principios calculo numerico 2015

7/24/2019 Principios Calculo nuMeRico 2015

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Calculo Avanzado 2010

FRCUUTN

Principios de Calculo Numerico

Ano 2014

1. Introduccion

Las matematicas se usan de una forma u otra en la mayora de las areas de las ciencias y la indus-

tria. Siempre han habido una estrecha interaccion entre las matematicas por un lado y la ciencia y la

tecnologa por otro. Durante los ultimos anos, modelos y metodos matematicos avanzados han sidocada vez mas usados no solamente en estas sino tambien en areas como medicina, economa y ciencias

sociales.

Frecuentemente, las aplicaciones nos conducen a problemas matematicos que no puden ser resueltos

convenientemente en forma completa con formulas exactas cerradas. A menudo, se restringen entonces

a casos especiales o modelos simplificados de manera de poder tener soluciones exactas. En muchos

casos, se puede reducir el problema a un problema lineal, por ejemplo, una ecuacion diferencial lineal.

Tal aproximacion puede ser muy efectiva, y en general conduce a conceptos y puntos de vista que luego

pueden ser usados en problemas mas generales. Pero, ocasionalmente tales aproximaciones pueden no

ser suficientes. Uno puede intentar calcular un problema simplificado para el cual es necesario realizar

una cantidad de calculos. La cantidad de trabajo depende tambien de la necesidad de presicion. Gracias

al uso de las computadoras, en los ultimos veinte anos, las posibilidades de usar metodos numericos han

aumentado enormemente.

Desarrollar un metodo numerico significa, en general, aplicar un conjunto pequeno y relativamente

simple de ideas. Luego se combinan estas ideas de una manera original con algun conocimiento del

problema dado y con resultados que pueden ser obtenidos por otras vas, por ejemplo, usando metodos

de analisis matematico.

Aqu ilustraremos algunas de estas ideas generales sobre metodos numericos aplicadas a problemas

que se presentan con frecuencia como subproblemas o detalles computacionales de otros problemas mas

grandes.

2. Algunos conceptos basicos sobre metodos numericos

Una de las tecnicas mas frecuentemente utilizadas es la ITERACION (del latin iteratio, repetici on)

o APROXIMACION SUC ESIVA. Generalmente, iterar significa la repeticion de un patron de accion o

proceso. Una iteracion ocurre entonces, por ejemplo, en la aplicaci

on repetida de un proceso num

erico,muchas veces muy complicado y el mismo conteniendo varias etapas.

Para ilustrar un uso mas especfico de la idea de iteracion, consideremos el problema de resolver una

ecuacion de la forma

x=F(x) (1)

Donde supondremos que Fes una funcion diferenciable cuyos valores pueden ser calculados para val-

ores de la variable x en algun intervalo del eje real R. Utilizando un metodo iterativo, comenzamos con

una aproximacion inicialx0,y calculamos la sucesion

x1=F(x0), x2=F(x1), x3=F(x2), . . . (2)

Calculo Avanzado 2014 - O.R. Faure & V.C. Rougier


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2 Principios de Calculo Numerico

Cada calculo del tipo

x+1=F(x)

es llamado iteracion. Si la sucesion {x} converge a un lmite,entonces tenemos quelim F(x) =F()

es decir quex=satisface la ecuacionx=F(x).Cuandocrece, deseamos que las cantidadesx seanmejores aproximaciones de la raz deseada. El proceso se para cuando se ha logrado una presicion que

satisface los requerimientos del problema.

Una interpretacion geometrica es mostrada en el grafico de abajo. Una raz de la ecuacion (1) esta

dada por la abscisa (y ordenada) de un punto de interseccion de la curvay=F(x)y la recta y=x.

FIGURA1

x0 x1 x2

y=x

y=F(x)

Utilizando un metodo iterativo y comenzando a partir del punto (x0,F(x0)) obtenemos x1= F(x0)y el punto x1 sobre el eje de las x se obtiene primero trazando una linea horizontal desde el punto

(x0,F(x0)) = (x0,x1) hasta que la recta interseca el punto (x1,x1). A partir alli, trazamos una lneavertical hasta(x1,F(x1)) = (x1,x2)y as suscesivamente. En la Figura 1 es obvio que la sucesion{x}converge monotonamente a . Esto no es siempre cierto. Ver que ocurre cuand F es una funciondecreciente.

Puede verse geometricamente que la cantidad que determina la velocidad de convergencia (o diver-

gencia) es la pendiente de la curvay=F(x)en un entorno de la raz.Por el TEOREMA DELVALOR M EDIO tenemos

x+1xxx1 =

F(x)F(x1)xx1 =F

( ),

donde pertenece al intervalo cuyos extremos son los puntos x1 yx. Entonces la convergencia esmas rapida cuando mas pequeno es|F(x)|en un entorno de la raz. La convergencia estara aseguradasi|F(x)|1,

x converge asolamente en casos excepcionales, no importa cuan cerca deelegimosx0(x0=).

EJEMPLO 1 . UN METODO RAPIDO PARA CALCULAR LA RAIZ CUADRADA

La ecuaci onx2 =cpuede escribirse de la formax=F(x),donde

F(x) =1

2

x +

c

x

, c>0.

El valor l mite es= c1/2 yF() =0(Pruebe esto). Entonces hacemos

x+1=1

2

x+

c

x

.

Parac=2,x0= 1.5,tenemosx1= 12(1.5 + 2/1.5) = 1.4167,x2= 1.414216;compare esto con

2=

1.414214 . . .



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Principios de Calculo Numerico 3

En el ejemplo anterior se ha dado un valor inicial x0 que era una buena aproximacion de c, peroesto funciona para cualquier valor real de x,verifquelo). Es posible mostrar que six tiene n dgitoscorrectos, entoncesx+1 tendra 2n1 dgitos correctos. El metodo iterativo anterior para calcular razcuadrada es el que generalmente utilizan las calculadoras y las computadoras personales.

Los metodos iterativos son una de las ayudas mas importantes tanto para el tratamiento practico

como teorico de problemas tanto lineales como no lineales. Una aplicacion usual de metodos iterativoses la solucion de sistemas de ecuaciones. En este caso{x} es una sucesion de vectores y F es unafuncion a valores vectoriales.

Cuando la iteracion se aplica a una ecuacioon diferencial, {x} significa una sucesion de funciones yF(x)significa una expresion en la cual estan involucradas la integracion y otras operaciones funcionales.La ecuacionx2 =2 puede tambien escribirse, entre otras formas como

x=2

x.

Recordar que en el ejemplo anterior la iteracion de la forma x= 12(x +x/2)daba una alta velocidad de

convergencia. Por otra parte, la formulax+1=2/xda una sucesion que no converge.

Otra idea usualmente utilizada es que uno puede aproximar localmente (esto es, para intervalo

pequenos) una funcion complicada por una funcion lineal. Para ilustrarr el uso de esta tecnica se puede

considerar el problema de buscar la solucion de la ecuacion f(x) = 0. Geometricamente, esto significabuscar el punto de interseccion entre la curvay= f(x)y el eje de lasx.Suponer que se tiene una aprox-imacion de la raz x0 de la ecuacion. Entonces, lo que se hace es aproximar la curva por su tangente en

el punto(x0,f(x0)). Seax1la abscisa del punto de interseccion entre el eje de las x y esta tangente. Engeneralx1 sera una mejor aproximacion de la raz que x0,pero six0 es una mala aproximacion inicial,entonces es posible que x1sea aun peor.

Una combinacion de ideas de iteracion y aproximacion local por funciones lineales es al llamado

METODO DE NEWTON-R APHSON. En este metodo iterativox+1 se define como la abscisa del punto

de interseccion entre la recta tangente a la curva y= f(x)en el punto(x,f(x))y el eje de las x.La aproximacion de la curva y= f(x) con su tangente en el punto (x0,f(x0)) es equivalente a

reemplazar la funcion por el aproximante de Taylor de primer orden alrededor del punto x=x0.Otra manera de aproximar una curva localmente (recordando el trazado de la tangente) es elegir dos

puntos con abscisas en un entorno de la raz ubicados sobre la curva y aproximar esta por la secante que

une estos dos puntos. Este es el llamdo metodo de la secante y sera discutido mas adelante.

La misma aproximacion por la secante es muy util en otros contextos. Este es, generalmente usado

cuando se usan tablas de aproximacion y uno debe interpolar un numero entre dos de la tabla. A esto se

le llama interpolacion lineal.

Cuando se usa la aproximacion por la secante para calcular la integral definida

I= b

ay(x)dx,

la integracion numerica se llama METODO DEL TRAPECIO.

Conel, el area entre la curva y =y(x)y el eje de las x es aproximada por sumas T(h)de areas deuna sucesion de trapecios paralelos. Usando la notacion de la Figura 2 tenemos

T(h) =1

2h

n1=0

(y+y+1) , (nh=ba)

(en la Figura 2 se toma n = 4). Se puede mostrar que el error (T(h)I) en la aproximacion anteriores proporcional a h2 cuandoh es pequeno. Es posible entonces, esperar una precision elevada para hsuficientemente chico, aunque el trabajo computacional involucrado (el numero de puntos donde y(x)debe ser evaluada) es inversamente proporcional a h. Por lo tanto el trabajo computacional aumenta

rapidamente cuando se necesita una precision elevada (es decirhpequeno).



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4 Principios de Calculo Numerico

FIGURA2

a bh

y0

y1y2 y3

y4

n=4

La integracion numerica es un problema bastante comun pues es la manera que la primitiva puede

ser calculada en una expresion que contiene solamente funciones elementales. Esto no es posible, por

ejemplo, para funciones como exp(x) o (sinx)/x. Para obtener una precision elevada con un trabajosignificativamente menor que la regla del trapecio es posible utilizar dos importantes ideas:

(a) Aproximacion local del integrando por un polinomio de grado elevado (o con alguna funcion dealguna clase que sea simple de calcular su primitiva anal ticamente).

(b) Calculo con la regla del trapecio para diferentes valores de h y extrapolacion para h = 0. estemetodo se llama EXTRAPOLACI ON DER ICHARDSON, con la utilizacion de resultados generales

concernientes a la dependencia de h del error.

Los detalles tecnicos sobre las diferentes maneras de aproximar una funcion por polinomios, entre

ellos, expansion en series de Taylor, interpolacion, y el metodo de mnimos cuadrados, seran nuestro

objeto de estudio.

La idea de extrapolacion puede ser facilmente aplicada a la integracion numerica con el metodo del

trapecio. Como fue mencionado anteriormnete, la aproximacion trapezoidal a

I= b

ay(x) dx

tiene un error aproximadamente proporcional al cuadrado del paso h. Entonces, usando dos tamanos de

paso,hy 2h,se tiene:(T(h)I) kh2

(T(2h)I) k(2h)2

por lo tanto

4 (T(h)I) T(2h)Ies decir

3I 4T(h)T(2h)de donde

I T(h) +13

(T(h)T(2h)) .

Entonces, sumando el termino correctivo, 13(T(h)T(2h))a T(h), es posible dar una estimacion deI

mucho mejor queT(h) .



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Principios de Calculo Numerico 5

EJEMPLO 2 . Calcular 1210

f(x) dx

para f(x) = x3 y f(x) = x4 utilizando el m etodo del trapecio. Extrapolar y comparar con el resultadoexacto.

f(x) x3 x4f(10) 1000 10000.00f(11) 1331 14641.00f(12) 1728 20736.00

T(2) 2728 30736.00T(1) 2695 30009.00

Extrapolaci on 2684 29766.67

Resultado Exacto 2684 29766.40

3. Ejercicios

1. Calcular

10 con 5 decimales utilizando el metodo iterativo del Ejemplo 1. Comenzar conx0= 3y chequear el resultado final con la computadora.

2. Calcular 1/20

exp(x) dx

(a) con seis decimales, a partir de su primitiva.

(b) con la regla del trapecio.

(c) usando extrapolacion a h=0 a partir de los resltados para h= 12

yh= 14.

(d) Calcular la razon entre el error en el resultado c) y b).


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