trabajo colaborativo calculo integral

TRABAJO COLABORATIVO 1

ALGEBRA LINEAL 100408A_44

PRESENTADO A: JUAN GABRIEL CABRERA

PRESENTADO POR: ANDRS CAICEDO ANDRADE Cod: 79.801.712

JOSE ANTONIO SERRANO Cod: 12.202.743 GERMAN ALBERTO VARON FARCIA Cod. 1.110.466.905

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD NEIVA 2015

ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONMICAS Y DE NEGOCIOS

100408A_44 ALGEBRA LINEAL


2

INTRODUCCION

Con esta actividad aplicaremos el conocimiento adquirido para realizar operaciones entre vectores, magnitud y ngulo; Operaciones sobre matrices, operaciones entre matrices y clculo de determinantes. en la solucin de los ejercicios propuestos. Igualmente, aprenderemos a trabajar en equipo y a fomentar el aprendizaje por medio de aportes y puntos de vistas de los compaeros del grupo acadmico. Reconociendo el espacio designado para la interaccin con los compaeros de

grupo que se encuentra dispuesto en el foro de trabajo colaborativo construccin

Participando de forma individual y grupal en la planeacin y construccin del

documento de la primera fase del trabajo colaborativo, de acuerdo con las

especificaciones dadas.




3

OBJETIVOS Participar activamente con aportes significativos con el fin de lograr entregar un trabajo final bien consolidado. Ello se logra por medio del agrupamiento de las ideas y conclusiones generadas por cada uno Comprender las definiciones y aplicaciones de las integrales definidas, integrales indefinidas y antiderivadas para dar solucin a los problemas propuestos por la actividad. Aprender la utilizacin de herramientas matemticas para el desarrollo problemas en la vida diaria y profesional Comprender y aplicar el conjunto de conocimientos relacionados la Unidad nmero uno de la asignatura Clculo Integral, para que puedan ser aplicados en diferentes escenarios del saber y en la solucin de los ejercicios planteados por la actividad.




4

PROBLEMAS

Resolver estos 5 problemas

1) Dados los siguientes vectores dados en forma polar:

= 3

2; = 240

= 3; = 300

REALICE ANALITICAMENTE:

= 3

2 240

= 3

2

1

2

= 3

4

= 3

2 240

= 3

2

3

2

= 3

2

3

2

= 33

4

= 3 300

= 3 1

2

= 3

2

= 3 300

= 3 3

2

= 33

2

1.1) -

= (3

4,

33

4)+ (-) *(

3

2 ,

33

2)

= (3

4,

33

4) + (

3

2,33

2)

= (3

4

3

2 ,

33

4+

33

2)

= (0.75 1.5 , 1.3 + 2.6)

= (2.25 ,1.3)

1.2) -

= (3

4,

33

4)+ (-2) *(

3

2 ,

63

2)

= (3

4,

33

4) + (

6

2,33

2)

= (3

4,

33

4) + (3, 33)

= (3

4 3,

33

4+ 33 )

= (0.75 3 , 1.3 + 5.2)

= (3.75, 3.9)




5

1.3) +

= (3

2 ,

33

2) + (

3

4,

33

4)

= (3

2

3

4 ,

33

2

33

4)

= (1.5 0.75 , 2.3 1.3)

= (0.75 , 3.6)

1.4) -

= (3

2 ,

33

2) + (2) (

3

4,

33

4)

= (3

2 ,

33

2) + (

3

2,33

2)

= (3

2+

3

2 ,

33

2+

33

2)

= (1.5 + 1.5 , 2.6 + 2.6)

= (3 , 0)

1.5) 4 -

= (4) (3

4 ,

33

4)

+ (3) (3

2,

33

2)

= (12

4 ,

123

4) + (

9

2,93

2)

= (3 , 33 ) + (9

2,93

2)

= (3 4.5 , 5.2 + 7.8)

= (7.5 , 2.6)




6

2. Encuentre el ngulo entre los siguientes vectores:

2.1

= 8^

4^

= 6^

4^

2.2

= ^

+ 3 ^

= ^

5^

2.3

= ^

+ 3 ^

+ 2

= ^

5 ^

^

Respuesta

2.1 =

= 6 4

cos =1 1 + 2 2

12 + 2

2 12 + 2

2

cos

=(8)(6) + (4)(4)

(8)2 + (4)2(6)2 + (4)2

= cos1(0.99)

= 7.12

= 7 730

2.2 = + 3

= 5

cos

=(1)(1) + (3)(5)

(1)2 + (3)2(1) 2 + (5)2

= cos1(0.86)

= 150.2

= 150 15 18.43

2.3

5 = + 3 + 2

= 5

cos

=(1)(1) + (3)(5) + (2)(1)

(1)2 + (3)2 + (2)2(1)2 + (5)2 + (1)2

= cos1(0.82)

= 145.3

= 145 22 52.75




7

3. Dada la siguiente matriz, empleando para ello el mtodo Gauss-Jordn

|1 5 107 3 10 4 3

|

Dividimos en dos partes de igual tamao la matriz en la cual en el lado izquierdo rellenamos con los elementos de la matriz original y en el lado derecho rellenamos los elementos de la matriz de identidad para encontrar la matriz inversa.

|1 5 107 3 10 4 3

| |1 0 00 1 00 0 1

|

|1 5 107 3 10 4 3

|1 0 00 1 00 0 1

11

|1 5 107 3 10 4 3

| |1 0 00 1 00 0 1

| 2: 71 + 2

|1 5 100 32 690 4 3

| |1 0 07 1 00 0 1

|2:1

322

|

1 5 10

0 169

320 4 3

| |

1 0 07

32

1

320

0 0 1

| 1: 52 + 1

||1 0

25

32

0 169

320 4 3

|| |

|

3

32

5

320

7

32

1

320

0 0 1

|| 3: 42 + 3

|

|1 0

25

32

0 169

32

0 0 93

8

|

| |

|

3

32

5

320

7

32

1

320

7

8

1

81

|

|3:

8

933




8

||1 0

25

32

0 169

320 0 1

|| |

|

3

32

5

320

7

32

1

320

7

93

1

93

8

93

|

|2

69

323 + 2

|1 0

25

320 1 00 0 1

| |

|

3

32

5

320

7

124

1

124

23

1247

93

1

93

8

93

|

|1:

25

323 + 1

|1 0 00 1 00 0 1

| |

|

13

372

55

372

25

3727

124

1

124

23

1247

93

1

93

8

93

|

|

La matriz, es:

13

372

55

372

25

3727

124

1

124

23

1247

93

1

93

8

93




9

4. Encuentre el determinante de la siguiente matriz describiendo paso a paso la operacin que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular)

A=

Descomponemos la determinante por su componente ms pequeo

0 -1 -2 1

0 0 0 -1

0 0 0 -1

0 0 0 -1

0 0 0 -1

0 2 1 5 7 +0 2 1 5 7 +0 0 -1 -2 1 -(4) 0 -1 -2 1 +1 0 -1 -2 1

1 -2 6 -2

1 -2 6 -2

1 -2 6 -2

2 1 5 7

2 1 5 7

0 2 3 4

0 2 3 4

0 2 3 4

0 2 3 4

1 -2 6 -2

Desde la matriz multiplicamos por 0 su determinante es 0

0 0 0 -1

0 0 0 -1

0 0 0 -1

0 0 0 -1

0 0 0 -1

0+0 2 1 5 7 +0 0 -1 -2 1 +0 0 -1 -2 1 -(4) 0 -1 -2 1 +1 0 -1 -2 1

1 -2 6 -2

1 -2 6 -2

1 -2 6 -2

2 1 5 7

2 1 5 7

0 2 3 4

0 2 3 4

0 2 3 4

0 2 3 4

1 -2 6 -2

Volvemos y multiplicamos desde la matriz por 0 su determinante es 0

0 -1 -2 1

0 0 0 -1

0 0 0 -1

0+0+0 2 1 5 7 -(4) 0 -1 -2 1 +1 0 -1 -2 1

1 -2 6 -2

2 1 5 7

2 1 5 7

0 2 3 4

0 2 3 4

1 -2 6 -2

Hacemos lo mismo

0 0 0 -1

0 0 0 -1

0+0+0+(4) 0 -1 -2 1 +1 0 -1 -2 1

2 1 5 7

2 1 5 7

0 2 3 4

1 -2 6 -2


0 0 0 -1

0 0 0 0 -1

0 0 -1 -2 1

0 2 1 5 7

4 1 -2 6 -2

1 0 2 3 4




10

-1 -2 1

0 0 -1

0 0 -1

0 0 -1 +1 0 -1 -2 1

0+0+0-(4)[0 1 5 7 +0 1 5 7 +2 -1 -2 1 +0 -1 2 1 ] 2 1 5 7

2 3 4

2 3 4

2 3 4

1 5 7

1 -2 6 -2

Desde su matriz multiplicamos por 0 siendo el determinante 0

0 0 0 -1

0 -2 1

0 0 -1

0 0 -1 +1 0 -1 -2 1

0+0+0-(4)[0+0 1 5 7 +2 -1 -2 1 +0 -1 -2 1 ] 2 1 5 7

2 3 4

-2 3 4

1 5 7

1 -2 6 -2


0 0 0 -1

0 0 -1

0 0 -1 +1 0 -1 -2 1

0+0+0-(4)[0+0+2 -1 -2 1 +0 -1 -2 1 ] 2 1 5 7

2 3 4

1 5 7

1 -2 6 -2


0 0 0 -1

0 0 -1 +1 0 -1 -2 1

0+0+0-(4)[0+0+2[0 -2 1 -(1) 0 -1 +2 0 -1 +0 -1 -2 1 ] 2 1 5 7

2 4

3 4

-2 1 ] 1 5 7

1 -2 6 -2


0 0 0 -1

0 0 -1 1 0 -1 -2 1

0+0+0-(4)[0+0+2[0-(-1) 0 -1 +2 0 -1 +0 -1 -2 1

2 1 5 7

3 4

-2 1 ] 1 5 7

1 -2 6 -2

El determinante de una matriz 2x2 se puede encontrar utilizando la frmula

|

| =

0 0 0 -1

0 0 -1 +1 0 -1 -2 1

0+0+0-(4)[0+0+2[0-(-1)((0)(4)-(3)(-1))+2 0 -1 +0 -1 -2 1 ] 2 1 5 7

-2 1 ] 1 5 7

1 -2 6 -2

0 0 0 -1




11

0 0 -1 1 0 -1 -2 1

0+0+0-(4)[0+0+2[0+3+2 0 -1 0 -1 -2 1

2 1 5 7

-2 1

1 5 7

1 -2 6 -2

Utilizamos nuevamente la frmula |

| = para desarrollar la

determinante de la matriz 2x2

0 0 0 -1

0 0 -1 +1 0 -1 -2 1

0+0+0-(4)[0+0+2[0+3+2((0)(1)-(2)(-1))]+0 -1 -2 1 ] 2 1 5 7

1 5 7

1 -2 6 -2

Simplificamos la expresin

0 0 0 -1

0 0 -1 1 0 -1 -2 1

0+0+0-(4)[0+0+2[0+3+4]+0 -1 -2 1

2 1 5 7

1 5 7

1 -2 6 -2


0 0 0 -1

0 -1 -2 1

0+0+0-(4)[0+0-2+0]+1 2 1 5 7

1 -2 6 -2


0 0 0 -1

0 -1 -2 1

0+0+0-(4)[-2]+1 2 1 5 7

1 -2 6 -2

Simplificamos la determinante

0 0 0 -1

0 -1 -2 1

0+0+0+8+1 2 1 5 7

1 -2 6 -2


-1 -2 1

0 0 -1

0 0 -1

0 0 -1

0+0+0+8+0 1 5 7 +0 1 5 7 +2 -1 -2 1 -(1) -1 -2 1

-2 6 -2

-2 6 -2

-2 6 -2

1 5 7





12

0 0 -1

0 0 -1

0 0 -1

0+0+0+8+0+0 1 5 7 2 -1 -2 1 -(1) -1 -2 1

-2 6 -2

-2 6 -2

1 5 7


0 0 -1

0 0 -1

0+0+0+8+0+0+2 -1 -2 1 -(1) -1 -2 1

-2 6 -2

1 5 7


0 0 -1

0+0+0+8+0+0+2[0 -2 1 -(-1) 0 -1 -2 0 -1 -(1) -1 -2 1

6 -2

6 -2

-2 1 ] 1 5 7


0 0 -1

0+0+0+8+0+0+2[0-(-1) -0 1 -2 0 -1 -(-1) -1 -2 1

6 -2

-2 1 ] 1 5 7




0 0 -1

0+0+0+8+0+0+2[0-(-1)((0)(-2)-(6)(-1))-2 0 -1 -(-1) -1 -2 1

-2 1 ] 1 5 7


0 0 -1

0+0+0+8+0+0+2[0+6-2 0 -1 -(-1) -1 -2 1

-2 1 ] 1 5 7




0 0 -1

0+0+0+8+0+0+2[0+6-2((0)(1)-(-2)(-1))]-(1) -1 -2 1

1 5 7


0 0 -1

0+0+0+8+0+0+2[0+6+4]-(1) -1 -2 1

1 5 7





13

0 0 -1

0+0+0+8+0+0+2[10]-(1) -1 -2 1

1 5 7


0 0 -1

0+0+0+8+0+0+20-(1) -1 -2 1

1 5 7


0+0+0+8+0+0+20-(1)[0 -2 1 -(-1) 0 -1 +1 0 -1

5 7

5 7

-2 1 ]


0+0+0+8+0+0+20-(1)[0-(-1) 0 -1 +1 0 -1

5 7

-2 1 ]




0+0+0+8+0+0+20-(1)[0-(-1)((0)(7)-(5)(-1))+1 0 -1

-2 1 ]


0+0+0+8+0+0+20-(1)[0+5+1 0 -1

-2 1 ]



determinante de la matriz 2x2 Simplificamos la determinante y expresin 0+0+0+8+0+0+20-(1)[0+5(0)(1)-(-2)(-1)]

0+0+0+8+0+0+20-(1)[0+5-2]

0+0+0+8+0+0+20-(1)[3]

0+0+0+8+0+0+20-3

0+0+0+8+17

DETERMINANTE DE LA MATRIZ= 25




14

5. ENCUENTRE LA INVERSA DE LA SIGUIENTE MATRIZ, EMPLEANDO PARA ELLO

DETERMINANTES

-5 -2 -1 -5 -2

C= 3 0 5 3 0

-8 1 -5 -8 1

Hallamos la determinante:

= (0 + 80 3) (0 25 + 30)

= 80 + 3 + 25 30

= 72

Se pasan filas a columnas para hallar la transpuesta:

5 3 82 0 11 5 5

= 0 15 5

2 11 5

2 01 5

= = 5 11 1025 +17 +223 +21 +6

- 3 85 5

5 81 5

5 31 5

3 80 1

5 82 1

5 32 0

Ahora aplicamos la frmula para hallar la matriz inversa:

= 1

72

5 11 1025 +17 +223 +21 +6

=

5

72

11

72

10

7225

72

+17

72

+11

361

24

+7

24

+1

12

= 1




15

CONCLUSIONES

Se ha logrado la comprensin y aplicacin de los principios del algebra lineal y sus teoras con los conceptos bsicos sobre lgebra Lineal. Se explica que es una matriz, los tipos de matrices existentes, las operaciones bsicas (suma y multiplicacin), las operaciones fila, la permutacin de los arreglos matriciales, los sistemas de ecuaciones y otros temas fundamentales que permitirn al estudiante afianzarse en los espacios vectoriales y sus transformaciones lineales..




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BIBLIOGRAFIA

ADICION DE VECTORES DADOS EN COORDENADAS POLARES https://www.youtube.com/watch?v=J4KcdHlbfgA UNICATOLICA - RESTA DE FRACCIONES HETEROGNEAS https://www.youtube.com/watch?v=alKGXlG_TCE PRODUCTO PUNTO DE DOS VECTORES EN EL PLANO https://www.youtube.com/watch?v=OlRvSpunD3I ANGULO ENTRE DOS VECTORES (PRODUCTO CRUZ)

https://www.youtube.com/watch?v=m83U-3VYBbI MATRIZ INVERSA POR GAUSS BACHILLERATO MATEMATICAS

https://www.youtube.com/watch?v=nHEFxcJ-QPM COMO CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ A (PARTE 1)

https://www.youtube.com/watch?v=E0Xr7sTGrHY INVERSA DE UNA MATRIZ 3X3 POR DETERMINANTE

https://www.youtube.com/watch?v=Ki86UAlP4Dg MATRIZ GAUSS-JORDAN REDUCCION POR RENGLONES

https://www.youtube.com/watch?v=P1PQkj0P9SM

GROSSMAN, Stanley I.; SOTO, Fernando Pia. lgebra lineal. Grupo Editorial Iberoamericana, 1983. LAY, David C.; MURRIETA, Jess Murrieta. Algebra lineal y sus aplicaciones. Pearson educacin, 2007. STANLEY, I., et al. Algebra lineal. 1996. FRIEDBERG, Stephen H.; INSEL, Arnold J.; SPENCE, Lawrence E. Algebra lineal. Publicaciones Cultural, 1982.
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