interpolacion de splinessssss
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Interpolacion polinómica
Introducción :
Dada una función f de la cual se conocen sus valores en un número finito de abscisas
x0,x1,...,xm, se llama interpolación polinómica al proceso de hallar un polinomio pm(x)
de grado m cumpliendo .
A este polinomio se le llama Polinomio interpolador de grado m de la función f.
En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la
construcción de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de
puntos.
En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos
obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función
que los ajuste.
Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de
una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo
resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos
datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos
los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluásemos la función
original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de
interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido.
En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (xk,yk), obtener una función f
que verifique
a la que se denomina función interpolante de dichos puntos. A los puntos xk se les
llama nodos. Algunas formas de interpolación que se utilizan con frecuencia son la
interpolación lineal, la interpolación polinómica (de la cual la anterior es un caso
particular), la interpolación por medio de spline o la interpolación polinómica de
Hermite.
Motivación del polinomio interpolador
La interpolación polinómica es un método usado para conocer, de un modo
aproximado, los valores que toma cierta función de la cual sólo se conoce su imagen en
un número finito de abscisas. A menudo, ni siquiera se conocerá la expresión de la
función y sólo se dispondrá de los valores que toma para dichas abscisas.
El objetivo será hallar un polinomio que cumpla lo antes mencionado y que permita
hallar aproximaciones de otros valores desconocidos para la función con una precisión
deseable fijada. Por ello, para cada polinomio interpolador se dispondrá de una fórmula
del error de interpolación que permitirá ajustar la precisión del mismo
Una representación visual de una situación donde las segmentarias son interpolaciones
polinomiales de orden superior. La función que habrá de ajustarse pasa por un
incremento súbito en x = 0. Los incisos a) a c) indican que e cambio abrupto induce
oscilaciones a interpolar polinomiales. En contraste, como las curvas se limitan a tercer
orden con transiciones suaves, la segmentaria cúbica d] proporciona una aproximación
mucho más aceptable.
INTERPOLACIÓN DE SPLINES
(interpolacion segmentaria)
Introducción :
El término "spline" hace referencia a una ámplia clase de funciones que son utilizadas
en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, y/o un alisado en la
interpolación. Los splines son utilizados para la interpolación y/o alisado de datos de
una o varias dimensiones. Las funciones para la interpolación por splines normalmente
se determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de requisitos
limitadores.
En este artículo nos referiremos con el término "spline" a su versión restringida en una
dimensión y polinomial, que es la más comunmente utilizada.
definición:
En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines
porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de
bajo grado a la vez que se evitan las oscilaciones, que en la mayoría de las aplicaciones
resultan indeseables, que aparecen al interpolar mediante polinomios de grado elevado.
Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La
simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen
populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno
de los gráficos por ordenador.
Dados los puntos p0(x0,y0), p1(x1,y1), ..., pn(xn,yn), obtenidos de forma experimental o de
la gráfica de una función (f(xi)=yi, i=0,1,...,n), vamos a determinar la función
interpolante s(x), que en este caso tendrá la forma
s(x) = qk(x), x [xk,xk+1], k=0,1,...,n-1
donde qk(x) es un polinomio definido en el intervalo [xk,xk+1], k=0,1,...,n-1. La
determinación de la función s(x) se lleva a cabo a partir de las condiciones de
interpolación
s(xk) = yk, k=0,1,...,n
y ciertas condiciones de suavidad.
Observación:
Como ya se ha mencionado, una de las principales utilidades de la interpolación es la de
evaluar el experimento o la función a aproximar en un valor z distinto de los nodos de
interpolación. En este caso, esa evaluación es un proceso sencillo en el que, quizás, lo
más importante es determinar el subintervalo en el que se encuentra el valor de z
deseado. Un esbozo de programa para evaluar s(x) en x=z es el siguiente:
Evaluacion de spline
k=1;
fin=1;
while (kn) & (fin= = 1)
T=z-xk;
if T<0
s(z)=qk-1(z);
disp([‘Valor del spline en z’,num2str(s(z))]);
fin=0;
else
k=k+1;
end
end
Una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido sobre un
subintervalo, que se unen entre sí obedeciendo a ciertas condiciones de continuidad.
Supongamos que disponemos de n+1 puntos, a los que denominaremos nudos, tales
que . Supongamos además que se ha fijado un entero .
Decimos entonces que una función spline de grado k con nudos en es
una función S que satisface las condiciones:
(i)
en cada intervalo , S es un polinomio de grado menor o igual a k.
(ii)
S tiene una derivada de orden (k-1) continua en .
Los splines de grado 0 son funciones constantes por zonas. Una forma explícita de
presentar un spline de grado 0 es la siguiente:
Los intervalos no se intersectan entre sí, por lo que no hay ambigüedad en la
definición de la función en los nudos. Un spline de grado 1 se puede definir por:
En las figuras (16) y (17) se muestran las gráficas correspondientes a los splines de
grado cero y de grado 1 respectivamente.
Fig. 16 spline de grado 0 con 6 puntos
Fig.17 spline de grado 2 con 6 puntos
Terminamos este capítulo, estudiando un tipo de interpolación que ha demostrado poseer una gran finura,
y que inclusive es usado para el diseño por computadora, por ejemplo, de tipos de letra.
Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. La idea central es que
en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y
unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación.
Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más adecuadas para
aplicaciones como la mencionada anteriormente.
Así pues, podemos decir de manera informal, que una funcion spline está formada por varios polinomios,
cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad.
spline Lineal
( P(x) = ax + b.)
Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la que se nos
dan un número N de pares (x,f(x)) por los que tendrá que pasar nuestra función
polinómica P(x). Esta serie de funciones nuestras van a ser lineales, esto es, con grado
(1) de la forma P(x) = ax + b.
Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de
(N-1) funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que van a
determinarlas. Ahora bien, nuestra función así no va a ser contínua ni por tando
derivable.
Dados los 1n puntos
Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos
mediante segmentos de recta, como sigue:
Claramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado 1. Así, tenemos que para ested
caso:
nnn xxxsixs
xxxsxs
xxxsixs
xs
,
,
,
)(
1
212
101
donde:
i) xs j es un polinomio de grado menor o igual que 1
ii) xs tiene derivada continua de orden k-1=0.
iii) jj yxs
, para nj ,,1,0 .
Por lo tanto, la spline de grado 1 queda definida como :
nnnnnn xxxsixxxxfy
xxxsixxxxfy
xxxsixxxxfy
xs
,,
,,
,,
1111
211121
100010
donde ],[ ji xxf
es la diferencia dividida de Newton.
Observación:
Dados los puntos p0(x0,y0), p1(x1,y1), ..., pn(xn,yn), la interpolación segmentaria lineal
consiste simplemente en unir los puntos por segmentos de recta, es decir, en el intervalo
[xk,xk+1] la función interplante s(x) está definida como el polinomio de Lagrange o de
Newton de primer grado
o bien
.
De esta forma el spline interpolante queda definido de la forma
s(x) = qk(x), x [xk,xk+1], k=0,1,..., n-1.
Ejemplo 1.
Consideremos la función de Runge , x [-1,1].Tomemos los nodos de
interpolación equiespaciados x = -1, -0.75, -0.5, -0.25, 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1. Observemos
en las gráficas las aproximaciones de f(x) por el polinomio de interpolación de grado 8
y por el spline lineal definido a partir de los nodos dados.
-1 -0.5 0 0.5 1-2
-1
0
1Polinomio de Interpolación - Función de Runge
f(x)
Polinomio
-1 -0.5 0 0.5 10
0.5
1Spline Lineal - Función de Runge
Ejemplo 2.
Interpolar con splines f(x) = 1 / x ,, en los puntos en los que x vale 1, 2 y 4
f(1) = 1
f(2) = 0.5
f(4) = 0.25
P1(x) = ax + b --> 1 = a + b,, 0.5 = 2a + b
a = - 0.5, b = 1.5
Luego P1(x) = - 0.5x + 1.5
P2(x) = ax + b --> 0.5 = 2a + b,, 0.25 = 4a + b
a = - 0.125, b = 0.75
Luego P2(x) = - 0.25x + 0.75
Interpolación SPLINE Cuadrática
(P(x) = ax² + bx + c)
En este caso, los polinomios P(x) a través de los que construímos el Spline tienen grado
(2) Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax² + bx + c
Como en la interpolación segmentaria lineal, vamos a tener N-1 ecuaciones (donde N
son los puntos sobre los que se define la función). La interpolación cuadrática nos va a
asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos P(x) va a ser
contínua, ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio, vamos a
determinar como condiciones:
1. Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las
dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno
de estos puntos.
2. Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función
definida a trozos que pasa por tal punto común.
Esto sin embargo no es suficiente, y necesitamos una condición más. ¿Por qué?.
Tenemos 3 incógnitas por cada P(x). En un caso sencillo con f(x) definida en tres
puntos y dos ecuaciones P(x) para aproximarla, vamos a tener seis incógnitas en total.
Para resolver esto necesitaríamos seis ecuaciones, pero vamos a tener tan sólo cinco:
cuatro que igualan el P(x) con el valor de f(x) en ese punto (dos por cada intervalo), y la
quinta al igualar la derivada en el punto común a las dos P(x).
Se necesita una sexta ecuación,¿de dónde se extrae? Esto suele hacerse con el valor de
la derivada en algún punto, al que se fuerza uno de los P(x).
Ejemplo1.
Para aclarar bien la idea, veamos un ejemplo concreto, consideremos los siguientes datos :
Y procedamos a calcular la interpolación por splines de grado 2.
Primero que nada, vemos que se forman tres intervalos :
9,7
7,5.4
5.4,3
En cada uno de estos intervalos, debemos definir una función polinomial de grado (2) como sigue:
9,7
7,5.4
5.4,3
332
3
222
2
112
1
xsicxbxa
xsicxbxa
xsicxbxa
xs
Primero, hacemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos. Es decir, se debe cumplir que:
5.0)9(,5.2)7(,1)5.4(,5.2)3( ssss
Así, se forman las siguientes ecuaciones:
5.2395.2)3( 111 cbas
15.4)5.4(
15.4)5.4(1)5.4(
2222
1112
cba
cbas
5.2749
5.27495.2)7(
333
222
cba
cbas
5.09815.0)9( 333 cbas
Hasta aquí, tenemos un total de 6 ecuaciones vs. 9 incógnitas.
El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas contínuas. En el caso de las splines de grado 2,
necesitamos que la spline tenga derivada contínua de orden k-1=1, es decir, primera derivada continua.
Calculamos primero la primera derivada:
9,72
7,5.42
5.4,32
33
22
11
xsibxa
xsibxa
xsibxa
xs
Vemos que esta derivada está formada por segmentos de rectas, que pudieran presentar discontinuidad
en los cambios de intervalo. Es decir, las posibles discontinuidades son 5.4x y 7x . Por lo tanto
para que xs sea contínua, se debe cumplir que:
2211 5.425.42 baba
o lo que es lo mismo,
2211 99 baba
También debe cumplirse que:
3322 7272 baba
o lo que es lo mismo,
3322 1414 baba
Así, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 9 incognitas; esto nos da un grado de libertad para elegir
alguna de las incógnitas. Elegimos por simple conveniencia 01 a .
De esta forma, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 8 incógnitas. Estas son las siguientes:
3322
221
333
333
222
222
11
11
1414
9
5.0981
5.2749
5.2749
15.425.20
15.4
5.23
baba
bab
cba
cba
cba
cba
cb
cb
Este sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma matricial:
0
0
5.0
5.2
5.2
1
1
5.2
0114011400
00001901
198100000
174900000
000174900
00015.425.2000
00000015.4
00000013
3
3
3
2
2
2
1
1
c
b
a
c
b
a
c
b
Usando Matematica se obtiene la siguiente solución:
3.91
6.24
6.1
46.18
76.6
64.0
5.5
1
3
3
3
2
2
2
1
1
c
b
a
c
b
a
c
b
Sustituyendo estos valores (junto con 01 a ), obtenemos la función spline cuadrática que interpola la
tabla de datos dada:
9,73.916.246.1
7,5.446.1876.664.0
5.4,35.5
2
2
xsixx
xsixx
xsix
xs
La gráfica que se muestra a continuación, contiene tanto los puntos iniciales de la tabla de datos, así
como la spline cuadrática. Esta gráfica se generó usando Matematica.
Ajuste segmentario de un conjunto de cuatro puntos, a) Segmentaria lineal, b)
segmentaria cuadrática y c) segmentaria cúbica, se gráfica también con una
interpolación polinomial cúbica.
3 4.5 7 9
-1
1
2
3
4
5
Condición Natural de los Splines ( MATLAB)
Para fijar los dos grados de libertad en el spline, requerimos que s(x) sea lineal en los
intervalos lo cual es equivalente a las condiciones .
Tenemos ahora el siguiente sistema de ecuaciones Am=d para las restantes
desconocidas donde:
Note que la matriz de coeficientes de este sistema es tridiagonal y simétrica lo que hace
que el spline s(x) pueda ser calculado en forma eficiente. El siguiente programa en
MATLAB ensambla la matriz y lado derecho según definidos arriba y resuelve el
sistema para determinar los M's:
%
% Los datos estan dados por los vectores x=[x(1) … x(n)] , y=[y(1) … y(n)]
%
n=length(x)
dx=x(2:n)-x(1:n-1);
yp=(y(2:n)-y(1:n-1))./dx;
a=sparse([1:n-2],[1:n-2],(dx(1:n-2)+dx(2:n-1))/3,n-2,n-2);
udiag=sparse([1:n-3],[2,n-2],dx(2:n-2)/6,n-2,n-2);
a=udiag'+a+udiag;
d=yp(2:n-1)-yp(1:n-2);
m=a\d;
La función spline de MATLAB se utiliza para calcular el spline s(x) directamente. En el
siguiente ejemplo los datos se obtienen dividiendo el intervalo [-5,5] en seis
subintervalos y evaluamos la función atan (tangente inversa) en los puntos de la
partición. Luego construimos el spline que interpola en estos puntos y lo graficamos:
%
% Divide el intervalo [-5,5] en cinco pedazos generando asi seis puntos
%
x=linspace(-5,5,6);
%
% Evalua la función atan en los puntos de la partición
%
y=atan(x);
%
% Calcula la representación del spline que interpola a los datos
%
pp=spline(x,y);
%
% Calcula 100 puntos en el intervalo [-5,5] para las graficas
%
z=linspace(-5,5,100);
%
% Evalua el spline y la función atan en los 100 puntos
%
sval=ppval(pp,z);
y1=atan(z);
%
% Grafica el spline, atan, y los puntos de interpolación en un mismo
% sistema de coordenadas
%
plot(z,sval,z,y1,x,y,'+')
xlabel('x');
ylabel('y');
title('atan(x) en violeta y s(x) en amarillo')
Notación usada para derivar segmentarias cuadráticas. Observe que hay n
intervalos y n + 1 datos. El ejemplo mostrado es para n = 3.
SPLINES de grado "n"
Se trata de encontrar una función f tal que:
la función f es de la forma: f=Polinomio(x,y). La interpolación más sencilla es la correspondiente a un
polinomio de primer grado cuya expresión será:
Si se aumenta el grado del polinomio, será factible conseguir que, además de ser continua la función, sean
continuas sus derivadas. En el caso particular de un polinomio de segundo grado, la expresión del
interpolante será:
Dada nuestra tabla de datos,
donde suponemos que nxxx 10 , y dado k un número entero positivo, una función de
interpolación spline de grado k, para la tabla de datos, es una función )(xs tal que :
i) ii yxs )(, para toda ni ,,1,0 .
ii) xs es un polinomio de grado k en cada subintervalo ii xx ,1 .
iii ) xs tiene derivada contínua hasta de orden 1k en nxx ,0 .
EJERCICIOS DE SPLINES
1.- Dados b_0=(0,0), b_1=(1,1), b_2=(2,4) y b_3=(3,0), y la sucesión de tiempos u_0=0,
u_1=1 y u_2=2, hallar b_4, b_5 y b_6 para construir una curva spline dada por
B[b_0,b_1,b_2,b_3; (u-u_0)/(u_1-u_0)], u en [u_0, u_1]
B[b_3,b_4,b_5,b_6; (u-u_1)/(u_2-u_1)], u en [u_1, u_2]
que sea continua y derivable.
Solución:
Por el modo en que se están construyendo los trozos de la curva, sale continua: el punto
donde termina el primer trozo, b_3, coincide con el punto donde empieza el segundo
trozo, b_3 de nuevo.
Falta ver que la curva sea derivable. Como los trozos se construyen como curvas de
Bezier, son directamente derivables. Lo único que habría que comprobar es que la
derivada del primer trozo en el tiempo u_1 coincida con la derivada del segundo trozo
en el tiempo u_1. Derivamos:
d/du( B[b_0,b_1,b_2,b_3; (u-u_0)/(u_1-u_0)])|u_1=
= d/dt( B[b_0,b_1,b_2,b_3; t])|(t=1) . d/du ((u-u_0)/(u_1-u_0))=
= 3(b_3-b_2). 1/(u_1-u_0)
d/du( B[b_3,b_4,b_5,b_6; (u-u_1)/(u_2-u_1)])|u_1=
= d/dt( B[b_3,b_4,b_5,b_6; t])|(t=0) . d/du ((u-u_1)/(u_2-u_1))=
= 3(b_4-b_3). 1/(u_2-u_1)
e igualamos 3(b_3-b_2). 1/(u_1-u_0)= 3(b_4-b_3). 1/(u_2-u_1), es decir,
(b_4-b_3)/(b_3-b_2)= (u_2-u_1)/(u_1-u_0)
De esta fórmula conocemos todos los datos menos b_4, así que lo despejamos:
(b_4-(3,0))/((3,0)-(2,4))= 1, de donde,
b_4=(1,-4)+(3,0)=(4,-4)
Los puntos b_5 y b_6 se pueden colocar en cualquier parte, porque ya nos hemos
asegurado de que la curva es continua y derivable.
2.- Dados los tiempos u_0=1, u_1=3, u_2=5 y u_3=6 y el polígono de De Boor:
b_0=(0,0), b_1=(1,2), b_3=(2,4), b_5=(3,6) y b_6=(5,5),
(i) Hallar los puntos que faltan para poder calcular la curva C1-spline
cuadrática.
(ii) Hallar la expresión del trozo de la curva con u en [3,5] (el segundo trozo de
la curva, reparametrizado a [3,5]).
(iii) Calcular la derivada de la curva en u=5 sin calcular explícitamente la
ecuación de la curva.
(iv) Si cambiamos b_6 por (0,0), nos saldrá una curva cerrada. ¿Esta curva es
derivable?
Solución:
(i) Los puntos que faltan son b_2 y b_4. Se calculan a partir de los puntos anterior y
siguiente mediante las fórmulas:
b_2= b_1. (u_2-u_1)/[(u_1-u_0)+(u_2-u_1)]+ b_3. (u_1-u_0)/[(u_1-u_0)+(u_2-u_1)]
b_4= b_3. (u_3-u_2)/[(u_3-u_2)+(u_2-u_1)]+ b_5. (u_2-u_1)/[(u_3-u_2)+(u_2-u_1)]
En nuestro caso: b_2=(1,2).1/2 + (2,4). 1/2= (3/2, 3).
b_4=(2,4). 1/3 + (3,6). 2/3= (8/3, 16/3)
(ii) Nos piden el trozo de curva cuando el tiempo se mueve entre 3 y 5. Eso corresponde
a
s_1=B[b_2,b_3, b_4; (u-3)/2]
Calculamos primero B[b_2,b_3, b_4; t] y luego lo reparametrizamos:
B[b_2,b_3, b_4; t]=b_2.(1-t)^2+ (2,4).2t(1-t)+ (8/3, 16/3) t^2=
=(1/6 t^2+ t +3/2, 1/3 t^2 + 2t + 3)
Reparametrizamos haciendo t=(u-3)/2 y nos sale:
B[b_2,b_3, b_4; (u-3)/2]=(3/8+ u/4 + u^2/24, 3/4 + u/2 + u^2/12)
(iii) Nos piden el cálculo de la derivada sin hallar la ecuación de la curva. Para eso, nos
damos cuenta de que u=5 es “el final” de la cuva asociada a los puntos b_2, b_3 y b_4,
y usamos que
d/du( B[b_2,b_3,b_4; (u-3)/2 )|(u=5)= d/dt( B[b_2,b_3,b_4; t )|t=1) . d/du (u-3)/2=
= 2(b_4-b_3). 1/2 = 2 [(8/3, 16/3)-(2,4)] . 1/2= (2/3, 3/4).
Otra opción es pensar que u=5 es “el principio” de la curva asociada a b_4, b_5 y b_6:
d/du( B[b_4,b_5,b_6; (u-5)/1 )|(u=5)= d/dt( B[b_4,b_5,b_6; t )|t=0) . d/du (u-5)/1=
= 2(b_5-b_4). = 2 [(3,6) - (8/3, 16/3)]= (2/3, 3/4).
Vemos que sale lo mismo haciendo los cálculos de cualquiera de las dos formas.
(iv) Para que la curva sea derivable, la derivada del último trozo en el nuevo b_6 tiene
que ser la misma que la derivada del primer trozo en b_0, es decir, se tiene que cumplir
2(b_1-b_0)/(u_1-u_0)= 2(b_6-b_5)/(u_3-u_2)
Sustituyendo por los datos que tenemos y haciendo que b_6=(0,0), comprobamos
2. (1,2)/ 2= ¿? = 2 (-(3,6))/ 1,
es decir,
(1,2)= ¿? = (-6, -12)
Claramente esta igualdad no es cierta, así que aunque la curva salga cerrada, no es
derivable en el punto de unión.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Encontrar el grado del polinomio que se puede representar al conjunto de valores de
la siguiente tabla:
X -5 -2 1 4 7 10 13 16
F(X) 0 15 18 15 12 15 30 63
a) Encontrar el polinomio que define la función
b) El valor de la función en X=5
2. Los datos contenidos en la siguiente tabla fueron tomados de un cohete disparado
verticalmente de la superficie de la tierra.
Tiempo (Seg) 0 60 120 180 240 300
Velocidad (millas/Seg) 0 0.0824 0.2147 0.6502 1.3851 3.2229
a) Calcular la velocidad del cohete cuando el tiempo sea de 90 seg. utilizando
interpolación de segundo y tercer grado.
b) En que instante el cohete alcanza una velocidad de 0.1 millas por segundo
Extras
c) Calcular la aceleración del cohete a 150 seg.
d) Calcular el desplazamiento del cohete a los 260 seg.
3. Cada 10 años se toma un censo de la población de los Estados Unidos de América. A
continuación se muestra una tabla con los datos en miles de personas de la población de
1930 hasta 1980.
Año 1930 1940 1950 1960 1970 1980
Población (miles) 123,203 131,669 150,697 179,323 203,212 226,505
a) Utilizando interpolación de Lagrange. Estime la población de EU en 1965 con un
polinomio de interpolación de 3 grado.
b) Use el método de diferencias divididas de tercer grado para estimar la población en el
año de 1975. Calcule por Interpolación de Lagrange y compare el resultado.
c) La población en 1920 fue de aproximadamente 105,711,000 . Encuentre el valor por
interpolación y compárelo con el valor real.
4. Una resistencia eléctrica R se sometió a diferentes temperaturas y se obtuvieron las
siguientes mediciones de su resistencia:
ºC 10 15 20 25 30 35 40
Ohm 98 99.5 103 107 112 116 122
determinar el valor probable de la resistencia a una temperatura de 28 ºC utilizando
interpolación de Newton de 3 grado.
5. La población ganadera en México durante varios años fue la siguiente:
Año 1965 1966 1968 1969 1970
Población Ganadera 143.5 155.1 201.8 211.0 216.5
(Miles de cabezas)
Determinar la población en año de 1967 por interpolación de Segundo y tercer grado.
Comparar el resultado con el valor real de 163.6 miles de cabezas.