interpolacion 1 sm

7/25/2019 Interpolacion 1 Sm

1/56


2/56

A menudo se conocen los valores de la funcinA menudo se conocen los valores de la funcinff((xx) en) en xx00,, xx11,, xx22,....,,...., xxnn, pero se desconoce la, pero se desconoce la

expresin deexpresin deff((xx).).

El objetivo del captulo es estimarEl objetivo del captulo es estimar ff((xx) para) para

cualuier puntocualuier punto xx! si! si xx se encuentra entre else encuentra entre el

valor menor " ma"or de losvalor menor " ma"or de los xxii se dice ue else dice ue el

problema es laproblema es la interpolacininterpolacin! en cambio! en cambiocuandocuando xx se encuentra fuera del ran#o, else encuentra fuera del ran#o, el

problema es laproblema es la extrapolacinextrapolacin ..


3/56

$as clases de funciones aproximantes son%$as clases de funciones aproximantes son%polinomios, funciones exponenciales,polinomios, funciones exponenciales,

racionales " tri#onom&tricas.racionales " tri#onom&tricas.

En los a'os 11 al 12, *ir EdmundEn los a'os 11 al 12, *ir Edmund

+ittaer en la -niversidad de Edimbur#o,+ittaer en la -niversidad de Edimbur#o,

desarroll la teora de interpolacin en sudesarroll la teora de interpolacin en su

ctedra de /atemtica um&rica.ctedra de /atemtica um&rica.


4/56

/A$A, tiene implementada las funciones ue/A$A, tiene implementada las funciones ueaparecen en la tabla 3.1.aparecen en la tabla 3.1.

Tabla 4.1Tabla 4.1

ombreombre 4escripcin4escripcin

#riddata#riddata

interp1interp1

interp2interp2

interpftinterpft

5ejilla de datos5ejilla de datos

$ooup tabla 14$ooup tabla 14

$ooup tabla 24$ooup tabla 24

6on m&todo 776on m&todo 77


5/56

El pro#rama interp4emo de la fi#ura 3.1, presenta el problema de interpolacin de una manera #rfica (fi#uraEl pro#rama interp4emo de la fi#ura 3.1, presenta el problema de interpolacin de una manera #rfica (fi#ura3.2).3.2).

Fig. 4.2. interDemo.mFig. 4.2. interDemo.m


6/56

function InterpDemo()

% Demo Interpolacion E. Raffo Lecca

x=[0 1 4 6]

!=[1 "1 1 "1]

x0=0#0.10#6

!lin=interp1(x$!$x0$linear)

!&pline=interp1(x$!$x0$&pline)

!cu'ic=interp1(x$!$x0$cu'ic)

% mo&trano rafica

plot(x$!$o) % ato

*ol on %para colocar +ario& plot en una &ola fiura por efault e&

off

plot(x0$!lin$x0$!&pline$x0$!cu'ic) %comano plotear

leen(ato$lineal$&pline$cu'ica$0) %leen( $ $...$

$po&)

% one po&=0$1$,$-$4$"1 %0=el meor luar o autom/tico

title(IER23L5I3)


7/56

8nterpolacin $ineal

$os polinomios interpolantes, son los ue$os polinomios interpolantes, son los uems se usan en los clculos por computadora!ms se usan en los clculos por computadora!

" se basan en plantear un polinomio de #rado" se basan en plantear un polinomio de #radonnue pasa por los puntosue pasa por los puntosxx00,,xx11,,xx22,....,,....,xxnn..

Existen dos m&todos difundidos% el deExisten dos m&todos difundidos% el de LagrangeLagrange" de" deNewtonNewton..


8/56

6onsidere una familia de funciones de una6onsidere una familia de funciones de unavariablevariablexx,,

donde existen (donde existen (nn91) coeficientes%91) coeficientes% aa00,, aa11,, aa22,...,,..., aann..El problemaEl problema radicaradicaen determinar los parmetrosen determinar los parmetros

aaiipara los (para los (nn91) pares de n:meros (91) pares de n:meros (xxii, f, fii),),

ii ; 1,...,; 1,...,nn concon xxii xxkk parapara ii kk, con, con

),...,,!( 10 naaax

,...,0,),...,,!( 10 nifaaax ini ==


9/56

6uando6uando depende linealmente de losdepende linealmente de los aaii % es% es

una poblacin lineal,una poblacin lineal,

au se encuentra la interpolacin polinomialau se encuentra la interpolacin polinomial

)(...)()(),...,,!( 110010 xaxaxaaaax nnn +++=

n

nn xaxaxaaaaax ++++= ...),...,,!( 2

21010


10/56

7orma de $a#ran#e

6onsidere el par de puntos6onsidere el par de puntos((xx00,,ff ((xx00)) " ()) " (xx11,,ff ((xx11))))

aproximado mediante una lnea recta (ver fi#ura 3.).aproximado mediante una lnea recta (ver fi#ura 3.).

7i#. 3..7i#. 3..


11/56

*e observa ue existen < puntos (*e observa ue existen < puntos (nn vale 3) " sevale 3) " seobtiene un polinomio de #rado 3 (ver fi#ura 3.3)obtiene un polinomio de #rado 3 (ver fi#ura 3.3)

7i#. 3.37i#. 3.3

01

01

10

10

01

010

0

0

0

01

01

)()()(

)(

))()()(()()(

)()()()(

xx

xxxf

xx

xxxfxP

xx

xfxfxxxfxP

xx

xfxP

xx

xfxf

+

=

+=

=


12/56

$os ($os (nn91) puntos de91) puntos de xx, donde existe el valor de, donde existe el valor de ff ((xx),),

sern utili=ados para construir un polinomiosern utili=ados para construir un polinomio PP((xx) de) de#rado#rado nn ue interpola aue interpola a ff ((xx) en los puntos) en los puntos xx00,, xx11,,

xx22,...,,...,xxnn, " satisface%, " satisface%

PP((xxii) ;) ;ff ((xxii) ,) , ii; 0, 1,...,; 0, 1,...,nn

-n polinomio de #rado-n polinomio de #rado nnue se anule en todos losue se anule en todos lospuntospuntosxxii, excepto en, excepto enxxkk, resulta%, resulta%

))...()()...()((

)()(

1110

0

nkk

ki

iik

xxxxxxxxxx

xxxg

=

=

+

=


13/56

Adems de %Adems de %

lue#o se define un polinomio de $a#ran#e como%lue#o se define un polinomio de $a#ran#e como%

==

ki

iikkk xxxg

0

)()(

=

=

=

ki

i ik

i

kk

kk

xx

xxxg

xgxL

0

)(

)()(


14/56

4onde se observa ue %4onde se observa ue %

El polinomio de #radoEl polinomio de #rado nnue interpola aue interpola a ff ((xx) en) enxx00,,xx11,,xx22,...,,...,xxnnes %es %

PP((xx) se conoce como forma de $a#ran#e ") se conoce como forma de $a#ran#e " LLkk((xx))

son los polinomios de $a#ran#e en los puntosson los polinomios de $a#ran#e en los puntos xx00,,

xx11,,xx22,...,,...,xxnn..

==

ki

kixL ik

0

1)(

=

=n

k

kk xLxfxP0

)()()(


15/56

-sar la forma de $a#ran#e para producir un-sar la forma de $a#ran#e para producir un

polinomio c:bico " evaluar parapolinomio c:bico " evaluar para xx ; 2 " .; 2 " .

1111

>310

i

i

y

x

))()((

))()((

)(210

210 xxxxxx

xxxxxx

xL

=

))()((

))()(()(

21202

102

xxxxxx

xxxxxxxL

=

))()((

))()(()(

12101

201

xxxxxx

xxxxxxxL

=

))()((

))()((

)(02010

210 xxxxxx

xxxxxx

xL

=


16/56

Evaluando los polinomios de $a#ran#e paraEvaluando los polinomios de $a#ran#e paraxx;2.;2.

PP((xx) ; ?1) ; ?1

ii ff((xxii)) LLii((xx))

00

1122

11

?1?111

?1?1

?0.?0.

1.0>>>@1.0>>>@0.0.

?0.0>>>@?0.0>>>@


17/56

araara xx ; ;

PP() ; 0() ; 0

ii ff((xxii)) LLii((xx))

00

1122

11

?1?111

?1?1

?0.200000.@


18/56

6alcular (1.12), para la tabla %6alcular (1.12), para la tabla %

evaluando los polinomios de $a#ran#e %evaluando los polinomios de $a#ran#e %

PP(1.12); 1.0


19/56

7orma de eCton

En la fi#ura 3. el pro#ramalagrange.m.lagrange.m.


20/56

$a#ran#e$a#ran#e

*uma ; 0*uma ; 0forfor ; 0 to n ; 0 to n

prod1 ; 1prod1 ; 1prod2 ; 1prod2 ; 1forfori ; 0 to ni ; 0 to n

ifif ii thenthenprod1 ; prod1 D (x xFiG)prod1 ; prod1 D (x xFiG)prod2 ; prod2 D (xFG xFiG)prod2 ; prod2 D (xFG xFiG)

$ ; prod1 H prod2$ ; prod1 H prod2*uma ; *uma 9 $ D 7FG*uma ; *uma 9 $ D 7FG

olinomio es i#ual a *umaolinomio es i#ual a *umaEnd $a#ran#eEnd $a#ran#e

Fig. 4.5: Algoritmo de LagrangeFig. 4.5: Algoritmo de Lagrange


21/56

7i#. 3.>% $a#ran#e.m7i#. 3.>% $a#ran#e.m


22/56

*ea un polinomio de #rado n?&simo %*ea un polinomio de #rado n?&simo %

IaciendoIaciendoPPnn((xxii) ;) ;ffii ,, ii; 0,1,...,; 0,1,..., nn

))....()((...

...))(()()(

110

102010

+

+++=

nn

n

xxxxxxb

xxxxbxxbbxP

))(()()(

)()(

)(

10201022

01011

000

xxxxbxxbbxPf

xxbbxPf

bxPf

n

n

n

++==+==

==


23/56

lue#olue#o

02

0112

012

12

12

12

01

01

01

xx

fff

xx

fff

xx

fff

=

=

=

))...()((...

...))(()()(

110......012

100120010

+

+++=

kk

n

xxxxxxf

xxxxfxxffxP


24/56

4e4e ff012....012....kk;;ffFFxx00,,xx11, ...,, ...,xxkkG, se tiene%G, se tiene%

dondedondeff0101...k...kse conoce como diferencia dividida.se conoce como diferencia dividida.

G,....,,F

G,,F

G,F

)(

10

2102

101

00

nn xxxfb

xxxfb

xxfb

xfb

=

=

=

=


25/56

$a primera diferencia dividida se calcula como%$a primera diferencia dividida se calcula como%

la se#unda diferencia dividida, es la diferencia de las dosla se#unda diferencia dividida, es la diferencia de las dosprimeras diferencias divididasprimeras diferencias divididas

ij

ijji

xx

xfxfxxf

=

)()(G,F

ik

jikjkji

xx

xxfxxfxxxf

=

G,FG,FG,,F


26/56

" en #eneral %" en #eneral %

El esuema para las diferencias divididas esEl esuema para las diferencias divididas es

Tabla 4.2: Diferencias divididasTabla 4.2: Diferencias divididas

0

11021210 G,....,,FG,....,,FG,...,,,F

xxxxxfxxxfxxxxf

k

kkk =

nn f

ff

fff

ffff

kkk

x

x

x

x

2)2

12)121

012)012010

2

1

0

21 ==


27/56

*ean los si#uientes valores %*ean los si#uientes valores %

>[email protected]@[email protected]

B>233.1)()(G,F

01

0110 =

==xx

xfxfxxf

[email protected]@1@>

2331.B>233

1.@[email protected]>20B1

0.202@2


30/56

$a forma de eCton es %$a forma de eCton es %

*ean los valores %*ean los valores %

>2B@@.0)2(

)>)(3)(1(00@B>


31/56

$a tabla de diferencias divididas finitas es %$a tabla de diferencias divididas finitas es %

ii xxii yyii 11 22

00

11

22

00

11

33

>>

11

?1?1

11

?1?1

?2.0?2.0

0.>>>>>>>@0.>>>>>>>@

?1.0?1.0

0.>>>>>>>@0.>>>>>>>@

?.?.

?0.1>>>>>>@?0.1>>>>>>@

0.1)2(

)3)(1(1>>>>>>@.0.....

.....)1(>>>>>>>@.0)0(20.1)(

=

+=

P

xxx

xxxxP


32/56

Fig. 4.7 : inteNeton.mFig. 4.7 : inteNeton.m

En la fi#ura 3.@, se presenta la funcinEn la fi#ura 3.@, se presenta la funcin

inteNewton.minteNewton.m! " la 3.B una ejecucin.! " la 3.B una ejecucin.


33/56

Fig. 4.! : "#ec$ci%n de &nteNeton.mFig. 4.! : "#ec$ci%n de &nteNeton.m


34/56

Al#oritmo de eville

-na forma de resolver el problema de interpolacin-na forma de resolver el problema de interpolacines considerar resolver el problema para un peue'oes considerar resolver el problema para un peue'oconjunto de valores " despu&s actuali=ar estasconjunto de valores " despu&s actuali=ar estassoluciones para obtener la solucin completa.soluciones para obtener la solucin completa.

*ea por el conjunto de puntos (*ea por el conjunto de puntos (xxii, f, fii ) ,) , ii ; 0,1,....,; 0,1,....,nn

se denota porse denota por

kiii

P ...10


35/56

al polinomio, dondeal polinomio, donde

5ecursivamente se tiene %5ecursivamente se tiene %

kjfxP jijiiii k ,....,1,0,)(...10 ==

0

110100

10

)()()()()(

)(

.........

ii

iiiiiiiiiii

ii

xx

xPxxxPxxxP

fxP

k

kkk

k

=

=


36/56

El clculo paraEl clculo paraPP012012((xx), viene dado por), viene dado por

)(

)(

)(

2

)(

)(

)(

1

)(

)(

)(

)(

0

012

12

012

2

12

01

22

11

00

2

1

0

xP

xP

xP

xP

xP

xP

k

xPf

xPf

xPf

xPf

k

x

x

x

x

=

=

=

=

=

=

02

012120012

)()()()()(

xx

xPxxxPxxxP

=


37/56

4eterminar4eterminarPP012012(2) %(2) %

1

)

1

1

2

1

1

)

1

1

1

1

1

0

)

2

1

0

=k

01

)1)(12()1)(02()2(01 =

=P

112

)1)(22()1)(12()2(12 =

=P


38/56

12

)1)(2()1)(22()2(

2

=

=P

102

))(22()1)(02()2(012 =

=P

11

)1)(2()1)(12()2(12 =

=P

10

)1)(2()1)(02()2(012 =

=P


39/56

JaciendoJaciendo

se tiene la tablase tiene la tabla

kiiikki PT +++ = ,...,1,,

2

22

1

21

11

0

202

101

000

2

1

0

T

T

T

T

T

T

Tf

Tf

Tf

Tf

x

x

x

x

=

=

=

=


40/56

donde %donde %

niik

xx

xxTTT

xx

TxxTxxT

fT

i

ki

kikiki

kii

kiikikiik

ii

,...,1,0,1,

1

)(

)()(

1,11,1,

1,11,

0

=

+=

=

=


41/56

En la fi#ura 3., se presenta la funcinEn la fi#ura 3., se presenta la funcinNeville.mNeville.m! " su ejecucin en 3.10.! " su ejecucin en 3.10.

Fig. 4.' : Neville.mFig. 4.' : Neville.m


42/56

Fig. 4.1( : "#ec$ci%n de Neville.mFig. 4.1( : "#ec$ci%n de Neville.m


43/56

Error en una

interpolacin polinomial*ea la funcin*ea la funcinff ((xx) " para sus valores) " para sus valores

los cuales son interpolados. -na interpolacin polinomiallos cuales son interpolados. -na interpolacin polinomialPP((xx););PP0...0...nn((xx) con) con

reproducereproduceff ((xx), para el ar#umento), para el ar#umentoxxii. El error es. El error es

para valorespara valoresxxxxii,, ii;0,1,...,;0,1,...,nn..ajo ciertas condiciones es posible acotar el error.ajo ciertas condiciones es posible acotar el error.

nixff ii ,...,1,0,)( ==

nifxP ii ,...,1,0,)( ==

)()( xPxf =


44/56

eorema

*i una funcin*i una funcin ff tiene (tiene (nn91) derivadas! entonces91) derivadas! entonces

para cada ar#umento , existe un n:meropara cada ar#umento , existe un n:mero en elen el

ms peue'o intervaloms peue'o intervalo IIFFxxoo, ....,, ....,xxnn, G ue contiene, G ue contiene

a " a todas las abscisasa " a todas las abscisasxxii, satisfaciendo%, satisfaciendo%

dondedonde

X

X

X

)K1(

)()()()(

)1(

...01 +

=+

n

fXXPXf

n

n

))....()(()( 10 nxxxxxxx =


45/56

As%As%

),,....,Fdonde,@20

L)(L

)(sin

@20

cos))....()(()(sin


46/56

Fig. 4.11 : &nt)ol"rrorFig. 4.11 : &nt)ol"rror


47/56

En la fi#ura 3.11 se presenta la funcinEn la fi#ura 3.11 se presenta la funcin8ntolError para calcular la cota del error en8ntolError para calcular la cota del error en

un a interpolacin polinomial.un a interpolacin polinomial.

En la fi#ura 3.12 se determina el error paraEn la fi#ura 3.12 se determina el error para

xx00;1 en;1 enff ((xx) ; cos) ; cosxx


48/56

8nterpolacin por pie=a

$a interpolacin polinomial es #lobal! es$a interpolacin polinomial es #lobal! es

decir se usa una funcin polinomial paradecir se usa una funcin polinomial parapasar a trav&s de todos los datos.pasar a trav&s de todos los datos.

6uando se adicionan nuevos puntos, se6uando se adicionan nuevos puntos, se

reuiere de incrementar el #rado delreuiere de incrementar el #rado delpolinomio.polinomio.


49/56

4esde 1,>0, un m&todo alternativo se Ia4esde 1,>0, un m&todo alternativo se IaIecIo mu" popular% las funciones polinomialesIecIo mu" popular% las funciones polinomiales

por pie=a (pieceCise pol"nomial functions).por pie=a (pieceCise pol"nomial functions).

$os spline c:bicos " los Iermite son ejemplos$os spline c:bicos " los Iermite son ejemplos

de estas funciones.de estas funciones.

$os spline son usados para resolver ecuaciones$os spline son usados para resolver ecuaciones

diferenciales.diferenciales.


50/56

8nterpolacin lineal de Jermite

-na funcin polinomial lineal por pie=a-na funcin polinomial lineal por pie=a

definida para lasdefinida para las xx, con la propiedad ue $(, con la propiedad ue $(xx))

es una lnea uebrada entrees una lnea uebrada entre xxii"" xxii9191! vale decir! vale decirue $(ue $(xx) permite diferentes lneas entre cada) permite diferentes lneas entre cada

par de jun tas ad"acentes (del in#l&s Mnots,par de jun tas ad"acentes (del in#l&s Mnots,

joints o breapoints).joints o breapoints).


51/56

$a propiedad$a propiedad

indica ueindica ue

niyxL ii ,...,2,1,0,)( ==

1,....,2,1,0,

,)(

1

11

1

1

=

+

= +

++

+

+

ni

xxx

xx

xxy

xx

xxyxL

ii

ii

ii

ii

ii


52/56

Fig. 4.14 : *ermiteL.mFig. 4.14 : *ermiteL.m


53/56

En la fi#ura 3.13, se presenta la funcinEn la fi#ura 3.13, se presenta la funcin

Jermite$.m para el Jermite lineal. En laJermite$.m para el Jermite lineal. En la

fi#ura 3.1


54/56

Fig. 4.15 : "#ec$ci%n de *ermiteL.mFig. 4.15 : "#ec$ci%n de *ermiteL.m


55/56

-n polinomio interpolante por pie=a, tiene por-n polinomio interpolante por pie=a, tiene por

propiedad ue si los valores depropiedad ue si los valores de yyii son conocidosson conocidosdesde una funcin conocidadesde una funcin conocida gg((xx), se pueden), se puedenadicionar ms puntos entreadicionar ms puntos entre xx00 "" xxnn ! " el! " el

interpolante conver#e a la funcin ori#inal.interpolante conver#e a la funcin ori#inal.

*i los datos*i los datos yyii son valores de la funcinson valores de la funcin gg((xx), "), "

tiene una se#unda derivada continua, se demuestratiene una se#unda derivada continua, se demuestraueue

)(L)NN(LmaxL)()(L

22

B1 hOxghxgxL =


56/56

En la fi#ura 3.1, se presenta el polinomioEn la fi#ura 3.1, se presenta el polinomiointerpolan te para los puntos (interpolan te para los puntos (x,yx,y) %) %

1111

>310

y

x

interpolacion 1 sm

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