Demostración grafica y analítica de 2 funciones inversas

Presentado por

José Hernando morales

Laura Montoya Villegas

Steven leyton

Carlos canizales

Docente

Carlos rubio

Curso

Matemáticas II

Universidad autónoma de occidente

Demostración grafica y analítica de 2 funciones inversas

Dadas las funciones:

F(x)=5 x

G(x)=Log5 X

A. Mostrar grafica y analíticamente que F y G son funciones inversas

B. Calcular la derivada e integral de la función F(x)

C. Calcular la derivada e integral de la función G(x)

A. Gráficamente:

En la siguiente imagen se puede apreciar la simetría de las 2 funciones inversas F(x)= 5 x (color

Azul) y G(x)= Log5 X (color Verde), respecto a la recta Y=x. como se puede apreciar la distancia del

segmento AC es la misma distancia del segmento BC, por lo que se puede deducir de la grafica que

ambas son funciones inversas.

Analíticamente:

Para F compuesta G (F•G)

F•G=F (G(X))

F•G=F (Log5X) → 5Log

5x =X

Para G compuesta F (G•F)

G•F=G (F(X))

G•F= G (5 x

) → Log5 5x= X Log5 5= x (1) = X

Al ser compuesta una función de otra, se obtiene el mismo resultado. Por lo que se deduce que

ambas funciones son inversas.

B. F(x) =5 x

Derivada de F(x):

F’(x) = 5 x

*Ln 5

En la derivada de esta función se aplica la propiedad de Ax= A

x* Ln(A)

Integral de F(x):

∫ dx =

* + c =

+ c

En la integral de esta función se aplica la propiedad:

C. G(x)= Log5 X

Derivada de G(x):

En este caso se hace un cambio de base por la propiedad Log aX =

G’(x)= Log5 X ↔

G’(x)=

*

→

G’(x)=

Integral de G(x):

∫ 5 x= ∫

→

∫

El

se puede sacar como constante de la integral, ya que representa un número.

Ahora se integra por partes

Donde: U= Ln X →

dx

dv=dx entonces v=x

∫

→ ∫

∫ =

=

=

∫ 5