Licenciatura en Ingeniería en Mecánica

EstáticaFricción, Centro de Gravedad de un cuerpo bidimensional,

Centroides de Áreas y Líneas

Catedrática: Santana Robles Francisca

Alumnos: Eduardo Otero Tinajero Ismael García HarrisErick Alonso GarcíaJacob Isacar Hernández Tolentino

Cd. Sahagún Hgo. 29 de Octubre 2012

Fricción

• Introducción

La fricción se puede ser definida como una fuerza resistente queactúa sobre un cuerpo e impide o retarda el deslizamiento delcuerpo en relación a un segundo cuerpo o superficie con loscueles este en contacto. La fuerza de fricción actúatangencialmente a la superficie en los puntos de contacto conotros cuerpos, y está dirigida en sentido opuesto al movimientoposible o existente del cuerpo con respecto a esos puntos.

Fricción seca

Se puede explicar si se considera los efectos queocasiona jalar horizontalmente un bloque de pesouniforme W que descansa sobre una superficiehorizontal rugosa que es no rígida o deformable.

Sin embargo la parte superior del bloque puedeconsiderarse rígida, el piso ejerce unas distribucióndispar de fuerza normal ∆Nn y de fuerza de fricción∆Fn a lo largo de la superficie de contacto.

• Supóngase que un estudio microscópico de lasuperficie entre el bloque y el piso, se revelaque existen muchas irregularidades y comoresultado, se desarrollan fuerzas reactivas∆Rn en cada uno de los puntos de contacto.

EquilibrioEl efecto de las cargas distribuidas normales yde fricción está indicando por sus resultantes Ny F. N actúa a una distancia de X a la derechade la línea de acción de W, Esta ubicación quecoincide con el centroide o el centrogeométrico de la distribución normal defuerzas.

Movimiento Inminente

• En los casos donde las superficies decontacto son resbalosas, la fuerza F defricción puede no ser lo suficiente grandepara equilibrar a P, y en consecuencia elbloque tendrá a resbalar antes que avolcarse.

• µs se llama coeficiente de fricción estática.

• Así cuando el bloque esté a punto de deslizarse la fuerza normal Ny la fuerza de fricción F se combinar para crear una resultante Rs.

Ejemplo

• El embalaje uniforme que se muestra tienen una masa de 20kg. Si una fuerza P= 80N se aplica al embalaje determine si éste permanece en equilibrio. El coeficiente de fricción estática es de µs=0.3

Solución

• La fuerza normal resultante Nc debe actuar a una distancia x de la línea central del embalaje para contrarrestar el efecto de volteo causado por P.

• Como x es negativa, eso indica que la fuerza normal resultante actúa (ligeramente a la izquierda de la línea central del embalaje. No ocurrirá ningún vuelco, ya que x<0.4m. Además la fuerza de fricción máxima que se puede desarrollar en la superficie de contacto es Fmax=µsNc=(0.3)(236N)=70.8 Como F=69.3N<70.8N el embalaje no se deslizará aunque estará muy cerca de hacerlo.

FUERZAS DISTRIBUIDAS CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD

La atracción de la tierra sobre un cuerpo rígido se representa por una sola fuerza W esta fuerza se llama gravedad o peso del cuerpo, y se debe de aplicar en el centro de gravedad del cuerpo.La tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que forman el cuerpo , así la acción de la tierra sobre un cuerpo rígido debería representarse por un gran numero de pequeñas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo. También es posible determinar el centro de gravedad, es decir ,el punto de aplicación de la resultante W para cuerpos de diversas formas.A continuación veremos dos conceptos muy relacionados con la determinación del centro de gravedad de una placa o de un alambre, y son el concepto de CENTROIDE DE UN AREA O DE UNA LINEA Y EL CONCEPTO DE UN AREA CON RESPECTO A UN EJE DADO

AREAS Y LINEAS

Consideremos primero una placa horizontal y la dividiremos en ‘’n’’ elementos pequeños . Las coordenadas del primer elemento están representadas por x,1y,z1 y las segundas por x2,y2,. Las fuerzas ejercidas por la tierra sobre los elementos se denotaran como Δw1, Δw2….. Δwz respectivamente de . Estas fuerzas o pesos están dirigidos hacia el centro de la tierra sin embargo en la practica puede suponerse que son paralelas. Su resultante por consiguiente , una sola fuerza en la misma dirección la magnitud de W de esta fuerza se obtiene sumando las magnitudes de los pesos elementales. £Fz: W= ∆W1+ ∆W2 +… ∆WnPara obtener las coordenadas de x y y del punto G la resultante debe aplicarse , y escribimos que los momentos de W con respecto a los ejes xyx son iguales a la suma de los momentos de los pesos elementales .

xW=x1 ΔW1 + x2 ΔW2 +……….+xn ΔWn

yW=y1 ΔW1 + y2 ΔW2 +……….+yn ΔWn

• Si aumentamos el numero de elementos en los que la placa se divide y simultáneamente reducimos el tamaño de cada elemento, obtenemos en el limite las expresiones siguientes:

•

• W= Xw= yW =

• Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas x y y del centro de gravedad G de la placa plana. Pueden derivarse las mismas ecuaciones para un alambre que se encuentre en el plano xy.

CUERPO BIDIMENSIONAL

Al sumar las fuerzas en la dirección z vertical y losmomentos alrededor de los ejes horizontales y y x,Aumentando el número de elementos en que está

dividida la placa y disminuyendo el tamaño de cada unaobtendremos

CUERPO BIDIMENSIONAL

Para iniciar, considere una placa plana horizontal (figura 5.1). La placa puede dividirse en n elementos pequeños.

Las coordenadas del primer elemento se representan con x1 y y1 , las del segundo elemento se representan con x2 y y2 , etcétera. Las fuerzas ejercidas por la Tierra sobre los elementos de la placa serán representadas, respectivamente, con W1 , W2 , . . . , Wn. Estas fuerzas o pesos están dirigidos hacia el centro de la Tierra; sin embargo, para todos los propósitos prácticos, se puede suponer que dichas fuerzas son paralelas. Por tanto, su resultante es una sola fuerza en la misma dirección. La magnitud W de esta fuerza se obtiene a partir de la suma de las magnitudes de los pesos de los elementos.

para obtener las coordenadas x y y del punto G, donde debe aplicarse la resultante W, se escribe que los momentos de W con respecto a los ejes y y x son iguales a la suma de los momentos correspondientes de los pesos elementales, esto es

Si ahora se incrementa el número de elementos en los cuales se ha dividido la placa y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento se obtienen, en el límite, las siguientes expresiones:

Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas x y y del centrode gravedad G de una placa plana. Se pueden derivar las mismas ecuaciones para un alambre que se encuentra en el plano xy (figura 5.2).Se observa que usualmente el centro de gravedad G de un alambre noestá localizado sobre este último.

• Centroides de áreas y líneas. en el caso de una placa homogénea de espesor uniforme, la magnitud ∆W del peso de un elemento de la placa puede expresarse como:

∆W=

= peso especifico del material

= areas de la sección transversal del alambre.

∆W= longitud del elemento.

Debe notarse que en el SI un material se caracteriza generalmente por su densidad p ( masa por unidades de

volumen) y no por su peso especifico. El peso especifico del material puede obtenerse escribiendo.

= pg

• Donde : g= 9.81 m/ . Como se expresa en kg/

• Comprobamos que se expresa en (kg/ )(m/ )

• Placas y alambres compuestos. En muchos casos una placa plana puede dividirse en rectángulos, triángulos u otras formas comunes. La abscisa X de su centro de gravedad G puede determinarse de las abscisas x1, x2,… de los centros de gravedad de las diferentes partes, expresando que el momento del peso de la placa completa con respecto al eje y es igual a la suma de los momentos de los pesos de las distintas partes respecto al mismo eje( figura 5.9). la ordenada Y del centro de gravedad de la placa se encuentra con un procedimiento parecido igualando los momentos con respecto al eje x. Escribimos.

• £My: X(W1+W2+…+Wn)= x1 W1+ x2W2+… +xnWn

• £Mx: Y(W1+W2+…+Wn)=y1W1+y2W2+…+ynWn

Ejemplo

Solución

Bibliografia

• Mecánica Vectorial para Ingenieros, Estática (Beer & Johnston, 8va Edición)