topografia triangulacion caminos

FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 1

CONTENIDO GENERALIDADES

PROLOGO

CAPITULO I

1. TRIANGULACION REDES DE TRIANGULACION.

RED DE TRIANGULOS. RED DE CUADRILATEROS. RED DE POLGONOS.

CONDICION DE TRIANGULO. MEDICION DE ANGULOS Y BASE. CLASES DE TRIANGULOS.

2. PLANEAMIENTO DE UNA TRIANGULACION INFORMACIN BASICA. RECONOCIMIENTO DEL TERRENO. MONUMENTACION DE HITOS. MEDICON DE LA BASE.

CORRECCION POR LONGITUD VERDADERA. CORRECCION POR TEMPERATURA. CORRECCION POR HORIZONTALIDAD. CORRECCION POR CATENARIA. CORRECCION POR TENSIN.

MEDICON DE ANGULOS. COMPENSACION DE BASE. COMPENSACIN DE ANGULOS.

RED TRIANGULOS ASIMPLES. RED DE CUADRILATEROS. COMPENSACIN CON PUNTO CENTRAL.

RESISTENCIA DE FIGURA. CALCULO DE LADOS. CALCULO DE AZIMUTS.


CALCULO DE COORDENADAS. CALCULO DE AREAS. CALCULO DE COTAS. DIBUJO DE LA RED. CONFIGURACIN. LIBRETA DE CAMPO.

CAPITULO II

CAMINOS

GENERALIDADES

1. ETAPAS DEL TRAZO. 2. CURVAS CIRCULARES HORIZONTALES.

ELEMENTOS DE UNA CURVA. DETERMINACIN DE LOS ELEMENTOS. REPLANTEO DE CURVAS CIRCULARES.

3. REPLANTEO POR DEFLEXIONES CON VISIBILIDAD DESDE EL PC.

4. REPLANTEO POR DEFLEXIONES CON PUNTOS DE CAMBIO. 5. SECCIONES LONGITUDINALES. 6. SECCIONES TRANSVERSALES. 7. RASANTES. 8. AREAS Y VOLMENES.


GENERALIDADES

Triangulacin es un sistema de redes de apoyo que sirven para

dar mejor coherencia a los levantamientos.I

Las triangulaciones son usadas para terrenos relativamente

extensos, siendo estos los que tienen menor error con respecto a las

poligonales, Para iniciar una red, para ambos casos es necesario hacer

un reconocimiento del terreno y disear el sistema adecuado teniendo

en consideracin la naturaleza del levantamiento, despus de la

inspeccin se procede a la monumentacin de hitos en cada vrtice

los cuales deben cumplir las caractersticas adecuadas; la medida de

los hitos son relativos, dependiendo del grado de precisin.

25 Cm

25 cm 25 cm

60 cm 60cm

TIPOS DE ESTACAS


PROLOGO

Es indudable que actualmente estamos entrando cada vez ms

a la era de la informtica, para el cual debemos estar preparados de

acuerdo al avance de la tecnologa para desarrollar nuevos modelos

matemticos, esto nos permitir realizar algoritmos, para el caso

especifico del curso desarrollaremos paso a paso como llegar al

resultado final del problema. En el presente texto nos ocuparemos

exclusivamente al desarrollo prctico de los contenidos, como,

TRIANGULACION Y CAMINOS, sabiendo que para hacer un

levantamiento topogrfico es de vital importancia conocer las

principales redes de apoyo para tener el xito esperado, como es de

esperar el estudiante debe estar en la capacidad de desarrollar

algoritmos para una Triangulacin el cual ser un gran aporte dando

consistencia al levantamiento topogrfico.

Dentro de una poligonacin veremos desde el reconocimiento

del terreno, monumentacin de hitos en los vrtices, clculos de

ngulos, distancias y llegar al objetivo final de obtener las

coordenadas rectangulares y cotas para poder graficar, el mismo que

ser mediante un programa CAD y realizar la impresin respectiva,

de la misma manera estaremos procediendo con la triangulacin

desarrollando secuencialmente todos los pasos hasta llegar al

resultado final, de esta manera contribuyendo con todo los que lleven

el curso y los que estn relacionados directa o indirectamente a la

especialidad.

El Autor


CAPITULO I

1.-TRIANGULACION

La red de tringulos es un sistema de apoyo para

levantamientos topogrficos de terrenos relativamente extensos,

la triangulacin comprende una serie de procesos, entre ello

tenemos el reconocimiento del terreno, monumentacin de

hitos, medicin de base, ngulos, compensacin, clculo de

coordenadas y cotas; la disposicin de los tringulos son

generalmente figuras geomtricas que se determinan por

principio geomtrico con la suma de sus ngulos internos.

As en un tringulo la suma de sus ngulos internos debe ser

180 y los ngulos alrededor de un punto 360, al realizar una

triangulacin la longitud de sus lados esta en funcin al seno de

su ngulo opuesto, para calcular los lados de una red de

triangulacin solamente se mide la base, o sea un solo lado y

los siguientes se calcula mediante frmulas trigonomtricas,

con el avance tecnolgico y los equipos electrnicos

(Distancimetro y Estacin total) se miden directamente sus

lados y a este mtodo se denomina trilateracin.


1.1- REDES DE TRIANGULACION.- El tipo de red a

emplearse est en funcin al levantamiento topogrfico

y la extensin o zonas donde se monumentarn puntos

de 1er, 2do. orden u otras de menor precisin, entre

ellos tenemos:

1.1.1.- Red de tringulos.- Se determina ese tipo de red

cuando no se requiere mucha precisin y es

diseado generalmente para trazos de

carreteras, canales y ferrocarriles.

6

A 2 4

Carreteras

B 1 3 ` 5 7

1.1.2.- Red de Cuadrilteros, sistema que se decide

para alcanzar una precisin mayor, y es

utilizado para comunicacin de tneles,

direccin de labores subterrneas.


A

C

B E

D

F

1.1.3.- Red de polgonos con punto central.- Cuando no

es preciso hacer un cuadriltero se puede

realizar polgonos con punto central, con la

misma precisin que la red de cuadrilteros.

B G

A

C H

O1

F O2

E D

I


1.2- Condicin de tringulos.- Para que un programa de

triangulacin resulte satisfactorio debe tenerse en cuenta

que los ngulos deben estar dentro del rango o sea no <

de 30 ni > de 150 porque los lados estn en funcin al

seno, los ngulos cerca a 0 y 180 tienden a error, y la

suma de ngulos internos de un polgono debe cumplir

la condicin geomtrica, 180*(n-2) y sus lados deben

estar en funcin de 1 a 3, en redes de cuadrilteros o

polgonos con punto central debe cumplir la condicin

geomtrica y trigonomtrica.

Dentro de la condicin trigonomtrica tenemos que:

(Lg Senimpares) = (Lg Senpares)

1.3- Medicin de ngulos y base.-La medicin de ngulos

puede realizarse por los mtodos ya conocidos, por

reiteracin o repeticin dependiendo de la precisin que

se quiere alcanzar, la diferencia vertical se puede medir

geomtrica trigonomtricamente dependiendo de la

distancia, la medicin de base se puede realizar por el

mtodo convencional o medicin electrnica, dentro de

lo tradicional se har las correcciones respectivas en

cada fase de la medicin para obtener la distancia ms

probable,


1.4.- Clases de triangulaciones.- Las triangulaciones pueden

clasificarse por el orden de su precisin de acuerdo a:

a).- El error de cierre angular en los tringulos.

b).- La discrepancia que resulta de medir la base de

cierre y calculada.

c).- Precisin de la medicin de la base.

d).- Longitud mxima de sus lados.

De acuerdo a lo mencionado podemos clasificar en

triangulaciones de 1er, 2do y 3er. Orden.

DESCRIPCIN 1er

ORDEN

2do.

ORDEN

3er.

ORDEN

Error de cierre de base 1/25000 1/10000 1/5000

Error de cierre angular en

triangulacion.

8

15

30

Longitud mx. de lados

(Km)

50-200Km. 15-40 Km. 1.5-10 Km.

Los trabajos topogrficos estn dentro del 3er. orden,

1er y 2do orden para trabajos Geodsicos.


2.- PLANEAMIENTO DE UNA TRIANGULACION

1. Informacin bsica....(gabinete)

2. Reconocimiento del terreno (campo)

3. Monumentacin de hitos (campo)

4. Medicin de base (campo)

5. Medicin de ngulos (campo)

6. Compensacin de base.(gabinete)

7. Compensacin de ngulos.(gabinete)

8. Clculo resistencia de figura.(gabinete)

9. Clculos de lados.(gabinete)

10. Clculo de azimut (magntico, verdadero, U.T.M.)

11. Clculo de coordenadas (magnticos, verdadero y U.T.M.)

12. Clculo de cotas.

13. Dibujo de red.

14. Configuracin a partir de la red.

15. Puntos auxiliares.

16. Informe.

2.1- INFORMACION BASICA. Para iniciar una red de

tringulos, tenemos que documentarnos, buscando

referencias de la zona sobre planos existentes,

aerofotografas, datos de triangulaciones anteriores,

croquis, en general toda informacin que nos pueda

servir para proyectar la Red.


2.2.- RECONOCIMIENTO DEL TERRENO. Consiste en

hacer una evaluacin insit de la zona donde se

proyectar la Red ubicando adecuadamente los puntos o

vrtices para monumentar los hitos, de tal manera que

los puntos deben ser visibles de un vrtice a otro.

2.3.- MONUMENTACION DE HITOS. La sealizacin es

una etapa de importancia dependiendo de ella el

resultado final de la Red de tringulos, la

monumentacin de hitos se har con buen criterio,

pudiendo ser desde hitos de concreto con placas de

metal grabados o con un hierro de acero al centro.

2.4.- MEDICION DE BASE. Dentro del reconocimiento insit

se ubicar la zona adecuada para medir la base, esta

distancia puede medirse con mtodos convencionales o

electrnicos, la medicin electrnica se realiza con un

distancimetro o Estacin Total, donde nos da

directamente la distancia horizontal y la diferencia

vertical, con el mtodo tradicional se tiene una serie de

etapas, iniciando con un alineamiento entre los dos

puntos y el estacado respectivo, luego se mide

cuidadosamente tramo por tramo ida y vuelta

controlando, tensin, temperatura, catenaria y


horizontalidad, para hacer las correcciones respectivas

en gabinete.

2.4.1- Correccin por Longitud Verdadera.- La cinta

por el constante uso, temperatura, tensin sufre

una cierta dilatacin aumentando en milmetros

su longitud verdadera, al realizar una medicin

por tramos se est cometiendo un error

acumulativo en todo el circuito, la correccin se

realiza aplicando la frmula

Ln

Lr*LmLc

Donde: Lc = Longitud corregida

Lr = Longitud real de la cinta graduada

Ln = longitud nominal de la cinta.

Lm = Longitud total medida.

Ejemplo.No 1

Con una cinta de 30 mts. Se mide una distancia de

189.80 mts, deseamos saber la longitud corregida,

despus de contrastar la wincha en un laboratorio con la

medida patrn resulta que tena 29.996 m.


SOLUCIN: Ln= 30 m.

Lm= 189.80

Lc=

Lr= 29.996

.mts775.18930

996.29*80.189

Ln

Lr*LmLc

2.4.2- Correccin por Temperatura.- La temperatura

de ambiente puede afectar mucho a la cinta, la

medicin de base debe hacerse a una temperatura

aproximada de calibracin, generalmente las

winchas vienen calibradas a 20 C.

Ct = LK*( t to )

Donde:

Ct = Correccin por temperatura.

L = Longitud verdadera del tramo.

K = coeficiente de dilatacin del acero

(0.000012).

t. = temperatura de campo.

to = temperatura graduada de la wincha


Ejemplo No 2.

Con una cinta de 50m graduada a 20C se mide dos

tramos, AB 50 mts a 23C y BC = 38.25 a 18c, cual es

la correccin por temperatura?

SOLUCIN:

Si. Ct = ?

L = 50 y 38.25 m. = 88.25 m.

K = 0.000012

T = 23 C y 18 C

to = 20o C

Ct = LK (t-to)

Remplazando valores.

Ct (AB) = 50 (0.000012) (23-20) = 0.00180

Ct (BC) = 38.25 (0.000012) (18-20) = -0.00092

Correccin total AC = 0.00088

La longitud corregida por temperatura es:

88.25 + 0.00088 = 88.251 m.

2.4.3.- Correccin por Horizontalidad.- Se realiza

debido a la pendiente del terreno, no siempre una

distancia se mide horizontalmente, para corregir

este desnivel se aplica la frmula.

L2

hCh

2


Donde: Ch = Correccin por horizontalidad.

h= Diferencia vertical del tramo

L = longitud del tramo

Ejemplo No 3.

Encontrar la correccin de una base de 85.48 m. medido

con wincha de 30 mts. Teniendo el desnivel entre AB,

0.08m, BC, 0.25m y CD, 0.15m.

SOLUCIN:

Ch = ?

h = 0.18, 0.25, 0.15m respectivamente.

L = 30, 30, 25.48 respectivamente.

L2

hCh:Si

2

TRAMO LONGITUD h 2L Ch.

AB 30 0.08 60 -0.00011

BC 30 0.25 60 -0.00104

CD 25.48 0.15 50.96 -0.00044

Correccin total -0.00159

Distancia corregida : 85.48 - 0.00159 = 85.478m.


2.4.4- Correccin por catenaria.- La cinta al ser

suspendida de sus extremos forma una catenaria,

la correccin ser la diferencia que existe entre la

cuerda y el arco formado por los extremos, para

corregir aplicamos la frmula:

2

P

WL

24

LCc

Donde:

Cc = Correccin por catenaria.

L = Longitud de catenaria.

W = Peso de la cinta en kg/m.l.

P = Tensin aplicada en kg.

Ejemplo No 4

Con una wincha de 30 mts se mide una distancia de

80.45m. en tres tamos sabiendo que la cinta pesa 0.750 kg

y la tensin aplicada es: AB=10 kg, BC=5 kg, y CD=10

kg.

SOLUCIN:

Cc= Correccin por catenaria.

L= 30, 30, 20.45 m. respectivamente

W= 0.75 kg/30 m.= 0.025 kg/m.l.

P= 10, 5, 10 kg. Respectivamente.

Aplicando la frmula para cada tramo tenemos:


TRAMO LONGITUD W= Kg/m.l. p Cc

AB 30 0.025 10 -0.00703

BC 30 0.025 5 -0.02812

CD 20.45 0.025 10 -0.00223

Correccin total -0.03738

Distancia corregida. 80.45 0.03738 = 80.413m.

2.4.5- Correccin por Tensin.- Cuando en la cinta se

ejerce una fuerza en el momento de la medicin

esto sufre una variacin en su longitud, la

correccin que se aplica est en funcin a la

fuerza y las caractersticas de la wincha.

AE

)PP(LCp

O

Donde:

Cp = Correccin por tensin

L = Longitud del tramo

P = Tensin de campo

Po = Tensin Calibrada (Kg)

A = Seccin transversal de la cinta.

E = Mdulo de la elasticidad del acero

Kg/mm2


Ejemplo No 5.

Del ejemplo anterior encontrar la correccin por tensin

si para el tramo AB 8Kg, BC 10Kg, CD 15Kg.

SOLUCIN:

Cp = Correccin por tensin.

L = 30, 30, 20.45m

P = 8Kg, 10Kg y 15kg.

Po = 10Kg

A = 6mm2

E = 24000 Kg/mm2

Aplicando la frmula por tramo tenemos:

TRAMO LONG. P Po A E Cp

AB 30 8 10 6 24000 -0.0004167

BC 30 10 10 6 24000 0.0000000

CD 20.45 15 10 6 24000 +0.00071

Correccin por Tensin +0.0002933

Distancia corregida 80.45 +0.00029 = 80.4503m cuando

se aplica una tensin igual a la calibrada la correccin se

hace cero.

La base final corregida ser el promedio de la correccin

de ida y vuelta.


2

vuelta+Ida=CorregidaBase

Base = LC + CT - CH - CC + CP

2.5-Medicin de ngulos.- En el desarrollo de una triangulacin

es importante determinar el grado de precisin que se

requiere y el objetivo de la red, en funcin a estos

parmetros se puede fijar el mtodo de medicin de ngulos,

pudiendo ser por repeticin para poca precisin y por

reiteracin para mayor precisin.

2.6.-.Compensacin de Base.- Despus de finalizado la medicin

de una base de triangulacin se procede a realizar las

correcciones necesarias para luego compensar la base final.

2.7.-Compensacin de ngulos.- Es una tcnica que consiste en

distribuir equitativamente los errores de cierre angular de

tal manera que cumpla los principios geomtricos de la

suma interna de los ngulos, existen diferentes redes para

compensar ngulos, los mismos que requieren tratamientos

especiales entre ellos tenemos:

a) Compensacin para redes de tringulos simples.

b) Compensacin para redes de cuadrilteros


c) Compensacin para redes de polgonos con punto

central.

2.7.1-.Red de Tringulos simples.- Para compensar una

red de tringulos podemos realizar de dos formas:

a) Compensacin de estacin, cuando la suma de

los ngulos alrededor del punto sea 360.

b) Compensacin del tringulo, comparar que la

suma de los ngulos internos del sea 180.

En el primer caso, se suma los ngulos alrededor

del punto, el resultado se resta 360o y la diferencia

se divide entre el nmero de ngulos, luego se suma

algebraicamente con el signo cambiado a cada

ngulo, quedando compensado.

En el segundo caso, se suman los ngulos internos

del tringulo, del resultado se resta 180 esta

diferencia se divide entre 3 y se suma

algebraicamente con el signo cambiado a cada

ngulo.


Ejemplo 06.

Compensar las siguientes redes de tringulos, los ngulos

son promedios de una lectura por repeticin.

1) 38o 20 6) 58o 07 11) 255o 29

2) 72o 40 7) 46o 25 12) 238o 43

3) 69o 02 8) 93o 14 13) 321o 39

4) 52o 14 9) 40o 23 14) 124o 29

5) 69o 38 10) 319o 36

11

E 6 D

12 4 7

3

5

2 8

1 B 14 9 10

A 13 C

SOLUCIN:

Para compensar una cadena de tringulos, tenemos que

iniciar compensando los vrtices y luego por tringulos.

a) Vrtice A

1 + 13 = 360

38o20+321o 39 = 360o


359o 59 = 360

Er.C = 359o 59-360 = -1

fc C = +1/2 =30

sumando +30 a los ngulos 1 y 13

38o 2030 + 321o 3930 =360o

360 =360o

Con el mismo procedimiento compensar los dems

vrtices.

Vert Angulos Lect. Campo Compensado

A

1

13

suma

38 20 32139 35959

382030 3213930 3600000

B

2

5

8

14

suma

7240 6938 9314 12429 36001

723945 693745 931345 1242845 3600000

C

9

10

suma

4023 31936 35959

402330 3193630 3600000

D

6

7

11

suma

5807 4625 25529 36001

580640 462440 2552840 3600000

E

3

4

12

suma

6902 5214 23843 35959

690220 521420 2384320 3600000


b) Compensando por i=180, Se suma los ngulos

internos, la diferencia que existe al restar 180 se divide

entre 3, el resultado se suma o resta a cada ngulo.

Comp. de Vert. Vert. Compensado

ABE

1

2

3

suma

382030 723945 690220 1800235

381938.333 723853.333 690128.333

1800000

BDE

4

5

6

suma

521420 693745 580640 1795845

521445 693810 580705

1800000

BCD

7

8

9

suma

462440 931345 402330 1800155

462401.666 931306.666 402251.666

180

2.7.2- COMPENSACION DE UNA RED DE

CUADRILATEROS. Dentro de la lectura de

ngulos de una red de cuadrilteros se tiene los

ngulos internos que sumado debe ser 360, para

ello se tiene en cuenta las siguientes

propiedades:

a) Propiedad geomtrica o de figura.

b) Propiedad trigonomtrica o de lado.

- Condicin Geomtrica.- Un cuadriltero

puede descomponerse en varios tringulos,


los mismos que se encuentran superpuestos

entre s.

En la figura se tiene los siguientes

tringulos:

B

4 5

6 C

7

3

A 2

1 8

D

B

B C 5 6 C

4 5 6 4

7 7

3 2 8 3

A 1 2 1 8

D A D


ABC, ACD, ABD, BCD, en cada uno de ellos la suma de

los ngulos debe ser 180.

ABC = 3+4+5+6 = 180

ACD = 2+7+8+1 = 180

ABD = 1+2+3+4 = 180

BCD = 5+6+7+8 = 180

Otras de las condiciones geomtricas que debe cumplir,

que la suma de sus ngulos del cuadrilteros debe ser 360.

ABCD = 1+2+3+4+5+6+7+8 = 360

Adems geomtricamente se dice que los ngulos

opuestos por el vrtice y en la interseccin de las

diagonales deben ser iguales.

1+2 = 5+6

3+4 = 7+8

La secuencia para compensar un cuadriltero es:

1) Las lecturas de los ngulos del cuadriltero deben

ser el promedio de mediciones por reiteracin o

repeticin.

2) La suma de los ngulos debe ser 360, si existe

discrepancia, esta se divide entre 8 y se suma


algebraicamente con signo cambiado a cada

ngulo.

3) Se compara los ngulos opuestos por el vrtice en

la interseccin de las diagonales, estas deben ser

iguales, la discrepancia se divide entre 4, el

cociente se compensa a cada ngulo, aumentando

a los dos cuya suma es menor, y disminuyendo a

cuya suma es mayor.

- Condicin Trigonomtrica.- Para el clculo de lados de

un tringulo, los lados estn en funcin al seno opuesto,

por lo tanto la condicin trigonomtrica es, la suma de los

Logaritmos Seno de los ngulos impares debe ser igual a

la suma de los Logaritmos Seno de los ngulos pares.

(Lg Sen ngulos imp). = (Lg Sen ngulos par).

El procedimiento a seguir despus de la compensacin

Geomtrica es como a continuacin se indica:

1) Anotamos los ngulos pares e impares en su columna

respectiva.

2) Calculamos el Logaritmo Seno para cada ngulo.

3) Hallamos la diferencia tabular para un segundo en el

sexto lugar decimal.


Ejempo 07

La diferencia tabular de 382018 es:

Log Sen 382018 = 9.792604541,

la diferencia tabular para un segundo ser restando del ngulo

inmediato superior el inferior.

Log Sen 382019 = 9.792607204.

9.792607204-9.792604541 = 0.000002663; en el sexto lugar

decimal ser 2.66.

4) Restamos la (Lg Sen ngulo impares) menos (Lg sen ngulo

pares) ()

5) Se suma las Diferencias Tabulares para 1 en el sexto lugar

decimal ()

6) Dividimos / que viene a ser el Factor de correccin

expresados en segundos.

7) El resultado de /, adicionamos a cuya suma de los Log.

Senos es menor y disminuimos a cuya suma de los Log. Sen. es

mayor.


Ejemplo 08

Los datos que a continuacin se enuncian son de lectura

promedios por mtodo reiterativo, calcular y compensar los

ngulos del cuadriltero.

1 494330 A 2 470124 1 8 3 390510 4 440951 7 D 5 592451 6 6 372001 7 341634

8 485831 2 3 B 4 5

C

SOLUCIN:

Para compensar un cuadriltero se toma en cuenta la condicin

geomtrica y trigonomtrica.

A) De acuerdo a la condicin geomtrica se tiene que:

1) i = 360

i = 1+2+3+4+5+6+7+8 = 3595952

Er.C = 3595952 360= -8

El error es por defecto, por lo tanto la correccin es aditiva.

Fc = 8/8 = 1


Los nuevos valores angulares son:

1 494331 5 592452

2 470125 6 372002

3 390511 7 341635

4 440952 8 485832

i(1+2+3+4+5+6+7+8) = 360

2) La segunda propiedad geomtrica.

1+2 = 5+6

7+8 = 3+4

Del ltimo resultado tenemos:

1 + 2 = 5 + 6

494331 + 470125 = 592452 + 372002

964456 = 964454

Er.C = 964456 - 964454

Er.C = 2

Fc = 2/4 = 0.5 cantidad que se aumenta a los ngulos

5 y 6 porque la suma es menor y se disminuye a los

ngulos 1 y 2 por ser la suma mayor, siendo los nuevos

valores:

1 494330.50

2 470124.50

5 592452.50

6 372002.50


continuando con:

7+8 = 3+4

341635+485832=390511 + 440952

831507=831503

Er.C = 831507 - 831503 = 4

Fc = 4/4 = 1 con el mismo principio anterior los

nuevos valores de los ngulos sern:

3 390512

4 440953

7 341634

8 485831

En resumen los nuevos valores de los ngulos de la

compensacin geomtrica son:

1 494330.50

2 470124.50

3 390512

4 440953

5 592452.50

6 372002.50

7 341634

8 485831


B) Compensacin trigonomtrica.

Con los resultados de los valores anteriores se tiene:

Log sen impar Log Sen Par D.Tx1

1 494330.50 9.882497238 1.78

2 470124.50 9.864293305 1.96

3 390512.00 9.799681782 2.59

4 440953.00 9.843060496 2.17

5 592452.50 9.934938363 1.24

6 372002.50 9.782802679 2.76

7 341634.00 9.750648432 3.09

8 485831.00 9.877616895 1.83

39.36776582 39.36777338 17.42

1) Calculamos el Log Sen Para cada ngulo y luego la

diferencia tabular para 1, como muestra la tabla.

2) Restamos (Log Sen impar) - (Log Sen Par) = 0.00000756

en el sexto lugar decimal 7.56, ().

3) (DTx1) = 17.42 ()

4) La correccin fc = 7.56/17.42 = 0.43 el resultado se

aumenta a los ngulos 1, 3, 5 y 7 porque la (Log Sen) es

menor y se disminuye a los ngulos 2,4,6 y 8 porque la

(Log Sen) es mayor, el resultado final de los ngulos ser:


1 494330.93 5 592452.93

2 470124.07 6 372002.07

3 390512.43 7 341634.43

4 440952.57 8 485830.57

Respuesta 3600000.00

2.7.3- Compensacin de polgono con punto central.

Se presentan casos cuando el terreno tiene una visibilidad

amplia, con un punto central se puede visar los vrtices

del polgono, y posteriormente se visa desde cada vrtice,

el mtodo puede ser por reiteracin o repeticin, la

secuencia es la siguiente:

a) La suma de ngulos del punto central debe ser 360 si

existe discrepancia se suma algebraicamente a cada

ngulo si es por exceso o defecto.

b) debe ser 180 la discrepancia o diferencia se

distribuye entre 2 ngulos sin considerar el ngulo

central.

c) (Log sen impar) = (Log Sen par), se procede

con el mismo criterio del cuadriltero.


Ejemplo 09

Una red de apoyo con punto central se visa a 5 vrtices los mismos

que son tomados por mtodo reiterativo siendo sus promedios

B

A

3

1 2 II 4

I 12 III

11

13

10

15

14 5

E 9 V IV 6 C

8

7

D

1) 594345 9) 515822

2) 425155 10) 414840

3) 770930 11) 782725

4) 770045 12) 595835

5) 422820 13) 603056

6) 752225 14) 694705

7) 345025 15) 911614

8) 364520


SOLUCIN:

aplicando el principio geomtrico y trigonomtrico.

A)Compensacin Geomtrica.

11+12+13+14+15= 360

3600015 = 360

Er.C = 3600015 - 360 = 0015, el error es por exceso, la

compensacin ser sustractiva fc = -15/5 =-3 los nuevos

valores de los ngulos del punto central ser:

11 782722

12 595832

13 603053

14 694702

15 911611

360000

Compensando los tringulos independientes.

Tringulo I

1+10+11 = 1795947

Er.C = 1795947 180 = -13

La compensacin ser aditiva, dividiendo entre 2 el Error

de Cierre, se suma a los ngulos 1 y 10, el ngulo 11 no

es afecto por que se compens en el proceso anterior.

fc = 13/2 = 6.5, la compensacin ser aditiva porque

el error es por defecto.


Los nuevos valores sern:

1) 594345 + 6.5= 594351.5

10) 414840 + 6.5= 414846.5

Tringulo II

2+3+12=1795957

Er.C. = 1795957 180 = -3

Fc. = 03/2 = 1.5

Compensacin aditiva se suma a los ngulos 2 y 3, los

nuevos valores sern:

2)425155 +1.5= 425156.5

3)770930 +1.5= 770931.5

Tringulo III

4+5+13 = 1795958

Er.C = 1795958 180 = -02

Fc = 2/2=1

Compensacin aditiva, sumando a 4 y 5.


4)770045 +1= 770046

5)422820 +1= 422821

Tringulo IV

6+7+14=1795952

Er.C =1795952-180=-8

Fc = 8/2=4


Compensacin es aditiva, sumando a 6 y 7.


6)752225+ 4 = 752229 7)345025+ 4 = 345029

Tringulo V.

8+9+15 = 1795953

Er.C = 1795953-180= -07

Fc=7/2-=3.5

Compensacin aditiva, sumando a 8 y 9, los nuevos

valores sern:

8) 364520+ 3.5=364523.5 9) 515822+ 3.5=515825.5 Resumen de los nuevos valores:

1.- 594351.5 2.- 425156.5 3.- 770931.5 11.- 782722 4.- 770046.0 12.- 595832 5.- 422821.0 13.- 603053 6.- 752229.0 14.- 694702 7.- 345029.0 15.- 911611 8.- 364523.5 36000 9.- 515825.5 10.- 414846.5 5400000

B) Compensacin trigonomtrica

Si (Log.sen impar)= (Log sen par)


La discrepancia se procede a compensar como un

cuadriltero.

Vert. Angulo Sen Log impar Sen Log Par DTx1

1 594351.5 9.936346907 1.23

2 425156.5 9.832689070 2.27

3 770931.5 9.9889999998 0.48

4 770046.0 9.988746282 0.49

5 422821.0 9.829455757 2.3

6 752229.0 9.985694903 0.55

7 345029.0 9.756869237 3.02

8 364523.5 9.777003113 2.82

9 515825.5 9.896376617 1.65

10 414846.5 9.823930789 2.35

49.4080485 49.408064156 17.16

luego:49.4080485-49.408064156 = -0.000015655 en el sexto

lugar decimal 15.65 (se considera el valor absoluto)

(DTx1)= 17.16

Fc = 15.65/17.16 = 0.912

Segn la tcnica de compensacin por aproximaciones

sucesivas, 0.912 se aumenta a cuya suma de los Log Seno

sea menor, y se disminuye cuya suma sea mayor, entonces

sumamos a los ngulos impares y restamos a los pares.

Se teniendo como resultado final.


Vert. Angulo

1 594352.41

2 425155.58

3 770932.41

4 770045.09

5 422821.91

6 752228.09

7 345029.91

8 364522.58

9 515826.41

10 414845.58

5400000

2.8- RESISTENCIA DE FIGURA.

Es una tcnica que nos permite encontrar el camino ms

favorable para llegar al extremo opuesto, en el clculo de lados

de un cuadriltero tambin podemos decir que es la ruta con

menos error probable, para determinar el recorrido aplicamos la

frmula:

)dBdBxdBdA(Nd

NcNdR 22

. . . . . . (1)

donde:

R = Resistencia de figura.

dA,dB = Dif. Tabular para 1 en la cadena de tringulos.


Nd = No de direcciones observadas sin considerar

el lado conocido.

Nc = No de ecuaciones de condicin.

Para calcular el N de ecuaciones de condicin se puede aplicar

las siguientes frmulas:

Nc = 2Z +Z1 3S + Su +4. . . . . . . (2)

Nc = na 2(S-2). . . . . . . . . . . . . . . (3)

Nc = (Z-S+1) + (Z 2S +3). . . . . . (4)

Si:

Z = No total de lneas.

Z1= No total de lneas visadas en una sola direccin.

S = No total de estaciones.

Su = No de estaciones no ocupadas.

na = No de ngulos medidos

Anlisis de las variables.

A D

C

B


Nd= 10 (direccin de las flechas).

Z= 6 (lados y diagonales).

Z1= 0 (todas son visadas)

S= 4 (vrtices)

Su= 0 (todo los vrtices son ocupados)

na= 8 (ngulos, 1,2,3,...8)

Remplazando sus valores en cada una de las ecuaciones de

condicin:

Nc = 2Z + Z1 3S + SU + 4 = 2(6)+0-3(4)+0+4= 4

Nc = na-2(S-2) = 8-2(4-2) = 4

Nc = (Z-S+1)+(Z-2S+3) = (6-4+1)+[6-2(4)+3]= 4

Los resultados son iguales por lo tanto puede utilizarse

cualquiera de ellas.

Para encontrar el camino ms favorable, el cuadriltero se

descompone en todo los caminos o cadenas existentes.

Ejemplo 10

Descomponer el cuadriltero.

A

1 8 D

7

6

2

3 5

B 4

C


CADENA I CADENA II

A D A D

8 7

6 1 8

6

1 T2 7

T1 T3

2 T4

3 5 2

B 4 3 4 5

C B C

CADENA III CADENA IV

D A D

A 7 8 D A 6

1 8

7 6 1

T5 T6

T8

T7 4 5

2

5 2 4 3

B C 5 B 3 C B C

Para calcular los lados aplicamos la Ley de senos, el lado de un

tringulo est en funcin directa al seno del ngulo opuesto, por

lo que es necesario considerar los siguientes ngulos:

CADENA TRIANGULOS ANGULOS

I T1 4, B(2+3)

T2 D(7+6), 8

II T3 7, A(1+8)

T4 C(4+5), 3

III T5 7, 2

T6 5, 8

IV T7 4, 1

78 6, 3


Ejemplo 11

Calcular la cadena que conduce menor error para llegar al extremo

opuesto de la base, con los siguientes datos compensados.

Ang. 1. 494331 A 2. 470124 1 8

3. 390512 7 D 4. 440953 6 5. 592453 6. 372002 7. 341634 2 3 4 5 8. 485831 B C

SOLUCION.

Partiendo de la frmula,

)( 22 dBdBxdAdANd

NcNdR

Nd = 10

Nc = na 2(S-2), Si: na = 8 (No de ngulos ledos). S = 4 (N de estaciones)

Nc = 8 2(4-2) = 4

6.010

410

Nd

NcNd


Para calcular las diferencias tabulares, descomponemos el

cuadriltero en las cadenas posibles.

CADENA I CADENA II

D D

A 8 7 A 8 7

1

6 1

6

T2 T3

T1 T4

2

3 5 2

B 4 3 4 5

C B C

CADENA IV CADENA III

D A D A D A

1 8 7 8 7

6

1

T7 T8 6 1

T6 5

2 5 T5 4 3 4 C B C B 2 3 C B

En la siguiente tabla se muestra los clculos de las diferencias

tabulares para un segundo.


CADE

NA

VALOR

ANGULAR dA x dB dA2 + dB2 (dA

2+dAdB+dB2)

(Nd-Nc)

Nd

= 0.6

I

T

1

4

B

440953

860636

2.16

0.14

4.699

0.020 5.03

10.2 6.10 T

2

D

8

713636

485831

0.70

1.83

0.496

3.390 5.17

II

T

3

7

A

341634

984202

3.09

-0.32

9.54

0.10 8.65

14.3 8.6 T

4

C

3

1033446

390512

-0.51

2.59

0.26

6.72 5.66

III

T

5

4

1

440953

494343

2.17

1.78

4.70

3.18 11.7

33.2 19.9 T

6

6

3

372002

390512

2.76

2.59

7.62

6.72 21.5

IV

T

7

7

2

341634

470124

3.09

1.96

9.54

3.85 19.5

26.6 15.1 T

8

5

8

592443

485831

1.24

1.83

1.55

3.36 7.18

En resumen, La resistencia de figura viene a ser:

Cadena I = 6.10 Cadena II = 8.60

Cadena III = 19.90 Cadena IV = 15.10

El camino ms favorable para llegar al lado opuesto del

cuadriltero es el que tiene menor valor, por que dentro de su


configuracin de sus ngulos guardan mejor relacin entre s,

Cadena I, (T1 y T2), es la ms recomendable, las cadenas II, III y

IV, sus ngulos son muy discrepantes porque sus valores se

encuentran en los extremos, de acuerdo a la condicin Geomtrica

para la formacin de tringulos que dice: Los ngulos de un

tringulo no deben ser > de 150 ni < de 30.

2.9.-CALCULO DE LADOS.

En un trabajo de triangulacin todo se reduce al clculo de

lados de un tringulo aplicando la Ley de Senos.

Ejemplo 12

En el ejemplo anterior tomamos la cadena I para calcular sus

lados, si su base mide 543.25 mts.y sus ngulos compensados son:

Ang. 1= 494331 2= 470124

3= 390512 4= 440953 5= 592453 6= 372002 7= 341634 8= 485831

CADENA I

D

A 8 7

1

6

T2

T1

2 3 5

B 4

C


SOLUCION.

Segn la Ley de Senos.

.mts472.618="36'3671Sen

"31'5848Sen*925.777=

DSen

8SenAC=CD2En

.mts925.777="53'0944Sen

"36'0686Sen*25.543=

4Sen

BSenAB=AC,1En

)2(8Sen

CD=

DSen

AC...TEn

)1(BSen

AC=

4Sen

AB...TEn

2

1

El lado opuesto de la base es CD = 618.472 mts.

2.10- CALCULO DE AZIMUTES.

Para el clculo de azimut de un cuadriltero se procede con

el principio mecnico la frmula nemnica a partir de los

datos de la base, el mismo que debe tener una orientacin

conocida.

Zf = Zi + D180

Donde:

Zf = Azimut a calcular.

Zi = Azimut anterior o inicial en el sentido del recorrido.

D = Angulo a la derecha.


180; (+)180 si la suma de Zi+D es menor de 180 y (-)

cuando la suma es mayor de 180, para el clculo es

recomendable seguir en sentido antihorario.

Ejemplo 13

En la cadena I calcular los azimutes de los lados del cuadriltero,

si la base (BA) tiene un rumbo de S5528E

SOLUCION.

RBA = S 5528E

A

D

B

Convertimos Rumbos a Z. C

ZBA = 180 - 5528

ZBA = 12432

En el ABC para

calcular el azimut de sus lados

es recomendable seguir en sentido antihorario; por lo tanto el

azimut de la base BA invertimos:


S ZBA = 12432.(directo),

ZAB= 12432+180= 30432.

Aplicando la frmula: Zf = Zi + D 180, en el tringulo

ABC.

Zf = ZBC =?

Zi = ZAB = 30432

B = 2+3= 860636

Zf=ZBC = 30432+860636-180=2103836.

Se resta 180 por que la suma de los dos primeros ngulos es

mayor de 180.

ZCA= 2103836 + 4 - 180.

= 2103836 + 440953 180= 744829

ZAB= 744829+494331+180 = 30432;

Al cerrar el circuito, se comprueba que el azimut es igual al

inicial.

En el tringulo ACD se conoce el ZCA=744829, Para

calcular sus azimuts en sentido antihorario invertimos el ZCA.

ZCA=744829,

ZAC=744829+180=2544829

ZCD=2544829+592453-180=1341322

ZDA=1341322+713636-180=254958

ZAC=254958+485831+180=2544829.


Con el mismo procedimiento se calcula para cualquier red de

tringulos.

2.11- CALCULO DE COORDENADAS.

Para reducir los puntos topogrficos en su proyeccin

horizontal dentro de un sistema de coordenadas, eje Norte y

eje Sur es necesario conocer fundamentalmente su

orientacin expresado en rumbo azimut y su distancia

horizontal proyectada en planta.

EJEMPLO.14

En el grfico se tiene las rectas AB y BC; Para iniciar el clculo de

coordenadas se parte de un punto conocido tal como A, cuyas

coordenadas totales son (200N y 500E) si los datos de campo de la

recta son:

C NM

290.30

B

385.25

A


LADO AZIMUT D.H

AB 432810 385.25

BC 2921422 290.30

Para obtener las coordenadas del punto B y C aplicamos las

frmulas:

N = DH *Cos Z.

E = DH *Sen Z.

Entonces calculamos las coordenadas parciales de los puntos B

y C.

Coordenada parcial de B.

NPB = DH*Cos Z = 385.25 * Cos 432810 = +279.552

EPB = DH*Sen Z = 385.25 * Sen 432810 = +265.040

Coordenada parcial de C.

NPC = DH*Cos Z = 290.30 * Cos 2921422 = +109.872

EPC = DH*Sen Z = 290.30 * Sen 2921422 = -268.705

Los resultados obtenidos son coordenadas parciales de N y E de

los punto B y C.

Para obtener las coordenadas totales de B y C sumamos

algebraicamente a las coordenadas de A las coordenadas de B y

C en forma secuencial.


Coordenada total de B.

NTB = NTA + NPB = 200 + 279.552 = 479.552

ETB = ETA + EPB = 500 + 265.040 = 765.040

Coordenada total de C.

NTC = NTB + NPC = 479.552 + 109.872 = 589.424

ETC = ETB + EPC = 765.04 - 268.705 = 496.335.

El resumen de las coordenadas finales sern:

PTO N E

A 200.000 500.000

B 479.552 765.040

C 589.424 496.335.

Con stos valores representamos en un sistema de coordenadas

en su proyeccin horizontal.

N

C

B

A

E

300N

400N

500N

600N

200N

500E

600E

800E

900E

700E


Ejemplo 15

Calcular las coordenadas finales de una recta AB y graficar, Si el

punto A tiene como coordenada 3500N y 5000E, el alineamiento

esta orientado a 2751436 azimutales, se mide una distancia

taquimtrica de 1615 mts, con un ngulo cenital de 960945.

SOLUCION.

Los datos de la recta son:

ZAB = 2751436

D incl. = 1615 mts.

cenit. = 960945

Segn la frmula

NB=DH*CosZ y EB=DH*SenZ

es necesario calcular la distancia horizontal.

DH = D*Cos2

S: D = Distancia inclinada.(1615 mts)

= Angulo vertical.(90-960945= - 60945)

Remplazando en la frmula:

DH = 1615*Cos2(-60945) = 1596.39 mts.

Teniendo como informacin la Distancia Horizontal y Azimut

podemos calcular las coordenadas parciales del punto B.

NPB = DH*Cos Z

EPB = DH*Sen Z


Remplazando valores tenemos:

NPB=1596.39*Cos 2751436 = 145.887

EPB=1596.39*Sen 2751436 = -1589.710

Las coordenadas totales de B ser:

NTB = NTA + NPB = 3500+145.887 = 3645.887

ETB = ETA + EPA = 5000-1589.71 = 3410.29

Resumen: PUNTO N E

A 3500.000 5000.00

B 3645.887 3410.29

GRAFICANDO.

B

A

3000N

3500N

4000N

4500N

3000E

3500E

4000E

4500E

5000E

E

N


2.12.- CALCULO DE AREAS.

La superficie de un terreno se puede calcular por diferentes

mtodos, como:

a) En el plano se desarrolla mide a escala todo el

permetro y luego con el planmetro se obtiene el rea.

b) Dividiendo el terreno en tringulos y rectngulos para

aplicar las frmulas geomtricas y luego sumar toda las

figuras descompuestas para obtener la superficie del

terreno.

c) Superficie a partir de coordenadas (abscisas y ordenadas)

d) Las superficies de permetro irregular curvo como los

causes de Ros se aplican la frmula de Simpson

Poncelet.

2.13.-CALCULO DE COTAS.

Para representar un punto tridimensionalmente en el espacio

se requiere conocer las coordenadas X, Y y Z, s: X= E, Y=

N y Z= Cota elevacin sobre el nivel del mar.

Las cotas en un levantamiento taquimtrico se calcula a

partir de la siguiente relacin.

Cot B = Cot A + AI DV AS.

Donde:

Cot B = Cota a calcular

Cot A = Cota inicial conocida.

AI = Altura de instrumento.


AS = Altura de seal.

DV = Diferencia vertical.

AS DV

B

h A.I.

A

Ejemplo 16

Con un levantamiento taquimtrico se desea saber la diferencia de

altura que existe entre A y B, si los datos de campo son: Distancia

322.50 mts, Angulo cenital 832215, AI= 1.48, AS= 1.95,

adems se conoce la altura absoluta del punto A, 3248.50 m.s.n.m.

SOLUCION.

Segn la relacin se tiene:

Cot B = Cot A + AI DV AS.

Cot B = ?

Cot A = 3248.50

AI = 1.48

AS = 1.95

DV = ?


Calculamos DV = D*Cos2.

= Ang. Vertical.(90-832215= 63745)

DV = 322.50*Cos2(63745) = 36.981 m.

Cot B = 3248.5+1.48+36.981-1.95= 3285.011 m.

La diferencia de altura entre A y B ser:

Respuesta:

h = Cot B Cot A = 3285.011 3248.500 = 36.511 m.

2.14.- DIBUJO DE LA RED.

Despus de todo el proceso de clculo de la Red se tiene

que plasmar en un plano, una vez obtenido los resultados

finales de coordenadas representamos de la siguiente

manera: (en el grfico se explica los pasos a seguir.)

3500 E 3600 E 3700 E C(4710, 3505) 4700 N

B (4670, 3655)

4600N

A(4580 3485)


1. Elegimos la escala adecuada

2. Calculamos el rango en el eje Norte y eje Este entre los valores mximos y mnimos.

3. Reticular las coordenadas de acuerdo a la escala elegida. 4. Graficar las coordenadas de los puntos del tringulo, A, B y C. 5. Unimos los puntos mediante rectas, y queda representado el

polgono red.

2.15- CONFIGURACION.

Despus de elaborar la red de una zona, es necesario tomar

detalles como casas, ros, caminos, promontorios, quebradas y

toda la informacin de campo a partir de los vrtices de la Red,

en caso de que un punto no es visible de ninguno de los

vrtices, es recomendable jalar un punto auxiliar para levantar

los puntos ocultos.

Por ejemplo, en el grfico el Block A no es posible tomar

detalles de los vrtices, para ello es necesario poner un punto

auxiliar de cualquiera de los vrtices, tal como Aux-1 jalado del

punto B, desde ste lugar se toma los detalles del Block A.

A

B

D

A C

C

B Aux-1


Desde uno varios vrtice del tringulo se puede tomar todo

los detalles necesarios del levantamiento topogrfico, los

mismos que deben ser anotados en una libreta de campo.

2.16.- LIBRETA DE CAMPO

En una libreta de campo van los siguientes datos:

1 9

2 3 4 5 6 7 8

C A

B

D

Detallamos la descripcin de los recuadros.

1. Informacin general.- se anota: Marca del equipo,

operadores, fecha, tiempo, y otra informacin que pueda ser

til.

2. Punto.- En la primera columna se anota los puntos

topogrficos de acuerdo al avance.

3. Distancia taquimtrica tomada con el Teodolito.


4. Angulo horizontal con respecto a la vista atrs.

5. Angulo cenital, lectura del limbo vertical.

6. Altura del instrumento.

7. Altura de seal, se lee en la mira estdia desde el piso

hasta el hilo estadimtrico central.

8. En la ltima columna se anota las observaciones de cada

punto para identificar con rapidez.

9. Al lado derecho de la libreta se lleva la secuencia del

levantamiento mediante un croquis.


CAPITULO II

CAMINOS

GENERALIDADES

Para estudio de vas en general es importante realizar ciertos

levantamientos Topogrficos, el proyectista encargado debe reunir

todo los datos necesarios para la formulacin del proyecto, dentro de

lo primordial es el conocimiento del terreno, Levantamiento

Topogrfico para determinar todo los detalles y caractersticas

planimtricas.

Antes de iniciar un proyecto de vas se debe fijar y describir el punto

inicial y final, estos puntos deben tener la suficiente elasticidad para

adaptarse a las modificaciones o variaciones del trazo existente.

1.- ETAPAS DEL TRAZO.-La realizacin del proyecto obedece a

una serie de etapas que comienza con el reconocimiento del

terreno en los puntos extremos del proyecto estudiando todo los

posibles emplazamientos de la futura va, seguidamente se realiza

un levantamiento detallado del trazo ubicando las estacas que

sealan el eje, en algunos casos el levantamiento puede ser

bastante completo definiendo el eje del camino sin riesgo a

variacin posterior, en otros casos es preciso realizar algunas

variaciones en el eje, posterior al levantamiento se procesa en

gabinete ubicando las estacas para el replanteo que consiste en


sealar los puntos por donde seguir el itinerario para el cual el

proyectista tendr los clculos de perfiles, secciones y

movimientos de tierra.

2.- CURVAS CIRCULARES HORIZONTALES.

Dentro del diseo de alineamiento o ejes en caminos, ferrocarriles,

canales, tuberas, se enlazan con curvas circulares horizontales, las

curvas circulares por su naturaleza pueden ser simples o

compuestas alternado con ciertas variantes de acuerdo al relieve

del terreno.

2.1.-ELEMENTOS DE UNA CURVA

I

G/2

G

PT

O

R

N

PC

T

ME

AA,BB= Alineamiento Direccin.


O = Punto medio.

PC. = Principio de curva.

PT. = Principio de tangente.

T = Tangente.

R = Radio.

E = External (M-V)

I = Angulo de interseccin.

V = Punto de interseccin.

G = Grado de curva.

LC = Longitud de curva (PC-M-PT)

C = Cuerda (PC-N-PT)

Por principio Geomtrico G = I

2.2.-DETERMINACIN DE LOS ELEMENTOS.

- TANGENTE.- Dentro del alineamiento AA entre el

tramo PC y V es la tangente, el mismo que se calcula con

2

*G

TgRT

- CUERDA.- Tramo comprendido entre PC y PT.

2*2

GSenRC

- LONGITUD DE CURVA.- Tramo comprendido entre

(PC-M-PT) =

180.

GRLC


- EXTERNA.- Distancia del punto mximo de la curva al

vrtice (M-V)

4*

GTgTE

Las frmulas expuestas de los cuatro elementos de curva

circular horizontal es fundamentalmente para hacer clculos y

ubicar los puntos sobre la curva para un posible replanteo.

EJEMPLO 1:

Calcular los elementos de curva de un radio de 95 m, conociendo

los alineamientos AA=34320 Y BB=29535, El PC. se

encuentra en el alineamiento AA

SOLUCION.

1) Croquis

Por principio geomtrico A 34320 Se tiene que G=I. PC

calculamos I en funcin de los Azimuts R=95m B de AA Y BB V I=180-(34320-29535) O I A

I=13215 G=I=13215 PT

29535 2) clculo de elementos B


.m717.139=4

'15132Tg*632.214=

4

GTg*T=E

.m279.219=180

95'*15132*=

180

GR=LC

.m742.173=2

'15132Sen*95*2=

2

GSen*R2=C

.m632.214=2

'15132Tg*95=

2

GTg*R=T

EJEMPLO 2.

En el problema anterior ubicar las estacas sobre la curva cada 30

mts. replanteando desde el PC.

SOLUCION.

1) La longitud de curva en el problema anterior es 219.279 mts, se

pide replantear cada 30 mts.

N de estacas = 219.279 / 30 = 7.3093.

se tiene 7 tramos cada 30 mts y un tramo de 9.279 mts.

2) Calculamos el grado de curva (G) para 30, 60, 90, 120, 150,

180, 210 y 219,279mts, Si para 219.279mts es 13215,

entonces para 30mts ser 180536.2; (se obtiene por regla de

tres simple), con igual procedimiento se calcula para las dems

distancias.


O

PC

4

6

7

5

PT

32

1

G1/2

G2/2

G3/2

G4/2

G5/2

G6/2

G7/2

G/2

GG7

G6

G5

G4

G3

G2

G1 R

=95 m.

3) Clculo de cuerdas para cada punto.

Por la frmula C = 2R * Sen G/2

PUNTO LONGITUD

DE CURVA

CUERDA

(m).

GRADO DE

CURVA

PC-1 30 29.875 180536.2

PC-2 60 59.008 361112.4

PC-3 90 86.672 541640.6

PC-4 120 112.180 722224.8

PC-5 150 134.897 902801

PC-6 180 154.257 1083337.2

PC-7 210 169.781 1263913.4

PC-PT 219.279 173.742 1321500


2.3.-REPLANTEO DE CURVAS CIRCULARES

HORIZONTALES.

Conociendo los elementos de curva circular horizontal

podemos calcular el estacado del tramo sobre la longitud de la

curva, existen diferentes mtodos para replantear las curvas

circulares, por condicin del terreno enunciaremos los dos

mtodos ms usuales por ngulo de deflexin; el primero es

cuando la visibilidad es total de la curva desde el PC. y el

segundo mtodo es cuando no es visible la curva desde el

PC.(con puntos de cambio).

3.-REPLANTEO POR ANGULOS DE DEFLEXIN CON

VISIBILIDAD DESDE EL PRINCIPIO DE CURVA (PC.)

G/2G3/2

G2/2

G1/2

G1

G2G

3

G

O

PC

1

RADIO

PT

TANGENTE

2

3

I

Por principio bsico para replantear una curva circular debemos

tener como informacin el grado de curva para una determinada


longitud de arco y cuerda, por geometra tenemos que G = I para

ubicar el punto 1 se debe calcular la cuerda PC-1 en funcin al

grado de curva G1, de igual manera para ubicar el punto 2 calcular

la cuerda PC-2 en funcin del grado de curva G2, as

sucesivamente hasta la cuerda mayor PC-PT. Para replantear se

estaciona el teodolito en PC con el limbo horizontal en el

alineamiento o Tangente con 000, desde el cual giramos al

punto 1 con un ngulo de G1/2 (mitad del grado de curva para la

longitud del arco.) y con una distancia de PC-1 (cuerda). Para el

punto 2 medimos un ngulo de G2/2 y una cuerda de PC-2, de sta

manera procedemos para los dems puntos.

EJEMPLO 3.

Se tiene una curva circular de 90 m. de radio y un ngulo de

interseccin de 130, se quiere replantear cada 60 m.

SOLUCION

1) Graficamos y calculamos los elementos de curva.

Si G=I

G = 130


.m958.122=4

130Tg*006.193=

4

GTg*T=E

.m204.204=180

90*130*=

180

GR=LC

.m135.163=2

130Sen*90*2=

2

GSen*R*2=C

.m006.193=2

130Tg*90=

2

GTg*R=T

163.135

204.204

6500'00"

5717'44.3"

3811'49.5"

1905'54.8"

G1=3811'49.5"

G2=7623'39"

G3=11435'28.5"

G=130

T= 193.006 m. 11

1.306 m.58

.8995 m.

151.465 m.

2) Se pide replantear cada 60 mts.

No de estacas = LC/60m.= 204.204/60 = 3.4034

Se ubicar 3 puntos cada 60 mts y un tramo de 24.204m.


3) Calcular el grado de curva (G) y cuerda para una longitud de

arco de 60, 120, 180 y 204.204m.de acuerdo al clculo de

estacas.

Si para una longitud de arco de 204.204m. corresponde un

ngulo de 130 y para 60m de arco corresponder

381149.5(regla de tres simple), con el mismo procedimiento

se calcula para 120, 180m.

Para calcular la cuerda aplicamos su frmula: C=2RSenG/2.

Del punto PC-1= 2*90*Sen381149.5/2 = 58.895m.

PC-2= 2*90*Sen762339/2 = 111.306m. de esta manera

calculamos las cuerdas.

RESUMEN.

PTOS LONG.

DE

CURVA.

GRADO

DE

CURVA.

CUERDA

(m)

NG.

DEFLEX.

G/2

PC-1 60 381149.5 58.895 190554.8

PC-2 120 762339 111.306 381149.5

PC-3 180 1143528.5 151.465 571744.3

PC-PT 204.204 1300000 163.135 650000

Para replantear, seguir el siguiente procedimiento: Estacionar

el teodolito en el Principio de Curva (PC) con 00000 en el

alineamiento (V), giramos al punto 1 con un ngulo de

190554.8 y una distancia (cuerda) de 58.895m. Para el

punto 2 medimos un ngulo de 381149.5 y una cuerda de

111.306m, para el punto 3 se mide un ngulo de 571744.3


y una distancia (cuerda) de 151.45m. y al PT tenemos la mitad

del grado de curva (G) 65 y una cuerda principal de

163.135m. de esta manera queda demostrado.

4.- REPLANTEO POR ANGULOS DE DEFLEXIN CON

PUNTOS DE CAMBIO.

Por principio geomtrico tenemos que el ngulo de PC al punto 1

es igual a G/2, o sea la mitad del grado de curva G. En el grfico

para la longitud de arco PC-1 el ngulo de deflexin ser G1/2,

mitad del grado de curva G1, El ngulo de deflexin en el punto

1 ser (G1+G2)/2, La deflexin para el punto 2 ser (G2+G3)/2,

as sucesivamente hasta el ltimo punto.

G1/2

(G1+G2)/

2

(G2+G

3)/2


EJEMPLO.4.

En el problema anterior, replantear con puntos de cambio

suponiendo no existe visibilidad al extremo opuesto desde PC.

SOLUCION.

1) En el problema anterior tenemos ubicado tres puntos cada 60

mts. y un tramo de 24.204 mts.

2) El grado de curva calculado para 60 mts. es 381149.5

3) El grado de curva para 24.204 mts. es 152431.4

4) Las cuerdas calculadas para 60 mts. de arco es 58.895 mts. y

para 24.204 mts. es 24.131 mts.

5) Calculamos la deflexin para cada punto de acuerdo al

principio geomtrico.

Angulo de deflexin en PC = G1/2

Angulo de deflexin en 1 = (G1+G2)/2



RESUMEN.

PTOS

LONG.

DE

CURVA

GADO DE

CURVA

CUERDA

(m)

NG. DE

DEFLEXION

PC-1 60 381149.5 58.895 191554.8

1-2 60 381149.5 58.895 381149.5

2-3 60 381149.5 58.895 381149.5

3-PT 24.204 152431.4 24.131 264810.45


PC

12

PT

O

IV

T

R=90m.

T

R.

. .

.

G1/2

(G1+G2)/2

(G2+G3)/2

(G3+G

4)/2

58.895

58.895 58.895

24.13

3

G2G3 G

4G1

G

Para replantear se procede de la siguiente manera: Estacionar el

teodolito en el PC. Con el limbo horizontal en 00000 en el

alineamiento o vista al vrtice V , luego se gira hacia el punto 1

con un ngulo G1/2 = 191554.8 y una distancia de 58.895 mts

(cuerda), Se traslada el teodolito al punto 1 y se visa al PC con

00000 basculando el anteojo 180 quedando en su alineamiento

o proyeccin, luego se gira hacia el punto 2 con un ngulo de

(G1+G2)/2 = 381149.5 con una distancia igual al anterior de

58.895 mts. trasladamos el equipo al punto 2 con vista atrs a 1 y

00000 en el limbo horizontal, basculamos 180 y giramos al

punto 3 con un ngulo de (G2+G3)/2=381149.5 y una distancia


de 58.895 mts. y finalmente ubicamos el equipo en el ltimo

punto 3, con el mismo procedimiento medimos un ngulo

(G3+G4)/2=264810.45 y una distancia de 24.131 mts, de esta

manera queda replanteado los tres puntos sobre la curva.

EJEMPLO 5.

En el levantamiento del eje de una carretera se tiene el rumbo del

PC al punto de interseccin V N6832E y del punto de interseccin al PT S1644W, de acuerdo a las caractersticas del terreno pide disear una carretera de 120 mts de radio y replantear

cada 35 mts. desde el PC.

SOLUCION.

S164

4'w

I

G

120 m.

O

N6832'E

12812'

Realizamos su croquis y calculamos G a partir de sus orientaciones.

1) I=12812 (calculado en funcin a sus rumbos.)

2) Clculo de sus elementos de curva.


.mts724.154=4

'12128Tg*13.247=

4

GTg*T=E

.mts501.268=180

'12128*120*=

180

RG=LC

.mts894.215=2

'12128Sen*120*2=

2

GSen*R*2=C

.mts130.247=2

'12128Tg*120=

2

GTg*R=T

3) Clculo del nmero de estacas.

Conociendo la longitud de curva calculamos el nmero de

estacas No de estac.= 268.501/35 = 7.671, entonces tenemos 7

tramos de 35 mts y uno de 23.501 m.

4) Clculo del grado de curva para 35 m. y 23.501 m. Si para

268.501 (LC) corresponde un grado de 12812 y para 35 m.

ser 164240.67, de igual manera el grado para 23.501 m ser

111316.31.(por regla de tres simple)

5) Clculo de cuerda para cada tramo desde PC a 1, 2, 3...y PT.

con la frmula C=2R*SenG/2.

Luego, de PC-1= 2*120*Sen164240.67/2=34.876 m.

De PC-2= 2*120*Sen332521.34/2=69.012 m.

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

de PC-PT= 2*120*Sen12812/2=215.894 m.


RESUMEN DE LOS CALCULOS.

PTO

LONG.

CURVA

(m)

GRADO DE

CURVA

( )

CUERDA

(m)

(G/2) NG.

DE

DEFLEXIN

PC-1 35 164240.67 34.876 82120.4

PC-2 70 332521.34 69.012 164240.7

PC-3 105 500802.01 101.682 250401

PC-4 140 665042.68 132.194 332521.3

PC-5 175 833323.35 164.530 414641.7

PC-6 210 1001604.02 184.211 500802.0

PC-7 245 1165844.69 204.611 582922.3

PC-PT 268.501 1281200 215.894 640600


6) Clculo del ngulo de deflexin. Este ngulo viene a ser la

mitad G/2 del grado de curva G. como muestra en la ltima

columna del cuadro.

Si, del PC-1, G es 164240.7 y G/2 es 82120.4,

PC-2, G es 332521.2 y G/2 es 164240.7, as

sucesivamente hasta el ltimo punto.

CONCLUSIN. Para replantear ubicamos el teodolito en PC.

Visamos el alineamiento el vrtice V con 00000 en el limbo

horizontal luego giramos al punto 1 con un ngulo G1/2

(82120.4) y una distancia de 34.876 m. (cuerda), para el punto

2 medimos con un ngulo de G2/2 (164240.7) y una cuerda de

69.012 m. as sucesivamente hasta visar el PT con un ngulo G/2

(6406) y una cuerda de 215.894 m.

EJEMPLO 6.

En el problema anterior calcular los ngulos de deflexin con

puntos de cambio y sus respectivas cuerdas.

SOLUCION.

1) Segn el problema anterior se tiene 7 tramos de 35 mts y un

tramo de 23.501 mts.

2) El grado de curva para 35 y 23.501 mts calculado es

164240.7 y 111315.31 respectivamente.

3) Las cuerdas para los arcos de 35 y 23.501 mts son: 34.876 y

23.464 mts respectivamente.


4) Para calcular el ngulo de deflexin para cada punto se aplica

de acuerdo al principio Geomtrico de la siguiente manera:

12812'

G1/2

S1644'w

(G4+G5)/2

(G3+G4)/2

(G5+G6)/2

(G6+G7)/2

(G7+G8)/2

PT

(G1+G2)/21

G1

G8

G2 G3

G4G5G6

G7

120M.

O

PC

(G2+G3)/2

7

6

5

N6832'E

2

3

4

V

Angulo de deflexin. en PC es G1/2= 82120.35

Angulo de deflexin. en 1 es (G1+G2)/2=164240.7

Angulo de deflexin. en 2 es (G2+G3)/2=164240.7

Hasta el punto 6 el valor es el mismo por tener los valores

angulares iguales, variando en el ltimo tramo, en el punto 7 de

(G7+G8)/2=135758

5) Para replantear se inicia en el PC, desde el cual se visa al

vrtice o alineamiento con 00000, luego se gira al punto 1

con un ngulo de G1/2 de 82120.35 y una cuerda de 34.874

mts. queda fijado el punto, luego se traslada el teodolito al


punto 1 visando al PC con el limbo Horizontal en 1800000,

en sta basculamos el anteojo 180 quedando en su proyeccin

en 0000, girar al punto 2 midiendo un ngulo (G1+G2)/2 =

164240.7 y una cuerda de 34.876 mts. as sucesivamente

hasta llegar hasta el penltimo punto con los mismos valores

por tener distancias y grados de curvas iguales, en el ltimo

tramo, punto 7 vara el ngulo y la cuerda en

(G7+G8)/2=135758 y una distancia de 23.464 mts. de esta

manera queda establecido todo los puntos de la curva.

6) RESUMEN.

PUNTO

LONG.

DE

CURVA

CUERDA

(m).

GRADO DE

CURVA

NG.

DE

DEFLEXIN.

PC-1 35 34.876 164240.7 82120.35

1-2 35 34.876 164240.7 164240.7

2-3 35 34.876 164240.7 164240.7

3-4 35 34.876 164240.7 164240.7

4-5 35 34.876 164240.7 164240.7

5-6 35 34.876 164240.7 164240.7

6-7 35 34.876 164240.7 164240.7

7-PT 23.501 23.464 111315.31 135758


EJEMPLO 7.

La ubicacin de estacas en un alineamiento que tiene un rumbo de

S6220E, Llegando al punto de interseccin con una longitud del

proyecto de 3460 m. o correspondiente a la progresiva Km

3+460m. a partir de sta, cambia de direccin a S4251W, se

quiere replantear cada 25 mts. en cantidades enteras con un radio

de 80 mts, calcular las progresivas, ngulo de deflexin y cuerdas

para cada punto.

SOLUCION.

10511'O

S4251' W

PT

PCS6220'E

V146.864 m.

80 m

G

104.60 m.

127.042

I


1) La distancia del proyecto hasta el punto de interseccin V es

3460 mts correspondiente a la progresiva Km 3+460

2) El grado de curva G es igual a I=6220+4251=10511,

entonces G=I= 10511

3) clculo de los elementos de curva

.m687.51=4

'11105Tg*60.104=

4

GTg*T=E

.m092.127=2

'11105Sen*80*2=

2

GRSen2=C

.m864.146=180

'11105*80*=

180

RG=LC

m.60.104=2

'11105Tg80=

2

GRTg=T

4) Al punto de interseccin del proyecto se llega con 3460 m.

igual a la progresiva Km 3+460, para llegar al PC. restamos la

longitud de la tangente (104.60m.)

3460m.-104.60m.= 3355.40m. = Km3+355.4 (progresiva)

el PC tendr como progresiva Km 3+355.4

5) De acuerdo al planteamiento del problema pide ubicar las

estacas cada 25 mts. enteros, el siguiente punto sobre la curva

estacada cada 25 mts. ser 3375= Km3+375, para llegar a ste

punto sumamos 19.6 m. que resulta de restar 3375-

3355.40=19.60 m.(la cantidad entera se refiere al mltiplo de

25 en el kilometraje, por lo tanto el inmediato superior de

3355.40 es 3375 m.)


6) Los siguientes puntos sobre la curva ser: (en el cuadro se

muestra desde el punto 1).

PUNTO DISTANCIA PROGRESIVA.

PC 3355.4 3+355.4

1 3375 3+375

2 3400 3+400

3 3425 3+425

4 3450 3+450

5 3475 3+475

6 3500 3+500

PT 3502.264 3+502.3

PC

80 m.

N6220'E

G

G4

G6

G1G2

G3

G5

O

PT

6

5

1

3

4

2

S4251'W

3

5

PT

6

4

10511'

PROGRESIVAPC1

2

PTOS

V

3+355.4

3+375

3+400

3+425

3+450

3+475

3+500

3+502.3


7) Para llegar al PT se suma la Longitud de curva al PC, entonces,

3355.4+146.864=3502.264 (Km 3+502.3), Hasta el momento

se ha calculado las distancias sobre la curva y sus progresivas

de los seis puntos, del PC al PT.

8) Para replantear es necesario calcular el grado de curva y sus

respectivas cuerdas de cada punto, para ello aplicaremos las

frmulas conocidas, para llegar al punto 1 (Km 3+375 m.) se

tiene una distancia de 19.6 m. desde el PC(Km 3+355.4); es

importante hacer notar que en la longitud de curva existe 3

tramos diferentes el primer tramo (19.6m.), tramos intermedios

(25 m.) y el tramo final (2.264m.), por lo tanto calcular el grado

de curva y cuerda para cada arco desde PC.

9) Clculo de G para un arco de 19.6m. (PC-1)

Si para 146.864 m. se tiene un ngulo G de 10511 y para

19.6 m. ser 140214.75; y para el punto 2 (19.6 + 25 m =

44.60), distancia del arco (PC-2) (44.60m.), su grado de curva

ser 315632.35, as sucesivamente hasta llegar al ltimo

tramo. Para calcular las cuerdas para cada grado de curva

aplicamos la frmula conocida, C=2RSenG/2, para el primer

tramo: CPC-1= 2*80*Sen140214.75/2 = 19.551 m. Para el

punto 2 CPC-2 = 2*80*Sen315632.35/2 = 44.025 m. de esta

manera para los dems puntos.


RESUMEN.

PTO

LONG.

DE

CURVA

GRADO DE

CURVA (G)

CUERDA

(m)

NG. DE

DEFLEX.(G/2)

PC-1 19.60 140214.75 19.551 70107.38

PC-2 44.60 315632.35 44.025 155816.18

PC-3 69.60 495049.94 67.426 245524.97

PC-4 94.60 674507.53 89.184 335233.77

PC-5 119.60 853925.13 108.769 424942.57

PC-6 144.60 1033342.72 125.704 514651.36

PC-PT 146.864 1051100 127.092 523530.00

10) CONCLUSION.

Despus de calcular la cuerda y G/2 para cada longitud de

curva se procede a replantear de la siguiente manera:

Estacionado el teodolito en PC que corresponde a la progresiva

Km 3+355.4 se visa al alineamiento o punto de interseccin

con el limbo horizontal en 00000, giramos al punto 1 que

corresponde a la progresiva Km 3+375 con un ngulo G/2 de

70107.38 con una distancia de 19.551 equivalente a su

cuerda, luego visamos al punto 2 que corresponde a la

progresiva Km 3+400. con un ngulo de G/2(para una longitud

de curva de 44.60m.) de 155816.18 y una cuerda de 44.025

m. as sucesivamente hasta llegar al PT que corresponde a la

progresiva Km 3+502.3 con un ngulo G/2 de 523530 y una

cuerda de 127.092m.


EJEMPLO 8.

En el problema anterior con los elementos de curva calculados

replantear cada 30 mts. en cantidades enteras con puntos de

cambio.

SOLUCION:

1) Graficando el croquis, se tiene calculado los elementos de curva:

T = 104.60 mts.

LC = 146.864 mts.

C = 127.092 mts.

E = 51.687 mts.

PC G1/2

G1

4.599

PROGRESIVAPTOS

G3

G4

(G2+G3)/2

(G3+G4)/2

(G4+G5)/2

29.824

G2

(G5+G6)/2

G6

80 m.

22.192

PT

G5

O

29.824

5

4

3+502.3

3+480

3+450

3+420

3+390

3+360

3+355.4

4

PT

5

S4251'W

2

3

PC1

N6220'E

(G1+G2)/2

29.824

29.8242

1

3

10511'

V

La progresiva de PC es Km 3+355.4


2) La progresiva de PT es Km 3+502.3, sta se obtiene sumando

la Longitud de Curva al PC.

3) El primer punto sobre la curva es Km 3+360 por ser un

cantidad inmediata entera que se obtiene sumando 4.60 mts

(3355.4 + 4.6 = 3360 = Km 3+360, en la siguiente tabla

representamos las distancia y su respectiva progresiva.

PUNTOS DISTANCIA PROGRESIVA

PC 3355.4 3+355.4

1 3360 3+360

2 3390 3+390

3 3420 3+420

4 3450 3+450

5 3480 3+480

PT 3502.264 3+502.3

4) Calculamos G y cuerda para cada Longitud de curva aplicando las frmulas conocidas

PTO

LOG. DE

CURVA

(m)

GRADO DE

CURVA (G)

CUERDA

(m)

NG. DE

DEFLEX.

PC-1 4.60 31740.20 4.599 13850.1

1-2 30 212909.11 29.824 122324.66

2-3 30 212909.11 29.824 212909.11

3-4 30 212909.11 29.824 212909.11

4-5 30 212909.11 29.824 212909.11

5-PT 22.264 155643.35 22.192 184256.23


5) CONCLUSION. Calculado los ngulos de deflexin para cada

punto y sus respectivas cuerdas iniciamos el replanteo

estacionar el teodolito en PC, cuya progresiva es Km 3+355.4

desde el cual hacemos la vista atrs al punto de interseccin con

el limbo horizontal en 00000 luego giramos al punto 1

(Km3+360) con un ngulo G1/2 de (13850.1) y una distancia

de 4.599 equivalente a su cuerda, seguidamente trasladamos el

equipo al punto 1 desde el cual hacemos vista atrs al PC con

1800000 basculando el anteojo 180 queda en su proyeccin

en 000, desde sta posicin medimos un ngulo de

122324.66(G1+G2)/2 y su cuerda de 29.824 mts.

seguidamente nos ubicamos en el punto 2, con el mismo

procedimiento medimos un ngulo de 212909.11 (G2+G3)/2

y su respectiva cuerda de 29.824 mts, as sucesivamente hasta

llegar al ltimo punto, quedando fijado las estacas sobre la

curva cada 30 m. con progresivas enteras.

EJEMPLO 9.

Tomando como datos del ltimo ejemplo es importante conocer

sus coordenadas de los puntos estacados sobre la curva cada 25

mts enteros (PC,1,2,3,4,5,6 y PT), para ello se conocen las

coordenadas del vrtice (2345N, 3425E).


SOLUCION.

1) Croquis, Conociendo la orientacin del alineamiento o

Tangente PC-V de S6220E y su distancio T de 104.60 m. se

calcula las coordenadas de PC.

PTOS

PC

2

4

PT

2345.000 3425.000

2393.569 3332.360

2382.443 3348.437

2363.187 3364.222

2340.012 3373.322

2315.161 3374.8562291.042 3368.671

2269.991 3355.351

2268.310 3353.865

IPC

80 m.

S6220'E

G

O

PT

6

5

1

3

4

2

S4251'W

V-PC 29740"00.00"

12441'07.38"

13338'16.18"

14235'24.97"

15132'33.77"

16029'42.57"

16926'51.36"

17015'30.00"

PC-6

PC-PT

PC-3

PC-4

PC-5

PC-1

PC-2

10511'

PUNTOSV

AZIMUT

V(2345, 3425)V1

6

COORDENADAS

N E

3

5

PROGRESIVA3+355.4

3+375

3+400

3+425

3+450

3+475

3+500

3+502.3

Calculamos el azimut de V-PC.

S Rumbo de PC-V = S6220E

V-PC = N6220W

Azimut V-PC = 29740


2) Coordenadas parciales de PC,

N = DH*Cos Z; E = DH*SenZ. Si DH = T

Remplazando valores.

N = 104.60*Cos29740 = 48.569

E = 104.60*Sen29740 = -92.64

3) Coordenadas totales de PC.

N = 2345+48.569 = 2393.569

E = 3425-92.640 = 3332.360

4) Desde PC es posible lanzar las coordenadas a los puntos 1,2,...y

PT. Calcula

topografia triangulacion caminos

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