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Herramientas de cálculo financiero

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  • HERRAMIENTAS DE CLCULO FINANCIERO

    Pgina 1 de 37 Dra. Mara Marcela Rizzo

    Operaciones Financieras

    En una operacin financiera siempre intervienen tres elementos importantes:

    1. Flujos de caja (Capital Inicial y Capital Final) 2. Un perodo de tiempo 3. Riesgo: El riesgo involucrado en la operacin financiera es el que origina el

    rendimiento requerido para esa operacin. Cuanto mayor es el riesgo que interviene en la operacin, mayor ser la rentabilidad requerida a la misma. Nadie invertira dinero ni lo prestara si no existiera un rendimiento esperado o ganancia en tal operacin.

    Tambin intervienen personas, fsicas o jurdicas, estas son:

    1. Colocador de fondos: Es el que tiene un excedente de dinero y quiere realizar una inversin para conseguir una renta.

    2. Tomador de fondos: Es el que tiene un faltante de dinero y necesita pedir un prstamo.

    3. Intermediario financiero: Es el mediador entre la masa de tomadores y de colocadores de fondos.

    Ahora, tenemos que tener en cuenta tambin que cuando hablamos de toma y de colocacin de fondos estamos hablando de caras de una misma moneda, ya que para que exista un colocador de fondos debe exisitir un tomador de fondos y viceversa.

    Tambin, tenemos que pensar que los intermediarios financieros, son entidades que unen puntas, es decir, unen tomadores con colocadores de fondos. Estas entidades son, por ejemplo, Bancos, Casas de Cambio, etc.

    Lo importante es ver cmo se comunican ambas puntas de las operaciones y cmo los intermediarios financieros se comunican con el pblico.

  • HERRAMIENTAS DE CLCULO FINANCIERO

    Pgina 2 de 37 Dra. Mara Marcela Rizzo

    Antes de comenzar con temas de tasas, recordemos que los Intermediarios Financieros estn regulados por distintos organismos segn sea el intermediario. En el caso de los bancos, su organismo regulador es el Banco Central de la Repblica Argentina. Este, establece reglas sobre cmo deben funcionar los bancos y cuestiones formales como cul es la duracin del ao y del mes para las operaciones financieras. En nuestro pas el BCRA establece que los meses son de 30 das y los aos de los das reales, es decir, la convencin utilizada es 30/Actual. Qu significa Actual? Actual se refiere a la cantidad de das reales que transcurren. Analicemos cmo se cuentan los das del mes en las distintas convenciones. La cantidad de das se cuenta por la regla de las noches, es decir, cuntas noches pasan entre un da y otro. Veamos entonces algunos ejemplos:

    Cuntos das hay entre el 28 de febrero y el 1 de Marzo en un ao normal?

    Convencin 30/Actual Actual/Actual Actual/360 30/360 Das entre las fechas 3 1 1 3 Das del ao 365 365 360 360

    Cuntos das hay entre el 30 de Octubre y el 1 de Noviembre?

    Convencin 30/Actual Actual/Actual Actual/360 30/360 Das entre las fechas 1 2 2 1 Das del ao 365 365 360 360

    En la figura 1 armamos un esquema del sistema financiero donde vemos la circulacin de dinero y la retribucin recibida o el costo pagado por ese dinero.

  • HERRAMIENTAS DE CLCULO FINANCIERO

    Pgina 3 de 37 Dra. Mara Marcela Rizzo

    Fig.1: El Sistema Financiero

    Excedente de DineroFaltante de Dinero

    Activo Pasivo

    Activo Pasivo Activo Pasivo

    Pat. NetoPat. Neto Pat. Neto

    Tasa ActivaTasa Pasiva

    Colocador de FondosIntermediario Financiero

    Tomador de Fondos

    A partir de este grfico, podemos deducir lo siguiente:

    La tasa pasiva es la tasa que paga el intermediario financiero (Banco) a los colocadores de fondos; es decir cuando una persona realiza un plazo fijo est cobrando una tasa pasiva.

    La tasa activa es la tasa que cobra un intermediario financiero (Banco) a una persona que pide un crdito para comprar su auto o su casa.

    En trminos contables, la definicin de las tasas se hace en funcin de la contabilidad del intermediario.Cuando hablamos de tasas activas son las tasas cobradas por el banco por los crditos que otorga a sus clientes (los prstamos que piden los clientes). Cuando hablamos de tasas pasivas son las tasas que paga el intermediario por los prstamos que recibe, es decir, por lo que los plazos fijos que colocan los que tienen excedentes de fondos, ya que los plazos fijos son deudas de los intermediarios con los colocadores. Es obvio, que las tasas pasivas siempre son menores que las tasas activas.

  • HERRAMIENTAS DE CLCULO FINANCIERO

    Pgina 4 de 37 Dra. Mara Marcela Rizzo

    Cul es la utilidad de conocer las tasas activas y las tasas pasivas? Estas tasas sirven como primer medida para saber cunto ser lo que nos cobrar el banco por prestarnos dinero (tasa activa) y cunto ser lo que nos pagar el banco por nuestros depsitos a plazo fijo (tasa pasiva). En cuestiones legales, veremos que las tasas fijadas por el Banco de la Nacin Argentina (BNA) son las admitidas para actualizaciones de deudas.

    Otra forma que tienen las empresas de financiarse o de colocar sus fondos excedentes es a travs del mercado de capitales, en este mercado se compran y venden participaciones en el pasivo o en el patrimonio neto de estas empresas. Las empresas que recurren a estos mercados para conseguir su financiacin son empresas de capital abierto, mientras que aquellas empresas que no recurren a estos mercados para financiarse son empresas de capital cerrado.

    Las participaciones que emiten las empresas para financiarse en los mercados de capitales reciben el nombre de activos financieros. A los activos financieros se los puede definir como: Derechos de propiedad que prometen devolucin del capital invertido y futuros flujos de fondos. En el caso de las acciones, estas representan una porcin del patrimonio neto de las empresas y la promesa de devolucin de capital que hacen es residual y los futuros flujos de caja que prometen se llaman dividendos.

    En el caso de los bonos, estos representan una porcin del pasivo de las empresas y la promesa de devolucin de capital que hacen es nominal y los flujos de caja que prometen se llaman intereses. Es importante destacar que segn la ley argentina los bonos reciben el nombre de Obligaciones negociables.

    En la Figura 2, vemos un esquema de cmo se financian las empresas en el mercado de capitales. Tambin vemos que las empresas pueden ser tomadores o colocadores de fondos y cules son los instrumentos que utilizan en estas operaciones.

  • ELEMENTOS DE CLCULO FINANCIERO

    Pgina 5 de 37 Dra. Mara Marcela Rizzo

    Ttulos de deuda que tienen duracin limitadas, prometen pagos de intereses y devolucin del capital nominal.

    Son una porcin del patrimonio netode la empresa, prometen pagos de dividendos y devolucin del capitalresidual. Su vida es ilimitada.

    Decisin de Financiacin

    Compra Colocador de Fondos

    Decisin de InversinAcciones

    Tomador de Fondos Emite

    Bonos

    Figura 2: Financiamiento de las empresas en el mercado de capitales.

  • ELEMENTOS DE CLCULO FINANCIERO

    Pgina 6 de 37 Dra. Mara Marcela Rizzo

    El Mercado de Capitales est regulado principalmente por la Comisin Nacional de Valores (CNV) que es el organismo que se ocupa de supervisar la transparencia de este mercado y de representar a los accionistas minoritarios de las empresas frente a las mismas.

    Cuando las empresas realizan sus emisiones de acciones y de bonos, y las venden por primera vez, lo hacen en el mercado primario, una vez que estos ttulos son adquiridos por primera vez, cuando vuelven a comercializarse esta comercializacin se hace en el mercado secundario. Generalmente, los primeros compradores de estas emisiones son los que se conocen como inversores institucionales, que son Bancos, AFJP, Fondos Comunes de Inversin, etc.

    Existe otro mercado, que es el mercado de divisas, este mercado no tiene plazo y en l se compran y venden monedas de distintos pases. En este mercado se pueden hacer operaciones presentes (spot) o futuras (forward).

    Retomando el concepto de riesgo, dijimos que a mayor rentabilidad, mayor riesgo. La amistad o enemistad con el riesgo de los participantes de los mercados financieros nos permite clasificarlos de la siguiente manera:

    Comportamiento Especulador: El especulador realiza operaciones de entrada y salida en el corto plazo. Considera que tiene suficiente informacin como para saber que un activo financiero est sobre o subvaluado, de manera que sabe que va a ganar o perder con la compra o venta de ese activo. Es un operador amigo del riesgo.

    Comportamiento Arbitrajista: Es el operador de mercado que asume un riesgo casi despreciable, y lleva a los activos financieros a su precio de equilibrio, realiza operaciones casi simultaneas.

    Comportamiento Cubridor: Son los operadores que buscan cubrir el riesgo de sus operaciones. Es decir transferirlo a otra parte del mercado.

  • ELEMENTOS DE CLCULO FINANCIERO

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    Comportamiento atesorador: Son aquellos operadores que compran activos financieros para guardarlos por un largo plazo, su intencin es conservar el valor. No son amigos del riesgo.

    Resumen

    Los protagonistas del mundo financiero se pueden dividir principalmente en tres grupos:

    1. Empresas: Las empresas administran sus recursos para crear y mantener el valor de las mismas. Van a los mercados para financiarse y para invertir sus excedentes.

    2. Inversores: Son quienes tienen excedentes y los colocan para tener un rendimiento.

    3. Intermediarios: Son quienes ponen en contacto a los inversores con los tomadores de fondos.

    Los mercados financieros son aquellos mercados en los que se negocian los ttulos emitidos por las empresas y otros activos financieros.

    Estos mercados pueden clasificarse:

    1. Segn el plazo:

    i. Mercados de Dinero: Es el segmento del mercado financiero en el que se negocian activos financieros de corto plazo.

    ii. Mercados de Divisas: Es el segmento de los mercados financieros en los que se negocian divisas. Estos mercados no tienen plazo, pueden realizarse operaciones presentes o futuras.

    iii. Mercados de Capitales: Es el segmento de los mercados financieros en los que se negocian activos financieros de largo plazo.

    2. Segn el momento de la negociacin:

  • ELEMENTOS DE CLCULO FINANCIERO

    Pgina 8 de 37 Dra. Mara Marcela Rizzo

    i. Mercados Primarios: Es cuando los activos financieros se negocian por primera vez. Es importante tener en cuenta que lo producido de la venta de los mismos va directamente a la emisora.

    ii. Mercados Secundarios: Son aquellos mercados en los que los activos financieros se negocian luego de la primera vez. Lo producido de la venta de los mismos va a los tenedores de los mismos.

    A su vez los mercados secundarios se pueden dividir en: Mercados de Subasta: Son las bolsas de comercio. Mercados de agentes comerciales: Son los mercados on line.

    La rentabilidad de las inversiones est ligada directamente con el riesgo que asumen los inversores, esto significa que cuanto mayor es la rentabilidad, mayor es el riesgo asumido. La relacin de amistad o enemistad con el riesgo de los inversores permite clasificarlos segn su comportamiento en cuatro tipos bsicos.

    Resumen de Conceptos: Elementos que intervienen en las operaciones financieras. Personas o Instituciones que intervienen en los mercados

    financieros Organismos Reguladores del Mercado Financiero Tasas Activas y Tasas Pasivas Activos Financieros Mercados Financieros: Clasificacin. Distintos tipos de inversores. Distintos tipos de comportamiento de los participantes de los

    mercados.

  • ELEMENTOS DE CLCULO FINANCIERO

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    MEDIDAS DE RENTABILIDAD O COSTOS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS: TASAS DE INTERES

    Operaciones de colocacin de fondos.

    Los colocadores de fondos son aquellas personas que tienen un excedente de dinero y quieren obtener rentabilidad con l a partir de una operacin financiera.

    Pensemos ahora en dos colocadores de fondos, por ejemplo:

    Juan que hizo un plazo fijo de $1.000 durante un mes y al cabo de ese tiempo recibi $1.100 y en Santiago, su hermano, que hizo un plazo fijo de $10.000 por un mes y al cabo de ese tiempo recibi $10.100. Veamos ahora algunas preguntas bsicas con respecto a estas operaciones:

    1. Cunto gan cada hermano (en pesos) por su colocacin de fondos? 2. La inversin de Juan fue mejor que la de Santiago o la de Santiago fue mejor que la

    de Juan? Por qu? 3. Quin de los dos asumi mayor riesgo?

    Cmo elaboramos las respuestas para estas preguntas?

    Es importante definir un mtodo que nos ayude a respondernos sistemticamente a estas preguntas.

    Los pasos de nuestro mtodo comenzarn por encontrar cules son los datos:

  • ELEMENTOS DE CLCULO FINANCIERO

    Pgina 10 de 37 Dra. Mara Marcela Rizzo

    Datos: Juan Santiago

    Capital Inicial (C0 ) C0 = 1.000 C0 = 10.000

    Capital Final (C1 ) C1 = 1.100 C1 = 10.100

    Tiempo t= 30 das

    Ahora comenzaremos a responder a las preguntas que nos hicimos respecto de las colocaciones de los hermanos:

    Pregunta 1: Cunto gan cada hermano (en pesos) por su colocacin de fondos?

    Tcnicamente, el monto ganado por una colocacin de fondos recibe el nombre de inters y se calcula como la diferencia entre el capital final recibido y el capital inicial colocado. Expresado en trminos matemticos podemos escribir a este concepto como:

    I = C1 C0

    Donde: I: Inters C1: Capital Final

    C0: Capital Inicial

  • ELEMENTOS DE CLCULO FINANCIERO

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    Aplicando esto a las colocaciones de Juan y de Santiago vemos que:

    Juan Santiago Capital Inicial (C0 )

    C0 = 1.000 C0 = 10.000 Capital Final (C1 )

    C1 = 1.100 C1 = 10.100 Inters (en Pesos)

    I = 1.100-1.000 I = 10.100-10.000 I = 100 I = 100

    Pregunta 2: La inversin de Juan fue mejor que la de Santiago o la de Santiago fue mejor que la de Juan? Por qu?

    Si miramos lo que obtuvo cada hermano por su colocacin de fondos, vemos que, en pesos ambos recibieron lo mismo. Pero si analizamos un poco ms la situacin vemos que Juan invirti $1.000 y Santiago $10.000. Por lo tanto, no es justo considerar que ambos ganaron lo mismo, y lo que corresponde, es relacionar las ganancias de las operaciones con las inversiones realizadas. La forma ms sencilla de realizar esto es dividiendo la ganancia en pesos (Inters) por el Capital invertido inicialmente (C0). De esta manera obtenemos una tasa que recibe el nombre de tasa de inters efectiva vencida.

  • ELEMENTOS DE CLCULO FINANCIERO

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    Juan Santiago Capital Inicial (C0 )

    C0 = 1.000 C0 = 10.000 Capital Final (C1 )

    C1 = 1.100 C1 = 10.100 Inters (en Pesos)

    I = 1.100-1.000 I = 10.100-10.000 I = 100 I = 100 Tasa de inters efectiva vencida i=0,10 i=0,01

    Tasa de inters efectiva vencida i= 10% i= 1%

    Desde este punto de vista vemos que la inversin de Juan fue mejor que la de Santiago, ya que, proporcionalmente Juan recibi ms intereses que Santiago, es decir, que la tasa de inters cobrada por Juan es mayor que la cobrada por Santiago.

    Pregunta 3: Quin de los dos asumi mayor riesgo?

    De acuerdo con la rentabilidad obtenida y con el principio de que a mayor rentabilidad corresponde mayor riesgo, Juan asumi ms riesgo que Santiago.

    Veamos cules son los principales conceptos vistos hasta ahora.

    Tasa vencida: A esta tasa la llamamos tasa efectiva vencida y la nombramos con la letra i. Le agregamos la denominacin de efectiva porque estudia el rendimiento punta contra punta de una operacin. Esto significa que no tenemos en cuenta lo que pudo haber ocurrido entre el momento cero y el momento uno. Esta tasa nos muestra cunto ganamos cuando realizamos una colocacin de un peso durante un determinado perodo de tiempo t.

  • ELEMENTOS DE CLCULO FINANCIERO

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    Expresamos a la tasa vencida como:

    iC C

    C=1 00

    Operando algebraicamente, tenemos que:

    iCC

    CC

    CC= =

    10

    00

    10

    1

    1 10

    + =iCC

    A esta expresin la denominamos factor de capitalizacin y nos dice cunto vamos a retirar al cabo del tiempo de la colocacin (Momento 1) por cada peso colocado en el momento inicial (Momento 0), en concepto de capital ms inters.

    Podemos decir entonces, que al cabo de un determinado periodo:

    C1= C0*(1+i)

    La tasa efectiva vencida es para un determinado periodo de tiempo, el sistema financiero expresa estas tasas para periodos anuales, esta tasa anualizada se conoce con el nombre de Tasa Nominal Anual (TNA), para calcularla, proporcionalizamos la tasa efectiva vencida para 365 das que es la duracin que establece el Banco Central de la Repblica Argentina para un ao, es decir que aplicando regla de tres simple directa, podemos llegar de una tasa de inters para 30 das a una tasa para un ao. Generalizando, podemos llegar de una tasa para t das a una tasa para un ao.

  • ELEMENTOS DE CLCULO FINANCIERO

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    t das i

    365 das tiTNA 365*=

    Algo para prestar atencin y no olvidar:

    Una TNA es para un periodo determinado, esto significa que la TNA para 30 das sirve slo para operaciones de 30 das de duracin.

    Tomadores de Fondos.

    Los tomadores de fondos son aquellas personas o instituciones que tienen necesidad de conseguir dinero. Por ese dinero que consiguen pagan un determinado costo.

    Supongamos ahora que Juan tiene un cheque que vence dentro de 30 das de $1.000 y Santiago tiene un cheque que vence dentro de 30 das de $10.000, pero ellos necesitan tener efectivo hoy. Ambos salen en busca de cambiar sus cheques por efectivo. Al final del da, Juan, vuelve a su casa con $900 y Santiago vuelve a su casa con $9.900. Las preguntas a respondernos ahora son:

    1. Cunto pag cada hermano (en pesos) el dinero? 2. Cul de las dos operaciones fue la ms barata? Por qu? 3. Quin asumi mayor riesgo? La persona que le prest dinero a Juan o la que le

    prest dinero a Santiago?

    Siguiendo nuestro mtodo

  • ELEMENTOS DE CLCULO FINANCIERO

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    Datos: Juan Santiago

    Capital Inicial (C0 ) C0 = 900 C0 = 9.900

    Capital Final (C1 ) C1 = 1.000 C1 = 10.000

    Tiempo t= 30 das

    Ahora comenzaremos a responder a las preguntas que nos hicimos respecto de las tomas de fondos de los dos hermanos:

    Pregunta 1: Cunto pag cada hermano (en pesos) por su toma de fondos?

    Tcnicamente, el monto pagado por una toma de fondos recibe el nombre de descuento y se calcula como la diferencia entre el capital final a pagar al final de la operacin y el capital recibido en el momento cero.

    Expresado en trminos matemticos podemos escribir a este concepto como:

    D= C1 C0

    Donde: D: Descuento C1: Capital Final

    C0: Capital Inicial

  • ELEMENTOS DE CLCULO FINANCIERO

    Pgina 16 de 37 Dra. Mara Marcela Rizzo

    Aplicando esto a las colocaciones de Juan y de Santiago vemos que:

    Juan Santiago Capital Inicial (C0 )

    C0 = 900 C0 = 9.900 Capital Final (C1 )

    C1 = 1.000 C1 = 10.000 Inters (en Pesos)

    I = 1.000-9000 I = 10.000-9.900 D = 100 D = 100

    Pregunta 2: Cul de las dos opciones fue la ms barata? Por qu?

    Si miramos lo que pag cada hermano por su toma de fondos, vemos que, en pesos ambos pagaron lo mismo. Pero si analizamos un poco ms la situacin vemos que Juan deber devolver $1.000 y Santiago $10.000. Por lo tanto, no es justo considerar que ambos pagaron lo mismo, y lo que corresponde, es relacionar los costos de las operaciones con las cantidades de dinero a devolver. La forma ms sencilla de realizar esto es dividiendo el costo en pesos (Descuento) por el Capital a devolver al final del periodo de tiempo (C1). De esta manera obtenemos una tasa que recibe el nombre de tasa de inters efectiva adelantada o tasa de descuento.

  • ELEMENTOS DE CLCULO FINANCIERO

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    Juan Santiago Capital Inicial (C0 )

    C0 = 900 C0 = 9.900 Capital Final (C1 )

    C1 = 1.000 C1 = 10.000 Descuento (en Pesos)

    I = 1.000-900 I = 10.000-9.900 D = 100 D = 100

    Tasa de inters efectiva adelantada i=0,1 i=0,01

    Tasa de inters efectiva adelantada (%) i= 10% i= 1%

    Desde este punto de vista vemos que la operacin de Santiago fue mejor que la de Juan, ya que, proporcionalmente Juan pag ms intereses que Santiago, es decir, que la tasa de inters pagada por Juan es mayor que la pagada por Santiago.

    Pregunta 3: Quin asumi mayor riesgo? La persona que le prest dinero a Juan o la que le prest dinero a Santiago?

    De acuerdo con el costo de la operacin la persona que le prest dinero a Juan asumi ms riesgo que la que le prest a Santiago, por eso, el costo de la operacin para Juan es ms alto que para Santiago.

    Veamos cules son los principales conceptos vistos hasta ahora.

    Tasa adelantada: A esta tasa la llamamos tasa efectiva adelantada o tasa efectiva de descuento y la nombramos con la letra d. Esta tasa nos muestra cunto nos descuentan por cada peso que pedimos prestado o dicho de otra manera cunto nos cuesta cada peso que pedimos adelantado. En frmulas la expresamos como:

  • ELEMENTOS DE CLCULO FINANCIERO

    Pgina 18 de 37 Dra. Mara Marcela Rizzo

    dC C

    C=1 01

    Operando algebraicamente con esta frmula, tenemos que:

    dCC

    CC

    CC= =

    11

    01

    1 01

    1 01

    =dCC

    A esta expresin la denominamos factor de descuento y nos dice cunto nos van a entregar por cada peso que nos comprometamos a devolver al finalizar el perodo de la operacin (Momento 1), en concepto de capital menos intereses adelantados, por cada peso que nos entregan en el momento inicial (Momento 0).

    La tasa efectiva adelantada es para un determinado periodo de tiempo, el sistema financiero expresa estas tasas para periodos anuales, esta tasa anualizada se conoce con el nombre de Tasa Nominal Anual Adelantada (TNAA), para calcularla la igual que lo hacemos con la TNA:

    t das d

    365 das tdTNAA 365*=

    t

    dTNAA 365*=

    Es importante destacar que las Tasas Nominales Anuales Adelantadas son para un

  • ELEMENTOS DE CLCULO FINANCIERO

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    determinado perodo de tiempo, por ejemplo una TNAA para 30 das.

    TEOREMA DE ARBITRAJE

    Hasta ahora nos hemos referido a las operaciones de toma y colocacin de fondos como dos situaciones aisladas en el mundo financiero; cuando en realidad no lo son; ya que para que la punta tomadora de fondos pueda recibir los fondos que necesita, debe haber una punta colocadora de fondos que tenga un excedente y quiera colocarlos en el mercado para obtener un rendimiento. Analizado de esta manera, llegamos a la conclusin de que lo que para una punta de la operacin es un costo, para la otra es un rendimiento y viceversa. De esto surge la necesidad de vincular a la tasa i con la tasa d. Ya que en el mercado financiero la tasa que se usa tanto para medir rendimientos como costos es i. Entonces, analizando una operacin desde la punta colocadora de fondos, esta recibir en el momento 1, por cada peso colocado en el momento 0, una cantidad igual al factor de capitalizacin:

    1 10

    + =iCC [1]

    Analizando la misma operacin desde la punta tomadora de fondos, esta recibir en el momento 0, por cada peso que debe devolver en el momento 1 una cantidad igual al factor de descuento:

    1 01

    =dCC [2]

    Para relacionar estos dos conceptos, multiplicamos miembro a miembro [1] y [2]; entonces nos queda:

    ( ) ( )1 1 10

    01

    + =i dCC

    CC* *

  • ELEMENTOS DE CLCULO FINANCIERO

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    Simplificando en el segundo miembro de la ecuacin llegamos al Teorema de Arbitraje: ( ) ( )1 1 1+ =i d*

    Resumiendo, este teorema sirve para relacionar tasas efectivas vencidas con tasas efectivas adelantadas y volverlas comparables.

    OTRAS TASAS DE LA ECONOMA

    Hasta ahora hemos hablado de dos tasas de la economa que son tasas contractuales, o lo que es lo mismo pactadas. Ahora vamos a ver tasas que estn determinadas por cambios en variables econmicas que no son controlables, estas tasas reciben el nombre de tasas reales de la economa. Estas tasas son: tasa real de inters y tasa de inflacin.

    Tasa Real de Inters

    Recordemos que en economa utilizamos unidades de canasta para medir el poder adquisitivo de la moneda; a estas unidades de canasta las representamos con la letra K. Entonces definimos a la tasa real de inters como la variacin de las unidades de canasta que podemos comprar en dos momentos distintos con respecto al momento inicial. Algebraicamente:

    rK K

    K=

    1 00

    Operando, tenemos que:

    rKK

    KK

    KK

    = = 10

    00

    10

    1

    1 10

    + =rKK [1]

  • ELEMENTOS DE CLCULO FINANCIERO

    Pgina 21 de 37 Dra. Mara Marcela Rizzo

    A esta expresin la llamamos factor de correccin por cantidad.

    Tasa de Inflacin

    Definimos a la inflacin como al aumento sostenido de precios. Entonces la tasa de inflacin es la variacin relativa de los precios en dos momentos distintos con respecto al momento inicial. Algebraicamente, tenemos:

    pi =P PP

    1 00

    Esta tasa es siempre una tasa efectiva y vencida, ya que se conoce al final del periodo que estudia y no surge de un contrato, sino que surge de las variaciones reales de precios.

    Operando, tenemos que:

    pi = = pp

    pp

    pp

    10

    00

    10

    1

    1 10

    + =pipp [2]

    Llamamos a esta expresin factor de correccin por variacin en los precios.

    Teorema de Fischer

    Este teorema relaciona la tasa de inters con la inflacin. Dicho de otra manera vincula tasas reales de la economa con tasas contractuales.

  • ELEMENTOS DE CLCULO FINANCIERO

    Pgina 22 de 37 Dra. Mara Marcela Rizzo

    Analicemos la siguiente lnea de tiempo:

    0 1 Y0 Y1

    En el momento 0, tenemos un ingreso Y0 con el que podemos comprar una determinada cantidad de unidades de canasta a un determinado precio; entonces:

    Y K P0 0 0= * [3]

    En este mismo momento 0 tenemos otra opcin que es la de colocar el ingreso de ese momento, que a partir de ese momento lo llamamos C0, a la tasa de mercado i. Entonces [3] queda como:

    C K P0 0 0= * [4]

    En el caso de llevar a cabo la colocacin, en el momento 1 tendramos un capital final que expresamos de la siguiente manera:

    ( )C C i1 0 1= +* [5]

    En el momento 1 con ese capital final podemos comprar una determinada cantidad de unidades de canasta al precio de ese momento:

    C K P1 1 1= * [6]

    Igualando [5] y [6], tenemos:

    ( )C i K P0 1 1 1* *+ = [7]

  • ELEMENTOS DE CLCULO FINANCIERO

    Pgina 23 de 37 Dra. Mara Marcela Rizzo

    Reemplazando [4] en [7]:

    ( )K P i K P0 0 1 1 1* * *+ = Operando con la expresin anterior:

    1 1 10 0

    10

    10

    + = =iK PK P

    KK

    PP

    *

    ** [8]

    Reemplazando [1] y [2] en [8]:

    ( ) ( )1 1 1+ = + +i rpi *

    Este teorema, como ya dijimos nos sirve para comparar la tasa efectiva de inters con la tasa de inflacin; dicho de otra manera, nos sirve para determinar de qu manera nos conviene ahorrar, si comprando bienes o realizando colocaciones financieras. Para realizar estas comparaciones vamos a despejar de la frmula del teorema a la tasa real de inters:

    pi*111 ir +=+

    Operando con esta expresin:

    pi

    pi

    pi

    pi

    pi +

    +=

    +

    ++=

    +

    +=

    111

    1)1(11

    11 iii

    r

    pi

    pi

    +

    =

    1i

    r

    Analizando esta expresin, tenemos que los posibles resultados de r son:

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    1. r > 0, esto significa i > pi, es decir que lo ms conveniente ser realizar una colocacin financiera.

    2. r < 0, esto significa que i < pi, es decir que lo ms conveniente ser invertir en la compra de bienes.

    Spread:

    La funcin del intermediario financiero consiste en hacerse de fondos a travs de los depsitos que recibe para luego prestar dichos fondos. Las entidades financieras ofrecen al mercado dos tipos de tasas que reciben su nombre en funcin del efecto que la operacin financiera produce en la contabilidad de la entidad:

    Tasa Activa: Es la que el Banco le cobra al Tomador de Fondos. Al Banco se le genera un crdito.

    Tasa Pasiva: Es la que el Banco le paga al Colocador de Fondos. Al Banco se le genera una deuda.

    Brecha: Es la Variacin Absoluta entre el capital que el Banco cobrar por sus Colocaciones de Fondos (prstamos a clientes) y el capital que deber devolver por sus Tomas de Fondos (colocaciones de clientes).

    Obviamente esta brecha tiene que permitirle a la entidad financiera soportar sus costos y lograr la utilidad deseada. Por lo tanto siempre la Tasa Activa ser mayor que la Tasa Pasiva, sean estas Nominales o efectivas.

    Spread: Es la Variacin Relativa entre el capital que cobrar por sus Colocaciones de Fondos y el capital que pagar por sus Tomas de Fondos con respecto al capital que pagar por sus Tomas de Fondos.

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    Pero, adems dijimos que el spread debe permitirle a la entidad financiera soportar sus costos fijos, variables y obtener la utilidad deseada, entonces:

    Resumen de Conceptos: Tasas de inters efectivas vencidas y adelantadas Tasas Nominales Vencidas y Adelantadas. Tasas Nominales y Tasas Reales Teorema de Arbitraje Teorema de Fischer Spread y Brecha

    ( ) ( ) ( )s1i1i1 pa ++=+

    ( ) ( ) ( ) ( )u1c1c1s1 vf +++=+

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    CAPITALIZACION SIMPLE Y CAPITALIZACION COMPUESTA

    Tenemos dos formas de proceder con los intereses originados en las colocaciones de fondos al finalizar el perodo de la colocacin. La primera alternativa es que al finalizar el primer periodo de colocacin, retiremos los intereses y recoloquemos el capital inicial; es decir que en el momento 1 la situacin sera la siguiente:

    Capital Inicial: C0 Intereses: I = C0*i

    Capital Final: C1 = C0* (1+i) Capital a recolocar: C0

    Al finalizar el segundo periodo de colocacin la situacin ser la siguiente:

    Capital Inicial: C1= C0 Intereses: I = C0*i

    Capital Final: C2 = C0* (1+i) Capital a recolocar: C0

    Intereses Totales: IT = C0*2*i

    As en al finalizar el plazo de la colocacin, es decir en el momento n y analizando punta contra punta el rendimiento de la colocacin, tenemos que:

    Capital Inicial: C0 Intereses Totales: I = C0*n*i

    Monto Total Recibido: C1= C0*(1 + n*i)

    A esta alternativa la conocemos con el nombre de capitalizacin simple, este nombre se debe a que siempre estamos capitalizando al capital inicial.

    La otra alternativa consiste en que al final de cada periodo de tiempo vamos a recolocar capital ms intereses, es decir, que el capital inicial de cada periodo ser el capital final del periodo

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    anterior tomando en cuenta los intereses; as es que, al finalizar el primer periodo, es decir en el momento 1:

    Capital Inicial: C0 Intereses: I = C0*i

    Capital Final: C1 = C0* (1+i) Capital a recolocar: C1 = C0 * (1+i)

    Al finalizar el segundo periodo, es decir en el momento 2, tenemos que:

    Capital Inicial: C0*(1+i) Intereses: I = C0*(1+i)*i

    Capital Final: C1 = C0* (1+i)2 Capital a recolocar: C1 = C0 * (1+i)2

    Al finalizar la colocacin en el momento n, la operacin analizada punta contra punta ser la siguiente:

    Capital Inicial: C0 Capital Final: C1 = C0* (1+i)n

    A esta forma de colocacin de fondos la conocemos como capitalizacin compuesta, es decir que los intereses se capitalizan y pagan intereses. Creemos importante destacar que las tasas reales capitalizan de esta manera.

    TASAS EQUIVALENTES

    Al comparar distintas alternativas para realizar operaciones financieras, toma o colocacin de fondos, es importante, comparar alternativas de igual plazo, es decir, que las alternativas son comparables, nicamente si los plazos de las operaciones son iguales. En caso de no ser iguales estos plazos, podemos calcular tasas equivalentes, de manera que se puedan volver comparables las distintas alternativas. Es importante sealar que las tasas equivalentes se basan en supuestos de capitalizacin compuesta, por lo tanto, son nicamente tasas de comparacin y no sirven para

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    calcular capitales finales, ya que, las tasas que rigen las operaciones que compararemos son tasas que ya tienen definido su plazo.

    La expresin que utilizamos para calcular tasas equivalentes es:

    ( ) ( ) mmnn ii 11 11 +=+

    El BCRA dispone que los Bancos y Entidades Financieras deben informar sus tasas expresadas como:

    TNA: Tasa Nominal Anual TEA: Tasa Efectiva Anual TEM: Tasa Efectiva Mensual

    Una nota importante:

    Si una persona quiere hacer depsitos a distintos plazos, para calcular el rendimiento total de la operacin, punta contra punta, debe considerar capitalizacin compuesta.

    Resumen de Conceptos: Capitalizacin Simple y capitalizacin compuesta Tasas equivalentes TEA y TEM Rendimiento total de operaciones.

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    SISTEMAS DE AMORTIZACION DE DEUDAS

    Hay distintas maneras de cancelar las deudas contradas por las personas y por la empresas. La forma en que se cancelarn estas deudas reciben el nombre de sistema de amortizacin. La cuota total de los sistemas de amortizacin de deudas estn compuestas por una parte de cancelacin del capital adeudado (amortizacin de deuda) y por otra parte que son los intereses por esa deuda de capital. Podemos decir, que:

    IAt CCC +=

    Donde:

    Ct : Cuota Total

    CA : Amortizacin de Capital

    Ci : Intereses

    Lo que caracteriza a un sistema de amortizacin es la forma en que se cancela el capital de la deuda, la forma en que se cancela el inters y las caractersticas de la cuota total. Los sistemas de amortizacin de deuda ms utilizados son el Sistema Francs y el Sistema Alemn. Veamos las caractersticas diferenciales de cada uno de los sistemas de amortizacin y despus veremos en detalle cada sistema:

    Sistema

    Francs Alemn

    Cuota Total Constante Variable Amortizacion de Capital Variable Constante Intereses Variables sobre saldos Variables sobre saldos

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    Sistema Francs El Sistema Francs de amortizacin es el ms utilizado en el sistema financiero porque tiene la ventaja de que la cuota es constante. La cuota total del sistema francs se calcula de la siguiente manera:

    ( ) nT

    i

    i.VPC

    +

    =

    11

    1

    Donde: CT: Cuota Total VP: Valor del Prstamo i: Tasa de inters efectiva (para el perodo del pago de la cuota) n: Cantidad de perodos.

    Veamos un ejemplo:

    Una persona va a su banco a pedir un prstamo de $ 15.000 que pagar en 5 cuotas iguales, vencidas y consecutivas anuales. La TNA que le cobra el banco es del 10% anual.

    1. Cul es el monto de la cuota anual? 2. Si esta persona quiere cancelar su prstamo al cabo del tercer ao. Cunto

    debe cancelar de capital? 3. Cunto es el total de los intereses pagados hasta ese momento? 4. Cunto pag de intereses totales por la operacin?

    Volvamos a nuestro mtodo:

    Datos:

    Valor Prstamo 15.000 TNA 10% Cuotas 5 anuales

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    Pregunta 1: Cul es el monto de la cuota anual?

    Para calcular el monto de la cuota anual debo utilizar la frmula:

    ( ) nT

    i

    i.VPC

    +

    =

    11

    1

    De estos datos me falta i, pero como coincide la periodicidad de las cuotas con un ao, la TNA es igual a la tasa efectiva, por lo tanto:

    i = 0,10

    El valor de la cuota ser:

    ( )510011

    1

    10000015

    ,

    ,*.CT+

    =

    Resolviendo:

    CT = 3.956,96

    Pregunta 2: Si esta persona quiere cancelar su prstamo al cabo del tercer ao. Cunto debe cancelar de capital?

    Para responder esta pregunta debemos saber cunto cancelamos de capital al cabo de tres aos. Para ello vamos a usar un cuadro de marcha:

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    Cuota Monto

    Adeudado Amortizacin

    de Capital Intereses Cuota total 0 15.000,00 0,00 0,00 0,00 1 12.543,04 2.456,96 1.500,00 3.956,96 2 9.840,38 2.702,66 1.254,30 3.956,96 3 6.867,46 2.972,92 984,04 3.956,96 4 3.597,25 3.270,21 686,75 3.956,96 5 0,00 3.597,25 359,72 3.956,97

    Total 15.000,00 4.784,81

    Aclaraciones al cuadro de marcha:

    Clculo de Intereses: Se calculan sobre el saldo de la deuda en el momento anterior, por ejemplo, en el momento uno:

    Intereses = 15.000*0,10 = 1.500

    Clculo de la Amortizacin de Capital: Es la diferencia entre la cuota total y los intereses en ese momento, por ejemplo, en el momento uno:

    Amortizacin de Capital = 3.956,96-1.500,00 = 2.456,96

    Para responder a la pregunta debemos ver cul es el saldo luego de pagar la cuota tres, es decir: 6.867,43

    Pregunta 3: Cunto es el total de los intereses pagados hasta ese momento? Para calcular el total de los intereses pagados al final del momento 3, debo sumar los intereses de los tres momentos. El total asciende a $ 3.738,34

    Pregunta 4: Cunto pag de intereses totales por la operacin? El total de intereses pagados asciende a $4.784,81

    Una observacin importante:

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    Podemos ver que la amortizacin de capital crece a la velocidad de la tasa de interes; esto significa que si llamamos t a la primer amortizacin de capital, podemos calcular la amortizacin de capital en cualquier momento como:

    ( ) 11 += jj i*tt

    Entonces, el saldo en cualquier momento lo podemos calcular como:

    ( ) 11 1 += jjj i*tSS

    Sistema Alemn El Sistema Alemn de amortizacin es tiene cuotas de amortizacin de capital constante y cuotas totales variables. La cuota de amortizacin del sistema alemn se calcula de la siguiente manera:

    n

    VPCA =

    Donde: CA: Cuota Amortizacin VP: Valor del Prstamo n: Cantidad de perodos.

    Veamos un ejemplo:

    Una persona va a su banco a pedir un prstamo de $ 15.000 que pagar en 5 cuotas utilizando el sistema alemn de amortizacin. La TNA que le cobra el banco es del 10% anual.

    1. Cul es el monto de la cuota anual? 2. Si esta persona quiere cancelar su prstamo al cabo del tercer ao. Cunto

    debe cancelar de capital?

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    3. Cunto es el total de los intereses pagados hasta ese momento? 4. Cunto pag de intereses totales por la operacin?

    Volvamos a nuestro mtodo:

    Datos:

    Valor Prstamo 15.000 TNA 10% Cuotas 5 anuales

    Pregunta 1: Cul es el monto de la cuota anual?

    Para calcular el monto de la cuota de amortizacin anual debo utilizar la frmula:

    n

    VPCA =

    El valor de la cuota ser:

    500015.CA =

    Resolviendo:

    CA = 3.000

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    Pregunta 2: Si esta persona quiere cancelar su prstamo al cabo del tercer ao. Cunto debe cancelar de capital?

    De estos datos me falta i, pero como coincide la periodicidad de las cuotas con un ao, la TNA es igual a la tasa efectiva, por lo tanto:

    i = 0,10

    Para responder esta pregunta debemos saber cunto cancelamos de capital al cabo de tres aos. Para ello vamos a usar un cuadro de marcha:

    Cuota Monto

    Adeudado Amortizacin

    de Capital Intereses Cuota total

    0 15.000,00 0,00 0,00 0,00

    1 12.000,00 3.000,00 1.500,00 4.500,00

    2 9.000,00 3.000,00 1.200,00 4.200,00

    3 6.000,00 3.000,00 900,00 3.900,00

    4 3.000,00 3.000,00 600,00 3.600,00

    5 0,00 3.000,00 300,00 3.300,00

    Total 15.000,00 4.500,00

    Aclaraciones al cuadro de marcha:

    Clculo de Intereses: Se calculan sobre el saldo de la deuda en el momento anterior, por ejemplo, en el momento uno:

    Intereses = 15.000*0,10 = 1.500

    Clculo de la Cuota Total: Es la suma de la cuota de amortizacin y los intereses en ese momento, por ejemplo, en el momento uno:

    Amortizacin de Capital = 3.000,00-1.500,00 = 4.500,00

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    Para responder a la pregunta debemos ver cul es el saldo luego de pagar la cuota tres, es decir: $ 6.000

    Pregunta 3: Cunto es el total de los intereses pagados hasta ese momento?

    Para calcular el total de los intereses pagados al final del momento 3, debo sumar los intereses de los tres momentos. El total asciende a $ 3.600,00

    Pregunta 4: Cunto pag de intereses totales por la operacin?

    El total de intereses pagados asciende a $4.500,00

    Comparacin entre los dos sistemas

    Sistema Frances Sistema Alemn Cuota Total Constante Variable decreciente en

    funcin del decrecimiento de los intereses.

    Cuota de Amortizacin Variable creciente a la velocidad de la tasa de interes

    Constante

    Cuota de Interes Decreciente Dereciente en funcin del saldo y de la tasa de inters.

    Cundo conviene ms?

    Se piensa llegar hasta el final del plazo del crdito antes de cancelarlo totalmente.

    Hay cancelacin anticipada.

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    Resumen de Conceptos: Sistemas de Amortizacin Cuota de Amortizacin Cuota Inters Sistema Francs y Alemn