de la armadura fuera superflua; el

tablero podía colocarse sencillamente sobre la cuerda superior de esa armadura. El

elemento básico del diseño de Fink es de uso común en las armaduras para techos para la

construcción residencial (fig. 6.la) e industrial (fig. 6.1d).

La armadura de cuerda y arco (Fig. 6.5) fue desarrollada por Squire Whipple, un

topógrafo, quien publicó el primer análisis matemático del diseño del puente en su libro de

1847, A Work on Bridge Building (Un trabajo sobre la construcción de puentes). En la

armadura de cuerda y arco de Whipple se combinan los principios del arco con los de la

armadura. La armadura que se muestra en la figura 6.5 también tiene una característica

conocida como contradiagonales (ver ítem 6.3).

Fig. 6.4 Armadura Fink: a) armadura Fink compuesta para tablero; b) elemento básico de la armadura

Fink

Fig. 6.5 Armadura de cuerda y arco

6

Idealización de las armaduras

Concepto clave

Una armadura real a menudo se puede analizar como una armadura ideal

Los diagramas a base de rectas, como se ilustran en la figura 6.1, son útiles para los fines de

análisis. En algunas armaduras, como aquellas que contienen contradiagonales, dos

miembros se pueden cruzar entre sí sin una conexión. Por lo tanto, los nudos (conexiones)

en los extremos de miembros se identifican mediante un punto negro grueso, como se

indica en la figura 6.1, para distinguirlos de los lugares en que los miembros se cruzan sin

existir conexión. Ya que el principio fundamental de las armaduras es el de soportar cargas

en la dirección axial en los miembros que la conforman, se acostumbra establecer ciertas

hipótesis sobre alguna armadura en particular para simplificar su análisis. Las hipótesis que

siguen permiten el uso de conceptos más o menos sencillos provenientes sólo de la estática

para analizar una armadura. Sin la aplicación de estas hipótesis, el análisis de las armaduras

requiere procedimientos complejos que no son prácticos sin la ayuda de un computador.

Hipótesis de la armadura ideal

1. Todos los miembros de una armadura son rectos y se pueden representar por medio de

rectas (las cuales pueden despreciar las dimensiones transversales de éstas).

2. Los nudos en los extremos de los miembros se pueden representar por medio de puntos

(en los cuales se desprecian sus dimensiones).

3. Todos los nudos se forman por pasadores sin fricción.

4. El peso de cada miembro se aplica en los extremos de éste, o bien, el peso de cada

miembro es despreciable. En esta unidad, se supondrá que el peso de cada miembro se

puede despreciar.

5. A una armadura sólo se le pueden aplicar cargas concentradas, y éstas se aplican en los

nudos.

6. Para una armadura plana (bidimensional), todos los miembros y caras se encuentran en el

mismo plano. Para una armadura espacial (tridimensional), los miembros no son coplanares

7

y las direcciones de las cargas son arbitrarias. Se enfocarán de modo preponderante las

armaduras planas; las armaduras espaciales se analizan con brevedad en la sección 6.7.

Estas hipótesis establecen las características de una armadura ideal. Por tanto, se puede

concluir que una armadura ideal es un sistema de miembros rectos de dos fuerzas. Como se

señaló en unidades anteriores, un miembro de dos fuerzas en equilibrio es aquel que está

sujeto a dos fuerzas que son colineales, de igual magnitud, pero que tienen sentidos

opuestos (ver ítem 6.6). Por tanto, puesto que los pasadores de una armadura son lisos y las

cargas se aplican en los nudos, cada miembro de una armadura es un miembro de dos

fuerzas; este miembro se encuentra en tensión (Fig. 6.6a) o en compresión (Fig. 6.6c). Los

pasadores sin fricción no tienen capacidad para oponer resistencia a un par, de modo que no

causan flexión en los miembros de una armadura.

En general, un miembro de dos fuerzas puede ser curvo, en cuyo caso se sujeta a una fuerza

cortante, a un momento flexionante y a una tensión o compresión. Sin embargo, cada

miembro de una armadura es un miembro recto de dos fuerzas, y la fuerza en ese miembro

(tensión o compresión) es constante a lo largo del mismo. Este hecho se ilustra en la figura

6.6b, en donde la colocación de la sección a-a es arbitraria.

Fig. 6.6 Barra sujeta a una pareja de fuerzas colineales: a) carga de tensión; b) barra separada en dos

partes; c) carga de compresión

En algunos casos, una armadura real (una que en realidad ha sido construida) se conformará

de modo muy semejante a las características ideales descritas en párrafos anteriores. Por

8

ejemplo, una armadura con miembros largos y delgados tiene poca fuerza cortante y poco

momento flexionante en ellos. En otros casos, existen diferencias significativas entre la

armadura real y el caso ideal. Las armaduras con miembros cortos, gruesos y conexiones

pesadas se comportan más como armazones (unidad 7) que como armaduras ideales. De

modo que si se analiza una armadura real aplicando las hipótesis que se aplican a una ideal,

los resultados que se obtengan serán aproximados. Aun así, a menudo se aplica el concepto

de armadura ideal con el fin de realizar un análisis y un diseño preliminar; más tarde, en el

proceso de diseño, se examinan los efectos secundarios de la fuerza cortante y el momento

flector en los miembros. En muchas situaciones prácticas, el error debido a esta

idealización tiene un efecto mínimo sobre el diseño global de la armadura. En el resto de

esta unidad, la palabra “armadura” tendrá el significado de armadura ideal, pero se entiende

que las armaduras ideales se representan en forma aproximada.

Fig. 6.7 Barras conectadas por un pasador, en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas colineales.

Fig. 6.8 Diagramas de cuerpo libre de las barras y el pasador de la figura 6.7.

Si un pasador en el nudo de una armadura es liso (sin fricción), la fuerza que ejerce sobre

un miembro está dirigida a lo largo de su eje. Para visualizar esto, considere dos miembros

A y B unidos entre sí por un pasador y sujetos a fuerzas autoequilibrantes de magnitud F

(ver fig. 6.7). El pasador P sin fricción que une los miembros A y B transmite la fuerza F

de uno de los miembros (digamos, el miembro A) hacia el otro (el miembro B). Al hacerlo

el pasador queda sujeto a las fuerzas autoequilibrantes F. Se puede demostrar este hecho si

se separan los miembros del pasador y se construyen sus respectivos diagramas de cuerpo

9

libre, como se muestra en la figura 6.8. Las fuerzas FAP y FBP, que están en el extremo

derecho del miembro A y en el izquierdo del B son las fuerzas de contacto (acciones)

ejercidas por el pasador P sobre los miembros A y B. Las reacciones de estas fuerzas

actúan sobre el pasador. Éstas son las fuerzas FAP y FBP que los miembros A y B ejercen

sobre el pasador (figura 6.8b).

Dado que los miembros y el pasador están en equilibrio, por las condiciones del equilibrio y

la tercera ley de Newton que relaciona las acciones y las reacciones, se tiene

FFFFFF BPPBPAAP

En consecuencia, la fuerza ejercida por un pasador liso sobre un miembro en una armadura

está dirigida a lo largo del eje de ese miembro.

6.2 Estabilidad y Determinación Estática.

Considere un montaje de tres miembros, AB, BC y AC, que se encuentran conectados en sus

extremos para formar una armadura que consiste en un elemento triangular (figura 6.9a).

Este elemento consta de una armadura estable, es decir, no cambia su configuración bajo la

acción de la fuerza FB aplicada en el nudo B y las reacciones correspondientes en los

apoyos, en A y C. (También se usa la palabra “rígida” para describir una armadura estable.)

En contraste, un montaje de cuatro miembros conectados por pasadores con el fin de formar

un rectángulo no es estable (o rígido); ver figura 6.9b. Bajo la acción de la fuerza FA, este

sistema sufre un cambio en su conformación; sus miembros son sometidos a grandes

movimientos con relación a los otros. Al final, esto conducirá al aplastamiento del sistema.

En consecuencia, se dice que el sistema constituye una armadura inestable. De modo más

general, cualquier sistema de cuatro o más miembros conectados por pasadores que forman

un polígono no es estable; se aplastará bajo alguna combinación de cargas (ver también la

figura 6.9c).

10

Figura 6.9 Sistemas de barras conectadas para formar elementos geométricos: (a) elemento triangular; (b)

elemento rectangular; (c) elemento poligonal.

Si se parte del elemento triangular rígido fundamental que se muestra en la figura 6.9a, se

pueden añadir dos o más miembros no colineales para obtener un nuevo nudo (nudo D de la

figura 6.10). La armadura ABCD es rígida. Se puede continuar este proceso para obtener

una expansión adicional de la armadura triangular básica (Fig. 6.11). Una armadura que se

monta de esta manera se llama armadura simple. Cada una de las armaduras de las figuras

6.9a, 6.10 y 6.11 satisface ecuación

m + r = 2j (6.1)

donde m es el número de miembros, r es el número total de reacciones en los apoyos (dos

en un soporte de pasador, una en un rodillo) y j es el número total de nudos. Por ejemplo,

para la armadura de la figura 6.10, m = 5, r = 3 y j = 4. En la ecuación (6.1), m + r es el

número total de cantidades desconocidas (fuerzas en los miembros más reacciones) y 2j es

el número de ecuaciones independientes de equilibrio de las que se dispone para determinar

las incógnitas. El estudiante puede de ver que cualquier armadura montada de la manera

antes descrita será rígida y satisfará la ecuación (6.1).

Una armadura simple también es estáticamente determinada; es decir, las reacciones en los

apoyos y las fuerzas en los miembros se pueden determinar aplicando únicamente las

ecuaciones de equilibrio (estática). Si se agregan miembros a una armadura estáticamente

determinada sin agregar nudos, o bien, si se agregan reacciones de apoyos, la armadura se

vuelve estáticamente indeterminada. Una armadura estáticamente indeterminada es aquélla

11

para la cual no se pueden determinar todas las reacciones en los apoyos y todas las fuerzas

en los miembros con el solo uso de las ecuaciones de equilibrio. En el análisis de una

armadura estáticamente indeterminada deben considerarse las deformaciones (cambio en la

longitud) de los miembros. Por ejemplo, las dos armaduras que se muestran en la figura

6.12 son modificaciones de la armadura de la figura 6.10 y son estáticamente

indeterminadas. En la figura 6.12a se ha agregado un miembro de más (el miembro AD); en

la figura 6.12b se ha agregado un apoyo de más (el nudo D). Con estos cambios, se ve que

las armaduras de la figura 6.12 satisfacen la desigualdad

m + r > 2j (6.2)

Siendo específicos, en la figura 6.12a, m = 6, r = 3 y j = 4, lo cual da nueve incógnitas y

sólo ocho ecuaciones de equilibrio. Aun cuando las armaduras de la figura 6.12 son

estáticamente indeterminadas, también son estables (rígidas).

Fig. 6.10 Extensión del elemento Fig. 6.11 Armadura simple: combinación de

triangular básico elementos triangulares

Figura 6.12 Armaduras estáticamente indeterminadas.

12

La ecuación (6.1) es una condición necesaria para la estabilidad de las armaduras

estáticamente determinadas. Sin embargo, no es suficiente para garantizar la estabilidad de

cualquier armadura. Por ejemplo, los miembros también deben estar dispuestos de modo

apropiado para garantizar la rigidez de la armadura completa. Por ejemplo, la armadura de

la figura 6.13a satisface la ecuación (6.1), pero no es estable porque se podría aplastar la

parte superior cuando se apliquen las cargas. Además, los apoyos de la armadura deben

estar ubicados de manera adecuada. Por ejemplo, si los apoyos se disponen de modo que las

fuerzas de reacción sean concurrentes, no se puede satisfacer la ecuación para el equilibrio

de los momentos; la armadura girará bajo cargas arbitrarias. Si una armadura en particular

no tiene miembros o reacciones suficientes en los apoyos para impedir el movimiento de

los nudos, entonces esa armadura es inestable. Esta condición se expresa por la desigualdad

m + r < 2j

Las armaduras de las figuras 6.13b y 6.13c cumplen con esta condición. Expresado de

manera sencilla, el número de incógnitas (m + r) es menor que el número de ecuaciones

(2j). Con base en sus estudios de álgebra, el estudiante sabe que un sistema de ecuaciones

de este tipo es inconsistente. En general, un sistema de este tipo no tiene solución.

Se ha visto que el sistema de miembros de la figura 6.9b es inestable. Contiene m = 4

miembros y r = 3 reacciones en los apoyos (dos en D y uno en C), para tener un total de m

+ r = 7 cantidades desconocidas. Se tienen 2j = 8 ecuaciones de equilibrio (dos para cada

uno de los cuatro nudos A, B, C y D) que satisfacer. Del mismo modo, el sistema de

miembros de la figura 6.9c también es inestable. Para este sistema, se tienen 2j = 10

ecuaciones de equilibrio, pero m = 5 y r = 3 para un total de ocho incógnitas.

Fig. 6.13 Armaduras inestables: (a) configuración inapropiada; (b) número

inadecuado de miembros; (c) número inadecuado de reacciones en los apoyos.

13

El análisis de una armadura respecto a la determinación o indeterminación estáticas se

puede resumir como sigue:

Si las fuerzas en los miembros de una armadura se pueden determinar por las ecuaciones de

equilibrio, esa armadura es estáticamente determinada; de lo contrario, es estáticamente

indeterminada. Si una armadura tiene r reacciones desconocidas en los apoyos y m fuerzas

desconocidas en los miembros, se requieren m + r ecuaciones independientes de equilibrio

para despejar las incógnitas. Si una armadura tiene j nudos, se dispone de 2j ecuaciones de

equilibrio. Si m + r = 2j, se pueden determinar todas las incógnitas al resolver las

ecuaciones de equilibrio y la armadura es estáticamente determinada. Si m + r > 2j, no se

pueden determinar todas las incógnitas al resolver las ecuaciones de equilibrio y la

armadura es estáticamente indeterminada.

6.3 Métodos e Análisis de Armaduras

El análisis de una armadura comprende la determinación de las fuerzas en los miembros,

las fuerzas que actúan sobre los pasadores y las reacciones que surgen en la armadura

generada por sus apoyos. Este análisis se puede llevar a cabo de varias maneras. Dos

métodos en particular que se usan con frecuencia son el método de los nudos y el método

de las secciones. En el ítem 6.4 se describe el método de los nudos, en el cual se emplea el

concepto de equilibrio de una partícula. En el ítem 6.5 se discute el método de las

secciones, en el cual se requiere el uso del concepto de momentos (ítem 4.1) y del

equilibrio del cuerpo rígido.

Es común que, si se requieren las fuerzas en todos los miembros de una armadura

estáticamente determinada, el método de los nudos es más eficiente. Por otra parte, si se

requieren las fuerzas en sólo unos cuantos miembros interiores (digamos, los miembros BD

y CD de la figura 6.11), el método de las secciones puede ser más eficiente. Por otra parte,

el método de los nudos y el de las secciones no son mutuamente dependientes. El método

de resolución que se elija debe ajustarse a los objetivos del análisis. Se podría encontrar que

una combinación de los dos métodos resultara ser el procedimiento de resolución más

14

eficiente, o quizás con el empleo de uno de ellos es suficiente para la resolución del

problema.

Miembros de fuerza cero

Bajo la acción de un sistema de cargas aplicadas se producen cargas axiales en los

miembros de una armadura. Para un conjunto dado de cargas, puede ser que algunos

miembros no soporten fuerza interna; es decir, son miembros de fuerza nula. Por ejemplo,

para las cargas que se muestran en la figura 6.14a, los miembros BC y EF son miembros de

fuerza nula. Esto se puede ver al considerar el diagrama de cuerpo libre del nudo B que se

muestra en la figura 6.14b. Por conveniencia se elige un sistema de coordenadas tal que el

eje x sea paralelo a los miembros AB y BD; no es necesario alinear el miembro BC con el

eje y. La condición de equilibrio para el nudo B requiere que la suma de las proyecciones de

las fuerzas en la dirección y sea nulo. Por consiguiente, de la figura 6.14b, se tiene Fy =

TBCsenθ = 0; la fuerza TBC en el miembro BC es nula. En otras palabras, el miembro BC es

un miembro de fuerza nula. De manera semejante, se puede demostrar que el miembro EF

también es de fuerza nula. La identificación de los miembros de fuerza nula ayuda a

simplificar el análisis de una armadura.

Observe que los miembros de fuerza nula existen debido a la configuración geométrica de

la armadura y a la naturaleza de la carga aplicada a ella. Si a la armadura de la figura 6.14a

se le aplicara un patrón diferente de cargas —como cargas verticales en los nudos B y F—

los miembros BC y EF no serían de fuerza nula. También, a menudo se pueden identificar

los miembros de fuerza nula por inspección. Un examen visual de una armadura en

particular podría ser suficiente como para permitir la localización de esos miembros. En

otros casos, sólo se podrán identificar a través del análisis formal de la armadura

Fig. 6.14 (a) Armadura con miembros de fuerza nula. (b) Diagrama de cuerpo libre del nodo B.

15

Contradiagonales

Con frecuencia, una armadura se vuelve indeterminada por la presencia de las llamadas

contradiagonales. Las contradiagonales son una pareja de miembros diagonales que bisecan

el mismo panel en una armadura. Por ejemplo, la armadura de cuerda y arco de la figura 6.5

contiene contradiagonales, como las contiene la armadura indeterminada de la figura 6.12a.

Las contradiagonales suelen ser dos miembros más o menos delgados (varillas, barras o

cables) que aparecen en cada panel. Las contradiagonales son comunes en las armaduras y

armazones porque permiten el uso de miembros de peso más ligero.

Cuando las dos diagonales en un panel se encuentran en tensión, comparten la carga en ese

panel; en ese caso, la armadura es indeterminada y debe analizarse como tal. Sin embargo,

cuando una de las diagonales está en tensión y la otra en compresión, es típico que aquélla

que está en tensión se afloje o pandee. Entonces, el miembro restante en tensión es el que

opone resistencia de modo preponderante a la carga aplicada al panel. Por ejemplo,

considere la armadura de dos pisos que muestra en la figura 6.15a, la cual tiene

contradiagonales delgadas. Bajo la carga horizontal, una de las diagonales de cada panel se

pandeará (o aflojará), como en la figura 6.15b. Entonces, las diagonales en tensión son las

que oponen resistencia a la carga horizontal. Si se supone que la carga que soportan los

miembros que se pandean es despreciable, se puede analizar la armadura como si fuera

estáticamente determinada, eliminando por completo los miembros que se pandean (ver

figura 6.15c).

Figura 6.15 (a) Armadura de dos pisos con contradiagonales. (b) Diagonal en compresión en una forma con

pandeo. (c) Armadura simplificada, estáticamente determinada.

16

Si la carga horizontal puede cambiar de dirección, como en el caso de una carga del viento

sobre un edificio, la diagonal en compresión (la que se pandea) puede pasar a estar en

tensión, y la que se encuentra en tensión se puede pandear. Así, cada contradiagonal debe

poder soportar la carga de tensión aplicada.

6.4 Método de os Nudos

Concepto clave

El método de los nudos para el análisis de armaduras se basa en el equilibrio de las

partículas de los nudos de la armadura.

Las hipótesis usadas para modelar una armadura se analizan en el ítem 6.1. En esta sección

se estudia la aplicación de un importante método de análisis a una armadura simple,

estáticamente determinada. El método de los nudos es un método de análisis de una

armadura estáticamente determinada al escribir y resolver las ecuaciones de equilibrio para

los nudos de la misma. Como se observó con anterioridad, se tienen dos ecuaciones

independientes de equilibrio para cada nudo de una armadura simple. Si estas ecuaciones

son suficientes para determinar todas las fuerzas en los miembros y todas las reacciones en

los apoyos, la armadura es estáticamente determinada. Si no es así, la estructura es

estáticamente indeterminada.

En el método de los nudos, se dibujan los diagramas de cuerpo libre de los nudos de la

armadura y se escriben las ecuaciones de equilibrio para cada uno de esos nudos. En una

armadura estáticamente determinada, la resolución de estas ecuaciones proporciona todas

las fuerzas que actúan sobre los pasadores y, por consiguiente, en los miembros de esa

armadura. Recuerde que en el ítem 6.1 se demostró que la fuerza (de tensión o de

compresión) en un miembro de la armadura es constante en toda la longitud del miembro

(ver figura 6.6b). Asimismo, por la tercera ley de Newton, la fuerza que un miembro ejerce

sobre un pasador es igual y opuesta a la que el pasador ejerce sobre el miembro.

En el diagrama de cuerpo libre de un pasador, la fuerza que un miembro en tensión ejerce

sobre éste se dirige hacia fuera de ese pasador. Si un miembro está en compresión, la fuerza

17

ejercida sobre un pasador se dirige hacia él. Por tanto, si se sabe que un miembro está en

tensión (o en compresión), se puede mostrar en el diagrama de cuerpo libre la fuerza que

ejerce sobre el pasador, con el sentido correcto. Sin embargo, al analizar una armadura con

varios miembros, puede ser difícil conjeturar si un miembro está en tensión o en

compresión. Por lo tanto, al dibujar el diagrama de cuerpo libre de un pasador, se debe

suponer que cualquier fuerza desconocida es de tensión y nombrarla con un símbolo, como

F, que denote su magnitud. En seguida, se escriben las ecuaciones de equilibrio para el

pasador con la aplicación de esta hipótesis. Si en la solución de las ecuaciones de

equilibrio, F es un número positivo, la fuerza es de tensión, como se supuso. Si F es un

número negativo, la fuerza es de compresión.

Técnica de resolución de Problemas

Método de los nudos para el análisis de armaduras

El análisis de las armaduras por el método de los nudos comprende las mismas técnicas que

las usadas para resolver problemas relacionados con el equilibrio de partículas. Dado que

la fuerza en cada uno de los miembros está alineada con el eje del propio miembro, la

fuerza ejercida por un miembro sobre un pasador esta dirigida a lo largo del eje de aquel.

Las fuerzas que actúan sobre un pasador pueden ser resultado de las acciones de los

miembros, de la acción de un apoyo y de los efectos de las cargas concentradas.

Para analizar una armadura usando el método de los nudos:

1. Dibuje un esquema exacto de la armadura, en el que se muestren todas las dimensiones y

cantidades importantes, incluyendo los ángulos. Si es posible, identifique los miembros de

fuerza cero por inspección de la configuración geométrica de la armadura y de las cargas.

Consulte y repase la resolución de problemas en el que intervenga el equilibrio de

partículas.

2. Con base en los miembros que interesan, seleccione un nudo para empezar el análisis. Si

es posible, elija un nudo en el cual sólo actúen dos fuerzas desconocidas en los miembros.

Recuerde que, para cada nudo, las ecuaciones de equilibrio proporcionan la solución de

sólo dos incógnitas en los problemas bidimensionales. Por lo tanto, es conveniente

18

seleccionar los nodos en una secuencia que permita evaluar de inmediato una o más de las

incógnitas, en lugar de reunir ecuaciones para todos los nudos y resolverlas de manera

simultánea.

3. Si no se puede identificar un nudo adecuado con el cual iniciar el análisis, podría ayudar

la determinación de las reacciones en los apoyos para la armadura. Una vez que se conocen

las reacciones en los apoyos, uno de los nudos apoyados podría ser un punto adecuado de

partida.

4. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para el nudo seleccionado. Utilice para escribir y

resolver las ecuaciones de equilibrio para ese nudo

5. Repita el paso 4 para cada uno de los nudos subsiguientes, hasta que se hayan

determinado las fuerzas en los miembros que interesan.

Nota: A menudo se requerirá hallar sólo unas cuantas de las fuerzas en los miembros de una

armadura. En esos casos, desarrolle una estrategia que siga el camino más eficiente hacia

la solución.

1

Curso: Estática Aplicada (3271). Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles.

Profesor: Mauricio Muñoz P. / Ayudante: Eduardo Hurtado

Clase: 15 (29/05/07)

Unidad 6 Armaduras (continuación)

6.5 Método de las Secciones

Concepto clave

El método de las secciones para el análisis de armaduras se basa en el equilibrio de cuerpo

rígido de una parte de la armadura.

En la sección 6.4 se aplicó el método de los nudos para calcular las fuerzas en los miembros

de una armadura estáticamente determinada, y se examinó el equilibrio de cada nudo. Si

sólo se requieren las reacciones de los apoyos o las fuerzas en algunos miembros interiores,

el método de los nudos a menudo traerá consigo cálculos innecesarios de otras cantidades.

Si una armadura completa está en equilibrio bajo la acción de un conjunto de fuerzas

coplanares, cualquier parte de la misma también está en equilibrio. Así, se puede cortar la

armadura en dos o más partes, cada una de las cuales es un cuerpo rígido en equilibrio. En

seguida, se pueden dibujar los diagramas de cuerpo libre de las partes, en los que se

muestran las fuerzas en los miembros que actúan en el corte. Puesto que los miembros de

las armaduras son de dos fuerzas, las fuerzas en esos miembros están dirigidas a lo largo de

sus ejes. Como en el método de los nudos (ítem 6.4), se puede suponer que las fuerzas

desconocidas en los miembros son de tensión.

Técnica de resolución de problemas

Método de las secciones para el análisis de armaduras

Para analizar una armadura utilizando el método de las secciones:

1. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la armadura completa y escriba las ecuaciones de

equilibrio. Resuelva estas ecuaciones para determinar las reacciones en los apoyos. En

ocasiones se puede omitir este paso del procedimiento, pero suele ser necesario determinar

esas reacciones como parte de la solución del problema.

2

2. Localice los miembros de la armadura para los cuales se desean las fuerzas. Marque cada

uno con dos trazos cortos que crucen el miembro, como se indica a continuación:

Examine la armadura y sus cargas para identificar los miembros de fuerza cero.

3. Trace una línea (corte) a través de la armadura para separarla en dos parles. Si es posible,

ésta debe pasar a través de no más de tres miembros con fuerzas desconocidas en ellos. No

es necesario que la línea sea recta, sino que debe separar la armadura en dos partes

apropiadas. En algunos casos, puede ser necesario cortar más de tres miembros para parar

separar la armadura en dos partes. Asimismo, advierta que cada una de las partes de la

armadura debe contener por lo menos un miembro completo (sin cortar). De lo contrario

sólo se aislaría un solo nudo, como en el método de los nudos.

4. Seleccione una de las partes de la armadura seccionadas en el paso 3 y dibuje un

diagrama de cuerpo libre de ella. A menos que se tenga cualquier otra información,

suponga que las fuerzas desconocidas en los miembros son de tensión.

5. Escriba las ecuaciones de equilibrio para la parte seleccionada en el paso 4. Si en el paso

3 fue necesario cortar más de tres miembros con fuerzas desconocidas en ellos, es posible

que se tengan que considerar partes adicionales de la armadura o, quizá, nudos por separado

para determinar las incógnitas. Si es así, dibuje diagramas apropiados de cuerpo libre de las

partes o nudos adicionales y escriba sus ecuaciones de equilibrio para obtener el mismo

número de ecuaciones independientes de este tipo que el número de incógnitas.

6. Resuelva el conjunto de ecuaciones obtenidas en el paso 5 para determinar las fuerzas

desconocidas.

7. Repita los pasos 3 al 6, según se requiera, para completar el análisis.

Ejemplo 1 Análisis de una armadura por el método de las secciones

Planteamiento del problema Considere el diagrama de cuerpo libre de la armadura

siguiente, el cual se muestra en la figura. Determine las fuerzas en los miembros AB y BC.

3

(a)

Solución Los miembros que interesan, el AB y el BC, están marcados con dos trazos cortos

en el diagrama de cuerpo libre. Lo normal es comenzar la resolución de este problema por

la determinación de las reacciones en D y en E. Sin embargo, en este caso se observa que si

se traza un corte (mostrado como una línea discontinua en el diagrama de cuerpo libre de la

figura a) a través de tres miembros -en específico, los miembros AB, BC y CD- se puede

aislar la parte derecha de la armadura como un cuerpo libre y las reacciones desconocidas

en los apoyos no entran en los cálculos.

Por inspección, se ve que el miembro BC es de fuerza nula, ya que el nudo C lo conecta a

los miembros colineales AC y CD, y no hay cargas aplicadas en C (ver figura a). El

miembro DE también es de fuerza nula, ya que la reacción en E es perpendicular a DC.

En la figura (b) se muestra el diagrama de cuerpo libre de la parte aislada de la armadura.

Las fuerzas en los miembros seccionados están dirigidas a lo largo de sus ejes

longitudinales. Puesto que no es obvio si las fuerzas en el corte son de tensión o de

compresión, se supone que todos los miembros están en tensión.

(b)

La parte aislada de la armadura está en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas no

paralelas, no concurrentes y coplanares. Por consiguiente, puede aplicarse el equilibrio del

cuerpo rígido, con lo que se dispone de tres ecuaciones independientes de equilibrio. En

4

consecuencia, sólo se pueden determinar tres cantidades desconocidas (TAB, TBC y TCD) a

partir de las ecuaciones de equilibrio para la parte aislada. En este caso, sólo fueron

seccionados tres miembros. De modo que no será necesario tener otras partes o nudos para

despejar las incógnitas.

En primer lugar, para determinar la fuerza TBC, se consideran los momentos alrededor del

punto A, la intersección de las líneas de acción de las fuerzas TAB y TCD. La ecuación de

equilibrio de los momentos alrededor de este punto es

09.0 BCA TM

Esta ecuación da TBC = 0, lo cual confirma la observación inicial con base en la inspección

de la armadura.

Puesto que se sabe que el miembro BC es de fuerza nula, se puede obtener TAB por

cualquiera de las dos ecuaciones. Se pudo considerar el equilibrio de los momentos

alrededor del nudo C, o bien, el equilibrio de las fuerzas en la dirección y. Si se elige

considerar el equilibrio de las fuerzas, se tiene

030 BCABy TsenTF

Si se sustituye TBC = 0 en esta ecuación y se observa que senθ = 0.8, se tiene TAB = 37.5 kN.

Dado que el resultado es positivo, la hipótesis de que TBC es una fuerza de tensión es

correcta. Como era de esperar, estos resultados concuerdan con los valores que se pueden

obtener por el método de los nudos.

Información adicional Habiendo identificado al principio el miembro BC como uno de

fuerza nula, pudo hacerse usando el método de los nudos en el nudo A para encontrar la

fuerza en el miembro AB, con lo cual se habría completado la solución. En este caso, tal

procedimiento habría sido más rápido que el método de las secciones. Una vez que el lector

haya adquirido experiencia en el análisis de las armaduras, podrá identificar el método que

conduzca de modo más eficiente a la solución del problema.

Ejemplo 2 Análisis de una armadura Warren modificada

5

Planteamiento del problema. La ingeniera jefe de la empresa en que usted trabaja necesita

conocer las fuerzas en los miembros BD, BE, BC, CE y DE de la armadura Warren

modificada que se muestra en la figura (a). Le pide a usted, ingeniero subalterno que trabaja

para ella, que analice la armadura. Lleve a cabo el análisis para determinar las fuerzas

requeridas de los miembros.

Solución Usted decide proceder como se indica a continuación: Identifica los miembros de

los cuales se quieren las fuerzas, trazando dos líneas cortas a través de cada uno de esos

miembros de la figura (a). Por inspección, observa que BC es un miembro de fuerza nula

(como lo es el FG).

(a) (b)

Con base en el diagrama de cuerpo libre de la armadura completa (Fig. b), determine las

reacciones en los nudos A y H, aplicando el equilibrio del cuerpo rígido:

0xx AF

040002000yyy HAF

040002020001040 yA HM

Resuelve las ecuaciones (a) y (b) a fin de determinar Hy = 2500 lb y Ay = 3500 lb.

Decide que la fuerza en el miembro DE se determina con facilidad por el método de los

nudos y procede como sigue:

Nudo D: Con base en el diagrama de cuerpo libre de la figura (c), la ecuación de equilibrio

para las proyecciones verticales de las fuerzas da: - TDE - 4000 = 0, y TDE = -4000 lb. Por

consiguiente, el miembro DE está en compresión.

6

(c) (d)

Las fuerzas en los miembros BD, BE y CE siguen sin ser calculados. Observa que estos

miembros se pueden cortar mediante una sección vertical que cruce entre los nudos B y D.

La parte aislada que se muestra en la figura (d) se elige como el cuerpo libre. De modo que,

por las ecuaciones de equilibrio de la parte aislada, encuentra que

060cos ECEBDBx TTTF

02500400060senTF EBy (c)

025002032.17 DBE TM

Las ecuaciones (c) dan: TDB = -2887 lb, TEB = 1732 lb y TEC = 2021 lb. Puesto que TDB es

negativa, el miembro DB está en compresión; los miembros EB y EC están en tensión.

Esto completa su solución. Sin embargo, como es un ingeniero cauteloso, decide

comprobarla por el método alternativo siguiente:

Resolución alternativa Observa que se pueden determinar las fuerzas TDB, TEB y TEC con

la aplicación del teorema 4.8 y que las condiciones de equilibrio para la sección que se

muestra en la figura (d) pueden escribirse como

032.17250030400010 ECB TM

025002032.17 DBE TM

02500400060senTF EBy

7

en donde los subíndices B y E en la ecuación de momentos se refiere a los nudos B y E.

Entonces, resuelve estas ecuaciones para obtener TDB = -2887 lb, TEB = 1732 lb, y TEC =

2021 lb. Estos valores concuerdan con su solución anterior y se siente satisfecho con ello.

No obstante, como otra comprobación, decide verificar la suma de las fuerzas en la

dirección x:

05.017322021288730senTTTF EBECDBx

En verdad, esto es correcto.

Usted observa que la ventaja de esta solución alternativa sobre la anterior es que TDB, TEC y

TEB se determinan en forma independiente, a partir de una sola ecuación para cada una. De

este modo se evita la resolución de un conjunto de ecuaciones simultáneas. Asimismo, ya

que TDB, TEC y TEB se determinan en forma independiente, se puede usar la ecuación Fx =0

para comprobar las respuestas.

Información adicional Cuando se aplicó el método de las secciones para encontrar las

fuerzas en los miembros BD, BE y CE, se separó la armadura en dos partes mediante un

corte imaginario vertical. En general, el proceso de separar la armadura en dos partes no

requiere de un corte recto. Se puede trazar cualquier línea curva a través de una armadura

para separarla en dos partes. Tenga en cuenta que, no obstante, con cualquier línea, no

deben cortarse más de tres miembros con fuerzas desconocidas. También, advierta que se

puede seleccionar cualquiera de las dos partes de una armadura como el cuerpo libre para el

análisis por el método de las secciones. En este caso se usó la parte de la armadura que está

a la derecha del corte. Sin embargo, se pudo haber usado la parte izquierda para obtener

resultados equivalentes.

6.6 Armaduras Compuestas y Complejas

Como se examinó con anterioridad, una armadura simple es aquella que se puede montar

agregando sucesivamente dos miembros no colineales a un elemento triangular inicial. A

medida que agrega cada pareja de miembros, se añade otro nudo. No obstante, muchas

configuraciones de armadura no se pueden montar de esta manera. A menudo, estas

8

configuraciones se componen de dos o más armaduras simples que se unen entre sí. Esas

estructuras se conocen como armaduras compuestas. Para ser específicos, una armadura

compuesta está formada por dos o más armaduras simples unidas entre sí por uno o más

nudos comunes o por miembros adicionales.

En la figura 6.16 se muestran ejemplos de armaduras compuestas; las partes de armaduras

simples aparecen sombreadas. En la figura 6.16a, dos armaduras simples están unidas en un

nudo común, el A. Para lograr que la armadura resultante sea estable, se requieren dos

apoyos articulados (cuatro reacciones en los apoyos). En la figura 6.16b, dos armaduras

simples están unidas entre sí con tres miembros adicionales. La estabilidad queda asegurada

con las tres reacciones usuales en los apoyos.

Figura 6.16 Armaduras compuestas.

El análisis de una armadura compuesta se puede realizar con la aplicación del método de

los nudos o el de las secciones. Si se aplica el método de las secciones, se empieza por

dividir la armadura en sus componentes de armaduras simples. Por ejemplo, se puede

eliminar el pasador en el nudo A de la armadura compuesta de la figura 6.16a para separarla

en dos armaduras simples. Del mismo modo, se puede separar la armadura compuesta de la

figura 6.16b en dos partes al realizar un corte a lo largo de la línea punteada a trazos. A

continuación, se pueden analizar las armaduras simples usando el método de los nudos o el

de las secciones. Sin precisar el método que se use, es probable que tenga que resolver

ecuaciones simultáneas al analizar una armadura compuesta.

Las configuraciones de armaduras que no se pueden clasificar como simples o compuestas

se conocen como armaduras complejas. En general, una armadura compleja puede estar

9

compuesta por cualquier combinación de elementos triangulares, cuadriláteros y

poligonales. Con frecuencia, una armadura compleja tiene miembros que se cruzan uno

sobre el otro sin estar necesariamente unidos. En la figura 6.17 se muestran ejemplos de

armaduras complejas (en los dos ejemplos, los miembros se cruzan sin unirse). En el

análisis de una armadura compleja, se puede emplear el método de los nudos o el de las

secciones para generar ecuaciones de equilibrio, las cuales se resuelven entonces de manera

simultánea para obtener las fuerzas en los miembros. Observe que cada una de las

armaduras que se muestran en las figuras 6.16 y 6.17 es estáticamente determinada y

estable (ver ecuación 6.2).

Figura 6.17 Armaduras complejas, con miembros que sólo están unidos en los puntos.

6.7 Armaduras Espaciales

Concepto clave

Una armadura espacial se puede analizar por los mismos métodos usados para analizar una

armadura plana.

Hasta ahora, en esta unidad, el análisis se ha limitado a las armaduras planas

(bidimensionales). En esta sección se consideran con brevedad las armaduras espaciales

(tridimensionales). Una armadura espacial es un montaje de miembros rectos

bidimensionales en los cuales la disposición no se limita a las configuraciones planas.

Tanto el método de los nudos como el de las secciones, con sólo unas pequeñas

ampliaciones, se aplican al análisis de las armaduras espaciales (tridimensionales).

10

El elemento rígido fundamental de una armadura espacial es el tetraedro, el cual se muestra

en la figura 6.18a. Este elemento contiene seis miembros y cuatro nudos. La armadura

básica se amplía al agregar de manera sucesiva tres miembros no coplanares y un nudo

común (véanse las figuras 6.18b y 6.18c). Si una armadura espacial se monta de esta

manera y se restringe por seis reacciones en los apoyos (el número mínimo para el

equilibrio de un cuerpo tridimensional), entonces es estáticamente determinada y estable.

Como con las armaduras planas, una armadura es estáticamente determinada cuando el

número total de incógnitas (que consisten en m fuerzas desconocidas en los miembros más

r reacciones en los apoyos) es igual al número de ecuaciones independientes de equilibrio

para los nudos 3j; es decir,

m + r = 3j (6.3)

Figura 6.18 Armadura espacial simple: (a) elemento fundamental, un tetraedro; (b) primera

ampliación del elemento fundamental; (c) segunda ampliación del elemento fundamental.

Si se agregan más miembros a una armadura espacial, sin la adición de más nudos, esa

armadura se vuelve estáticamente indeterminada. Entonces se aplica la desigualdad:

m + r > 3j

Si se eliminan uno o más miembros de una armadura espacial estáticamente determinada,

no se satisface la ecuación (6.3), y la armadura se vuelve inestable.

Se puede aplicar el método de los nudos para analizar una armadura espacial, con la

predicción de que se deben satisfacer tres ecuaciones de equilibrio en cada nudo (tomado

11

como una partícula). Del mismo modo, se puede aplicar el método de las secciones (sección

6.5), entendiéndose que no deben cortarse más de seis miembros con fuerzas desconocidas

para aislar una parte, ya que, en tres dimensiones, se aplican seis ecuaciones de equilibrio a

un cuerpo rígido.

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Curso: Estática Aplicada (3271). Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles.

Profesor: Mauricio Muñoz P. / Ayudante: Eduardo Hurtado

Clase: 16 (01/06/07)

Unidad 6 Armaduras (continuación)

Ejemplo 1 Aguilón de carga para muelle

Planteamiento del problema Se usa una armadura giratoria que constituye un aguilón

para levantar la carga de los barcos y colocarla sobre un muelle (ver figura a). La armadura

puede girar tomando como pivote un eje vertical (paralelo al eje y) que pasa por el nudo A,

el cual está articulado al muelle. Los nudos B y C están apoyados por medio de rodillos al

propio muelle. Para una carga P = 50 kips, determine las fuerzas en los puntales en

compresión BE y CE y en el tirante en tensión AD.

(a)

Solución En primer lugar, se debe decidir qué estrategia de resolución emplear. Se puede

aplicar el método de los nudos, el método de las secciones, o una combinación de los dos.

Si se elige el método de los nudos, se podría empezar en el nudo E y hallar de inmediato las

fuerzas TBE y TCE, junto con TDE. En seguida, se podría avanzar hacia el nudo D para

obtener TAD. Por el método de las secciones, se pueden determinar las tres fuerzas en los

miembros que interesan, TBE, TCE, y TAD, con una sola sección que corte los miembros AD,

BD, CD, BE y CE para aislar el miembro DE. Con ambos procedimientos, tal parece que el

2

esfuerzo de cálculo es más o menos el mismo. De este modo, elija el método de las

secciones. La resolución por el método de los nudos se deja al estudiante como ejercicio.

(b)

Al cortar los miembros AD, BD, CD, BE y CE, se aísla el miembro DE, como se muestra en

el diagrama de cuerpo libre de la figura (b). Si se usa el punto O como el origen del sistema

de coordenadas xyz, se pueden establecer vectores de posición que vayan de punto a punto

y, por consiguiente, los cosenos directores para las fuerzas desconocidas. En la tabla 1 se

resumen las coordenadas de los nudos de la armadura, los vectores de posición y los

cosenos directores para las fuerzas.

Tabla 1

Antes de escribir las ecuaciones de equilibrio para el miembro DE, se observa que la

simetría de la estructura y su carga producirán fuerzas simétricas en los miembros. Por lo

tanto, TBD = TCD y TBE = TCE. De igual forma, la carga (en kips) se expresa en forma

vectorial como P=-50j. Ahora, con una cuidadosa selección de las ecuaciones de equilibrio,

se puede evitar la resolución de ecuaciones simultáneas. Se empieza con una ecuación para

los momentos alrededor del punto D:

3

MD = 0: rED X P + rED X TBE + rED X TCE = 0 (a)

donde rED es el vector de posición que va del nudo D al E; rED = 24i. Si se evalúa la

ecuación (a) y se observa que TBE = TCE, se obtiene

24(-50)k + 24[2TBE(-0.4364)]k + 24(0.2182TBE)j + 24(-0.2182TBE)j = 0

lo cual da TBE = TCE = -57.29 kips. Por tanto, los miembros BE y CE están en compresión.

Ahora bien, para hallar TAD, se observa que la ecuación escalar de equilibrio Fx = 0 para el

miembro DE sólo tendrá una incógnita, siendo ésta TAD. Esa ecuación toma la forma:

Fx = 0: 2TBE(-0.8729) + TAD(-0.5547) = 0 (b)

La resolución de la ecuación (b) da TAD = 180.31 kips (el miembro AD está en tensión).

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Curso: Estática Aplicada (3271). Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles.

Profesor: Mauricio Muñoz P. / Ayudante: Eduardo Hurtado

Clase: 17 (05/06/07)

Unidad 7 Vigas

Definición

Una viga es una barra delgada, recta o curva, apoyada en uno o más puntos a todo su largo.

Las vigas se usan mucho en sistemas mecánicos y estructurales, como edificios, puentes y

aviones. Generalmente, las vigas se someten a cargas dirigidas perpendiculares a sus ejes

longitudinales. Estas cargas hacen que se deflecten en el sentido transversal. Sin embargo,

las vigas también pueden sujetarse a fuerzas axiales o a momentos de torsión. Las vigas se

apoyan de varias maneras; por ejemplo, por pasadores, rodillos y mordazas

(empotramientos). Se someten a cargas concentradas, a pares (ahora los llamaremos

momentos) y a fuerzas distribuidas.

En esta unidad, el estudiante aprenderá cómo determinar las fuerzas internas en las vigas

(fuerzas axiales, fuerzas cortantes, momentos flexionantes y momentos de torsión).

Aprenderá cómo trazar diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flexionantes para las

vigas y cómo determinar la fuerza cortante máxima y el momento flexionante máximo en

éstas. Las magnitudes de estas fuerzas interiores son importantes en el diseño de las vigas.

7.1 Reacciones en los Apoyos: Vigas Sujetas a Fuerzas Concentradas y Momentos

Concepto Clave

Una viga es un miembro estructural largo y delgado que está apoyado en lugares discretos

ubicados a su largo y que se sujeta principalmente a cargas que causan flexión.

Una viga es un miembro sujeto principalmente a cargas que causan flexión. Por ejemplo,

una viga recta se vuelve curva o se deflecta bajo la acción de una fuerza que está dirigida

2

perpendicular al eje de ella (ver figura 7.1). En principio, una viga puede ser recta o curva.

En las estructuras de madera, a menudo se usan maderos rectos (con medidas

estandarizadas) como vigas. En los aviones, con frecuencia las vigas son curvas. En las

estructuras modernas de acero, se usan con amplitud vigas rectas con patines anchos, en las

cuales una gran parte del área de la sección transversal se localiza en estos últimos. Esta

forma de sección transversal de mejor inercia proporciona una alta resistencia a la flexión.

Fig. 7.1 Carga lateral sobre la viga Fig. 7.2 Sección transversal de una viga

Con patines anchos

Una viga que está apoyada sólo en uno de sus extremos se llama viga en voladizo. En la

figura 7.3a, se tiene una representación de una viga recta en voladizo. Se dice que el

extremo izquierdo de esta viga es el extremo empotrado, o extremo fijo, ya que se supone

que una viga en voladizo no tiene posibilidad de deslizarse ni girar en el extremo apoyado.

Se dice que el otro extremo de la viga en voladizo es el extremo libre, ya que no está

apoyado y puede trasladarse y girar.

Las fuerzas y los pares ejercidos sobre la viga por sus apoyos se llaman reacciones en los

apoyos. Son las reacciones a las fuerzas ejercidas sobre el apoyo por la viga. La estructura

de apoyo de una viga en voladizo ejerce en realidad fuerzas distribuidas sobre el extremo

de ella que son equivalentes a una fuerza transversal F y un momento M (ver figura 7.3b).

En lugar de mostrar una viga en voladizo empotrada en su estructura de apoyo, como en las

figuras 7.3a y 7.3b, en este curso se representa un apoyo fijo de una viga de ese tipo y su

sistema equivalente de fuerzas de modo más sencillo, como se muestra en la figura 7.3c.

Una viga recta que está apoyada en uno de sus extremos por un rodillo y en el otro por una

articulación se llama viga simple (ver figura 7.4). Como recordará, un apoyo de rodillos se

representa por cualquiera de estos símbolos: . La fuerza ejercida sobre un apoyo

3

de rodillos es perpendicular a la superficie sobre la cual actúa. Con el símbolo se

denota un apoyo de pasador o articulado. La reacción en el apoyo, en un pasador o una

articulación, es una fuerza que actúa formando un ángulo particular o, lo que es

equivalente, se tienen componentes horizontal y vertical de una fuerza.

Fig. 7.3 a) Viga en voladizo. b) Fuerzas sobre el extremo apoyado. c) Representación del apoyo fijo

Fig. 7.4 Viga simple estáticamente determinada

Por lo común, una viga recta se carga por fuerzas transversales paralelas. El análisis que

sigue se basa en esta situación; en cuyo caso, sólo se dispone de dos ecuaciones de

equilibrio para determinar las reacciones en los apoyos (ver ítem 4.6). Si el eje x es paralelo

al eje longitudinal de la viga y si el eje y es transversal a ésta, estas ecuaciones son Fy = 0

y M = 0, ya que sin la presencia de cargas en la dirección x, Fx = 0 se satisface de igual

manera. Si sólo se tienen dos reacciones desconocidas, estas ecuaciones son suficientes

para determinarlas. En este caso, la viga es estáticamente determinada. Si se tienen más de

dos reacciones desconocidas, estas ecuaciones no son suficientes para determinarlas.

Entonces, la viga es estáticamente indeterminada; es decir, sus reacciones no se pueden

determinar por medio de las ecuaciones del equilibrio estático. Por ejemplo, la viga simple

de la figura 7.4 es estáticamente determinada. Sin embargo, si se agrega otro apoyo de

rodillos, como se muestra en la figura 7.5, la viga se convierte en estáticamente

indeterminada.

4

Fig. 7.5 Viga estáticamente indeterminada

Para resolver problemas que comprenden vigas estáticamente indeterminadas, se deben

investigar las deflexiones de las mismas. Sin embargo, la determinación de las deflexiones

de las vigas se encuentra más allá de los alcances de la estática. Se trata en cursos sobre

resistencia de materiales y análisis estructural. En este curso, sólo se analizarán vigas

estáticamente determinadas.

Técnica de resolución de problemas

Reacciones en los apoyos para vigas estáticamente determinadas

Con el fin de determinar las reacciones en los apoyos para una viga estáticamente

determinada:

1. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la viga. Para una viga simple con dos apoyos,

las reacciones en éstos son fuerzas. Para una viga en voladizo empotrada en un muro,

las reacciones en el apoyo son un momento y dos fuerzas.

2. Represente cada fuerza por una flecha recta y asígnele una letra. Represente un

momento por una flecha curva y asígnele otra letra. Si nos es obvio el sentido de una

reacción en un apoyo, suponga un sentido.

3. Seleccione ejes xy, con el eje x a lo largo del eje de la viga y el y hacia arriba. Aplique

las ecuaciones de equilibrio (Fy = 0, M = 0) al diagrama de cuerpo libre. En este

caso no se necesitará las ecuaciones en el eje x ya que no existe fuerza externa en el

mismo.

4. Resuelva las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones en los apoyos. Si

la reacción en un apoyo es positiva en la solución, el sentido elegido en el paso 2 es

5

correcto. Si la reacción en un apoyo es negativa, su sentido correcto es opuesto al que

se eligió en el paso 2.

Ejemplo 1 Viga simple en un voladizo

Planteamiento del problema Determine las reacciones en los apoyos de la viga de madera

que se muestra en la figura (a).

(a)

Solución En la figura (b) se muestran el diagrama de cuerpo libre de la viga y los ejes xy.

Las reacciones en los apoyos se representan por R1 y R2. Puesto que no se tienen fuerzas en

la dirección x, no se muestran reacciones horizontales. La ecuación de equilibrio para las

fuerzas es

Fy = R1 + R2 - 1000 - 2000 - 1000 = 0 (a)

La ecuación de equilibrio para los momentos respecto al apoyo izquierdo es

M = 8R2 - 2(1000) - 4(2000) - 10(1000) = 0 (b)

Las ecuaciones (a) y (b) dan R1 = 1500 N y R2 = 2500 N.

(b)

6

Ejemplo 2 Viga simple sujeta a pares

Planteamiento del problema Determine las reacciones en los apoyos de la viga simple de

acero sujeta a momentos, como se muestra en la figura (a).

(a)

Solución En la figura (b) se muestran el diagrama de cuerpo libre de la viga y los ejes xy.

Las reacciones en los apoyos se representan por R1 y R2. Una vez más, no se muestran

reacciones horizontales, puesto que no se aplican fuerzas externas horizontales. La

ecuación de equilibrio para las fuerzas es

Fy = R1 + R2 = 0 (a)

La ecuación de equilibrio para los momentos respecto al apoyo izquierdo es

M = 20R2 + 6000 - 1000 = 0 (b)

(b)

Las ecuaciones (a y (b) dan R1 = +250 lb y R2 = -250 lb

Ya que R2 es negativa, el apoyo de la derecha tira hacia abajo sobre la viga (ver figura c)

(c)

7

Información adicional Observe que no fue necesario especificar las ubicaciones de los

pares o momentos para determinar las reacciones en los apoyos (efectos externos sobre la

viga), ya que el momento de un par que actúa sobre un cuerpo rígido plano es

independiente de la localización del par en el plano. Sin embargo, las fuerzas internas

(fuerzas cortantes y momentos fiexionantes en la viga) sí dependen de la ubicación del par

(lo veremos en el desarrollo de esta unidad). Asimismo, a pesar de su aspecto, se supone

que el apoyo de rodillos que está a la derecha de la viga opone resistencia a las fuerzas que

actúan hacia arriba o hacia abajo. Por consiguiente, la viga no se levantará separándose del

apoyo de rodillos.

7.2 Fuerzas Cortantes y Momentos Flexionantes en las Vigas

Concepto Clave

La fuerza cortante y el momento flexionante son fuerzas internas en las vigas. Son

causados por cargas transversales y pares exteriores.

Fig. 7.6 a) Viga en voladizo. b) Parte de una viga a la izquierda de a-a. c) Momento flexionante positivo.

d) Parte de una viga a la derecha de a-a

8

En el ítem anterior se dibujaron diagramas de cuerpo libre de vigas completas. En el

análisis de fuerzas interiores, también se usan con amplitud diagramas de cuerpo libre de

partes de las vigas. Como ejemplo, considere de nuevo la viga del ejemplo 7.1 (ver figura

7.6a). Separe la viga en dos partes, seccionándola en la sección a-a, a una distancia x del

apoyo izquierdo (x se encuentra en el intervalo 2m < x < 4m). En la figura 7.6b se muestra

el diagrama de cuerpo libre de la parte a la izquierda de la sección a-a. En el ejemplo 7.1 se

encontró la reacción en el apoyo de 1500 N. En general, para que esta parte esté en

equilibrio, deben actuar una fuerza V y un par cuyo momento sea M en el corte. La fuerza V

y el momento M son las resultantes de las fuerzas distribuidas sobre la sección transversal.

En el diagrama de cuerpo libre de la parte aislada de la viga (Fig. 7.6b), V y M se

consideran como fuerzas externas. Sin embargo, para la viga como un todo (Fig. 7.6a), son

fuerzas internas en la sección a-a.

La fuerza V es la resultante de las fuerzas transversales que están distribuidas sobre la

sección transversal en el corte. Ésta se conoce como la fuerza cortante (o, sencillamente, la

cortante) que actúa sobre la viga en la sección a-a. Puesto que V actúa sobre la sección a-a,

es una cortante interna. El momento del par M es resultante de la fuerza transversal

distribuida que actúa sobre la sección a-a. Se le llama momento flexionante que actúa sobre

la viga en la sección a-a. De modo semejante a V, es una fuerza interna y en este caso un

momento flector interno.

En la figura 7.6b se muestran cuáles sentidos de la fuerza cortante V y del par M suelen

considerarse como positivos. Un momento flexionante positivo tiende a doblar a un

elemento de la viga de tal manera que sea cóncava hacia arriba, con respecto al plano en el

cual se encuentra (ver figura 7.6c).

Equilibrio de la parte izquierda de la viga Se pueden determinar las cantidades V y M

por medio de las condiciones de equilibrio para la parte aislada de la viga (ver figura 7.6b).

La ecuación de equilibrio de las fuerzas es

+ Fy = 1500 – 1000 – V = 0 (a)

es decir, V = 500 N

La ecuación de equilibrio de los momentos respecto de la sección a-a es

9

+Ma-a = -1500x + l000(x - 2) + M = 0 (b)

esto es, M = 500x + 2000 [Nm]

Equilibrio de la parte derecha de la viga En lugar de determinar la fuerza cortante y el

momento flector usando las condiciones de equilibrio para la parte izquierda de la viga, se

les puede deducir si se considera el equilibrio de la parte derecha como sigue: En la figura

7.6d, se muestra el diagrama de cuerpo libre de la parte derecha de la viga. Por la tercera

ley de Newton, la fuerza cortante V y el momento flector M que actúan sobre la parte

derecha de la viga en la sección a-a son iguales, respectivamente, a la fuerza cortante y el

momento flector que actúan sobre la parte izquierda de la propia viga en la sección a-a,

pero sus sentidos son los contrarios. Para ser coherentes con las convenciones de los signos

que se adoptaron para la parte izquierda de la viga, se especifica que la fuerza cortante y el

momento flector sobre la parte derecha son positivos cuando actúan como se muestra en la

figura 7.6d. Entonces, se pueden calcular M y V al considera un diagrama de cuerpo libre

de la parte izquierda o de la derecha.

La ecuación de equilibrio de las fuerzas para la parte derecha de la viga es (ver figura 7.6d)

+ Fy = V - 2000 + 2500 - 1000 = 0 (c)

en donde la reacción en el apoyo de 2500 N se determinó en el ejemplo 1. En consecuencia,

V= 500 N, como antes. La ecuación de equilibrio para los momentos respecto a un punto en

la sección a-a es

+Ma-a = 2500(8 - x) - 1000(10 - x) - 2000(4 - x) - M = 0 (b)

De manera que, M = 500x + 2000 [Nm], como antes.

Punto de vista alternativo Considerando una vez más el diagrama de cuerpo libre de la

parte izquierda de la viga (Fig. 7.6b), se puede escribir la ecuación de equilibrio de las

fuerzas [ ecuación (a)] como sigue:

V = 1500 – 1000 = 500N

Por otra parte, la ecuación de equilibrio de las fuerzas para la parte derecha de la viga es

[ver ecuación (c)]

10

V = 2000 - 2500 + 1000 = 500N

Estas relaciones ilustran el teorema siguiente:

Teorema 7.1

La fuerza cortante V en cualquier sección transversal de una viga horizontal es la suma

algebraica de las proyecciones verticales de todas las fuerzas (incluyendo las reacciones en

los apoyos) a la izquierda de la sección transversal dada, en donde, en la suma, la

proyección de una fuerza es positiva si su sentido es hacia arriba y negativa si lo es hacia

abajo. De modo alternativo, la cortante V es la suma algebraica de las proyecciones

verticales de todas las fuerzas (incluyendo las reacciones en los apoyos) a la derecha de la

sección transversal dada. En este caso, la proyección de una fuerza es positiva si su sentido

es hacia arriba y negativa si lo es hacia abajo.

Se aplica un teorema semejante para los momentos flexionantes. Por ejemplo, considere los

diagramas de cuerpo libre para las partes izquierda y derecha de la viga (figuras 7.6b y

7.6d, respectivamente). Se puede escribir la ecuación de momentos como [ver figura 7.6b y

la ecuación (b)]

M = 150x - 1000(x - 2) = 500x + 2000 [Nm]

o bien [ver figura 7.6d y la ecuación (d)]

M = 2500(8 - x) - 1000(10 - x) - 2000(4 - x) = 500x + 2000 [Nm]

Estas relaciones ilustran el teorema siguiente:

Teorema 7.2

El momento flector M en cualquier sección transversal de una viga horizontal es la suma de

los momentos respecto a la sección transversal dada de todas las fuerzas (incluyendo las

reacciones en los apoyos) a la izquierda de dicha sección, en donde, en la suma, un

momento en el sentido contrario (antihorario) del movimiento de las agujas del reloj es

11

positivo y uno en sentido horario a favor de las agujas del reloj es negativo. De manera

alternativa, el momento flexionante M es la suma de los momentos respecto a la sección

transversal dada de todas las fuerzas (incluyendo las reacciones en los apoyos) a la derecha

de dicha sección. En este caso, un momento en sentido antihorario es positivo y uno en

sentido horario es negativo.

Estos teoremas son equivalentes a las ecuaciones de equilibrio para cada una de las partes

de la viga. Se pueden usar directamente para determinar la fuerza cortante y el momento

flector en cualquier sección de la viga sujeta a pares y a fuerzas concentradas transversales

o bien, se pueden usar para comprobar los resultados obtenidos de la consideración del

equilibrio de cada una de las partes de la viga por separado. Aunque estos teoremas sólo se

han ilustrado por un ejemplo numérico, se cumplen para cualquier viga que esté sujeta a

pares y a fuerzas concentradas transversales.

Técnica de resolución de problemas

Fuerzas cortantes y momentos flexionantes en vigas sujetas a fuerzas concentradas y

momentos.

Para determinar las fuerzas cortantes y los momentos flectores en una viga:

1. Determine las reacciones en los apoyos por medio de la técnica de resolución de

problemas descrita en el ítem 7.1.

2. Trace un plano de corte a través de la sección transversal en donde se deben determinar

la fuerza cortante y el momento flexionante.

3. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la parte de la viga a la izquierda (o a la derecha)

del corte y designe la fuerza cortante en éste con la letra V y el momento e el mismo

con la letra M. Seleccione los sentidos positivos de V y M, como se describió antes.

4. Seleccione los ejes xy y, usando el diagrama de cuerpo libre del paso 3, escriba las

ecuaciones de equilibrio para la parte de la viga.

12

5. Resuelva las ecuaciones de equilibrio para determinar la fuerza cortante V y el

momento flexionante M.

6. Repita los pasos 2 al 5 para cada una de las secciones de la viga para las cuales deban

determinarse V y M.

7. De modo alternativo, se pueden reemplazar los pasos 2 al 5 por la aplicación de los

teoremas 7.1 y 7.2.

Ejemplo 3 Fuerza cortante y momento flector en una viga simple

Planteamiento del problema Una viga simple de acero está sujeta a dos fuerzas

transversales y a un momento (ver figura a).

a. Determine las reacciones en los apoyos.

b. Determine la fuerza cortante y el momento flector en cada uno de los segmentos de la

viga AB, BC, CD y DE.

(a)

Solución Este problema se puede resolver por cualquiera de los dos métodos discutidos en

esta sección; es decir, considerando las ecuaciones de equilibrio (con los diagramas de

cuerpo libre) para cada una de las partes por separado de la viga o mediante la aplicación de

los teoremas 7.1 y 7.2. Cada uno de los métodos tiene sus ventajas. El procedimiento en el

que se utilizan los diagramas de cuerpo libre de las partes de la viga y las ecuaciones

correspondientes de equilibrio puede parecer más fundamental (y familiar). Sin embargo,

los teoremas 7.1 y 7.2 son fundamentales por igual, ya que se basan en la satisfacción de las

ecuaciones de equilibrio. En este ejemplo se usan los teoremas para resolver el problema.

Se le invita a que lo resuelva usando las ecuaciones de equilibrio para cada una de las

13

partes por separado de la viga y que compare ese procedimiento con el empleado. El primer

paso en cualquiera de los dos procedimientos es determinar las reacciones en los apoyos de

la viga.

a. Se considera el diagrama de cuerpo libre de la viga completa y se seleccionan los ejes xy

(ver figura b). Las ecuaciones de equilibrio para la viga son

Fx = Ax = 0

Fy = Ay - 6 + 8 + E = 0 (a)

MA = 8E + 6(8) + 12 - 2(6) = 0

La resolución de las ecuaciones (a) da

Ax = 0 Ay = 4 kN E = - 6kN

(b) (c)

Como E es negativa, su sentido está en la dirección y negativa. En la figura (c) se muestran

las reacciones con sus sentidos correctos.

b. Para determinar la fuerza cortante y el momento flector en cada segmento de la viga, se

usarán los teoremas 7.1 y 7.2. Por consiguiente, se consideran las secciones transversales

a-a, b-b, c-c y d-d en la viga (ver figura c). Aplicando el teorema 7.1, se obtiene lo

siguiente:

Segmento AB: 0m < x < 2m V = +4 kN

Segmento BC: 2m < x < 4m V = - 2kN

Segmento CD: 4m < x < 6m V = - 2kN

Segmento DE: 6m < x < 8m V = +6 kN

14

Del mismo modo, aplicando el teorema 7.2, se obtiene lo siguiente:

Segmento AB: 0m < x < 2m M = 4x

Segmento BC: 2m < x < 4m M = 4x - 6(x - 2) = - 2x + 12

Segrnento CD: 4m < x < 6m M = 4x - 6(x - 2) – 12 = - 2x

Segmento DE: 6m < x < 8m M = 4x - 6(x - 2) – 12 + 8(x - 6) = 6x – 48

1

Curso: Estática Aplicada (3271). Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles.

Profesor: Mauricio Muñoz P. / Ayudante: Eduardo Hurtado

Clase: 18 (12/06/07)

Unidad 7 Vigas (continuación)

7.3 Vigas Sujetas a Fuerzas Axiales y Momentos de Torsión

Concepto Clave

Las fuerzas axiales y los momentos de torsión (torques) son fuerzas internas en las vigas.

Pueden ser causados por una amplia variedad de fuerzas aplicadas externamente a un

sistema estructural.

Además de las fuerzas cortantes y los momentos flectores, fuerzas axiales y momentos de

torsión pueden actuar sobre miembros estructurales largos y delgados. Una fuerza axial

actúa normal a la sección transversal. Un momento de torsión es un momento que actúa en

torno al eje longitudinal de un miembro y que tiende a hacer girar a la sección transversal

de ese miembro alrededor del eje longitudinal de éste. Cuando la fuerza interna primaria en

un miembro es una fuerza axial o un momento de torsión, algunos autores le dan a este

miembro el nombre de flecha. En este curso se usará el término viga en todos los casos.

Fuerzas axiales

Para ver un ejemplo de una fuerza axial que actúa sobre una sección transversal de una

viga, seccione la viga en voladizo con forma de L que se muestra en la figura 7.7a por

medio del plano de la sección transversal a-a. En la figura 7.7b se muestra el diagrama de

cuerpo libre de la parte de la viga a la derecha de la sección a-a. El sistema de fuerzas que

actúa sobre la sección transversal se representa por una componente axial N, una

componente transversal V y un momento flector M. La fuerza N es la fuerza axial neta que

2

actúa en la sección a-a. La fuerza V es la fuerza cortante sobre la sección transversal y M es

el momento del par sobre la sección a-a. Las fuerzas N, V y M son las resultantes de las

fuerzas (cargas) distribuidas que actúan sobre la sección transversal de la viga.

En el ítem 4.5 se demostró que una fuerza se puede desplazar en sentido lateral si se agrega

un par de compensación. En consecuencia, se puede ubicar la línea de acción de la fuerza F

en cualquier lugar sobre la sección transversal. Es costumbre ubicarla en el centroide de la

sección transversal. Para nuestros fines, se considera el centroide como el punto en donde

el eje de la viga (la línea a trazos de las figuras 7.7b y 7.7c) se intercepta con la sección

transversal de la misma. El momento flexionante M del par de compensación depende de la

especificación de la línea de acción de la fuerza N (ver ítem 4.5).

Las cantidades N, V y M se determinan por las condiciones de equilibrio para la parte

aislada de la viga (ver figura 7.7b):

Fx = N - 400 = 0

Fy = V + 200 - 100 = 0

Mo = - M + 200(b - 12) - 100b - 400(8) = 0

en donde Mo denota la suma de los momentos respecto al punto O (Fig. 7.7b). Estas

ecuaciones dan

N = 400 lb

V = -100 lb (a)

M = -5600 + 100b [lbin]

3

Fig. 7.7

Las ecuaciones (a) se pueden usar para determinar la reacción del apoyo. Porque, si b = 40

in, la figura 7.7b se convierte en una diagrama de cuerpo libre de la viga completa.

Entonces N, V y M son las reacciones de la estructura de apoyo. A partir de las ecuaciones

(a), estas reacciones son

N = 400 lb

V = -100 lb

M = -1600 lbin

En la figura 7.7c, se tiene un diagrama de cuerpo libre de la viga completa, en el que se

muestran las reacciones con sus sentidos correctos.

Momento de torsión o torque

En los sistemas mecánicos, una flecha o una barra a menudo se sujetan a un momento

alrededor de su eje longitudinal. Este momento se conoce como momento de torsión o

torque. Como un ejemplo, considere una viga que se somete a torsión por un par cuyas

fuerzas tienen magnitud F y su brazo de palanca es a (ver figura 7.8a). Seccione la viga por

un plano A de sección transversal. Dado que las cargas aplicadas constituyen un par con

momento Fa, la reacción en la sección transversal A es un par con momento T = -Fa (figura

7.8b). El par de resistencia se encuentra en el plano A de la sección transversal. Éste se

conoce como momento de torsión, torque en la sección o, de manera más explícita, torque

de resistencia. El par que se aplica al brazo transversal se llama torque aplicado. En

general, un torque es un par que se encuentra en un plano de sección transversal de una

barra o de una viga sobre la cual actúa. Un par de este tipo se puede representar por una

flecha de doble punta que sea perpendicular a la sección transversal de la barra, como se

4

muestra en la figura 7.8c. (En general, un torque o momento de torsión se designa con T,

para distinguirlo de un momento flector.) Una viga se somete a torsión en torno a su eje

longitudinal por la acción de un torque. Esta acción en una viga se menciona sencillamente

como torsión.

Fig. 7.8 Torque aplicado a una flecha.

Técnica de resolución de problemas

Fuerza axial, fuerza cortante, momento flexionante y torque en una viga

estáticamente determinada.

Para determinar la fuerza axial, la fuerza cortante, el momento flector y el torque en una

viga:

1. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la viga completa.

2. Seleccione los ejes xy y, a partir del diagrama de cuerpo libre, escriba las ecuaciones de

equilibrio para la viga.

3. Resuelva las ecuaciones de equilibrio para las reacciones en los apoyos.

4. En seguida, haga un corte transversal de la viga. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de

la parte de la viga, a la izquierda o a la derecha del corte, y seleccione los sentidos

positivos para la fuerza axial, la fuerza cortante, el momento flexionante y el torque que

actúan en el corte.

5. Elija los ejes xy y, a partir del diagrama de cuerpo libre de la parte, escriba las

ecuaciones de equilibrio.

5

6. Resuelva las ecuaciones de equilibrio para las incógnitas que actúan en el corte.

7. Repita los pasos 4, 5 y 6 para otras secciones en la viga, según se requiera.

Nota: Para una viga en voladizo, a menudo resulta ventajoso empezar en el extremo libre y

recortar una parte de ese extremo, dibujar un diagrama de cuerpo libre (DCL) de esa parte e

ir hacia el paso 5 (ver figuras 7.7a y 7.7b).

Ejemplo 4 Fuerzas internas en una viga recta

Planteamiento del problema Una viga recibe la acción de una fuerza aplicada a un brazo

rígido sobre saliente (figura a). Determine la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento

flector en los segmentos AB y BC de la viga.

(a)

Solución Para iniciar la resolución, se dibuja un DCL de la parte recta de la viga sacada de

sus apoyos y se seleccionan los ejes xy (figura b). Para transferir la fuerza de 10 kN al

centroide de la sección transversal de la viga, en B, se debe introducir un par de

compensación con momento M = 5 kNm (ver ítem 4.5).

(b)

Las ecuaciones de equilibrio para la viga son

Fx = Ax - 10 = 0

Fy = Ay + C = 0

6

MA = 2C + 5 = 0

Si se resuelven estas ecuaciones, se obtiene

Ax = + 10 kN

Ay = + 2.5 kN

C = -2.5 kN

En seguida se considera el DCL de la viga a la izquierda de la sección a-a (0 < x < 1m),

mostrado en la figura c. Las ecuaciones de equilibrio para esta parte son

(c)

Fx = 10 – N = 0

Fy = 2.5 – V = 0

MA = M – Vx = 0

Al resolver estas ecuaciones, se obtiene

N = 10 kN 0m < x < 1m

V = 2.5 kN 0m < x < 1m (a)

M = 2.5x [kNm] 0m < x < 1m

Ya que N, V y M son todos positivos, sus sentidos son correctos como en la figura (c).

(d)

7

Por último, se considera el DCL de la parte de la viga a la izquierda de la sección b-b (1m <

x < 2m), mostrado en la figura d. (Nota: De modo alternativo, se pudo considerar el DCL

de la parte de la viga a la derecha de la sección b-b. Se deja esto para que lo haga usted).

Las ecuaciones de equilibrio para esta parte de la viga son

Fx = 10 -10 - N = 0

Fy = 2.5 - V = 0

MA = 5 + M - Vx = 0

La resolución de estas ecuaciones da

N = 0 1m < x < 2m

V = 2.5 kN 1m < x < 2m (b)

M = 2.5x - 5 [kNm] 1m < x < 2m

Como V es positiva, su sentido es correcto como se muestra en la figura d. Sin embargo,

que M es negativo en el rango 1m <x < 2m, el sentido correcto de M es el del movimiento

de las agujas del reloj (opuesto al sentido que se muestra en la figura d). A partir de la

última de las ecuaciones (b), se ve que M = 0 en x = 2m, como debe de ser, ya que un apoyo

de rodillos no puede oponer resistencia a un momento. Del mismo modo, se nota que la

fuerza axial N es constante (10 kN), en el segmento AB, y cero en el segmento BC. Este

resultado es coherente con el hecho de que el rodillo en C no puede oponer resistencia a

una fuerza horizontal.

Ejemplo 5 Viga curva en voladizo

Planteamiento del problema En la figura (a) se representa una viga en voladizo que es

curva con la forma de un arco circular de 90°. Determine las reacciones del soporte del

muro.

8

(a) (b)

Solución En el diagrama de cuerpo libre de la viga (Fig. b), las reacciones del apoyo son

las componentes horizontal y vertical de las fuerzas representadas por Rx y Ry

respectivamente, y el par con momento M1. Estas reacciones se deben a las fuerzas

distribuidas que ejerce el apoyo. En este caso, el apoyo también ejerce una reacción

horizontal para equilibrar la componente horizontal de la carga de 800N y la carga

horizontal de 200N. Se supone que las reacciones horizontal y vertical, Rx y Ry, son

positivas en las direcciones x y y, respectivamente, y el momento M1 se toma como positivo

en sentido contrario al del movimiento de las agujas del reloj.

Si se plantea la ecuación de equilibrio de los momentos, se toman los momentos respecto al

origen O de las coordenadas xy. Éste es un centro conveniente de momentos, ya que tres

fuerzas (la de 800N, la de 200N y Ry) pasan por O y, por lo tanto, los momentos de estas

fuerzas respecto de este punto son cero (ver figura b). Las ecuaciones de equilibrio son

Fx = Rx + 800 sen30° - 200 = 0

Fy = Ry + 800 cos30° - 500 = 0

Mo = M1 - 500(2 cos45°) - 2Rx = 0

Estas ecuaciones dan

Rx = -200 N

Ry = -l92.8N

M1 = +307.1 Nm

Las cantidades Rx, Ry y M1 son la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento en el

extremo empotrado de la viga. Observe que como Rx y Ry son negativas, en realidad actúan

9

hacia la izquierda y hacia abajo, respectivamente. Asimismo, dado que Rx actúa hacia la

izquierda, se tiene una fuerza axial de tensión en el extremo empotrado.

Diagramas de Fuerzas Internas para Vigas Sujetas a Fuerzas Concentradas y

Pares

Concepto Clave

Los diagramas de fuerzas internas son herramientas importantes usadas en el diseño de

vigas y flechas.

La fuerza axial N, la fuerza cortante V, el momento flexionante M y el torque T en cualquier

sección de una viga se puede representar gráficamente. Las gráficas de estas cantidades,

llamadas diagramas de fuerzas internas, son útiles en la etapa del diseño de vigas. También

proporcionan un medio para visualizar los resultados de los cálculos. Para construir una

gráfica de este tipo, se determinan expresiones para N, V, M y T, como funciones de la

coordenada axial x del miembro. (Ver ítem 7.2 y 7.3, así como los ejemplos 3 y 4). A

continuación, se traza un esquema de cada función y se alinea con un esquema de la viga.

A partir de estos diagramas, se pueden leer con facilidad los valores de N, V, M y T, para

cualquier valor de x; es decir, para cualquier sección transversal de la viga. En los ejemplos

siguientes se analizan características importantes de estas gráficas.

Ejemplo 6 Diagramas de la cortante y del momento flexionante de una viga simple sujeta

a cargas concentradas

Planteamiento del problema Dibuje los diagramas de la fuerza cortante y del momento

flector para la viga del ejemplo 1, la cual se muestra de nuevo en la figura (a).

10

(a)

Solución La fuerza cortante en la viga se puede determinar por la aplicación del teorema

7.1. Aplicando este método, se obtienen las reacciones R1 = 1500N y R2 = 2500N, y las

cortantes internas

V = +1500N 0m < x < 2m

V = +500N 2m < x < 4m

V= -1500N 4m < x < 8m (a)

V = +1000N 8m < x < 10m

De manera semejante, se puede usar el teorema 7.2 para hallar el momento flector en la

viga. Este procedimiento da

M = +1500x [Nm] 0m < x < 2m

M = +500x + 2000 [Nm] 2m < x < 4m

M = -1500x + 10000 [Nm] 4m < x < 8m (b)

M = +1000x - 10000 [Nm] 8m < x < 10m

En la figura (b), se tienen las gráficas de los diagramas de la fuerza cortante y del momento

flector de las funciones definidas por las ecuaciones (a) y (b). Para el caso de una viga

sujeta a fuerzas verticales concentradas, la fuerza cortante V permanece constante entre

fuerzas adyacentes en el diagrama de fuerza cortante. En un punto en donde actúa una

fuerza concentrada, la cortante sufre un cambio igual en magnitud al de esa fuerza en el

diagrama de fuerza cortante. Asimismo, para una viga sujeta a fuerzas concentradas, el

momento flector M es una función lineal de la coordenada axial x, en cada intervalo entre

las fuerzas; es decir, el diagrama del momento flector consta de segmentos rectilíneos entre

las fuerzas. Por lo tanto, sólo es necesario situar en la gráfica los momentos en los puntos

11

extremos de los segmentos y dibujarse por medio de rectas. Asimismo, en una carga

concentrada, el momento cambia de pendiente pero no de magnitud.

(b)

1

Curso: Estática Aplicada (3271). Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles.

Profesor: Mauricio Muñoz P. / Ayudante: Eduardo Hurtado

Clase: 19 (22/06/07)

Unidad 7 Vigas (continuación)

Relaciones cortante/momento

Como se ilustró en el ejemplo 6 (Fig. b), en el segmento de una viga recta entre dos cargas

transversales concentradas adyacentes, la fuerza cortante es constante y el momento flector

varía en forma lineal. Este hecho indica la existencia de una relación más general entre la

fuerza cortante y el momento flector en una viga recta. Con el fin de determinar esta

relación, considérese una viga sujeta a un sistema de cargas transversales concentradas

arbitrarias. Para relacionar la fuerza cortante V con el momento flector M, en primer lugar

se hace un corte a-a en el lugar x entre dos de las cargas concentradas y se construye un

diagrama de cuerpo libre de la parte de la viga a la derecha de ese corte (ver figura 7.9b).

En el corte a-a se muestran la fuerza cortante V y el momento flector M en sus sentidos

positivos. A continuación, se hace un segundo corte b-b, a la distancia infinitesimal dx a la

derecha del corte a-a y se dibuja un diagrama de cuerpo libre del elemento infinitesimal de

la viga, de longitud dx, entre los cortes (ver figura 7.9c). En el corte b-b se muestran la

fuerza cortante V + dV y el momento flector M + dM en sus sentidos positivos. Las

cantidades diferenciales dV y dM son los cambios en V y M que ocurren sobre el intervalo

dx.

La ecuación de equilibrio de las fuerzas en la dirección y (Fig. 7.9c) es

Fy = V - (V + dV) = 0

o bien dV = 0 (a)

La ecuación (a) indica que la fuerza cortante V es constante en el intervalo entre cargas

concentradas consecutivas, ya que su cambio dV en el intervalo dx, en cualquier posición x

entre las cargas, es cero.

2

Figura 7.9 (a) Viga cargada arbitrariamente. (b) Diagrama de cuerpo libre del segmento de la viga a la

derecha de la sección a-a. (c) Diagrama de cuerpo libre del segmento infinitesimal de la viga.

De manera semejante, la ecuación de equilibrio de los momentos, para el elemento dx (Fig.

7.9c), es

Mo = M + Vdx – (M + dM) = 0 (b)

donde Mo denota los momentos respecto al punto O, en el lugar x + dx. Después de la

cancelación de M, la ecuación (b) proporciona la relación siguiente entre V, dM y dx:

dx

dMV (7.1)

La integración de la ecuación (7.1) da

M2 – M1 =

2

1

12

x

x

xxVVdx (7.2)

3

donde x2 > x1 denota dos posiciones entre cargas concentradas consecutivas sobre la viga.

Las ecuaciones (7.1) y (7.2) se pueden interpretar en forma geométrica. Específicamente, a

partir de la ecuación (7.1), se obtiene la regla siguiente:

REGLA Pendiente del diagrama del momento flector: La razón de cambio dM/dx del

momento flector M, en el lugar x (la pendiente del diagrama del momento en x) es igual a la

fuerza cortante y en x. En otras palabras, la razón de cambio del momento flector en x es

igual a la cortante en x.

Se observa que un valor positivo de V denota una pendiente positiva del diagrama del

momento flector, y un valor negativo de V denota una pendiente negativa.

Del mismo modo, a partir de la ecuación (7.2), se obtiene la regla siguiente:

REGLA Cambio en el momento flector: El cambio en el diagrama del momento flector

entre x1 y x2 es igual al área debajo del diagrama de la cortante, desde la posición x1 hasta la

posición x2.

Con el fin de hacer una interpretación más profunda sobre esta regla, se observa que si V,

de la ecuación (7.2), es positiva, el cambio en M desde x1 hasta x2 es positivo; si V es

negativa, el cambio en M es negativo.

Dado el diagrama de la cortante, si se usan estas dos reglas, se puede dibujar el diagrama

del momento flector para una viga sujeta a cargas concentradas, sin tener que deducir

expresiones para M en cada intervalo de carga de esa viga (ver ejemplo 7). En el ítem 7.5 se

amplían estas reglas para aplicarse a vigas sujetas a cargas distribuidas.

Ejemplo 7 Construcción de un diagrama del momento flector usando las relaciones

cortante/momento.

4

(a)

Planteamiento del problema Determine las reacciones en los apoyos y dibuje los

diagramas de la fuerza cortante y del momento flector para la viga mostrada en la figura

(a), usando el teorema 7.1 y las dos reglas antes presentadas.

Solución En primer lugar, se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la viga (Fig. b).

Entonces, las ecuaciones de equilibrio para la viga son

Fy = B + E – 30 – 45 – 25 = 0 (a)

MB = 45(3) + 25(5) - 30(2) - 8E (b)

Si se resuelven las ecuaciones (a) y (b) (ver figura b), se obtiene

E = 25 kN

B = 75 kN

Para construir el diagrama de la fuerza cortante, se usa el teorema 7.1. Partiendo del

extremo izquierdo de la viga, se observa que la fuerza cortante a la derecha del punto A es

V = -30 kN esta fuerza cortante permanece constante hasta el punto B (véase el diagrama de

la fuerza cortante de la figura b). A la derecha del punto B, la fuerza cortante es V = 45 kN

(75 kN - 30 kN) y permanece constante hasta el punto C, en donde cambia a V = 0 (45 kN -

45 kN). Esa fuerza cortante permanece constante hasta el punto D, en donde cambia a V = -

-25 kN (0 - 25 kN). Una vez más, desde el punto D hasta el E, la fuerza cortante permanece

constante. En el punto E, la fuerza cortante es igual a cero (V = -25 kN + 25 kN = 0).

Ahora se puede construir el diagrama del momento flector a partir del diagrama de la fuerza

cortante, usando las dos reglas antes dadas [ver también ecuaciones (7.1) y (7.2)]. Para

empezar, se observa que como no se aplica momento en el extremo izquierdo de la viga

(punto A), M = MA = 0. En el intervalo AB, por la ecuación (7.1) o la primera regla, la

5

pendiente del diagrama del momento flector queda dada por dM/dx = V= -30 kN. Por la

ecuación (7.2) o la segunda regla, el cambio en el momento flector desde A hasta B es igual

a la integral de V desde A hasta B (el área “debajo” del diagrama de la fuerza cortante), o

sea, MB - MA = (-30 kN)(2 m) = -60 kNm. El momento en el punto B queda dado por MB =

MA - 60 kNm = -60 kNm, ya que MA = 0 (ver el diagrama del momento en la figura b). Del

mismo modo, en el intervalo BC, la pendiente del diagrama del momento flector es +45 kN

(el valor de V) y el cambo en el momento desde B hasta C es MC - MB = (45kN)(3m) = 135

kNm. Por lo tanto, el momento en el punto C es MC = MB + 135 = -60 + 135 = 75 kNm.

Continuando de esta manera, se construye el diagrama completo del momento flector (ver

figura b). Una vez más, observe que aún cuando V es constante entre las cargas

concentradas, sufre un cambio en la carga concentrada igual a la magnitud de ésta.

Asimismo, observe que en una carga concentrada cambia la pendiente del diagrama del

momento flector, pero la magnitud del propio momento no cambia.

(b)

6

7.5 Diagramas de Cortante y Momento Flector para Vigas con Cargas Distribuidas

Concepto Clave

Las relaciones matemáticas entre la carga distribuida w, la fuerza cortante V y el momento

flector M conducen a reglas geométricas para construir los diagramas de la fuerza cortante

y del momento flector.

En esta sección se desarrollarán diagramas de fuerza cortante y del momento flector para

vigas sujetas a cargas distribuidas, como se hizo para las vigas sujetas a cargas

concentradas en el ítem 7.4. Para una carga distribuida, la relación entre la fuerza cortante

que actúa en una sección de una viga y el momento flector correspondiente en esa sección

tiene la misma forma que la de la ecuación (7.1). Además, dos relaciones entre la carga

distribuida que actúa sobre una viga y la fuerza cortante que actúa en ésta son útiles para

dibujar los diagramas de fuerza cortante y de momento flector.

Fig. 7.10

Con el fin de desarrollar la relación entre la carga distribuida y la fuerza cortante, considere

una porción de una viga sujeta sólo a una carga distribuida transversalmente que sea

función de x; a saber, w(x). La carga w(x) se mide en fuerza por unidad de longitud de la

viga y se toma como positiva cuando actúa hacia arriba (en la dirección del eje y positivo

de la figura 7.10a). Se corta una sección en x y se aísla un elemento infinitesimal de la viga,

con longitud dx, hacia la derecha de esa sección en x. En la figura 7.10b se muestra el

diagrama de cuerpo libre del elemento. Los sentidos positivos de las fuerzas cortantes y de

los momentos flectores se toman como se muestra, con la fuerza cortante V y el momento

7

M en el lado izquierdo del elemento y la fuerza cortante V + dV y el momento flexionante

M + dM a la derecha .

La ecuación de equilibrio para las fuerzas que actúan sobre el elemento dx en la dirección y

es

Fy = V + w(x)dx – (V + dV) = 0

o bien, w(x)dx = dV (a)

Al dividir los dos miembros de la ecuación (a) entre dx, se obtiene

w(x) = dx

dV (7.3)

La integración de la ecuación (7.3), desde x = x1 hasta x = x2, da

2

1

2

1

12 )(

x

x

V

V

dxxwVVdV (7.4)

donde V2 es la fuerza cortante en x = x2 y V1 es la fuerza cortante en x = x1 (Fig. 7.10c).

Las ecuaciones (7.3) y (7.4) se pueden interpretar geométricamente en la forma de dos

reglas para dibujar diagramas de cortantes. La primera regla se relaciona con la pendiente

del diagrama de la cortante [ver ecuación (7.3)]:

REGLA Pendiente del diagrama de la fuerza cortante: La razón de cambio dV/dx en x (la

pendiente del diagrama de la fuerza cortante en x) es igual al valor de la carga dstribuida

w(x) en x. La pendiente del diagrama de las fuerzas cortantes es positiva si el sentido de

w(x) es positivo [si w(x) está dirigida en la dirección y positiva (ver figura 7.l0a) y es

negativa si el sentido de w(x) es negativo [si w(x) está dirigida en la dirección y negativa].

En la segunda regla se relaciona un cambio en la fuerza cortante con la resultante de la

carga distribuida [ ver ecuación (7.4)]:

REGLA Cambio en la fuerza cortante: El área debajo de la curva de la carga distribuida

entre dos lugares cualesquiera, x1 y x2 sobre una viga (la integral de la carga distribuida

entre x1 y x2 es igual al cambio V2 – V1 en la fuerza cortante V entre x1 y x2.

8

Si la integral de la ecuación (7.4) es positiva, el cambio V2 – V1 en la fuerza cortante V,

desde x1 hasta x2 es positivo; si la integral es negativa, V2 – V1 es negativo.

Una vez que se han determinado las reacciones en los apoyos de un viga, se pueden aplicar

estas dos reglas y dibujar el diagrama de la fuerza cortante para una viga sujeta a cargas

distribuidas, directamente a partir del diagrama de cuerpo libre de esa viga, sin tener que

obtener una fórmula para V.

Para desarrollar la relación entre la fuerza cortante y el momento flector, se considera la

ecuación de equilibrio para los momentos que actúan sobre el elemento infinitesimal dx de

la viga (véase la figura 7.10b). Al sumar los momentos respecto al punto O, se encuentra

0)(2

)( dMMdx

dxxwVdxMMo (b)

Puesto que el término

2)(

dxdxxw de la ecuación (b) es pequeño en comparación con los

términos Vdx y dM (se dice que es un infinitesimal de orden superior), se puede despreciar.

Entonces, la ecuación de equilibrio para los momentos se reduce a

V = dx

dM (7.5)

donde V y dM/dx son la fuerza cortante y la pendiente del momento flector,

respectivamente, en la sección x. De modo análogo a las ecuaciones (7.3) y (7.4), por

integración, se puede escribir la ecuación (7.5) en la forma

2

1

12

x

x

VdxMM (7.6)

La ecuación (7.5) es equivalente a la (7.1). Sin embargo, en la (7.6), V es función de x.

Excepto por este hecho, la forma de la relación entre la fuerza cortante y el momento

flector en una viga sujeta a cargas distribuidas es la misma que para la correspondiente a

una viga sujeta a cargas concentradas. Por lo tanto, se puede usar el procedimiento descrito

en el ítem 7.4 para construir el diagrama del momento flector de una viga sujeta a cargas

distribuidas.

9

Con frecuencia, cuando se diseña una estructura, el ingeniero debe determinar la magnitud

momento máximo en una viga para garantizar que ésta sea capaz de soportar las cargas

exteriores. El momento máximo puede ser el momento positivo máximo o el momento

negativo máximo en la viga. Recuerde que una función de x alcanza un valor máximo (o

mínimo) cuando la derivada de esa función con respecto a x es igual a cero. Por lo tanto,

con referencia a la ecuación (7.5), se tiene la regla siguiente para determinar el momento

máximo (o el mínimo):

REGLA Ubicación del momento máximo (mínimo): El momento flector M alcanza un

valor máximo (o mínimo) en una sección en la viga en donde la fuerza cortante V = 0.

1

Curso: Estática Aplicada (3271). Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles.

Profesor: Mauricio Muñoz P. / Ayudante: Eduardo Hurtado

Clase: 20 (26/06/07)

Unidad 8. Cables

Cables

Los cables de acero se usan para soportar cargas sobre grandes claros, por ejemplo, en

puentes colgantes, teleféricos, etc. Además se usan como tirantes en grúas, torres de

radio y estructuras similares. Los cables de acero se fabrican económicamente a partir de

alambre de acero de alta resistencia, tal vez con la relación más baja de costo a resistencia

de todos los elementos estructurales comunes. Ellos se manejan y montan fácilmente aún

en claros muy grandes.

En el análisis que sigue no se tomará en cuenta el peso del cable. Cuando un cable de

longitud dada se suspende entre dos apoyos, la forma que toma queda determinada por

las cargas aplicadas a él. De hecho, cuando las cargas aplicadas son verticales, el cable

tomará la forma del diagrama de momentos flexionantes de una viga simplemente

apoyada, del mismo claro, sujeta a las mismas cargas. Por ejemplo, si un cable se somete

a un grupo de cargas concentradas, los segmentos del cable formarán líneas rectas.

Un cable que soporte una carga uniforme horizontal formará una parábola. Los cables

que soportan la superficie de rodamiento de puentes colgantes toman aproximadamente

esta forma (las cargas están aplicadas a él en forma concentrada por medio de cables

colgantes). Un cable que soporta una carga uniforme a lo largo de su longitud (como en

el caso de una línea de transmisión), tomará la forma de una catenaria. A menos que la

flecha de un cable sea muy grande, en comparación con la longitud, puede suponerse que

su forma es parabólica, simplificándose así considerablemente el análisis.

Se supone que los cables son tan flexibles que éstos no resisten flexión o compresión. En

consecuencia, éstos trabajan a tensión directa y se dispone entonces para el análisis de la

ecuación de condición M=0, respecto a cualquier punto del cable. Si se conoce la

deflexión en un punto cualquiera de un cable, las reacciones en los extremos y la

deflexión en cualquier otro punto pueden determinarse con esas ecuaciones.

2

La tensión resultante en cualquier punto puede obtenerse con la siguiente ecuación, en la

que H y V son las componentes horizontales y verticales de la fuerza de tensión en ese

punto del cable:

22VHT

En esta ecuación puede verse que la tensión varía a lo largo del cable. Si sólo actúan

cargas verticales, el valor de H será constante en todo el cable y la máxima fuerza de

tensión puede determinarse sustituyendo el valor máximo de la fuerza vertical en la

ecuación.

Se supone que la deformación o la deflexión de la mayor parte de las estructuras es

mínima al calcular las fuerzas generadas en esas estructuras. Sin embargo, tal suposición

no es correcta en muchas estructuras de cable, particularmente en los muy planos, en los

que una pequeña flecha puede afectar considerablemente las tensiones en el cable. Los

cables planos (horizontales) ocasionan componentes de reacción horizontal muy grandes

y por ello la tensión en ellos es muy grande.

Ecuación de la flecha para cable de peso no despreciable

Un cable o conductor de peso uniforme, sujeto entre dos apoyos por los puntos A y B

situados a la misma altura, forma una curva llamada catenaria. La distancia f entre el

punto mas bajo situado en el centro de la curva y la recta AB, que une los apoyos, recibe

el nombre de flecha. Se llama vano a la distancia “a” entre los puntos de amarre A y B

Figura 1

3

Los postes deberán soportar las tensiones TA y TB que ejerce el conductor en los puntos

de amarre. La tensión T=TA=TB dependerá de la longitud del vano, del peso del

conductor, de la temperatura y de las condiciones atmosféricas.

Para vanos de hasta unos 500m podemos equiparar la forma de la catenaria a la de una

parábola, lo cual ahorra unos complejos cálculos matemáticos, obteniendo, sin embargo,

una exactitud más que suficiente.

La catenaria deberá emplearse necesariamente en vanos superiores a los 1000m de

longitud, ya que cuanto mayor es el vano menor es la similitud entre la catenaria y la

parábola.

Calculamos a continuación la relación que existe entre la flecha y la tensión. Para ello

representamos el conductor de un vano centrado en unos ejes de coordenadas:

Consideramos un trozo de cable OC que tendrá un peso propio PL aplicado en el punto

medio y estará sometido a las tensiones T0 y TC aplicadas en sus extremos. Tomando

momentos respecto al punto C tendremos:

yTx

PL 02

Por lo tanto el valor de y será:

02T

xPy L

4

Si llamamos P al peso propio unitario del conductor, el peso total del conductor en el

tramo OC, que hemos llamado PL, será igual al peso unitario por la longitud del

conductor, que cometiendo un pequeño error denominaremos x. Por lo tanto admitiendo

que:

PxPL

y sustituyendo esta expresión en la fórmula anterior del valor de y resulta:

0

2

2T

Pxy

Si ahora consideramos el punto A correspondiente al amarre del cable en vez del punto C,

tendremos que:

fy ; 2

ax

Por lo tanto al sustituir queda:

0

2

8T

Paf (1)

Podemos despejar el valor de la tensión T0 y tendremos que:

f

PaT

8

2

0

La ecuación (1) nos relaciona la flecha f en función de la tensión TO, del peso unitario del

conductor P y de la longitud del vano a. Si comparamos esta ecuación de la parábola

con la de la catenaria:

5

1

2cosh

0

0

T

aP

P

Tf

podremos observar la complejidad de ésta, y como demostraremos más adelante, los

resultados serán prácticamente iguales.

Nos interesa trabajar con la tensión TA en lugar de la empleada hasta ahora TO.

Observamos el triángulo de fuerzas compuesto por TO, TA y PL:

y aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos:

2

2

0

2

2

aPTTA

En los casos prácticos que se nos presentan en las líneas aéreas de alta tensión, el valor

del ángulo a formado por TO y TA es muy pequeño, por lo que podemos asegurar que TO

TA, aproximación que emplearemos en cálculos posteriores. Esto equivale a afirmar

que la tensión a lo largo del conductor es constante.

Referente a TA, podemos decir que esta tensión no debe sobrepasar nunca el valor de la

carga de rotura del conductor Q , pues de lo contrario se rompería:

SQ

siendo el coeficiente de resistencia a la tracción del conductor utilizado y S la sección

del mismo.

Puesto que un conductor no debe trabajar nunca en condiciones próximas a las de rotura,

se deberá admitir un cierto coeficiente de seguridad n tal que:

6

n

Q

n

STA

max

En algunos Reglamentos de Líneas de Alta Tensión se admiten coeficientes de seguridad

mínimos de 2,5 y en algunos casos obliga que sea del orden de 5 ó 6.

Ejemplo. Comparación entre las tensiones TO y TA en un vano.

Sea un vano de 250 metros de longitud formado por cable LA-140. Hallar y comparar las

tensiones TO y TA en tres casos:

a) Flecha de 10 m.

b) Flecha de 0,5 m.

c) Flecha mínima.

El cable LA-140 tiene las siguientes características:

* Diámetro: D = 15,7 mm.

* Sección total: S = 146 mm2.

* Peso unitario: P = 0,543 kg/m.

* Tensión de rotura: Q = 5.470 kg.

a) Flecha de 10 metros

Partimos de la fórmula general:

Sustituyendo los valores resulta:

El valor de TA se obtiene de la fórmula:

7

Sustituyendo queda:

Comparando los valores de TO y TA obtenemos una diferencia de 5,39 kg. que supone un

1,25% de diferencia.

Podemos hallar el coeficiente de seguridad con el que trabajamos:

que es exageradamente alto.

b) Flecha de 0,5 metros

Partiendo de la fórmula general y sustituyendo los valores:

El valor de TA se obtiene de forma análoga:

Comparando los valores de TO y TA se obtiene una pequeña diferencia de 0,27 kg. que

supone un 0,003%. Observamos que como TO » TA > Q el cable se romperá.

Al comparar los resultados obtenidos en a) y b) podemos afirmar que cuanto menor es la

flecha mayor es la tensión que soporta el conductor.

c) Flecha mínima

La flecha mínima será la correspondiente a un coeficiente de seguridad de 2,5 y por lo

tanto:

8

La flecha mínima será:

Haciendo operaciones se obtiene una tensión TA de valor 2.189,05 kg.

Por lo tanto al comparar TA y TO se obtiene una diferencia de 1,05 kg que supone un

0,047%.

Ejemplo. Comparación entre la catenaria y la parábola

Con un conductor HAWK calculamos las flechas para distintos vanos con un coeficiente

de seguridad de 4. El conductor HAWK presenta una tensión de rotura de 8.820 kg y un

peso unitario de 0,975 kg/m. La flecha para la catenaria es:

La flecha para la parábola es:

Los valores que sustituimos son:

De esta forma elaboramos la tabla siguiente en la que aparece la longitud del vano en

metros, la flecha para la catenaria y para la parábola en metros y la diferencia entre los

dos valores expresada en tanto por ciento.

9

VANO CATENARIA PARABOLA %

100 0,553 0,553 0,005

200 2,213 2,213 0,017

400 8,857 8,852 0,065

600 19,945 19,916 0,146

800 35,499 35,406 0,261

1000 55,548 55,322 0,407

1200 80,133 79,664 0,585

1400 109,302 108,432 0,796

1600 143,111 141,625 1,038

1800 181,627 179,244 1,312

2000 224,925 221,289 1,616

Como podemos comprobar de la observación de la tabla, es suficiente aproximación el

empleo de la parábola, sobre todo para vanos inferiores a 1000 metros.

Longitud del Conductor

Dada la flecha que se produce en un vano, la longitud del conductor no es igual a la

distancia entre los postes. Por lo tanto, para hallar el valor exacto del conductor

empleado, obtendremos la expresión de la longitud del conductor en un vano, en función

de la flecha y de la distancia entre los postes.

10

Tomamos un elemento diferencial de longitud dl, para el que se verifica:

Podemos multiplicar y dividir por dx2:

Del apartado anterior sabemos que (T = TO = TA):

y derivando respecto a x podemos obtener el valor de dy/dx:

Por lo tanto al sustituir dx/dy en la expresión de dl2, nos queda:

Para no arrastrar expresiones llamamos α a:

11

y la expresión de dl resulta:

Para resolver el corchete empleamos la fórmula del binomio de Newton:

La longitud del conductor en la mitad del vano se obtiene integrando dl desde 0 hasta x:

Integrando cada sumando resulta:

Sustituyendo α por su valor (α = 2y / x²) queda:

Como x = a / 2 y la flecha es y = f queda:

La longitud del conductor en la totalidad del vano será el doble que en la mitad, por lo

tanto L=2l, es decir:

Para vanos normales, sólo se emplean los dos primeros términos, pues la aproximación es

más que suficiente:

12

Teniendo en cuenta la ecuación de la flecha:

la longitud total del conductor queda:

Ejemplo

Hallar la longitud de un conductor en un vano de 200 metros que presenta una flecha de 3

metros. Aplicamos la fórmula que nos relaciona la longitud del conductor con la luz del

vano y con la flecha:

y sustituyendo valores resulta:

Si hubiéramos empleado la fórmula con otro término más:

el resultado sería de 200,11993 m., con lo cual comprobamos que es suficiente

aproximación el empleo de los dos primeros términos.