resumen calculo

8/18/2019 RESUMEN CALCULO

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Ampliación y Profundización

I. ARTICULO :

1. LA MATEMÁTICA COMO I !TRUME TO "U #AME TAL #ELA I $E!TI%ACI& :

1.1. In'roducción.

Las técnicas de predicción son herramientas en toda área del conocimientoque en la actualidad se utilizan para planificar con precisión los variadosobjetivos que nos propongamos.

Dicho esto nos acercamos al que una predicción es mejor cuando se tienenlos modelos fundamentales de datos presentados progresivamente.

Con fin de aclarar lo dicho, tenemos la fig. el trabajo del !ngeniero "agister Carlos #ernández "ari$o titulado % investigación de los coeficientes K 1 yK 2

para las ciudades de La Paz y Sucre”

&n su caso el modelo fundamental que tomo es una tendencia especular,puesto que para estos datos e'ist(a un aumento o disminución en el valor dela variable atreves del tiempo.

)s( no solo se asume que dicho modelo básico e'iste, sino que la forma deeste modelo es lineal esto quiere decir que si los datos son graficados sedemuestra que estar(a apro'imadamente sobre una l(nea recta como muestrala figura en el gráfico.

"i(ura 1 . "odelo de *endencia +ecular egresión Lineal

-aciendo un breve resumen de lo que fue el trabajo el cual estamos tomandosolo una parte como ejemplo del "agister !ng. Carlos #ernández "ari$o

/resenta el cálculo de los coeficientes 0 1 02 caracter(sticas reales en Cada3no de los sistemas de abastecimiento de agua potable de la ciudad de La/az 1 el sistema 4nico de la ciudad de +ucre &ntre los a$os 567 a 565.&stós con variaciones coeficientes hijo del consumidor #undamentales 89ecesarios para alimentar -acer 1 previsiones Dise$ar en forma poder

)quellos elementos componentes 8 de ellos )bastecimiento sistemas deagua. /or modelos de regresión lineal &studia su tendencia a *!&9&9 &+*:+


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coeficientes en #unción del tiempo. /resenta /:+!*!:9 comparativos ConLos rangos de coeficientes ;ariación de ue referida a la regresión se convierte en una l(nea recta

y= α + βx )+*

3n modelo matemático determin(stico equivalente a esta ecuación es

y= α̂ +^

β x ),*

Donde ^∝ es la intersección con el eje %1?= β es la pendiente de laecuación.

1.+. Mod-lo ma'-m 'ico d- '-nd-ncia lin-al.

3no de los modelos más utilizados es el de la regresión lineal denominadométodo de los m(nimos cuadrados que se observan en la figura = en el graficose ven los puntos / @, / , / 2,A que están presentados por pares ordenadosobre el plano cartesiano Las distancias de cada uno de estos puntos a larecta de ajuste simbólicamente son

D0 , D 1 , D 2 , D 3 , …D 20

La mejor cura de ajuste de todas las curvas de apro'imaciones de un conjuntode puntos de datos dados es aquella que tenga la propiedad de ser m(nima lacantidad, en nuestro caso con el ejemplo de la fig

D02

+ D12

+ D22

+ D32

+ D 42

+ D52

+…+ D202

/or lo tanto la recta de m(nimos cuadrados de apro'imación al conjunto dedatos histórico tiene la ecuación

y= α̂ +^

β x ),*

Donde la constante ^∝ y ^

β se determina solucionado el sistema


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∑i= 1

n

yi=^

α +^

β∑i= 1

n

xi )/.1*

)/*

∑i= 1n

xi yi= α̂ ∑i= 1n

x1 +^

β∑i= 1n

xi2 )/.+*

&l sistema B que consta de dos ecuaciones con dos incógnitas se denominanecuaciones normales para la recta de m(nimos cuadrados que s desarrollapara hallar los valores ^α 1

^

β es el siguiente

Despejando ^α de B . , se tiene

α̂ =

∑i= 1

n

yi−^

β∑i =1

n

xi

n)/.,*

Despejando ^α de B .2 tenemos

α̂ =∑i= 1

n

xi yi−^

β∑i= 1

n

xi2

∑i= 1

n

xi

)/./*

!gualando ambas ecuaciones, realizando las correspondientes operaciones 1

despejando^

β se tienei= ¿

^

β=n∑

i= 1

n

xi yi− ∑i= 1

n

xi∑i= 1

n

yi

n∑i= 1

n

xi2−(∑¿ n x i)

2

)/.0*

>ue también se lo puede escribir

^

β= ∑i= 1n

( x1− ́x)( y1− ́y)

∑i= 1

n

( x1− ́x)2

)/. *

-aciendo las correspondientes operaciones tendremos que E es igual


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i= ¿

α̂ (∑i = 1

n

yi)(∑i= 1n

xi2)−(∑i= 1

n

xi)(∑¿ n xi yi)n∑

i= 1

n

xi2−

(∑i=1

n

xi

)2

)/.2*

De donde

́x∑i= 1

n

xi

n 8

́y=∑i= 1

n

yi

n)/.3*

+i se divide la ecuación B . entre %n?

́y= α̂ +^

β ´ x )0*

)l encontrar los valores de E 1 Fse podrá escribir de la siguiente manera elajuste lineal

y− ́y=^

β( x− ́x) ) *

*ambién se puede e'presar BG como

y− ́y=

[∑i=1

n

( xi− ́x)( yi− ́y)

∑i= 1n

( xi− ́x)2

]( x− ́x) )2*

&n la ecuación anterior )2* los corchetes indican el valor o contante^

β quees la pendiente de la recta.

&n el BH se asegura que la recta de m(nimos cuadrados pase por (́ x , ´ y) querepresenta el centro de gravedad de los datos.

De las deducciones anteriores se infiere la recta de regresión de %'? sobre %1?que también es válida 1 está dada por

( x− ́x)=[∑i= 1n

( xi− ́x) ( yi− ́y)

∑i= 1

n

( yi− ́y)2 ]( yi− ́y) )3*

1., Mod-lo al'-rna'i4o d- r-(r-5ión no lin-al


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Los comportamiento de tendencia no siempre son lineales= otros se apro'imana ciertas curvas de diferentes tipo. &n todo caso la variable independiente estasimbolizada por %'? 1 la variable dependiente seg4n el caso se refiere a %1?.

&stos modelos matemáticos siempre son representados como funciones

) continuación presentaremos los otros métodos que e'isten para hacer unajuste de curvas

• A6u5'- po'-ncial:

La regresión potencial tiene por ecuación predictora

8 la regresión rec(proca es

/ara el primer caso los valores siguen una le1 potencial. +i la ecuaciónpredictora está dada por tomando logaritmos en ambos miembros,queda

Donde las constantes 1 quedan fijadas al resolver simultáneamente lasecuaciones

/ara el segundo caso, si la ecuación predictora está dada porentonces invirtiendo, la misma e'presión se puede escribir osea

Donde las constantes 1 quedan fijadas al resolver simultáneamente lasecuaciones

Ejemplo ilustrativo+ea el siguiente conjunto de valores, las lecturas de un e'perimento donde Ies el volumen Bvariable independiente e 8 es la presión de una masa dada degas Bvariable resultante .

I 2 7 H G J8 J 7

@5@ J

25 H

GH

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCIONhttp://www.monografias.com/trabajos5/volfi/volfi.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/presi/presi.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/gase/gase.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCIONhttp://www.monografias.com/trabajos5/volfi/volfi.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/presi/presi.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/gase/gase.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml


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@ @ @ @. &laborar eldiagrama de dispersión..2 )justar una curva e'ponencial aplicando el método de m(nimos

cuadrados..7 Calcular la ecuación predictora.. Kraficar la ecuación predictora..H &stimar la presión de la masa de gas de volumen 5.

!olución:. El diagrama de dispersión elaborado en E cel se presenta en la siguiente

figura

El diagrama de dispersión elaborado en !rap" se presenta en la siguientefigura#

.2 /ara ajustar una curva e'ponencial aplicando el método de m(nimoscuadrados se llena la siguiente tabla

I 8 log I log 8 log I log8 Blog I 2

http://www.monografias.com/trabajos14/flujograma/flujograma.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/sepa-excel/sepa-excel.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/flujograma/flujograma.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/sepa-excel/sepa-excel.shtml


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J @,@@@@ @,6 H @,@@@@ @,@@2 7@ @,7@ @ , JJ @, J @,@5@G7 5@ @, JJ ,5H 2 @,572 @,22JG

J@ @,G@2 2,27@ ,7 25 @,7G2H

H 25@ @,G55@ 2, G2 ,J2 @, 66GG H@ @,JJ62 2,GH72 2,@G G @,G@HHJ GH@ @,6 H 2,6 25 2,7JJ2 @,J 2

+IM26

+logIM7,J@2

+log8M , 7H

+ log Ilog 8M6,6625

+BlogI 2M2, 65@

eemplazando valores en el sistema de ecuaciones se obtiene

)l resolver el sistema se obtiene log a M @,6 5= N M 2,7Heemplazando valores en la ecuación predictora e'presada en logaritmos se

tiene

.7 /ara calcular la ecuación predictora, primero se calcula el valor de a de lasiguiente manera

eemplazando en la ecuación predictora se obtiene

. !raficando la ecuación predictora mediante E cel se muestra en lasiguiente figura#

Empleando !rap" se obtiene la siguiente figura#

http://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtml


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.H /ara estimar la presión de la masa de gas de volumen 5 se reemplaza elvalor I M 5 en la ecuación predictora

R-(r-5ión Lo(ar7'mica

La curva logar(tmica es también una recta, pero en lugar deestar referida a las variables originales e , está referida a 1 a

&jemplo8 y ln 8 ln+ 8 ln 8 9 y y+

7 @ @ @ 5.2 7. @. 627 @.@772 @.G 56 .HG

.H H @. @H @. G 7 2.@2J 2H

2 2 @.G57 @. 6@7 .76G2

7 . .@56G .2@G5 .H@ 2 G.6

7.J H .7@67 .J G G.H H 2H

J .76G2 .52 H 5.J@7 5

.H G.H .H@ @ 2.2G2@ 5.JJG 2.2H

[email protected]

O7G

OG.HJJ5

OJ.JJ56

O7 .HH6

O62.G2


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a M M M 2.@5@H 7

b M M .H P B2.@5@H 7 [email protected] M 2.J6 J

La ecuación final que modela el sistema es

R-(r-5ión polinomica )lgunas veces cuando la relación entre las variables dependientes eindependientes es no lineal, es 4til incluir términos polinomios para a1udar ae'plicar la variación de nuestra variable dependiente.Las regresiones polinomiales se pueden ajustar la variable independiente convarios términos

>ue, derivando respecto a cada uno de los coeficientes nos da elplanteamiento un sistema de ecuaciones de la siguiente forma Bdonde m es eln4mero de pares de datos

E6-mploy 8y 8+ y+ 8+y 8, 8/

7 7 5 7


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.2

7.

.@6 . .HG

.65G

.J26

2.@J7G

.

H

H J.H 2.2

H

2H .2H 7.7J

H

H.@G2

H2 2 6 6 G

7.

2.7 5 G.6 7G.5 2J 6

7.J

H 6.H 7.G5

2H G6.H

[email protected]

6J.G

J 26 G 5 2 G 2HG

.H

G.H

25.2H

[email protected]

2.2H

7 .G2H

5 .2H

@.@G2H

[email protected]

O7G

O@G.

G7

OGJ.G7

O62.

G2

O7JG.

2

O2 G.66

O5H6.G

J

3sando una "atriz para calcular valores de los coeficientes

3sando el método de &liminación de KaussPQordan

La ecuación final que modela el sistema es

+. PROCE#IMIE TO E!TA#;!TICO CLÁ!ICO PARA ELCÁLCULO #EL TAMA


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Con frecuencia queremos sacar conclusiones validasen un grupo grande depoblación, pero se nos hace dif(cil estudiar a toda la población por completo,por eso selecciona un peque$o grupo de muestra que nos dará datosgenerales acerca de la población, a este proceso se le llama %inferenciaestad(stica?.

) continuación presentaremos las pautas de lo que se necesita para hacer unmuestreo.

+.1 Tama>o d- la mu-5'ra:

&n tama$o de la muestra en estad(stica significa que es el n4mero de sujetoso elementos que componen la muestra e'tra(da de una población, necesariospara que los datos obtenidos sean representativos.

3no de los problemas más importantes de la estad(stica es decidir $u%información acerca de la distribución de la población& pude inferir en estudiode la muestra .

&l concepto del método de elección de una muestra es un factor importantepara saber que uso puede hacerse de la muestra 1 otro concepto es el cálculodel n4mero de elementos lo que se dice en estad(stica el tama$o de lamuestra de una determinada población.

&'plicado las diferencias entre estos dos métodos, el presente art(culo secentra en este 4ltimo método.

+.+ E8pr-5ión cl 5ica -n E5'ad75'ica y 5u 5i(nificado para -l C lculod-l 'ama>o d- la mu-5'ra d- una d-'-rminada po?lación:

&l tama$o de la muestra debe determinarse sobre la base de la precisióne'igida en los resultados 1 no acerca de los datos generales acerca deltama$o de la muestra.

&l valor absoluto de la diferencia entre el parámetro 1 el estimado sedetermina por la e'presión

e= ⌈ x− μ⌉Cu1o significado es el grado de e'actitud del error dado por

e=Z C ∗σ

√ n √ N − n N − 1


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La tendencia general de los investigadores es hacer uso de la e'presiónestad(stica

n= N σ 2 Z 2

( N − 1 )e 2 +σ 2 Z 2

Dónde

&s el tama$o de la población.

&s el tama$o de la muestra.

@ &s la desviación estándar de la población

-: &s el limite aceptable de error muestra,.

&s el valor obtenido mediante niveles de confianza

+.,.Aplicación y -6-mplificación d-l mB'odo cl 5ico -5'ad75'ico para-l c lculo d-l 'ama>o d- la mu-5'ra -n una In4-5'i(ación:

&l ejemplo que se desarrolla a continuación es referente a uno de los criteriosmás usados en estad(stica para el cálculo del tama$o de la muestra de lapoblación. /ara este caso escogimos una población de 2H@@ entrevistas por supuesto hipotético= entonces

: *ama$o de la población es de 2H@@.

@:Desviación estándar de la población para el caso se opta por el valor [email protected].

- &l limite aceptable de error maestral para este ejemplo se evaluó para error muestral de HR es decir el calor de @,@H.

;alor obtenido mediante niveles de confianza= es un valor constante quepara el ejemplo está dado por 2,HG que corresponde a un 56,5R de confianza.

/ara el caso por ejemplo de z ¿ 56,5R → zM 2.HG

- M HR → - M @,@H

σ = 0,5

M 2H@@

1M 2 55


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n= 4096,0006,248 +1,638

⇛ n= 4096,0007,886

⇛ n= 519,401

+eg4n el +istema !nternacional de 3nidades en n4mero de nuestra poblacióntiene que ser un numero entero, en cuanto al redondeo de cifras este valor

para nuestro ejemplo es n M H 5 que representa un 2@,6R del total de lapoblación o también significa que el volumen de datos de las entrevistas sehan reducido en un J5,2R.

&s necesario se$alar que la elección del nivel de confianza pude no e'istir en *ablas estándar de uso estad(stico como puede observarse en la Ta?la 1 .&n este caso es necesario hacer una interpolación para el valor de escogidoen porcentaje para obtener el valor como puede observarse a guisa deejemplo entre 65,5R 1 5@, R no e'iste el 5@R en la columna correspondiente=sin embargo se hallo el calor de de ,G H para S 5@R Bver *abla .

&s evidente entonces que la tendencia a reducir información en formasistematizada además cre(ble 1 manejable ha sido preocupación de todoinvestigador= as( los porque calcular el tama$o de muestras pueden estudiarsecon ma1or rapidez que las poblaciones, el estudio de una muestra es menoscostosa que el de una población, toma menos tiempo su estudio, en lama1or(a de las situaciones el estudio de una población es imposible, confrecuencia los resultados de una muestra son más precisos que los que sebasa en una población.

Dela misma manera, la pregunta TCuándo calcular el tama$o de muestraU&sta ha sido una constante preocupación= su respuesta entre otras es cuandono se puede estudiar a tosa la población 1 se quiere estimar parámetros,prevalencia, promedio, porcentaje tasas o cuando se desean comparar dos omás grupos 1 establecer si ha1 diferencias.

&n este conte'to la e'presión estad(stica que nos determina el tama$o de lamuestra prestada en esta contenido 1 en el ejemplo ha reducidoapro'imadamente a una quinta parte de la población= es decir nos da la opciónde manejar con ma1or facilidad H 5 entrevistas frente a 2H@@ entrevistadospor todos los argumentos establecidos anteriormente.

)1*

Pun'uación

D

)+*

#i5'anciad-Dz a lam-dida

),*

Ár-a d- laPar'-mayor

)/*

Ár-a d- laPar'-m-nor

)0*

Ár-a d- lapar'- mayor m-no5 r-ad- la par'-

) *

Pun'uación4alor d- )0* -nporc-n'a6-


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m-nor

,G@ @, H2 @,5 H2 @,@H 6 @,65@ 65,@R,G @, G7 @,5 G7 @,@H7J @,652G 65,7R,G2 @, J @,5 J @,@H2G @,65 6 65,HR,G7 @, 6 @,5 6 @,@H G @,65G6 65,JR,G @, 5H @,5 5H @,@H@H @,655 65,5R,G H

interpolación

@, H@@!nterpolación

@,5H@@!nterpolación

@,@H@@!nterpolación

@,5@@!nterpolación

5@,@Rinterpolación

,GH @, H@H @,5H@H @,@ 5H @,5@ 5@, R

,GG @, H H @,5H H @,@ 6H @,5@7 5@,7R,GJ @, H2H @,5H2H @,@ JH @,5@H 5@,HR,G6 @, H7H @,5H7H @,@ GH @,5@J 5@,JR,G5 @, H H @,5H H @,@ HH @,5@5 5@,5R

PPPPPPPP PPPPPPPPP PPPPPPPP PPPPPPPPP PPPPPPPP2,HG @, 5 G @,55 G @,@@H @,565 56,5R2,HG @, 5 6 @,55 6 @,@@H2 @,55@ 55,@R2,HJ @, 5 5 @,55 5 @,@@H @,55@ 55,@R2,H6 @, 5H @,55H @,@@ 5 @,55@ 55,@R2,H5 @, 5H2 @,55H2 @,@@ 6 @,55@ 55,@R

,. A ÁLI!I! E!TA#;!TICO #E E!TU#IA TE!F AU ILIARE! #E#OCE CIA G #OCE TE! #E U A I !TITUCI& E#UCATI$A

&l estudio del caso que e'ponemos es el de la #acultad de !ngenier(a queaconteció en el a$o 2@ 2 en pleno proceso de investigación. Los datosencontrados se remiten a los archivos oficiales que tiene la !nstitución que ho1son utilizados con fines estrictamente académicos.

*al resumen numérico se e'presa en el Cuadro donde se observa la

diferencia significativa entre el n4mero de estudiantes matriculados 1 n4merode estudiantes que cursan regularmente sus estudios de ingenier(a.

:tras consideraciones de orden numérico son las cifras tanto de estudiantesmatriculados que cursan 1 no cursan como de docentes que se mantienen enactividad con un error en ambos de apro'imadamente HR :bservemos elcuadro .


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Cuadro 1 . 3.".+.).P #acultad de ingenier(a datos de la Kestión 2@ 2

ITEM

E!PECI"ICACIO um-ro HO=!ER$ACIO

&studiantes "atriculados J65 @@R

2 &studiantes matriculados quecursan

G27@ J5R

7 &studiantes matriculados que nocursan

GG 2 R

Docentes #acultad de !ngenier(a 72 @@R

H &studiantes del Curso/refacultativo

^

@@ grupos

G Docentes del curso prefacultativo GH @@ estudiantespor cada grupo

/. CRITERIO! I O$A#ORE! PARA EL CÁLCULO #ETAMA


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n= N σ 2 Z C

2

( N − 1 )e 2 +σ 2 Z C 2

Como el espacio muestra led de GG5 Bque es el n4mero total de entrevistados =entonces se trata de muestra grande B n " 30 además sin reemplazamientoen una población finita de tama$o 9 Bque en nuestro caso es GG5 , los l(mitesde confianza para la medida poblacional finita son

́x#Z C ∗σ

√ n √ N − n N − 1 ⟹Donde el error es

e=Z C ∗σ

√ n √ N − n N − 1e 2= Z C

2 σ 2

n ( N − n N − 1)⟹ n e2 ( N − 1 )= Z C 2 σ 2 ( N − n)Dónde

9 M *ama$o de la muestra

9 M *ama$o de la población

WM Desviación estándar de la población que feralmente cuando no se tiene suvalor, suele usarse el valor contante de @,H.

e M limite aceptable de error maestral que generalmente cuando no se tiene suvalor suele usar valores que var(an entre R B@,@ 1 5R B@,@5 = color quequeda en criterio del investigador.

S M ;alor obtenido mediante niveles de confianza. &s un valor constante que sino se tiene su valor se toma en relación al 5HR de confianza que equivale a

,5G que es la más usada o también en relación al 5@R de confianza queequivale a .G H.

/ara caso S M 5@R PP S M .G H- 5R - M@.@5

@ @.H

GG5

1 GG6


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n= 452,8536,411 +0,677

⟹ n= 452,8536,088

⟹ n= 74,340

)plicando una regla de tres simples

x=74 entreistados ∗100

669 entre!istados ⟹ x= 11.06

/.,. T-rc-r Cri'-rio para -l proc-dimi-n'o d- c lculo d-l 'ama>a d- lamu-5'ra para cada uno d- lo5 -5'ra'o5:

&ste criterio se refiere a los estudiantes que cursaron en la #acultad de!ngenier(a de la 3niversidad "a1or de +an )ndrés= unos que aprobaron laasignatura de Calculo ! 1 otros que reprobaron esta. +e consideró el periodoentre los a$os 2@@H al 2@ @. &n este sentido se tiene la siguiente información.

94mero de estudiantes inscritos en 2 semestres Bentre V2@@H 2V2@ @ fuede @7HJP

94mero de estudiantes aprobados en 2 semestres Bentre V2@@H 2V2@ @ fuede 2JH7

94mero de estudiantes reprobados en 2 semestres Bentre V2@@H 2V2@ @fue de GH7

&l n4mero de estudiantes inscritos en 2 semestres B9&!9 para nuestrosfines representara el @@R. &l n4mero de estudiantes aprobado en esos 2

semestres B9&)/ corresponde entonces al 2G.H6R. &l n4mero deestudiantes reprobados en eso 2 semestres corresponde al .57R

/or ende el porcentaje de estudiantes que aprobaron él 1 el de los estudiantesque reprobaron la materia es de J .H X que ser(an los estudiantes activosfrente al 26. 5R que son los estudiantes inscritos, pero que abandonaron lamateria, lo que significa que

HEAPJ HERP 21.01H )E5'udian'-5 Ku- apro?aron m 5 -5'udian'-5 Ku-r-pro?aron*

HEA=J HE C +3./ H )E5'udian'-5 Ku- a?andonaron m 5 lo5 Ku- nocur5aron*

&l n4mero de estudiante matriculados en la #acultad de !ngenier(a quecuraron el semestre 2V2@ 2 que fue el final de esta investigación fue de G27@como se e'presa en el Cuadro . /or las consideraciones anteriores el


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J .HHGR de G27@ es el n4mero de estudiantes que aprueban más los quereprueban la materia.

6230 Matri$ulados%ue

$ursanenla

Fa$ultadde In&enieria

∗0.7151

por$enta'e deestudiantes%ue aprue(an y los%ue

reprue(an enla Fa$ultadde In&enieria

= 4455.07total

Luego

94mero de estudiantes matriculados que cursan en !ngenier(aB&)/Y& / M HH

Nro )de estudiantes Nro) de do$etes =

4455321 = 13.879 [

est do$]

⟹ Nrode est /do$= 14

&l tama$o de la muestra %n? con este criterio es

n= 6 do$∗14 estudiantedo$entes

⟹ n= 84

)plicando una regla de tres simple

x= 84 esntre!istas ∗100669 entre!ista

⟹ x= 12.56

/./. Cuar'o Cri'-rio para -l proc-dimi-n'o d- c lculo d-l 'ama>a d- lamu-5'ra para cada uno d- lo5 -5'ra'o5:

&ste criterio es la relación entre los estudiantes entrevistados de la asignaturade Calculo !B")* @ , Calculo !! B")* @2 con los otros entrevistados en lasmismas materias que fueron los au'iliares de docencia.

&l n4mero total de estudiantes entrevistados en las asignaturas de Calculo !,Calculo !! fue de GG5 1 el n4mero total de au'iliarles entrevistados

e'cepcionales postulantes a au'iliatura de Calculo ! fue de .

rela$ion = 66914

= 41.79 ⟹ Numerode estudiantes Numerode auxilares

= 66914

= 41.79 est aux


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)plicando el redondeo recomendado por el +istema !nternacional de 3nidadesen cuanto al redondeo de cifras, resulta

n*Nro)estudiantesauxiliar = 48

)plicando la regla de tres simple

x= 48 esntre!istas ∗100669 entre!ista

⟹ x= 7.18

0. CRITERIO "I AL PARA EL CALCULO #EL TAMA


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&sto nos da a entender que nuestra muestra final es de 6@ que representael 2R de la población. &stos resultados se pueden aceptar con laaplicación de las medias Keométrica, )rmónica 1 Cuadrática de la manerasiguiente

La media geométrica con ⟹ ´ xa = 17 +11 +13 +74 = 12

La media armónica con ⟹ ´ x&=4√ 17.11.13.7 = 11.4 = 11

La media armónica con ⟹ ´ xC =4√17 2 +11 2 +13 2 +17 24 = 12.5 = 12

Como se puede observar por los cuatro método nos da un porcentajede R o 2R que es el porcentaje final de la población, lo que se

encuentra el tama$o de la muestra.

. PAUTA! MITOL&%ICA! PARA RE#UCIR LA I "ORMACI&E U A I $E!TI%ACI& E#UCATI$A CO E "O UECUALITATI$O.

&n una investigación cualitativa los datos son mu1 grande, entonces senecesita reducir datos con el fin de minimizar costos 1 tiempo de lainvestigación.

.1. E8'-n5a información d- una In4-5'i(ación Cuali'a'i4a:

&s de importancia sistematiza toda la información obtenido de lainvestigación.Como se muestra a continuación en el Cuadro 7 1 el .

.+. R-ducción d- la información d- una In4-5'i(ación Cuali'a'i4a:

Con lo anteriormente e'plicado 1 con referencia a la codificación que se daen ambos cuadros se pude deducir en el n4mero de estratos que lapoblación total es de GG5 entrevistas las que se deben distribuir proporcionalmente con el 2R calculando en los respectivos J estratos.

.,. Aplicación d-l mu-5'r-o pro?a?il75'ico y la con'inuidadin4-5'i(a'i4a:


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&l tama$o de nuestra muestra porcentualmente fue de 2R de nuestrapoblación total investigada en este art(culo. Con esto 1 al compararlo con laserie de estratos que componen el espacio muestral vemos que sondiferentes 1 que se debe partir proporcionalmente a cada uno aplicando elmuestreo probabil(stico simple 1 estratificado.

) continuación mostraremos alternativas del procedimiento de muestreo.

II. ARTICULO :

1. CO !I#ERACIO E! NI!T&RICA! #E LO! E "O UE! #EE TO G LEI= I !O=RE EL CÁLCULO I "I ITE!IMAL.

La importancia de resolver problemas sobre las curvas 1 los antecedentesde varios investigadores del siglo I;!!!, I!I 1 de otras épocas, de origen ala importancia del cálculo diferencial inventado por 9e[ton 1 Leibniz. Cadauno de estos cient(ficos tuvo diferentes visiones sobre la aplicación delCalculo !nfinitesimal. 9e[ton por un lado partió de u visión de la naturaleza1 constru1o el Cálculo !nfinitesimal como una necesidad para aplicar problemas f(sicos, como ser el movimiento de un móvil= el imaginaba a unacurva como una ecuación fB',1 M@, donde las variables %'? 1 %1? eranfunciones del tiempo= es decir su imagen cinemática de curva laconceptualiza como tra1ectoria de un móvil. Leibniz en cambio que partióde su visión filosófica creando un lenguaje universal que consist(a en quepor sencillas manipulaciones, se obtienen fórmulas que resultan ser lasverdaderas 1 que posteriormente serian comprobadas, el origen de la ideadel cálculo de Leibniz fue obtener 1 calcular sumas. )unque las opinionesde ambos se originaron de manera distinta, los resultados fueron iguales.Las ideas de 9e[ton eran problemas f(sicos la integral de su trabajo fueindefinida en cambio la integral de Leibniz fue finida debido a que su origenestaba en los problemas filosóficos en busca de los infinitesimales. 9e[ton

hace uso continuo de los desarrollos en serie, mientras que Leibniz prefieretrabajar solo con las funciones conocidas como las racionales, logar(tmicas1 trigonométricas.

Los aportes de todos estos investigadores nos a1udan a comprender mejor los temas espec(ficos del Calculo !nfinitesimal con el concepto 1 definiciónde Limite de una función, la operación derivación 1 loas derivadas defunciones, la operación integración 1 los diferentes tipos de integrales, la


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sucesiones 1 series, el cálculo de áreas, longitudes de curva, integralesimpropias, vol4menes de revolución, otro de masa, momentos de inercia,radio de giros, trabajo, energ(a entre otras que pueden ser usadas enaplicaciones en diferentes ámbitos que se tiene en el desarrollo de laciencia, la *ecnolog(a 1 la !ngenier(a.

1.1. Profundización:

Dos importantes pensadores de finales del siglo I;!! 1 principios del I;!!!fueron 9e[ton 1 Leibniz. Cada uno trabajó en otros campos diferentes a lasmatemáticas. 9e[ton es un conocido cient(fico que hizo grandesdescubrimientos en los campos de f(sica 1 matemáticas. /or otra parteLeibniz destacó en las matemáticas 1 la filosof(a. Los dos son personajesdestacados en la historia de las matemáticas.

9e[ton empezó a desarrollar su cálculo diferencial hacia el GGH, dio un

enfoque geométrico 1 anal(tico a las derivadas. +u principal aplicación erapara calcular tangentes, curvaturas 1 áreas. /ara 9e[ton un fluente ' era lacantidad de movimiento continuo de un punto que traza una curva 1 unaflu'ión su velocidad. &l problema se basa en hallar la relación entre lasẋflu'iones Bvalores dadas una relación de fluentes. +e trataba de unconjunto de reglas para poder calcular má'imos, m(nimos 1 tangentes. &lmismo 9e[ton reconoció que su interpretación era algo dificultosa 1 laperfeccionó en trabajos posteriores.

9e[ton no sol(a publicar sus trabajos inmediatamente. De hecho suinvestigación sobre las derivadas las escribió en un tratado informal, De

)nal1si en GG5, que compartió con sus compa$eros del *rinit1 College.&ste manuscrito conten(a una introducción al cálculo diferencial e integralque desarrolló más tarde. 9o se llegó a publicar, en una obra propia de9e[ton, hasta después de su muerte, en De "ethodis +erierumet#lu'ionum escrito en GJ 1 publicado en GJ7.

"ientras tanto Leibniz también hab(a estado trabajando en esta materia,Leibniz trabajaba con sumas de sucesiones para apro'imar la cuadraturade una curva, de forma que cuanta más peque$a fuera la distancia entredos n4meros de la sucesión mejor apro'imación seria a la curva. De estamanera también se apro'ima la tangente como la diferencia entre dos

puntos. /or tanto Leibniz observa que la integración 1 la derivación sonoperaciones inversas.

Leibniz fue desarrollando su notación hasta encontrar una que le permitieratrabajar más intuitivamente. Leibniz consideraba una curva como infinitasporciones de recta donde d' es la diferencia infinitesimal de dos puntosconsecutivos del eje de abscisas. /or tanto 1 d' es la suma de rectángulos ʃ


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infinitesimales 1 d', el s(mbolo es la alargacion de una + que significa ʃ suma. &sta notación es la que aun usamos en la actualidad.

&n G6 Leibniz publica en la revista )cta &ruditorum su trabajo sobre elcálculo diferencial sin hacer ninguna referencia a 9e[ton, aunque estaba al

tanto de sus descubrimientos. &ste hecho se puede considerar como elprincipio del famoso conflicto que mantuvieron 9e[ton 1 Leibniz. Leibniz noconsideró necesario hacer ninguna referencia a los trabajos de 9e[ton 1aque el mismo hab(a obtenido sus resultados de forma independiente,aunque nunca se llegará a saber si el hecho de conocerlos fuedeterminante para que Leibniz llegara a sus conclusiones 1 a sus propiosresultados. ) partir de la publicación, muchos matemáticos ingleses leacusaron de plagio, 1a que sab(an del trabajo de 9e[ton, 1 lo 4nico queadmit(an era el cambio de notación, como el propio 9e[ton remarcó en su/rincipia en G6J.

/. U A TRA !PO!ICI& #I#ÁCTICA APROPIA#A E LAE#UCACI& #EL CÁLCULO I "I ITE!IMAL APLICA#A AI %E IER;A.

-o1 vivimos tato estudiantes como docentes 1 actores del sistemaeducativo en general un momento mu1 especial donde la abundanteliteratura para nuestros alumno en diferentes campos del saber einformarse inmediatamente por cualquier medio es cotidiano 1 totalmentenormal.

&n este conte'to la selección del e'ceso de información, los adecuadoslibros para el estudio 1 en general 1 en general identificar fuentes o páginas[eb que no brinda la tecnolog(a requiere madurez seriedad, dedicación 1energ(a para decidir que documentos estudiar.

&ste saber sabio que es generado en las comunidades cient(ficas 1 el saber ense$ado que es el saber a ense$ar. +e orienta a la labor del ense$anteque debe reproducir conte'tualizar 1 elegir responsablemente losconocimientos que pretende trasformar en conocimiento para el alumno.

&l modelo de resolución de un problema referido al análisis estructural conuna aplicación significativa del cálculo infinitesimal pro sobre todo con unatransposición didáctica adecuada en su desarrollo cu1o fin es facilitar alalumno la comprensión de los conceptos de la est(tica 1 el uso de susecuaciones fundamentales.


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Aplicación d-l Calculo Infini'-5imal -n la 5olución d- unpro?l-ma r-al y prac'ico Ku- pr-5-n'a -l an li5i5 E5'ruc'uralFfundam-n'ado con -l d-5arrollo d- una Tran5po5ición #id c'icapara 5u compr-n5ión 5i(nifica'i4a:

&939C!)D:.P &stablece las ecuaciones de los esfuerzos constantes 1momentos flectores en cada tramo 1 luego dibujar sus respectivosdiagramas. )s( mismo calcular el momento má'imo que presenta la viga. Lafigura H e'presa las diversas cargas e'ternas a las cuales está sometida laviga a lo largo de sus tramos.

La metodolog(a del análisis estructural en la producción de diagramas deesfuerzos constantes 1 momentos flectores tiene como primer paso lasolución estática. /ara ello, es decir en el cálculo de la reacciones en losapo1os de la viga se deben utilizar las tres ecuaciones del resultado esto see'presa en el primer paso referido al cálculo de las reacciones de la #iguraG.

PPPPPPPPPPPPP

+e usó la tercera ecuación fundamental de la estática en dos ocasiones,una aplicando la sumatoria de mementos igual a cero en el apo1o ) 1 la otraen el apo1o


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R-lación fundam-n'al -n'r- una car(a uniform-m-n'-di5'ri?uidaF -l -5fu-rzo cor'an'- y -l mom-n'o fl-c'or -n una 4i(a5impl-m-n'- apoyada .

+iguiendo una transposición didáctica 1 aplicando los principios de laestática es importante interpretar el hecho de que no habiendo cargaspuntuales ni horizontales monos inclinados tal como se observageométricamente en la figura H del planteamiento del problema, entoncestampoco e'istirá reacción horizontal en el apo1o fijo ).

"I%URA 1+. Datos del problema plateado

en este mismo conte'to, para la deducción de la relaciones e'istentes entreuna caga uniformemente distribuida, el esfuerzo cortante 1 el momentoflector de una viga simplemente apo1ada, con carga uniformemente

distribuida a lo largo de su longitud desde el apo1o fijo ) hasta el apo1omóvil < como se observa en la #igura se deben aclarar 1 fundamentar desde el punto de vista conceptual que, aun e'istiendo cargas horizontaleso inclinadas estas no afectar(an en el resultado de los esfuerzos cortantes 1si estas cargas estuvieran actuando a la largo del eje longitudinal de la v(atampoco afectar(an al resultado ni de los esfuerzos cortantes menos de losmomentos flectores finales de la viga.

Como se puede observar geométricamente en la #igura e'iste unadistancia infinitesimal dx entre los dos cortes trasversales en la viga a - a y

b - b = por tanto la fuerzas que act4an en cada uno de esos cortesgeométrica 1 anal(ticamente serán

&n el corte a – a como se observa en la figura 2 genera las siguientesecuaciones

"I%URA 1,. Datos del problema planteado

Donde=Qx es el esfuerzo cortante en la viga a una distancia % 8 del apo1oizquierdo ). la carga uniformemente distribuida en la viga sobre unalongitud %8 es K8 que significa que su intensidad es variable en unadistancia D8 desde el apo1o ).

)hora la ecuación de memento en el punto c del corte a a considerandotodas las fuerzas a su izquierda es

--------------

"I%URA 1/. Datos del problema planteado


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/uede observarse el corte bPb que presenta el diagrama de cuerpo libreilustrado en la #igura en comparación al corte aPa, la carga moral a laizquierda del corte bPb se ha incrementado una carga tambiénuniformemente distribuida pero esta vez infinitesimal cu1o valor es=

(%xdx) anal(ticamente las ecuaciones ue se plantean ahora son

PPPPPPP

Con referencia a la ecuación B 8 $a K8. = utilizando esta ecuación 1luego reemplazando su valor en la ecuación B7 se tiene.

x+d x= x− % x dxd - =− % xdx d xdx

=− % x )/*

&l término del segundo miembro de la ecuación diferencial es unainfinitesimal elevado al cuadrado que conceptualmente es un términodespreciable.

Luego

" ' Y d" ' M ; ) 'Y; ) d'P %x2 '2 \ q' . 'd'

"' Y d" ' M ; ) ' P 12 q' x2 Y ; ) d' \ q ' . 'd' BH

)plicando la ecuación deducida B2 1 reemplazando el valor "' en laecuación BH luego simplificando se obtiene

d"' MB;) \ q' I d' BG

)plicando la ecuación deducida )1* 1 reemplazando el valor 8 en laecuación BG se obtiene

d" ' M >' . d ' dMxdx 8

)2*

-allando la 2] derivada de )2* respecto a la variable independiente %8?tenemos


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dMxdx

d,xdx

)3*

&l segundo miembro de esta esta ecuación diferencial es el primer miembrode la ecuación B deducida, por lo tanto las ecuaciones B , BJ 1 B5 norelacionan la carga, el esfuerzo cortante 1 el momento flector en cualquierlugar de la sección de la viga.

d 2 Mxd x2

M Pq' B5

&ste nuevo formato didáctico de una trasposición didáctica especial nos

induce a e'presar las siguientes conclusiones teóricas del problemadesarrollado con aplicación significativa en la ingenier(a estructural.

3n primera conclusión es que a una distancia D8? del apo1o izquierdo de laviga Babscisa la pendiente del diagrama de esfuerzos cortante 8 es iguala K8 que es el valor de la carga uniformemente distribuida sobre la viga a lalargo de la longitud %'? Babscisa .

La segunda conclusión que observamos es que la pendiente del diagramade momentos M8 en un punto cualquier %8? mide el esfuerzo constante en el

mismo punto D8 .#inalmente una tercera conclusión es que la ecuación )/* se puede escribir dM8 8d8 cu1o significado es la superficie del diagrama de esfuerzoscortantes 8 entre el punto inicial Q 1 un punto cualquiera D8? nos mide elmomento flector en el punto D8? simbólicamente

M8 {superfi$ie de x } -n'r- lo5 4alor-5 Q y D8

T-or7a y -5Ku-ma5 d- la Tran5po5ición

La función trascendental del docente más centrarse en el conocimiento dela asignatura es la profesionalidad de la ense$anza en su materiales decir de un enfoque didáctico debe saber trasformar el %saber sabio? en el %saber ense$ado? que es lo que ha tratado en el desarrollo del en el %saber ense$ado? que es lo que se ha tratado en el desarrollo del problemaespecial que antecede 1 se denomina una transposición didáctica. /arae'presar este fenómeno importante del proceso de ense$anza aprendizaje


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analicemos la #igura H siguiente temiendo en cuenta la construcción delconocimiento de un saber por estudiante 1 su respectiva trasposición

"i(ura 10. *ransposición didáctica especializada

*rasposición

D!D)C*!C)

+aber +abido saberense$ado

Caja 9egraB&slabón /erdido

&ste esquema se constitu1e a partir de la teor(a didáctica que platea B#arfán"arques, 55J en a ingeniera didáctica como una metodolog(a adhoce'plicando que el termino de ingenier(a didáctica surge, en el seno delescuela francesa, a inicio de la década de las 6@^s en el resultado cient(fico,en tanto que este no solo se realiza apo1ándose en resultados cient(ficos,involucra también una toma de decisiones 1 el resultados cient(ficos,involucra también una toma de decisiones 1 el control sobre las diversoscomponentes inherentes del proceso. )s( la ingenier(a didáctica seconstitu1e como una metodolog(a de investigación que aplica tanto a loproductos de ense$anza basados o derivados de ella= pero también comouna metodolog(a de investigación para guiar las e'perimentaciones enclase. +u sustento teórico de proviene de la teor(a del transposicióndidáctica 1 de la teor(a del situaciones didácticas de ambas se desprende lanecesidad de dotar al estadio del fenómeno didáctico una acercamientosistémico, con la primera se alcanza una dimensión global, en tanto que lassegunda es de carácter local. &n eses sentido la preparación global, en

S.S. S.E.T. D


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tanto que la segunda es de carácter local. &n este sentido la preparación dematemáticas para estudiantes no es un proceso de elementarizar elconocimiento en cual sitio, ni adaptarlo a un conocimiento previo 1habilidades cognitivas del estudiante.

"i(ura 10 . )ctores que intervienen en el contenido a ense$ar

)qu( juega un papel decisivo el docente con su habilidad 1 arte de poder conte'tualizar el contenido a ense$ar para que el estudiante pueda acceder a ese conocimiento pero instruido por el mismo en un conte'to particular.

)s( se llega a esa construcción de un saber por el estudiante 1 surespectiva trasposición.

INFORMACIÓN OBTENIDA A TRAVÉS DE LA

COMUNICACIÓN A LACOMUNIDAD CIENTÍFICA

CONTENIDOGENERADO PORLA SOCIEDAD

DESCONTEXTUALIZACION

Conoc ! "n#o$"n"%&'o (o%") &*#o% '")

+&,"% LITERAURALIBROS TEXTOS

OTRO

S

CONTENIDO AENSE AR

EL ARTE DECONTEXTUALIZAR

DOCENTEPROFESORMAESTRO

CONOCIMIENTO CONTRUIDO POR ELESTUDIANTE DENTRO DE UN

CONTEXTO ESPECÍFICO


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0. EL CÁLCULO I "I ITE!IMAL G LA E!TÁTICA COMOI !TRUME TO! "U #AME TALE! E EL #E!ARROLLO #ELI %E IER;A E!TRUCTURAL.

&ste nuevo escenario formativo que vivimos los docentes, es necesariorememorar con un poco de historia las bondades de la estática 1 lo que nosbrindó al trascurre el tiempo. La estática nace en Krecia cuna de la"ecánica= sus grandes promotores 1 padres fueron )rqu(medes, -erón,/tolomeo entre otros= luego se perdió por completo en la &dad "edia.

/odr(amos nombrar muchos otros investigadores que han aportado en lamejora en cuanto a las formas 1 los procesos de cálculo en esta campo delsaber. Llegando al presente siglo II! se han realizado muchos avancessobre todo haciendo uso de los soft[are aplicados al desarrollo del

!ngenier(a estructural como es bien conocido por ejemplo el +)/ 2@@ quepor cierto, este 1 otro son instrumentos que se utilizan para agilizar lostiempos que se tarden en los procesos de cálculo estructural en laespecialidad de la !ngenier(a Civil.

/or las consideraciones anteriores 1 e'presando matemáticamente con elapo1o del Calculo !nfinitesimal más propiamente con la ecuación diferencialde la deformada tomando en cuenta sus condiciones de bordecorrespondientes a peque$as deformaciones de placas bajo cargastransversales la ecuación precisa será

. 4 /

. x 4 J+. 4 /

. x 2 . y 2 J . 4 /. y 4

% D B

)l integrar la ecuación diferencial en derivadas parciales B se resuelve elproblema de la fle'ión de placas encontrando la deformación por másinfinitesimal sean Bflecha . &n cuanto al simbolog(a, q es la cargatransversal 1 D rigidez a fle'ión de la placa definida por

# E0 312 (1 − ! 2 ) )+

Donde %&? es el módulo de elasticidad del material %v? es el coeficiente de/osición 1 %h? es el peralte de la placa o también denominada altura.


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La cierto es que al resolver la ecuación diferencial B hallamos ladeformación de aquellas placa en cualquier punto a lo largo de ella quefinalmente representa la flecha de la placa en ese punto.

Como podemos observar la ecuación B contiene e'presionesinfinitesimales que deben comprenderse como precisión para lograr interpretar el resultado de la deformación de la placa bajo una cargatrasversal. 3n análisis similar nos lleva a interpretar la deformación esac4pula que antes mencionábamos como ejemplo.

)l concluir esta parte teórica es importante menciona que un dominio en lamanipulación la &stad(stica, por lo menos en su principios fundamentalesno conduce a encuádranos entre los dos postulados de la técnica= unoconstruir con la seguridad deseada 1 otro con la optimización de los costosque demanda.

2. LA E !E


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&s una proposición sencilla 1 evidente que es aceptada sin tener lanecesidad de ser demostrada= es un principio enunciado hipotéticamentecomo base de una teor(a deductiva de un teorema.

#-finición:

3na definición es una proposición mediante la cual trata de e'poner demanera particular 1 con precisión la comprensión de un concepto otérmino de una e'presión o locución. +e manifiesta a determinar, por escrito u oralmente, de modo claro 1 e'acto, las cualidades esencialesdel tema implicado.&n la lógica se le llamar(a _definición_ de esta manera _determinación odelimitación conceptual de lo que es esencial en un ente , que no suponenecesariamente comprobación emp(rica. &sta también, junto con la

división 1 demostración, uno de los procedimientos generales utilizadospor la ciencia.

E6-mplo:

&l ejemplo es un hecho o cosa particular que se cita para aclarar o ilustrauna afirmación una regla general.-echo, te'to o cláusula que se cita para comprobar, ilustrar o autorizar un aserto, doctrina u opinión.

E6-rcicio:

&s un trabajo intelectual que se delega a los alumnos con el fin deentrenarlos en la aplicación de reglas o métodos que deben conocer=este sirve de práctica de lo aprendido en una determina lección.&n si los ejercicios son aquellas actividades que se desarrollan paraadquirir, potenciar o conservar alguna facultad intelectual : &n este sentido, un ejercicio es un trabajo práctico que permite lacomprobación de la ense$anza teórica.De esta manera es normal que en las distintas clases de centroseducativos de distintos niveles los docentes, una vez han e'plicado laparte teórica de una lección, procedan a realizar ejercicios en clase conlos alumnos para que los mismos puedan asimilar mejor losconocimientos 1 para que aprendan a ejecutarlos convenientemente.

T-or-ma:

Derivada del lat(n t"eorema , la palabra teorema es una verdad que paraser cierta necesita ser aclarada, es decir, una proposición que puede ser

https://es.wikipedia.org/wiki/Proposici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Precisi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Comprensi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Conceptohttps://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_l%C3%A9xicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Locuci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Esencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Entehttps://es.wikipedia.org/wiki/Cienciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Proposici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Precisi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Comprensi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Conceptohttps://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_l%C3%A9xicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Locuci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Esencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Entehttps://es.wikipedia.org/wiki/Ciencia


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c Keometrización, es decir bosquejar el problema.

d :peratibisación, realizar operaciones 1 cálculos

e ;erificación, es la parte as importante , puesto que en nuestra carreraun ingeniero debe estar seguro de su respuesta que va a dar aconocer.

f efle'ión. es la e'periencia obtenida o e'tra(da que se podrá utilizar en otros problemas que sean similares.

• /roblemas simulados.P este tipo de problemas es mas de problemas enel laboratorio son de tipo de la vida real o cotidiana que se da en un

trabajo o empleo 1 se sigues casi los mismos pasos de en el el deproblemas predictivos

1Q. "A!E! E!TRATS%ICA! E LA !OLUCI& #E PRO=LEMA!#E CALCULO I "I ITE!IMAL

R-5olución d- pro?l-ma5 d- ma'-m 'ica:

&n la práctica todos hemos enfrentado siempre problemas en nuestra vidas=problemas de tipo real de la vida cotidiana como problemas académicos deun determinada asignatura en nuestros estudios. Lo cierto es que tambiénsiempre hemos procedido mecánicamente a resolver un problemaaplicando intuitivamente a veces los siguientes pasos

ué datostenemosU TCuál es el dato que debemos averiguarU, luego planificamosuna estrategia para resolver el problema haciendo dibujos, esquemas,rectas 1 finalmente revisamos para verificar que la respuesta este correcta.

-asta aqu( se ha precedido por tradición e intuición sin obrar metodológicamente el enfoque que debemos realizar para poder resolver un determinado problema. &n virtud a esta problemática B+ánchez -uete `

#ernández


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estrategias de resolución, la aplicación de las estrategias adecuadas, larevisión 1 comprobación del proceso seguido.

/or su parte la Dra. Lilian "oranza, en su trabajo /sicolog(a CognitivaContemporánea 1 epresentaciones "etales, te'tualmente, sostiene= %&n

términos del enfoque del procedimiento de la información las redes, losesquemas 1 los mapas conceptuales son las formas en las cuales seorganizan los conocimientos en la memoria semántica de larga duración 1es una buena hipótesis suponer que la eficiencia que se observa en lautilización de estos mediadores anticipan 1 modelan en el plano e'terno laesencia de las funciones ps(quicas superiores, que se traducen al planointrapsicologico como producto de un mecanismo activo de interiorización?,es decir que mediante estas el estudiante es capaz de asimilar 1 estructurar mejor sus conocimientos, hecho que favorece para la resolución deproblemas?.

La estructura general de una estrategia didáctica basada en el hibrido delos métodos 1 estrategias de /ol1a 1 +h enfeld, que se emplearon en laresolución de problemas planteando por= izo, C. 8 Campistrous, L. B 555 ,nos muestra una correcta organización del proceso de aprendizaje, quegarantiza los componentes funcionales de toda actividad la motivación, la:rientación, &jecución 1 Control.

-echas las consideraciones anteriores= responder las interrogantes T>uéestrategias utilizoU, Tpuedo e'presarlo de otra maneraU, T>ué estrategiasutilizoU, Tes correcto lo que hiceU, aplicando por un lado métodos decomprensión, el de concebir un plan, modelar la función, ejecutar el plan,tener una visión retrospectiva del problema 1 por el otro determinandoacciones prácticas como, la motivación, identificar el tio de problema,escribir ecuaciones a1udara a cumplir con los componentes funcionalesmencionados en el párrafo anterior.

Las fases estratégicas producto de la investigación 1 su aplicación en losseis pasos para la solución de problemas de la "atemática en general 1 delCalculo !nfinitesimal en particular se presenta en el Cuadro .

Cuadro 1 . /asos a seguir 1 su correspondiente habilidad para llegar a la soluciónde los problemas en la matemática.

PA!O! A !E%UIR G !U CORRE!PO #IE TE NA=ILI#A# PARA LLE%AR A LA !OLUCIO #E LO! PRO=LEMA! E LAMATEMATICO

ETAPA! %E ERA#A! POR PER!O ALI#A#E! E LA MATEMATICA A TRA$E #EL TIEMPOI


38/46

$E!TI%A#OR!O!AP

POI CARE )130/ 1 1+

AC UE! !ALOMONA#AMAR# )13 01 ,* %EOR%E POGLA )1332 1 30* C.".M. )+Q1,*

1

+aturación

Analysissitus

Documentació

n "c*&c on"+' "%"nc &)"+ /&n0) + +co!()"1o

Comprensión del problema

señalar alguna distinción entre"ejercicio" y "problema". Pararesolver un ejercicio,

Conceptualización

2!ncubación#%&'o+ +#"!0# co

/reparación#%&,&1o+ "n' n0! c&

Concepción de un planseñalar alguna distinción entre"ejercicio" y "problema"

!dealización

7

!nspiración(%o,)"!&++o,%" 2(# c&

")"c#% c '&'3#")"$%& 4&3c&( )&% '&'3")&+# c '&'3#"%!o' n0!c&3 !"c0n c&c*0n# c&3#"o%4& '" )&%") 5 '&' /co+!o)o$4&

!ncubaciónS*+ #%&,&1o+"n ' n0! c& )o

))"5&%on &oc*(&%(*"+#o+ co!o(%o "+o% '"

4+ c&

;isión retrospectivadepende en gran medida delestadio mental de la persona

que se enfrenta a ofrecer unasolución

Keometrización

;erificación#"o%4& '" )&%") 5 '&' /co+!o)o$4&

!luminaciónS*+ #%&,&1o+"n ' n0! c& :peratización

H;erificaciónC"n#%o '"In5"+# $&c on"+ C "n#46c&+

%&nc7+ "n89:;

;erificación

G

efle'iónCuadro 2 . F&+" "+#%$ c& (%o'*c#o '" )& n5"+# $&c 2n '" )& "'*c&c 2n!"!0# c& '") c0)c*)o n6n #"+ !&)

FASES ESTRATEGICAS PRODUCTO DE LA INVESTIGACION EN LA EDUCACION MATEMATICADEL CALCULO INFINITESIMALAPLICACIÓN DE LOS SEIS PASOS PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS DEL CALCULO

INFINTESIMAL

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!O!AP

PRIMERVERBO

SEGUNDOVERBO

HABILIDAD PARA EFECTIVISAR LAACCION

VISION

1 Conc"(#*&)


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básicos de cursos básicos de !ngenier(a como /ara la comprensión deáreas de conocimiento mu1 avanzado para la !nvestigación.

a. El Calculo una r-rrami-n'a Ku- -5' pr-5-n'- -n 'odomom-n'o d- nu-5'ra5 4ida5.

&n nuestro diario que hacer aplicamos conceptos de Cálculo!nfinitesimal sin prestar atención, as( se dan los casos de

• La tasa de crecimiento o disminución en los precios o cotizaciones, seestá aplicando el concepto de variable o derivada.

• )l comparar en el veloc(metro de un auto el incremento de lavelocidad entre espacio 1 un intervalo de tiempo 1 anotamos ladiferencia entre las entre dos comparaciones, se integra la velocidad

en el tiempo.• +e aplica el concepto l(mite geométrico entre dos puntos sucesivos,

cuando se traza la tangente de una curva.

• &l cálculo infinitesimal está presente en la observación de evoluciónde la temperatura de un paciente con má'imos 1 m(nimos 1 tasas decrecimiento.

• )l calcular un tanque de nafta de una estación de servicio se hace un

análisis diferencialPintegral de áreas 1 vol4menes.• )lumnos de primaria en un intervalo peque$o, utilizan el concepto de

diferencial en un cálculo de regla de tres, al linealizar oproporcionalizar una le1 de variación.

?. Impor'ancia par'icular d-l C lculo Infini'-5imal -n la cul'uraF laci-nciaF la '-cnolo(7a y la 5oci-dad:

Las 3niversidades 1 las #acultades de !ngenier(a afrontan una tarea 1compromiso en la formación de recursos humanos 1 para tener unaestructura de buenos profesionales se debe seguir los conceptossiguientes

a* -acer que los jóvenes ingenieros tengan conceptos 1 conocimientosamplios de la materia 1 no cerrarse en un n4cleo 1 no querer aceptar lo que nos rodea 1 se requiere en todo proceso, especialidad 1 área,


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por el continuo cambio, 1 evolución que sufre el mundo aconsecuencia de la globalización, de los requerimientos en latecnificación 1 la disponibilidad rápida de información que son desuma importancia para el diario vivir 1 as( poder realizar las tareascon la má'ima eficiencia.

?* Dentro de las vocaciones tempranas de alumnado se debe estudiar pol(ticas académicas a emplear para que los estudiantes puedanrendir de manera óptima, darles los recursos necesarios, ma1or infraestructura, comodidad 1 en especial la plana de catedráticossean bastante bien preparados, técnicamente 1 en especial tener estudios de pedagog(a con el fin de entender 1 ense$ar de unamanera más didáctica al alumnado 1 de esta manera tengan unadeterminación 1 voluntad de seguir 1 culminar sus objetivosprofesionales 1 as( reducir el porcentaje de abandonos 1Vo deserción.

c* Con una buena calidad de docentes 1 la aplicación de los estándaresinternacionales se puede asegurar a la vez profesionalesPingenierosaptos para enfrentar la realidad de este siglo II! en la que vivimos,la ense$anza siempre tiene que estar actualizada 1 no seguir ense$ando a$o tras a$o lo mismo 1 desconocer la nueva tecnolog(aque crece a pasos agigantados, si se quiere tener buenosprofesionales se tiene que tener buenos docentes todo depende dela ense$anza, esmero 1 calidad con que imparten sus conocimientos.

d* /ara poder a1udar a una comunidad se tiene primero que tener éticaprofesional, tener valores, estos valores se adquieren en el n4cleofamiliar, la escuela la universidad 1 en el transcurso de nuestrasvidas= as( con estas armas tendremos la capacidad 1 aptitud decontribuir en el desarrollo cultural, social 1 económico de unacomunidad aplicando nuestros conocimientos 1 habilidades demanera adecuada 1 correcta.

-* 3n sistema educativo tradicional carece de información actualizada,por tanto será dif(cil interactuar con innovadores sistemas, entonces

este sistema se debe actualizar para poder ser competitivo 1 poder as( el aprendiz crear nuevos hábitos de competitividad, habilidades,técnicas 1 condiciones para poderse integrar al ámbito de lamodernización tecnológica, investigación 1 transferencia educativa.

f* +e debe preparar a profesionales con visión futurista para poder competir en cualquier campo de su profesión 1 tener visión ordenada1 tener la capacidad de poder aportar 1 tener un enfoque


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internacional, nacional 1 departamental para un mejor aprovechamiento de los recursos.

La tarea de ense$ar e dificultosa porque requiere de e'igenciasintelectuales para futuros profesionales 1 a su vez de importantes

investigadores. )qu( algunos ejemplos prácticos del Cálculo !nfinitesimal aplicables endistintas áreas del conocimiento humano que pueden servir a futurosinvestigadores.

1., !-ri- d- Taylor

La serie de *a1lor para f alrededor de 3 a se define como

f ( x)= f (a )+f r (a )( x− a)++f 1 1 (a ) ( x− a )22 2

+…+ f (n− 1 )(a )( x− a )n−1

(n− 1 )2 + 3n

Donde : 3 n=f (n)( x0)( x− a )n

n 2 , x0 enmedio dea y y

+e llama residuo 1 donde se supone que f tiene derivadas de orden n cuandomenos. Cuando n 3 1 se llama %le1 de la media? o %*eorema del valor medio? 1se escribe como

f ( x)− f (a ) x− a = f 1 ( x0 ) x0 enmediodea yx

1./ Ecuación #if-r-ncial d- prim-r ord-n d- 4aria?l-5 5-para?l-5.

3na ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación de la forma

f &y&y4 3 5

3na ecuación diferencial f &y&y4 3 5se denomina de variables separables si epuede escribir en la forma

4 ( y) y 1 = 5 ( x)

&n este caso podemos integrar ambos miembros de la ecuación, para obtener

ʃ B(y)y`(x) dx = ʃA(x) dx

+uponiendo que podemos realizar estas integraciones obtenemos una ecuaciónque define en forma impl(cita la solución general de la ecuación diferencial.


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) menudo conviene realizar este proceso en notación diferencial. /ara hacer esto,primero reescribimos la ecuación utilizando la notación de Leibniz de la derivada

4 ( y) dydx

= 5 ( x)

&sta ecuación sugiere la forma diferencial de la ecuación

6 y dy 3 7 d

Como el lado izquierdo de la anterior implica sólo y 1 el lado derecho implica sólo ,decimos en este punto que las variables han sido separadas. )hora podemos reescribir laecuación como.

ʃ B(y)dx = ʃA(x) dx

&n defecto, integramos el lado izquierdo con respecto a y 1 el lado derecho conrespecto a 0esto da origen a una ecuación que define e'pl(cita o impl(citamentela solución general de la ecuación diferencial.

1.0 Ecuación d- Ricca'i

3na ecuación diferencial de la forma

843 P y 2 9 : y 9 ;


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dydx

+ ( x) y= , ( x) yn & n= 501

+ea v 3 y 1@n la ecuación se reduce

8e (n− 1 )∫

dx=( 1 9 n)∫

,e (1− n) dx ʃ dx+C

+i n35 la ecuación es lineal, si n 3 1 la ecuación es de variables separables.

1.2. Ecuación #if-r-ncial d- !-(undo Ord-n

f &y&y4&y44 35

1.3 Ecuación #if-r-ncial d- Cauc y Eul-r

y 1 1 + 1 x 5y1 + 1 x 2

4y = 0

/ara ' @ 1 7 1 6 constantes cualesquiera. ) menudo escribimos esta ecuacióndiferencial como '21 Y )'1 Y


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+upóngase que f t está definida para t @. La transformada de Laplace L f defes una función definida por

: [f ](s)=∫0

;

e− st f (t )dt

/ara todo? s” tal que converja esta integral impropia.

1.11. La 'ran5formación d- "ouri-r

F (α )= 1√ 2 < ∫− ;;

f (u)eiαu du

&ntonces

f ( x)= 1√ 2 < ∫− ;;

F (α )e− iαu dα

La función A / se llama *ransformada de #ourier de f 1 se escribeA / 3 A Bf C15

1.1+. Ecuación #if-r-ncial d- la Plac- -n #-ri4ada5 Parcial-5.

. 2 u

. x 2+ .

2 u. y 2

+us soluciones se denominan armónicas 1 desempe$an un papel importante en laconducción de calor, movimiento de fluidos 1 potencial eléctrico. &sta ecuacióndiferencial en derivadas parciales e'presa ciertas le1es f(sicas.

1.1,. Ecuación dif-r-ncial d- Onda -n #-ri4ada5 Parcial-5.

. 2 u

. t 2= a .

2 u. x 2

Describe el movimiento de una onda que puede ser una ola oceánica, una ondade sonido, de luz o una onda que viaja a lo largo de una cuerda vibrante.


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resumen calculo

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