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Practicas profesionalesTRANSCRIPT
Universidad Autónoma de Querétaro
Facultad de Ingeniería
Licenciatura en Matemáticas Aplicadas
Reporte de Residencia Profesional
Unidad Multidisciplinaria de Docencia e Investigación
Campus Juriquilla Departamento de Matemáticas
Hugo Emanuel Sánchez Hernández
28 de Noviembre de 2014
Hoja de Datos
Nombre del Alumno: Hugo Emanuel Sánchez Hernández
Número de expediente: 207763
Carrera: Licenciatura en Matemáticas Aplicadas.
Correo electrónico: [email protected]
Nombre de la empresa o institución: Unidad Multidisciplinaria de Docencia e Investigación Campus Juriquilla. Correo electrónico: [email protected] Periodo de prestación:
Fecha de inicio: 2 de Septiembre de 2014
Fecha de término: 28 de Noviembre de 2014
Total de horas: 320 horas.
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Hugo Emanuel Sánchez Hernández
Alumno
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Jorge X. Velasco Hernández
Presidente de la Sociedad Matemática Mexicana
______________________________
Patricia Spíndola Yáñez
Coordinadora de la licenciatura en Matemáticas Aplicadas
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Norma Angélica Rodríguez
Coordinadora del departamento de Residencia Profesional
Descripción de la Institución
Nombre de la Institución: Unidad Multidisciplinaria de Docencia e Investigación Campus Juriquilla. Domicilio: Boulevard Juriquilla 3001. Juriquilla, Querétaro, México Teléfonos: Desde el DF. (+52) (55) 56234301 y 56234302 | Extensión UNAM 34301 y 34302 | Querétaro (+52) (442) 1926201 y 1926202 Correo electrónico: [email protected] Página Web: http://umdi-juriquilla.fciencias.unam.mx/ Descripción del producto o servicio que ofrece la Institución o Empresa: La Unidad Multidisciplinaria de Docencia e Investigación de la Facultad de Ciencias (UMDI-FC-J) es una dependencia de la Universidad Nacional Autónoma de México ubicada en el campus Juriquilla, Querétaro, que está dedicada a la formación de recursos humanos, a la investigación científica y a la difusión del conocimiento hacia la sociedad. El personal académico de la UMDI-FC-J pretende formar profesionales con un amplio conocimiento ambiental a través del proceso docencia-investigación en los niveles de licenciatura y posgrado. Para ello, la Unidad realiza estudios de la Biodiversidad, la Zona Geocrítica y Sustentabilidad Ambiental, los Sistemas Físicos y Geobiológicos y las Matemáticas discretas y de sistemas dinámicos y, tomando como eje de unión a las Ciencias de la Tierra y la Tecnología, con una aproximación multidisciplinaria. Organigrama: Ayudante de investigador SNI III.
Marco Teórico
El método de Cranck-Nicolson fue fundamental en todos los proyectos realizados durante
la práctica profesional. Es por eso que lo muestro como sigue:
Método de Crank-Nicolson
En el campo del análisis numérico, el método de Crank-Nicholson es un método de diferencias finitas usado para la resolución numérica de ecuaciones en derivadas parciales, tales como la ecuación del calor. Se trata de un método de segundo orden en tiempo, implícito y numéricamente estable. El método fue desarrollado por John Cranky Phyllis Nicolson a mediados del siglo XX.
Para ecuaciones difusivas (y para muchos otros tipos de ecuaciones), puede demostrarse que el método de Crank–Nicolson es incondicionalmente estable. Sin embargo, las soluciones aproximadas pueden aún contener algunas oscilaciones espurias (decrecientes) si el ratio entre el paso de tiempo y el cuadrado de la talla en espacio es grande (típicamente, mayor que 1/2). Por este motivo, siempre que sean necesarios pasos de tiempo grande o pequeñas tallas espaciales, puede considerarse el uso del método de Euler implícito, que es a la vez estable e inmune a oscilaciones (aunque es de menor orden).
Descripción gráfica del método de Crank-Nicolson
Esquema de Crank–Nicolson para un problema 1D.
Desarrollo del Proyecto
A principio de las prácticas profesionales, el representante del proyecto, el Dr. Jorge
Velasco nos propuso un proyecto en el cual se desarrollaría una aplicación de modelación
matemática. Esto se haría conjunto a una empresa que labora en el estado de Oaxaca,
exportando chapulines asados para algunos de los restaurantes más reconocidos de la
República Mexicana y el mundo, como lo son algunos restaurantes de Alemania y
Francia.
Estos chapulines son exquisitamente deliciosos gracias a que se alimentan solo de alfalfa.
Como se mencionó, son exportados a reconocidos restaurantes; el problema que se tenía
es el mal sabor que contienen las patas de los chapulines. Entonces, se busco hacer un
modelo matemático para “despatar” a los chapulines de una forma, rápida, práctica,
económica y eficiente. Por lo tanto, el siguiente fue el primer trabajo realizado.
Reporte del trabajo realizado a chapulines del estado de Oaxaca, México
Introducción
En el estado de Oaxaca hay una gran empresa
exportadora a nivel nacional e internacional de
chapulines comestibles. Estos chapulines son
considerados como una exquisita botana en esta
región del país, es por eso que dicha empresa se
dedica a exportar chapulines a diversos
restaurantes mexicanos y extranjeros. Cabe
mencionar que el valor nutrimental de este chapulín es muy alto ya que éste se alimenta
sólo de alfalfa pero, la gente que los consume suele quejarse del mal sabor de las patas
de los chapulines. En la figura 1 se muestra una imagen representativa del chapulín
oaxaqueño.
Por lo tanto, el trabajo que se pretendía hacer es de alguna forma quitarle las patas
traseras a los chapulines. Este trabajo requería conocimientos de diferentes ciencias tales
como matemática, física y biología.
Este proyecto es vinculado principalmente con Matemática Industrial, el cual pretendía
emplear métodos matemáticos como métodos para solucionar un sistema de ecuaciones
diferenciales no lineal que modele el comportamiento periódico que presenta un chapulín
del estado de Oaxaca al ser sometido a diversas características como cambios en la
presión, cambios en la temperatura y, por ende, cambios en el volumen del chapulín.
Aplicación Matemática
En el inicio de este proyecto se intentó modelar el cuerpo del chapulín relacionándolo con
alguna figura geométrica. Para eso, se estudió primero la figura del cuerpo del chapulín.
Como se observa en la Figura 1, las patas traseras del chapulín están de tal forma que si
figuramos el chapulín de la parte trasera éstas parecerían como dos rectas tangentes a
una circunferencia. Lo anterior se ejemplifica en la Figura 2.
Entonces, se pensaba que si sometíamos el cuerpo del chapulín a cierta temperatura y
presión, éste aumentaría su volumen y eso haría que las patas se abrieran, como se
muestra en la Figura 3. Esto con el objetivo de alejar o despegar las patas del chapulín de
su cuerpo. Se observó también que, el cuerpo del chapulín tenía una forma simétrica y
además que alargando las patas más largas, éstas se intersectarían en un punto, del cual
se desprende un ángulo como se muestra en la Figura 4.
Entonces, conforme fuésemos aumentando el volumen de la circunferencia, las rectas
paralelas abrirían más o eso pretendíamos que pasara. El modelo matemático estaba
claro, se sabía matemáticamente que pasaría (Figura 5)
Después, estando el chapulín dilatado se pretendía deslizarlo por un cedazo para que le
cortara las patas. Sin embargo, éste no podía ser un cedazo cualquiera, tenía que ser uno
diseñado exactamente para que al momento de deslizar el chapulín ahí, entraran
solamente las patas y no el cuerpo completo del chapulín. Esto facilitaría la tarea de
desprender las patas del chapulín, ya que, cuando el cedazo vibrara con la suficiente
fuerza para arrancar las patas, estos se separarían y así habríamos concluido con el
proyecto.
Se trabajó por cierto tiempo en este proyecto y se llegó a la conclusión de que el
problema no era tan matemático, sino que habría que incluir otras ciencias como lo son la
Física y Química para poder terminar este proyecto. Por lo tanto, se realizó solo un
reporte y comenzamos con un nuevo proyecto.
Este nuevo proyecto involucraba más conocimientos matemáticos, los cuales son Algebra
Lineal, Calculo Diferencial e Integral, Ecuaciones Diferenciales Parciales y Ordinarias,
Variable Compleja y principalmente Métodos Numéricos. Para el cual, primero se hizo un
plan de trabajo, el cual es el siguiente:
RESUMEN
El proyecto consistió en esencialmente aplicar las matemáticas. Se tenía que simular una
ecuación diferencial parcial de segundo orden que modela la presión en pozos de
petróleo. Esta ecuación tiene la siguiente forma
Ahora, suponiendo que la presión del pozo en un yacimiento infinito es constante al
momento de que el pozo empiece a producir, teníamos que estudiar el comportamiento en
el tiempo de la diferencial de presión. Para esto, se resolvió dicha ecuación en una y dos
dimensiones y se obtuvieron algunas gráficas que mostraban el comportamiento
requerido.
PROCEDIMIENTO
Solución por el método de Crank-Nicholson
El método de Crank-Nicholson es un método de diferencias finitas usado para la
resolución numérica de ecuaciones en derivadas parciales. El método de Crank–Nicolson
se basa en diferencias centrales en espacio y en la Regla del trapecio en tiempo,
resultando así en un método con convergencia de segundo orden en tiempo. En el caso
de una dimensión, analizaremos la ecuación en derivadas parciales
Entonces tomando , la ecuación para el método de Crank–Nicolson es
una combinación del método de Euler implícito y el método de Euler explícito en la etapa
de tiempo n + 1. Si suponemos, por comodidad que, y
entonces
Análogamente para el tiempo
Se tiene entonces que
Para ver más claramente que estamos haciendo, definamos una matriz para describir el
lado izquierdo de la ecuación y una matriz para el lado derecho. De tal manera
como:
donde es ahora un vector columna. Los elementos de están dados por para
todo excepto para
;
;
y los elementos
de están dados por excepto para
;
;
. Finalmente, agregamos las ecuaciones de frontera a estas matrices y,
así la ecuación puede ser resuelta por
Trabajar estos cálculos a mano puede ser muy complicado, en lugar de eso,
emplearemos todo lo anterior mencionado en el software de programación python para
poder comprender el comportamiento de esta solución. A continuación, el código de
python y la gráfica obtenida.
Gráfica 1. Diferencial de presión en el caso unidimiensional.
En el caso bidimensional se analiza la siguiente ecuación
El método de Crank-Nicolson proporciona unas ecuaciones lineales. Resolviendo esas
ecuaciones, y haciendo algunos ajustes al programa anterior de Python se obtiene el
siguiente código
y la siguiente gráfica, la cual muestra el comportamiento de las soluciones.
Gráfica 2. Comportamiento de las soluciones de la ecuación de flujo radial bidimensional.
Con esta gráfica se concluyó el proyecto pues, ésta muestra el comportamiento de la
ecuación diferencial parcial de segundo orden que se analizó.
Consideraciones
El mayor beneficio obtenido para mí fue el aprender una rama más de la aplicación
matemática. Ahora sé que las matemáticas están por todas partes, sólo es cuestión de
que se plantee cualquier problema, cualquier situación ya sea Industrial, Económica,
Estadística etc; las matemáticas siempre están y que mejor que emplear modelos
matemáticos para llegar a su solución.
Conclusiones
1. Es fundamental hacer prácticas profesionales, pues uno aprende cosas que se
puede nunca llegar a imaginar que emplearía con lo que aprendió durante la
carrera.
2. Sería totalmente benéfico si se considerara en lugar de hacer dos servicios
sociales hacer dos semestres de prácticas profesionales.
3. En las prácticas profesionales me pude dar cuenta de la gran gama de
aplicaciones de mi licenciatura y de lo poderosa que se convierte si se une con
otras ciencias como la Física y Biología.
BIBLIOGRAFIA
[1] YARITH NAYUE. Modelo de flujo radial para el estudio de presión transitoria en
medios porosos, Tesis, (2014).
[2] RANDALL J. LEVEQUE. Finite Difference Methods for Ordinary and Partial
Differential Equations, University of Washington Seattle, (2007).
[3] ZHANGXIN CHEN. Reservoir Simulation mathematical techniques of oil recovery,
Regional Conference Series in Applied Mathematics, (2007), 38-70.
[4] H. F. WEINBERGER. A FIRST COURSE IN PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH COMPLEX VARIABLES AND TRANSFORM METHODS.