Lic. Elizabeth Ramos Saira

INTRODUCCION El problema de la interpolacin consiste en estimar el valor de una funcin en un punto a partir de valores conocidos en puntos cercanos. Para obtener esta estimacin se aproxima la funcin con polinomios ya que son fciles de evaluar y por el hecho fundamental de que dados n+1 puntos de abscisa distinta, (x0, y0), (x1, y1),..., (xn, yn), existe exactamente un polinomio Pn(x) de grado no superior a n, que pasa por dichos puntos, es decir Pn(xi) = yi para i = 0, , n .

As, el problema de interpolacin consiste en la obtencin de un polinomio, llamado polinomio de interpolacin, de grado menor o igual que n que pasa por n+1 puntos (xi,yi), i=0,1,...,n, tambin llamados nodos de interpolacin. Plantearemos tres formulaciones diferentes para este problema que nos llevan al mismo polinomio interpolador:1) Planteando directamente las condiciones anteriores se obtiene un sistema de ecuaciones lineales con solucin nica, pero generalmente mal condicionado o de difcil solucin si el nmero de puntos es elevado

2) Los polinomios de Lagrange permiten obtener una expresin explcita del polinomio de interpolacin cuyo inters es ms bien terico, pues es difcil de evaluar en puntos concretos. 3) Numricamente es mucho ms til la forma de Newton del polinomio de interpolacin. Aunque no tiene expresin explcita, su obtencin es ms estable que por los mtodos anteriores, su evaluacin no presenta los inconvenientes de los polinomios de Lagrange, y sobre todo, se puede actualizar fcilmente si se aaden nuevos nodos de interpolacin.

Teorema (Teorema de la aproximacin de Weierstrass)Si f est definida y es continua en [a, b], dado > 0 , existe un polinomio P definido en [a, b], con la propiedad de que /f (x) P(x)/

Interpolacin PolinmicaUn problema de interpolacinInterpolacin lineal y cuadrticaForma normal del polinomio de interpolacin ( Mtodo de serie de potencias).Forma de Lagrange.Forma de Newton.Tabla de diferencias divididasEvaluacin y error del polinomio de interpolacin Conclusiones y alternativas

Mtodo de Serie de Potencias

EjemploMidiendo la temperatura ambiente a distintas horas del da hemos obtenido la siguiente tabla

.Sea T=f(t) la funcin (desconocida) que da la temperatura ambiente en cada instante t. Para estimar la temperatura en un instante t que no aparece en la tabla, aproximaremos la funcin f mediante polinomios de interpolacin.

Hora

6

8

10

12

14

16

18

20

Grados

7

9

12

18

21

19

15

10

Estos polinomios se determinan exigiendo que coincidan con f en alguno de los valores tabulados. Si exigimos que pase por dos puntos, obtenemos una recta, o sea un polinomio de grado 1. Si hacemos que pase por tres puntos, queda un polinomio de grado 2, y as sucesivamente podemos ir aadiendo puntos e incrementando el grado.

Evolui de la temperatura diurna468101214161820226810121416182022HoraGrados

Hora

6

8

10

12

14

16

18

20

Grados

7

9

12

18

21

19

15

10

El modo ms simple de estimar la temperatura a las 13 horas es tomar la media entre las temperaturas de las 12h y las 14h, que es de 19.5. Para otros instantes en el mismo intervalo tomamos una media ponderada, o geomtricamente hablando, la ordenada de la recta que pasa por (12,18) y por (14,21). La ecuacin general de la recta es P1(x) = a0 + a1x. Exigiendo que pase por los puntos (x0, y0) y (x1, y1) obtenemos un sistema de ecuaciones lineales

a0 + a1x0 = y0 a0 + a1x1 = y1Interpolacin lineal

En nuestro ejemplo tenemos el sistema a0 + 12a1 = 18 a0 + 14a1 = 21cuya solucin es a0 = 0 y a1 = 3/2. Luego reemplazando en nuestro polinomio de grado uno tenemos P1(x) = 0 + 3/2 x

Grfico de la temperatura en Matlab% Horat = [6 8 10 12 14 16 18 20]'% TemperaturaT = [7 9 12 18 21 19 15 10]'plot(t,T,'*'), gridxlabel('Horas'), ylabel('Grados')

Recta que pasa por los puntos (x0,y0) y (x1,y1)

5101520510152025HoraGrados

a0 + 12a1 = 18a0 + 14a1 = 21

a0 + a1x0 = y0a0 + a1x1 = y1

P1(x) = a0 + a1x

Tomando un polinomio de mayor grado, podemos imponer ms condiciones para tener en cuenta la evolucin de la temperatura alrededor del intervalo [12,14].El polinomio de grado dos P2(x) = a0 + a1x + a2x2que pasa por (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2) se determina anlogamente resolviendo el sistema.

Interpolacin cuadrtica

a0 + a1x0 + a2x02 = y0 a0 + a1x1 + a2x12 = y1 a0 + a1x2 + a2x22 = y2En nuestro ejemplo, tomando los puntos (10,12), (12,18) y (14,21) queda un sistema cuya expresin matricial es

A=[1 10 100; 1 12 144;1 14 196]

A = 1 10 100 1 12 144 1 14 196

>> det(A) ans = 16

>> b=[12 18 21] b = 12 18 21

>> x=inv(A)*b x = -63 11.25 -0.375P2(x) = -63 + 11.25 x 0.375 x2

X=10:2:14Y=[12 18 21]'A=vander(X)cond(A)p=A\Ypolyval(p,X)x=5:0.1:22; y=polyval(p,x);plot(x,y)

INCRUSTAR Equation.2

a0 + a1x0 + a2x02 = y0a0 + a1x1 + a2x12 = y1a0 + a1x2 + a2x22 = y2

P2(x) = a0 + a1x + a2x2

Polinomio de grado2

Grados

Hora

25

20

15

10

5

20

15

10

5

Polyfit : Comando de Matlab que realiza la misma tarea de interpolar una coleccin de n+1 puntos pares de datos en un polinomio de grado n

x=[1 2 3 4]; y=[3 5 6 7];>> n=length(x);>> c=polyfit(x,y,n-1);>> c=polyfit(x,y,n-1)c = 0.166666666666669 -1.50000000000001 5.33333333333336 -1.00000000000002Para nuestro ejemplo x=[10 12 14]; y=[12 18 21];>> n=length(x);>> c=polyfit(x,y,n-1)

c = -0.375 11.25 -63.0000000000002

Forma normal del polinomio de interpolacin Dados n+1 puntos de abscisas distintas (x0,y0),..., (xn,yn), existe un nico polinomio de grado no superior a n tal que P(xi) = yi, i=1,2,...,n

Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn

Forma de Lagrange del polinomio de interpolacinPolinomios de Lagrange

Existencia del polinomio de interpolacin.

Pn(x) = y0 L0n(x) + y1 L1n(x) + y2 L2n(x) + + yn Lnn(x)

La obtencin del polinomio de interpolacin en forma normal requiere la resolucin de un sistema de ecuaciones lineales, cuyo coste aritmtico es alto y depende del el nmero n de nodos. Para reducir el coste podemos tomar una base del espacio de polinomios ms adecuada, en la que sea ms cmodo imponer las condiciones de interpolacin. Forma de Lagrange del polinomio de interpolacin

La existencia de este polinomio se deriva del resultado anterior, pero puede obtenerse directamente, sin necesidad de resolver un sistemaNuevamente tenemos los datos :El polinomio de interpolacin de Lagrange se plantea como sigue:

Donde los polinomios se llaman los polinomios de Lagrange, correspondientes a la tabla de datos. Como se debe satisfacer que esto se cumple si y para toda , si y para tda .Como se debe satisfacer que esto se cumple si yY as sucesivamente, veremos finalmente que la condicin

se cumple si y . y paa toda para todaEsto nos sugiere como plantear los polinomios de Lagrange. Para ser ms claros, analicemos detenidamente el polinomio De acuerdo al anlisis anterior vemos que deben cumplirse las siguientes condiciones para y para toda

Por lo tanto, planteamos . La constante c se determinar para hacer que se cumpla la primera condicin:

Por lo tanto el polinomio queda definido como: queda definido como:

Anlogamente se puede deducir que: , para Ejemplo 1 Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:

Solucin. Tenemos que: donde

Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda definido como sigue:

EjemploHallar el polinomio interpolador correspondiente a los nodos:

Ejemplo y0 = f(1) = 1,5 y1 = f(2,3) = 3,6 y2 = f(3) = 4,1 x0 = 1 x1 = 2,3 x2 = 3 = 0,3846 x2 2,0385 x + 2,6538

Ejemplo y0 = f(1) = 1,5 y1 = f(2,3) = 3,6 y2 = f(3) = 4,1 x0 = 1 x1 = 2,3 x2 = 3 = -1,0989 x2 + 4,3956 x 3,2967

Ejemplo y0 = f(1) = 1,5 y1 = f(2,3) = 3,6 y2 = f(3) = 4,1 x0 = 1 x1 = 2,3 x2 = 3 = 0.7143 x2 - 2.3571 x + 1.6429

EjemploL0(x)L1(x)L2(x)

Ejemplop(x) = L0(x)y0 + L1(x)y1 + L2(x)y2 = (0,3846 x2 2,0385 x + 2,6538)1,5 +(-1,0989 x2 + 4,3956 x 3,2967)3,6 +(0.7143 x2 - 2.3571 x + 1.6429)4,1= - 0,4505x2 + 3,1022x 1,15165

Ejemplop(x)

Ejemplo y0 = f(1) = 1,5 y1 = f(2,3) = 3,6 y2 = f(3) = 4,1 x0 = 1 x1 = 2,3 x2 = 3Hallar el valor interpolado correspondiente a x = 2Dados los nodos:

Ejemplo y0 = f(1) = 1,5 y1 = f(2,3) = 3,6 y2 = f(3) = 4,1 x0 = 1 x1 = 2,3 x2 = 3= 0,11538

Ejemplo y0 = f(1) = 1,5 y1 = f(2,3) = 3,6 y2 = f(3) = 4,1 x0 = 1 x1 = 2,3 x2 = 3= 1,09890

Ejemplo y0 = f(1) = 1,5 y1 = f(2,3) = 3,6 y2 = f(3) = 4,1 x0 = 1 x1 = 2,3 x2 = 3= - 0,21429

Ejemplop(2) = L0(2)y0 + L1(2)y1 + L2(2)y2 = (0,11538 )1,5 + (1,09890)3,6 + (- 0,21429)4,1p(2) = 3.25055

Forma de Lagrange del polinomio de interpolacinPolinomios de Lagrange

Existencia del polinomio de interpolacin.

Pn(x) = y0 L0n(x) + y1 L1n(x) + y2 L2n(x) + + yn Lnn(x)

ejercicios

Hallar el polinomio interpolador de lagrange :

a) La siguiente tabla resume los datos de alguna observacion

Forma de Newton del polinomio de interpolacinDeterminacin algebraica

VentajasEl sistema es triangularPermite aadir nuevos puntos sin rehacer todos los clculos.

Pn(x0) = y0 = c0

Pn(x1) = y1 = c0+ c1(x1-x0)

Pn(x2) = y2 = c0+ c1(x2-x0) + c2(x2-x0)(x2-x1)

Pn(x) = c0 + c1(x-x0) + c2(x-x0)(x-x1) + ( ( ( + ( ( ( + cn(x-x0)(x-x1) ( ( ( (x-xn-1)

Tabla de diferencias divididas

c0 = f[x0] = y0

INCRUSTAR Equation.2

INCRUSTAR Equation.2

INCRUSTAR Equation.2

Tabla de diferencias divididas

INCRUSTAR Equation.2

12

18

14

21

1.5000

10

12

2.2500

-0.3750

16

19

1.1667

-0.5417

-0.0417

Evaluacin del polinomio de interpolacin

Pn(x) = c0+

c1(x-x0) +

c2(x-x0)(x-x1) +

+ ( (

+ cn(x-x0)(x-x1) ((( (x-xn-1) == ((((((cn((x-x n-1)

+ cn-1)((x-x n-2)

+ cn-2)((x-x n-3)

+ ( ( (

+ c1)((x-x0)

+ c0

Error de interpolacin

ConclusionesEl polinomio de interpolacin suele usarse para estimar valores de una funcin tabulada, en las abscisas que no aparecen en la tabla.El aumento de grado no siempre mejora la aproximacin.El polinomio es muy sensible a los errores de los datos.Alternativas

Mtodo de Mnimos CuadradosInterpolacin polinmica segmentaria. Splines

Tomando un polinomio de mayor grado, podemos imponer ms condiciones para tener en cuenta la evolucin de la temperatura alrededor del intervalo [12,14].El polinomio de grado dos P2(x) = a0 + a1x + a2x2que pasa por (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2) se determina anlogamente resolviendo el sistema.a0 + a1x0 + a2x02 = y0 a0 + a1x1 + a2x12 = y1 a0 + a1x2 + a2x22 = y2En nuestro ejemplo, tomando los puntos (10,12), (12,18) y (14,21) queda un sistema cuya expresin matricial es

La matriz de este sistema se denomina matriz de Van der Monde. Esta matriz es regular (esto es con determinante no nulo) si los xi son todos distintos, pero es mal condicionada para tamaos relativamente pequeos, es decir variaciones pequeas en elementos de la matriz pueden producir grandes variaciones en la solucin. Esto hace desaconsejable la obtencin del polinomio de interpolacin por este mtodo. Adems, la solucin de un sistema lineal de orden n tiene coste cbico O(n3), mientras que, como veremos enseguida, el polinomio de interpolacin puede obtenerse con O(n2) operaciones.

La obtencin del polinomio de interpolacin en forma normal requiere la resolucin de un sistema de ecuaciones lineales, cuyo coste aritmtico es alto y depende del el nmero n de nodos. Para reducir el coste podemos tomar una base del espacio de polinomios ms adecuada, en la que sea ms cmodo imponer las condiciones de interpolacin. Esta base, formada por polinomios Lin(x), i=0,...,n, dependientes de las abscisas x0, x1, ..., xn, de los nodos considerados, nos proporcionar el polinomio de interpolacin sin hacer ni un solo clculo.Sea Lin(x) un polinomio de grado n, que se anule en todos los puntos xj, j = 0, 1, ..., n, salvo en el isimo, donde vale 1; es decir, tal que Li(xj) = 0 si ji y Li(xi) = 1La existencia de este polinomio se deriva del resultado anterior, pero puede obtenerse directamente, sin necesidad de resolver un sistema, gracias a la siguiente frmula debida a Lagrange

Es inmediato comprobar entonces que el polinomioPn(x) = y0 L0(x) + y1 L1(x) + y2 L2(x) + + yn Ln(x)cumple las condiciones Pn(xi) = yi, i=0,1,2...,n., lo que prueba directamente la existencia del polinomio de interpolacin. La unicidad se puede garantizar utilizando el hecho de que un polinomio de grado n puede tener a lo sumo n races. Si dos polinomios de grado n interpolan n+1 puntos, su diferencia se anula en dichos puntos, por lo que slo puede ser el polinomio idnticamente nulo.Combinando las dos ltimas frmulas, obtenemos una expresin explcita del polinomio de interpolacin. El polinomio P2(x) del ejemplo tiene, segn Lagrange, la siguiente expresin:

Las operaciones que nos hemos ahorrado en su determinacin, hemos de pagarlas al evaluar el polinomio en un punto concreto (del orden de n2 operaciones por cada evaluacin). Adems, los productos a efectuar pueden causar overflow y la frmula no es estable numricamente. Cambiaremos los polinomios de Lagrange Lin(x) por otra base que nos proporcione mejores propiedades numricas, a costa de perder la expresin explcita cmoda del polinomio de interpolacin.

La obtencin del polinomio de interpolacin en forma normal requiere la resolucin de un sistema de ecuaciones lineales, cuyo coste aritmtico es alto y depende del el nmero n de nodos. Para reducir el coste podemos tomar una base del espacio de polinomios ms adecuada, en la que sea ms cmodo imponer las condiciones de interpolacin. Esta base, formada por polinomios Lin(x), i=0,...,n, dependientes de las abscisas x0, x1, ..., xn, de los nodos considerados, nos proporcionar el polinomio de interpolacin sin hacer ni un solo clculo.Sea Lin(x) un polinomio de grado n, que se anule en todos los puntos xj, j = 0, 1, ..., n, salvo en el isimo, donde vale 1; es decir, tal que Li(xj) = 0 si ji y Li(xi) = 1La existencia de este polinomio se deriva del resultado anterior, pero puede obtenerse directamente, sin necesidad de resolver un sistema, gracias a la siguiente frmula debida a Lagrange

Es inmediato comprobar entonces que el polinomioPn(x) = y0 L0(x) + y1 L1(x) + y2 L2(x) + + yn Ln(x)cumple las condiciones Pn(xi) = yi, i=0,1,2...,n., lo que prueba directamente la existencia del polinomio de interpolacin. La unicidad se puede garantizar utilizando el hecho de que un polinomio de grado n puede tener a lo sumo n races. Si dos polinomios de grado n interpolan n+1 puntos, su diferencia se anula en dichos puntos, por lo que slo puede ser el polinomio idnticamente nulo.Combinando las dos ltimas frmulas, obtenemos una expresin explcita del polinomio de interpolacin. El polinomio P2(x) del ejemplo tiene, segn Lagrange, la siguiente expresin:

Las operaciones que nos hemos ahorrado en su determinacin, hemos de pagarlas al evaluar el polinomio en un punto concreto (del orden de n2 operaciones por cada evaluacin). Adems, los productos a efectuar pueden causar overflow y la frmula no es estable numricamente. Cambiaremos los polinomios de Lagrange Lin(x) por otra base que nos proporcione mejores propiedades numricas, a costa de perder la expresin explcita cmoda del polinomio de interpolacin.

La forma natural del polinomio de interpolacin o forma normal era difcil de obtener y fcil de evaluar en un punto dado. Por el contrario, la obtencin de la forma de Lagrange era directa, mientras su evaluacin resultaba costosa. Existe una solucin que evite ambos problemas? La respuesta afirmativa nos la proporciona el mtodo de Newton que exponemos a continuacin.Mediante la tcnica de desplazamiento del origen, consideramos como base los polinomios 1, x-x0, (x-x0)(x-x1), ..., (x-x0)(x-x1) (x-xn-1). El polinomio de interpolacin correspondiente tendr ahora la expresinPn(x) = c0 + c1(x-x0) + c2(x-x0)(x-x1) + + cn(x-x0)(x-x1) (x-xn-1)Imponiendo las condiciones de interpolacin, podemos determinar los coeficientes de este polinomio. Pn(x0) = y0 = c0Pn(x1) = y1 = c0+ c1(x1-x0)Pn(x2) = y2 = c0+ c1(x2-x0) + c2(x2-x0)(x2-x1) Pn(xn) = yn = c0+ c1(xn-x0) + c2(xn-x0)(xn-x1) + + cn(xn-x0)(xn-x1) (xn-xn-1)El sistema lineal obtenido tiene una matriz anloga a la de Van der Monde, pero con la ventaja de ser triangular inferior. Los coeficientes pueden determinarse con menos operaciones. Otra similitud con la matriz de Van der Monde, es que el elemento (i,j) es el valor del j-simo polinomio de la base en el (i-1)-simo punto de interpolacin.En nuestro ejemplo, para estimar la temperatura a las 13 h. mediante un polinomio de grado 3, tomamos los 4 puntos ms prximos, que son (12,18), (14,21), (10,12) y (16,19). Imponiendo al polinomio que pase por estos puntos, queda el sistemaP3(12) = 18 = c0P3(14) = 21 = c0+ 2c1P3(10) = 12 = c0- 2c1 + 8c2P3(16) = 19 = c0+ 4c1 + 8c2 + 48c3Resolviendo este sencillo sistema triangular obtenemos los coeficientes del polinomio buscado. La ecuacin del polinomio de grado 3 de la tabla anterior es Una importante consecuencia de la forma de los polinomios de la base considerada es que la adicin de nuevos puntos no afecta a los coeficientes previamente calculados. De este modo, podemos ir aadiendo puntos uno a uno y obtener polinomios de interpolacin de grado creciente sin tener que recalcular los anteriores. En general, cada polinomio se obtiene del anterior mediantePi(x) = Pi1(x) + ci(x-x0)(x-x1) (x-xi1)

La resolucin del sistema triangular anterior por eliminacin de Gauss puede presentar problemas de desbordamiento numrico, como en la evaluacin de los polinomios de Lagrange. Reinterpretaremos el sistema para evitar este problema, obteniendo un algoritmo numricamente estable con un coste similar (del orden de n2).Denotemos por f[x0, x1, ..., xk] el coeficiente de xk en el polinomio de interpolacin de grado k. Por la forma de los polinomios de Newton, tenemos que f[x0, x1, ..., xk] = ckDe la primera ecuacin del sistema se obtiene c0 = f[x0] = y0y de la segunda

Esta expresin se denomina cociente de diferencias o diferencias divididas de primer orden y proporciona el valor de c1 en funcin de los puntos de interpolacin.Los restantes coeficientes del polinomio de interpolacin se obtienen anlogamente a partir de diferencias divididas de mayor orden.As, por ejemplo, c2 viene dado por el cociente en diferencias de orden 2.Diferencias divididas de orden superior nos proporcionarn de modo anlogo los coeficientes de polinomios de mayor grado. En general, el coeficiente ck viene dado por una diferencia dividida de orden k

Esta expresin muestra que las diferencias divididas de orden k dependen de diferencias divididas de primer orden k-1. (En el caso k =1 consideramos f[xi] = yi como una diferencia de orden 0). Estas dependencias determinarn el orden de las operaciones en el algoritmo de clculo de los polinomios de interpolacin.

En la prctica, los clculos se disponen en una tabla de diferencias divididas, colocando en la primera columna los valores de la funcin o diferencias divididas de orden 0, en la segunda columna las diferencias divididas de primer orden, en la tercera columna las de orden 2, y as sucesivamente. La tabla queda de la forma siguiente:

En la diagonal de la tabla aparecen los coeficientes c0, c1, c2, ..., de los polinomios de interpolacin.

Una vez obtenidos estos coeficientes, nos preguntamos cmo evaluar los polinomios de interpolacin en un punto dado x = a. La forma ms eficiente desde el punto de vista numrico es mediante la expresin anidada o regla de horner del polinomio:Pn(x) = c0+ c1(x-x0) + c2(x-x0)(x-x1) + + cn(x-x0)(x-x1) (x-xn-1) = = (((cn(x-x n-1) + cn-1)(x-x n-2) + cn-2)(x-x n-3) + + c1)(x-x0) + c0Las operaciones se efectan teniendo en cuenta la precedencia establecida mediante los parntesis, o sea, comenzando con los ms interiores.

Supongamos que interpolamos una funcin conocida f a partir de sus valores en unos puntos dados, x0, x1, ..., xn. El error cometido al evaluar f(x) mediante el polinomio de interpolacin de grado n, Pn(x) viene dado por

donde est en el menor intervalo que contiene x0, x1, ..., xn. Una consecuencia prctica de la forma del error es que hemos de tomar puntos prximos al punto x en que hemos de evaluar el polinomio. Normalmente, comenzamos con un polinomio de grado bajo, por ejemplo, la recta que pase por los dos puntos ms prximos a x, y vamos aadiendo puntos por orden de proximidad y calculando polinomios de mayor grado, hasta alcanzar la precisin deseada.La derivada que aparece en la expresin anterior puede aproximarse a su vez por un cociente en diferencias, pues se tiene que

para cierto en el menor intervalo que contiene a x0, x1, ..., xn+1.Esta expresin sugiere una regla prctica para decidir qu polinomio interpola mejor n+1 puntos . Si en la tabla de diferencias divididas, los valores de la columna k, por ejemplo, son aproximadamente iguales y los de la columna k+1 son aproximadamente cero, el polinomio interpolador ms adecuado es de grado k. La razn es que el error viene dado por diferencias divididas de la columna siguiente, k+1, que suponemos casi nulas.Los productos que aparecen en la frmula del error nos indican que ste puede ser muy grande si hay muchos puntos o si x no est muy prximo a ellos. Cuando x no est en el menor intervalo determinado por x0, x1, ..., xn, estamos extrapolando, en lugar de interpolando. La interpolacin polinmica aqu estudiada no debe utilizarse para datos con error de medida. En efecto, si tomo n+1 puntos alineados, el polinomio de interpolacin es, en teora, una recta, pero basta una pequea desviacin en uno de los puntos, para que el resultado sea un polinomio de grado n. Si los errores de medida son inevitables debemos recurrir al mtodo de mnimos cuadrados, que analizaremos en una prctica prxima.Cuando una funcin tiene caractersticas muy diferentes a los polinomios, la interpolacin polinmica puede resultar inadecuada. En este caso, como hemos visto con el ejemplo de Runge, el aumento del grado empeora el resultado en vez de mejorarlo.Una alternativa puede ser interpolar mediante funciones de otro tipo. En lugar de polinomios, podemos considerar funciones racionales, por ejemplo. La prctica siguiente explora otra alternativa que consiste en interpolar mediante funciones definidas por intervalos. En cada intervalo, la funcin interpolante es un polinomio de grado bajo, normalmente de 1 a 3. Estas funciones se denominan splines y el mtodo, interpolacin segmentaria.