1 UNIDAD I. Anlisis de la partcula Introduccin: LaMecnicaeslaramadelafsicaqueestudiaelestadodereposoomovimientodelos cuerpos los cuales estn sometidos a la accin de las fuerzas. Lamecnicaparasuestudiosesubdivideentresramasqueson:Lamecnicadelcuerpo rgido, mecnica del cuerpo deformante y mecnica de fluidos. La mecnica del cuerpo rgido para su estudio se divide en esttica y dinmica. En este libro se tratar el estudio de la esttica, entendindose por esta la parte de la mecnica queestudiaelequilibriodeloscuerpossujetosalaaccindefuerzas.Uncuerpoesten equilibrio cuando est en reposo y si se mueve lo hace con velocidad constante. La dinmica estudia el movimiento de los cuerpos los cuales adquieren una aceleracin bajo la accin de una fuerza. La esttica se considera como un caso particular en el estudio de la dinmica, pues se dice que cuandouncuerpoqueestenmovimientoysuaceleracinescero,entoncesestesemueve con velocidad constante por lo tanto el cuerpo est en equilibrio. Elestudiodelaestticarequiereuntratamientoespecialyaqueenelcasodelaingeniera, muchosdiseosdeloscuerposuobjetosqueserequiereestudiar,senecesitaquedichos cuerpos se encuentren en equilibrio. Conceptos bsicos. Antes de comenzar el estudio de la estticaesnecesarioentenderelsignificadodeciertos conceptos y principios fundamentales. Magnitudes bsicas. Las siguientes cuatro magnitudes se utilizan en el estudio de la mecnica: Longitud Tiempo:Eltiempoesunparmetro(magnitudescalar)queseutilizaparadistinguiruna sucesindeeventosquesurgenenunespacio.Aunquelosprincipiosdelaestticason independientesdeltiempo,estamagnitudjuegaunpapelimportanteenelestudiodela dinmica. Masa: Es una magnitud escalar y se considera una propiedad de la materia Fuerza:Esunamagnitudvectorialysedefinecomoelagenteexternoauncuerpoqueal actuar sobre l es capaz de modificar el estado de movimiento del cuerpo.Las fuerzas pueden ser de contacto o de accin a distancia. 2 Como la fuerza es una magnitud vectorial se caracteriza por tener magnitud, direccin, sentido y un punto de aplicacin. Algunos otros conceptos y principios fundamentales son los siguientes: Sistema de referencia. Es un sistema de coordenadas cartesianas que se utiliza como base para iniciar el estudio del movimiento de los cuerpos, normalmente para el anlisis de la accin de una fuerza sobre un cuerpo, se considera el punto de aplicacin de esta al origen del sistema de referencia. Partcula: Una partcula es un cuerpo que tiene masa, pero el cual siempre se puede tomar un sistema con ayuda del cual se puede analizar las caractersticasy el movimiento del cuerpoy considerar las dimensiones de este como despreciables. Por ejemplo todo cuerpo que est en el interiordelatierra,eltamaodelcuerpocomparadoconeldelatierraseconsidera despreciable, en este ejemplo para el estudio de las caractersticasdel movimiento del cuerpo el sistema de referencia se coloca en la tierra. Cuerporgido:Uncuerporgidopuedeserconsideradocomounacombinacindeungran nmero de partculas en la que todas las partculas permanecen una distancia fija unas de otras antesydespusdeaplicarunacarga.Comoresultado,laspropiedadesdelmaterialde cualquier cuerpo que se suponga rgido no tendrn que considerarse al analizar las fuerzas que actansobreelcuerpo.Enlamayoradeloscasos,lasdeformacionesrealesqueocurrenen mquinas,mecanismosyestructurassimilaressonrelativamentepequeas,ylahiptesisde cuerpo rgido es la adecuada para el anlisis. Inercia:Eslacapacidadquetieneuncuerpoparamantenersuestadodeequilibrio,esdecir, mantenerse en reposo y si este se mueve bajo la accin de fuerzas lo hace conuna velocidad constante (aceleracin cero). Leyes fundamentales del movimiento: Todoelestudiodelmovimientodeuncuerporgidoestfundamentadoenlastresleyes fundamentales de Newton cuya validez se basa en la observacin experimental. LastresleyesdeNewtonseaplicanalmovimientodeuncuerpoopartculaanalizadodesde un sistema de referencia no acelerado (inercial). LastresleyesdemovimientodeNewtonpuedenserenunciadasenformabrevedelaforma siguiente: PrimeraleydeNewton:Todocuerpoquesemuevebajolaaccindefuerzasycuya aceleracinesceroentonceselcuerpoestenreposoosemueveconvelocidadconstante, siempre y cuando no exista otra fuerza que sea capaz de sacarlo de este estado. A la primera ley de Newton tambin se le conoce ley de la inercia. A los sistemas de referencia que cumplen con la ley de la inercia se les conoce como sistemas inerciales. 3 Segunda ley de Newton: Si sobre un cuerpo de masa m acta una fuerza F, provocndole esta una aceleracin a, al cuerpo, entonces la magnitud de la aceleracin producida por la fuerza esdirectamenteproporcionalalamagnituddedichafuerzaeinversamenteproporcionalala magnitud de la masa del cuerpo. La expresin matemtica de la segunda ley de Newton es la forma siguiente: a m F= Tercera ley de Newton:Sobre todo cuerpo que acta unafuerza deaccin, existe otra fuerza de reaccin con las mismas caractersticas que la primera pero de sentidocontrarioy bajo la accin de estas dos fuerzas sobre el cuerpo esteen equilibrio. Vectores fuerza. Paraelestudiodelamecnicalasmagnitudesfsicassedividenenmagnitudesescalaresy magnitudes vectoriales. Magnitud Escalar (Escalar). Es aquella magnitud la cual para su estudio y representacin solo requiere de un nmero antecedido de un signoy de una unidad de medida. Son ejemplos de escalares el tiempo, la masa, el volumen, la presin etc. Magnitud Vectorial (Vector). Es aquella magnitud la cual para su estudio y representacin se requierequeestdefinidaporunamagnitud,unadireccin,unsentidoyunpuntode aplicacin. Son ejemplos de vectores las fuerzas, los momentos de fuerza, la posicin, etc. La magnitud del vector, es la medida del vector y se indica con un nmero antecedido por un signo y una unidad de medida. La direccin del vector, es el ngulo positivo que forma la lnea de accin del vector con el eje positivo de las abscisas. El sentido del vector puede ser positivo negativo y va implcito en la direccin del vector. Elpuntodeaplicacindelvector,normalmentesetomacomoreferenciaunsistema coordenadas cartesianas y el origen del sistema se coloca en el punto de objeto con respecto al cual se va a realizar el anlisis (estado de movimiento). Para la representacin de los escalares utilizaremos las letras del alfabeto ya sean maysculas o minsculas y para representar vectores utilizaremos el mismo criterio solo que sobre la letra queseutilicesecolocaraunaflechaencimadelaletracomosemuestraenlossiguientes ejemplos: Ejemplos de Escalares: Tiempo (),masa( ), volumen (

) y la presin (). Ejemplos de vectores: 4 Fuerza(

),Momentodefuerza( )yposicin( ). Tambinparadenotarlamagnituddeunvectorseutilizaralaexpresin||,lacualseleela magnitud del vector F, que en un caso particular puede representar una fuerza. Concepto de fuerza vector. Una fuerza es una magnitud vectorial la cual al actuar sobre un cuerpo de masa m es capaz de modificar el estado de movimiento de dicho cuerpo. Componentes rectangulares de un vector fuerza. TodafuerzaF,puededescomponerseendosdireccionesperpendicularesentres,una componente horizontal sobre el eje de las abscisas o eje de las la cual se denomina como

y la otra componente vertical, sobre el eje de las ordenadas la cualse denomina como

Paraobtenerlasexpresionesmatemticasquedefinenlascomponentesrectangularesdel vector fuerza nos basamos en la figura (1). Figura 1.Componentes rectangulares de un vector Delafigura(1)tenemosquesi(direccindelvector)esalngulopositivoqueformala fuerza F con el eje positivo de las abscisasentonces por trigonometra tenemos:

Componente horizontal de la fuerza-

Componente vertical de la fuerza-

Magnitud de la fuerza-(

)

(

)

Direccin de la fuerza-

(

) Principio de superposicin o suma de vectores Si sobre un cuerpo o partcula actan N fuerzas al mismo tiempo entonces el sistema de fuerza se puede sustituir por una sola fuerza llamada fuerza resultante Ejemplo 1.-Dadalasfuerzasobtenersuscomponentesrectangularessi

060 = uy

. 5 Solucin:

Dadas las fuerzas encontrar las componentes rectangulares de cada una de ellas. Solucin. Para la fuerza :

(

)

(

) Para la fuerza

Para la fuerza

:

Vectores en tres dimensiones. Parapoderrepresentarytrabajarunvectorentresdimensionesseutilizanlosvectores unitarios ortogonales y , tambin se puede representar a travs de los cosenos directores o conunaternadeescalares()donde sonlascomponentesrectangularesdel vector. Vector posicin. Es un vector que indica a qu distancia, en qu direccin y con qu sentido se encuentra un cuerpo u objeto de estudio con respecto al origen del sistema de referencia que se elija para el anlisis del fenmeno (figura 2). Es importante mencionar que a travsde un vector posicin y con ayuda de un vector unitario endireccindeunvectordadosepodrrepresentarlamagnituddeunafuerzacomouna magnitud vectorial. Representacin del vector posicin. Un vector posicin se puede representar de las formas siguientes: a)Con la representacin de su magnitud y de su direccin y el sentido va implcito en su direccin, ejemplo: 060 = u

: F( ) ( ) . 96 . 51 866 . 0 60 60 , 30 5 . 0 60 60 cos0 0N N Fsen F N N F Fy x= = = = = =( )( ) . 01 . 171 3420 . 0 500 160. 84 . 0469 9396 . 0 500 160 cos01 101 1N N sen F FN N F Fyx= = = = = = 6 b)Conlaayudadeunaternadeescalares()llamadoscomponentes rectangulares del vector, ejemplo. Paratresdimensiones () paraelcasoparticulardedosdimensionestenemos () c)Con laayuda de los vectoresunitarios ortogonales y , ejemplo. ( ) Figura 2. Vector posicin en tres dimensiones Paraencontrarlascomponentesrectangularesdecualquiervector,encasoparticulardeun vectorposicincuyoorigennoseencuentraenelorigendelsistemadecoordenadas cartesianas(Figura3)yserequiereexpresaralvectoratravsdesuscomponentes rectangulares como si el origen de dicho vector estuviera en el origen del sistema de referencia dado. Paraencontrarlascomponentesdelvectorposicinconociendolascomponentesdelos vectoresposicinqueindicanlalocalizacindelorigenydelfinaldelvectorposicin respectivamenteconrespectoalorigendelsistemadereferenciadadoseprocededela siguiente manera:

(

) Figura3. Un vector posicin a travs de dos vectores dados 7 Cosenos Directores Pararepresentanunvectorentresdimensionesseconsideranlosngulosdirectoresson los ngulos que forma el vector con los respectivos ejescartesianos positivos. Para descomponer el vector () en sus componentes rectangulares con ayuda de los cosenos directores tenemos: , z Para obtener la magnitud del vectorposicin se tiene: ||

El proceso anterior se puede aplicar para cualquier vector en tres dimensiones, en la siguiente figura 4, se muestra un vector fuerza. Si se requiere saber la direccin de un vector fuerza en tres direcciones se obtiene los ngulos directores de la forma siguiente:

(

)

(

)

(

) Figura 4. VectorFuerza en tres dimensiones Equilibrio. Para que un cuerpo o sistema se encuentre en equilibrio de translacin debe de cumplir con las condiciones de equilibrio las cuales son: La suma vectorial de las fuerzas que actan sobre el cuerpo debe de ser igual acero.

La forma escalar de la ecuacinanterior es la siguiente: 8

Solucin de ejercicios de equilibrio. Ejemplo1. Encontrar el valor de las tensiones de los cables que actansobre el cuerpo de masa de 80 kg para que el sistema est en equilibrio como se muestra en la figura. Solucin. Se obtiene la magnitud delpeso de la masa de ( ) (

) Se descomponen cada una de las fuerzas en sus componentes rectangulares:

9 Aplicandolascondicionesdeequilibrio

obtenemosel siguiente sistema de ecuaciones:

Resolviendoelsistemadeecuacionesobtenemosquelosvaloresparalastensionesenlas cuerdas son:

. Ejemplo 2. Dado eldiagrama de cuerpo libre del sistema de fuerzas que actan sobre un cuerpo como se muestra en la siguiente figura. Encontrar la fuerza que hay que aplicarle al cuerpo para que se encuentreen equilibrio. Solucin. Descomponemos cada una de las fuerzas en sus componentes rectangulares:

(

)

(

)

Obtenemos la resultante componente a componente:

(

)() Paraqueelsistemaestenequilibriosedebedecumplirque

porlotantoparael equilibrio se debe de aplicar una fuerza equilibrante de: 10

( ) Equilibrio en tres dimensiones: Para estudiar la solucin de los problemas del equilibrio en tres dimensiones normalmente se presentan los siguientes casos: -Se dan las magnitudes de los vectores fuerza y los ngulos directores ( los ngulos que forman los vectores con los ejes coordenados respectivos) -Se dan los vectores en funcin de los vectores ortogonales unitarios . -Se dan las magnitudes de las fuerzas y las coordenadas de los vectores posicin donde actanlasfuerzasyconunvectorunitarioendireccindeunvectorposicinque acta en la misma lnea de accin de la fuerza, se le puede dar direccin a la magnitud de la fuerza dada. Paraobtenerunvectorunitarioendireccindeunvectordadosedivideelvectordado entre su magnitud de la manera siguiente:

|| El vector unitario que se obtiene bajo este proceso es adimensional. Paraelcasodeunafuerzasetieneque

|

|ydeestamaneraelvectorunitario direcciona a la magnitud de la fuerza

.Normalmente para el caso que se tiene la necesidad de direccionar la magnitud de una fuerza, el vector unitario que se utiliza para este proceso se obtieneconlaayudadeunvectorposicin queseencuentraenlamismalneadeaccin sobre la cual acta la fuerza. Ejemplo 1. Dadoelsistemadefuerzasqueactansobreunapartcula.Encontrarelvalordelafuerza equilibrante que se requiere para que el sistema est en equilibrio. 11 Solucin Paralasolucindelproblemaseprocedeadescomponercadaunadelasfuerzasensus componentes rectangulares y se aplican las ecuaciones de equilibrio de la forma siguiente: Para direccionar a la fuerza

tenemos que:

y

|

|

( ) ( )

()()() Para la fuerza

tenemos que:

()

() Para la fuerza

tenemos que:

y

|

|

( ) ( )

( ) ( )( ) Para la fuerza

tenemos que:

( ) Para la fuerza

tenemos que:

( ) Encontramos que la fuerza resultante es:

(

)() Aplicandolascondicionesdeequilibrio

alsistematenemosquelafuerzaquese requiere para equilibrar el sistema es:

( ) 12 Ejemplo 2. Enelsiguientesistemaencontrarlastensionesqueseejercensobreloscablesqueestn sujetando la lmpara de 800 N de peso para que el sistema est en equilibrio. Solucin. Expresamoslastensionesqueactansobrelalmparaatravsdesuscomponentes rectangulares de la manera siguiente.

, donde

|

|

() ( )

()()( )

(

) Como

es paralela al eje x entonces:

(

) Como

es paralela al eje y entonces:

(

) Como el peso de cuerpo est sobre el eje z entonces tenemos: ( ) Aplicamos las condiciones de equilibrio en su forma escalar y obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos:

13 UNIDAD II. Anlisis del cuerpo rgido. Fuerzas Internas y Externas.Uncuerporgidoesaquelquenosedeforma.Estos,lasestructurasymquinasnoson completamentergidas:sedeformanbajolascargasalasqueestnsujetascuerposson supuestos en mecnica, sin embargo, en la vida real.Estasfuerzas,puedenserexternas,cuandocausanqueelobjetosemuevaopermanezcaen reposo;ointernas,quesonlasquemantienenunidaslaspartculasqueformanelcuerpo rgido.Lasfuerzasexternassepuedendividirenfuerzasdetraslacinyderotacin.Lasprimeras, sonaquellasenlasqueelobjetosemuevehaciadelanteoatrs;elpisoylasparedes permanecenenlamismaposicin.Lafuerzaderotacin,ocasionaunmovimientodiferente, por ejemplo un giro sobre el eje.Principio de transmisibilidad. Establecequelascondicionesdeequilibrioomovimientodeuncuerporgidopermanecern sincambiosiunafuerzaFqueactaenunpuntodelcuerporgidosesubstituyeporuna fuerza F de la misma magnitud y direccin, pero actuando en un punto diferente, siempre que las dos fuerzas tengan la misma lnea de accin. Elprincipiofsicoanteriornospermiteafirmarquelasfuerzasqueactansobreunslido rgido,estnasociadosalmodelogeomtricodelosvectoresdeslizantesyportantoen adelantesutratamientoalgebraico;corresponderaestetipodevectorenlosproblemas fsicos donde ellas se presenten. Diagrama de cuerpo libre. Para resolver problemas de equilibrio de los cuerpos es importante aislarlos unos de otros, ello permitehacerunanlisisdelasfuerzasconocidasqueactansobreuncuerpo,ascomolas que se desconocen y se desea calcular. Cuando se asla un cuerpo sobre l aparecen nicamente las fuerzas externas que soportan, las cuales son ocasionadas por tener contacto con otros cuerpos o por atraccin gravitacional. Este procedimiento grfico para aislar un cuerpo recibe el nombre de diagrama de cuerpo libre. Producto Cruz.El momento de una fuerza ser formulado usando vectores cartesianos en la siguiente seccin. Sin embargo, antes de hacerlo, es necesario ampliar nuestro conocimiento del lgebra vectorial e introducir el mtodo del producto cruz de la multiplicacin vectorial. El producto cruz de dos vectores A y B da el vector C, el cual se escribe como: B A C = -------------------------(1) 14 y se lee C es igual a A cruz B. Magnitud:Lamagnitudde Csedefinecomoelproductodelasmagnitudesde Ay Byel seno del ngulo u entre sus colas ( )0 0180 0 s su. As, u ABsen C =. Direccin. El vector C tiene una direccin perpendicular al plano que contiene a A y B de manera tal que C se especifica mediante la regla de la mano derecha; es decir, enrollando los dedosdelamanoderechadesdeelvector A(cruz)haciaelvector B,elpulgarseala entonces la direccin deC, como se muestra en la figura 5. Conociendo la magnitud y la direccin de C, podemos escribir cu ABsen B A C ) ( u = =

Donde el escalar u ABsen define la magnitud de Cy el vector unitario cu define la direccin de C , ver figura 5. Figura 5. Direccin del producto cruz entre vectores Leyes de operacin: 1.- La ley conmutativa no es vlida, es decir, A B B A = En vez de ello, Estosemuestraenlafigura6usandolaregladelamanoderecha.ElproductocruzA B produce un vector que acta en direccin opuesta a C; esto es,C A B = . A B B A = 15 Figura 6. El producto cruzno es conmutativo 2.- Multiplicacin por escalar: ( ) ( ) a B A B a A B A a B A a ) ( ) ( = = = Esta propiedad es fcil de demostrar ya que la magnitud del vector resultante) ( u ABsen ay su direccin son las mismas en cada caso. 3.- La ley distributiva: ( ) ) ( ) ( D A B A D B A + + = + Es importante advertir que debe mantenerse el orden correcto de los productos cruz, en vista de que son conmutativos. Formulacinvectorialcartesiana:Laecuacin(1)puedeusarseparaencontrarelproducto cruz de un par de vectores unitarios cartesianos. Por ejemplo, para encontrar j i , la magnitud delvectorresultantees ( )( ) , 1 ) 1 )( 1 )( 1 ( 90 0= = sen j iysudireccinsedeterminausandola regladelamanoderecha.Comosemuestraenlafigura6,elvectorresultantesealaenla direccin +KAs, j i = K. De manera similar, jiki kk jj i === ikjj ki jk i === 000 ===k kj ji i Estosresultadosnotienenquememorizarse;enlugardeello,debeentenderseclaramente cmo se obtiene cada uno empleando la regla de la mano derecha y la definicin del producto cruz.Elesquemasencillomostradoenlafigura7ayudaaobtenerlosmismosresultados cuandosenecesita.Sielcrculoseconstruyecomosemuestra,entonces,alcruzardos vectoresunitariosensentidocontrarioalasmanecillasderelojalrededordelcrculo,se 16 obtiene el tercer vectorunitario positivo; por ejemplo, . j i k = Desplazndose en el sentido de las manecillas del reloj se obtiene un vector unitario negativo; por ejemplo , . j k i = Figura 7. Producto cruz entrelos vectores unitarios Considere ahora el producto cruz de dos vectores generales Ay B que se expresan en forma vectorial cartesiana. Tenemos: ( ) ( )( ) ( ) ( ) k i B A j i B A i i B A B Ak B j B i B k A j A i A B Az x y x x xz y x z y x + + = + + + + = ) ( ) ( ) () ( ) ( ) (K k B A j k B A i k B Ak j B A j j B A i j B Az z y z x zz y y y x y + + + + + Al efectuar las operaciones de productos cruz y combinando trminos resulta k B A B A j B A B A i B A B A B Ax y y x x z z x y z z y) () () ( =

Esta ecuacin puede escribirse tambin en forma determinante ms compacta como: z y xz y xB B BA A Ak j iB A = As,paraencontrarelproductocruzdedosvectorescartesianos Ay Bcualesquiera,es necesario desarrollar un determinante cuya primera fila de elementos consiste en los vectores unitarios j i,y k y cuyas segunday tercera fila representan las componentes x, y, z de los dos vectores A y B, respectivamente. * 17 Undeterminantecontresfilasytrescolumnaspuedeserdesarrolladousandotresmenores, cada uno de los cuales es multiplicado por uno de los tres trminos anotados en la primera fila. Hay cuatro elementos en cada menor, por ejemplo, 22 2112 11A AA A Pordefinicin,estanotacinrepresentalostrminos ( )21 12 22 11A A A A ,locuales simplementeelproductodelosdoselementosdelafechainclinadahaciaabajoyhaciala derecha22 12A A menos el producto de los dos elementos de la fecha inclinada hacia abajo y hacia la izquierda21 12A A.Para un determinante de 3x3, como el de la ecuacin 4-5, los tres elementosmenores pueden ser generados de acuerdo con el siguiente esquema: Para el elemento :i ) ( y z z yz y xz y xB A B A iB B BA A Ak j i = Para el elemento :j ) ( x z z xz y xz y xB A B A jB B BA A Ak j i = Para el elemento :k ) ( x y y xz y xz y xB A B A kB B BA A Ak j i = Alsumarlosresultadosytomarnotadequeelelementodebeincluirelsignomenos,se obtiene la forma desarrollada de dada por la ecuacin (1). Momento de Fuerza. ElmomentodeunafuerzaFconrespectoalpuntoO,orealmenteconrespectoalejede momento que pasa por O y es perpendicular al plano que contiene a O y a Fpuede escribirse utilizando la definicin del producto cruz de la manera siguiente:

----------------(2) DondeesunvectorposicintrazadodesdeelpuntoOhastacualquierpuntoquese encuentre situado en la lnea de accin sobre la cual acta la fuerza . 18 La magnitud del vectormomento de fuerza se define por la expresin , dondees el ngulo entre las lneas de accin de los vectores posicin y el vector fuerza. Como el memento defuerza es una magnitud vectorial entonces la direccin y el sentido de estandefinidosporlaregladelamanoderechatalcomoseaplicaenelproductocruz.As, colocandolamanoderechaenlalneadeaccinsobrelacualactaelvectorposicinyse enrollan los dedos de la mano en direccin de la lnea de accin sobre la cual acta la fuerza es decirdehacia esdeciryelpulgarestadirigidohaciaarribaoperpendicularal planoquecontieneambosvectoresydeestamanerasedeterminaladireccinysentidodel vector momento de fuerza con respecto al punto O ver figura 8. El enrollamiento de los dedos alrededordelvectormomentoindicaelsentidoderotacincausadoporlafuerza,comoel producto cruz no es conmutativo es importante mantener el orden correcto entre y en la ecuacin (2) Figura 8. Direccin del vector producto cruz De esta manera entonces el momento de fuerza expresado en forma vectorial est dado por la ecuacin.

Donde es un vector unitario cuya direcciny sentido esta definido por la regla de la mano derecha yes un vector perpendicular al plano donde se encuentran los vectores y. Otra forma de definir el momento de una fuerza es con la ayuda de la definicin de producto cruzentre vectores, es a travsde la definicin de un determinante de 3x3, si establecemos a losvectoresposicinyfuerzadelaforma(

)y (

)respectivamente entonces el momento de fuerza se define por le expresin:

|

| 19 Aldesarrollarlaecuacinanterior,elmomentodefuerzaexpresadoatravsdesus componentes rectangulares queda expresado por la ecuacin

(

) (

) (

) Deestaformaconayudadelaecuacinanteriorseobtienealmomentodeforma directamente en forma vectorial y dicho vector es perpendicular al plano en que se encuentran los vectores dados. Ejemplo 1. CalcularelmomentoresultanteconrespectoalpuntoAdelsistemadefuerzascomose muestra en la figura si. Solucin: Se obtiene el momento de cada una de las fuerzas:

|

(

)(

) ||

|( )

|

(

)(

) ||

|( ) 20

|

||

|( )

|

||

| ( )

( )Ejemplo 2. Encontrarelmomentoqueejercelafuerza

( )sobrelabarracon respecto a los puntos O y A respectivamente. Solucin. Calculando el momento de la fuerza con respecto al punto O de la forma siguiente:

|

|( ) El momento con respecto al punto A esta dado por

() ()()

|

|( ) 21 Momento de una fuerza con respecto a un eje especfico. Cuandosecalculaelmomentodeunafuerzaconrespectoaunpuntodichomomentode fuerzaendireccinsiempreesperpendicularalplanodondeseencuentranlosvectores posicin y el vector fuerza. En algunos problemases importante saber la componente de este momento a lo largo de un eje especfico que pasa por el punto. Un anlisis vectorial para encontrar en momento con respecto a un eje que pasa por un punto se puede realizar siguiendo los siguientes pasos: 1.- Se obtiene el momento de fuerza con respecto a un punto especfico que se encuentre sobre el ejecon ayuda de la ecuacin .

|

| 2.-Para direccionar el eje dado se encuentra un vector unitario sobre dicho eje. 3.-Para obtener la magnitud del momento con respecto al eje se encuentra el producto escalarde los vectores y por lasiguiente ecuacin. |

|----------------------(3) Cuandoseobtieneenvalordelamagnituddeporlaecuacin(3)estevalorpuedeser positivo o negativo. El signo de esteescalar indica el sentidoy direccin de a lo largo del eje dado, siel signo es positivo entonces tendra el mismo sentido que , mientras que si es negativo entonces tendra el sentido contrario a . 4.-Porltimoparadeterminarelmomentodefuerzaconrespectoaunejecomovector cartesiano se multiplica su magnitudpor el vector unitario .

[()] Ahora si se quiere obtener el momentoresultante de la accin de varias fuerzas, con respecto a un eje especifico, se aplica la siguiente ecuacin.

[()]() Ejemplo 1.Dadoelsistemaencontrarelmomentodelafuerza

( )conrespectoaleje oa como se muestra en la figura. 22 Solucin: Para calcular el momento con respecto al eje dado encontramos un vector unitario sobre el eje dado.

|

|

() () El momento de F con respecto alpuntoO que pasa por el eje es:

|

|( ) Encontramos la magnitud del momento con respecto al eje dado. |

| Encontramos el momento resultante con respecto al eje oa.

()( ) Momento de un par Un par se define como dos fuerzas las cuales tienen la misma magnitud pero con direcciones ysentidosopuestos,dichasfuerzasactanellneasparalelasqueestnseparadasporuna distancia d perpendicular entre ellas como se muestra en la figura9. Figura 9. Par de fuerzas 23 Todo par de fuerzas puede trasladarse paralelamente a s mismo siguiendo la direccin de las fuerzas componentes sin que vari el efecto que produce. Todo par de fuerzas puede desplazarse a lo largo de la recta a la que pertenece su brazo. Un par de fuerzas se transforma en otro equivalente cuando gira alrededor del punto medio de su brazo. Un par de fuerzas puede trasladarse a otro plano paralelo al suyo manteniendo su efecto. Todo par de fuerzas puede sustituirse por otro equivalente cuyas fuerzas componentes y brazo del par sean diferentes. Para obtener el momento del par se utiliza la siguiente ecuacin.

|

|

- Es el vector posicinque va de un punto de lalnea de accin de la fuerza negativa a un punto de la lnea de accin de la fuerza positiva.

- Es el vector posicin que va del origen del sistema a un punto de la lnea de accin de la fuerza positiva.

- Es el vector posicin que va del origen del sistema a un punto de la lnea de accin de la fuerza negativa. Ejemplo. Encontrar el momento del par de fuerzas como se muestra en la figura. 24 Solucin. Obtenemos .

()()( )

|

||

|() Problema 2.Encontrar el momento del parde fuerzas siF=25 N

Solucin. Obtenemos .

()( )()

|

(

)(

) ||

|() Sistemas de fuerzas equivalentes Unafuerzatieneelefectodetrasladarseydegirarauncuerpoylamedidaenquelohace depende de dnde y cmo es aplicada la fuerza. Parapodergenerarunsistemadefuerzasequivalentesserequierequetantolosefectos externostantodetranslacincomoderotacindefuerzasqueactansobreelsistemasean los mismos efectos que produce el momento del par. Paralograrloanteriorsetienequecuandoelpuntodondesequiereaplicarlafuerza equivalenteseencuentrasobrelalneadeaccindelafuerzaentonceslafuerzaequivalente solo se traslada una distancia xa donde se encuentre le nuevo punto sobre la misma lnea de accindelafuerza.Cuandoelpuntodondeserequieretrasladarlafuerzanoseencuentra sobrelamismalneadeaccindelafuerzaentonceshayquetrasladarlafuerzaalpuntoy sumarelmomentodelparencualquierlugardelcuerpo,dichomomentoseencuentra tomandoelmomentodelafuerzaconrespectoalpuntoycuandoseejercenestasreglasse producen momentos externos equivalentes. 25 Ejemplo. Lavigaquesemuestraenlafiguraestsometidaaunsistemadefuerzascoplanares. Determine la fuerza resultanteas como su ubicacin sobre la viga, para que sea equivalente al sistema de fuerzasdado medido desde el punto A. Solucin. Se obtiene la fuerza resultante del sistema de fuerzas:

Por lo que la fuerza resultante que acta sobre la viga es de:

( ) Calculando momentos con respecto al punto A y partiendo que tanto el momento de la fuerza resultante con respecto Ay el momento del sistema de fuerza con respecto al punto A deben de ser iguales tenemos: ()( )()()() ()()

El signo negativo significa que la fuerza resultante se aplica a la derecha del origen del sistema de referencia. Fuerzas concurrentes. Selesllamanfuerzasconcurrentestodasaquellasfuerzascuyaslneasdeaccinse interceptan,esdecircuandoelorigendetodoslosvectoresfuerzacoincidenconelpuntode interseccin de las lneas de accin de las fuerzas. Fuerzas coplanares. Son las fuerzas cuyas lneas de accin se encuentran en el mismo plano 26 Fuerzas paralelas. Sonlasfuerzascuyaslneasdeaccinseencuentraparalelasunasaotrasyaseaquelas fuerzas estn enel mismo plano o estas estn en planos diferentes pero paralelos entre s. Equilibrio de cuerpos rgidos sujetos a sistemas de fuerzas. Para estudiar las condiciones suficientes ynecesarias que son requeridaspara que se obtenga el equilibrio de un cuerpo rgido. Se considera un cuerpo rgido ya sea que este en reposo o si este est en movimiento, este se mueve con velocidad constante. Sisetomalai-semapartculadelcuerpoy

eslafuezainternaqueactuasobredicha particula y

es la fuerza que actua sobre dicha particula entonces al aplicarle a esapartcula la primera ley de Newton tenemos que:

Ahora si aplicamos la primera ley de Newton al sistema de npartculas tenemos que:

Comolasumadelasfuerzasinternasesigualaceroyaquelasfuerzasinternasentre partculasdentrodelcuerpoaparecenenparesycolinealesperoensentidosopuestos,de acuerdoconlaterceraleydeNewton,porlotantodelaecuacinanteriorsoloquedarael segundo sumando.

Para el caso de los momentos de las fuerzas se tiene que como la fuerza resultante interna del sistema de partculas es cero entonces el momento resultante producido por dicha fuerzacon respectoaunpuntotambinescero,entoncessoloquedaelmomentoresultanteproducido por las fuerzas externas el cual est dado por:

(

)

Por lo que las condiciones para que un cuerporgido este en requiri total son:

(

)

Restricciones al movimiento y fuerzas reactivas. Para asegurar el equilibrio de un cuerpo rgido, no solo es necesario satisfacer las ecuaciones de equilibrio, sino queel cuerpo tambin este sostenido o restringido adecuadamente por sus soportes.Algunoscuerpospuedentenermssoportesdelosnecesariosporequilibrio, 27 mientras que otros pueden no tener suficientes o estar arreglados de tal manera que ocasionen el colapso del cuerpo. Aldefiniruncuerporgidoesaquelquenosedeforma,sesuponequelamayoradelos cuerpos considerados en la mecnica elemental son rgidos. Esteanlisisestarbasadoenlasuposicinfundamentaldequeelefectodelafuerzadada sobre un cuerpo rgido permanece inalterado si dicha fuerza se mueve a lo largo de su lnea de accin.Portantolasfuerzasqueactensobreuncuerporgidopuedenrepresentarsepor vectores deslizantes. Dos conceptos fundamentales asociados con los efectos de una fuerza sobre un cuerpo rgido sonelmomentodeunafuerzaconrespectoaunpuntoyelmomentodeunafuerzacon respecto a un eje. Restricciones redundantes. Cuando un cuerpo tiene soportes redundantes, es decir, ms de los necesarios para mantenerlo en equilibrio, se vuelveestticamente indeterminado. Esto quiere decir que habr ms cargas desconocidassobreelcuerpoqueecuacionesdeequilibriodisponiblesparasusolucin.Por ejemploelproblemabidimensional,figura10,yelproblematridimensionalenlafigura9, mostradosjuntoconsusdiagramasdecuerpolibre,sonambosestticamenteindeterminados debidoalasreaccionesadicionalesenlossoportes.Enelcasobidimensional,haycinco incgnitas:

paralascualessolopuedenserescritastresecuacionesde equilibrio().Elproblematridimensionaltieneocho incgnitas, para las cuales solo pueden ser escritas seis ecuaciones de equilibrio. Figura 10. Reaccciones en dos dimensiones Lasecuacionesadicionalesnecesariaspararesolverproblemasindeterminadosdeltipo mostrado en la figura 11, se obtienen generalmente a partir de las condiciones de deformacin 28 presentesenlospuntosdesoporte.Estasecuacionesimplicanlaspropiedadesfsicasdel cuerpoqueseestudianentemastratadosenlamecnicadeladeformacin,talcomo mecnica de materiales. Figura 11. Reacciones en tres dimensiones. Restricciones impropias. Enalgunoscasos,puedehabertantasfuerzasdesconocidassobreelcuerpocomoecuaciones deequilibrio;sinembargo,puedepresentarseinestabilidaddelcuerpodebidoarestricciones impropiasdelossoportes.Enelcasodeproblemastridimensionales,elcuerpoesta impropiamente restringido si todas las reacciones en los soportes intersecan un eje comn. En problemasbidimensionales,esteejeesperpendicularalplanodelasfuerzasy,portanto, aparececomounpunto.Porconsiguiente,cuandotodaslasfuerzasdereaccinson concurrentes en este punto, el cuerpo est restringido de modo impropio. Ejemplos de ambos casos estn dados en la figura 12. A partir de los diagramas de cuerpo libre se advierte que la suma de momentos con respecto al eje x figura 10 (a), o punto O, figura 10(b), no ser igual a cero;setendrentoncesunarotacinconrespectoalejexoalpuntoO.Adems,enambos casos,resultaimposibledeterminarcompletamentetodaslasincgnitasyaquesepuede escribir una ecuacin de momento que no contiene ninguna de las reacciones desconocidas, y como resultado, esto reduce el nmero de ecuaciones de equilibrio disponibles en una. Figura 12. Restricciones impropias 29 Otra manera en que una restriccin impropia conduce a inestabilidad ocurre cuando todas las fuerzas de reaccin son paralelas. Ejemplo tridimensional y bidimensional de esto se muestra en la figura 13. En ambos casos, la suma de fuerzas a lo largo del eje x no ser igual a cero. Figura 13. Restriccionesimpropias en dos y tres dimensiones Enalgunoscasos,uncuerpopuedetenermenosfuerzadereaccinqueecuacionesde equilibrio a ser satisfechas. Entonces, una restriccin apropiada requiere que las lneas de accin de las fuerzas de reaccin no intersequen sobre un eje comn,y las fuerzas reactivan no deben ser todas paralelas entre s. Cuando el nmero mnimo de fuerzas reactivas es necesario para restringir apropiadamente elcuerpoenconsideracin,elproblemaserestticamentedeterminado,yportanto,las ecuaciones de equilibrio pueden ser usadas para determinar todas las fuerzas reactivas. Tipos de apoyos Losapoyosdevigas,sonloselementosqueleproporcionanlaestabilidadalavigayporlo general,seencuentranenlosextremosocercadeellos.Lasfuerzasenlosapoyosquese generansonproductosdelascargasaplicadasysellamanreaccionesyequilibranlascargas aplicadas.Analticamenteestasreaccionesrepresentanlasincgnitasdeunproblema matemtico. Reacciones formada por una fuerza de direccin conocida. Losapoyosyconexionesquecausanreaccionesdeestetiposon:rodillos,balancines, superficieslisas,bielasycablescortos.Estosapoyossoloimpidenelmovimientoenuna direccin.Lasreaccionesdeestegruposoloproporcionanunaincgnita,queconsisteenla magnituddelareaccinysepuedendirigirenunouotrosentidoalolargodeladireccin conocida. Apoyo Esquema

Tambinpuedensersoportesfijosloscualesproporcionanunimpedimentoenel movimientotantodetraslacinyderotacindelasestructuras,estetipodesoportes proporcionan dos grados de libertad o incgnitas en el anlisis de equilibrio de las estructuras. 30 Miembros de dos ytres fuerzasParasolucionaralgunosproblemasdeequilibriopuedeidentificarsesiantesseidentificalos miembros sujetos a dos o tres fuerzas solamente. Miembros de dos fuerzas Cuandounmiembronoestsujetoamomentosdeparyseleaplicafuerzasensolodos puntos,lasfuerzasqueactanenellossoncolinealesydesentidoopuesto(paramantenerel equilibrio), este se llama miembro de dos fuerzas Miembro de tres fuerzas. Si un miembro est sujeto a tres fuerzas solamente, es necesario que estas sean concurrentes o paralelas para que el miembro permanezca en equilibrio. Reacciones en los soportes. Los momentos de par y fuerza reactivas que actan en varios tipos de soportes y conexiones, cuando los miembros se localizan en tres dimensiones. Como en el casodedosdimensionesunafuerzaesdesarrolladaporunsoporteqrestringeelgirodeun miembrounidadmientrasqunmomentodepardefuerzassedesarrollacuandoseevitara rotacindeunmiembrounido.Evitecualquiertraslacindeunmiembroconectado;porlo tanto debe actuar una fuerza sobre el miembro en el punto de conexin. Esta fuerza tiene tres componentes con magnitudes desconocidas Fx , Fy, Fz , siempre y cuando estas componentes sean conocidas, uno puede obtener la magnitud de la fuerza ,F es igual a la raz cuadrada de la sumatoriaalcuadradodelasfuerzasylaorientacinestdefinidaporngulosdirectores coordenados. EnesenciarequiereprimeroaislarelcuerpodibujadosuFormadespusseprocedeaun etiquetado de todos los momentos y par de fuerzas en referencia a un sistema coordenado x, y, z,establecido.Comoreglagenerallascomponentesdereaccinquetienenunamagnitud desconocidasemuestraactuandosobreeldiagramadecuerpolibreenelsentidopositivode una forma si se obtiene algn valor negativo este indicara que las componentes actan en las direcciones coordenadas negativas y en el procedimiento se procede a invertir el sentido de la reaccin en el diagrama de cuerpo libre. Ejemplo.Dadalaestructuracomosemuestraenlafiguraencontrarelvalorselasreaccionesparael equilibrio del sistema. 31 Solucin.

( ).

Despreciando el ancho de la viga se tiene:

() ()() ()( ) ()

Por lo tanto.

(

)Elsignomenossignificaqueelsentidorealdelareaccineselcontrariodelqueestenla figura del diagrama de cuerpo libre. Determinacin de reacciones por medio de sistemas equivalentes. Sistemas Equivalentes Unsistemadefuerzasymomentosessimplementeunconjuntoparticulardefuerzasy momentos de pares. Una fuerza tiene el efecto de trasladarygirar un cuerpo,y la medida en quelohacedependededndeycmoesaplicadalafuerza.Analizremoselmtodousado parasimplificarunsistemadefuerzasymomentosdeparqueactansobreuncuerpoauna sola fuerza resultante y un momento de par actuando en un punto especifico O. para hacer esto esnecesarioqueelsistemadefuerzayelmomentodeparproduzcanlosmismosefectos externos de traslacin y rotacin del cuerpo que sus resultantes cuando esto ocurre se dice que estos dos conjuntos de carga son equivalentes ()

()

Y si las sumas de los momentos respecto a un punto O son tambin iguales (

)

(

)

Si la sume de las fuerzas son iguales y las sumas de los momentos respecto a un punto tambin son iguales, entonces las sumas de los momentos respecto a cualquier punto son iguales. Representacin de sistemascon sistemas equivalentes. 32 Sisolonosinteresalafuerzayelmomentototalesejercidossobreuncuerpoporunsistema dadodefuerzasymomentos,estesistemapuederepresentarconunoequivalente.Conesto queremos decir que en vez de mostrar las fuerzas y los momentos reales que actan sobre un cuerpo podemos mostrar un sistema diferente que ejerza la misma fuerza y el mismo momento totales.Deestamaneraunsistemadadosereemplazaraporotromenoscomplicadopara simplificarelanlisisdelasfuerzasymomentosqueactensobreelcuerpoascomopara comprender mejor sus efectos sobre el cuerpo. Representacin de un sistema por medio de una fuerza y un par. Cuando un cuerpo rgido est sometido a un sistema de fuerzas y momentos de par, a menudo esmssencilloestudiarlosefectosexternossobreelcuerporemplazandoelsistemadeuna sola fuerza resultante equivalente actuando en un punto especifico O y en un momento de par resultante.ComoelpuntoOnoestsobrelalneadeaccindelasfuerzas,unefecto equivalenteesproducidosilasfuerzassondesplazadashaciaelpuntoOylos correspondientes momentos de par

son aplicados al cuerpo adems al momento de par

simplemente es desplazado al punto O ya que es un vector libre. Por suma vectorial la fuerza resultante es

y el momento de par resultantees

Cadasistemadefuerzayparocasionaralosmismosefectosexternos,esdecirlamisma traslacin y rotacin del cuerpo tanto la magnitud como la direccin de

son independientes de la ubicacin del punto O sin embargo

depende de la ubicacin ya que los momentos en

y

son determinados usando los vectores de posicin

y

, tambinse tieneque

esunvectorlibreypuedeactuarencualquierpuntoaunqueelpuntoOgeneralmentees seleccionado como su punto de aplicacin. El mtodo anterior de simplificar cualquier sistema de fuerza y momento de para una fuerza resultantequeactuenelpuntoOyunmomentodeparresultantepuedesergeneralizadoy representado mediante la aplicacin de las dos ecuaciones siguientes

=

+

La primera ecuacin establece que la fuerza resultante del sistema es equivalente a la suma de todas las fuerzas y la segunda ecuacin establece que el momento de par resultante del sistema esequivalentealasumadetodoslosmomentosdeparenla

,maslosmomentoscon respecto al punto O de todas las fuerzas

. Si el sistema de fuerzas se encuentra en el plano x-y,sonperpendicularesaesteplano,queestalolargodelejez,entonceslasecuaciones anteriores se reducen a las siguientes tres ecuaciones escalares

=

33

=

=

+

Observe que la fuerza resultante

es equivalente a la suma vectorial de sus componentes

y

. Ejemplo. Setieneunafuerza

( ) queactuaenunpuntoqueseencuentraenuna posicin () .Obtengaelsistemaequivalenteporunparqueactuenla posicin () . Solucin. Queremosrepresentarlafuerza

conunafuerzaFqueactaenByunparM.Podemos determinar F y M usando las dos condiciones de equivalencia. La suma de las fuerzas debe ser igual. ( )

=( )

( ) La suma de los momentos respecto a un punto arbitrario debe ser igual. El vector de B a A es.

( ) Por lo que el momento respecto a B en el sistema 1 es:

|

|() La suma de los momentos con respecto a B debe ser igual (

)

=(

)

M= (10 i + 30 j 30 k) lb.pie 34 UNIDAD III.Mtodo de anlisis de estructuras. En las unidades anteriores se ha estudiado el equilibrio de un sistema de partculas, as como elequilibriodeunsolocuerporgidoenlapresenteunidadestudiaremoselequilibriode varioscuerposunidosentres,normalmenteaunsistemasdecuerposrgidosunidosentre ellos se le conoce como estructura o armadura. Enelanlisisdeestetipodesistemasnotansolosedeterminaranlasfuerzasexternasque actan sobre el sistema, si no que para determinar el equilibrio del sistema se requiere estudiar lascaractersticasdelasfuerzasinternas(fuerzasdetensinyfuerzasdecompresin)que actansobrecadaunadelaspartesqueintegranalsistema,normalmenteadichaspartesse les conoce como miembros de la estructura, ver figura14. Figura 14. Estructura y sus partes Los puntos A, B, C yD son los nodos de la estructura y las fuerzas

son las fuerzas externas producidas por los soportes que sostienen a la estructura o cargas que actan sobre la misma. En la actualidad existen muchos problemas en la ingeniera quese relacionan con este tipo de anlisis,comosonelanlisisdeequilibriodelasestructuras(metlicasodeotrostipos)que son utilizadas en la industria de la construccin, para el anlisis de equilibrio de vigas, etc. Normalmentelas armaduras, los armazones y las maquinas sonlas estructuras ms comunesqueseencuentranenlosdiferentestiposdeindustriayeslaraznporlacualpondremos mayor nfasis en su estudio en la presente unidad. Armadura. Est diseada para soportar cargasy son normalmente estructuras fijasy estables. Constan exclusivamente de elementos rectos conectados entre s por nodos localizados en cada unodelosextremosdelosmiembrosdedichaestructurasedicequecadaelementodela estructura llamado miembro es un elemento de dos fuerzas, porque en el interior del elemento actandosfuerzasinternasyestasfuerzasnormalmenteactansobrelosnodos,adichas fuerzasselesconocecomodetensinodecompresin,estepardefuerzassondeigual magnitudydesentidosopuestosyactansobrelamismalneadeaccinqueestalolargo del miembro de la estructura. Armazones. Estn diseados para soportar cargas y tambin son estructuras normalmente fijas yestables,sinembargoestasestructurassiemprecontienenporlomenosunelementode 35 fuerza mltiple, es decircontienen por lo menosun elemento sobre el cual actan tres o ms fuerzas que generalmenteno actan en la misma lnea de accin ,como es el caso de una gra. Maquinas. Son estructuras que estn diseadas para trasmitir y modificar fuerzasy las cuales contienen partes mviles y tambin contienen por lo menos un elemento de fuerza mltiple. Lasestructurasnormalmenteestncolocadassobresoportesloscualespuedenserfijoso mvilesyen ciertos casos tambin estn sujetos por cablesy de acuerdoel tipo de soporte o cablesonlasfuerzasexternasqueactansobrelaestructura,estetipodeconsideraciones sobrelasfuerzasqueactansobreunaarmaduraesmuyimportanteparaelanlisisde equilibrio de las estructuras. Diagrama de cuerpo libre. Cuandohablamosdelequilibriodeuncuerporgidosetienenquetenerencuentatodaslas fuerzas que actan sobre el cuerpo pero tambin se tendra que excluirtodas aquellas fuerzas quenoactandirectamentesobredelcuerpoyaqueelaadirunafuerzauomitirotraesto afectaradirectamentesobreelestadodeequilibriodelcuerpo,entoncesesnecesariohablarde un diagrama de cuerpo libre. Para trazar un diagrama de cuerpo libre se debe aislar por completo al cuerpo de su entorno es decir no se considera la fuerza debido al campo gravitacional, tampoco las reacciones que hace el piso sobre el cuerpo y las que otros cuerpo haran sobre el cuerpo que se est analizando su equilibrio, a las fuerzas que bajo estas condiciones actan sobre el cuerpo se les conoce como fuerzas externas a elpeso de cuerpo libre debe incluirse en las fuerzas externas. La magnitud y direccin de las fuerzas externas deben marcarse claramente en el diagrama de cuerpo libre se debe tener mucho cuidado en indicar el sentido de las fuerzas ejercidascobre el cuerpo libreyno el de las fuerzas ejercidas por el lasfuerzasexternas casi siempre son el peso del cuerpo libre y las fuerzas aplicadas con un propsito especfico. Lasfuerzasexternasconsistenenlaaccindelasreaccionesrealizadasporsoportesopor otroscuerposqueactansobreelsistemaylascualestiendesaoponersealposible movimientodelasestructurasobligndolasapermanecerenestadodeequilibrio,tambinse lesconocecomofuerzasderestriccin.Lasreaccionesseejercenenlospuntosdondeel cuerpo libre se apoya o se conecta a otro cuerpo. (En el anexo se muestra una tabla donde se muestran algunos tipos de reacciones). Anlisis de Armaduras por el Mtodo de Nodos. Comoyasemencionanteriormenteunaarmadurapuedeconsiderarsecomounconjuntode miembrosdedosfuerzasunidosentresporarticulacionesllamadosnodosylacualesta soportada o sujeta por soportes como se muestra en la figura 15. 36 Figura 15. Estructura o armadura en dos dimensiones En la figuralas articulaciones A, B, C, D, E, F y Gson los nodos yAB, AG, BC y etc., son los miembros de la armadura. Paraaplicarelmtododenodosenelanlisisdeequilibriodelaestructuraserealizanlos siguientes pasos: -Seanalizaalaestructuracomounsolocuerpoysedibujansobrelaestructuralas fuerzas externas que aplican los soportes o sujeciones (reacciones) sobre la estructura. -Se aplican lascondiciones de equilibrio

y con respectoa uno de los nodos de la armadura, para encontrar los valores de las fuerzas externas (reacciones por los soportes y de algunas de las cargas en los casos cuando estas no se conocen) -Unavezqueseconocenlosvaloresdelasfuerzasexternasseprocedeacalcularlos valores de las fuerzas internas realizando el anlisis de las fuerzas que actan en cada uno de los nodos. -Para realizar el paso anterior se procede primero a dibujar sobre la estructura cada uno delosparesdefuerzasqueactanencadaunodelosmiembrosdelaarmadurael sentidodecadaunadelasfuerzasalcomienzosedadeformaarbitrariaysienel momentodeefectuarelclculodedichaelvalorespositivoesosignificaqueel sentidoasignadoconanterioridaderaelcorrectodelocontrariohabraquemodificar el sentido de dicha fuerza una vez realizado esto se procede a continuar con el clculos delrestodelosparesdefuerzasconsiderandoquelasfuerzasqueactanencada miembro son de igual magnitud pero de sentidos contrarios -Serealizaunanlisisdeequilibrioutilizandolacondicin

,encadaunode losnodosparadeestamaneraseobtenerlosvaloresdecadaunadelasfuerzasque actan sobre cada uno de los nodos y el anlisis de equilibrio en el ltimo de los nodos se realiza para verificar el equilibrio total del sistema o estructura. -Por ltimo para verificar si cada una de las fuerzas internas que actan sobre cada nodo delaarmaduraestactuandocomofuerzadetensinofuerzadecompresinse consideraquesilafuerzasaledelnodoestatensionandoysilafuerzaestdirigida hacia el nodo entonces la fuerza est comprimiendo. A continuacin se muestran ejemplos de cmo aplicar el mtodo de nodos para el anlisis de equilibrio de una estructura. 37 Ejemplo 1. Dadalaarmaduracomosemuestraenlafigura.Calcularlasfuerzasinternasqueactanen cadaunodelosmiembrosdelaarmaduraydeterminarsiestnatensinocompresinsi sobre el nodo C acta una carga de 300 lb.

Solucin: Se dibujan todas las fuerzas que actan en cada uno de los miembros como se muestra en la figura: Calculamos las fuerzas externas que actan sobre la estructura utilizando las condiciones de equilibrio de la manera siguiente:

;

Calculando los momentos con respecto al nodo izquierdo de la armadura tenemos: ()( )()

Por lo tanto se tiene:

Para calcular las fuerzas internas que actan sobre cada uno de los miembros de la estructura aplicamos el mtodo de nodos de la forma siguiente: 38 Observamos el sentido de cada una de las fuerzas que actan encada uno de los nodos en la figuraanteriorytenemosqueparacadaunodelosnodoslascondicionesdeequilibrioestn dadas por: Nodo A:

()

()

() () Nodo C

()

() NodoB.

()

()

() ()

()

Nodo D.

()

()

() Del anlisis anterior podemos concluir que el sistema est en equilibrio. Mtodo de secciones. Enmuchasocasionescuandoeningenieraseesttrabajandoconelequilibriodelas estructuras,debidoalaaccindefuerzasexternasocargaslaestructurarompesuestadode equilibrio pero resulta que bajo dicha accin solamente uno o unos de sus miembros resultan afectadossufrenalgunadeformacin,peropararealizarelanlisisdeequilibrionoes necesario realizar dichoanlisis en toda laestructura, es decir en cadauno de sus miembros, solamenteserequierehacerelanlisisdelosmiembrosafectados,paraestoscasospodemos aplicar el mtodo de secciones el cual consiste enseccionar las estructuras realizando ciertos cortesloscualesnospermitenanalizarcadaunadelasseccionesenlasquesedividila estructura, considerando cada una de las secciones como sistemas aislados diferentes.

Para aplicar el mtodo de secciones en el anlisis de equilibrio de una armadura se siguen los siguientes procedimientos: 39 -Seanalizanprimerolasfuerzasexternasqueactansobrelaarmadura,esdecirdela misma forma que se realiz en el caso del mtodo de nodos para encontrar el valor de todaslas fuerzas -Encontrandolosvaloresdelasfuerzasexternas,seprocedeaseccionarlaarmadura con ayuda de uno o varios cortes los cuales se deben realizar de tal manera que la lnea de corte contenga los miembros de la estructura que se requiere realizar (ver figura 16), dichoprocedimientosepuederealizarhastalasvecesqueseanecesariohastahaber terminado el anlisis de todos los miembros que se requiera Figura 16. Seccionamiento de una estructura -Unavezrealizadoelcorteoseccionamientodelaestructuraseprocedealanlisisde lasfuerzasinternasqueactansobrelosmiembrosseleccionados,peroahoraseles considera como fuerzas externa y para encontrar sus valores se aplican las condiciones de equilibrio

y con respectoa un punto de la estructura. -Para determinarsilas fuerzas internas que actan en cada miembro estn a tensin o compresin, se utiliza el criterio que si la fuerzaque acta esta dirigida hacia el nodo entonces comprime y si esta sale del nodo entonces la fuerza esta tensionando. Ejemplo 2. Dadalaestructuralacualporelladoizquierdoestsujetaaunsoportefijoyporellado derechoporunsoportemvilysobrelacualactaunacargade300lbenelnodoC, determinarlasfuerzasqueactansobrelosmiembrosDByCBydeterminesiestna compresin o tensin. 40 Solucin. Se procede a realizar un seccionamiento como se muestra en la figura y se aplican las condiciones de equilibrio con respecto al nodo A tenemos: Calculamos las fuerzas externas que actan sobre la estructura utilizando las condiciones de equilibrio de la manera siguiente:

;

Calculando los momentos con respecto al nodo izquierdo de la armadura tenemos: ()( )()

Por lo tanto se tiene:

Calcularemos el valor de las fuerzas internas solicitadasen cada uno de los miembros, para lo cual las consideramos como fuerzas internasuna vez que se haya realizado el seccionamiento de la estructura como se muestra en la figura anterior y posteriormente se aplican las condiciones de equilibrio para la parteelegida de la estructura.

Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que:

()

() Marcos isostticos y mquinas de baja velocidad 41 Lasmaquinassonestructurasqueestndiseadasparatrasmitirymodificarfuerzasylas cualescontienenpartesmvilesytambincontienenporlomenosunelementodefuerza mltiple.Losbastidoresylasmaquinassontiposdeestructurasqueestncompuestospor medios de multifuerzas es decir son miembros que estn sometidos a ms de dos fuerzasy los bastidoressongeneralmenteestacionariosyseutilizanparasoportarcargasylasmaquinas normalmentetienenpartesmvilesyestndiseadasparatrasmitirmovimientoyalterarel efecto de las fuerzas. Para el estudio del equilibrio de este tipo de estructuras tambin se utilizan las condiciones de equilibrio ya estudiadas anteriormente siguiendo los siguientes pasos. -Seanalizalamquinaysedibujaundiagramadecuerpolibredelasfuerzasque actan sobe el mecanismo. -Se identifican todos los miembros de dos fuerzas sobre lamquinay se representa un diagramadecuerpolibredelosmismos.Reconociendolosmiembrosdedosfuerza podemos evitar la resolucin de un numero innecesario de ecuaciones en el anlisis de equilibrio -Si las fuerzas que se estn analizando son internas entonces estas no se muestran en el diagrama de cuerpo libre. -Porltimoseaplicanlascondicionesdeequilibrioparadeterminartantoreacciones como las cargas que actan sobre el sistema o mquina. Ejemplo. Determine la tensin en los cables de la maquina simpley la magnitud de la fuerza P requerida para que esta soporte una carga de1000 N, considere que entre las cuerda y las poleas no hay friccin. Solucin. Para la polea A.

42 Para la polea B.

Para la polea C.

Trabajo virtual. Enelestudiodelequilibriodeloscuerpososistemasenmuchasocasionesesutilizadoel principio de trabajo virtual el cual fue propuesto por el matemtico suizo Jean Bernoulli en el sigloXVIII,estemtodoseconsideracomounmtodoalternativobasadoenelprincipiode trabajomecnicopararesolverproblemasdeequilibriounapartcula,uncuerporgidooun sistema de cuerpos rgidos conectados entre s. Antesdeanalizarelprincipiodetrabajovirtualharemosunpequeorecordatoriodelas definiciones de trabajo mecnico producido por una fuerza y por un momento de par. Trabajo de una fuerza. Sisobreuncuerpodemasaseaplicaunafuerza

provocandoundesplazamiento, siendoel angulo entre dichos vectores entonces la diferencial de trabajorealizado por el cuerpo est dado por:

Sitomamosencuentaladefinicinproductopuntoentredosvectoresentoncespodemos escribir la ecuacin anterior de la forma siguiente:

Como lo podemos ver en la definicin de trabajo, esta es una magnitud escalar, por lo tanto el trabajo puede ser una magnitud positiva, negativa o cero. La unidad de trabajo en el es un Joule (), el cual se define como la cantidad de trabajo producido por una fuerza de magnitud decuando actua sobre un cuerpo y esta es capaz de producirle al cuerpo un desplazamientoen direccin en la cual acta la fuerza ( )ylasunidadesdetrabajoenelsistemainglesson ()yeseltrabajo producido por la accin de un fuerza de que desplaza a un cuerpo una distancia de unen la misma direccin sobre la cual acta la fuerza. Trabajo de un momento par Cuando bajo la accin de una fuerza que acta sobre un cuerpo y esta es capaz de producir una rotacinalcuerpoentoncesbajoesaaccintambinseproducetrabajo.Considereelcuerpo rgido que se muestra en la figura 17, sobre el cual actan el par de fuerzas

el cual produce un momento par y que tiene una magnitud. En el momento que bajo la accin del par de fuerzas el cuerpo experimenta un desplazamiento diferencial, los puntos A y 43 B de la figura se mueven respectivamente los desplazamientos

y

hasta alcanzar unas posiciones finales asociadas a los puntos A yBrespectivamente. Como

se puede considerar a este movimiento como una transmisin

donde los puntos A y B se mueven hasta A y B donde el cuerpo gira un ngulo con respecto de A. Lasfuerzasdeparnoproducentrabajomediantelatranslacinde

porquecadafuerza realizalamismacantidaddedesplazamientoendireccionesopuestasydeestamanerael trabajototalescero.Sinembargodurantelarotacindesplaza

yporlotanto realiza un trabajo comoentonces el trabajo producido por el par esta dado por

Siytienenelmismosentidoeltrabajoespositivo,sinembargositienenunsentido opuesto el trabajo ser negativo. Figura 17. Trabajo de un momento par. Trabajo virtual Cuandodefinimoseltrabajoqueproduceunafuerzaentrminosdelmovimientoreal utilizamosquebajolaaccindelafuerzaelcuerporealizoundesplazamientoreal. Consideremos ahora un movimiento imaginario o virtual de un cuerpo en equilibrio esttico, el cual indica un desplazamiento o una rotacin, que es supuesto y no existe realmente Esos movimientos son cantidades diferenciales de primer ordeny las denotamos por yalcambiodeposicinyalcambiodengulorespectivamente,porloqueeltrabajovirtual realizado por una fuerza

sobre el cuerpo est dado por:

De la misma manera cuando un par sufre una rotacinen el plano de las fuerzas de par, el trabajo es:

Principio de trabajo virtual Enelestudiodelequilibriodeloscuerposelprincipiodetrabajovirtualestablecequesiun cuerpo est en equilibrio, entonces la suma algebraica de los trabajos virtuales realizados por cada una de las fuerzas, as como de los trabajos realizados por cada uno de los momentos par debe ser igual a cero, para cualquier desplazamiento virtual total del cuerpo. Entonces 44 Analicemos el siguiente ejemplo, consideremos un cuerpo que descansa sobre el piso como se muestra en la figura18 y consideremos las fuerzas que actan sobre el mismo siendo estas la normalyelpesodelcuerpoconsiderandoquenoexistelafriccinentrelassuperficiesen contacto.

Figura 18. Cuerpo que descansa sobre el piso. Dnde: N- Fuerza normal w- Peso del cuerpo - Desplazamiento virtual Enelsistemaanteriorestamosimaginandoqueelcuerposedesplazaendireccinalpisoun desplazamientopor lo tanto el peso del cuerpo realizara un trabajo virtual positivo

ylafuerzanormaluntrabajovirtualnegativo

entonceseltabajovirtual total realizado sobre el cuerpo ser:

( ) Porlotantoparaquesecumplaelequilibriosedebedecumplirqueeltrabajovirtualtotaldebe ser cero. Entonces( ) Comosesupusoquesetienequeentonces ,porlotantola condicin de equilibrio es que el peso debe de ser en magnitud igual que la fuerza normal. Demanerasemejantesepuedeaplicarlaecuacindetrabajovirtualauncuerpo rigidosometidoaunsistemadefuerzascooplanaresenestecasolastranslacionesvirtuales separadasenlasdireccionesyunarotacinvirtualconrespectoauneje perpendicularalplano quepasaporunpuntoarbitrario0,correspondernatres ecuacionesdeequilibrio,y

0alescribirestasecuacionesnoes necesario incluir el trabajo realizado porlas fuerzas internas que actan dentro del cuerpo, ya que el cuerpo rgido no se deforma cuando est sometido bajo la accin de una fuerza o carga externa y adems cuando el cuerpo se mueve a travs de un desplazamiento virtual, las fuerzas 45 internas actan en pares colineales iguales pero en sentidos opuestos de esta manera el trabajo realizado por cada par es cero. Ejemplo 1. Setieneunacajaquesemuestraenlafiguradeabajoylacualpaseunamasade50Kg. CalcularlamagnituddelmomentodeparMenfuncindelngulo,queserequierepara mantener a la estructura en equilibrio, en su clculo desprecie la masa de los elementos. Solucin. Utilizandoelmtododeltrabajovirtualysuponemosquelaestructurarealizoun desplazamiento virtualentonces tenemos que solo el momento del par y el peso de cuerpo realizan trabajo si tomamos en cuenta la siguiente figura, tenemos: Para el desplazamiento virtual.

( )

Por lo tanto aplicando el principio del trabajo virtualtenemos: [()]

[()]( ) ( ) Como supusimos que entonces: ( ) 46 Por lo tanto el momento par en funcin del ngulo que se requiere para que la estructura este en equilibrio es: ( ) 47 Unidad IVPropiedades de reas planas y lneas Introduccin.La fsica esla materia que estudia las caractersticas y comportamientos fsicos de un objeto o sistema, entre estosse encuentranel centro de masa (CM), el centro de gravedad (CG), y el centroide de un cuerpo o sistema de partculas. Estostrestemassonestudiadosenestaunidadparaqueelestudianteentiendayapliquedichos conceptosen la solucin de problemas de equilibrio que se encuentran en su entorno. EnlaFsica,elcentroide,elcentrodegravedadyelcentrodemasaspueden,bajociertas circunstancias coincidiro no entre s. En estos casos se suele utilizar los trminos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geomtrico que depende de la formageomtrica del sistema; el centro de masas depende de la distribucindemateria,mientrasqueelcentrodegravedaddependetambindelcampo gravitatorio. As tendremos que: -el centro de masas coincide con el centroide cuando la densidad es uniforme o cuando ladistribucindemateriaenelsistemadetieneciertaspropiedades,talescomo simetra.-el centro de masas coincide con el centro de gravedad, cuando el sistema se encuentra en un campo gravitatorio uniforme (el mdulo y la direccin de la fuerza de gravedad son constantes). Centro de gravedad y centro de masa para un sistema de partculas. Centro de gravedad. Para un sistema de partculas cuyas distancias relativas no vara, el centro de gravedad G es un punto que marca el peso resultante. Este punto se puede visualizar considerando el sistema de npartculasenunareginespacialcomosemuestraenlafigura19.Lospesosdecada partculaequivalenaunsistemadefuerzasparalelasquesepuedereemplazarporunasola fuerza resultante (equivalente) el punto de aplicacin definido como G. Figura 19. Centro de gravedad de un sistema de partculas. 48 Paraconocerlascoordenadasx , y , z deGserequierequeelpesoresultanteseaigualal peso total de todas las n partculas = W WR Entonces la suma de los momentos de la fuerza de los pesos de todas las partculas respecto alosejescoordenadoseselmismoqueelmomentoquecausaelpesorespectoaestos mismosejes.Paradeterminarlacoordenada xdeGsepuedensumarlosmomentos respecto al eje y, lo que resulta: n n RW x W x W x W x~...~ ~2 2 1 1+ + + = Anlogamente, al sumar los momentos respecto al eje x obtenemos la coordenada sobre el eje y: n n RW y W y W y W y~...~ ~2 2 1 1+ + + = Aunquenoseproducenmomentosconrespectoalejezdebidoalospesos,sepuede obtenerlacoordenadaenzdeGgirandoelsistemacoordenadoincluyendoelsistemade partculas 90 con respecto al eje xo al y ( figura 20). Al sumar los momentos con respecto al eje x tenemos: n n RW z W z W z W z~...~ ~2 2 1 1+ + + = Se generalizan stas frmulas y se expresan simblicamente de la siguiente manera: =WW xx~

=WW yy~

=WW zz~ En donde x, y,z son las coordenadas de G (centro de gravedad) del sistema de partculas. x~, y~, z~ son las coordenadas de cada una de las partculas del sistema. Y Wes el peso sumado de las partculas que componen el sistema. Estas ecuaciones representan el balance de la suma delosmomentosdebidosalpesodecadapartculaenelsistemayelmomentodebidoal peso que resulta del sistema. 49

Figura 20. Sistema de partculas girado 90. Centro de masa. Cuando se estudian problemas que implican el movimiento de materia bajo influencia de una fuerza(dinmica)esimportanteconocerelpuntollamadocentrodemasa.Conuna aceleracindebidaalagravedadgconstanteencadapartcula,elpesoWesigualamg.Al sustituir ste trmino en las ecuaciones anteriores se obtiene: =mm xx~

=mm yy~ =mm zz~ En estas condiciones la ubicacin el centro de gravedad es el mismo que la del centro de masa, aunquelaspartculasdelsistematienenpesonicamentedentrodeuncampogravitatorio, pero el centro de masa es independiente a ste campo. Centro de gravedad, centro de masa, y centroide para un cuerpo. Centro de gravedad. Para usar los principios anteriores en l un cuerpo slido compuesto por un nmero infinito de partculas,esnecesariousarlaintegracinenvezdesumardiscretamentelostrminos.Al considerarlapartculadecoordinas( x~, y~, z~)yconunpesodWcomoenlaFigura21,las ecuaciones que resultan son: }}=dWdW xx~ }}=dWdW yy~

}}=dWdW zz~ 50 Figura 21. Centro de gravedad de un cuerpo. AplicandoapropiadamentestasecuacionesyexpresandoelpesodiferencialdWdebeser expresadoentrminosdesuvolumenasociadodV.Con representandoelpesoespecfico unitario del cuerpo se tiene dW= dV y entonces: }}=vvdVdV xx~

}}=vvdVdV yy~ }}=vvdVdV zz~ Por lo tanto la integracin debe efectuarse en todo el volumen. Centro de masa. Mediante la ecuacin g =, donde ges la aceleracin causada por la gravedad, se relaciona ladensidad .Alsustituirestarelacinenlasexpresionesanterioresresultanestasnuevas expresiones con las que se puede determinar el centro de masa del cuerpo: }}=vvgdVgdV xx~

}}=vvgVgV yy~ }}=vvgVgV zz~ Figura 22. Centro de masa de un cuerpo. 51 Centroide. El centro geomtrico de un objeto est definido por el centroide. Para determinar su ubicacin se pueden usar relaciones similares a las usadas para encontrar el centro de gravedad o centro demasa.Sielcuerpoestcompuestoporunmaterialcuyadensidadeshomognea,elpeso especficoserconstante.Estasexpresionesdefinenelcentroidedelobjetoporqueson independientesdelpesoysoloinfluyelageometra.Sepuedenconsiderarlossiguientestres casos especficos: Volumen.CuandosesubdivideunobjetoenelementosdevolumendV(figura23),elcentroidecon ubicacinC( x~, y~, z~)delvolumendelobjetosepuededeterminarcalculandolos momentos de cada elemento con respecto a cada eje coordenado, lo que resulta: }}=vvdVdV xx~

}}=vvdVdV yy~

}}=vvdVdV zz~

Figura 23. Centroide de un volumen. rea. Deformaanlogaelcentroidedelasuperficielimitantedelobjetosepuedeconocer subdividiendoelreaenelementosdA(figura24)ydeterminandolosmomentosquecada elemento con respecto a cada eje coordenado: }}=AAdAdA xx~

}}=AAdAdA yy~

}}=AAdAdA zz~ 52 Figura 24. Centroide de un rea. Lnea. Paraunobjetoconlageometradeunalneaoalambre,tambinsepuededeterminarel centroidealdividirlalongitudenelementosdiferencialesdL(Figura25)ycalculandolos momentos que estos causan con respecto a los ejes coordenados: }}=LLdLdL xx~

}}=LLdLdL yy~

}}=LLdLdL zz~ Figura 25. Centroide de la lnea. Cuerpos compuestos Uncuerpocompuestoestformadoporcuerposmssimplespuedenserrectangulares, circulares o de otras formas geomtricas determinadas y los cuales estn conectados entre s como se muestra en la figura de abajo , donde se tiene una placa rectangular con un orificio en forma circular, en este caso si se conocen los centroides , centros de masa o gravedad de cadaunadelaspartesquecomponenalcuerpoentoncessepuedeobtenerlascoordenadas del centroide, centro de masas o gravedad dl cuerpo compuesto de una forma ms sencilla sin tener que recurrir al proceso de integracin, mediante el uso de las siguientes expresiones: 53 Donde( )representanlascoordenadasdelcentrodegravedadodemasay( ) representanlascoordenadasdelcentrodegravedadomasadecadaunadelasparteslas cualesyasonconocidasy representalasumadetodoslospesosdecadaunadelas partes que forman al cuerpo. Cuando el cuerpo que se est analizando tiene densidad o peso especfico contante es decir es homogneo en centro de gravedad coincide con el centroide del cuerpoy para el caso de un rea se tiene que: Cabe mencionar que las sumatorias que se realizanen el momento de la suma se consideran sumas algebraicasy cuando el reaa considerarse no es parte de cuerpoes decir forma un hueco se considera con signo negativo para efectos del clculo (figura 26). Figura 26. Cuerpo compuesto EjemploLocalizar el centroide de la placa que se muestra en la siguientefigura: Calculando el rea ()()

54

[

]

*

+

[]

Las coordenadas del centro de masa son: ( )() Ejemplo 3 Calcular el centroide de la siguiente placa de forma circular: Calculamos el rea

(()

)

La ecuacin de la circunferencia en coordenadas polares es

*

+

[ ]

*

+

[ ]

55

Las coordenadas del centro de masa son: ()() Ejemplo 4 Calcular la coordenada el centro de masa de la siguiente figura: El rea del tringulo es:

()()

La ecuacin de la recta que pasa por los puntos ()() es:

(

)

(

) La ecuacin de la recta que pasa por los puntos ()() :

(

)

(

) ( ) 56

Calculando por separado las integrales:

()

(

)

()(

)

(

)

Ejemplo:Localizar el centroide del rea plana de la figura. Solucin. Encontramos las reas de los cuerpos geomtricos por separado:

()()

()()

57 Las coordenadas del centroide del tringulo por tablas estn dadas por: ( )() Las coordenadas del centroide del rectngulo por tablas estn dadas por: ( )() Como el centroide de un cuerpohomogneo compuesto est dado por:

Por lo tanto paranuestro caso particular tenemos: (

) (

)

(

)(

)

Momento de inercia de un cuerpo. Siempre que una carga distribuida acta en forma perpendicular a un rea y que su intensidad vara linealmente, el clculo del momento de la distribucin de la carga con respecto a un ejela implicara una cantidad llama da el momento de inercia del rea. Siconsideramoslafigura27,entonceselmomentodeinerciadeundiferencialdereadA conrespectoalosejescoordenadosson

respectivamenteyentonces los momentos de inercia se determinan por integracin por toda el rea, es decir. Figura 27. Momento de un rea.

Tambin se puede obtener esta cantidad con respecto al origen O tambin conocido como polo de la forma siguiente: 58

(

)

Las cantidadesanteriores siempre sern positivas ya que indican productos decuadradosde lasdistanciasyareas,lasunidadesdelosmomentossonunidadeslinealesalacuarta potencia (

). Elradiodegirodeunreaconrespectoaunejedadotieneunidadesdelongitudyesuna cantidad que se utilizaen mecnica estructural para el diseo de columnas, si se conocen los momentosylasreasentonceslosradiosdegirosepuedenobtenerpormediodelas siguientes expresiones:

Ejemplo1. Calcular el momento de inercia de la placa con respecto a los ejes coordenados Solucin:

[

]

()

[

]

[

]

Ejemplo 2. Calcular el momento de inercia de la placa como se muestra en la figura, con respecto a los ejes coordenados, el momento polar y los radios de giro correspondientes 59 Solucin:

[

]

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

*

+

3) Como el momento polar es:

( )

Para obtener los radios de giroytenemos que:

y

Dnde:

(

)

*

+

Por lo tanto los radios de giro son:

60 Ejemplo 3. Determine el momento de inercia con respecto al ejede una placa circular con centro en el origen de coordenadas y radio b. Solucin.Utilizando coordenadas polares:

()

*(

())+

Teorema de los ejes paralelos. Considere el momento de inercia I de una rea Acon respecto a un eje a AA (ver figura 28). Si se representa conla distancia desde un elemento de readesde AA, se escribe

Figura 28. Teorema de los ejes paralelos. Ahora,sedibujaatravsdelcentroideCdelreaAA,dichoejeesllamadoejecentroidal. RepresentadoconladistanciadesdeelelementohastaBB,seescribe

dondees la distancia entre los ejes AA y BB.Sustituyendo poren la integral anterior, se escribe

(

)

La primera integral representa el momento de inercia del area con respecto al eje centroidal BB .La segunda integral representa el primer momento del rea con respecto a BB; como el centroidedel area esta localizado sobre dicho eje, la segunda integral debe ser igual a cero. Finalmente se observa que la ltima integral es igual al rea total . Por lo tanto, se tiene

61 Estafrmulaexpresaqueelmomentodeinerciadeunaareaconrespectoacualquiereje dado AA es igual al momento de inerciadel rea con respecto a un eje centroidal BB que es paralelo a AA mas el producto del rea y el cuadrado de la distanciaentre los 2 ejes. Este teorema se conoce como el teorema de ejes paralelos o teorema de Steiner. Sustituyendo

pory

por , el teorema tambin se puede expresar de la siguiente forma

Se puede utilizar un teorema similar para relacionar el momento polar de inercia

de un rea, con respecto a un punto , con el momento polar de inercia

de la misma rea con respecto a su centroide . Denotando conla distancia entrey , se escribe

o

Ejemplo 1.Como una aplicacin del teorema de los ejes paralelos, se proceder a determinar el momento de inercia

de un area circular con respecto a una lnea tangente del crculo (ver figura). Tomando en cuenta queel momento de inercia de unreacircular conrespecto a un eje centroidal es

por tanto se puede escribir

(

)

Figura29. Circulo de radio r tangente a la lnea T. Ejemplo2.Elteoremadelosejesparalelostambinsepuedeusarparadeterminarel momentocentroidaldeinerciadeunreacuandoseconoceelmomentodeinerciadelrea con respecto a un eje paralelo. Por ejemplo, considere un rea triangular (ver figura 30). En el problemaresuelto9.1seencontrqueelmomentodeinerciadeltringuloconrespectoasu base AA es igual a

. Con el teorema de los ejes paralelos se escribe

(

)

62 Figura 30. Tringulo de base b y altura h. Es necesario resaltar que el producto

fue restado del momento de inercia dado, con el fin deobtenerelmomentocentroidaldeinerciadeltriangulo.Observequedichoproductose suma cuando se pasa de un eje centroidal a un eje paralelo, pero debe restarse cuando se pasa a unejecentroidal.Enotraspalabras,elmomentodeinerciadeunreasiempreesmenoren relacin a un eje centroidal que con respecto a cualquier otro eje paralelo. Enlafigura23,seobservaqueelmomentodeinerciadeltringuloconrespectoalalnea DD (la cual se ha dibujado a travs de un vrtice del tringulo) se puede obtener escribiendo

(

)

Observe que

no se habra podido obtener directamente a partir de

. El teorema de los ejes paralelos pasa a travs del centroide del rea. Ejemplo 3. Calcular el momento de segundo orden con respecto al eje, de la placa compuesta como se muestra en lafigura, donde la placa cuenta conun orificio de forma circular de radio igual a dos centmetros. Solucin. Calculamos las reas de cada una de las partes por separado.

()

()()

63 Por lo tanto por el teorema de los ejes paralelos tenemos:

()

(

)

()()

(

)

Producto de inercia. Elproductodeinerciadeunreaesnecesarioparadeterminarlosmomentosdeinercia mximo y mnimo para un rea, los cuales son importante considerar en el diseo de algunos elementos estructuralesy mecnicos como son vigas, levas, flechas y otros. Elproductodeunreaconsiderandounelementoarbitrariodediferencialdereaenuna posicin( )conrespectoalosejescoordenados,comosemuestraenlafiguraest dado por:

Elproductodeinerciatieneunidadesdelongitudalacuartapotencia.Sinembargo,como puedensercantidadespositivas,negativasocero,entonceselproductodeinercia puedeserpositivonegativoocerodependiendodelaubicacinuorientacindelosejes coordenados. Ejemplo Teorema de los ejes paralelos. Considrese el rea de la figura donde

representan un conjunto de ejes que pasan por el centroidedelreayyaunconjuntocorrespondientesdeejesparalelos,porloqueel producto de inercia est dado por: 64

(

) (

)

Por lo que tenemos que el producto de inercia est dado por:

Donde

es el producto de inercia del rea con respecto al eje centroidal. Ejemplo 1. Determinar elmomento de segundo orden de la placa que est dadapor la ecuacin

yest limitada por las rectas

[

]

[

]

Ejemplo 2. Determinar elmomento de segundo orden de la placa que est dadapor la ecuacin

yest limitada por las rectaslas unidades estn dadas en cm

[

]

[

]

Ejemplo 3. Encontrar el momento de segundo orden de la placa circular como se muestra en la figura siguiente. 65 Solucin: Utilizando coordenadas cartesianas tenemos:

[

]

[

]

66 Unidad V Friccin La friccin puede ser definida como una fuerza resistente que acta sobre un cuerpo e impide oretardaeldeslizamientodelcuerpoconrelacinaunsegundocuerpoosuperficieconlos cuales este en contacto. La fuerza de friccin acta siempre tangencialmente a la superficie en lospuntosdecontactoconotroscuerpos,yestdirigidaensentidoopuestoalmovimiento posible o existente del cuerpo con respecto a esos puntos. Engeneral,puedenocurrirdostiposdefriccinentresuperficies.Lafriccinfluidaexiste cuandolassuperficiesencontactoestnseparadasporunapelculadefluido(gasolquido). Lanaturalezadelafriccinfluidaseestudiaenlamecnicadefluidos,yaquedependedel conocimientodelavelocidaddelfluidoydelacapacidaddelfluidoaresistirfuerzas cortantes.LafriccinsecaesllamadaamenudofriccindeCoulomb,yaquesus caractersticasfueronestudiadasextensamenteporC.A.Coulomben1871.Especficamente, la friccin seca ocurre entre las superficies de cuerpos que estn en contacto en ausencia de un fluido lubricante. Estrictamentehablando,lafriccin,esunconceptofsicoderivadodelainteraccindedos cuerposntimamenteunidosporunafuerzaNperpendicularalasuperficiedecontacto.Este rozamiento est representado por la fuerza F paralela a la superficie de contacto, que hay que aplicar a uno de los cuerpos para que se mueva deslizndose sobre el otro (figura 31). Figura 31. Friccin entre las superficiesA y B. Enlaprctica,esteestado"ideal"derozamiento"seco"soloseconsigueenciertas condiciones muy especiales, ya que en la mayora de los casos, entre los cuerpos existe algn otroelementointeractuante,comosuciedad,polvo,algnfluidopelicularetc.,queapartael proceso de esta idealizacin. No obstante para la mayora de las aplicaciones basta con que los cuerpos estn naturalmente secos y limpios para ser considerados como cuerpos que cumplen con estas condiciones.

La magnitud de la fuera F resulta una fraccin de lamagnitud de la fuerza N y su valor es ms grandeamedidaqueaumentaelvalordelacargadeuninN,peroadems,dependede 67 otros factoresadicionalesqueintervienenenelproceso,todosestosfactoresadicionales involucrados,estnrepresentadosporunnmeroconocidocomocoeficientederozamiento (). Tipos de rozamientoExistendostiposderozamientoofriccin,lafriccinesttica(

)ylafriccindinmica(

).Elprimeroesunaresistencia,lacualsedebesuperarparaponermovimientouncuerpo conrespectoaotroqueseencuentraencontacto(figura32).Elsegundo,esunafuerzade magnitud constante que se opone al movimiento una vez que ste ya comenz. En resumen, lo que diferencia a un roce con el otro es que el esttico acta cuando el cuerpo est en reposo y el dinmico cuando est en movimiento. Si la fuerza de rozamiento Fr es proporcional a la normal N, y la constante de proporcionalidad la llamamos .

Permaneciendo la fuerza normal constante, podemos calcular dos coeficientes de rozamiento el esttico y el dinmico:

Dondeelcoeficientederozamientoesttico

correspondealamayorfuerzaqueelcuerpo puede soportar antes de iniciar el movimiento y elcoeficiente de rozamiento dinmico

es elquecorrespondealafuerzanecesariaparamantenerelcuerpoenmovimientounavez iniciado. Rozamiento esttico Figura 32. Contacto entre superficies. Sobreuncuerpoenreposoalqueaplicamosunafuerzahorizontal,intervienencuatro fuerzas: -La fuerza aplicada. 68

- La fuerza de rozamiento entre la superficie de apoyo y el cuerpo, y que se opone al movimiento.- Es el peso del propio cuerpo, igual a su masa por la aceleracin de la gravedad.- Es la fuerza normal, que la superficie hace sobre el cuerpo sostenindolo.Dado que el cuerpo est en reposo la fuerza aplicada y la fuerza de rozamiento son iguales, y el peso del cuerpo y la normal:

Sabemos que el peso del cuerpoes el producto de su masa por la gravedad, y que la fuerza de rozamiento es el coeficiente esttico por la normal:

Lafuerzahorizontalmximaquepodemosaplicarauncuerpoenreposoesigualal coeficiente de rozamiento esttico por su masa y por la aceleracin de la gravedad. Friccin seca Si se trata de mover un bloque sobre una superficie rugosa por aplicacin de una fuerza, ste no se mover si la fuerzano sobrepasa cierto valor.Esto quiere decir que si el bloque no se mueve, la superficie debe ejercer una fuerza igual a la aplicada. El grficode la figura 33 muestra la variacin de la fuerza de friccin en funcin de la fuerzaP. ParavaloresrelativamentepequeosdeF,lafuerzadefriccinesigualaP. CuandoP alcanzaelvalorcrtico

,donde

eselcoeficientedefriccinesttico,f alcanzael mismovaloryelbloqueestapuntodemoverse(movimientoinminente). SiFaumenta,la fuerza de friccin disminuye a un valor

donde

es el coeficiente de friccin cintico, y permanece constante, independiente del aumento de F. Entonces,enreposolafuerzadefriccinpuedetomarvalores

. Lafuerzade friccin no es en general

Figura 33. Grfico de la relacin entre la fuerza P que acta y la friccin 69 La figura 34, muestra que mientras el bloque est en reposo, a medida que aumenta la fuerza P, la resultante entre la normal N y la fuerza de friccin f se desplaza hacia la derecha para que se cumpla la condicin de equilibrio

(fuerzas concurrentes).Esto quiere decir que la distribucindefuerzasnormalesqueejercelasuperficierugosasobreelbloquenoes uniforme, porque de ser as N pasara por el centro de gravedad (figura 27). Figura 34. Distribucin de las fuerza segn cmo va actuando la fuerza de friccin. Leyes de friccin Existen dos tipos principalesde friccin: friccin estticay friccin dinmica.La friccin no es una propiedad del material, es una respuesta integral del sistema. Las dos leyes bsicas de la friccin se han conocido desde hace un buen tiempo: -1) la resistencia de friccin es proporcional a la carga-2) la friccin es independiente del rea de deslizamiento de las superficies. La segunda ley puede ilustrarse arrastrando un bloque o ladrillo sobre una superficie plana. La fuerza de arrastre ser la misma aunque el bloque descanse sobre una cara o sobre un borde. Coeficientes y ngulos de friccin El coeficiente de rozamiento o coeficiente de friccin expresa la oposicin al movimiento que ofrecenlassuperficiesdedoscuerposencontacto.Esuncoeficienteadimensional. Usualmenteserepresentaconlaletragriega() Lamayoradelassuperficies,anlas queseconsideranpulidassonextremadamenterugosasaescalamicroscpica.Cuandodos superficiessonpuestasencontacto,elmovimientodeunarespectoalaotragenerafuerzas tangencialesllamadasfuerzasdefriccin,lascualestienensentidocontrarioalafuerza aplicada.Lanaturalezadeestetipodefuerzaestligadaalasinteraccionesdelaspartculas microscpicas de las dos superficies implicadas. El valor del coeficiente de rozamiento es caracterstico de cada par de materiales en contacto; noesunapropiedadintrnsecadeunmaterial.Dependeademsdemuchosfactorescomola temperatura, el acabado de las superficies, la velocidad relativa entre las superficies, etc. Asporejemplo;elcoeficientedefriccinesdiferenteparaelroceentreacerotempladoy acerotempladoqueparaacerotempladoyaceroblando,oentreacerotempladoehierro fundido etc. 70 Acabado superficial Larugosidaddelassuperficiesencontactotieneunamarcadainfluenciasobreelcoeficiente de rozamiento. Observelafiguradeabajo,enellaseharepresentadounanotableampliacindeuna superficie elaborada mediante algn proceso de mecanizado con una herramienta de corte, observe los surcos dejados por la herramienta en la superficie. Estos surcos pueden ser de pequeo tamaoy no ser observados a simple vista para los mecanizados de terminacin fina, pero pueden ser incluso visibles en los procesos de produccin. Resulta evidente que a medida que el acabado superficial sea peor, (surcosms grandes), el encajamiento de los picos de una superficie con los valles de la otra producen un notable aumento de la fuerza necesaria para producirel movimiento relativo de ambasy conello el incremento del coeficiente de friccin resultante de la unin. En la figura 35, se puede notar queen el contacto de ambas superficies reales se produceel contacto solo en algunos puntos, esta situacin hace que la fuerza N est aplicada solo a unapequearea.Conlareduccindelrea,lapresinresultanteenlospuntosde contactopuedesermuyelevadayproducirefectossecundarioscongraninfluenciaenel coeficientedefriccincomopuedenser:micro-soldaduraresultantedelaelevada temperaturageneradaduranteelmovimiento,interaccinmolecular,generacinde partculas por desgarradura y otros. Figura 35. Fotografa macroscpica de dos superficies en contacto. Algunos de los coeficientes de friccin se muestran a continuacin en la siguiente tabla donde:

- es el coeficiente de rozamiento esttico

- es el coeficiente de rozamiento cintico o dinmico Tabla de coeficientes de rozamiento Material

Acero sobre acero0.740.57 Aluminio sobre acero0.610.47 Cobre sobre acero0.530.36 Goma sobre cemento1.00.8 Madera sobre madera0.25-0.50.2 Vidrio sobre vidrio0.940.4 71 Maderaenceradasobre nieve 0.140.1 Metal sobre metal lubricado0.150.06 Hielo sobre hieloo.10.03 Tefln sobre tefln0.040.04 Articulacionesdelcuerpo humano 0.010.003 *todos los valores fueron obtenidos experimentalmente y son aproximados Anlisis en planos inclinados El plano inclinado es una superficie queforma un cierto ngulocon otroplano horizontal; estedispositivomodificalasfuerzasysepuedeconsiderarcomounamquina.Tambinse conoce con el nombre de rampa o pendiente. Una de las formas ms sencillas de hacer subir un objeto, por ejemplo un bloque, es arrastrarlo por un plano inclinado. La fuerza que se necesita para arrastrar el bloque a lo largo de un plano inclinadoperfectamenteliso,esdecir,enelquenoactanfuerzasderozamiento,esmenor queelpesodelbloque.Poresosedicequeelplanoinclinadoofreceunaventajamecnica, pues aumenta el efecto de la fuerza que se aplica. Sin embargo, el bloque debe ser arrastrado a lolargodeunadistanciamayorparaconseguirlamismaelevacin,yaquelafuerzaquees necesario ejercer para ascender el bloque por el plano inclinado es tanto menor cuanto mayor es la longitud del mismo. El plano inclinado aparece de muchas formas, una de ellas es en forma de cua. Con una cua sepuedeelevarlentamenteunobjetoorajaruntroncodemaderayaquecreaunafuerza mayor en ngulo recto que la fuerza que se aplica cada vez que se golpea la cua. Un hacha es unacuaafiladasujetaaunmango;lacabezadelhachautilizaunapequeafuerza,elgolpe delhacha,paraproducirunafuerzamayorquecortacuandoelfilodelhachapenetra separando la madera, u otro material, en dos superficies. Para realizar un anlisis sobre las fuerzas que intervienen en un plano inclinado, norma