POR QUE APRENDER FINANZAS

Especializacin en Administracin de Organizaciones FinancierasModulo 3: Mtodos cuantitativos y Clculo financiero

Apunte terico-prctico de

Clculo Financiero bsico

Operaciones Financieras

Llamamos operacin financiera a toda accin de inversin o financiacin que determine una variacin cuantitativa de capital.

Cuando invertimos una determinada suma de dinero se obtiene una variacin de su valor por el transcurso del tiempo. Este incremento de valor del capital invertido

se denomina inters, que sumado al capital inicial da por resultado el monto o capital final a recibir. Esta sera una operacin financiera de inversin.

Pero si se solicita una cantidad de dinero en prstamo por determinado plazo para devolver, al final de un plazo determinado, el dinero prestado ms un inters, estamos considerando una operacin financiera de financiacin.

El inters es el costo pagado por el uso de dinero, por un perodo determinado de tiempo.

Efectuaremos el anlisis y la descripcin de las operaciones financieras mediante modelos matemticos que no son ms que representar en frmulas las caractersticas y condiciones que rigen el mercado financiero.

Herramientas y nomenclatura:

Las operaciones financieras se representan grficamente mediante un eje de plazos y capitales, siendo muy til su utilizacin para visualizar los datos de un problema y como se deben mover para obtener el resultado requerido.

Eje de tiempo

Plazos

Capitales

C0

I(0,n)

Cn = C0 + I(0,n)

Trabajamos con la siguiente nomenclatura:

C0 = Es el capital inicial o valor presente.

I(0,n) = Intereses devengados hasta el periodo n. Es necesario aclarar que el

devengamiento de los intereses es continuo, en cambio la capitalizacin de

los mismos se puede producir en un momento determinado.

Cn = Monto o capital final al momento n. Esta formado por el capital inicial ms

los intereses que se han generado por el transcurso del tiempo.

n = plazo de la operacin.

i = Tasa de inters en tanto por 1, significa que cada peso invertido generar un

inters de $ i.

Por ejemplo si la tasa es del 12% anual, para trabajar con ella se expresar

en tanto por uno, o sea 0,12. Esto significa que por cada peso invertido se

obtendr un inters de 12 centavos en el lapso de un ao.

Capitalizacin y Actualizacin

Segn estemos buscando un capital final o un capital inicial, las operaciones financieras sern de capitalizacin o de actualizacin respectivamente.

En principio trabajamos con 1 solo perodo ya que en este caso coinciden las frmulas para los 2 regmenes de capitalizacin y actualizacin que veremos en el tem siguiente.

Un capital invertido C0 genera intereses I(0,1) que se devengarn durante todo el perodo, obtenindose as un monto C1 al finalizar el mismo.

0 1

C0 I(0,1) C1Donde C1 = C0 + I(1,0)

Siendo I(0,1) = C0 . i

Reemplazando C1 = C0 + C0 . i

Sacando factor comn se llega entonces:

C1 = C0 (1+i)

A este proceso de lo denomina capitalizacin, siendo (1+i ) el coeficiente de capitalizacin.

Si, por ej., invertimos $4000 a una tasa del 12% anual, al ao tendramos:

O sea, hubisemos ganado $480 de inters.

Si queremos saber cul es el capital inicial conociendo el capital final, entonces realizamos el proceso inverso al anterior:

Capital Inicial o Valor Actual

Llamamos a coeficiente de actualizacin o factor de descuento.

La idea de Valor Actual (Valor hoy de un capital futuro) se basa en un principio financiero bsico que es el valor del dinero en el tiempo, que dice que un peso hoy vale ms que un peso dentro de un cierto perodo de tiempo. Y esto se debe a que si ponemos a trabajar ese peso en el sistema financiero podemos obtener un rendimiento por esa inversin.

En el futuro llamaremos por comodidad "v" a dicho coeficiente.

Siendo

Ejemplo:

Supongamos que un inversor analiza la compra de un departamento en construccin cuya entrega ser dentro de un ao, para venderlo en ese momento a U$S 80.000. Cunto podr invertir hoy el inversor en ese departamento (valor de compra) si pretende obtener al menos un 18% de rentabilidad en un ao?

Para responder a esa pregunta no tenemos ms que ver cunto valen losU$S 80000 al da de hoy, y ese es el clculo del Valor Actual a una tasa del 18% anual:

O sea, que dadas las expectativas de rendimiento del inversor y suponiendo certeza en obtener los U$S 80.000 al ao, ste pagara como mximo U$S 67.796,61 en ese departamento.

Aqu estamos realizando una simplificacin del tema a modo de ejemplo, pero en la realidad el clculo del valor futuro del bien como el de la tasa de rendimiento pretendida no es tan sencillo y requiere de clculos adicionales.

La tasa de rentabilidad del 18% tambin es conocida como TIR (Tasa Interna de Retorno) y es el rendimiento propio que origina la inversin.

Si el inversor hubiese pagado U$S 65.000 por el Dto. adems de obtener la rentabilidad pretendida del 18% tambin obtendra un plus de ganancia por encima de esa tasa y en este caso, por supuesto, sera conveniente invertir. Si por el contrario, lo comprara a U$S 70.000 no sera conveniente para el invertir, ya que no alcanzara al rendimiento mnimo esperado y tendra una prdida. Estas decisiones surgen de comparar los costos de la inversin con los beneficios y aqu estamos usando una herramienta muy usada en finanzas para evaluar inversiones que es el VAN (Valor Actual Neto)

Tanto el concepto de TIR como VAN sern explicados con ms detalle ms adelante en el tem de decisiones de inversin.

Regimenes de Capitalizacin y actualizacin

Para perodos mayores a 1, la forma de clculo de los intereses y por lo tanto de llegar al monto final cambiar segn se trabaje con:

-INTERES SIMPLE

-INTERES COMPUESTO La diferencia entre ellos consiste en la forma en que se calculan los intereses que se generan en cada periodo.

INTERES SIMPLE

Por medio de sta forma de clculo los intereses que se generan a lo largo de un perodo no se agregan al capital para el clculo de los intereses del perodo siguiente. De esta manera el inters resulta ser igual en cada perodo (siempre y cuando la tasa sea fija) ya que se calcula siempre sobre el capital inicial (C0). Por lo tanto no se produce la capitalizacin de intereses.

Es semejante, en el caso de las inversiones, a retirar en cada periodo los intereses obtenidos y volver a colocar el capital inicial,.

Su aplicacin esta limitada solo a algunas operaciones financieras como el clculo de intereses punitorios en las deudas fiscales y en los pagos atrasados de alquileres, en el clculo de "numerales" efectuados por algunas entidades financieras y que son utilizados en general en el mbito de la justicia, etc.

Tambin es semejante a algunas operaciones poco transparentes, como por ejemplo las operaciones de descuento comercial o bancario y los prstamos por el denominado inters directo.

Formulas de clculo:

0

1

2

n

l l l // l

C0 C1= C0 +I(0,1) C2= C1+I(1,2) generalizando:

C1= C0 + C0 .i C2= C1+ C0 .i

C1= C0 .(1+i) C2= C0 + C0 i+ C0 i Cn= C0.(1+ni)

C2= C0 (1+2i)

En conclusin el monto a inters simple ser:

Esta frmula solo podr utilizarse de la forma expresada siempre que la tasa se mantenga igual durante todo el plazo de la operacin y siempre que tasa y plazo estn expresados en la misma unidad de tiempo.

Ejemplo 1: La tasa y el plazo son de igual unidad de tiempo

Se tiene una deuda de $2000 por la cual se cobra el 1% mensual, cul ser el monto a pagar a los 5 meses?

El inters de cualquier periodo t ser:

Intereses totales:

Ejemplo 2: En este caso no coincide el perodo al que est referida la tasa y la unidad de tiempo de la operacin.

Supongamos que para la deuda del ejemplo anterior se cobrar una tasa anual del 12% por los 5 meses.

Utilizamos para operaciones en general, el ao civil de 365 das, y el ao comercial de 360 das para los prstamos hipotecarios sobre vivienda y prendarios sobre automotores, como lo establecen las normas del Banco Central (Tasas de inters en las operaciones de crdito Texto ordenado al 12/7/2012).

La unidad de tiempo para el mes ser siempre de 30 das.

En este caso trabajamos en das, por lo tanto si la tasa de inters es anual (con base 365 das) para adaptarla al tiempo de la operacin, o sea 150 das, se utilizar como n a la fraccin de tiempo 150/365, cuyo resultado nos indica la cantidad de veces que se utiliza la tasa anual dentro del plazo de la operacin, que para el ejemplo ser menos de 1 vez.

Por lo tanto el monto ser:

Estaramos utilizando una regla de tres simple (o proporciones) ya que para 365 das corresponde una tasa del 12%, por lo tanto para 150 das seria:

Tasa para 150 das.

Inters simple con tasa variable

Hasta ahora hemos considerado que la tasa de inters se mantiene constante durante todo el periodo de la operacin, sin embargo es muy comn que no sea as, sino que la tasa sea variable.

Cuando esto ocurre no es posible utilizar la formula del monto antes explicada ya que al multiplicar n.i consideramos una tasa uniforme y ahora la i variar.

Por lo tanto el monto quedar conformado de la siguiente forma:

Monto a inters simple con tasa

variable

Recordar que n ser la cantidad de veces que se utiliza una tasa en determinado tiempo.Ejemplo 3:

Debido al pago de un juicio, cuya sentencia ha sido 90 das atrs con un monto de $8.000, se proceder a realizar el clculo de la liquidacin al da de hoy considerando que se le calcularn intereses a la tasa pasiva del Banco Nacin.

La tasa ha sido del 8% anual para los primeros 20 das, del 8,7% anual para

los 37 das siguientes y del 10% anual para los das siguientes.

Calcular:

a) El monto a pagar por el juicio al da de hoy.

b) La tasa nica que se hubiese utilizado para los 90 das para obtener el mismo monto.

c) La tasa promedio mensual que se hubiese utilizado para llegar al mismo monto.

a)

b)

c)

EMBED Equation.3

Si no se hubiese tenido el capital inicial y el monto y se quiere calcular la tasa mensual que equivale a usar las tres tasas anuales en el mismo plazo, se procedera de la siguiente manera:

Esta relacin se interpreta como una igualdad de montos considerando capitales iniciales de $1. Resolviendo se llega a la misma tasa mensual de 0,74%.

INTERES COMPUESTO

En el inters compuesto se calculan los intereses aplicando la tasa al capital al inicio de cada perodo. Esto significa que no se calculan los intereses sobre un monto constante, ya que ste variar a medida que se le sumen los mismos al capital. Se dice, entonces, que los intereses se capitalizan.

La mayora de las operaciones financieras utilizan este mtodo ya que, como veremos mas adelante, es ms transparente que el inters simple debido a que la tasa de inters aplicada es la verdadera tasa de rendimiento de la operacin.

Formulas de clculo

Deduccin de la formula del monto:

0 1 2 n

l l l // l

C0 C1= C0 +I(0,1) C2= C1+I(1,2) generalizando:

C1= C0 + C0 .i C2= C1+ C1 .i

C1= C0 .(1+i) C2= C1 (1+ i)

C2= C0 (1+i )(1+i)

C2= C0.(1+i)2

Monto a inters

compuestoEjemplo 1: La tasa y el plazo estn expresados en igual unidad de tiempo Utilizaremos el mismo ejemplo que en Inters Simple donde el Capital inicial era de $2000. La tasa mensual del 1% y el tiempo 5 meses:

Monto:

Intereses totalesI (0,n) = Cn - C0 = C0.(1+i)n- C0

I(0,5) = 2102,02 2000 =102,02

2000. [(1+0,01)5 - 1] = 102,02

Ejemplo 2: No coincide el perodo al que est referida la tasa y el tiempo de la operacin.

Por un adelanto en cuenta corriente de $5000 se cobra una tasa mensual del 3%, cul ser el monto a devolver a los 45 das para saldar la deuda?

Se observa que la fraccin de tiempo (n), que en inters simple se encontraba dentro del parntesis, ahora se encuentra en el exponente, y siempre representa la cantidad de veces que se utiliza la tasa dentro del plazo.

Como la tasa es mensual y el plazo es de 45 das, la misma se usar 1,5

veces (45/30) dentro de dicho plazo.

Cuando el tiempo est expresado en das, habr un exponente cuyo numerador son los das de la operacin y cuyo denominador son los das de la tasa.

Este mismo ejercicio podra expresarse a la inversa:

Para cubrir un adelanto en cuenta corriente se han depositado $5226,68. Si el adelanto se ha efectuado hace 45 das a una tasa mensual del 3%, cul ha sido el importe del mismo?

Debemos averiguar el capital inicial o C0:

Recordemos que al capital inicial tambin lo llamamos (segn el contexto) Valor Actual.

Inters compuesto con tasas variables

Si la tasa no es fija para todo el plazo, la formula del monto quedara:

- Considerando que las tasas capitalizan una sola vez dentro de cada perodo:

Ejemplo 3: Por una deuda de $5000 a pagar en 3 meses se cobrarn las siguientes tasas mensuales: 1,3%, 1,8% y 2,5% para cada mes respectivamente. Averiguar el monto adeudado al finalizar el tercer mes y la tasa promedio mensual a utilizar para llegar al mismo monto.

Este procedimiento de igualar montos para hallar una tasa en funcin de otras u otra, es la base de la equivalencia de tasas que veremos ms adelante.

- Considerando que las tasas capitalizan varias veces dentro de cada plazo:Lo vemos directamente con un ejemplo:

Ejemplo 4:

Se han depositado $10000 en una inversin por 90 das. Las tasas aplicadas fueron las siguientes:

16% anual para los primeros 14 das.

16,5% anual para los 27 siguientes.

18% anual para los ltimos 49 das.

Calcular:

a- El monto obtenido al final del periodo

b- La tasa promedio mensual de la operacin.

c- La tasa nica para los 90 das.

a-

b- Se buscar una tasa mensual que aplicada 3 veces en 90 das nos d el mismo monto que con las tasas anteriores.

1,32% mensual

c- Se buscar una tasa de 90 das que capitalizada una sola vez dentro del plazo nos d igual monto:

4% (redondeado)

Las tasas del punto b- y c- son tasas equivalentes, o sea, tasas de distintos perodos con las que se llega al mismo resultado en el mismo plazo.

Concepto de Equivalencia Financiera para Inters Compuesto Existe equivalencia financiera entre capitales de distinto valor y situados en distintos momentos del tiempo, cuando llevndolos (mediante una misma tasa de inters) a un mismo momento, sus valores son iguales.

Para igualar los capitales en un momento determinado se utilizar la capitalizacin o la actualizacin.

El banco o prestamista puede aceptar (en un mercado estable) que le paguen el prstamo en el tercer mes o en el sexto, por ejemplo, ya que estos importes estn en equivalencia financiera entre s.

Por ejemplo, si existe una tasa de inters fija del 2% mensual para prstamos, y el prstamo fue de $5000 a devolver en un pago, al prestamista le es indiferente recibir $5306,04 (5000.(1+0,02)3) al tercer mes o $5630,81 (5000.(1+0,02)6) al sexto mes, ya que si lo recibe al tercer mes puede obtener el mismo monto al sexto invirtiendo, el importe recibido, a la misma tasa por 3 meses ms.

Adems, ambos importes ( al tercer y sexto mes) actualizados al momento 0 a una misma tasa del 2% mensual, valen $5000.

Se dice, entonces, que dichos importes son equivalentes financieramente entre si.

Este concepto solo se verifica en el Inters Compuesto, no siendo as en el Inters simple.

Concepto de Rendimiento y Costo Financiero El rendimiento de una operacin financiera es la relacin entre los intereses de un periodo determinado y el capital al inicio de dicho periodo. El resultado de ese cociente tambin puede llamarse tasa efectiva de inters, o sea es la tasa que realmente rindi una operacin de inversin en un perodo dado.

Rendimiento para una inversin con un solo flujo de fondos en un perodo t:

Siendo:

Rt = Rendimiento del perodo t

It = Inters devengado en el perodo t

C t-1 = Capital al inicio del perodo t o final del perodo t-1

Si, por ejemplo, se quiere saber cunto rindi (en porcentaje) una inversin de $6000 en un mes si se obtuvo un inters de $90, efectuamos la divisin: 90/6000 = 0,015

La inversin rindi entonces, una tasa del 1,5% en un mes.

Cundo se trata de operaciones de financiacin como adelantos en cuenta corriente, adelantos con tarjetas de crdito, descuentos de documentos, prstamos, etc., la tasa calculada anteriormente sera un Costo Financiero para el que debe pagar, y cuando le agregamos los gastos adicionales de la operacin ( gtos. adm., sellados, seguros, IVA, etc) la tasa resultante es el Costo Financiero Total o CFT.

Costo financiero total para una deuda a devolver en un solo pago:

CFT = Intereses pagados + gastos + impuestos + ..

Capital recibido

Ambas frmulas (rendimiento y CFT) solo son utilizables cuando se trata de un solo pago, o cuando hay una inversin que nos proporciona un solo flujo de fondos. Cuando hay ms que uno (inversiones que nos dan ingresos en forma peridica o prestamos, por ej. ) se deber recurrir a otros mtodos de clculo no tan sencillos de calcular que nombraremos ms adelante.

Estos son dos conceptos muy importantes en el clculo financiero ya que:

Ser necesario conocer el rendimiento de una inversin, para poder ser comparado con otras alternativas y as poder tomar decisiones.

Como tambin es importante conocer el CFT de las financiaciones para poder comparar y elegir (si es posible) la de menor costo.

Tipos de tasas de inters

En las operaciones financieras aparecen distintos tipos de tasas de inters y es preciso definirlas para entender su significado y aplicacin.

En principio estudiaremos en este punto las tasas de inters vencidas definindose como tales a aquellas tasas que aplicadas a un capital, generan intereses que se abonan al finalizar el periodo.

TNA - Tasa nominal (Jm ) Es la tasa de pacto en una operacin, normalmente aparece en la pizarra de los bancos, en los documentos, en las condiciones de los prstamos, etc.

Esta tasa no representa el rendimiento efectivo de una operacin, es una herramienta para hallar una tasa subperidica que s ser el rendimiento del periodo al cual pertenece.

Por ejemplo J30 es una tasa nominal anual con capitalizacin mensual (convertible cada 30 das capitalizable cada 30 das), y se utiliza solamente para hallar una tasa de 30 das.

Tasa subperiodica ( im )

Es la tasa es proporcional a la tasa nominal ya que se obtiene dividiendo la misma por la frecuencia de capitalizacin (365/m). Entonces:

Por ejemplo, si para una operacin se informa una TNA del 15% para operaciones a 30 das, la tasa mensual ser:

1,23%Si usramos el ao con 360 das ser:

0,0125 1,25%

La tasa mensual generalmente en los bancos la denominan TEM (tasa efectiva mensual)

Es necesario aclarar que para obtener una tasa proporcional de m das es necesario tener la tasa nominal para operaciones de m das, o sea, una tasa de 90 das se obtiene directamente de una tasa nominal para 90 das (J90 ), de otro modo se debera realizar una equivalencia de tasas. Por ejemplo, si se quiere calcular una tasa de 90 das en base a una J30, primero habr que calcular la i30 y por equivalencia se calcular la tasa buscada de 90 das.

Si tomamos el ejemplo anterior en donde tenamos la J30 = 0,15 y ya calculada la

i30 = 0,0123 (con base ao 365) ; para hallar la i90 se procede de la siguiente forma:

Formamos una ecuacin, que es una igualdad de montos, a los 90 das, con un capital inicial de $1

Esto significa que, para que las tasas sean equivalentes, se debe dar que sea lo mismo calcular un monto con la tasa mensual capitalizada 3 veces (90/30) dentro de los 90 das, que utilizar la tasa trimestral una sola vez dentro del mismo plazo.

Simplificando el exponente y despejando i90 quedar:

i90 = 0,0374Tasa efectiva anual TEA (i) Es el incremento de la unidad de capital en el ao y refleja el verdadero rendimiento de una operacin en un ao, considerando que al capital se le aplic el inters compuesto con alguna tasa subperidica im.

Hallamos la TEA del ejemplo anterior: Teniendo como dato la tasa mensual se calcula la efectiva anual sabiendo que esta producir en el ao el mismo monto que aplicando la mensual 365/30 veces en el ao.

Establecemos entonces, una igualdad de montos con capital inicial de $1 que es el clculo de equivalencia de tasas.( 1+ i30)365/30 = ( 1+ i )

Esta igualdad tiene la siguiente lectura:

Un capital de $1 colocado a una tasa mensual dada, proporciona el mismo monto al ao que el mismo capital pero colocado a una tasa anual.

Estamos igualando montos pero por comodidad trabajamos con capitales de $1 ya que de cualquier forma quedaran simplificados.

Reemplazando y despejando:

O sea, la tasa efectiva anual es del 16,04%.

Esta es mayor a la nominal de la cul partimos como dato inicial (15%), ya que contiene los intereses capitalizados 12,17 (365/30) veces en el ao a inters compuesto, mientras que la tasa nominal anual representa la tasa anual del inters simple ya que no refleja la capitalizacin de intereses.

La tasa efectiva del 16,04 % representa los intereses que en un ao genera $1 de capital. En este caso se obtuvo por medio de una equivalencia con una tasa mensual pero podemos obtener una tasa efectiva por medio del concepto de rendimiento. Por ejemplo, si colocamos $100 al principio del ao y al finalizar el mismo nuestro monto es de $116,04 significa que el rendimiento fue:

R = 16,04/100 = 0,1604 que no es ms que la tasa efectiva de la operacin.

Por otro lado las tasas subperidicas (mensual, bimestral, de 5 das, diaria, etc) tambin son tasas efectivas ya que representan el rendimiento dentro del periodo que corresponden. Por lo tanto podemos hablar de tasa efectiva mensual, tasa efectiva semestral, etc. Estas son equivalentes a la tasa efectiva anual y entre ellas, ya que al cabo del mismo perodo producen el mismo monto pero con distintas capitalizaciones.

Ejemplo 1:

Dada una tasa nominal anual del 12% capitalizable mensualmente hallar:

a- La tasa proporcional mensual.

b- La tasa efectiva anual.

c- La tasa efectiva ( o subperidica) de 180 das.

d- La tasa nominal que debe informarse para obtener la tasa anterior.

a- j30 = 0,12 entonces

b- Una vez hallada la tasa mensual hallaremos la efectiva anual sabiendo que esta producir en el ao el mismo monto que aplicando la mensual 365/30 veces en el ao.

Establecemos entonces, una equivalencia de tasas.

Estamos igualando montos pero por comodidad trabajamos con capitales de $1 ya que de cualquier forma quedaran simplificados.

Reemplazando y despejando:

c- Se debe hallar la i180 , para ello podemos establecer una equivalencia con la

tasa mensual o con la tasa efectiva anual.

No se puede hallar directamente en funcin de la tasa nominal anual dada, realizando una divisin, ya que la misma es para obtener una mensual, pero s se puede hallar primero la mensual y luego en base a esta, la equivalente de 180 das.

Obtenemos la i180 por equivalencia con la i30:

El monto que se obtiene en 180 das colocando $1 a una tasa de 45 das, es el mismo que se obtiene con una tasa de 30 das pero aplicando sta 6 veces en el periodo (180/30).

Reemplazando y despejando:

i180 = 0,0609

Obtenemos la i180 por medio de la tasa efectiva anual:

Reemplazando y despejando:

i180 = 0,0609

Por supuesto en los dos casos obtenemos el mismo resultado ya que estamos trabajando con tasas equivalentes.

d- Para obtener la tasa nominal anual con capitalizacin cada 180 das, simplemente tomamos la tasa de 180 das y establecemos una proporcin:

Reemplazando:

Tasa instantnea de inters En realidad los capitales invertidos en una operacin financiera no permanecen invariables durante fracciones de tiempo, sino que hay capitalizacin continua de intereses en cada instante de tiempo, aunque el reflejo de ellos se realice en un momento determinado.

El concepto de capitalizacin continua se utiliza, por ejemplo, en los instrumentos financieros derivados como las "opciones", tema vinculado al mercado de capitales. La tasa instantnea de inters (delta) es una Tasa Nominal pero cuando la frecuencia de capitalizacin tiende a infinito.

Despus de un desarrollo matemtico quedara la siguiente equivalencia entre la tasa instantnea y la tasa efectiva anual.

Por lo tanto e es el monto que se obtiene colocando $1 a una tasa instantnea, o sea con capitalizacin continua, siendo este monto igual al que se obtiene con la tasa efectiva de inters i. Tomamos el nmero e = 2,7183Ejemplo 2:

Hallar el monto que resulta de invertir $1000 durante 3 meses al 12% anual con capitalizacin continua.

C3= 1000. e0,12. 90/365

= $ 1030,03 Vemos que la tasa instantnea se fracciona de la misma forma que la nominal.

Ejemplo 3:

Sabiendo que la tasa efectiva de 15 das es del 0,3% hallar la tasa nominal anual con capitalizacin continua (tasa instantnea).

(1 + 0,003)365/15 = e

El monto obtenido capitalizando la tasa de 15 das 365/15 veces al ao es igual al monto que se obtiene con una tasa instantnea anual.

1,0756 = ePara obtener la tasa es necesario aplicar logaritmo natural a ambos miembros.

Ln 1,0756 = . Ln e (el Ln e = 1)

= 0,0729 Tasa instantnea de inters anualEjemplo 4:

Se invierten $50.000 durante 12 meses a una tasa nominal anual del 18%. Hallar el monto al finalizar el periodo si los intereses se capitalizan:

a- semestralmente

b- trimestralmente

c- en forma continua.

Considerar en cada caso el mismo valor de tasa nominal anual.

a-

b-

c-

Comprobamos que a medida que aumenta la frecuencia de capitalizacin el monto es ms alto, llegando a su tope mximo en el punto c- con capitalizacin continua.

Tasas en un contexto con inflacinCuando existe inflacin (o deflacin) se deben definir tres tipos de tasas:

Tasa real ( ir ): Es la tasa libre de los efectos de la inflacin. Esta puede ser positiva, negativa o neutra, segn sea mayor, menor o igual a la tasa de inflacin.

Tasa aparente ( ia ): Es la tasa de contratacin de una operacin y tiene incluida la inflacin.

Tasa de inflacin ( ): Surge de la divisin de ndices monetarios (I).

Por ejemplo, la inflacin entre 0 y n surge de la siguiente relacin:

Por ej. Si el ndice de enero fue de 188,81 y el de julio fue de 194,87, la inflacin desde principios de febrero hasta fines de julio ser:

O sea, un 3,21% de inflacin. Los ndices de calculan al final del mes, por lo tanto el ndice de enero, por ej., es el de fines de enero o el de principios de febrero.

La relacin entre las tasas antes mencionadas es:

Por lo tanto se podr calcular la tasa real, que representa el verdadero rendimiento de una operacin (cuando consideramos la inflacin), de la siguiente forma:

Entonces, si en el ejemplo anterior, en una inversin colocada el primero de febrero hasta fines de julio la tasa pagada (tasa aparente) fue del 5% para ese plazo, cul ser la tasa que realmente se gan (tasa real) considerando la inflacin calculada?.

Se gan realmente el 1,73% considerando que hubo una inflacin del 3,21% para ese plazo.

Ejemplo 1:

Cul es la tasa aparente o de contratacin bimestral si la tasa real es del 1% bimestral y la tasa de inflacin es del 2% promedio mensual.

ia = 0,0508 5,08% bimestral

Las tres tasas deben referirse al mismo periodo de tiempo, aqu como la tasa real y la aparente son bimestrales la tasa de inflacin, al ser mensual, deber utilizarse 2 veces.

Ejemplo 2: Durante los primeros 5 meses del ao X el INDEC informo las siguientes variaciones del ndice de Precios al Consumidor (usado comnmente para obtener la tasa de inflacin):

Enero 116,52

Febrero 117,39

Marzo 118,25 Abril 119,20

Mayo 120,08

Calcular:

a. La inflacin de febrero.

b. La inflacin entre marzo y mayo (ambas inclusive)

c. Si una operacin se contrat a fines de enero por cuatro meses, al 2,87% cuatrimestral, cual fue la tasa real de todo el periodo?

a)

b)

Ntese que al solicitarse la inflacin entre marzo y mayo ambos inclusive, se toma como denominador el ndice de febrero ya que este pertenece a fines de febrero o principios de mayo.

c)

Se obtuvo una tasa real negativa del 0,18%

CER (coeficiente de estabilizacin de referencia)- Antecedentes Normativos

Despus de la salida del rgimen de convertibilidad, el Poder Ejecutivo Nacional (PEN) estableci a travs del Decreto N 214 de febrero de 2002 la "pesificacin" de crditos y deudas en moneda extranjera, disponiendo adicionalmente la creacin de un ndice de ajuste de las obligaciones denominado Coeficiente de Estabilizacin de Referencia (C.E.R.). Este coeficiente es elaborado y publicado el da 7 de cada mes por el Banco Central de la Repblica Argentina (BCRA), y est compuesto por la tasa de variacin diaria obtenida de la evolucin del ndice de Precios al Consumidor (IPC) que publica el Instituto Nacional de Estadsticas y Censos (INDEC).

Luego, con el fin de atenuar el impacto de la inflacin sobre los crditos pesificados, las Autoridades dispusieron un conjunto de normas complementarias, reglamentarias e incluso aclaratorias de todo aquello establecido en el Decreto original y en normas subsiguientes. En este sentido, el PEN dict el Decreto 1242/02 que reglament el artculo 4 del Decreto 762/02, el cual haba establecido el sistema de ajuste de determinados crditos, reemplazando el CER por un nuevo ndice de actualizacin de deudas que tiene base en la variacin de los salarios de los trabajadores, denominado Coeficiente de Variacin Salarial (C.V.S.). Este ltimo es confeccionado y publicado por el INDEC.

Con el fin de incluir algunas situaciones que no haban sido contempladas, el PEN promulg en enero de 2003 la Ley 25.713, la cual estableci las formas de aplicacin del C.E.R. y sus excepciones (C.V.S.), en lnea con lo previamente reglamentado (Decretos 214 y 1242) e introduciendo algunas modificaciones. En noviembre, a travs de la Ley N 25.796 dispuso la modificacin del artculo 4 de la Ley N 25.713, establecindose que a partir del 1 de abril de 2004 no ser de aplicacin respecto de las obligaciones ajustadas por C.V.S., ningn ndice de actualizacin.

Calculo del coeficiente para indexar contratos:

El coeficiente que se aplica para ajustar un importe desde el da t hasta el da (t+n), surge de la siguiente divisin:

Donde el numerador y el denominador son ndices CER de los das (t+n) y t respectivamente. Dichos ndices son publicados por el INDEC. Por ejemplo si se tiene que ajustar una deuda de $5000 desde el 7/8/X hasta el 17/8/X, debemos averiguar previamente los ndices de cada fecha:

CER7/8/X = 1,6448 CER17/8/X = 1,6501 (los valores son ejemplos no reales)

El coeficiente a aplicar surge de efectuar el siguiente cociente:

CER (17/8/X) = 1.6501 = 1.0032

CER( 7/8/X) 1.6448

Por lo tanto la deuda al dia 17/8/X ser de :

5000 x 1.0032 = $ 5016

Ejercicios resueltos de inters simple, compuesto y tasas

1) Por una deuda adquirida hace 5 aos todava quedan dos cuotas por pagar. La primera de ellas es de $1.000 a abonar dentro de 1 mes; la segunda cuota es de $2.000 y debe abonarse dentro de 4 meses.Cul es la cuota nica que debera abonarse dentro de 2 meses para saldar la deuda si el inters mensual es del 2%? (inters compuesto)

Hay que valuar al mes 2, las dos cuotas que se deben, la primera se capitaliza por un periodo y la segunda se actualiza por 2 periodos. La suma de estas dos operaciones es equivalente a la cuota nica por pagar.

0 1 2

3

4

l l l l l

1000 Cuota nica 2000

2) Una persona coloca $10.000 en un banco a la tasa de inters efectiva anual vigente en

ese momento. A partir del octavo mes la tasa anual cambia al 12%.

En ese momento decide aumentar sus depsitos en $5000 ms, y cuatro meses ms tarde retira $1146 en concepto de intereses totales.

Cul fue la tasa anual original y la tasa promedio mensual de la operacin por inters compuesto?

La tasa es del 8,56% anual

Clculo de la tasa promedio:

3) Se invierten $1.000 en dos operaciones: la primera al 1% mensual de inters y la otra al 2% bimestral de inters, ambas durante 24 meses, al cabo de los cuales forman un monto de $ 1268,65 Calcular el importe de cada uno de los depsitos.

4) Que tasa de inters se gan en 45 das si el capital invertido fue de $1.000 y en ese lapso de tiempo se pudo retirar $1.020?. Adems determinar la TNA y la tasa efectiva anual correspondiente.

Se deber hallar la tasa de 45 das, sta representa el rendimiento en porcentaje de la inversin de $1000, o sea cuanto representan los intereses ganados sobre el capital invertido:

Otra forma de llegar al mismo resultado ser:

- Clculo de la TNA

La TNA para los 45 das es del 16,22%.

- Para hallar la tasa efectiva anual (TEA) se deber realizar una equivalencia de tasas entre la tasa de 45 das y la efectiva anual:

Esto significa que utilizando (365/45) veces la tasa de 45 das en un ao, se obtendra el mismo monto que capitalizando una sola vez en el ao con la tasa efectiva anual.

Despejando i:

La TEA es del 17,42%.

5) Por la compra de los bienes A y B se posee la informacin del precio de lista (a pagar con tarjeta a 30 das) y del descuento por pago al contado, calcular el costo financiero implcito para cada uno de ellos.Precio de listaDto. por pago contadoPrecio contado

A100010%900

B130011,54%1150

Recordemos que el costo financiero es la tasa que resulta de dividir la diferencia de capitales sobre el capital inicial que en este caso es el precio contado:Bien A : Bien B:

11,10% y 13,04% representan el recargo por pagar los bienes a un mes.

6) En una boleta de TELECOM figura un total a pagar de $96,98 al primer vencimiento el 3/9. Si el cliente paga su factura el 13/9, sta ser afectada por un recargo del 0,77% por ese plazo de 10 das y adems, se cobrar IVA sobre intereses del 21%. Cul es el CFT por los 10 das?

3/9 10 das 13/9

$96,98

R: CFT para 10 das: 0,93%

7) Se transcribe una informacin real de un banco ofreciendo adelanto con tarjeta: Usted podr obtener en forma inmediata un Adelanto de Efectivo desde su Tarjeta Visa en una o varias cuotas y acreditar el importe en la cuenta que usted elija. Las cuotas del adelanto se incluirn en la liquidacin de su Tarjeta Visa.Consulta de adelanto en 1 pagoPesos

Disponible de adelantos en 1 cuota$ 2.500,00

T.E.M. de adelanto en 1 cuota3,41 %

T.N.A. de adelanto en 1 cuota41,50 %

Cargo sobre monto del adelanto4 % + IVA

Consulta de adelanto en cuotasPesos

Disponible de adelantos en cuotas$ 18.400,00

Cantidad mxima de cuotas24

Seguro sobre saldo deudor0,40 %

Cargo sobre monto del adelanto4 % + IVA

Tasa de financiacin (en cuotas)

121824

T.N.A.41,00 %43,00 %45,00 %

T.E.M.3,37 %3,53 %3,70 %

Calcular el CFT mensual del adelanto en un solo pago (en cuotas lo veremos en la parte de Rentas), considerando que se cobra, adems, IVA sobre intereses del 10,5% e IVA sobre gastos del 21%.

Primero calculamos la tasa mensual para chequear que estn bien los datos del banco:

Efectuamos la suma de todo lo que se pagar adems de la devolucin del capital:

Intereses: 2500 x 0,0341 = 85,25

IVA s/ Intereses: 85,25 x 0,105 = 8,95

Gastos: 2500 x 0,04 = 100

IVA s/ Gastos: 100 x 0,21 = 21

Total = 215,20

Para solicitar un adelanto con tarjeta de crdito en un pago se deber pagar un CFT del 8,61% mensual.

Los bancos utilizan las siguientes siglas para el Costo financiero Total de sus operaciones, especialmente en prstamos, siempre expresados en porcentaje (es una tasa):

CFT = Costo Financiero Total (es el costo cuando se incluyen gastos y/o impuestos)

CFTNA = Costo Financiero Total Nominal Anual ( es el anterior pero expresado en forma de tasa nominal)

CFTEA = Costo Financiero Total Efectivo Anual ( es el primero pero en trminos de tasa efectiva anual)

CFTEM = Costo Financiero Total Efectivo Mensual ( expresado en forma mensual)

8) Se disponen $X y se pueden invertir por un plazo de 120 das de la siguiente forma:a) Un depsito al 17% nominal anual para operaciones a 14 das.

b) Un depsito a tasa variable, sabiendo que para los primeros 50 das la tasa ser del 16% nominal anual capitalizable en forma continua, y para el plazo restante se estima que se podr obtener un rendimiento del 2,3%. Determinar: 1) Cul es la alternativa ms conveniente considerando el rendimiento cuatrimestral que ofrecen ambas inversiones.

2) Si en la alternativa b) durante los primeros 50 das se obtiene $0,018 por cada peso invertido, cual debera ser la TNA para operaciones a 30 das, que debera informarse para el resto del plazo, para obtener el mismo rendimiento hallado anteriormente?

3) Si para la alternativa a) se considera la tasa hallada como la tasa aparente para 120 das y la inflacin promedio mensual se estima del 1,8% para dicho plazo, cul ser la tasa nominal anual real para operaciones a 120 das que se obtendra en la operacin? 1) a)

EMBED Equation.3

ms conveniente

b)

2)

3)

9) Se tomaron fondos por 87 das a una TNA del 36,50% para operaciones a 30 das. Determinar cual fue la tasa bimestral de inflacin si se sabe que el costo financiero real mensual fue del 0,5% negativo.

DESCUENTO COMERCIAL O BANCARIOEsta Operatoria consiste en descontar un documento con vencimiento futuro, en una entidad financiera, para recibir hoy una cierta cantidad de dinero.

El descuento de documentos puede implementarse de dos maneras:

Como descuento de documento de terceros, donde el firmante y quien descuenta el documentos son dos personas (Jurdicas o fsicas) distintas

Como descuento de documentos de sola firma, donde el firmante y quien descuenta es la misma persona. Clculo del descuento comercial: Por ejemplo, se recibe un cheque de pago diferido por $5000, con fecha de pago dentro de 60 das. Pero si necesitamos el dinero hoy debemos recurrir a un prestamista o banco para que nos adelante el dinero, a cambio de la entrega del cheque. Por supuesto esta operacin tiene su costo ya que el banco, por ejemplo, cobrar los $5000 recin a los 60 das, por lo tanto nos entregar un valor menor para resarcirse de los intereses por ese periodo (adems de gastos y tasas).

En principio vemos un ejemplo sin gastos para obtener la frmula bsica.

Definimos la siguiente nomenclatura:

d = tasa de descuento en tanto por uno.

N = Valor nominal. (valor final o futuro)

V = Valor actual (capital al inicio)

D = Importe del descuento.

El descuento es la diferencia entre el valor nominal y el actual:

D = N - V

Por otro lado, el descuento en este sistema se calcula sobre N:

D = N.d.n

Si reemplazamos en la expresin anterior:

N.d.n = N - V

Despejando V:

V = N - N.d.n

Ejemplo 1:

Si en el ejemplo planteado inicialmente (N = 5000, plazo= 60 das) el banco cobra una tasa de descuento del 2,4% mensual, el el importe de descuento y el valor a recibir (V) sern:D = 5000. 0,024. 2 = 240 (la n es igual a 60/30=2 ya que el plazo es de 60

das y la tasa es mensual)V = 5000 - 240 = 4760

V = 5000(1 - 0,024. 2) = 4760

Ejemplo 2:

Se efecta el clculo con una tasa adelantada (de descuento) anual del 30%, siendo la operacin de 180 das y con un valor nominal de $5000:

Si en esta ltima operacin quisiramos calcular el Costo Financiero (CF) de la operacin a 180 das, que no es ms que la tasa que efectivamente se pag por la operacin, debemos dividir el importe del descuento sobre el capital al inicio del periodo:

Comprobamos que la tasa efectiva o Costo Financiero para el periodo de 180 das es del 17,36%, mientras que la tasa de descuento para 180 das que se aplic en la operacin es de 14,79%.

La diferencia consiste en que la tasa de descuento se aplica sobre un capital futuro (N), y la tasa efectiva i se aplica sobre el valor presente (V).

Conclusin: La tasa aplicada en la operacin de descuento no es el costo financiero efectivo de la misma, sino una tasa menor que resulta engaosa para la persona o empresa que pide el descuento del documento, ya que en realidad no es la tasa que realmente paga, sino una tasa mayor que ser incrementada, como veremos a continuacin, por las comisiones, sellados, impuestos, etc. dando origen al CFT de la operacin de descuento. Sin embargo el descuento comercial es la forma de clculo que ms se usa en

descuento de documentos.

Ejemplo 3:

Se recibe un documento de $12.000 a vencer dentro de 180 das. Se descuenta en un banco 120 das antes de su vencimiento, a una tasa de descuento del 28% anual. Si el banco cobra gastos y sellados por $360 ms IVA (21%), e IVA sobre el descuento del 10,5%, cunto recibi del banco y cul es el CFT de la operacin?Datos:

N = 12000 n = 120 das d = 28% anual

Gastos = 360

IVA s/ gtos = 21%

IVA s/ dto = 10,5%

Entonces, se descontar en total:

Descuento + Gastos + IVA s/ Dto. + IVA s/ Gtos

1104,66 + 360 + (1104,66 x 0,105) + (360 x 0,21) =

= 1656,24

Recibir del banco:

V = 12000 1656,24 = $10.343,76

El Costo Financiero Total (CFT) para la operacin a 120 das es:

R: V = $ 10.343,76 , CFT de la operacin = 16,01% por 120 das. FACTORING FINANCIERO (facturacin financiera)

El Factoring es un contrato celebrado entre una empresa y una entidad financiera o bien una sociedad de factoring, por el cual la primera transfiere a la segunda crditos a cobrar originados por su actividad comercial o de servicios (ej. facturacin de la Pyme, cheques posdatados, pagars, etc.), con la finalidad de obtener recursos lquidos. De este modo el financiamiento se logra a travs de la compra de los crditos o documentos seleccionados por la entidad financiera.

Las Pymes tienen la urgente necesidad de financiar sus ventas, hacer ms rpido el recupero de sus crditos, calzar los plazos de pago con los de cobro y contar con un rpido retorno de su capital de trabajo, por lo tanto recurren frecuentemente a este sistema de Descuento de Documentos.

Los participantes son:

Factor: Es la empresa que facilita los servicios conocidos por servicios de factoring.

Cliente: La empresa o comerciante que contrata con el factor la transferencia de los crditos contra sus compradores.

Deudor o comprador: Empresa que adquiere del cliente (que es el que contrata el factoring) los productos de ste, mediante la obligacin del pago de un precio y que constituye el deudor del crdito transmitido al factor.

La cesin o venta de crditos es regulada por el Cdigo Civil o por la Ley Cambiaria.Caractersticas:

La empresa Pyme recurre a esta cesin o venta de crditos con el objeto de obtener recursos financieros, cuyo costo estar determinado por la tasa de inters que resulte pactada.

El factor toma a su cargo el manejo el potencial riesgo de insolvencia de cada uno de los deudores cedidos, por lo que no puede reclamar al cedente por la falta de pago de algn crdito negociado.

. Puede existir un anticipo sobre los valores a cobrar, en cuyo caso el factor fija los intereses correspondientes a la entrega a cuenta y los retiene por adelantado descontndolos del prstamo.

Como garanta de posibles devoluciones, si el crdito cedido no est instrumentado en documentos negociables, se estima un aforo (garanta) sobre el monto transferido. Ante el incumplimiento del deudor, el factor carga al cliente el crdito afectando el aforo. Este aforo se liquida al cedente al final de la operacin.

La responsabilidad del cedente se limita a la garanta de existencia y autenticidad del crdito seleccionado y aceptado por el factor.

El factor puede brindar otros servicios administrativos adems del financiero, lo que optimiza la gestin del cliente asistido.

Beneficios del Factoring:

Permite contar con una nueva lnea de financiamiento.

Convierte activos no exigibles en activos disponibles.

Mejora los flujos de caja y la liquidez.

Posibilita mayor velocidad en la rotacin del capital de trabajo en las empresas.

Aumentala capacidad de la infraestructura productiva (ventas y endeudamiento).

Profesionaliza la gestin y disminuye las cargas administrativas.

En funcin de la tasa de descuento y la fecha de vencimiento medio de los crditos cedidos, la venta de cartera puede generar rendimiento financiero adicional.

Si el negocio se limita a que el factor tome solamente a su cargo el manejo de la cobranza percibiendo una comisin por su gestin, se esta en presencia de un simple servicio comercial sin financiamiento, que podra denominarse factoring comercial.

Marco Legal: La ley 21.526 permite realizar operaciones de factoring a:

- Bancos comerciales

- Compaas financieras

Su regulacin se sustenta en el Art. 1197 del Cdigo Civil.

La Ley 24.452 (Cheque de pago diferido) y la ley 24.760 (Factura de crdito), regulan los dos tipos de crdito idneos para desarrollar el factoring.

Ejercicios resueltos de Descuento de documentos

1) Un comerciante necesita financiarse por $8500, para ello tiene recurre a un descuento de cheques a 90 das, la institucin financiera le cobrar una tasa de descuento del 3,2% mensual y se gastos por el 2% del VN. No se cobra IVA.a) De cunto debe ser el valor nominal del cheque para que descontado quede un valor actual de $8500?b) Cul ser el CFT de la operacin a 90 das.V = 8500

d30= 3,2% gtos.:2%

tiempo = 3 meses

a) 8500 = N.(1 - 0,032 x 3 - 0,02 )

N = 9615,38

b) El CFT lo hallamos dividiendo la suma del descuento ms los gastos sobre el valor actual (valor recibido).

D + gastos= 9615,38 8500 = 1115,38

CFT = 1115,38 = 0,1312 13,12 % para 3 meses 8500

2) Hoy se descuentan 2 pagars cuyos valores nominales suman $ 3200, al 18% anual adelantado. Si un pagar vence a los 60 das y el otro a los 75, determinar los respectivos valores nominales sabiendo que sus valores actuales suman $3062,18 y se cobra el 1% de gastos sobre el valor nominal de cada documento. Cual fue el costo financiero total para el 2do pagar?

N1 =1700 N2 = 1500

Clculo del CFT del 2do doc.:

3) Se ha efectuado una venta y queda un saldo a financiar de $3000 que ser cancelado con 2 documentos a 3 y 9 meses respectivamente e incluyen un inters del 15% efectivo anual. El segundo documento es el doble del primero.

Si el vendedor quisiera descontar dos documentos en un banco el da que los recibi, a que tasa trimestral adelantada debera efectuarse la operacin para obtener los $3000?

Resolucin:

RENTAS

Definicin:

Toda renta es una sucesin de pagos o cobros, iguales o distintos, con vencimiento en pocas equidistantes.

El periodo es el intervalo de tiempo que media entre dos pagos consecutivos.

Ejemplos de rentas:

Una serie de depsitos destinados a formar un capital en cierto tiempo.

Los depsitos en una AFJP.

Los pagos de los alquileres.

Los pagos para comprar un bien en forma financiada.

Los pagos para cancelar una deuda.

Etc.

Todos los clculos de rentas se realizarn a Inters Compuesto.

VALOR FINAL DE UNA RENTA (VF)

El VALOR FINAL es un importe que surge de sumar todos los pagos o depsitos que se realicen en una cuenta, con sus respectivos intereses, hasta un momento dado de valuacin.

Recordemos que, cuando tenamos un solo pago o depsito el capital final o Valor Final se calculaba:

C1 = C0 (1+i) Pero si queremos formar un fondo de ahorro por ej., realizando un depsito de 200 al final del primer mes, 500 al final del segundo y 1000 al final del tercero, y la tasa que me da el banco es del 1% mensual, cuanto se junt al final del tercer mes:

Cuando las cuotas son todas iguales, vencidas, equidistantes y la tasa se mantiene siempre igual, por medio de clculos matemticos el VF se puede simplificar con la siguiente frmula:

Siendo esta la formula del valor final de n cuotas vencidas e iguales de $CImportante: Esta frmula, as expresada, merece las siguientes consideraciones:

Las cuotas son fijas, vencidas y estn todas valuadas al momento del ltimo pago o depsito n.

En ste caso la n, que representa el nmero de cuotas, coincide con el momento de valuacin de las mismas, pero no siempre sucede as. (veremos ejemplos ms adelante).

La tasa deber ser fija y del mismo perodo que el de las cuotas, por ejemplo, si las cuotas son bimestrales la tasa deber ser bimestral.

A la frmula se la denota, en la nomenclatura internacional,

con el smbolo: Sn( i siendo Sn( i el valor final de una renta de pagos de $1.

Por lo tanto:

Cabe aclarar que hay otro tipo de nomenclatura, muy utilizada en la matemtica financiera en nuestro pas, que es la siguiente:

El esquema de clculo ser:

Intereses totales:Resultan de restarle al fondo acumulado la totalidad de los pagos realizados, que al ser todos iguales se expresa en forma e producto.

Cuando las cuotas son adelantadas simplemente utilizamos la formula de cuotas vencidas pero multiplicada por (1+i).

Valor final de n cuotas iguales y adelantadas de $C.

Ejemplo 1:

Si una persona deposita $2000 al final de cada mes por 2 aos en un plazo fijo que le paga una TNA del 14,60%, cunto dinero tendr acumulado al momento de efectuar el ltimo depsito y cunto ganar de intereses en total suponiendo que la tasa se mantiene constante?

Primero se deber calcular la tasa del perodo de las cuotas, en este caso se calcular la tasa mensual:

La cantidad de cuotas n es 24.

VF = C. S24( 0,012

Ejemplo 2: Si en el caso del ejemplo anterior se depositaran 24 pagos pero no se retira el dinero, quedando el fondo en la cuenta 6 meses ms, cul sera el valor final y los intereses ganados al cumplirse dicho plazo?Aqu el nmero de cuotas n es menor que el plazo total de valuacin, por lo tanto se calcular el valor final de 24 cuotas y dicho importe se capitalizar por 6 meses ms:

VF al mes 30 = C. S24( 0,012 . (1+0,012 )6 = 59344,40Intereses totales

Ejemplo 3:

Un padre de familia hace depsitos bancarios por $3500 al principio de cada semestre, comenzando el da de nacimiento de su hijo: Cunto tendr en la cuenta acumulado cuando su hijo cumpla los 7 aos de edad, suponiendo que la inversin redita el 16% nominal anual para operaciones a 180 das?

Primero se deber hallar la tasa semestral:

Como en 7 aos hay 14 semestres la n ser igual a 14.

Entonces el fondo acumulado transcurridos los 14 semestres, depositando cuotas en forma adelantada de $3500 ser:

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA (VA)El VALOR ACTUAL, es un importe que representa el valor hoy de una serie de pagos o cuotas futuras.

Ya lo hemos visto cuando consideramos un pago nico y hemos dicho que es un concepto muy importante en finanzas ya que es la base para todo plan de financiamiento, prestamos hipotecarios y decisiones de inversin.

Recordemos que, cuando tenemos un solo pago o (flujo de fondos) el VA ser:

VA

Cuando tenemos distintos capitales o flujos de fondos futuros, como por ej., un plan de financiacin con cuotas distintas, quedara:

Ejemplo 1:

Cuanto valdra al contado un servicio que puede financiarse con tres pagos de:

$5.000 el primer mes, $ 10.000 el segundo mes y $15.000 el tercero, considerando una tasa de inters para la financiacin del 2% mensual.

Entonces, el valor hoy de esos pagos, que es lo mismo decir el valor al contado del servicio, a la tasa del 2% por financiacin, ser de $ 28.648,48.

Lgicamente que por financiarse se est pagando un inters en pesos que ser:

(5000+10000+15000) - 28648,48 = $1351,52

Esta forma de calcular el VA nos servir mas adelante para valuar proyectos de inversin.

Cuando las cuotas son todas iguales, vencidas, equidistantes y la tasa se mantiene para todo el plazo, el clculo anterior se puede simplificar en la siguiente frmula, que surge de clculos matemticos que vamos a obviar:

Siendo esta la frmula del valor actual de n cuotas vencidas de $C.

Importante: Esta frmula, as expresada, merece las siguientes consideraciones:

Las cuotas son fijas, vencidas y estn todas valuadas al momento anterior del pago de la primer cuota. En la deduccin de la frmula dicho momento es el 0, pero puede ser cualquier otro, como veremos en rentas diferidas.

En ste caso la n, que representa el nmero de cuotas, coincide con la cantidad de perodos de la operacin, pero no siempre sucede as. (veremos ejemplos ms adelante tambin con rentas diferidas).

La tasa deber ser fija y del mismo perodo que el de las cuotas.

El esquema de clculo es el siguiente: Llamamos an( i = al valor actual de n cuotas vencidas de $1

Quedando

Ejemplo 2:

Si en el ejemplo anterior del servicio, si el plan de financiacin fuese de 5 pagos mensuales de $6000 cada uno, siendo la tasa de inters del 2% mensual, Cul sera hoy el valor al contado?

Cunto se pagar en total en concepto de intereses?

Intereses = 5 . 6000 28281 = $1719

La frmula de VA es la que se usa para calcular el valor de las cuotas por el SISTEMA FRANCES que es el ms usado para los prstamos hipotecarios, personales, etc.

Si las cuotas son adelantadas, o sea se pagan al principio de cada periodo la formula ser la misma que la de valor actual con cuotas vencidas pero multiplicada por (1+i):

Ejemplo 3:

Para adquirir un bien a crdito se deben hacer 36 pagos mensuales de $1500 cada uno, comenzando en el momento de la entrega del mismo. Si los intereses que se cobran son a razn del 18% nominal anual. Cul es el valor al contado del bien?

Hallamos primero la tasa mensual ya que las cuotas son mensuales:

El valor al contado ser:

El valor sin financiar ser de $42.113,39

Ejemplo 4:

Cunto se deber pagar de cuota mensual y adelantada si se quiere recibir de prstamo $1941,37 a pagar en 5 meses con una tasa del 1% mensual?

C = 396.04

Podemos relacionar el valor final con el valor actual de una renta, siempre considerando igual cuota, plazo e inters.

VA (1 + i)n = VF VA = VF (1 + i) -n

Un ejemplo de aplicacin de la frmula de valor actual:

Leasing

Es un instrumento apto para financiarse a mediano y largo plazo en la adquisicin de bienes durables, especialmente utilizado por las Pymes.

El Leasing es un prstamo que en lugar de estar representado por dinero, lo est por un bien donde el propietario transfiere el uso y goce al tomador en el momento de su entrega y por esa transferencia el titular recibe un precio que es el canon y le otorga al tomador (solicitante) una opcin de compra al final de pago del canon, por un valor residual que fijan las partes como un porcentaje del costo del bien.

Caractersticas: El otorgante conserva el dominio del bien que es su garanta y el tomador utiliza el bien que le permitir generar ganancias. De hecho podrn hacerse contratos de Leasing por equipos cuyo valor supere el patrimonio del tomador.

Es una forma de crdito que acta como dinamizador de las Pymes ya que una nueva mquina incorporada a la empresa debera amortizarse con su propio rendimiento.

Se financia hasta el 100% del activo fsico sin necesidad de inmovilizar capital de trabajo, ni recurrir al crdito aumentando el pasivo de la empresa.

En la compra directa de un bien se debe abonar la totalidad del IVA. En el Leasing se prorratea este pago en tantas cuotas de canon como se hubieran establecido en el contrato.

La Pyme podr financiarse a plazos sustancialmente mayores que los comunes en plaza para crditos sobre bienes de capital, a tasa de inters mucho menores y sin afectar garantas.

Durante el perodo de pago del canon, podr sustituirse el bien transferido al tomador por otro de mayor tecnologa o simplemente ms moderno, de comn acuerdo con el titular.

Se diferencia de un alquiler no solo por la opcin final de compra, sino porque la ley permite el subarrendamiento del bien, es decir el sub-leasing, operaciones que en los prximos aos se esperan en escala (por ejemplo para el caso de los transportes). Es una forma de compartir el riesgo.

Bsicamente las PyMEs mediante el Leasing pueden adquirir maquinarias, equipos informticos (software) y de telecomunicaciones, marcas y patentes, transportes de carga, automviles e inmuebles para sus empresas (oficinas, depsitos, talleres y fbricas).

Ejemplo de leasing:

Una mquina nueva con un valor en efectivo de $13.500 ser alquilada por 3 aos, con la opcin de comprarla al precio de $ 7.500 al final del perodo de alquiler. Si el locatario desea obtener un rendimiento anual equivalente al 14% nominal anual. De qu cantidad deben ser los pagos mensuales por el alquiler, los cuales vencern al principio de cada mes?

En este caso usaremos el ao de 360 das.

Clculo de los pagos por medio del valor actual:

En este caso valuamos al da de hoy el valor residual, actualizndolo hasta el momento 0, esto ser restado del valor en efectivo y lo que queda sera ahora como un monto a financiar que se pagar en forma de cuotas de alquiler:

Usando frmula de valor actual:

Se deberan pagar $289,19 por mes por el alquiler (leasing) de la mquina, quedando la opcin de comprarla a los 36 meses por un valor residual del $7.500.

Rentas Diferidas

Se denomina as a aquella renta en donde la valuacin de la misma se efecta X periodos antes del pago/cobro de la primer cuota.

Ejemplos de rentas diferidas:

Ciertos prstamos otorgados por los bancos que determinan un "plazo de gracia" para el pago de las cuotas, hacindolos mas atractivos para los clientes. Por ejemplo, en un prstamo hipotecario no se pagan cuotas en los 4 primeros meses.

Se deposita cierta suma de dinero para formar un fondo del cual se extraen, luego de cierto lapso de tiempo, cuotas peridicas para pagar una universidad, para tener un ingreso desde la edad de jubilacin, para proporcionar becas en el futuro, etc.

Algunos bonos, en nuestro pas, se han emitido en cierta fecha pudindose cobrar el valor de los cupones recin despus de un lapso determinado. (bonos a jubilados)

Ejemplo 1:

En abril un negocio de computacin ofrece un plan de venta de compre ahora y pague despus. Con este plan una persona compra una computadora que recibe el 2 de mayo, y que debe pagar mediante 5 pagos mensuales y vencidos de $530 a partir del 2 de agosto del mismo ao. Si se considera un inters del 1% mensual, Cul es el valor al contado de la computadora?

Como los 5 pagos son vencidos, el valor actual de los mismos ser al 2 de julio (ya que el primero se har el 2 de agosto). Este valor actual ser de:

Luego se calcular el valor de $2572,32 al momento 0, que es cuando el comprador recibi la computadora:

Precio al contado =

Podra aplicarse la formula directamente:

Problemas resueltos de rentas

1)Una persona de 46 aos quiere percibir $50000 a los 55 aos, para ello decide pagar cuotas vencidas a una Cia. De Retiro, la cual capitalizar sus depsitos al 8% efectivo anual, que equivale a una tasa mensual del 0,66%. Calcular el valor de la cuota mensual pura (sin gastos ni sellados).

Resolucin:

Desde los 46 a los 55 aos hay 9 aos o 108 meses.

El valor final de la renta es de 50000, entonces para calcular la cuota mensual aplicando la frmula ser:

Esta cuota no incluye gastos ni sellados.

Supongamos ahora que dicha persona realice, a los 46 aos, un aporte inicial de $5000, y quiera seguir formando los $50000 al final de los 9 aos, de que valor sera ahora su cuota mensual?

Como los $5000 del inicio tambin generan intereses, los capitalizamos hasta el final, ya sea por 9 aos usando la tasa anual o por 108 meses usando la tasa mensual (En ambos casos es lo mismo ya que seran tasas equivalentes).

Entonces se llegara a un valor final de $50.000 considerando el punto anterior ms el valor final de 108 cuotas mensuales que ahora tendrn un valor menor al anterior ya que se refuerza con un aporte inicial:

2) Un bien proporciona ingresos mensuales de $1600. Estos se invierten en una

entidad durante 6 meses al 10% anual. Calcular:

a- el importe que puede extraerse bimestralmente del fondo si se desea efectuar la primera extraccin 3 meses y 1/2 despus del ltimo deposito, con un total de 5 extracciones y con el mismo rendimiento.

b- Si se desearan extraer cuotas mensuales de $500 en forma adelantada, en cuanto tiempo se agotara el fondo considerando la primera extraccin en el mismo momento que en el punto anterior y la misma tasa de inters.

Resolucin:

a) i30 = 0,008 i60 = 0,0161

VF = 1600. S6( 0,008 = 9794,06VA = 9794,06 = C . a 5( 0,0161 . (1,008)-1,5C = 2078,29

b) 9794,06 = 500. a n( 0,008 . (1,008).(1,008)-3,5n = 21 meses y 20 das

SISTEMAS DE AMORTIZACIN DE PRESTAMOS

Amortizar un prstamo es el proceso por el cual se la extingue, ya sea mediante un pago nico o una serie de cuotas.

Existen varios sistemas mediante los cuales se pueden amortizar o devolver los prstamos:

SISTEMA FRANCES

SISTEMA ALEMAN

SISTEMA AMERICANO

TASA DIRECTA

SISTEMA FRANCES

Caractersticas:

Cuotas constantes

Intereses sobre saldos

Intereses decrecientes

Amortizaciones crecientes.

Grfico del Sistema Francs: C

C

n Analizaremos un prstamo efectuando un ejemplo con el desarrollo mensual el mismo, cuyos datos son los siguientes:

Prstamo V = $20.000 n = 5 aos TNA30 = 0,1268 i = 0,01 mensual

Las cuotas se pagarn en forma mensual, por lo tanto sern 60.

A efectos de ver solo la estructura del sistema puro, por ahora no consideraremos los gastos adicionales.

La cuota del sistema Francs se calcula del mismo modo que la cuota del valor actual de una renta de pagos vencidos y constantes:

Reemplazando:

C = 444,889

Efectuamos el cuadro del desarrollo mensual del prstamo:

PerodoSaldo Inic.CuotaInteresesAmortizac.Am. Acum.Saldo Final

1 20.000,00 444,89 200,00 244,89 244,89 19.755,11

2 19.755,11 444,89 197,55 247,34 492,23 19.507,77

3 19.507,77 444,89 195,08 249,81 742,04 19.257,96

4 19.257,96 444,89 192,58 252,31 994,35 19.005,65

5 19.005,65 444,89 190,06 254,83 1.249,18 18.750,82

6 18.750,82 444,89 187,51257,38 1.506,56 18.493,44

7 18.493,44 444,89 184,93259,95 1.766,52 18.233,48

8 18.233,48 444,89 182,33262,55 2.029,07 17.970,93

9 17.970,93 444,89 179,71265,18 2.294,25 17.705,75

10 17.705,75 444,89 177,06267,83 2.562,08 17.437,92

11 17.437,92 444,89 174,38270,51 2.832,59 17.167,41

12 17.167,41 444,89 171,67273,21 3.105,81 16.894,19

13 16.894,19 444,89 168,94275,95 3.381,75 16.618,25

14 16.618,25 444,89 166,18278,71 3.660,46 16.339,54

15 16.339,54 444,89 163,40281,49 3.941,95 16.058,05

16 16.058,05 444,89 160,58284,31 4.226,26 15.773,74

17 15.773,74 444,89 157,74287,15 4.513,41 15.486,59

18 15.486,59 444,89 154,87290,02 4.803,44 15.196,56

19 15.196,56 444,89 151,97292,92 5.096,36 14.903,64

20 14.903,64 444,89 149,04295,85 5.392,21 14.607,79

21 14.607,79 444,89 146,08298,81 5.691,02 14.308,98

22 14.308,98 444,89 143,09301,80 5.992,82 14.007,18

23 14.007,18 444,89 140,07304,82 6.297,64 13.702,36

24 13.702,36 444,89 137,02307,87 6.605,50 13.394,50

25 13.394,50 444,89 133,94310,94 6.916,45 13.083,55

26 13.083,55 444,89 130,84314,05 7.230,50 12.769,50

27 12.769,50 444,89 127,69317,19 7.547,70 12.452,30

28 12.452,30 444,89 124,52320,37 7.868,06 12.131,94

29 12.131,94 444,89 121,32323,57 8.191,63 11.808,37

30 11.808,37 444,89 118,08326,81 8.518,44 11.481,56

31 11.481,56 444,89 114,82330,07 8.848,51 11.151,49

32 11.151,49 444,89 111,51333,37 9.181,88 10.818,12

33 10.818,12 444,89 108,18336,71 9.518,59 10.481,41

34 10.481,41 444,89 104,81340,07 9.858,67 10.141,33

35 10.141,33 444,89 101,41343,48 10.202,14 9.797,86

36 9.797,86 444,89 97,98346,91 10.549,05 9.450,95

37 9.450,95 444,89 94,51350,38 10.899,43 9.100,57

38 9.100,57 444,89 91,01353,88 11.253,32 8.746,68

39 8.746,68 444,89 87,47357,42 11.610,74 8.389,26

40 8.389,26 444,89 83,89361,00 11.971,74 8.028,26

41 8.028,26 444,89 80,28364,61 12.336,34 7.663,66

42 7.663,66 444,89 76,64368,25 12.704,59 7.295,41

43 7.295,41 444,89 72,95371,93 13.076,53 6.923,47

44 6.923,47 444,89 69,23375,65 13.452,18 6.547,82

45 6.547,82 444,89 65,48379,41 13.831,59 6.168,41

46 6.168,41 444,89 61,68383,20 14.214,80 5.785,20

47 5.785,20 444,89 57,85387,04 14.601,84 5.398,16

48 5.398,16 444,89 53,98390,91 14.992,74 5.007,26

49 5.007,26 444,89 50,07394,82 15.387,56 4.612,44

50 4.612,44 444,89 46,12398,76 15.786,32 4.213,68

51 4.213,68 444,89 42,14402,75 16.189,08 3.810,92

52 3.810,92 444,89 38,11406,78 16.595,86 3.404,14

53 3.404,14 444,89 34,04410,85 17.006,70 2.993,30

54 2.993,30 444,89 29,93414,96 17.421,66 2.578,34

55 2.578,34 444,89 25,78419,11 17.840,77 2.159,23

56 2.159,23 444,89 21,59423,30 18.264,06 1.735,94

57 1.735,94 444,89 17,36427,53 18.691,59 1.308,41

58 1.308,41 444,89 13,08431,80 19.123,40 876,60

59 876,60 444,89 8,77436,12 19.559,52 440,48

60 440,48 444,89 4,40440,48 20.000,00 0,00

SUMA 26.693,34 6.693,34 20.000,00

Columna de intereses:

Los intereses en cada perodo se calculan sobre el saldo de deuda (saldo anterior).

Siendo:

Intereses del momento p, o tambin son los intereses contenidos en la cuota

nmero p.

= Saldo al momento p-1.

Veamos en el cuadro, por ejemplo, los intereses en el perodo 27:

127,69 = 12.769,50 . 0,01

Columna de amortizaciones:

Se denomina tambin a la amortizacin como "cuota de capital" ya que es la parte de la cuota total que va a saldar (amortizar) el capital prestado.

Como la cuota constante est compuesta por el inters y la amortizacin de cada perodo, la amortizacin en un perodo dado ser

Si efectuamos el cociente entre cada amortizacin y la anterior, por ejemplo:

Si siguiramos efectuando los cocientes podemos comprobar que el resultado es siempre (1+i). Por lo tanto podemos decir que las amortizaciones crecen en progresin geomtrica cuya razn es (1+i).

Si despejamos la segunda amortizacin y la tercera en sus respectivas formulas, concluimos que cada amortizacin es igual a la anterior por (1+i):

Por ejemplo:

Si reemplazamos t2 por t1.(1+i):

En general podemos expresar cualquier amortizacin en funcin de la primera:

Columna de amortizaciones acumuladas:

Como vemos en la tabla la ltima amortizacin acumulada es el valor del prstamo, por lo tanto:

siendo la amortizacin acumulada al momento n.

Pero si se quiere calcular cul es la amortizacin acumulada hasta un momento p, o lo que es lo mismo decir, cuanto se pag en concepto de capital hasta un perodo p, se deberan sumar todas las amortizaciones hasta p:

Colocando cada amortizacin en funcin de la primera y sacando factor comn t1 quedar:

Siendo la expresin que est dentro del corchete, igual al valor final de una renta de p pagos. Quedando la formula de amortizacin acumulada hasta el perodo p:

Si en el ejemplo queremos calcular el total amortizado hasta el mes 48:

S48( 0,01

Columna de saldos finales:

El saldo al final de un perodo se calcula luego de pagar la cuota de ese perodo.

Se entiende como saldo de deuda a la parte del prstamo que an falta amortizar.

Como surge de la tabla el saldo al final de cualquier momento p se calcula restndole al saldo anterior la amortizacin correspondiente a dicho perodo:

Estudiamos dos mtodos para el clculo del saldo:

A- Mtodo prospectivo:

Es el clculo en base al futuro, o sea, es el valor actual de las cuotas que an faltan pagar (excluyendo la cuota del perodo en el que se calcula):

Por ejemplo el saldo al momento 43 ser:

B- Mtodo en funcin de las amortizaciones acumuladas.

Como el saldo en un momento p es lo que falta amortizar hasta ese momento, es lgico pensar que tambin resulta de la diferencia entre el valor del prstamo y lo que ya se amortiz hasta p:

En el ejemplo:

Intereses totales y parciales:

Si se quiere averiguar el total de intereses pagados en toda la operacin, al total de cuotas pagadas se le resta el valor del prstamo:

Para calcular los intereses pagados hasta un perodo p, al total de las cuotas pagadas hasta ese momento se le deber restar la amortizacin acumulada hasta p.

En el ejemplo los intereses pagados hasta el 5to perodo sern:

Se podr verificar el resultado sumando los cinco primeros intereses de la tabla.

Los intereses entre un perodo p y n se calcularn de la siguiente forma:

SISTEMA ALEMAN

Caractersticas:

Amortizacin constante

Inters sobre saldos.

Cuota de inters decreciente.

Cuota total decreciente en progresin aritmtica.

Grafico del sistema Alemn

C

INTERESES

n

Cuadro del prstamo

Utilizamos el mismo ejemplo que para sistema Francs:

Prstamo V = $20.000 n = 5 aos TNA30 = 0,1268 i = 0,01 mensual

PerodoSaldo Inic.CuotaInteresesAmortizac.Am. Acum.Saldo Final

1 20.000,00 533,33 200,00 333,33 333,33 19.666,67

2 19.666,67 530,00 196,67 333,33 666,67 19.333,33

3 19.333,33 526,67 193,33 333,33 1.000,00 19.000,00

4 19.000,00 523,33 190,00 333,33 1.333,33 18.666,67

5 18.666,67 520,00 186,67 333,33 1.666,67 18.333,33

6 18.333,33 516,67 183,33 333,33 2.000,00 18.000,00

7 18.000,00 513,33 180,00 333,33 2.333,33 17.666,67

8 17.666,67 510,00 176,67 333,33 2.666,67 17.333,33

9 17.333,33 506,67 173,33 333,33 3.000,00 17.000,00

10 17.000,00 503,33 170,00 333,33 3.333,33 16.666,67

11 16.666,67 500,00 166,67 333,33 3.666,67 16.333,33

12 16.333,33 496,67 163,33 333,33 4.000,00 16.000,00

13 16.000,00 493,33 160,00 333,33 4.333,33 15.666,67

14 15.666,67 490,00 156,67 333,33 4.666,67 15.333,33

15 15.333,33 486,67 153,33 333,33 5.000,00 15.000,00

16 15.000,00 483,33 150,00 333,33 5.333,33 14.666,67

17 14.666,67 480,00 146,67 333,33 5.666,67 14.333,33

18 14.333,33 476,67 143,33 333,33 6.000,00 14.000,00

19 14.000,00 473,33 140,00 333,33 6.333,33 13.666,67

20 13.666,67 470,00 136,67 333,33 6.666,67 13.333,33

21 13.333,33 466,67 133,33 333,33 7.000,00 13.000,00

22 13.000,00 463,33 130,00 333,33 7.333,33 12.666,67

23 12.666,67 460,00 126,67 333,33 7.666,67 12.333,33

24 12.333,33 456,67 123,33 333,33 8.000,00 12.000,00

25 12.000,00 453,33 120,00 333,33 8.333,33 11.666,67

26 11.666,67 450,00 116,67 333,33 8.666,67 11.333,33

27 11.333,33 446,67 113,33 333,33 9.000,00 11.000,00

28 11.000,00 443,33 110,00 333,33 9.333,33 10.666,67

29 10.666,67 440,00 106,67 333,33 9.666,67 10.333,33

30 10.333,33 436,67 103,33 333,33 10.000,00 10.000,00

31 10.000,00 433,33 100,00 333,33 10.333,33 9.666,67

32 9.666,67 430,00 96,67 333,33 10.666,67 9.333,33

33 9.333,33 426,67 93,33 333,33 11.000,00 9.000,00

34 9.000,00 423,33 90,00 333,33 11.333,33 8.666,67

35 8.666,67 420,00 86,67 333,33 11.666,67 8.333,33

36 8.333,33 416,67 83,33 333,33 12.000,00 8.000,00

37 8.000,00 413,33 80,00 333,33 12.333,33 7.666,67

38 7.666,67 410,00 76,67 333,33 12.666,67 7.333,33

39 7.333,33 406,67 73,33 333,33 13.000,00 7.000,00

40 7.000,00 403,33 70,00 333,33 13.333,33 6.666,67

41 6.666,67 400,00 66,67 333,33 13.666,67 6.333,33

42 6.333,33 396,67 63,33 333,33 14.000,00 6.000,00

43 6.000,00 393,33 60,00 333,33 14.333,33 5.666,67

44 5.666,67 390,00 56,67 333,33 14.666,67 5.333,33

45 5.333,33 386,67 53,33 333,33 15.000,00 5.000,00

46 5.000,00 383,33 50,00 333,33 15.333,33 4.666,67

47 4.666,67 380,00 46,67 333,33 15.666,67 4.333,33

48 4.333,33 376,67 43,33 333,33 16.000,00 4.000,00

49 4.000,00 373,33 40,00 333,33 16.333,33 3.666,67

50 3.666,67 370,00 36,67 333,33 16.666,67 3.333,34

51 3.333,34 366,67 33,33 333,33 17.000,00 3.000,00

52 3.000,00 363,33 30,00 333,33 17.333,33 2.666,67

53 2.666,67 360,00 26,67 333,33 17.666,66 2.333,34

54 2.333,34 356,67 23,33 333,33 18.000,00 2.000,00

55 2.000,00 353,33 20,00 333,33 18.333,33 1.666,67

56 1.666,67 350,00 16,67 333,33 18.666,66 1.333,34

57 1.333,34 346,67 13,33 333,33 19.000,00 1.000,00

58 1.000,00 343,33 10,00 333,33 19.333,33 666,67

59 666,67 340,00 6,67 333,33 19.666,66 333,34

60 333,34 336,67 3,33 333,33 20.000,00 -0,00

SUMA 26.100,00 6.100,00 20.000,00

Amortizaciones:

Las amortizaciones (o cuota de capital) son constantes y surgen de dividir el prstamo por la cantidad de cuotas:

En el cuadro ser:

La suma de todas las amortizaciones es el valor del prstamo, por lo tanto la amortizacin acumulada hasta n ser:

Y la amortizacin acumulada hasta cualquier perodo p:

por ejemplo:

Saldos

Sabemos que el saldo de un prstamo es lo que falta amortizar del mismo. Podemos obtener el saldo de dos formas:

Por ejemplo el saldo al momento 30:

Qu podemos deducir con respecto al resultado anterior?

Intereses

Los intereses se calculan sobre saldos de deuda, siendo la primer cuota de inters:

y cualquier cuota de inters:

Cuotas

Sabiendo como se calcula la amortizacin y el inters en cada perodo ya podemos calcular la cuota en cualquier momento.

Comprobamos que las cuotas son decrecientes y si efectuamos la resta entre dos cuotas consecutivas nos da un valor constante de decrecimiento, formando una renta en progresin aritmtica, valor que se comprueba en la columna de intereses ya que la parte de la cuota que vara es la cuota de inters.

Por otro lado observamos que los intereses decrecen en un valor constante que es igual al ltimo inters, en este caso $3,33. Entonces la razn de decrecimiento (R) es siempre igual al ltimo inters, y ste se calcula:

Intereses totales y parciales

Los intereses totales son el resultado de la suma de todas las cuotas menos el prstamo, o bien simplemente, son la sumatoria de los intereses de cada perodo. Como en ambos casos resulta ser la suma de una progresin aritmtica, recordemos la frmula de la misma:

Por lo tanto hay dos maneras de hallar los intereses totales:

Por medio de las cuotas:

Por medio de las cuotas de inters:

Si en la expresin anterior reemplazamos las cuotas de inters por sus respectivas frmulas y efectuamos los clculos matemticos necesarios quedar la siguiente frmula simplificada de intereses totales:

Recordar que esta ltima frmula solamente se puede utilizar para intereses totales y no parciales.

Clculo de los Intereses entre 0 y p:

Clculo de los intereses entre p y n:

SISTEMA AMERICANO

Caractersticas:

Peridicamente slo se pagan cuotas de inters.

La amortizacin del prstamo se realiza toda al final.

0

1

2 n-1 n

V CI CI ............................CI CI + V

V = Valor del prstamo

Cuota de inters (CI):

Es la cuota que corresponde al sistema en s, y consiste solo en el pago de los intereses sobre el saldo de deuda. Como no se pagan cuotas de capital hasta el final, dicho saldo es siempre el prstamo (V ), por lo tanto la cuota de inters ser:

CI = V.i

Al ser los intereses constantes, los intereses totales sern:

I(0-n) = V.i.n

Efectuamos el cuadro con los mismos datos de los otros prstamos:

PerodoSaldo Inic. IntersAmort.Cuota totalSaldo final

1 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

2 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

3 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

4 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

5 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

6 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

7 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

8 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

9 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

10 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

11 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

12 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

13 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

14 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

15 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

16 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

17 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

18 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

19 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

20 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

21 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

22 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

23 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

24 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

25 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

26 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

27 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

28 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

29 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

30 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

31 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

32 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

33 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

34 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

35 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

36 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

37 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

38 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

39 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

40 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

41 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

42 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

43 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

44 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

45 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

46 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

47 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

48 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

49 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

50 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

51 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

52 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

53 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

54 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

55 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

56 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

57 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

58 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

59 20.000,00 200,00 200,000 20.000,00

60 20.000,00 200,00 20.000,000 20.200,000 -

SUMA 12.000,0000 20.000,00 32.000,00

Se transcribe la publicidad de un banco como ejemplo del Sistema Americano:

Prstamo XX

El Prstamo Personal flexible que se adapta a sus necesidades. Porque paga una cuota mensual mnima y tiene hasta 24 meses para cancelar el capital como quiera.

Desde $ 1.000 hasta $ 10.000

Plazo de 24 meses para devolver el capital del prstamo.

Tasa Fija y en Pesos.

CFT: 43,93% Tasa Nominal Anual Fija : 25,60%; Tasa Efectiva Anual : 28,83%. Amortizacin Sistema Americano. Costo Financiero Total (CFT) para un prstamo de $ 10.000 a 24 meses con devolucin total del capital en la cuota 24 (incluye gasto de otorgamiento, tasa de inters, administracin de cuota, IVA sobre intereses y paquete de productos Ahorro