solucionario onenm 2012 primera fase

2012

JBMP - CAÑETE

J. BORIS MENDOZA PORTOLATINO

ONEM 2012 – NIVEL I

CON MÉTODO SENCILLO DECOMPRENDER

SOLUCIONARIO ONEM 2012 PRIMERA FASE - NIVEL I

Prof.: J. Boris MENDOZA PORTOLATINO Correo: [email protected] RPC: 993074361

Página2

1. Cuando viaje de Lima a Huancayo en bus meinformaron que servían la cena justo a la mitad delviaje. Si salí de Lima a las 06:00 pm y llegue aHuancayo a las 11:20 pm. ¿a qué hora sirvieron lacena?

A. 08:00 pm B. 08:50 pm C. 08:20 pmD. 08:40 pm E. 08:45 pm

RESOLUCIÓN:

CLAVE D

2. Tengo 11 naranjas y 13 manzanas. ¿Cuántas frutasdebo comer como mínimo para que el número demanzanas sea el doble del número de naranjas?

A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 E. 9

RESOLUCIÓN:

Primero hay quesaber cuánto tiempotranscurrió desde quepartimos hasta quellegamos

Y eso es:

11:20 pm - 06:00 pm.Nos da 5horas 20min

Y en la mitad delcamino sirvieron laCENA, es decircuando pasó 2h y40min.

La CENA lo sirvieron alas 6:00 + 2h y 40min.

08:40

Es necesario comeruna cantidad IMPAR

de manzanas para quepueda quedarme una

cantidad par.

También es necesariocomer una ciertacantidad de Naranjas.Sea “X” la cantidad deNaranjas que comeré ysea “Y” la cantidad deManzanas que comeré.

2(11-X) = 13 – Y22 – 2X = 13 – Y

9 = 2X - YAhora busquemos elmínimo.

Para comer la mínima cantidad es necesario que tanto“X” como “Y” sean los mínimos posibles.Eso ocurre cuando X = 5 y Y = 1

CLAVE B



Página3

3. En el colegio Laura tiene cada mañana 6 clases de 1hora pedagógica cada una. Además tiene dos recreosde 20 minutos cada uno. Si se sabe que 1 horapedagógica equivale a 45 minutos y que las clases deLaura empiezan a las 08:00a.m. ¿A qué hora terminanlas clases?

A. 01:20 pm B. 12:30 pm C. 02:40 pmD. 02:10 pm E. 01:10 pm

RESOLUCIÓN:

CLAVE E

4. ¿Cuál de los siguientes números es múltiplo de la sumade sus dígitos?

A. 2012 B. 2013 C. 2014D. 2015 E. 2016

RESOLUCIÓN:

CLAVE E

El tiempo que dura miclase es: 6 clases deuna hora pedagógica+ 2 recreos

Esto es:6x45 + 2x20 = 270+40

= 310 min

310 min es:5 horas y 10min

Luego Salgo a8:00 +5h y 10min

01: 10 pm

Haber:2012 tiene como suma decifras 5

Luego 2012 o5

2013 tiene como suma decifras 6

Luego 2013 o6


Luego 2014 o7


Luego 2015 o8

Por lo tanto la respuestaes 2016 ya que tienecomo suma de cifras a 9Además:

2016 =o9



Página4

5. Dos equipos de futbol, a modo de entrenamiento, pactana jugar 8 partidos durante el verano. En cada partido, elequipo ganador recibe 3 puntos y el perdedor 0 punto.En caso de empate cada equipo recibe 1 punto. Luegode los 8 partidos los dos equipos suman 22 puntos,¿Cuántos partidos terminaron en empate?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

RESOLUCIÓN:

CLAVE B

6. En un salón de clase, el 70% aprobó matemáticas, el80% aprobó comunicación y el 60% aprobó amboscursos. ¿Qué porcentaje no aprobó ninguno de los doscursos?

A. 10% B. 20% C. 30% D. 40% E. 50%

RESOLUCIÓN:

CLAVE A

Llamemos a los equiposA y B, Si el equipo Agana “X” veces,entonces el equipo Bpierde “X” veces

Si el equipo A pierde “Y”veces, entonces elequipo B gana “Y”veces, entonces lospartidos empatadossera 8 –(X+Y)

Se puede hacer una tabla depuntajes

A B PTSGana X Y 3(X+Y)

Pierde Y X 0Empata 8-(X+Y) 8-(X+Y) 16-2(X+Y)

Sumando los puntos de ambosequipos tenemos 16+(X+Y) yesto por dato del problema es22, entonces:16+(X+Y) = 22

(X+Y) = 6 (Entre ganados yperdidos) y como se han jugado8 partidos, entonces empatan 2

Consideremos al totalde alumnos como el100%, y como son doscursos, eso nos da laidea de usar conjuntos.

Mat. Com.

60%

70% 80%

10% 20%

Del gráfico podemosobservar que en losconjuntos hay un totalde 90%, entonces el10% faltante está fuerade ellos (NO APROBÓLOS CURSOS)



Página5

7. Los números de tres dígitos a7b , b8ay 9ac tienensuma 2012. Calcula el valor de b.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7

RESOLUCIÓN:

8. Considere todos los números naturales que usanexclusivamente los dígitos 0, 1, y 2 estos números sonordenados de menor a mayor para formar una listainfinita:

1, 2, 10, 11, 12,…, 2010, 2011, 2012, a, b, c, d,…

Calcula el valor de d – a.

A. 81 B. 88 C. 80 D. 89 E. 82

RESOLUCIÓN:

CLAVE C

Al sumar en formavertical tenemos:

a7b+b8a9ac

2012

En las unidadestenemos que:

a + b + c =…2Ahora podemos pensarque es 2 ,12 o 22

Ahora lo que puedo llevaren la columna de lasdecenas es 2 , 1 o biennada. Con esto se puedededucir en la columna delas decenas que “a” puedeser … 4 , 5 ó 6

Si a + b + c=2Entonces a= 6 (IMPOSIBLE)Si a + b + c= 12Entonces a= 5 y b + c=7y llevaría 2 en las decenasy tendría que a + b = 9por lo que b = 4

Si a + b + c = 22, entonces a = 4 y b + c = 18 , por lo queb= 9 y c= 9 ,además en la columna de las centenastendría que a + b = 9 y como a=4 entonces b= 5 (quecontradice lo anterior)

Por lo tanto b = 4 CLAVE B

Después del 2012continua 2020, 2021,2022, 2100, ….

Entonces a = 2020

d = 2100

d – a = 2100 -2020

d – a = 80



Página6

9. Los números del 1 al 8 deben ser ubicados en loscírculos (uno numero en cada circulo) de tal forma quela suma de los números de tres círculos alineados seasiempre 14. ¿Cuál es el número que debe ser ubicadoen el círculo que está marcado con una X?

A. 1 B. 4 C. 5 D. 6 E. 8

RESOLUCIÓN:

CLAVE E

10. ¿Cuántos días martes, como máximo, puede haber en60 días consecutivos?

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11

RESOLUCIÓN:

D L M X J V S1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 2627 28 29 30 31 1 23 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 2324 25 26 27 28 29 30

CLAVE C

X

7

Como la suma en la cada línea de 3círculos es 14 y al observar la figura nosdamos cuenta que el 7 está al centro detres líneas.Entonces los extremos del 7, tienen quesumar 7, por lo que en ningún extremose encontrará el 8Y el único lugar para el 8 es donde seencuentra la X.

8

1

5 7

4

2

3 6

X = 8

Podemos encontrar lamáxima cantidad de

martes, cuando dichomes empieza en este

día

Y en este año lopodemos encontrar

en los meses deMAYO y JUNIO

Por lo tanto podemos encontrarcomo máximo 9 martes en 60 días

consecutivos



Página7

11. José debe comprar alfajores para 5 personas, dándolea cada uno la misma cantidad de alfajores. En lapanadería solo venden alfajores en cajas de 2 ó 7unidades. ¿Cuántas cajas debe comprar José comomínimo?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

RESOLUCIÓN:

CLAVE E

12. Halla el mayor entero positivo “n ” para el cual secumple que n3 es un divisor del número 112266.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7

CLAVE D

Se compra alfajores para 5personas y a cada uno se

da por igual cantidad, estoquiere decir que se

comprará una cantidadmúltiplo de 5

Se “X” la cantidad de cajasde 2 alfajores y sea “Y” la

cantidad de cajas de 7alfajores.

Luego tendremos:

2X + 7Y =05

Luego:

2X + (2+05) Y =

05

2X + 2Y =05

2(X + Y) =05

X + Y =05

El mínimo es: X + Y = 5

Por ejemplo puedo comprar 3 cajas de 2 alfajorescada uno y 2 cajas de 7 alfajores cada uno y tendría:

3x2 + 2x7 = 6 +14 = 20 alfajores

Empezaremos a resolvereste problema

descomponiendo elnúmero 112266:

11x10000 + 22x100 +6611(10206) = 11x2x36x7

Como podemosapreciar el máximo

valor de “n” es 6



Página8

13. Sea N un número de cuatro dígitos tal que sus cuatroson distintos. Al multiplicar N por 9 se obtiene unnúmero de 4 dígitos, que tiene los mismos dígitos deN pero en orden inverso. Calcula la suma de loscuadrados de los dígitos de N .

A. 112 B. 130 C. 132 D. 146 E. 227

RESOLUCIÓN:

CLAVE D

14. Sean a, b, c dígitos tales que2

ba =3

cb . Calcula elvalor de a + b + c.

A. 11 B. 12 C. 15 D. 18 E. 19

RESOLUCIÓN:

CLAVE A

Sea abcd el número.Luego según el problema:

9 xabcd= dcbaabcdx

9

dcba

1bc9 x9

9cb1

Se tendría que C=7¡NO cumple con los datos!

Se deduce que “a” debeser 1, ya que si fuera otrovalor el resultado ya nosería de 4 cifras

Como a =1 d = 9 yb= 0 ó 1, entonces:C .9 + 8 =…bAdemásSi b= 1

Si b=0, entonces:

Se tendría en C .9 + 8 =…bque: C = 8

¡Cumple con todos los datos!

Luego el número N es: 1089 y la suma del cuadrado desus cifras será: 12+02+82+92= 146

De la condición delproblema se puede observar

que3

ba cb , esto nosquiere decir que cb es uncuadrado perfecto

cb cb 3cb

16 4 6425 5 12536 6 21649 7 34364 8 51281 9 729

Del cuadro anterior podemos ver que el único valor que

cumple las condiciones es cuando cb =16, por lo que

ba=64, luego:

a + b + c = 4 + 6 + 1 = 11



Página9

15. En un concurso de matemática están participandoalgunos colegios con una delegación de 3 alumnospor cada colegio. Todos los alumnos participanteshicieron una cola para recoger sus credenciales.Sandra, Raúl y Tomas son alumnos del mismocolegio. Cuando todos los alumnos estaban en lacola, Sandra se dio cuenta que adelante de ella habíala misma cantidad de alumnos que había detrás deella, además, Raúl y Tomas estaban algunos lugaresmás atrás que ella: Raúl en el lugar 19 y Tomas en ellugar 28. ¿En que lugar estaba Sandra?

A. 14 B. 17 C. 15 D. 18 E. 16

RESOLUCIÓN:

CLAVE B

16. Una lata de café cuesta S/. 10 y se vende a S/. 14, esdecir, ganando el 40% (sobre el precio de costo). Encambio, una lata de cocoa se vende ganando el 20%.Si la cantidad de latas de café vendidas es el doble delas de cocoa, y se sabe que la ganancia total fue del36%, ¿a cuánto se vendió cada lata de cocoa?

A. S/.5, 00 B. S/. 5, 40 C. S/. 5, 80D. S/. 6, 00 E. S/. 7, 20

RESOLUCIÓN:

... … … …

“n” alumnos “n” alumnos

Partimos de que la cantidad de alumnos en la filaes múltiplo de 3. Si Sandra está más adelante queRaúl (que esta en 19º puesto), entonces ella podríaestar en el puesto 18 y delante de ella habría 17alumnos y detrás de ella también (cosa que esimposible) ya que en la fija habría 35 alumnos(que no es múltiplo de 3)

19º 28º

Si Sandra estaría en el puesto 17, entonces lacantidad de alumnos en la fila seria 33 (si es posible),Si estaría en el puesto 16, entonces la cantidad dealumnos en la fila seria 31 (NO es posible), Si estaríaen el puesto 15, entonces la cantidad de alumnos enla fila seria 29 (NO es posible) y si estaría en el puesto14, o antes No sería posible ya que se tendría unacantidad de alumnos que es menor que 28 (que es ellugar que se encuentra TOMAS).

Sandra esta el puesto 17

Sea “X” la cantidad delatas de COCOA.Sea “m” el precio de cadalata de COCOA.

En CAFÉ:El precio de compra es 20Xy se gana 4. (2X)En COCOA:El precio de compra es mX yse gana 20%m.X

Luego:8X+20% m X=36% (20X+m X)

8+20% m =36% (20+m ) 800+20m =36(20+m ) 800+20m =720+36m 80=16m S /.5 =m

Por lo tanto cada lata de lata de COCOASe vende en 5 + 20%5 = S/.6

CLAVE D



Página9


A. 14 B. 17 C. 15 D. 18 E. 16

RESOLUCIÓN:

CLAVE B


A. S/.5, 00 B. S/. 5, 40 C. S/. 5, 80D. S/. 6, 00 E. S/. 7, 20

RESOLUCIÓN:

... … … …



19º 28º





Luego:8X+20% m X=36% (20X+m X)

8+20% m =36% (20+m ) 800+20m =36(20+m ) 800+20m =720+36m 80=16m S /.5 =m


CLAVE D



Página9


A. 14 B. 17 C. 15 D. 18 E. 16

RESOLUCIÓN:

CLAVE B


A. S/.5, 00 B. S/. 5, 40 C. S/. 5, 80D. S/. 6, 00 E. S/. 7, 20

RESOLUCIÓN:

... … … …



19º 28º





Luego:8X+20% m X=36% (20X+m X)

8+20% m =36% (20+m ) 800+20m =36(20+m ) 800+20m =720+36m 80=16m S /.5 =m


CLAVE D



Página10

17. En clase de matemática, el profesor a pedido a susalumnos que encuentran n números enteros cuya sumaes 0 y cuyo producto sea n. Después de variosminutos algunos de sus alumnos dijeron lo siguiente:

Ana dice: Yo creo que no existe un número “n”con esas propiedades.

Beatriz dice: Yo creo que si existe y que dichonumero es par.

Carlos dice: Yo en cambio, creo que “n” debe serimpar.

David dice: Yo creo que “n” puede ser par y quetambién puede ser impar.

¿Cuál de ellos tiene razón?

A. Ana B. Beatriz C. CarlosD. David E. Ninguno tiene razón

RESOLUCIÓN:

CLAVE B

Empecemos el análisisdiciendo que si tengo unasuma formada sólo por1 y -1, estos se podránanular siempre y cuando lacantidad de 1 sea igual a lacantidad de -1

Es decir la cantidad de 1 y-1 como grupos de doselementos tiene que serPAR: (1-1) + (1-1) + (1-1)+…. (1-1) =0

Ahora un número impar sepuede descomponer como elproducto de una cantidadpar de factores o unacantidad impar de factores.Ejemplo: 105 = 1 x 105

105 = 5 x 21105 = 3 x 5 x 7

Echemos un vistazo que pasaría si el “n”fuera una cantidad impar.

Para que el producto de los números sea“n”, deben aparecer los factores de “n”(que puede ser PAR o IMPAR) y los 1 y -1.

Si la cantidad de factores de “n”es PAR tendría que aparecertambién una cantidad PAR de -1para que lo anulen, pero como:

#PAR + #PAR = #PAREstarían faltando otra cantidadIMPAR formada por 1 y -1, peroestos no podrán anularse, ya queestos se anulan solo paracantidades pares.

Si la cantidad de factores de “n”es IMPAR tendría que aparecertambién una cantidad IMPAR de -1 para que lo anulen, pero como:

#IMPAR + #IMPAR = #PAREstarían faltando una cantidadIMPAR formada por 1 y -1, peroestos no podrán anularse ya quesiempre se anulan de dos en dos

Con esto concluimos que “n” no puedeser IMPAR, pero si puede ser PAR, comopor ejemplo.

n=4-1+1+2-2 =4



Página11

18. Andrés le dice a Raquel que él ha escrito en sucuaderno 5 enteros distintos y también le dice lasuma de esos 5 números. Con esa informaciónRaquel puede saber con seguridad que númerosescribió Andrés. ¿Cuántos valores puede tomar lasuma de los números de Andrés?

A. 1 B. 5 C. 2 D. 4 E. 3

RESOLUCIÓN:

CLAVE C

Del problema puedodarme cuenta que cuandoAndrés le dice la suma delos 5 números enteros,Raquel ESTÁ SEGURA decuáles son los números.

Esto quiere decir que NOexiste otra posibilidad paralos números cuando seconoce la suma.Pensemos ahora en losposibles números.

Una estrategia seriaempezar en losNUMEROS menores:1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15No hay otra forma deexpresar 15 como lasuma de cinco númerosdiferentes.

Vamos si es posibleexpresar 16 como lasuma de cinco númerosdiferentes y que sea sólode una forma.

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16

¿Y se podrá con 17?1+2+3+4+7 = 171+2+3+5+6 =17

¡NO, tiene que ser sólo deuna forma, para que exista

certeza!

Si la suma toma valores mayores que 16 se incrementala cantidad de formas de expresarlo como la suma decinco números.Ejemplo: 1+2+3+5+7 =18

1+2+3+4+8 =18

1+2+3+4+9 =191+2+3+5+8 =19

.

.

.Por lo tanto, sólo existen 2 formas de expresar la sumade estos cinco números y estar seguros de cuáles sonlos números.



Página12

19. Al sumar tres números de dos dígitos cada uno, seobtuvo como resultado un número de 3 dígitos, comose muestra a continuación:

+

Si los 9 dígitos empleados son diferentes y ninguno esigual a cero, determine el mayor valor que puede tomarel número de 3 dígitos y de cómo respuesta el productode esos 3 dígitos.

A. 12 B. 20 C. 24 D. 40 E. 50

RESOLUCIÓN:

CLAVE C

Pensemos en un primerintento que pasaría si lascifras de las decenas delos números de 2 cifras

fueran máximas

Es decir: +

En el caso anterior nosería posible acomodar al

1, 3, 4 y 6

en las unidades

Hagamos algún intercambio deuno de los números de las

decenas por uno de las unidades,pero siempre tratando de

mantener el máximo valor delnúmero de 3 cifras

9

8

7

52

Es decir: +6 5

9 7

8 1

4 32

De esta manera hemos podido acomodar los números 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Y podemos decir que el resultado es el mayor, porque sólose intercambio el menor número de las decenas.

Bueno la suma es 243 y sólo puede ser 243, para que seamáximo.

Por lo tanto el producto de los dígitos del número de trescifras es: 2 x 4 x 3 =24



Página13

20. ¿De cuantas formas se pueden ordenar los números1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en una fila de tal forma que losnúmeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, aparezca en ese orden peroen cambio, los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 noaparezcan en ese orden?

Ejemplo: Una forma de ordenar los números 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9 de tal forma que se cumplan lascondiciones requeridas es 129384567.

A. 63 B. 56 C. 64 D. 55 E. 72

RESOLUCIÓN:

CLAVE A

Que los númerosaparezcan en el orden 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7, no quieredecir que aparezcan en

forma consecutiva

- - - - - - - - -Primero escogeremos 7

casilleros de los 9 que haypara los números 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7 de tal manera quemantengan ese orden

Para ello utilizamos unatécnica de conteo “LA

COMBINACION”, esto nospermitirá saber la cantidad

de GRUPOS de:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

97

9!C7!.2! = 36

Y las otras dos casillasrestantes pueden cambiar

de lugar 2!

Entonces la cantidad total formas de elegirlos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 de los 9 que hayes:

36 x 2! = 72

Ahora a esta cantidad hay quequitarle todos los que estarán

en este orden:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

ya que estos grupos estaránincluidos en el grupo anterior

y de manera similarprocedemos hallarlo.

98

9!C8!.1! = 9

Y por cada grupo formado elque queda no tendrá opcióna cambiar de lugar.

Finalmente restamoslas dos cantidades

halladas:72 – 9 = 63

solucionario onenm 2012 primera fase

Documents