Matemticas Financieras y Clculo Actuarial (VER.4.10)

Ao de uso

Cargo por depreciacin

Depreciacin total

Valor en Libros

1 2 3

D1 = CdD2 = C (1 d ) d

D1 D1 + D2

S1 = C (1 d )S 2 = C (1 d )C (1 d )3

2

D3 = S 2 d

n 1

3 t =1

Dt

DEPRECIACIN Def. Depreciacin es la prdida de valor de un activo fsico (edificios, maquinaria, etc.), como consecuencia del uso. Para prevenir la necesidad de reemplazo de un determinado activo al fin de su vida til, cada ao se traspasa una parte de las utilidades de una empresa a un fondo especial llamado fondo para depreciacin. A los depsitos anuales en el fondo para depreciacin se les conoce como cargos por depreciacin. En un momento determinado, a la diferencia entre el costo original del activo y el importe del fondo para depreciacin se le conoce como valor en libros. El valor en libros de un activo al fin de su vida til debe ser su valor de salvamento. Utilizaremos la notacin: D para el cargo por depreciacin, C para el costo original del activo, S para el valor de salvamento, n el nmero de aos de vida til de activo, t = 1, n el fin de cierto periodo (ao). Tenemos estos mtodos para depreciar. Mtodo de promedio o mtodo lineal, Mtodo de porcentaje fijo, Por fondo de amortizacin. En el mtodo de promedios o mtodo lineal se efectan depsitos anuales iguales en el fondo para depreciacin, durante toda la vida til del activo. CS ; El cargo por depreciacin es Dt = D = nDeprecTotalt = t D ,ValorEnLibrost = C t D .

n

Dn = C (1 d )

d

n t =1

Dt

S = S n = C (1 d )

n

En un pagar intervienen los siguientes elementos: Plazo. Valor nominal, Fecha de vencimiento, Valor de vencimiento. Si en el pagar no se estipula intereses, entonces el valor nominal es igual al valor al vencimiento. Def. El valor de una deuda, en una fecha anterior a la de su vencimiento se le conoce como valor presente de la deuda en dicha fecha. De S = C (1 + i t ) , tenemosS C= 1+ i t

ANUALIDADES Def. Una anualidad es una serie de pagos iguales efectuados a intervalos de tiempo. Def. Una anualidad contingente es aquella en la cual el plazo depende de algn suceso cuya realizacin no puede fijarse. Def. Una anualidad cierta ordinaria es aquella en la cual los pagos son efectuados al final de cada intervalo de pago, es decir, que el primer pago se hace al final del primer intervalo de pago, el segundo al final del segundo intervalo de pago y, as sucesivamente. Las frmulas:

Total

C C (1 d )

n

S = R sn i = R (1 + i ) = R k i =0

n 1

(1 + i )in

n

1

y

SERIES Progresin Aritmtica Una progresin aritmticaa, a + d , a + 2 d , , a + ( n 2 ) d , a + ( n 1) d

Descuento Bancario El descuento bancario est dado por D = S d t yC = S D = S S d t = S (1 d t )

A = R an i = R v k = R k =1

n

1 (1 + i ) i

=

1 vn i

De lo anterior se tiene la relacinsn i = an i (1 + i )n

tiene primer elemento a , y ltimo l = a + ( n 1) d . Y la suma de estos trminos es:n sn = [ a + id ] = ( a + l ) 2 i =0 n = 2a + ( n 1) d 2 Progresin Geomtrica Una progresin geomtrica a, ar , ar 2 , ar 3 ,, ar n 2 , ar n 1n 1

an i = sn i v nh

y las equivalencias entre tasa de descuento e inters estn dadas por d i i= & d= 1 d t 1+ i t El descuento en cadena o serie cumple1 d = (1 d1 ) (1 d 2 )

Tambin se tienesh + k i = sh i + (1 + i ) sk i & ah + k i = ah i + (1 + i ) ak ih

(1 d n )

Inters Compuesto Para un capital C , una tasa de inters efectiva i , y n aos de capitalizacin, tenemos un valor acumulado

Def. Una anualidad anticipada es una anualidad cuyo pago peridico vence al principio del intervalo de pago. Su valor presente es:an i = 1 + v + v 2 + = vk = an i (1 + i ) = an 1i + 1k =0 n 1

+ v n 1

tiene primer elemento a , y ltimo l = ar n 1 . Y la suma de estos trminos es: n 1 1 rn sn = ar i = a 1 r i =0 a rl = 1 r Serie de Maclauren

S = C (1 + i )

n m n

i ( m) = C 1 + m n = C e

y su valor acumulado:sn i = (1 + i ) + (1 + i ) + (1 + i ) +2 3

Utilizamos i ( m) , cuando hablamos de inters nominal convertiblem veces al ao. Y usamos = ln (1 + i ) , cuando hablamos de

+ (1 + i )

n

Y los cargos quedan distribuidos as:Ao de uso Cargo por depreciacin Depreciacin total Valor en Libros

f ( x) = k =0

f k ( 0) k x k!

= (1 + i )k =1

n

k

fuerza de inters (tasa continua de crecimiento). Tambin se definei = i( ) mm

= sn i (1 + i ) = sn +1i 1

0 1 2 3n

0 D

0 D

C 0 D = CCD

Teorema del Binomio

D D D DnD

D 2D3D

C 2DC 3D

n ( x + y ) = xnk y k k =0 k INTERSn n

De lo anterior se tiene la relacinsn i = an i (1 + i )n

nD

S = C n D

Total

El mtodo de porcentaje fijo supone que el cargo por depreciacin que debe hacerse al final de cada ao es un porcentaje fijo del valor contable al principio del ao. Denotemos d al porcentaje fijo anual. Al final del primer ao, el cargo por depreciacin es Cd y el valor contable esC Cd = C (1 d ) . Al final del segundo ao, el cargo por

Inters Simple Def. El inters es la cantidad pagada por el uso del dinero obtenido en prstamo o la cantidad producida por la inversin del capital. Def. Cuando nicamente el capital gana intereses por todo el tiempo que dura la transaccin, el inters vencido al final del plazo se le conoce como inters simple. El inters simple est dado por I = C i t y el monto dado porS = C + I = C + C i t = C (1 + i t )

Algunas relaciones La tasa de inters equivalente a la tasa de descuento es: d i= 1 d Y la tasa de descuento equivalente a una tasa de inters es: i d= 1+ i Tambin tenemos: 1 d = v Para traer a valor presente utilizamos i(m) = 1 + m Tambin para valor presente se tiene m n

& an i = s n i v n

Def. Una anualidad diferida es aquella cuyo primer pago se hace algn tiempo despus del trmino del primer periodo de inters. Su valor presente esm

an i = v m +1 + v m + 2 + = vm ( v + v2 + = v m an i = am + n i a m i

+ v m+ n + vn )

Si los pagos son anticipados tenemos:m

depreciacin es C (1 d ) d y el valor contable es C (1 d ) . Los2

valores contables sucesivos, durante la vida del activo, corresponden a los trminos de la progresin geomtricaC (1 d ) , C (1 d ) , C (1 d ) ,2 3

Por tanto, al final de n aos, el valor contable esC (1 d ) = Sn

El inters simple se clasifica en dos: Def. El Inters Simple Exacto es aqul que se calcula sobre una base de 365 das, 366 aos bisiestos. Def. El Inters Simple Ordinario es aqul que se calcula sobre una base de 360 das. Este ltimo aumenta el inters cobrado por el acreedor. Las frmulas: das das Ie = C i & Io = C i 365 360 Def. Un pagar es una promesa escrita de pago de una determinada cantidad de dinero, con intereses o sin ellos, en una fecha dada, suscrita por un deudor a favor de un acreedor.

(1 + i )

n

= e n

an i = v m an i

(1 d )y para monto

n

d ( m) = 1 m

mn

= e n = (1 + i )

n

Def. Una perpetuidad es una anualidad cuyo pago se inicia en una fecha fija y continua por siempre. El valor presente de una perpetuidad es: 1 a i = i

si la renta anual es R , se tiene: m n n

d ( m) n = e n = (1 + i ) (1 d ) = 1 m Una tasa de descuento efectiva equivalente a una nominal cumple

1 R A = R = i i

Anlogamentea i = 1 + v + v 2 + =1 1 = 1 v d

El valor d , la tasa de depreciacin, puede ser un valor estimado o puede ser determinado de la relacin dada por la ecuacin anterior. Los cargos quedan distribuidos as:

(1 d ) = 1

d ( m) m

m

Depreciacin por fondo de amortizacinAoDe Pago 0 PagoAl Fondo

( an i ) =p

CS D= 0 Sn i D=D= D= D=

Depreciacin por fondo de amortizacin %AlFondo Depreciacin Fondo Acumulado Anual Acumulado 0 0 0

ValorEn Libros C

1 1p 1 2 p 1 v + v + + vn p p p 1 n 1 1 1 = v p 1 + v p + + v p p = 1 1 p 1 vn v 1 p 1 v p

1

CS Sn iCS Sn i CS Sn i CS Sn i

0D s1i i

D s1i 0D s2 i D s1i

D s1iD s2 i

C D s1iC D s2 i

2

3

D s2i iD st 1i i

D s3 i D s2 iD st i D st 1i = D (1 + i )t 1

D s3iD st i

C D s3iC D st i

=

t

n 1n

CS D= Sn i D= CS Sn i

D sn 2 i iD sn 1i i

D sn 1i D sn 2 iD sn i D sn 1i

D sn 1iD sn i-

C D sn 1iC D sn i = S-

Total

nD

D ( sn i n )

Dsn i

1 vn 1 1 1p v (1 + i ) p 1 p (1 + i ) p 1 n 1 1 v = p (1 + i ) 1 p 1 1 vn = ( p) i( an p ) = i

AMORTIZACIONES Def. La parte de la deuda no cubierta en una fecha dada se conoce como saldo insoluto o capital insoluto en la fecha. El capital insoluto justamente despus de que se ha efectuado un pago es el valor presente de todos los pagos que an faltan por hacerse. La suma de todos los pagos al final de cada periodo es igual a la deuda original. El encabezado de una tabla de amortizacin muestra los siguientes elementos: Perodo (1, 2, , n ) Capital insoluto al principio del perodo Inters vencido al final del perodo Pago (peridico, generalmente igual) Capital pagado al final del periodo Capital insoluto al final del perido Ej. de tabla de amortizacin es:CapitalInsol AlFinalPeri IntersVenc AlFinalPeri CapitalPag AlFinalPeri CapInsol PrincPeri

Def. Una anualidad vitalicia ordinaria es simplemente un conjunto de dotales puros, pagaderos al final de 1 , 2 , 3 aos, terminando con la muerte del rentista. Designando por a x la prima neta nica (valor presente) de una

anualidad vitalicia ordinaria, de $1 por ao, para una persona de edad x , se tiene

ax = 1 E x + 2 Ex + = (1 + i ) =1 x +1

+ x Ex2 x + 2

l

lx1

+ (1 + i )

l

lx

+

+ (1 + i ) + (1 + i )

( x )

l lx

(1 + i )

l x +1 + (1 + i ) lx + 2 + lx2

( x )

l

Para simplificar hacemosv = (1 + i )1

MS ANUALIDADES Def. Una anualidad creciente es aquella cuyos pagos son los siguientes:P , P + Q , P + 2Q , , P + ( n 1) Q.

Period o

Tenemos:

X = Pv + ( P + Q ) v + ( P + 2Q ) v +2 3

+ P + ( n 1) Q v

n

= P an i + Q

an i nv n i

Si P = Q = 1 , se llega a la anualidad creciente ordinaria, que se simboliza ( Ia )n i ,i El monto de esta anualidad creciente ordinaria es:

i es el pago equivalente a los p pagos efectuados i( p) durante el ao. Obviamente, el monto de una anualidad de tal tipo es: i (p sn i ) = ( p ) sn i i Anualidades anticipadas Se paga 1 p al principio de cada p -simo perodo de conversin:

Vemos que

Pago

i a i( p) n i

Multiplicando numerador y denominador

ax =

v x +1lx +1 + v x + 2lx + 2 + v x +3lx +3 + v x lx

+ v 1l 1

1

an ian1i

i an i = 1 vni an1i = 1 vn1

11

vnn1

ani vn = an1i

Por medio de conmutados:Dx = v xlx & N x = Dx + Dx +1 + Dx + 2 + + D 1

2

v

an1i v

n1

= an2 i

tenemos que

ax = =

Dx +1 + Dx + 2 + Dx +3 + Dx N x +1 Dx

+ D 1

3t

an2 i

i an2i = 1 vn2

1111

vn2vnt +1

an2 i vn2 = an3iant +1i vnt +1 = ant

( an p ) = i

( Ia )n i =

an i nv

n

1 2 1 1+ v p + v p + p

+v

n 1 p

ant +1i i a = 1 vnt +1 nt +1i

=

1 1 vn p 1 v 1 p

n 1 a2in

i a2 i = 1 v2i a1i = 1 vn ani

v2v

a2 i v2 = a1ia1i v = 0

Una anualidad vitalicia anticipada de $1 por ao consiste de un pago inmediato de $1 y de una anualidad vitalicia ordinaria de $1. Designemos con a x la PNU de una anualidad vitalicia anticipada de $1 por ao, para una persona de edad x , tenemosax = 1 + a x N x +1 Dx D + Dx + 2 + = 1 + x +1 Dx = 1+ = Dx + Dx +1 + Dx + 2 + Dx

( IS )n i = ( Ia )n i (1 + i )= = = = i

n

1 v n + an i nv n

(1 + i )

n

(1 + i )

n

1 + sn i n i

1 vn = ( p) d i = ( p) an i d ya que: d ( p) 1 p d( p)p

a1i

T

n

ani

+ D 1 + D 1

Se observa que el capital total amortizado despus del t -simo= (1 + i )

sn i n i sn +1i ( n + 1) i

pago, es igual a an i an t i .ANUALIDADES VITALICIAS Def. Se define el rdix como el nmero de vivos a la edad inicial. El radix, en general, es potencia de 10 y representa la base de la poblacin hipottica cuyo nmero disminuye conforme aumenta la edad. Denotamos la edad en la que el nmero de personas con vida que conforman la tabla de mortalidad es cero como . Para fines

as

1 = p 1 v p

ax =

Nx Dx

Haciendo P = n y Q = 1 , se llega a la anualidad decreciente y el valor presente es:

Y( Sn i ) =p

Una anualidad vitalicia ordinaria diferida k aos es una secuencia de dotales puros, el primero pagadero al final de k + 1 aos,, cesando los pagos con la muerte del rentista. Designemos pork

( Da )n i = nan i = =

an i nv

n

1 n n 1 (1 + i ) + (1 + i ) p + pn

+ (1 + i )

1

p

i n nv n an i + nv n i n an i

=

i El monto de esta anualidad es igual a:

1 (1 + i ) 1 p 1 (1 + i ) 1 p n 1 (1 + i ) 1 = p 1 v 1p =

prcticos se utiliza = 100 . Es decir, l = 0 .Def. La esperanza de vida corta y completa, respectivamente, estn dadas por x 1 1 x 1 ex = lx +t = t px lx t =1 t =1

ax la PNU de una anualidad vitalicia ordinaria

diferida k aos, para una persona de edad xk

ax = = =

k +1

Ex +

k +2

E x + k +3 E x +

+ x 1 Ex + D 1

( DS )n i = ( Da )n i (1 + i ) n n (1 + i ) sn ii Anualidades pagaderas p veces al ao =

(1 + i )d( i

n

1Se cumple:

ex =

n

p)

1 lx +t dt = t px dt 0 lx 0

Dx + k +1 + Dx + k + 2 + Dx + k +3 + Dx N x + k +1 Dx

= ( p ) sn i d Relacin entre valor presente y monto:(p (p sn i ) = (1 + i ) an i )n

En las anualidades pagaderas p veces al ao, con un renta anual( igual a la unidad, denotamos su valor presente como an p ) . i

1 vn = ( p ) (1 + i ) i d i in

El valor presente de dicha anualidad cuyo pago peridico es igual a 1 p es inmediata, es:

=

i d ( p) i = ( p ) sn i d

(1 + i )

n

1

1 ex = ex + 2 la esperanza de vida es un caso especial de la anualidad vitalicia cuando la tasa de inters es cero. Def. Una anualidad vitalicia es aquella cuyo pago contina mientras el rentista est vivo. Def. Un seguro dotal puro a n aos es aqul en el cual la suma asegurada se paga slo cuando el asegurado sobrevive a la edad x+n . La prima de un seguro dotal puro est dada por n lx + n n Ex = v lx

La PNU de una anualidad vitalicia anticipada diferida k aos para una persona de edad x esk

ax =

N x+k Dx

Lo importante de las anualidades anteriores es que son iguales a N y Dx donde x es la edad del rentista cuando se compra la anualidad y y es su edad cuando se hace el primer pago. Una anualidad contingente temporal difiere de una anualidad vitalicia en que termina despus de un nmero especificado de pagos, an cuando el rentista contine con vida. Y la denotaremos:

ax:n = ax n ax = N x +1 N x + n+1 Dxas

m

Px ax:m = Ax

Una anualidad contingente temporal diferida k aos tiene PNU igual a N N x + k + n +1 ax:n = x + k +1 k Dx Una anualidad contingente anticipada tiene PNU igual a: N N x+n ax:n = x Dx Tambin se cumpleax:n = 1 + ax:n 1

Ax M x Dx = mP = x ax:m ( N x N x + m ) Dx Mx = N x N x+ m El seguro temporal, designemos A1:n la PNU de un seguro x temporal a n aos para ( x ) . Llegamos a

Cada sobrante de la prima anual sobre el costo del seguro en el ao es colocada por la ca en un fondo de reserva, el cual gana intereses a la misma tasa que se utiliz al calcular la prima. Def. El fondo de reserva al final de cualquier ao pliza se conoce como reserva terminal del ao pliza. Def. La reserva terminal menos un cargo nominal para gastos se conoce como valor de rescate de la pliza. La reserva se puede calcular por: Reserva Terminal al Valor Presente de + final del r -simo ao pliza todas las primas futuras Valor Presente de = Beneficios Futuros

( IA ) x == =

vd x + 2v 2 d x +1 + 3v3 d x + 2 +

+ ( x 1) v x 1d 2 + ( x ) v 1d 1 lx + ( x ) v d 1

v x +1d x + 2v x + 2 d x +1 + 3v x +3 d x + 2 + v x lx C x + 2Cx +1 + 3C x + 2 + x 1

+ ( x 1) C 2 + ( x ) C 1 Dx

=

( t + 1) Ct =0

x +t

A1:n = xDesignemos P para ( x ) . As1 x:n

M x M x+n Dx

Dx x 1

Designando rV la reserva terminal al final del r -simo ao de una pliza de seguro ordinario de vida de 1, para ( x ) . As tenemos:r

la PNA de un seguro temporal a n aos de $1

= =

Mt =0

x +t

Dx Rx Dx

Anlogamentek

ax:n =

N x+k N x+k +n Dx

V + Px ax + r = A x + r

1 Px1:n a x:n = Ax:n

yr

Definimos los siguientes valores conmutados:d x = l x l x +1 & C x = v x +1d x M x = C x + C x +1 + C x + 2 + Rx = x 1t =0

yPx1:n = A1 x:n

V = Ax + r Px ax + r M M N = x+ r x x+ r Dx + r N x Dx + r

por lo tanto

+ C 1

ax:n

=

( M x M x + n ) Dx ( N x N x + n ) Dx

( IA) x =o, tambin

Rx Dx

( t + 1) C

x +t

=

x 1t =0

M

x +t

M M x+n = x N x N x+n

SEGUROS Notacin. El smbolo ( x ) denota la frase una persona que est

Designemos

m

P

1 x:n

la PNA de un seguro temporal a n aos de $1

viva en edad x . Una pliza de seguro de vida es un contrato entra una ca de seguros y una persona (el asegurado). En este contrato El asegurado acuerda hacer uno o ms pagos a la compaa. La compaa promete pagar, al recibo de pruebas de la muerte del asegurado, una suma fija, a los beneficiarios. Los principales tipos de seguro de vida son: Seguro de vida entera, Seguro temporal a n aos, Seguro dotal a n aos. Al dotal tambin se le conoce como dotal mixto; tambin existe el dotal puro conocido como seguro por sobrevivencia. Ax ser la PNU de un seguro de vida enteravd + v 2 d x +1 + v 3d x + 2 + Ax = x lx = v x +1d x + v x + 2 d x +1 + v x +3 d x + 2 + v xl x

para ( x ) , para ser pagada durante un periodo de m < n aos, o sea pagos limitados a m aos, tendramosm

Este ltimo mtodo para el clculo de la reserva es conocido como mtodo prospectivo, y est basado en obligaciones y beneficios futuros; el otro mtodo de clculo de la reserva es el retrospectivo. BENEFICIOS VARIABLES Anualidad Crecientes Def. Una anualidad creciente es aquella que se paga la cantidad de $1 a la persona que sobrevive a la edad x + 1 , $2 a los que sobreviven a edad x + 2 , $3 a los que llegan a x + 3 y as sucesivamente. Deduciendo la PNU de esta anualidad, tenemos:lx ( Ia ) x = vlx +1 + v 2 ( 2lx + 2 ) + v3 ( 3lx +3 ) + v x +1lx +1 + v x + 2 ( 2lx + 2 ) + v x +3 ( 3l x +3 ) + v x lx

( IA ) x = t =0

x 1t

Ax

y un seguro creciente temporal tiene PNU dada por R R nM x + n 1 ( IA) x:n = x x + n Dx La PNU se un seguro en el que la SA crezca durante n aos, para despus mantenerse constante de ah en adelante, se denota por

Px1:n =

M x M x+n N x N x+m

( I A)n

x

,y

Def. En un seguro dotal se combinan beneficios de uno temporal y un dotal puro al termino de n aos. As Ax:n = A1:n + n E x x= M x M x + n Dx + n + Dx Dx

( Ia ) x

=

( I A)n

x

D + 2 Dx + 2 + 3Dx +3 + = x +1 Dx =

x n 1 1 x 1 ( t + 1) Cx+t ( t + 1) Cx+n+t Dx t = 0 t =0 R Rx + n = x Dx

=

de lo anterior, tambin se tiene

M M x + n + Dx + n = x Dx

1 Dx

tDt =1

x +t

( IA) x:n = ( I n A) x n n1

Ax

Del mismo modo

De aqu deducimos otro valor

Px:n =ym

M x M x + n + Dx + n N x N x+n M x M x + n + Dx + n N x N x+ m

tDt =1

Seguros decrecientes Es aqul que inicia con una SA de n unidades si la muerte ocurre

x +t

= N x +1 + N x + 2 + N x +3 + = N x +tt =1

en el primer ao, para disminuir a n 1 pagaderos si el fallecimiento es en el transcurso del segundo ao, n 2 en el tercero y as sucesivamente, hasta que la SA es unitaria en el caso de que la muerte suceda en el transcurso del n -simo ao. Su valor presente se denota ( DA ) x:n y est dado por1

C + C x +1 + Cx + 2 + = x Dx

Px:n =

Y queda definido el siguiente valor conmutado: S x = ( t + 1) Dx +tt =0

finalmente

M Ax = x DxSe acostumbra el seguro ordinario de vida, seguro de vida pagos limitados a m aos. Designemos Px prima neta anual de una pliza de seguro ordinario de vida de $1 emitida para una persona de edad x . Los pagos de primas es una anualidad vitalicia. As Px ax = Ax y Px = Ax M x Dx = ax N x Dx

Def. La PNU de un seguro temporal a 1 ao, a la edad x , se conoce como prima natural a dicha edad. Por lo tanto, la prima natural para una pliza de 1, a la edad x es:

= N x +tt =0

( DA) x:n1

=

M M x +1 Px1:1 = x N x N x +1 = M x M x +1 Dx

1 nC x + ( n 1) C x +1 + ( n 2 ) C x + 2 + Dx

+ 2C x + n 2 + C x + n 1

Por tanto, la PNU de una anualidad creciente es: S ( Ia ) x = x +1 DxSeguros Crecientes La PNU de un Seguro, emitido a edad x que paga una unidad de suma asegura si la muerte ocurre en el primer ao, 2 si la muerte ocurre en el segundo, 3 de ocurrir en el tercero y as sucesivamente,

En general, la PNN tiene la expresin: c M c M +c D PNN = 0 x 1 x + n 2 x + n N x c3 N x + n Y se presentan los siguientes casos: [1 [1 c3 ] = [1 [1 0 0 0] OrdinarioDeVida 0 0 1] VidaPagosLimitados 1 0 1] Temporal 1 1 1] Dotal

1 n ( C x + C x +1 + C x + 2 + + Cx + n 1 ) = Dx Cx +1 + 2Cx + 2 + + ( n 1) C x + n 1 1 = n ( M x M x + n ) ( Rx +1 Rx + n +1 nM x + n ) Dx

se denota por ( IA ) x y

( DA) x:n1

=

1 nM x ( Rx +1 Rx + n +1 ) Dx

es decir,

M = x Nx Designemosm

[c0

( DA) x:n1 1

= n Ax n

c1 c2

1

( I A)n

x

( DA) x:n = At =1

1 x:t

Px la PNA de un seguro de vida entera pagos

limitados a m aos de $1 para ( x ) . As

Reservas

TABLA DE DECREMENTOS

Denotemos:lx(T )

( mxk )

el nmero de vivos a la edad de x en el grupo de personas

lx

(T )

( d xk ) . 1 ( qxT ) 2

El valor presente de un seguro de vida conjunta que paga $1 al final del ao en que el status ( x1 x2Ax1 x2xm

xm ) muere es

sujetos a m causas de decrementos (1) , ( 2 ) , , ( m ) ;dx(k)

( de lo anterior se expresa mxk ) en trminos de probabilidades de

= v t +1 qx1x2t =0 t

xm

.

es el nmero de decrementos de la causa k entre la edad x

decrementos como( mxk ) ( qxk ) . 1 ( 1 qxT ) 2

y x +1 ;d(T ) x

Otras funciones vida conjunta se formulan reemplazando la probabilidad de vida individual por la de vida conjunta. Por ejemploexy = t pxyt =1

REASEGURO Def. El coaseguro es la participacin de dos o ms instituciones de seguros en un mismo riesgo en virtud de dos contratos directos realizados por cada una de ellas con el asegurado. Def. El reaseguro es la tcnica en la que la cartera de la compaa de seguros se vuelve homognea en la que consiste en una operacin concertada por la compaa de seguros en la que transfiere parte de los riesgos asumidos o parte de los siniestros a pagar, abonando para ellos una prima de reaseguro. OTROS

es el nmero total de decrementos de todas la causas entre la

edad x y x + 1 , de modo que( ( dx ) = dxT k =1 m k)

Tambin se deduce quelx(T )

STATUS DE LTIMO SOBREVIVIENTE1 (T Lx + d x ) 2(T )

El status de ltimo sobreviviente lo denotamos x1 x2 Yn

(

xm .

)

Ene-31 Jul-31

Feb-28 Ago-31

Distribucin de das en el ao Mar-31 Abr-30 Sep-30 Oct-31

May-31 Nov-30

Jun-30 Dic-31

( ( ( ) lxT ) d xT ) = lxT1 +

Entonces( qxk ) ( ( d xk ) mxk ) = 1 ( 1 ( L(xT ) + d xT ) 1 + mxT ) 2 2

px x

1 2

xm

denota la probabilidad de que el status permanezca vivo

y( qxk ) es la probabilidad de que ( x ) deje el grupo de vivos dentro

los prximos n aos; este valor es el complemento de la probabilidad de que todos mueran en n aos.n

del ao resultado de la causa k :( qx ) =k

y( dx ) (T lx )k

px1 x2

xm

= 1 1 n px1 1 n px2 =

(

)(

( px ) T

qx

(T )

es la probabilidad de que ( x ) deje el grupo de vivos en el ao(T )

1 ( 1 mxT ) 2 . 1 ( 1 + mxT ) 2( mx ) . (T mx )k

por cualquier causa:

Se concluye( ( d xk ) = d xT )

( ( = (= =+ =+

(

n

px1 + n px2 +n

+ n pxm

) (1 )

n

pxm

) )

px1 x2 + n px1x3 + px1x2 x3 + n px1x2 x4 + px1 x2 x3 x4 +m +1 n

+ n pxm1xm

) )

Un ao es bisiesto si es mltiplo de 4 (por ejemplo 1984). Sin embargo, los aos mltiplos de 100 slo son bisiestos cuando a su vez son mltiplos de 400(por ejemplo, 1800 no es bisiesto, mientras que 2000 si lo es). ABREVIATURAS PNU. Prima Neta nica PNN. Prima Neta Nivelada PNA. Prima Neta Anual SA. Suma Asegurada BIBLIOGRAFA FRANK AYRES, JR., Matemticas Financieras, McGraw-Hill MARIO ARRIAGA PARRA, JOS ANTONIO SNCHEZ CHIBRS, Elementos de Clculo Actuarial, UNAM CHESTER WALLACE JORDAN JR., Life Contingencies, The Society of Actuaries. VICTOR MANUEL PASTOR CORNEJO, Matemticas Financieras, SEP

n

+ n pxm2 xm1 xm

n

+ n pxm3 xm2 xm1xm

qx

d( ) m ( = (xT ) = qxk ) . lx k =1T

( pxT ) es la probabilidad de que ( x ) se mantenga en el grupo de

EDADES FRACCIONARIAS Sea t 0,1 , entonces x + t representar una edad fraccionaria.

= ( 1)px1x2

px1x2

xm

Esta expresin se puede escribir como:n xn

personas por lo menos un ao( ( pxT ) = 1 qxT ) = ( ) lx +1 (T lx )T

Yt

= n px1 n px1 x2 + n px1x2 x3 = n px1x2 x3 x4 + + ( 1)m +1 n

px =

lx +t lx

px1x2

xm

del mismo modo(T ) = n px ( ) lx + n (T lx )T

Se sabe que lx es una funcin decreciente. Y suponiendo que en el intervalo de tiempo t ocurre un nmero de fallecimientos proporcional a su tamao, entonces lx +t = l x t d x . Entonceslx t d x t px = lx = 1 t qx

y la probabilidad de que el status muera es n q x1 x2 xm = 1 n p x1 x2 La probabilidad de que est dado porn

xm

(

x1 x2

xm

)

muera en el ( n + 1) -simo ao px x

yn

( ( qxT ) = 1 n pxT )

qx x

1 2

xm

= n px x

1 2

xm

n +1

1 2

xm

( Conociendo las qxk ) para todo k y asumiendo un radix, se pueden ( ( ( obtener los valores de d xk ) , d xT ) y lxT ) .

Las funciones ms comunes de ltimo sobreviviente son las que involucran slo dos o tres vidas. En estos casos, tenemosn

p xy = n p x n p xy = n p x + n p y n p xyn

Ej. De causas de decremento en un grupo de empleados dentro de una empresa son: muerte, invalidez,, separacin y despido. Def. La tasa central de decremento de todas las causas a edad x se define como

yt

qx = t qx

p xyz = n p x n p xy + n p xyz

Otras funciones se pueden expresar en modo similarn

mxdonde

(T )

d( ) = (xT ) LxT1

Otra forma de obtener probabilidades de muerte y supervivencia es utilizando la hiptesis de Balduci, llegando a la siguiente expresin:1 t q x + t = (1 t ) q x

qxy = 1 n pxy = 1 ( n px + n p y n pxy ) = n qx + n q y n qxy = n qx n qxy

Lx = lx +t dt .0

(T )

(T )

VIDAS CONJUNTAS

tambin

La probabilidad de que el status de vidas conjuntas viva por n aos se denota porn

( x1 x2

xm )

n

q xyz = n pxyz n +1 pxyz = ( n px + n p y + n pz n pxy n pxz n p yz + n pxyz ) = ( n +1 px + n +1 p y + n +1 pz n +1 pxy n +1 pxz n +1 p yz + n+1 pxyz ) = n q x + n q y + n q z n q xy n q xz n q yz + n q xyz = n q x n q xy + n q xyz

La tasa central de decremento por la causa ( k ) es

px1x2

xm

, y puesto que est

mxAs

(k )

d( ) = (xT ) Lxkk x T x

.

compuesto de las probabilidades individuales, se tiene n p x1 x2 xm = n p x1 n p x2 n p xm yn

m( ) = m( ) .k =1

m

qx1x2

xm

= 1 n px1x2

xm

La probabilidad de que el status muera en el ao n + 1 esn

Tambin se suponel(T ) x+t

tambinaxyz = vt t pxyzt =1

l

(T ) x

td

(T ) x

, t 0,1T T)

qx x

1 2

xm

= n p x1x2

xm

n +1

p x1 x2

xm

.

asT 1 T 1 0 0

El valor presente de la anualidad que paga $1 al final de ao en que

( ( ( L(x ) = lx +t) dt lx ) td x

(

)

dt

( x1 ) , ( x2 ) ,, ( xm ) ( x1 x2

estn todos vivos, esto es, el status

= vt ( t px + t p y + t pz t pxy t pxz t p yz + t pxyz )t =1

1 (T (T = lx ) d x ) . 2Entonces se tiene

xm ) est vivo, es

= ax + a y + az a xy axz a yz + axyzxm

ax1x2

= v t px1 x2t t =1

xm

.

= ax axy + axyz