CALCULO DIFERENCIAL

TRABAJO COLABORATIVO 3

PRESERNTADO A:

EDGAR BOJACA

PRESENTADO POR:

PAOLA ANDREA CLEVES

Cód: 1013609773

JUAN MIGUEL PARRA TRUJILLLO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ECBIT

INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES

14 DE NOVIEMBRE 2014

INTRODUCCION

El cálculo diferencial es muy aplicado en las diferentes carreras ya que permite

realizar análisis de casos particulares y de datos especiales. En el presente

trabajo se verán aplicados los diferentes conocimientos aprendidos.

El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la

rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una

herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología.

La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando

tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de

variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de

la variable, si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una función para un

valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el

valor concreto de la variable.

Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una función es que la

pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la

rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la

recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la función

en las proximidades del punto.

Además de saber calcular la derivada de una función en un punto, es conveniente

ser capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquier función. La

derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función

en el punto considerado. Esta sección está dedicada precisamente a aprender

tanto a calcular el valor de la derivada de una función en un punto como a saber

obtener la función derivada de la original. Por este motivo dedicaremos especial

atención a como derivar funciones compuestas, funciones implícitas así como a

efectuar diversas derivaciones sobre una misma función.

El concepto de derivada segunda de una función - derivada de la derivada de una

función- también se aplica para saber si la rapidez de cambio se mantiene,

aumenta o disminuye. Así el concepto de convexidad y concavidad -aspectos

geométricos o de forma- de una función están relacionados con el valor de la

derivada segunda.

Finalmente veremos la relación que tiene la derivada con los problemas de

optimización de funciones. Estos problemas decimos que son de máximo o de

mínimo (máximo rendimiento, mínimo coste, máximo beneficio, mínima

aceleración, mínima distancia).

Halle, paso a paso, las coordenadas, (x, y), del punto crítico de las siguientes

ecuaciones. ¿Diga si ese punto crítico es un máximo o un mínimo? ¿Por

qué?

1. y = x23x2

Derivada de la función igualándola a cero:

2x3=0

Los puntos críticos para x son:

x1= 3

2 Y x2=−

3

2

Es decir que el punto crítico es: 3

2, −

3

2

Ahora para hallar las coordenadas reemplazamos este valor en la función original,

esto es:

c, f c ⟹ f 3

2 = (

3

2)2 − 3(

3

2) − 2 = −

17

4

Las coordenadas son:

𝑥1 = x =3

2, y = −

17

4 Y cuando 𝑥2 = x = −

3

2, y =

17

4

Es un punto crítico máximo porque pasa de positivo a negativo.

2. y = 3x212x

Derivada de la función igualándola a cero:

6𝑥12 = 0

𝑥 =12

6

𝑥 = 2

Los puntos críticos para x son:

𝑥1 = 2 𝑦 𝑥2 = −2

Ahora para hallar las coordenadas reemplazamos este valor en la función original,

esto es:

c, f c ⟹ f 2 = (2)2 − 3(2) − 2 = −4

Las coordenadas son:

𝑥1 = x = 2, y = −4 Y cuando 𝑥2 = x = −2, y = 4

Es un punto crítico mínimo porque pasa de negativo a positivo.

Usando la Regla de L’Hopital, paso a paso, halle el límite 3, 4 y 5:

3. lim𝑥 →0

3𝑥 + 13

− 1

𝑥

3𝑥 + 13

− 1 ′

= ( 3𝑥 + 1 1

3 − 1)′

=1

3( 3𝑥 + 1

13 −1(3)

= 3 ∗1

3( 3𝑥 + 1 −2

3

= 3𝑥 + 1 −23

=1

(3𝑥 + 1)23

Y ahora la derivada del denominador es 1. Así tenemos que:

lim𝑥→0 3𝑥+13 −1

𝑥= lim𝑥→0

1

(3𝑥+1)23

1 =lim𝑥→0

1

(3𝑥+1)23

Ahora como ya no hay indeterminación reemplazamos el valor del límite esto es

lim𝑥→0

1

3𝑥 + 1 23= lim

𝑥→0

1

(3(0) + 1)23= lim

𝑥→0

1

(1)23= 1

Así tenemos:

lim𝑥 →0

3𝑥 + 13

− 1

𝑥= 1

4. 𝐿𝑖𝑚 𝑥1 =1 − x2

sin(x)

Numerador 1 − 𝑥2 = −2𝑥

Denominador ( sin(x)) = cos(x)

Entonces:

𝐿𝑖𝑚 𝑥1 =1x2

Sin (x)=𝐿𝑖𝑚 𝑥1 =

2x

Cos (x )

Como ya no hay indeterminación reemplazamos el valor del límite:

𝐿𝑖𝑚 𝑥1 =2x

Cos (x ) = 𝐿𝑖𝑚 𝑥1 =

2(1)

Cos ( 1 )

= 𝐿𝑖𝑚 𝑥1 =2

Cos()

= 𝐿𝑖𝑚 𝑥1 =2

−

= 𝐿𝑖𝑚 𝑥1 =2

=2

Así tenemos:

𝐿𝑖𝑚 𝑥1 =2x

Cos (x)=

2

5. 𝐿𝑖𝑚 𝑥 0 e2x−1

x

𝑒2𝑥−1 ′ = −2𝑒2𝑥−1 Y ahora la derivada del denominador viene dada por:

(𝑥) = 1

Así tenemos que:

𝐿𝑖𝑚 𝑥→0

𝑒2𝑥−1

𝑥𝐿𝑖𝑚 𝑥0

−2𝑒2𝑥−1

1

= 𝐿𝑖𝑚 𝑥→0

2𝑒2𝑥−1

Ahora como ya no hay indeterminación reemplazamos el valor del límite esto es:

𝐿𝑖𝑚 𝑥0𝑒2𝑥−1

𝑥𝐿𝑖𝑚 𝑥0

−2𝑒2𝑥−1

1

= 2 𝐿𝑖𝑚 𝑥 0 𝑒2𝑥−1

= 2 𝐿𝑖𝑚 𝑥 0 𝑒2(0)−1

= 2 𝐿𝑖𝑚 𝑥 0 𝑒−1

= 2𝑒−1

= 2

𝑒

Así tenemos:

𝐿𝑖𝑚 𝑥 0𝑒2𝑥−1

𝑥= −

2

𝑒

Halle paso a paso la tercera derivada de:

6. 𝑓 𝑥 = 3 tan(3𝑥)

Hallemos la primera derivada, usando la regla de la cadena, esto es:

𝑓 𝑥 = 3 tan 3𝑥 La derivada interna es:

3𝑥 ′ = 3

Y la derivada de la externa es:

(tan 𝑣 )′ = 𝑠𝑒𝑐2(𝑣)

Así la primera derivada viene dada por:

𝑓 𝑥 = 3 tan 3𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 3𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 ∗ 3 = 9𝑠𝑒𝑐2 3𝑥

Calculemos ahora la segunda derivada, derivando nuevamente la primera

derivada, usando la regla de la cadena, esto es:

𝑓′ 𝑥 = 9𝑠𝑒𝑐2 3𝑥

La derivada interna es:

3𝑥 ′ = 3 Y la derivada de la externa es:

(𝑠𝑒𝑐2 𝑣 )′ = 2 tan 𝑣 𝑠𝑒𝑐2 𝑣 Así la segunda derivada viene dada por:

𝑓′ 𝑥 = 9𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 ⟹ 𝑓′ ′ 𝑥 = 9 ∗ 2 tan 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 ∗ 3

= 18 tan 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 ∗ 3

= 54 tan 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥

Calculamos ahora la tercera derivada, usando la regla del producto y la regla de la

cadena, esto es:

Ya sabemos que: ( tan 3𝑥 )′ = 3 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥

Y también que: 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 ′

= 6 tan 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥

Usemos en efecto la regla del producto, esto es: f ′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑔′ 𝑥 𝑓(𝑥)

De donde escogemos como

f x = 54tan 3𝑥 y g x = 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥

Entonces:

f ′ x = 162𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 y g′ x = 6 tan 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥

Luego, la tercera derivad viene dada por:

f ′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑔′ 𝑥 𝑓 𝑥 =

= 162𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 + 6 tan 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 ∗ (54 tan 3𝑥 )

= 162𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 + 324 𝑡𝑎𝑛2 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥

= 54 𝑠𝑒𝑐2(3𝑥) 3𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 + 6 𝑡𝑎𝑛2 3𝑥

Así la tercera derivada viene dada por:

𝑓′′′ 𝑥 = 54𝑠𝑒𝑐2(3𝑥) 𝟑𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟑𝒙 + 𝟔 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝟑𝒙

7. 𝒇 𝒙 = 𝟑𝐜𝐨𝐭(𝟑𝒙)

Hallemos la primera derivada, usando la regla de la cadena, esto es:

𝒇 𝒙 = 𝟑𝒄𝒐𝒕(𝟑𝒙) La derivada interna es:

𝟑𝒙 ′ = 𝟑

Y la derivada de la externa es:

( 𝒄𝒐𝒕 𝒗 )′ = − 𝒄𝒔𝒄𝟐(𝒗)

Así la primera derivada viene dada por:

𝒇 𝒙 = 𝟑𝐜𝐨𝐭(𝟑𝒙) ⟹ 𝒇′ 𝒙 = − 𝟑𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟑𝒙 ∗ 𝟑

= −𝟗𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟑𝒙

Calculemos ahora la segunda derivada, derivando nuevamente la primera

derivada, usando la regla de la cadena, esto es:

𝒇′ 𝒙 = −9𝑐𝑠𝑐2 3𝑥

La derivada interna es:

3𝑥 ′ = 3

Y la derivada de la externa es:

(𝑐𝑠𝑐2 𝑣 )′ = −2 𝑐𝑜𝑡 𝑣 𝑐𝑠𝑐2 𝑣 Así la segunda derivada viene dada por:

𝑓′ 𝑥 = −9𝑐𝑠𝑐2 3𝑥 ⟹ 𝑓′ ′ 𝑥 = −9 ∗ −2 𝑐𝑜𝑡 3𝑥 ∗ 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥 ∗ 3

= 18 cot 3𝑥 ∗ 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥 ∗ 3

= 54 cot 3𝑥 ∗ 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥

Calculamos ahora la tercera derivada, usando la regla del producto y la regla de la

cadena, esto es:

Ya sabemos que: (𝑐𝑜𝑡 3𝑥 )′ = −3 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥

Y también que: csc2 3x ′

= −6 cot 3x ∗ csc2 3x

Usemos en efecto la regla del producto, esto es: 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑔′ 𝑥 𝑓(𝑥)

Luego, la tercera derivad viene dada por:

𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑔′ 𝑥 𝑓 𝑥

= −162𝑐𝑠𝑐 3𝑥 ∗ 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥

+ −6 𝑐𝑜𝑡 3𝑥 ∗ 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥 ∗ 54 𝑐𝑜𝑡 3𝑥

= −162𝑐𝑠𝑐2 3𝑥 − 324 𝑐𝑜𝑡2 3𝑥 ∗ 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥

= −54 𝑐𝑠𝑐2(3𝑥) 3𝑐𝑠𝑐2 3𝑥 + 6 𝑐𝑜𝑡2 3𝑥

Así la tercera derivada viene dada por:

f′′′ x = −54 csc2(3x) 3csc2 3x + 6 cot2 3x

Halle, paso a paso, la derivada implícita, con respecto a x, de:

8. 𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑦 = 1

Derivemos implícitamente respecto a 𝑥: esto es:

𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑦 − 1 = 0

𝑑

𝑑𝑥 𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑦 − 1 = 0

𝑑

𝑑𝑥 𝑒−𝑥) −

𝑑

𝑑𝑥(𝑒−𝑦) −

𝑑

𝑑𝑥(1)

= −𝑑𝑥

𝑑𝑥 𝑒−𝑥 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥(𝑒−𝑦 ) − 0 = 0

= −𝑑𝑥

𝑑𝑥 𝑒−𝑥 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥(𝑒−𝑦) = 0

= −𝑑𝑥

𝑑𝑥 𝑒−𝑥 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥(𝑒−𝑦) = 0

= − 𝑒−𝑥 +𝑑𝑦

𝑑𝑥(𝑒−𝑦) = 0𝑒−𝑥 =

𝑑𝑦

𝑑𝑥(𝑒−𝑦)

𝑒−𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑥(𝑒−𝑦)

Despejando 𝑑𝑦

𝑑𝑥 tenemos que:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑒−𝑥

𝑒−𝑦

Así la derivada implícita viene dada por:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑒−𝑥

𝑒−𝑦= 𝑒𝑦−𝑥

9. Se bombea aire hacia el interior de un globo esférico de modo que su

volumen aumenta a razón de 𝟏𝟎𝟎𝒄𝒎𝟑

𝒔. ¿Con qué rapidez crece el globo

cuando su radio es de 25cm? Recordar que el volumen es igual 𝟒

𝟑𝝅𝒓𝟑.

Sea 𝑉 el volumen del radio y r su radio, la razón de cambio con respecto son

derivadas y viene dada por 𝑑𝑉𝑑𝑡 donde 𝑡 y esta representa la razón de cambio

del volumen respecto al tiempo y la razón del aumento del radio es: 𝑑𝑟𝑑𝑡 .

Según los datos se tiene que:

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 100

𝑐𝑚3

𝑠

Tenemos que calcular 𝑑𝑟𝑑𝑡 cuando 𝑟 = 25𝑐𝑚. Sabemos que el volumen viene

dado por:

𝑉 =4

3𝜋𝑟3.

Para derivar el segundo miembro es necesario usar la regla de la cadena, esto es:

𝑑𝑉

𝑑𝑡=

𝑑𝑉

𝑑𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑡= 4𝜋𝑟2

𝑑𝑟

𝑑𝑡

Despejamos 𝑑𝑟

𝑑𝑡 obtenemos:

𝑑𝑟

𝑑𝑡=

1

4𝜋𝑟2 ∗𝑑𝑉

𝑑𝑡⟺

𝑑𝑟

𝑑𝑡=

1

4𝜋(25𝑐𝑚)2 ∗ 100

𝑐𝑚3

𝑠=

1

25𝜋𝑐𝑚/𝑠

El globo crece con una rapidez de 1

25𝜋𝑐𝑚/𝑠

10. Una fábrica tanques de almacenamiento de agua desea construir uno de

forma cilíndrica con tapa, que tenga una capacidad de 1 metro cúbico (1000

litros). ¿Cuáles deben ser las dimensiones del tanque para que la cantidad

de material empleado en su construcción sea mínima?

Minimizamos el área de la superficie del cilindro. La que está dada por: Acilindro = 2Atapa + Acuerpo (1)

Al desplegar el cuerpo del cilindro obtendremos una superficie rectangular en la cual uno de sus lados es el perímetro de la circunferencia y el otro es la altura.

Acuerpo = 2πrh (2)

Por otro lado, el área de la tapa está dada por:

Atapa = πr2 (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1), tenemos:

Acilindro = 2 πr2 + 2πrh (4) Como la capacidad debe ser de 1 m3, entonces

1 = πr2h (5)

h =1

πr2 (6)

h

r

Reemplazando (6) en (4)

Acilindro = 2 πr2 + 2πr1

πr2

Acilindro = 2 πr2 +2000

r

Derivando e igualando a cero

Acilindro′ = 4πr −

2

r2= 0

4πr = −2

r2

2πr = −1

r2

r3 = −1

2π=

0.5

π= 0.159155

r = 0.1591553

= 0.542 metros

Tenemos que r = 0.542 metros es un punto crítico

Verifiquemos que este sea un mínimo, utilizando puntos antes y después del punto

crítico para determinar el signo de la derivada.

A′ 0.5 = 4π 0.5 −2

0.5 2= −1.717m

Antes del punto crítico la función es decreciente (arroja valores negativos)

A′(0.6) = 4π 0.6 −2000

0.6 2 = 0.1984 m

Después del punto crítico la función es creciente (arroja valores positivos)

Efectivamente, r = 5.42 metros es un punto crítico correspondiente a un mínimo en

la función de área. El valor de h que le corresponde según (6) es:

h =1

(0.542)2= 3.405 m

El tanque debe hacerse con tapas de 0.542 m de radio y una altura del cuerpo de

3.405 m

CONCLUSIONES

El propósito de este trabajo era poder poner en práctica lo que se ha venido

aprendiendo en la materia de cálculo diferencial, y permitiendo resolver las dudas

que se iban presentando en el trascurrir del curso.

REFERENCIAS

Modulo de Calculo Diferencial.

Derivadas:

https://www.youtube.com/watch?v=xx6bIjehplA

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

http://www.dervor.com/derivadas/tabla_derivadas.html