ss cap9 - diezmado e interpolacion

CAPITULO 9:INTERPOLACIÓN Y DIEZMADOINTERPOLACIÓN Y DIEZMADO

•• MODIFICACIÓN DE LA FRECUENCIA DE MUESTREOMODIFICACIÓN DE LA FRECUENCIA DE MUESTREOCaso1: k es un número entero

- Diezmado (downsampling)

- Interpolación (upsampling)

Caso2: k no es un número entero

•• APLICACIÓN A LA CONVERSIÓN A/D Y D/AAPLICACIÓN A LA CONVERSIÓN A/D Y D/A

CAP9: INTERPOLACIÓN Y DIEZMADO

•• APLICACIÓN A LA CONVERSIÓN A/D Y D/AAPLICACIÓN A LA CONVERSIÓN A/D Y D/A- Diezmado aplicado a la conversión A/D

- Interpolación aplicada a la conversión D/A

•• DIEZMADO Y FILTRADO SIMULTÁNEOSDIEZMADO Y FILTRADO SIMULTÁNEOS•• CODIFICACIÓN EN SUBCODIFICACIÓN EN SUB--BANDAS BANDAS FRECUENCIALESFRECUENCIALES•• FILTROS ESPEJO EN CUADRATURA FILTROS ESPEJO EN CUADRATURA •• TRANSMULTIPLEXORESTRANSMULTIPLEXORES


Modificación de la frecuencia de muestreoSupongamos que mediante un conversor A/D hemos adquirido la señal: x[n]=x(nT)

Pero no queremos tener las muestras en todos los instantes de tiempo múltiplos deperiodo de muestreo T, sino queremos: x[n]=x(nT') siendo T'=kT.

Según el valor que tome la variable k, se presentan distintos casos:

Caso1: k es un número entero

-Diezmado (downsampling)

-Interpolación (upsampling)

Caso2: k no es un número entero


Modificación de la frecuencia de muestreoCaso1: k es un número entero

Según si el valor de k toma un valor mayor ó menor que la unidad nos encontraremos con dos situaciones diferentes:

a) Diezmado:a) Diezmado:(‘downsampling’)

k = M > 1

b) Interpolación:(‘upsampling’)

k = 1/L < 1



a) Diezmado: K = M > 1 (‘downsampling’)Si de cada M muestras tan solo cogemos una, es como si pasáramos de un periodo demuestreo T a uno M veces mayor (T’ = MT), lo que equivale a una disminución (ocompresión) de la frecuencia de muestreo (ω’s = ωs/M).

Por ello a esta constante k se le denomina, en este caso, compresor.


Modificación de la frecuencia de muestreoEn frecuencia, como la frecuencia de muestreo disminuye a ω’s = ωs/M, el efecto es quelos alias de la señal muestreada se encuentren más próximos unos de otros.


Modificación de la frecuencia de muestreoComo a medida que M se incrementa, los alias de las muestras se aproximan unas a otras, a partir de ciertos valores de M se producirá aliasing, ya que si se eliminan demasiadas muestras es como si no se hubiera respetado la condición de Nyquist en su adquisición que indica que ω’s ≥ 2ωm .

El caso limite para no tener aliasing es cuando a ω’s = 2.ωm

Si es necesario utilizar un valor de M elevado, puede reducirse este problema mediantefiltros antialiasing.


Modificación de la frecuencia de muestreoFiltros AntialiasingPermiten limitar la banda de la señal original a un valor menor ωm, de modo que se puedan utilizar valores elevados de M sin que se produzca aliasing.

Wc = W’s/2 = [Ws/M]/2

La Wc del filtro será:

Wc = Ws/2M

Siempre que:

Se requerirá un filtro antialiasing.M > Ws/2Wm


Modificación de la frecuencia de muestreoFiltros Antialiasing

En general se necesitaran filtros antialiasing para el diezmado si:

Y en ese caso, el esquema completo de un diezmador será el representado a continuación, donde Wc representa la frecuencia de corte del filtro y deberá ser igual a:

M > Ws/2Wm

Wc = Ws/2M



a) Interpolación: K = 1/L < 1 (‘upsampling’)Esta situación es contraria al caso anteriore. Ahora se pasa a un periodo de muestreo T auno L veces menor (T’ = T/L), lo que equivale a un aumento (o expansión) de la frecuenciade muestreo (ω’s = ωs.L).

Por ello a esta constante k se le denomina, en este caso, expansor.


Modificación de la frecuencia de muestreoPor ello a esta constante k se le denomina, en este caso, expansor.


Modificación de la frecuencia de muestreoAñadiendo L-1 muestras de valor cero, entre cada muestra de x[n]:


Modificación de la frecuencia de muestreo

La señal original no ha modificado realmente su periodo de T a T’, para corregir ello se utilizará un filtro de interpolación.


Modificación de la frecuencia de muestreoFiltros de Interpolación

Es un filtro pasabajos con frecuencia de corte:

Que permite corregir en frecuencia la amplitud de la señal obtenida, quedando el esquemafinal del interpolador de la siguiente forma:

Wc = Ws/2


Modificación de la frecuencia de muestreoEn tiempo, el filtro permite una corrección en la amplitud de la señal, para los valores delas muestras añadidas que anteriormente tenían valor cero.


Modificación de la frecuencia de muestreoCaso2: k es NO un número entero

Para trabajar con un valor de k no entero, el primer paso es representarlo como el cociente de dos números enteros M y L, de la forma k = M / L.

Según lo visto anteriormente podemos poner en cascada un sistema de interpolación, que dará el factor 1/L, seguido de un sistema de diezmado, que dará el factor M:

Se puede observar que aparecen dos filtros paso bajo en cascada. Ambos se puedensustituir por uno que tenga como frecuencia de corte la menor de los dos.


Modificación de la frecuencia de muestreoCaso2: k es NO un número entero

Es un filtro pasabajos final tendrá la siguiente frecuencia de corte:

Y modificará la frecuencia de muestreo y el periodo de la siguiente forma:


Aplicación a la conversión A/D y D/A

Diezmado aplicado a la conversión A/D: Simplificación de los filtros antialiasing.Supongamos un filtro antialiasing no ideal H(w), con una cierta pendiente de caída del filtro, utilizado para limitar en banda a una señal x(t) cuya frecuencia máxima es Wm.

El motivo del filtrado es que la máxima frecuencia muestreable con el conversor es de Ws.



Diezmado aplicado a la conversión A/D: Simplificación de los filtros antialiasing.El efecto de un filtro real antialiasing será el siguiente:

Como podemos apreciar en la figura, la no idealidad del filtro produce una deformación delas amplitudes del espectro de la señal (por no ser un filtro de amplificación constante),además de distorsiones de solapamiento y de cruce (por tener una banda transición con pocapendiente).

Para evitar estas distorsiones del filtro, se pueden usar filtros analógicos de orden elevado, lo que conlleva un coste y volumen (tamaño de los circuitos) elevado



Diezmado aplicado a la conversión A/D: Simplificación de los filtros antialiasing.

Una solución alternativa es sobremuestrear la señal x(t), es decir, utilizar una frecuencia demuestreo mucho mas elevada de lo necesario, de forma que los alias queden masseparados entre si. De este modo, al haber menos peligro de aliasing, los filtros son mássencillos o, incluso, pueden llegar a ser innecesarios.

A continuación de la etapa de muestreo situaremos un sistema de diezmado, para asíA continuación de la etapa de muestreo situaremos un sistema de diezmado, para asíobtener las muestras que realmente necesitamos para el posterior procesado de la señal,que está limitado a la frecuencia de muestreo Ws.



Diezmado aplicado a la conversión A/D: Simplificación de los filtros antialiasing.



Interpolación aplicada a la conversión D/A:

Cuando hay que filtrar una secuencia que se ha muestreado a la frecuencia de Nyquist oligeramente superior, los filtros deben tener una gran pendiente ya que se dispone de pocoo nulo ancho de guarda para el filtro entre los diferentes alias de la señal.

Una solución para poder trabajar con filtros mas sencillos es hacer una previa interpolaciónde las muestras; con ello se separan los espectros y ya no son necesarios filtros de tantaUna solución para poder trabajar con filtros mas sencillos es hacer una previa interpolaciónde las muestras; con ello se separan los espectros y ya no son necesarios filtros de tantapendiente.

Este efecto se aprovecha en algunos conversores D/A: si antes del conversor se sitúa uninterpolador podrán usarse filtros mas sencillos para la reconstruccion de la señalanalógica.



Interpolación aplicada a la conversión D/A:

Señales SIN Interpolador L:



Interpolación aplicada a la conversión D/A:Señales CON Interpolador L:

Mientras que con el interpolador aparecenMientras que con el interpolador aparecenmás muestras a la entrada del conversorD/A que, al estar más cercanas entre si, yano se dará tanto tiempo al filtro analógicopara que manifieste su respuesta libreentre muestras.


Diezmado y filtrado simultáneosTanto la interpolación como el diezmado suelen conllevar un filtrado digital, en el primercaso como filtro interpolador y en el segundo como filtro antialiasing.

Seleccionando adecuadamente la estructura, sea en hardware o por programación,pueden efectuarse el filtrado simultáneamente a la interpolación o al diezmado de lasmuestras sin tener que programarse dos bloques separados para cada función.

Como ejemplo, veamos el caso de un diezmado y filtrado simultáneos.Como ejemplo, veamos el caso de un diezmado y filtrado simultáneos.


Diezmado y filtrado simultáneosDiezmado y filtrado simúltaneoSea el filtro FIR de la siguiente figura:

Correspondiente a la ecuación de diferencias siguiente:


Diezmado y filtrado simultáneosDiezmado y filtrado simúltaneoPara cada instante n tenemos una y[n] sin diezmar (separacion entre muestras de Tsegundos):


Diezmado y filtrado simultáneosDiezmado y filtrado simúltaneoSi el mismo filtro se implementa con la estructura de la Figura siguientes:

Donde mediante un registro de desplazamiento o una memoria EPROM se vandesplazando los coeficientes con que se multiplican las muestras de x[n] en cada instante,de forma que un mismo coeficiente tarda 4 iteraciones (caso de la figura) en volver amultiplicar la muestra de x[n], las sucesivas salidas y[n] serán:


Diezmado y filtrado simultáneosDiezmado y filtrado simúltaneo

Vemos pues que la separaciónentre muestras ya no es de Tsino de T'=4T, es decir sesino de T'=4T, es decir seconsigue un diezmado por unfactor M=4, igual a la longituddel filtro FIR.


Codificación en sub-bandas frecuenciales

• Algunos métodos de codificación de señales de audio digital o de imágenes se basan enun proceso de diezmado, como es el caso de la codificación en subbandas.

• Este método de codificación permite representar eficazmente a señales de audio y devideo, bien sea para su transmisión o para su almacenamiento. Algunos dispositivoscomerciales como el cassette digital compacto (DCC) utilizan la codificación ensubbandas para el almacenamiento de la información.subbandas para el almacenamiento de la información.

• Esta codificación se basa en una descomposición de la señal en varias bandasfrecuenciales mediante un banco de filtros, codificándose cada una de ellas porseparado y utilizando un numero de bits en la codificación desigual entre las diferentesbandas.

• Como la mayor parte de la energía de la señal esta contenida en las bajas frecuencias, enestas bandas se usan mas bits, mientras que en las bandas de mayor frecuencia se vareduciendo su numero.


Codificación en sub-bandas frecuencialesEl esquema general de un codificador en subbandas es el de la figura (para 4 subbandas):

A medida que se va reduciendo cada vez mas el ancho de banda de cada camino, se puede usar una menor frecuencia de muestreo, lo que permite el diezmado de la señal.


Codificación en sub-bandas frecuencialesLos codificadores son los encargados de asignar un determinado numero de bits a lasmuestras de la señal ya diezmada que aparece a su entrada. Si bien los algoritmos deasignación son variados, básicamente siguen las dos directrices anteriores:

“mas bits para las bajas frecuencias y para las subbandas con niveles energeticos más altos”

El decodificador seguiria el esquema de la siguiente figura:

ss cap9 - diezmado e interpolacion

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