PLANOS EN EL ESPACIOPLANOS EN EL ESPACIO

Algebra lineal (Ing.Sist.)

Cálculo IV(G,B)

Algebra lineal (Ing.Sist.)

Cálculo IV(G,B)Semestre 99-00 BSemestre 99-00 B

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacio

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacioTres puntos no alineados P, Q, R

Eje X

Eje Y

Eje Z

P R

Q

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacio

v

u

Un punto P y direcciones no paralelas u, v

Eje X

Eje Y

Eje Z

P

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacio

Un punto P y un vector ortogonal

Eje X

Eje Y

Eje Z

P

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacio

¿Cuál es la condición geométrica que debe

satisfacer un punto P para estar en el plano que

pasa por P0 y es ortogonal a ?

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacio

P0

P (x,y,z)

Eje X

Eje Y

Eje Z

P-Po

P(x,y,z) si y sólo

si P-Po

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacioEcuación del plano que pasa por P0(xo,yo,zo) y es ortogonal a

=(a,b,c)

El punto P(x,y,z) si y sólo si P-Po, es decir si .(P-Po)=0 (a,b,c).(x-xo, y-yo, z-

zo)=0.a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=0 ax+by+cz=axo+byo+czo

Si d= axo+byo+czo

ax+by+cz=d Ecuación normal del

plano

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacio¿Cuál es la condición geométrica que debe

satisfacer un punto P para estar en el plano determinado por las

direcciones no paralelas u, v y el punto P0?

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacio

Po

P

u

Eje X

Eje Y

Eje Z

v

tu

sv

tu+sv

vsutOPOP o

O

vsutPPo

PoP

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacioEcuación del plano que pasa por P0(xo,yo,zo) con vectores

directores u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) P(x,y,z) si y sólo

si(x,y,z)=(xo,yo,zo)+t(u1,u2,u3)+s(v1,v2,v3)

Ecuaciones paramétricas del plano

vsutOPOP o

33o

22o

11o

svtuzz

svtuyy

svtuxx

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacio

¿Cuál es la condición geométrica que debe

satisfacer un punto para estar en el plano que pasa por los puntos no

alineados P,Q, R?

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacio

P R

Q

Pasa por P con normal =(Q-

P)x(R-P)Pasa por P con vectores

directores u=(Q-P) y v=(R-P)

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacioEcuación del plano que pasa por los tres puntos no alineados

P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3), R=(r1,r2,r3)

ax+by+cz=d Ecuación normal

(a,b,c)= 332211

332211

prprpr

pqpqpq

kji

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacioEcuación del plano que pasa por los tres puntos no alineados

P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3), R=(r1,r2,r3)

)pr(s)pq(tpz

)pr(s)pq(tpy

)pr(s)pq(tpx

33333

22222

11111

Ecuaciones paramétricas

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacioEjercicio Nº1

Encuentre el plano que pasa por los puntos P(2,0,1), Q(1,2,0), R(-3,2,1) de tres maneras distintas

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacioEjercicio Nº2

Encuentre el plano que pasa por el punto P(-2,3,4) y es perpendicular a la recta que pasa por (4,-2,5) y (0,2,4)

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacioEjercicio Nº3

Sea L: 42z

2y1

6x39 y : 3x-2y+6z=-

5

Hallar la ecuación de la recta perpendicular al plano , que pasa por el origen.

Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L y pasa por el origen.

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacioEjercicio Nº4

Sea L: y : x-y+z=1

Hallar la distancia de la recta L al plano .

t3z

t22y

t1x

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacio

PQ=(-1,2,-1) y PR=(-5,2,0)

025

121

kji

=(2,5,8

)

2x+5y+8z= 2.2+5.0+8.12x+5y+8z=12

Solución Nº1:

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacio

u=(-1,2,-1) y v=(-5,2,0)

Ecuaciones paramétricas

t1z

s2t2y

s5t2x

Vectores directores del

plano:

Solución Nº1:

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacioPasar de las ecuaciones paramétricas a la ecuación

normal

z1t

ys2t2

x2s5t

t1z

s2t2y

s5t2x

12z8y5x200

10

z101

z101

y22

x251

2z22y

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacio

0dcb2a3

0dc0b2a

0dcb0a2

0dczbyax

Un punto (x,y,z) en el plano debe satisfacer la ecuación: ax+by+cz-d=0

Como (2,0,1), (1,2,0) y (-3,2,1) están en el plano, se debe cumplir:

Sistema homogéneo en la variables

a,b,c,d que debe tener infinitas

soluciones.

Solución Nº1:

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacio0

1123

1021

1102

1zyx

Por lo tanto, el

determinante de la matriz del sistema

debe ser nulo

123

021

102

)1(

123

121

102

z

113

101

112

y

112

102

110

x

1123

1021

1102

1zyx

2x+5y+8z-12=0

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacio

El vector director de la recta es el vector normal al plano.

Como la recta pasa por (4,-2,5) y (0,2,4)

Su vector director es: (4,-4,1)=(4,-4,1)

4(x+2)-4(y-3)+(z-4)=0

Ecuación del plano: 4x-4y+z+16=0

Solución Nº2:

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacioSolución Nº3:

El vector director de la recta debe ser paralelo al vector normal al plano, por lo tanto =(3,-

2,6). Como además debe pasar por el (0,0,0), la ecuación de la recta buscada es:

t ,

t6z

t2y

t3x

t60z

t20y

t30x

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacioSolución Nº3:

Para encontrar el vector normal al plano tomamos primero dos vectores en el plano y

como el (0,0,0) queremos que esté en el plano, esto equivale a tomar dos puntos cualesquiera

sobre la recta, por ejemplo, para valores de t=0, 1 obtenemos u=(3,1,2) y v

=(1,-1,6)

uv

611

213

kji

=(8,-16,-4)

Ecuación normal: 2x-4y-z=0

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacioSolución Nº3:

Otra forma es tomar u=(3,1,2) y v =(1,-1,6) como los vectores directores del plano y hallar las ecuaciones paramétricas

uv

Ecuación paramétricas del Plano

s6t2z

sty

st3x

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacioSolución Nº4:

Vector director de la recta u=(1,2,1)

Sustituimos las ecuaciones de L en la del

plano y obtenemos:

Vector normal del plano =(1,-1,1)(1,2,1).(1,-1,1)=0 u L y son paralelos

d ¿(1+t)-(2+2t)+(3+t)=1?

21

La recta y el plano no se cortan

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacioSolución Nº4:

Un punto de la recta Q=(1,2,3)Un punto del plano P=(1,1,1)

PQ=(1,2,3)-(1,1,1)=(0,1,2)

d

P

Q

31

)1,1,1(

)2,1,0).(1,1,1(d

PQoyPrd

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacioPOSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS PLANOS

Paralelos:

Sus vectores normales son paralelos

Ortogonales:

Sus vectores normales son ortogonales

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacio

Un plano

Son paralelos

Una recta:

Son secantes

El conjunto vacío

Son paralelos

La intersección de dos planos puede ser:

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacio

Una recta La recta está incluida en el plano

Un punto: Son secantes

El conjunto vacío El vector director de la recta es ortogonal al normal del plano

La intersección de un plano y una recta puede ser:

Alg

eb

ra l

ineal Planos en el

espacio

El ángulo entre dos rectas es el formado por sus vectores directores

El ángulo entre dos planos es el formado entre sus vectores normales

El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del formado entre el vector director de la recta y el vector normal al plano

ANGULOS ENTRE PLANOS Y RECTAS