HERRAMIENTAS

Componente – Especialidad Académica: Matemática

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PRO

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EQUIPO RESPONSABLE Especialistas compiladores Carlos Andrade F. Impresión: CISE-PUCP Pontificia Universidad Católica del Perú Facultad de Educación Centro de Investigaciones y Servicios Educativos 2009 Av. Universitaria 1801. San Miguel. Lima 32. Teléfono 626-2000 anexo 4380/5714 Fax 626-2891 Correos Electrónicos: cise@pucp.edu.pe , faceduca@pucp.edu.pe

Pág. Web: www.pucp.edu.pe

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INTRODUCCIÓN Les damos la más cordial bienvenida al estudio de uno de los componentes del Programa Nacional de Formación y Capacitación Permanente (PRONAFCAP), el componente DCN aspectos específicos Matemática. El enfoque de la enseñanza de la matemática prioriza la resolución de problemas capacidad compleja que hay que desarrollar; el “hacer matemáticas” requiere, a menudo, de procesos de abstracción y generalización; así los contenidos temáticos son la vía a través de los cuales se desarrollan capacidades de menor grado de complejidad como las específicas que a su vez, coadyuvan al desarrollo de otras de mayor grado de complejidad. Los contenidos temáticos son abordados a través de 4 unidades: La primera unidad “Lógica, conjuntos y números reales”. Su propósito es que ustedes docentes de la especialidad- participantes desarrollen un pensamiento sistemático, auténtico y coherente; que pasen de las opiniones empíricas al pensamiento formal; por ello se tratará de las proposiciones y sus propiedades, cuantificadores, como herramientas para la construcción de los conjuntos y sus propiedades .También se construye los sistemas numéricos ,las ecuaciones, e inecuaciones ,el interés simple y compuesto como herramientas para la resolución de problemas cotidianos. La segunda unidad “Funciones y programación” tiene como propósito mostrar que las funciones tiene aplicaciones directas en diferentes campos como las ciencias y la naturaleza y que permite representar, analizar y predecir situaciones de la realidad. En esta parte se representara y resolverá ecuaciones, funciones exponenciales y logarítmicas y su modelamiento en situaciones concretas. Finalmente se planteara y resolverá problemas mediante el uso de la programación lineal. La tercera unidad “Geometría y medida”. El propósito de esta unidad es coadyuvar al desarrollo del pensamiento intuitivo, concreto y formal relacionando con situaciones de la realidad .La geometría permite representar, hacer estimaciones, establecer conjeturas, construir demostraciones y determinar ejemplos y contraejemplos. En esta parte se inicia con los sólidos geométricos como los prismas y cuerpos redondos, luego se trabajara la representación de las rectas, y las cónicas en un plano de coordenadas en la geometría analítica y finalmente las identidades y la resolución de problemas utilizando ley de senos y cósenos en la trigonometría plana. La cuarta unidad “Estadística y Probabilidades”. El propósito de esta unidad es mostrar las aplicaciones de la estadística para el recojo a través de encuestas, el análisis de la información utilizando medidas centralización y dispersión y finalmente la preedición utilizando las probabilidades de eventos simples y compuestos y los métodos para el muestreo

Durante el desarrollo y al final del curso se abordará el uso de estrategias metodólogicas como los juegos matemáticos, trabajo de grupos, y recursos didácticos como la calculadora, policubos, algeoplano, etc.

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INDICE DE TEMAS SELECCIONADOS

Nº de

Lectura Descripción Pág.

1 Lógica proposicional 5

2 Sistemas de numéricos

12

3 Ecuaciones e inecuaciones en R

23

Unidad 1: Lógica ,conjuntos y

números reales

4 Recursividad 32

4

TEXTO 1 LÓGICA PROPOSICIONAL

La lógica La lógica está presente en todo momento de nuestra vida pues opera al interior de cada una contribuyendo no sólo en el ordenamiento de las materias de estudio, sino también en el orden de dependencia que reina entre sus proposiciones .En las ciencias cumple un rol muy importante en especial la matemática a través el método axiomático. En la vida cotidiana, puede orientarnos en determinadas situaciones a optar por un proceder más coherente de acuerdo a la verdad. En la actividad docente la lógica toma vital importancia, ordena y organiza nuestro pensamiento, influenciando esto en la claridad y precisión de nuestro lenguaje, el mismo que debe ser entendible de igual modo por todos.

1.1 LENGUAJE PROPOSICIONAL

En nuestra vida cotidiana realizamos actividades o formulamos expresiones lógicas aun cuando no tenemos plena conciencia de ello. Esto ha venido ocurriendo desde nuestro nacimiento pues muchas de estas actividades o expresiones se encuentran implícitas en diversas actividades humanas. Por ejemplo, formulamos expresiones como: ¿Quién de ustedes conoce el teorema de Pitágoras? Discúlpame, pero debes levantara la mano para dar tu opinión ¡Silencio! No esta permitido llegar tarde a la institución educativa. A cada una de estas expresiones se denomina enunciado Podemos notar que algunos de estos enunciados son verdaderos, otros son falsos y, por ultimo, existen enunciados de los cuales no se puede decir si son verdaderos o falsos. p : Treinta es múltiplo de cinco. q : 55 es divisible por 5. r : El hexágono es un polígono de 6 lados .

Una proposición es un enunciado que tiene la cualidad de ser verdadero o falso, pero nunca ambos a la vez.

Las proposiciones se pueden denotar con letras minúsculas, generalmente se usa p, q, r, s, t, etc.

.

5

1.2 CLASES DE PROPOSICIONES

a. Proposición simple Ejemplos: q: El triángulo tiene tres lados. r : Todo rectángulo es un cuadrado. Observa que los ejemplos dados corresponden a proposiciones que tienen un sujeto y un predicado; además carecen de conjunciones gramaticales y del adverbio de negación (no).

La proposición simple expresa una sola idea y no guarda relación con ninguna otra proposición.

b. Proposición compuesta Ejemplos:

El cuadrado tiene cuatro lados y dos diagonales. p: El cuadrado tiene cuatro lados q: El cuadrado tiene dos diagonales.

Si Inés vive en San Juan de Miraflores, entonces vive cerca de Villa el Salvador. p: Inés vive en San Juan de Miraflores q: Inés vive cerca de Villa el Salvador.

Adriana asiste a la fiesta si y sólo si obtiene el permiso de sus padres. p: Adriana asiste a la fiesta. q: Adriana obtiene el permiso de sus padres

Una proposición compuesta es aquella proposición formada por dos a más proposiciones simples, unidas por conjunciones gramaticales (conectivos), o

afectados por el adverbio de negación (no).

Los conectivos utilizados para unir proposiciones o cambiar su valor de verdad están expresados en la siguiente tabla:

CONECTIVO OPERACIÓN ASOCIADA SIMBOLOGÍA SIGNIFICADO

Negación p No p

Conjunción p q p y q

Disyunción p q p o q

∆ Disyunción exclusiva p ∆ q o p o q (es excluyente)

Implicación p q si p, entonces q

Doble implicación p q p si y sólo si q

1.3 OPERACIONES PROPOSICIONALES

La negación

6

Cumple la función de negar una afirmación o afirmar una negación. Pero al negar una negación, hemos afirmado una negación.

p p (p)

V F V

F V F

p : El número cuatro es par. (Verdadero) p : El número cuatro no es par. (Falso)

Si tenemos dos o más proposiciones simples cuyos valores de verdad se conocen, es posible determinar el valor de verdad de la proposición compuesta resultante. Conjunción p: un cuadrado es un rectángulo q: un cuadrado es un rombo Entonces: p q: un cuadrado es un rectángulo y es un rombo.

Se pueden utilizar otros términos: pero, además, aunque, sin embargo, a la vez, no obstante, sino, mas aún, cuando, también, igualmente, tanto ... como ..., a pesar de, a menos que

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Disyunción Inclusiva p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

p: 12 es menor que 12 q: 12 es igual a 12

Entonces: p q : 12 es menor que 12 o es igual a 12 .

Disyunción Exclusiva Cuando nos referimos a uno o a otro, pero no a ambos.

p: A es un ángulo obtuso p q p ∆ q

V V F

V F V F V V F F F

q: A es un ángulo agudo

Entonces: p ∆ q : A es un ángulo obtuso o agudo

Implicación

En toda proposición condicional, la proposición p se denomina antecedente y la proposición q, consecuente de la condicional. Otras denominaciones son “p es condición suficiente para q”, o “q es condición necesaria para p”. Se pueden utilizar otras expresiones como: siempre, porque, en vista que, puesto que, ya que, sí, cuando, cada vez que,

7

p q p q

V V V F F V F F

V F V V

Este modelo lógico es muy usado en la formulación de los enunciados de teoremas, etc.

Doble Implicación "n es par si, y sólo si, n2 es par" es equivalente a demostrar dos condicionales: "si n es par, entonces n2 es par" y "si n2 es par, entonces n es par". p q [(p q) (q p)]. Se pueden utilizar otras expresiones: “cuando y solo cuando, entonces y solamente entonces, etc. “.

1.4 Equivalencias lógicas importantes Usando las tablas de valores de verdad se puede demostrar la equivalencia lógica de las siguientes proposiciones:

1) Conmutativa : p q q p; p q q p 2) Asociativa : p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r 3) Distributiva : p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) 4) Condicional : p q ~p q 5) Doble Negación : ~(~p) p 6) Leyes de De Morgan : ~(p q) ~ p ~q ~(p q) ~p ~q 7) Leyes de absorción : p ( p q ) p

p ( p q ) p

8) Principio de contraposición : p q ~q ~p

Problemas resueltos 1. Sean las proposiciones p, q, r, cuyos valores de verdad es V, F y F. hallar el valor de verdad de las siguiente proposicion compuesta ( p -q ) ( q r ) Solución: En este caso lo que hacemos es reemplazar los valore de verdad de cada proposicion

p q p q V V V F F V F F

V F F V

8

2. Si el esquema ( ( p -q ) ( r q ) ) es falsa .hallara el valor de verdad del siguiente esquema , si la proposicion p es p : 2 es divisor de 5 ( p q ) ( r -q ) Solución La proposición p: 2 es divisor de 5 ,es falsa Así mismo: Si ( ( p -q ) ( r q ) ) es falsa , el valor del antecedente es necesariamente Versadero. y el consecuente Falso Entonces: ( p -q ) es verdadero y ( r q ) es falso Si ( p -q ) es verdadero y p es falso ,entonces-q es verdadero, es decir q es falso Si ( r q ) es falso ,entonces r es verdadero y q es falso Por lo tanto los valores de p,q,r es falso, falso y verdadero respectivamente.

3. Encuentra el equivalente lógico a (p q) r utilizando solamente los

conectivos “ ” y “ ”

Solución: Utilizando las equivalencias y reemplazando obtenemos (p q) r = ( -(-p) v -q ) r condicional = ( p v – q ) v r doble negación = ( p v –q v r ) asociando = -( -p q -r ) Morgan 4. Si se define % de la siguiente manera p % q =p v –q hallar (p % p ) % p Solución: Utilizando la operación definida y reemplazando y simplificando obtenemos (p % p ) % p = (p v –p ) % p resolvemos primero el paréntesis = (p v –p ) v - p resolvemos la segunda operación = p v (-p v –p ) Asociando = p v –p = T (TAUTOLIGIA) = V (verdadero)

9

PRACTICANDO LO APRENDIDO

Actividad grupal Analiza los siguientes problemas propuestos e indica a que capacidades apunta cada ejercicio (Fundamenta tu respuesta) y resuelve en grupo los siguientes propuestos.

1. Traduce a lenguaje simbólico las siguientes proposiciones:

a) Si (3 - 5)2 = 4 entonces -2 < 1

b) -23 = 8 o 23 = 8

c) (x–5)2 = 25 si y sólo si x=10 o x =0

d) cos x = 0 si x =90º

e) Si x e y son números reales positivos entonces x2 + y2 = 9 es una función

2. Determina el valor de verdad de las proposiciones del ejercicio anterior

3. Indica que dato es suficiente para resolver el conjunto de enunciados .En un edificio de 4 pisos, Ana vive un piso mas arriba que Luis; Pedro, arriba de Luis; y Sandra, debajo de pedro. Determina en que piso vive cada persona.

Datos:

I. Ana y Luis son amigos II. Sandra vive debajo de Luis

4. Si p y r son proposiciones verdaderas y q es falsa, determina el valor de verdad de

a) [ ( p ∧ ~ q ) v ~ r ] ⇒ q

Actividad individual Analiza y resuelve los siguientes ejercicios propuestos. (Fundamenta tu respuesta)

1. Si la negación de (p q) p (p r) (s r) es verdadera, halla el valor de verdad de: (p q) (r s)

2. ¿Qué condiciones debe satisfacer p y q para que la siguiente proposición:

[ ( q ⇔ p ) ∧ ~ q ] ⇒ ( p ∧ ~ q ) Sea falsa

3. Encuentra el equivalente lógico de (p q) r utilizando solamente los

conectivos “ ” y “ ”

4. Simplifica las siguientes proposiciones usando equivalencias lógicas:(~q ⇔ r) v ~r

5. Se define la siguiente operación P $ Q = - P V –Q Halla y simplifica ( p $ ~ q ) $~ q

10

Seguimos practicando

6. Si p y r son proposiciones verdaderas y q es falsa, determina el valor de

verdad de a) [ ( p ∧ ~ q ) v ~ r ] ⇒ q

b) [ (~ r v q ) ∧ ( r v ~ p) ] ⇔ ~ r

7. Sean p, q, r, tres proposiciones tales que r es falsa; p ⇔ ~ q , q ⇒ r son

verdaderas, deduce el valor de verdad de p.

8. Dado la proposición (~ p v ~ q ) ∧ r , la expresión lógicamente equivalente es

a) p ⇒ ( ~ q ∧ r ) b) ( p ⇒ q ) ∧ r c) ( p ⇒ ~ q ) ∧ r d) p ⇒ ( q v r )

9 .Encuentra el equivalente lógico de (p q) r utilizando solamente los

conectivos “ ” y “ ”

10. Encuentre el equivalente lógico de las siguientes proposiciones utilizando

solamente los conectivos “ ” y “ ”

a) p (p q)

b) (p q) (q r)

11. Simplifica las siguientes proposiciones usando álgebra lógica:

a) p ⇒ [~q ⇒ (p v q)]

b) p ∧ [(q ∧ ~p) ⇒ (p v ~q)]

12. Se define la siguiente operación P $ Q = - P V –Q Halla [ (- p $ ~ q ) $ p] $ q

13. Si la negación de (p q) p (p r) (s r) es verdadera,

halla el valor de verdad de:

a) (q p) (r p) (r q) b) (p q) (q r)

14 ¿Qué condiciones debe satisfacer p y q para que la siguiente proposición:

a) [ (~ p ⇒ q ) ⇒~ r ] v [ ~ q ⇒ r ] Sea falsa

b) { ~p ∧ ( p v q ) } ∧ [ p ⇔ q ] Sea verdadera

11

TEXTO 2

SISTEMAS DE NÚMEROS REALES

Imagen fractal generada mediante un programa ultra fractal, a través de una fórmula generada en una sucesión de los números complejos. Texto José Martínez A. (universidad de Granada)

La siguiente idea será convertir a R en un sistema de números; para lo que habrá necesidad de definir una relación de igualdad y las operaciones internas de adición y multiplicación para expresiones decimales infinitas periódicas y no periódicas, lo cual es bastante complicado. Existen varias maneras de definir formalmente el conjunto R: por encajes de intervalos (Weierstrass), por cortaduras (Dedekind), por sucesiones fundamentales (Cantor) y axiomáticamente (Hilbert). Conjunto de los números naturales. En el conjunto de los Números Naturales la diferencia no siempre existen El conjunto de los números naturales, que se denota por N ó también por Z+, corrientemente se presenta asi:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen, de los sistemas numéricos, y lleva principalmente a la consideración de los números reales.

Conjunto de los números enteros. En el conjunto de los números enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N , como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = -2 El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta asi: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} En el conjunto de los números enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N , como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = -2. Puede notarse que N Z. El cociente de dos números enteros no siempre existe, por ejemplo 2/3 no es un número entero, En términos algebraicos no es posible resolver la ecuación. 3x = 2.

12

Conjunto de los números racionales. La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación: ax = b con a, b R, a 0. es decir el cociente de dos números enteros no siempre existe, por ejemplo 2/3 no es un número entero, En términos algebraicos no es posible resolver la ecuación. 3x = 2.

El conjunto de los números racionales, que se denota por Q , se define de la siguiente manera:

Q = m/n ; m,n son enteros y n diferente de cero

Ésta sólo tiene solución en Z , en el caso particular en que a es un divisor de b.

Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en consecuencia, se puede concluir que: Z Q. En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d, ..., se entenderá que a, b, c, d, ..., son números enteros y que los denominadores son diferentes de cero. El algoritmo de la división de Euclides es un procedimiento para obtener a partir del cociente de dos enteros, una expresión decimal.

Conjunto de los números irracionales. En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución el conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Asi, por ejemplo, al considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x, satisface la ecuación: x2 = 2.

Puede demostrarse fácilmente, que no existe X Q que verifique esta última ecuación. En general, una ecuación de la forma xn = a, con a Q y n N, carecerá (excepto casos particulares) de solución. Se hace por lo tanto necesario, describir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como las anteriores tenga solución.

El conjunto de los números irracionales, que se denota por Q*, está constituido por los números reales que no admiten la representación racional.

Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural),

, , etc.

En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en Q , como sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones son:

x = , que no son números racionales.

Ejemplos de esta clase de números son: el número áureo , , e (base del logaritmo natural), etc.

13

El número áureo o de oro (también llamado número dorado, sección áurea, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:

Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción

Concha de nautilus

Edificaciones como el Partenón

Espiral a partir de los rectángulos

Tarjetas de crédito

Sistema de los números reales Como ya lo hemos presentado los Sistemas de los Números Naturales N, de los Números Enteros Z y de los Números Racionales Q de manera que haciendo identificación N Z Q. Sin embargo no siempre es posible resolver ecuaciones aparentemente sencillas, como por ejemplo x2 = 2, que aparece naturalmente cuando se aplica el Teorema de Pitágoras a un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen como longitud 1, resulta que la longitud de la

hipotenusa es 2 que no es número racional . Los ejemplos anteriores, inducen a considerar el conjunto de todas las expresiones decimales infinitos no periódicos que, evidentemente, no son números racionales a las que se dará el nombre de números irracionales. A este nuevo conjunto se le denota por. Q*, Con los conjuntos Q e Q* construiremos un nuevo conjunto R = Q Q*, al cual le llamamos conjunto de los números reales. Es decir: R = Q I ={exp. dec. infinitas periódicas} {exp. dec. Infinitas no periódicas} O también R = Q I= {números racionales} {números irracionales} Definición Axiomática de R El Sistema de los Números Reales es un conjunto, denotado por R, provisto de dos operaciones internas llamadas adición y multiplicación, y una relación de orden.

La Adición es una operación interna en R, que asocia a cada par de números reales (a,b) R R un único número real llamado suma de a y b, y que se denota a + b. Simbólicamente:

+ : R R R, tal que (a,b) a+b Los números reales a y b reciben el nombre de sumandos.

La Multiplicación es una operación interna en R, que asocia a cada par de números reales (a,b) R R un único número entero llamado producto de a y b y denotado por ab o simplemente a.b.

14

Simbólicamente:

: R R R, tal que (a,b) ab Los números a y b reciben el nombre de factores. La adición y la multiplicación satisfacen los siguientes axiomas:

AXIOMAS ADICION MULTIPLICACION Conmutatividad R1) a + b = b + a a,b R R5) ab = ba a,b,c R

Asociatividad R2) (a+b) + c = a + (b+c) a,b,c R

R6) (ab)c = a(bc) a,b,c R

Elementos neutros

R3) Existe un único número real llamado cero, denotado por 0, tal que:

a + 0 = a, a R.

R7) Existe un único número real llamado uno, denotado por 1, 10, tal que: a1= a, a R.

Elementos opuesto e inverso

R4) Para todo R, existe un único número real denotado por -a, llamado opuesto de a, tal que

a

0)a(a

R8) Para todo a R, 0, existe un único

número real denotado por ó

a1a

a1 ,

llamado inverso de a , tal que: a = 1 1a

Distributividad R9) acab)cb(a a, b, c R

CONSECUENCIAS IMPORTANTES DE LOS AXIOMAS

A continuación se presenta sin demostración las consecuencias mas importantes de los axiomas. En algunas demostraciones de los teoremas del cálculo, haremos referencia a ellas.

C1 Ley cancelativa para la adición (multiplicación) x + y = x + z y = z Si x 0, entonces, xy = xz y = z C2. Para todo a, b R , la ecuación: x + a = b, tiene una y solo una solución en R. C3. Para todo x R , x . 0 = 0 C4. x . y = 0 x = 0 v y = 0. C5. Para todo x R , si x 0, entonces x-1 = 1/x 0. C6. Para todo x R , -(-x) = x. C7. Si x 0, entonces, (x-1)-1 = x. C8. Para todo x, y R, -(x+y) = (-x) + (-y). C9. Si x 0, y 0, entonces: (xy)-1 = x-1.y-1.

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C10. Para todo x R , -x = (-1)x. C11. (-x) . (-y) = x.y. C12. -(xy) = (-x)y = x(-y). C13. x(y-z) = x.y – x.z. Axiomas de orden

Los axiomas o propiedades del sistema de los números reales que se enuncian a continuación se expresan en términos de un cierto subconjunto especial de R (este subconjunto denotado por R+ se identifica con el conjunto de los reales positivos). En el caso particular que se estudiará, estas propiedades permiten establecer que el sistema de los números reales es un campo ordenado.

Existe un subconjunto R+ de R tal que: Si a, b R+, entonces a + b R+ a . b R+ Para cada a R , una y solo una de las siguientes proposiciones es verdadera. a R+ ; a = 0 ; -a R+. Los elementos a R , para los cuales a R+, serán llamados: reales positivos.

Los elementos a R , para los cuales -a R+, serán llamados: reales negativos. DESIGUALDADES

Usando solamente el subconjunto R+ descrito en A.O.1., se deducen todas las reglas usuales en el trabajo con desigualdades de números reales.

Definiciones Sean x, y números reales. Los símbolos "<" y ">" (que se leen: "menor que" y "mayor que" respectivamente) se definen por las afirmaciones:

x < y y – x R+ x > y x – y R+

Los símbolos " " y " " (que se leen: "menor o igual que" y "mayor o igual que" respectivamente) se definen por las afirmaciones:

x y x < y v x = y x y x > y v x = y

Cada una de las expresiones: x < y, x > y, x y, x y es llamada una desigualdad.

Se sigue de la definición anterior que las desigualdades: x > y, y, y < x son

equivalentes. Igualmente las desigualdades: x y, y, y x son equivalentes. La expresión: x < y < z, se usa para indicar las dos desigualdades simultáneas:

x < y ^ y < z. Igualmente, la expresión: x > y > z, se usa para indicar las dos desigualdades simultáneas: x > y ^ y > z.

16

Claramente, a R+ a > 0 a es negativo a < 0

Las propiedades siguientes, que enunciamos sin demostración son consecuencia inmediata de la propiedad de orden y serán útiles en el trabajo con desigualdades.

CONSECUENCIAS PRINCIPALES DE LA PROPIEDAD DE ORDEN

01. Tricotomía.

Si x, y R , entonces, una y solo una de las siguientes proposiciones es verdadera: x > y ; x = y ; x < y. 02. Transitiva. Para todo x, y, z R , x < y ^ y < z x < z. o x > y ^ y > z x > z. 03. Si x, y, z R , entonces: x < y x + z < y + z ^ x – z < y – z .

x y x + z y + z ^ x – z y – z .

04. a > b > 0 ^ c d > 0 a.c > b.d.

06. a < b ^ c > 0 a.c < b.c. o a < b ^ c < 0 a.c > b.c.

Las dos propiedades anteriores, muchas veces se expresan diciendo que si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por una cantidad positiva, el sentido de la desigualdad se conserva, mientras que si se multiplican por una cantidad negativa, el sentido de la desigualdad cambia.

Intervalo en los números reales

Los intervalos son los subconjuntos conexos de la recta numérica. Más precisamente, son las únicas partes I de R que verifican la propiedad siguiente:

si x e y pertenecen a I, x ≤ y, entonces para todo z tal que x ≤ z ≤ y, z pertenece a I. (P)

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados y semi abiertos) o según su características métricas (su longitud: nula, finita no nula, o infinita).

Se usan habitualmente dos notaciones: [a; b) o [a; b[ para representar el conjunto de los x tal que a ≤ x < b. La regla del corchete invertido resulta más intuitiva si uno se imagina que el corchete es una mano que tira hacia fuera o empuja hacia dentro, respectivamente, un extremo del intervalo. En el ejemplo anterior, a pertenece al intervalo mientras que b no.

17

Es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de una recta o

segmento, el que se encuentra un ordenamiento interno entre ellos. Los intervalos es el espacio que se da de un punto a otro en el cual se toman en cuenta todos lo puntos intermedios

todos los casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo, y l su longitud:

(semicerrado,

, b] intervalo abierto en a, cerrado en b, de longitud finita l = b - a.

< b.

b.

la vez abierto y cerrado, de

11. {} = � el conjunto vacío, intervalo a la vez abierto y cerrado. x no existe.

Valor absoluto

Definición Sea x R . El valor absoluto de x, denotado por:

Aquí están

1. [a, b] intervalo cerrado de longitud finita l = b - a. a ≤ x ≤ b.

2. [a, b[ o [a, b) intervalo cerrado en a, abierto en b

semiabierto), de longitud finita l = b - a. a ≤ x < b.

3. ]a, b] o (a

a≤ x ≤ b.

4. ]a, b[ o (a, b) intervalo abierto, de longitud finita l = b - a. a < x

5. ] - ∞, b[ o ( - ∞, b) intervalo abierto de longitud infinita. x < b.

6. ] - ∞, b] o ( - ∞, b] intervalo (semi)cerrado de longitud infinita. x ≤

7. [a, +∞ [ intervalo (semi)cerrado de longitud infinita. a ≤ x.

8. ] a, + ∞ [ o (a, + ∞ ) intervalo abierto de longitud infinita. a < x.

9. ] - ∞, + ∞ [ o ( - ∞, + ∞ ) o R, intervalo a

longitud infinita. x pertenece a R.

10. {a} intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario.

se define:

como la distancia del punto x al origen

El valor absoluto de un número real x essiempre positivo o cero y se interpreta geométricamente,

(fig. 12). Igualmente, se interpreta como la distancia del punto x al punto y

18

en la recta real (fig. 13). PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

1.1 Para todo x R , y

1.2

2.

3. , para todo x, y R .

4.

5.

6.1 o 6.2

7. Siempre que

8. siempre que

9. siempre que a > 0

10.

11. , para todo x R.

12. (desigualdad triangular). Para todo x, y R , En que caso se verifica la igualdad

13. 14.

19

Problemas resueltos Veremos algunas demostraciones importantes de esta unidad

1. Demostrando el 6.1 de valor absoluto

por la definición

por la definición

Concluimos que

2. Demostrar la propiedad de valor absoluto 13

La demostración se resuelve descomponiendo en dos casos

tenemos entonces que:

3. Si a y b son dos números racionales tales que 8a = 36 y 36b = 8. ¿Qué puedes afirmar acerca de los números a y b? Si multiplicamos ambas igualdades 8a = 36 por un numero 8 8(8a)=(36)8 Sustituimos 36b = 8. (36b)(8a)=(36)8 Obtenemos b. a = 1 Podemos afirmara que uno es el inverso del otro 4. Para resolver radicales dobles tenemos la siguiente formula

Veamos un ejemplo

20

PRACTICANDO LO APRENDIDO

Actividad grupal

Analiza los siguientes problemas propuestos e indica a que capacidades apunta cada ejercicio (Fundamenta tu respuesta) y resuelve en grupo los siguientes propuestos.

1) Dado los números racionales b

a y

d

c , con

d

c

b

a , demuestra

d

c

db

ca

b

a

2) Prueba que 2n35n2

es irreducible, n 1.

2) Sean b y h las longitudes de la base y de la altura, expresadas en centímetros, de un triángulo y A es el área del mismo (cm2). Si 1210 b y 8060 A .

¿Cuáles son los posibles valores de h? 4) La producción estimada x de la refinería La Pampilla verifica

2250004500000 x , donde x es medida en barriles de petróleo. Determina:

a) La producción máxima de la refinería. b) La producción mínima de la refinería.

5)Elige y demuestra una propiedad del valor absoluto

Actividad individual Analiza y resuelve los siguientes ejercicios propuestos. Que capacidades especificas se estaría desarrollando con los estudiantes (Fundamenta tu respuesta)

1) Si el largo de una región rectangular disminuye en su quinta parte ¿en qué fracción debe aumentar el ancho para que su área no varíe? 2) Si ¿qué puedes afirmar acerca de la expresión 2,5x 3x ?

3) Ubica en la recta real los números reales utilizando regla y compás. 3..2 y 4) Grafica en la recta numérica el conjunto de todos los números que verifican:

23 x

21

Seguimos practicando Seguimos practicando

1) Dado los números racionales 1) Dado los números racionales b

a y

d

c , con

d

c

b

a , Demuestre la desigualdad

d

c

bd

bcad

b

a

2

2) Si 1311

)1a(an

3

, hallar n.

3) Si 62,0nm

y m+n = 95, hallar n.

4) Halla todos los números reales x tales que x > 5 si, y sólo si, x < 5.

5) Simplifica: 12627848

6) Grafica en la recta numérica el conjunto de todos los números que verifican: a) 43 x b) 35 x

7) Determina el conjunto de todos los puntos P de la recta numérica que distan a lo

más en 3 unidades del punto Q cuya coordenada es 7. 8) En la selva peruana se está realizando una investigación. Si el centro de

investigación está en el punto de coordenada 125 km. y el alcance de la radio es de 18 km. determina hasta donde se puede alejar una expedición río arriba o río debajo de manera que no pierda comunicación con la base (supón que el río es recto)

22

TEXTO 3

ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES EN R

El gran innovador del Álgebra fue Diofanto de Alejandría. Sustituía el lenguaje verbal con abreviaturas al asignar una letra a la cantidad desconocida. Esta notación constituye un conjunto de símbolos de conexión y órdenes operativas con vida propia, (álgebra sincopada); así inició el camino para una verdadera escritura algebraica. Otro matemático que aportó al estudio de la teoría de las ecuaciones es Joseph Luis Lagrange (1736-1813). Su mayor contribución al Álgebra está plasmada en: “Sobre la resolución de las ecuaciones numéricas”, memoria escrita en 1767.

El padre y las matemáticas Un padre desea motivar a su hijo para que resuelva 16 problemas de matemática, le propone dar S/. 12,00 por cada problema bien resuelto, y S/. 5,00 perderá por cada problema errado. Después de trabajar los 16 problemas el estudiante recibe S/. 73,00. Si resolvió todos los problemas ¿Cuántos problemas estuvieron bien resueltos? Planteando el problema Numero de problemas bien resueltos: x Numero de problemas errados: y Después de analizarlo, relacionamos los datos y, formulamos las ecuaciones respectivas:

x + y = 16 12 x – 5 y = 73

Resolvemos el sistema de ecuaciones: Conviene eliminar la “y”; por ello multiplicamos toda la 1° ecuación por 5

5 (x + y) = 5 (16) → 5x + 5y = 80 12x – 5y = 73_ 17x + 0 = 153

x = 9 (N° de problemas bien resueltos). Halla el numero de problemas errados :_________ Verifica si la solución es correcta

23

1. Ecuaciones de primer grado con una variable Definición Sean números reales fijos, a 0, y x un numero real variable. Se llama ecuación de primer grado con una variable x a toda expresión algebraica de la forma ax+b= c. Aplicando las propiedades a los números reales se prueba, que x = (c - b) / a, es decir, la ecuación tiene una solución real.

c,b,a

Las propiedades de los números reales nuevamente jugarán un papel importante en la obtención de las soluciones de las inecuaciones de este tipo; veamos el siguiente

Ejemplo 1

Resuelve 2x + 10 = 11 Solución: 2x + 10 = 11 2x +10 + -10 = 11+ -10 2x = 1 x= 1/2

Luego, el conjunto solución es: {x R / x = 2

1}

2 .Sistema de Ecuaciones 2,1 Sistemas de ecuaciones con dos variables Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables tiene la forma:

)(k dy cx

h by ax I

Donde a, b, c, d, h y k son constantes reales cuya solución se puede realizar de diversas maneras: Ejemplo 1 Resolver el sistema:

-117y 5x

184y -3x

Solución: Multiplicando la primera ecuación por -5 y la segunda por 3 y sumando, se obtiene:

932115

902015

yx

yx

y = -3 Seguidamente, reemplazando y =-3 en la primera ecuación, se obtiene: x = 2 Así la solución del sistema es: x = 2, y = -3. Teorema 1

24

Dado el sistema

k dy cx

h by ax

pueden ocurrir los siguientes casos: a) Si ad - bc 0, el sistema posee solución y esta es única. b) Si ad - bc = 0, se presentan dos casos:

i) El sistema posee infinitas soluciones, lo que ocurre si dh - bk = 0 y ak - ch = 0.

ii) El sistema no posee solución, lo que ocurre si dh - bk 0 ó ak - ch 0

Demostración: Si la 1ra ecuación se multiplica por d y la 2da por (-b) y se suman, se obtiene (ad - bc)x = dh - bk () seguidamente multiplicando la 1ra ecuación por (-c) y la 2da por a, se obtiene (ad - bc)y = ak - ch () con las relaciones (),() se responden adecuadamente todos los enunciados de este teorema.

Interpretación Geométrica Geométricamente una ecuación lineal en dos variables representa una recta, de ahí que la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables, es la intersección de dichas rectas. Sistema consistente:

Una única solución representada por el punto de intersección.

Infinitas soluciones representada por una de las rectas Sistema inconsistente: El sistema no tiene solución (las rectas no se intersecan)

2.2 Sistema de Ecuaciones con tres o mas variables: Método de Gauss

Y L1

L2

(xo; yo)

xo

X

X

Y L1L2

L1

Y

25

El método de Gauss consiste en convertir un sistema "normal" de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado , en el que la 1ª ecuación tiene 3 incógnitas , la 2ª tiene 2 incógnitas y la tercera 1 incógnita . De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo hacia arriba , calcular el valor de las 3 incógnitas .

Para transformar el sistema en uno que sea escalonado se combinarán las ecuaciones entre sí (sumándolas , restándolas , multiplicándolas por un número , etc.)

Ejemplo :

La 1ª ecuación siempre se deja igual , (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x .

Una vez que hemos anulado los términos en x debemos dejar fija la 1ª y 2ª ecuación y anular el término que lleva la y en la 3ª ecuación

De la última ecuación obtenemos que z = -256/-128 = 2, que sustituyendo en B’’ resulta

- y + 9·2 = 13 y = 5

y a su vez sustituyendo en A’’ obtenemos que :

2x + 3·5 – 7·2 = -1 x = -1

Por lo tanto la solución del sistema es (-1, 5, 2)

Clasificación de los sistemas: Los sistemas de ecuaciones pueden ser de 3 tipos :

1. Sistema compatible determinado (S.C.D.) : una única solución 2. Sistema compatible indeterminado (S.C.I.) : infinitas soluciones 3. Sistema incompatible (S.I.) : no tiene solución

En el ejemplo anterior hemos obtenido un S.C.D. pero ¿cuándo obtendremos los otros dos tipos? .

Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = K , siendo K un número distinto de 0 , tendremos un S.I. ya que obtenemos un absurdo .

26

Veamos un ejemplo1 :

Dejamos fija la 1ª ecuación e intentamos anular la x de la 2ª y 3ª

Quitamos la y de la 3ª ecuación:

Como se observa hemos obtenido un absurdo , ya que 0 no es igual a 12 , por lo que el sistema no tiene solución .

Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = 0 , es decir se nos anule alguna ecuación , y el sistema resultante tenga más incógnitas que ecuaciones tendremos un S.C.I. en función de uno o dos parámetros (depende de las ecuaciones que se anulen) .

Veamos otro ejemplo2

Dejamos como siempre la 1ª ecuación igual e intentamos quitar la incógnita x de la 2ª y 3ª ecuación .

Si intentamos anular la y de la 3ª ecuación vemos que se nos anula la 3ª ecuación

Obtenemos por tanto un sistema con dos ecuaciones y 3 incógnitas (hay más incógnitas que ecuaciones) por lo que tendrá infinitas soluciones . Una de ellas sería por ejemplo dar a la z el valor z=0 y así obtendríamos que y = -13 , x = 19

27

3. Inecuaciones lineales en dos variables

Definición

A toda expresión algebraica de las forma

0 Ax By C , 0 Ax By C 0 Ax By C , 0 Ax By C ,

las llamaremos inecuaciones lineales en dos variables en 2IR , donde A , B , C son constantes reales. 3.1. Gráfica de una inecuación lineal Las gráficas de las inecuaciones lineales dadas en la definición son semiplanos con frontera una línea recta. EJEMPLOS :

1R 2( , ) x y IR : 2 3 6 x y

2R 2( , ) x y IR : 4 3 12 y x

3R 2( , ) x y IR : 0 x 4R 2( , ) x y IR : 0 y

Los conjuntos: son inecuaciones lineales en 1 2 3 4, ,R R R y R 2IR . 3.2. Método práctico para graficar una inecuación lineal de dos variables

Las inecuaciones lineales : 0Ax By C , 0Ax By C , y ; se grafican siguiendo dos pasos:

0Ax By C 0Ax By C

PASO 1: Para cualquiera de los cuatro casos, en primer lugar, se gráfica la frontera .Por tratarse de una línea recta, bastará tabular con x 0 y con y 0

0Ax By C

x y 0 ? ¿ 0

Sin embargo se puede elegir cualquier valor para “x” o para “y”

La gráfica de

4 3y x 12 , es :

La frontera de la región es la línea recta, que

es la gráfica de la ecua-ción 4 3 12La región no inclu-ye a la frontera.

R

y xR

2

2

x

ySemiplano

superior

Semiplanoinferior

4

R23

La gráfica de

La frontera de la región es la línea recta, que

es la gráfica de la ecua-ción

0 (eje ).

R

x y

3

x

y

R3

La gráfica de

x

y

R4

La gráfica de1 2 3 4

2 3x y 6 , es :

La frontera de la región es una línea recta,

que es la gráfica de la ecuación 2 3 6La región incluye a la frontera.

R

x y

1

R1

x 0 , es : y 0 , es :

La frontera de la región es la línea recta, que

es la gráfica de la ecua-ción

0 (eje ).

R

y x

4

x

y

Semiplanosuperior

Semiplano inferior

2

3

R1

28

PASO 2: Elección de la región encima de la recta o debajo de ella. La correcta elección se hace despejando “y” en términos de “x” en la desigualdad estricta dada

o , teniendo en cuenta el siguiente criterio : 0Ax By C 0Ax By C

Si obtenemos ( 0CAB B

y x B ) , entonces “sombrear” y

la región que está debajo de la línea recta. x

y

x

Si obtenemos: ( 0CAB B

y x B ) , entonces “sombrear”

la región que está encima de la línea recta.

Veamos un ejemplo x y 5

2x y 2

Dibujamos ambas rectas por separado, para ello tabulamos buscando los interfectos. Luego buscamos los semiplanos que cada recta produce en el plano, y por último buscamos las zonas de intersección de ambos, o los puntos del plano que cumplen am-bas desigualdades simultáneamente.

Solución

Está incluida

No está incluida

Grásfica

29

PRATICANDO LO APRENDIDO

Actividad grupal Analiza los siguientes problemas propuestos e indica a que capacidades apunta cada ejercicio (Fundamenta tu respuesta) y resuelve en grupo los siguientes propuestos.

1. Un depósito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse abriendo los dos grifos a la vez? 2. Halla los valores de m, de manera que el sistema posea infinitas soluciones:

m 9y 2mx

1 my 2x

3. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones x 0

y 0

y 2 x

y x 1

4. Resuelve el siguiente sistema e indica si es compatible e incompatible

1

3

z

z

1. Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay? 2. Resuelve por el método de gauss

03

625

43)

zyx

zyx

zyx

3. En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres. a) Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay? b) Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos

hombres, mujeres y niños hay?

x

yx

Actividad individual Analiza y resuelve los siguientes ejercicios propuestos. Que capacidades especificas se estaría desarrollando con los estudiantes (Fundamenta tu respuesta)

30

7. Un crucero tiene habitaciones dobles (2 camas) y sencillas (1 cama). En total tiene 47 habitaciones y 79 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?

Seguimos practicando 1. Halla los valores de m a fin de que el sistema sea inconsistente

1 - m 1)y (m 6x -

2 - m 2y -mx

2. Resuelve los siguientes sistemas e indica si es compatible e incompatible

32

5

4

z

z

62

4

3

yx

yx

yx 3. Resuelve por el método de gauss

1827

12

32)

tzyx

tyx

tzyx

4. Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 soles. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que, el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del precio del rotulador. Calcula los precios que marcaba cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento. 5. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones

a) b)

9y3x3

3yx

012y4x

03yx2

02y3x

c)

02yx2

0yx

yx

31

TEXTO 4

RECURSIVIDAD

Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo, capaz de producir estructuras auto-similares a cualquier escala de observación. Los fractales son estructuras geométricas irregulares y de detalle infinito. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

Deducción de formulas de recursividad La recursividad forma parte del repertorio para resolver problemas en Matemática y en computación y es de los métodos más poderosos y usados. Los algoritmos recursivos ofrecen soluciones estructuradas, modulares y elegantemente simples. La recursividad es un concepto fundamental en matemáticas. Una definición recursiva dice cómo obtener conceptos nuevos empleando el mismo concepto que intenta describir. En toda situación en la cual la respuesta pueda ser expresada como una secuencia de movimientos, pasos o transformaciones gobernadas por un conjunto de reglas no ambiguas, la fórmula recursiva es un buen candidato para resolver el problema. Los razonamientos recursivos se encuentran en la base misma de las matemáticas porque son necesarios para describir conceptos centrales como el de número: Veamos un ejemplo en el caso del factorial de un número Definición de factorial: factorial (n) = n! si n > 0 factorial (n) = n(n-1)((n-2) ... * 1 si n > 0 Además el valor de 0! se define como Factorial (0) = 1 Su definición recursiva es: factorial (n) = 1 si n = 0 factorial (n) = n. factorial (n-1) si n > 0 Así para calcular el factorial de 4: Factorial (4) = 4 * factorial (3) = 4 * 6 = 24 Factorial (3) = 3 * factorial (2) = 3 *2 = 6 Factorial (2) = 2 * factorial (1) = 2 * 1 = 2 Factorial (1) = 1 * factorial (0) = 1 * 1 = 1

32

El poder de la recursividad es que los procedimientos o conceptos complejos pueden expresarse de una forma simple. Las fórmulas recursivas pueden aplicarse a situaciones tales como prueba de teoremas, solución de problemas, algunos acertijos, etc. Ejemplos: 1. Números de Fibonacci Los números de Fibonacci se definen como: FN = FN-1 + FN-2 para N > 2 F0 = F1 = 1 que definen la secuencia: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, ..... Por ejemplo, si quisiéramos encontrar Fibonacci de 5, entonces: Fibonacci (5) = Fibonacci (4) + Fibonacci (3) = 5 + 3 = 8 Fibonacci (4) = Fibonacci (3) + Fibonacci (2) = 3 + 2 = 5 Fibonacci (3) = Fibonacci (2) + Fibonacci (1) = 2 + 1 = 3 Fibonacci (2) = Fibonacci (1) + Fibonacci (0) = 1 + 1 = 2 2. Considere la siguiente ecuación recurrente: an = an-1 + 2n a0 = 1 Los valores de los términos de una sucesión pueden darse de manera explícita mediante fórmulas como: Sn = n4 - 3n3 - 2n 3. Definición recursiva para elevar un número a una potencia: Un número elevado a la potencia cero produce la unidad; la potencia de un número se obtiene multiplicándolo por sí mismo elevando a la potencia menos uno. Por ejemplo: 32 = 3*(31) = 3*(3*30) = 3*(3*1)= 3*(3) = 9 4. Número de Combinaciones Recursivamente, podemos definir el número de combinaciones de m objetos tomados de n, denotado (n,m) para n> 1 y 0 < m < n por: (n,m) = 1 si m = 0 ó m = n ó n = 1 (n,m) = (n-1, m) + (n-1,m-1) en otro caso

33

Deducción de formulas de recursividad

Las sucesiones numéricas se pueden definir recursivamente:

Por ejemplo (sn)n ε N la sucesión definida por: S1 =: 1 y Sn+1 = 2Sn + 1

Entonces los 4 primeros términos de esta sucesión serán: 1, 3, 7, 15

En realidad, podemos afirmar que toda definición recursiva al fin y al cabo lo que siempre define es una sucesión en un determinado conjunto X, es decir una función f del dominio N y codominio X;

así por ejemplo las potencias de una base fija a se pueden obtener con la función

f: N → R definida por f(1) =: a y f(n) =: f(n - 1)a para n ≥ 2.

Diferencias finitas.

Dado la sucesión: 6, 15, 28, 45, 66 ...., se pide calcular el termino 100, y el termino n-ésimo.

Una de las formas de desarrollar es encontrando diferencias sucesivas hasta llegar a una constante (finito),

Veamos nuevamente un ejemplo de diferencias de primer orden sería:

9, 13, 17, 21;

Y las diferencias de segundo orden sería 4, 4, 4, 4 con lo que se llega a la constante (finito) y por tener diferencias hasta el segundo orden se afirma que responde a una función de segundo grado de la forma

f(x) = ax2 + bx + c, luego se forma un sistema de tres ecuaciones con tres variables tal que

f(1)= 6, f(2)= 15, f(3) =28, y al resolver resulta que f(n)= 2n2 + 3n + 1, permitiendo calcular el termino 100, es decir f(100).

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PRACTICANDO LO APRENDIDO

Actividad grupal Analiza los siguientes problemas propuestos y resuelve en grupo los siguientes propuestos.

1. Comprueba recursivamente hallando los valores de las combinaciones : 5! y 7!

2. Se define Sn recursivamente así: S1 = 2, Sn+1 = Sn + n + 1. de la sucesión Sn = (n2 + n + 2)/2

Comprobar que resulta el mismo resultado para S5

3. Se define Sn recursivamente así: S1 = 1, Sn+1 = xSn + 1 de la sucesión

Sn = 1 + x + x2 + x3 + ... + xn

Comprobar que resulta el mismo resultado para S6

4. Dado la sucesión 6, 15, 36,75, 138, 231, determina el término general y t(n), y halla el término 50: t(50)

5. Calcula recursivamente combinaciones de (6,5)

6. Halla el termino 8 de Fibonacci recursivamente

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36

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