UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA

FACULTAD DE INGENIERA

CICLO BSICO

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA APLICADA

TAREA N2

ELABORADO POR:

JAVIER HERNNDEZ

CARACAS, ENERO DE 2011

PPrreegguunnttaa 11

Se cre el siguiente pseudocdigo para iterar con el mtodo de Newton:

El sistema de ecuaciones que se desea resolver es:

Antes de empezar a mostrar los resultados tngase en cuenta que el termino K = F1+F2 es un trmino para representar el valor que tiene el sistema total en cada iteracin y que lo que se busca es que K = 0

Segn los resultados aportados, vemos una convergencia a una de las posibles races,

probamos una segunda iteracin en valores distintos.

>> Format long >> Nueva(1,1,0.00001,10) Iteracin vector iterado diferencia 0 1 1 1.000000000000000 0.406719085060758 0.154217298070050 0.593280914939242 0.845782701929950 valor de K = F1+F2 304 2.000000000000000 0.210068540769246 1.561325228674321 0.196650544291512 1.407107930604271 valor de K = F1+F2 64.492437893450870 3.000000000000000 0.140616676705017 1.300066481012470 0.069451864064228 0.261258747661852 valor de K = F1+F2 20.395141878941043 4.000000000000000 0.134239275726534 1.304135797241891 0.006377400978483 0.004069316229422 valor de K = F1+F2 1.292974812926204 5.000000000000000 0.134197054710092 1.304283323242979 0.000042221016442 0.000147526001087 valor de K = F1+F2 0.006989355449651 6.000000000000000 0.134197052397750 1.304283325542098 0.000000002312342 0.000000002299120 valor de K = F1+F2 4.536092514939583e-007 El mtodo de Newton converge

Ahora vemos la existencia de una segunda raz, en el caso de este pseudocdigo se puede

pensar que hay dos posible escenarios:

1) El sistema reporte ms de dos soluciones a causa de un error del pseudocdigo

2) El pseudocdigo esta correcto y el sistema tiene solo dos soluciones

Solo interesa encontrar una de las soluciones del sistema, por lo que no nos

preocuparemos en buscar defectos en el pseudocdigo, adems las soluciones dadas en ambos

casos estn muy bien aproximadas, procedemos suponiendo que estamos en el segundo escenario

y tomaremos en cuenta solo la primera aproximacin encontrada para realizar observaciones.

>> Format long >> Nueva(-5,10,0.00001,10) iteracin vector iterado diferencia 0 -5 10 1.000000000000000 -2.661939128634387 6.635962317726049 2.338060871365613 3.364037682273951 valor de K = F1+F2 4021 2.000000000000000 -1.516996847371835 4.800120281460820 1.144942281262552 1.835842036265230 valor de K = F1+F2 1.003060586551961e+003 3.000000000000000 -0.985751105720689 3.830660148685215 0.531245741651146 0.969460132775605 valor de K = F1+F2 2.451330997092649e+002 4.000000000000000 -0.782557491282785 3.417170078606483 0.203193614437904 0.413490070078733 valor de K = F1+F2 54.274495069087472 5.000000000000000 -0.740076923639172 3.324855805431246 0.042480567643613 0.092314273175237 valor de K = F1+F2 8.174430262645423 6.000000000000000 -0.738029811073719 3.320262901780752 0.002047112565452 0.004592903650494 valor de K = F1+F2 0.364630643240808 7.000000000000000 -0.738025020690953 3.320251990262088 0.000004790382767 0.000010911518664 valor de K = F1+F2 8.558865531895776e-004 El mtodo de Newton converge

OObbsseerrvvaacciioonneess::

Teniendo en cuenta K = F1+F2, se puede pensar en una tolerancia mxima que detenga el

cdigo cuando K 0, pero la aproximacin a la solucin que aporta no es muy buena, pues para

aportar un resultado aceptable es posible que requiera una tolerancia muy pequea y teniendo en

cuenta los errores por aproximacin, el resultado podra ser poco confiable.

En lo que a precisin se refiere, observamos que Newton es de convergencia

relativamente rpida si los valores iniciales estn cercanos al valor real y aporta muy buenas

aproximaciones, en el caso del sistema evaluado vemos que Newton aporta una aproximacin

muy buena al valor real

Siendo los valores obtenidos en el primer intento

En una prueba realizada con y un mximo de 1000 iteraciones, el

valor de K se volvi oscilante y no convergi a la tolerancia dada, se repiti el ensayo pero con

10000 iteraciones, en la iteracin 2891 se detuvo alegando satisfacer la tolerancia, el valor del

vector solucin

Con

Valores curiosamente parecidos a los de la primera bsqueda, evidentemente no iguales,

lo cual indica que el pseudocdigo tiene un error y/o que Newton tiende a acumular errores

grandes si se usan valores iniciales alejados de los valores reales.

PPrreegguunnttaa 22

Teniendo en cuenta la propiedad:

Lo que nos indica:

Buscamos una solucin para un x distinto de xi, para ello tenemos:

Tenemos sustituyendo a) en b):

Ahora, teniendo en cuenta que buscamos solucin para el caso en el que x no es un nodo

(xi) , podemos decir:

Esto es posible ya que:

Que es igual a decir:

Ahora supngase el caso siguiente:

El polinomio que lo interpola no es otro que:

Con lo que podemos decir:

Teniendo en cuenta que la forma del polinomio de Lagrange:

Se observa que:

Y necesariamente:

Sustituimos d) y e) en f):

Se puede ver que, mientras la sumatoria va ejecutndose, la productoria tendr un valor

comn para todos los elementos generados por la misma, por lo que podemos dividirlas dejando

la funcin como:

Siendo esta la demostracin de la forma de Lagrange para , es decir, un que no es

nodo.

PPrreegguunnttaa 33

Se pide hallar una aproximacin a la funcin con una cantidad de

nodos suficientes para cumplir con la condicin de .

Utilizamos el siguiente script:

En el script, se establece una tolerancia, que ser el numero de iteraciones

mximas que se van a realizar y se establece un criterio de parada, en el que el que la

variable , al ser menor que , detendr el programa.

Ahora, sabemos que la funcin del error para la interpolacin es:

De dicha funcin sabemos que el termino

Y conociendo la conducta de la funcin coseno, sabemos que al derivarla ser

, luego y , solo viendo esto, nos

damos cuenta de que los puntos crticos de las funciones seno, sern valores que harn a

la funcin coseno valer 1, de igual manera, los valores crticos de coseno, harn que la

funcin seno valga 1, por lo que podemos decir:

De esta manera la funcin:

Nos queda:

Al ejecutar el programa, el sistema dar valores a hasta que se cumpla la

condicin:

Ahora se muestra la salida de Mathlab

No se muestra toda, pues es innecesario, solo nos interesan los valores en los que

se cumple la condicin de parada y tenemos como resultado que con 27 nodos, tenemos

el valor mnimo de nodos en el que , siendo el

para 27 nodos

PPrreegguunnttaa 44

Primero tenemos un polinomio de grado 5, para nodos aleatorios:

Ahora para nodos Equiespaciados

x =

-5

-3

-1

1

3

5

y =

0.0385

0.1000

0.5000

0.5000

0.1000

0.0385

Newton_coef(x,y)

d =

0.0308 0.0423 -0.0154 0.0019 0

0.2000 -0.0500 0 0.0019 0

0 -0.0500 0.0154 0 0

-0.2000 0.0423 0 0 0

-0.0308 0 0 0 0

a =

0.0385 0.0308 0.0423 -0.0154 0.0019 0

Para el polinomio de grado 10, tenemos para el caso aleatorio:

En el caso equiespaciado:

x =

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

y =

0.0385

0.0588

0.1000

0.2000

0.5000

1.0000

0.5000

0.2000

0.1000

0.0588

0.0385

>> Newton_coef(x,y)

d =

0.0204 0.0104 0.0063 0.0043 -0.0020 -0.0011 0.0011 -0.0004 0.0001 -0.0000

0.0412 0.0294 0.0235 -0.0059 -0.0088 0.0065 -0.0024 0.0006 -0.0001 0

0.1000 0.1000 0.0000 -0.0500 0.0300 -0.0100 0.0024 -0.0004 0 0

0.3000 0.1000 -0.2000 0.1000 -0.0300 0.0065 -0.0011 0 0 0

0.5000 -0.5000 0.2000 -0.0500 0.0088 -0.0011 0 0 0 0

-0.5000 0.1000 -0.0000 -0.0059 0.0020 0 0 0 0 0

-0.3000 0.1000 -0.0235 0.0043 0 0 0 0 0 0

-0.1000 0.0294 -0.0063 0 0 0 0 0 0 0

-0.0412 0.0104 0 0 0 0 0 0 0 0

-0.0204 0 0 0 0 0 0 0 0 0

a =

0.0385 0.0204 0.0104 0.0063 0.0043 -0.0020 -0.0011 0.0011 -0.0004

0.0001 -0.0000

Ahora para el polinomio de grado 15 en el caso aleatorios:

Ahora para el caso de los Equiespaciados tenemos:

x =

-5.0000

-4.3333

-3.6667

-3.0000

-2.3333

-1.6667

-1.0000

-0.3333

0.3333

1.0000

1.6667

2.3333

3.0000

3.6667

4.3333

5.0000

y =

0.0385

0.0506

0.0692

0.1000

0.1552

0.2647

0.5000

0.9000

0.9000

0.5000

0.2647

0.1552

0.1000

0.0692

0.0506

0.0385

>> Newton_coef(x,y)

d =

0.0182 0.0074 0.0031 0.0014 0.0007 0.0002 -0.0004 -0.0002 0.0003 -0.0002 0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0

0.0280 0.0136 0.0069 0.0037 0.0015 -0.0015 -0.0014 0.0017 -0.0008 0.0003 -0.0001 0.0000 -0.0000 -0.0000 0

0.0462 0.0275 0.0169 0.0087 -0.0047 -0.0079 0.0076 -0.0033 0.0009 -0.0001 0 0.0000 -0.0000 0 0

0.0828 0.0612 0.0402 -0.0068 -0.0361 0.0275 -0.0099 0.0018 -0.0000 -0.0001 0.0001 -0.0000 0 0 0

0.1643 0.1415 0.0219 -0.1273 0.0739 -0.0185 0.0000 0.0018 -0.0009 0.0003 -0.0001 0 0 0 0

0.3529 0.1853 -0.3176 0.1191 -0.0000 -0.0185 0.0099 -0.0033 0.0008 -0.0002 0 0 0 0 0

0.6000 -0.4500 0 0.1191 -0.0739 0.0275 -0.0076 0.0017 -0.0003 0 0 0 0 0 0

0 -0.4500 0.3176 -0.1273 0.0361 -0.0079 0.0014 -0.0002 0 0 0 0 0 0 0

-0.6000 0.1853 -0.0219 -0.0068 0.0047 -0.0015 0.0004 0 0 0 0 0 0 0 0

-0.3529 0.1415 -0.0402 0.0087 -0.0015 0.0002 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-0.1643 0.0612 -0.0169 0.0037 -0.0007 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-0.0828 0.0275 -0.0069 0.0014 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-0.0462 0.0136 -0.0031 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-0.0280 0.0074 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-0.0182 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

a =

Columns 1 through 15

0.0385 0.0182 0.0074 0.0031 0.0014 0.0007 0.0002 -0.0004 -0.0002

0.0003 -0.0002 0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000

Primeramente queremos saber que tan precisa es la interpolacin para un caso de

nodos aleatorios y para un caso de nodos equiespaciados, como hiptesis tenemos:

-Debido a la gran cantidad de decimales con los que se trabaja en los casos

aleatorios, es posible que se pierda un gran porcentaje de precisin.

-En el caso aleatorio, por el hecho de ser aleatorios, puede que se tomen nodos

muy cercanos a la cancelacin catastrfica, que al ser operado, irremediablemente ser

tomado por el sistema como un cero.

-Los nodos equiespaciados contienen una cantidad definida de decimales, hay

algunos casos con decimales peridicos, pero no se tendr un caso de cancelacin

catastrfica, a menos que se divida un intervalo muy pequeo entre una cantidad de

nodos muy grande, siendo los nodos equiespaciados el mtodo ms preciso para

interpolar.

Ahora procedamos con la demostracin, partimos de la definicin del error

cometido en la interpolacin:

Calculamos los valores de y de para un

Las tablas que se presentaran tendrn el siguiente orden:

Ahora tenemos que

y para es:

Entonces para nodos aleatorios:

Para los equiespaciados tenemos:

Los clculos anteriores demuestran que los nodos equiespaciados son, en general,

ms precisos, cuando se tienen pocos nodos, pero como se pensaba, el hecho de dividir

un intervalo pequeo entre una cantidad de nodos muy grande, tendera a ocasionar

Underflow al acercase al cero del polinomio y llevar a una perdida muy grande de

precisin.

En el grafico siguiente podemos ver el polinomio equiespaciado en color rojo

y se compara con la funcin real, que es la curva de color negro.

Para el caso de los nodos aleatorios, observamos que la precisin, dependiendo de

lo requerido, pudiera ser aceptable para un rango grande de nodos en intervalos

pequeos, pero que para casos de pocos nodos pudiera perderse un porcentaje muy

grande de precisin, como es el caso del polinomio aleatorio, visto en el grafico

como la curva de color fucsia.

Esta prdida de precisin es debida a que, por su naturaleza aleatoria, no se puede

afirmar que se acerque a los valores extremos de la funcin, por lo que vemos que mucho

antes de llegar a la curva se desva totalmente del valor real de la funcin, adems,

los nmeros pueden contener gran cantidad de decimales, lo que aumenta enormemente

la propagacin del error.