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Matriz
DEF: Una matriz es un arreglo rectangular de numeros reales, llamadoscomponentes o elementos de la matriz, de la forma
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
La i-esi ma fila y la j-esima columna de la matrix A
(ai1 ai2 · · · ain
)y
a1ja2j...
amj
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
Matriz
DEF: Una matriz es un arreglo rectangular de numeros reales, llamadoscomponentes o elementos de la matriz, de la forma
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
La i-esi ma fila y la j-esima columna de la matrix A
(ai1 ai2 · · · ain
)y
a1ja2j...
amj
Notacion: La matrix A la podemos denotar por[a1 a2 · · · an
]o tambien
por (ai j), donde aij es la componente (i , j) de la matriz A, y es unnumero real.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.
La matriz escalar esta formada por matricces An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α.
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Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.
La matriz escalar esta formada por matricces An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α. EJEMIn := In×n = [e1 e2 . . . en],
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Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.
La matriz escalar esta formada por matricces An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α. EJEMIn := In×n = [e1 e2 . . . en],
A =
1 0 0 05 2 0 0−2 0 1 0
B =
1/3 −1 4 10 −1 4 00 0 0 10 0 0 40 0 0 0
C =
0 0 00 −3 00 0 1
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Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.
La matriz escalar esta formada por matricces An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α. EJEMIn := In×n = [e1 e2 . . . en],
D =
−3 0 00 −3 00 0 −3
E =
1 0 00 1 00 0 1
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Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.
La matriz escalar esta formada por matricces An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α. EJEMIn := In×n = [e1 e2 . . . en],
Dos matrices son iguales, cuando todas sus componentes respectivas soniguales, y por tanto sus tamanos deben ser iguales.
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Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.La matriz escalar esta formada por matricces An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α. EJEMIn := In×n = [e1 e2 . . . en],
Dos matrices son iguales, cuando todas sus componentes respectivas soniguales, y por tanto sus tamanos deben ser iguales.
PREG: las siguientes matrices son iguales
C =(−1 3 5
)y
−135
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Suma y Producto por escalar de Matrices
EJEM Calcule A+ B y −2A si
A =
(1 2 −5−1 −3 0
)
B =
(−3 2 10 1 −2
)
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Suma y Producto por escalar de Matrices
EJEM Calcule A+ B y −2A si
A =
(1 2 −5−1 −3 0
)
B =
(−3 2 10 1 −2
)
PROPIEDADESA+ B = B + A (A+ B) + C = A+ (B + C )
α(A+ B) = αA+ αB (α+ β)A = αA+ βA.
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Suma y Producto por escalar de Matrices
EJEM Calcule A+ B y −2A si
A =
(1 2 −5−1 −3 0
)
B =
(−3 2 10 1 −2
)
PROPIEDADESA+ B = B + A (A+ B) + C = A+ (B + C )
α(A+ B) = αA+ αB (α+ β)A = αA+ βA.
EJER Determine la matriz X tal que 3X − 2A+ B = 4B , donde
A =
0 −63 0−1 3
B =
−2 34 10 −1
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Suma y Producto por escalar de Matrices
EJEM Calcule A+ B y −2A si
A =
(1 2 −5−1 −3 0
)
B =
(−3 2 10 1 −2
)
PROPIEDADESA+ B = B + A (A+ B) + C = A+ (B + C )
α(A+ B) = αA+ αB (α+ β)A = αA+ βA.
EJER Determine la matriz X tal que 3X − 2A+ B = 4B , donde
A =
0 −63 0−1 3
B =
−2 34 10 −1
Aquı X =
−2 −16 1
−2/3 1
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Producto de Matrices
Dadas las matrices Am×n, y Bn×k , se define la matriz producto
AB = A[b1 b2 · · · bk ] = [Ab1 Ab2 · · ·Abk ]
la cual tiene orden m × k .
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Producto de Matrices
Dadas las matrices Am×n, y Bn×k , se define la matriz producto
AB = A[b1 b2 · · · bk ] = [Ab1 Ab2 · · ·Abk ]
la cual tiene orden m × k .
EJEM Dadas las matrices A =
1 −23 0−1 5
y B =
(−2 34 1
)
calculemos
AB = [Ab1 Ab2]
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Producto de Matrices
Dadas las matrices Am×n, y Bn×k , se define la matriz producto
AB = A[b1 b2 · · · bk ] = [Ab1 Ab2 · · ·Abk ]
la cual tiene orden m × k .
EJEM Dadas las matrices A =
1 −23 0−1 5
y B =
(−2 34 1
)
calculemos
AB = [Ab1 Ab2]
OBS: componente (i , j) del producto AB es el producto escalar de lai-fila de la matriz A y la j-columna de la matriz B .
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Producto de Matrices
Dadas las matrices Am×n, y Bn×k , se define la matriz producto
AB = A[b1 b2 · · · bk ] = [Ab1 Ab2 · · ·Abk ]
la cual tiene orden m × k .
EJEM Dadas las matrices A =
1 −23 0−1 5
y B =
(−2 34 1
)
calculemos
AB = [Ab1 Ab2]
OBS: componente (i , j) del producto AB es el producto escalar de lai-fila de la matriz A y la j-columna de la matriz B .
PROPIEDADES(AB)C = A(BC ). A(B + C ) = AB + AC
(A+ B)C = AC + BC α(AB) = (αA)B = A(αB)ArAs = Ar+s (Ar )s = Ars
(AB)r = ArB r ,Si (AB = BA).
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COSAS MUY IMPORTANTES DE MATRICES
En general AB 6= BA. Pero, si AB = BA, se dice que las matricesconmutan
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COSAS MUY IMPORTANTES DE MATRICES
En general AB 6= BA. Pero, si AB = BA, se dice que las matricesconmutanEJEM
AB =
(1 10 0
)(1 0−1 0
)
=
(0 00 0
)
BA =
(1 0−1 0
)(1 10 0
)
=
(1 1−1 −1
)
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COSAS MUY IMPORTANTES DE MATRICES
En general AB 6= BA. Pero, si AB = BA, se dice que las matricesconmutan
AB = O no implica que A o B sean la matriz O.EJEM
AB =
(1 10 0
)(1 0−1 0
)
=
(0 00 0
)
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COSAS MUY IMPORTANTES DE MATRICES
En general AB 6= BA. Pero, si AB = BA, se dice que las matricesconmutan
AB = O no implica que A o B sean la matriz O.
CA = CB (o AC = BC ) no implica que A = B .EJEM
(1 10 0
)(1 0−1 0
)
=
(0 00 0
)
=
(1 10 0
)(0 −20 2
)
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COSAS MUY IMPORTANTES DE MATRICES
En general AB 6= BA. Pero, si AB = BA, se dice que las matricesconmutan
AB = O no implica que A o B sean la matriz O.
CA = CB (o AC = BC ) no implica que A = B .
A2 = I no implica que A = ±I .EJEM (
2 1−3 −2
)(2 1−3 −2
)
=
(1 00 1
)
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Matrices invertibles
No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .
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Matrices invertibles
No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .
EJEM si A =
(1 −10 0
)
no existe una matriz B =
(a b
c d
)
tal que
AB = I .(1 −10 0
)(a b
c d
)
=
(a− c b − d
0 0
)
6=
(1 00 1
)
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Matrices invertibles
No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .
EJEM si A =
(1 −10 0
)
no existe una matriz B =
(a b
c d
)
tal que
AB = I .(1 −10 0
)(a b
c d
)
=
(a− c b − d
0 0
)
6=
(1 00 1
)
DEF Se dice que la matriz A de tamano n × n es invertible, si y solo si,existe una matriz B tal que
AB = BA = I .
A esta matriz B , la llamamos inversa de A y la denotamos por B := A−1
PREG Es la matriz inversa unica?
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Matrices invertibles
No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .
EJEM si A =
(1 −10 0
)
no existe una matriz B =
(a b
c d
)
tal que
AB = I .(1 −10 0
)(a b
c d
)
=
(a− c b − d
0 0
)
6=
(1 00 1
)
DEF Se dice que la matriz A de tamano n × n es invertible, si y solo si,existe una matriz B tal que
AB = BA = I .
A esta matriz B , la llamamos inversa de A y la denotamos por B := A−1
PREG Es la matriz inversa unica? Como determinar que una matriz esinvertible?
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Matrices invertibles
No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .
EJEM si A =
(1 −10 0
)
no existe una matriz B =
(a b
c d
)
tal que
AB = I .(1 −10 0
)(a b
c d
)
=
(a− c b − d
0 0
)
6=
(1 00 1
)
DEF Se dice que la matriz A de tamano n × n es invertible, si y solo si,existe una matriz B tal que
AB = BA = I .
A esta matriz B , la llamamos inversa de A y la denotamos por B := A−1
PREG Es la matriz inversa unica? Como determinar que una matriz esinvertible? es necesario encontrar explıcitamente una inversa?
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Matrices invertibles
No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .
EJEM si A =
(1 −10 0
)
no existe una matriz B =
(a b
c d
)
tal que
AB = I .(1 −10 0
)(a b
c d
)
=
(a− c b − d
0 0
)
6=
(1 00 1
)
DEF Se dice que la matriz A de tamano n × n es invertible, si y solo si,existe una matriz B tal que
AB = BA = I .
A esta matriz B , la llamamos inversa de A y la denotamos por B := A−1
PREG Es la matriz inversa unica? Como determinar que una matriz esinvertible? es necesario encontrar explıcitamente una inversa? Comocalcular una inversa de una matriz?
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Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
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Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
DEM Sean B y C matrices inversas de A. Ası que
AB = BA = I , AC = CA = I
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Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
DEM Sean B y C matrices inversas de A. Ası que
AB = BA = I , AC = CA = I
Ahora, observe que
C (AB) = CI
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Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
DEM Sean B y C matrices inversas de A. Ası que
AB = BA = I , AC = CA = I
Ahora, observe que
C (AB) = CI
(CA)B = C
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Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
DEM Sean B y C matrices inversas de A. Ası que
AB = BA = I , AC = CA = I
Ahora, observe que
C (AB) = CI
(CA)B = C
IB = C
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Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
DEM Sean B y C matrices inversas de A. Ası que
AB = BA = I , AC = CA = I
Ahora, observe que
C (AB) = CI
(CA)B = C
IB = C
B = C .
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Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
Como determinar si una matriz es invertible?.
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Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
Como determinar si una matriz es invertible?. Si existe una matrizB = [b1 b2 . . . bn], tal que
AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].
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Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
Como determinar si una matriz es invertible?. Si existe una matrizB = [b1 b2 . . . bn], tal que
AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].
En otras palabras, tenemos que determinar si los sistemas de ecuacioneslineales
Ab1 = e1, Ab2 = e2, . . . , Abn = en
tienen solucion.
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Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
Como determinar si una matriz es invertible?. Si existe una matrizB = [b1 b2 . . . bn], tal que
AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].
En otras palabras, tenemos que determinar si los sistemas de ecuacioneslineales
Ab1 = e1, Ab2 = e2, . . . , Abn = en
tienen solucion. Para esto, podemos escalonar las matrices
[A : e1], [A : e2], . . . , [A : en]
y encontrar n pivotes.
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Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
Como determinar si una matriz es invertible?. Si existe una matrizB = [b1 b2 . . . bn], tal que
AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].
En otras palabras, tenemos que determinar si los sistemas de ecuacioneslineales
Ab1 = e1, Ab2 = e2, . . . , Abn = en
tienen solucion. Para esto, podemos escalonar las matrices
[A : e1], [A : e2], . . . , [A : en]
y encontrar n pivotes. De ser necesario calcular A−1, aplicamosAlgoritmo Eliminacion de Gauss + Sustitucion hacia atras a la matrizaumentada conjunta
[A : e1 e2 · · · en] = [A : I ]
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Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
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Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
DEM Para demostrar que A−1 es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que A−1C = I .
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Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
DEM Para demostrar que A−1 es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que A−1C = I . Si tomamos C = A, tenemos
A−1A = I .
Ası que A−1 es invertible y su inversa (que es unica) es A. En otraspalabras, (A−1)−1 := C = A.
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Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
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Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
DEM Para demostrar que λA es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que
(λA)C = I .
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Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
DEM Para demostrar que λA es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que
(λA)C = I . Si tomamos C = 1
λA−1 entonces
C (λA) =( 1
λA−1
)
(λA) =( 1
λλ)
(A−1A) = I
Ası que λA es invertible y (λA)−1 := C = 1λA−1
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Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1
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Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1
DEM Para demostrar que AB es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (AB)C = I .
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Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1
DEM Para demostrar que AB es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (AB)C = I . Si tomamos C = B−1A−1
entonces
(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AIA−1 = AA−1 = I .
Ası que AB es invertible y (AB)−1 := C = B−1A−1
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Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1
4 Am tambien es invertible y (Am)−1 = (A−1)m.
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Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1
4 Am tambien es invertible y (Am)−1 = (A−1)m.
DEM Para demostrar que Am es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (Am)C = I .
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Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1
4 Am tambien es invertible y (Am)−1 = (A−1)m.
DEM Para demostrar que Am es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (Am)C = I . Si tomamos C = (A−1)m
entonces(Am)(A−1)m = (AA−1)m = Im = I .
Ası que Am es invertible y (Am)−1 := C = (A−1)m
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Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
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Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (1) ⇒ (2) Veamos primero que x = A−1b es solucion del sistemaAx = b y luego, que esta solucion es la unica.
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Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (1) ⇒ (2) Veamos primero que x = A−1b es solucion del sistemaAx = b y luego, que esta solucion es la unica.
A(A−1b) = (AA−1)b = Ib = b.
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Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (1) ⇒ (2) Veamos primero que x = A−1b es solucion del sistemaAx = b y luego, que esta solucion es la unica.
A(A−1b) = (AA−1)b = Ib = b.
Ahora, supongamos que y es otra solucion de Ax = b. Ası, Ay = b y
A−1(Ay) = A−1b
(A−1A)y = A−1b
y = x .
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Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (2) ⇒ (3) Teniendo en cuenta que si h es solucion del sistemahomogeneo Ax = 0 y x = A−1b es solucion del sistema Ax = b, entoncesx + h es tambien solucion de Ax = b,
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Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (2) ⇒ (3) Teniendo en cuenta que si h es solucion del sistemahomogeneo Ax = 0 y x = A−1b es solucion del sistema Ax = b, entoncesx + h es tambien solucion de Ax = b, como la solucion es unica,entonces x = x + h; por lo tanto, h = 0; es decir, el vector 0 es la unicasolucion de Ax = 0.
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Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (3) ⇒ (4) Si Ax = 0 tiene solucion unica, entonces las columnas dela matriz A son l .i . (Pues, recuerde queAx = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan = 0 y aquı xi = 0 )
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Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (4) ⇒ (5) si las columnas de la matriz A son l .i . entonces todaforma escalonada de A tiene n pivotes.
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Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (5) ⇒ (1) Si una forma escalonada equivalente a A tiene n pivotes,todas sus filas tienen pivotes; por lo tanto,el sistema Ax = b tienesolucion para cualquier b;
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Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
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Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
CORO Si la matriz AB es invertible y las matrices A y B son cuadradas,entonces las matrices A y B son invertibles.
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Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
CORO Si la matriz AB es invertible y las matrices A y B son cuadradas,entonces las matrices A y B son invertibles.
DEM (contradiccion) Supongamos que la matriz B no es invertible, luegoexiste x 6= 0 tal que Bx = 0,
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Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
CORO Si la matriz AB es invertible y las matrices A y B son cuadradas,entonces las matrices A y B son invertibles.
DEM (contradiccion) Supongamos que la matriz B no es invertible, luegoexiste x 6= 0 tal que Bx = 0, por lo tanto, existe x 6= 0 tal que ABx = 0,es decir AB no es invertible lo cual no es posible.
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Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
CORO Si la matriz AB es invertible y las matrices A y B son cuadradas,entonces las matrices A y B son invertibles.
DEM (contradiccion) si la matriz B es invertible y la matriz A no,entonces existe y 6= 0 tal que Ay = 0. Sea x = B−1y , como y 6= 0,entonces x 6= 0. Ademas, ABx = AB(B−1y) = Ay = 0 entonces AB noes invertible, lo cual no es posible.
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Transposicion de Matrices
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Transposicion de Matrices
DEF La transpuesta de una matriz A, de tamano m× n, es la matriz AT ,de tamano n ×m, que se obtiene tomando la i-esima columna de AT
como la i-esima fila de A; es decir, si A = (aij), entonces AT = (aji ).
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Transposicion de Matrices
DEF La transpuesta de una matriz A, de tamano m× n, es la matriz AT ,de tamano n ×m, que se obtiene tomando la i-esima columna de AT
como la i-esima fila de A; es decir, si A = (aij), entonces AT = (aji ).
EJEM Encontremos las transpuestas de las siguientes matrices
A =
(1 3 −1
−2 0 5
)
, B =
(1 −2 3
3 0 −1
−1 5 7
)
, C =
(2
3
−5
)
, D = (3 −1 0)
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Transposicion de Matrices
DEF La transpuesta de una matriz A, de tamano m× n, es la matriz AT ,de tamano n ×m, que se obtiene tomando la i-esima columna de AT
como la i-esima fila de A; es decir, si A = (aij), entonces AT = (aji ).
EJEM Encontremos las transpuestas de las siguientes matrices
A =
(1 3 −1
−2 0 5
)
, B =
(1 −2 3
3 0 −1
−1 5 7
)
, C =
(2
3
−5
)
, D = (3 −1 0)
OBS:
u · v =
u1u2...un
·
v1v2...vn
= u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
=(u1 u2 · · · un
)
v1v2...vn
= uTv
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TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
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TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (4)
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TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (4)
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TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (4)
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TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (4) Si Am×n, Bn×p entonces (AB)m×p.
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TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (4) Si Am×n, Bn×p entonces (AB)m×p. Ası, (BT )p×n y (AT )n×m,
de tal forma que el producto (BTAT )p×m, al igual que (AB)T .
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TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (4) Si Am×n, Bn×p entonces (AB)m×p. Ası, (BT )p×n y (AT )n×m,
de tal forma que el producto (BTAT )p×m, al igual que (AB)T .
((AB)T )ij = (AB)ji
= Fijaj(A) · Columi (B) = Columj (AT ) · Filai (B
T )
= filai (BT ) · columj(A
T )
= (BTAT )ij .
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TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (5) Puesto que A es invertible, existe A−1, tal que AA−1 = I .
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TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (5) Puesto que A es invertible, existe A−1, tal que AA−1 = I .Ahora, por la Propiedad 4,
AT (A−1)T = (A−1A)T = IT = I .
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TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (5) Puesto que A es invertible, existe A−1, tal que AA−1 = I .Ahora, por la Propiedad 4,
AT (A−1)T = (A−1A)T = IT = I .
Ası, que AT es invertible y su inversa es (AT )−1 = (A−1)T .
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DEF Una Matriz A de tamano n × n es simetrica, si y solo si, es igual asu transpuesta; es decir, si y solo si,
A = AT
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DEF Una Matriz A de tamano n × n es simetrica, si y solo si, es igual asu transpuesta; es decir, si y solo si,
A = AT
EJEM Determine cuales son matrices simetricas
(1 −3
−3 0
)
,
(1 0 0
0 1/2 0
0 0 −7
)
,
(0 1 4
−1 1 −2
−4 2 5
)
,
(0 −1 4 −7
−1 1 −2 0
−4 −2 5 0, 5
)
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DEF Una Matriz A de tamano n × n es simetrica, si y solo si, es igual asu transpuesta; es decir, si y solo si,
A = AT
EJEM Determine cuales son matrices simetricas
(1 −3
−3 0
)
,
(1 0 0
0 1/2 0
0 0 −7
)
,
(0 1 4
−1 1 −2
−4 2 5
)
,
(0 −1 4 −7
−1 1 −2 0
−4 −2 5 0, 5
)
PREG Si Am×n, entonces AAT es una matriz simetrica?.
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DEF Una Matriz A de tamano n × n es simetrica, si y solo si, es igual asu transpuesta; es decir, si y solo si,
A = AT
EJEM Determine cuales son matrices simetricas
(1 −3
−3 0
)
,
(1 0 0
0 1/2 0
0 0 −7
)
,
(0 1 4
−1 1 −2
−4 2 5
)
,
(0 −1 4 −7
−1 1 −2 0
−4 −2 5 0, 5
)
PREG Si Am×n, entonces AAT es una matriz simetrica?. SI, pues
(AAT )T = (AT )TAT = AAT
.
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Matrices Elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
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Matrices Elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
Escalonamiento Eliminacion Permutacion
cF2 → F2 F2 + (c)F1 → F2 F1 ↔ F3
Veremos que aplicar una operacion elemental a una matriz A esequivalente a pre-multiplicar A por una matriz llamada elemental.
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Matrices Elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
Escalonamiento Eliminacion Permutacion
cF2 → F2 F2 + (c)F1 → F2 F1 ↔ F3
Veremos que aplicar una operacion elemental a una matriz A esequivalente a pre-multiplicar A por una matriz llamada elemental.
DEF Llamamos matriz elemental, a la matriz que se obtiene de aplicaruna operacion elemental entre filas a la matriz identidad I .
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Matrices Elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
Escalonamiento Eliminacion Permutacion
cF2 → F2 F2 + (c)F1 → F2 F1 ↔ F3
Veremos que aplicar una operacion elemental a una matriz A esequivalente a pre-multiplicar A por una matriz llamada elemental.
DEF Llamamos matriz elemental, a la matriz que se obtiene de aplicaruna operacion elemental entre filas a la matriz identidad I .
EJEM
E1 =
(1 0 0
0 5 0
0 0 1
)
, E2 =
(1 0
−3 1
)
, E3 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
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Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
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Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
EJEM Sea
A =
(0 0 2
3 −1 0
)
, F1 ↔ F2 A1 =
(3 −1 0
0 0 2
)
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Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
EJEM Sea
A =
(0 0 2
3 −1 0
)
, F1 ↔ F2 A1 =
(3 −1 0
0 0 2
)
Pre-multipliquemos la matriz A por E1
E1 =
(0 1
1 0
)
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Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
EJEM Sea
A =
(0 0 2
3 −1 0
)
, F1 ↔ F2 A1 =
(3 −1 0
0 0 2
)
Pre-multipliquemos la matriz A por E1
E1A =
(0 1
1 0
)(0 0 2
3 −1 0
)
=
(3 −1 0
0 0 2
)
= A1
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Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
EJEM Sea
A =
(0 0 2
3 −1 0
)
, F1 ↔ F2 A1 =
(3 −1 0
0 0 2
)
Pre-multipliquemos la matriz A por E1
E1A =
(0 1
1 0
)(0 0 2
3 −1 0
)
=
(3 −1 0
0 0 2
)
= A1
B =
(1 2 −1
0 −1 1
0 2 5
)
, F3 + 2F2 → F3 B1 =
(1 2 −1
0 −1 1
0 0 7
)
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Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
EJEM Sea
A =
(0 0 2
3 −1 0
)
, F1 ↔ F2 A1 =
(3 −1 0
0 0 2
)
Pre-multipliquemos la matriz A por E1
E1A =
(0 1
1 0
)(0 0 2
3 −1 0
)
=
(3 −1 0
0 0 2
)
= A1
B =
(1 2 −1
0 −1 1
0 2 5
)
, F3 + 2F2 → F3 B1 =
(1 2 −1
0 −1 1
0 0 7
)
Pre-multipliquemos la matriz B por E1
E2 =
(1 0 0
0 1 0
0 2 1
)
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Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
EJEM Sea
A =
(0 0 2
3 −1 0
)
, F1 ↔ F2 A1 =
(3 −1 0
0 0 2
)
Pre-multipliquemos la matriz A por E1
E1A =
(0 1
1 0
)(0 0 2
3 −1 0
)
=
(3 −1 0
0 0 2
)
= A1
B =
(1 2 −1
0 −1 1
0 2 5
)
, F3 + 2F2 → F3 B1 =
(1 2 −1
0 −1 1
0 0 7
)
Pre-multipliquemos la matriz B por E1
E2A =
(1 0 0
0 1 0
0 2 1
)(1 2 −1
0 −1 1
0 2 5
)
=
(1 2 −1
0 −1 1
0 0 7
)
= B1
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Inversas de matrices elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
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Inversas de matrices elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
E1 =
(1 0
−3 1
)
, E2 =
(1 0 0
0 5 0
0 0 1
)
, E3 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
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Inversas de matrices elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
E1 =
(1 0
−3 1
)
, E2 =
(1 0 0
0 5 0
0 0 1
)
, E3 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
E−11 =
(1 0
3 1
)
, E−12 =
(1 0 0
0 1/5 0
0 0 1
)
, E−13 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
= E3
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Inversas de matrices elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
E1 =
(1 0
−3 1
)
, E2 =
(1 0 0
0 5 0
0 0 1
)
, E3 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
E−11 =
(1 0
3 1
)
, E−12 =
(1 0 0
0 1/5 0
0 0 1
)
, E−13 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
= E3
Escalonamiento Eliminacion Permutacion
E cFi → Fi Fi + cFj → Fi Fi ↔ Fj
E−1 1cFi → Fi Fi − cFj → Fi Fi ↔ Fi
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Escalonar con matrices elementales
EJEM Calculemos una matriz U de forma escalonada equivalente a A, ylas matrices elementales E1, . . . ,Ek , tales que
Ek . . .E1 A = U.
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Escalonar con matrices elementales
EJEM Calculemos una matriz U de forma escalonada equivalente a A, ylas matrices elementales E1, . . . ,Ek , tales que
Ek . . .E1 A = U.
A =
(1 −1 2 3
1 2 −1 −3
0 2 −2 1
)
,F2 − F1 → F2
F3 −2
3F2 → F3
U =
(1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
)
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Escalonar con matrices elementales
EJEM Calculemos una matriz U de forma escalonada equivalente a A, ylas matrices elementales E1, . . . ,Ek , tales que
Ek . . .E1 A = U.
A =
(1 −1 2 3
1 2 −1 −3
0 2 −2 1
)
,F2 − F1 → F2
F3 −2
3F2 → F3
U =
(1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
)
Ası que
1 0 0
0 1 0
0 −23
1
︸ ︷︷ ︸
E2
1 0 0
−1 1 0
0 0 1
︸ ︷︷ ︸
E1
1 −1 2 3
1 2 −1 −3
0 2 −2 1
︸ ︷︷ ︸
A
=
1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
︸ ︷︷ ︸
U
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Escalonar con matrices elementales
EJEM Calculemos una matriz U de forma escalonada equivalente a A, ylas matrices elementales E1, . . . ,Ek , tales que
Ek . . .E1 A = U.
A =
(1 −1 2 3
1 2 −1 −3
0 2 −2 1
)
,F2 − F1 → F2
F3 −2
3F2 → F3
U =
(1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
)
Ası que
1 0 0
0 1 0
0 −23
1
︸ ︷︷ ︸
E2
1 0 0
−1 1 0
0 0 1
︸ ︷︷ ︸
E1
1 −1 2 3
1 2 −1 −3
0 2 −2 1
︸ ︷︷ ︸
A
=
1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
︸ ︷︷ ︸
U
(E7E6E5E4)(E3E2E1)A =
1 0 1 00 1 −1 00 0 0 1
las columnas pivotales (primera, segunda y cuarta) son precisamente e1,e2 y e3
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Caracterizacion de la inversa en termino de matrices
elementales
TEO Una matriz An×n es invertible, si y solo si, la matriz A es elproducto de matrices elementales.
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Caracterizacion de la inversa en termino de matrices
elementales
TEO Una matriz An×n es invertible, si y solo si, la matriz A es elproducto de matrices elementales.
DEM ⇒ Si la matriz A es invertible, entonces aplicando (Eliminacion deGauss)+Jordan=matriz I , es decir, existen matrices elementalesE1,E2, . . . ,Ek , tales que
Ek · · ·E2E1A = I . ⇔ A = E−11 E−1
2 · · ·E−1k I
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Caracterizacion de la inversa en termino de matrices
elementales
TEO Una matriz An×n es invertible, si y solo si, la matriz A es elproducto de matrices elementales.
DEM ⇒ Si la matriz A es invertible, entonces aplicando (Eliminacion deGauss)+Jordan=matriz I , es decir, existen matrices elementalesE1,E2, . . . ,Ek , tales que
Ek · · ·E2E1A = I . ⇔ A = E−11 E−1
2 · · ·E−1k I
⇐ si A = E1E2 · · ·Er entonces A es invertible pues el producto dematrices invertibles
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Factorizacion LU y su utilidad
Aplicando Eliminacion de Gauss a una matriz A logramos encontrar lasmatrices elementales Ei tal que
Ek · · ·E1A = U ⇒ A = E−11 E−1
2 · · ·E−1k
︸ ︷︷ ︸
L
U = LU,
donde U es una matriz triangular superior y L = E−11 · · ·E−1
k es unamatriz triangular inferior, cuadrada e invertible, con unos en la diagonal.
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Factorizacion LU y su utilidad
Aplicando Eliminacion de Gauss a una matriz A logramos encontrar lasmatrices elementales Ei tal que
Ek · · ·E1A = U ⇒ A = E−11 E−1
2 · · ·E−1k
︸ ︷︷ ︸
L
U = LU,
donde U es una matriz triangular superior y L = E−11 · · ·E−1
k es unamatriz triangular inferior, cuadrada e invertible, con unos en la diagonal.
Si A = LU, el sistema Ax = b se convierte en
b = Ax = LUx = L(Ux) = Ly ,
donde Ux = y por lo tanto, para calcular x , primero resolvemos Ly = b ya continuacion resolvemos Ux = y .
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Utilidad de LU
EJEM Sea
6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3
y b =
−88−5
Encontremos la
factorizacion LU de A y luego calculemos las soluciones de Ax = b.
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Utilidad de LU
EJEM Sea
6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3
y b =
−88−5
Encontremos la
factorizacion LU de A y luego calculemos las soluciones de Ax = b.
SOL Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F3 −23F1 → F3
F3 +34F2 → F3
U =
(1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
)
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Utilidad de LU
EJEM Sea
6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3
y b =
−88−5
Encontremos la
factorizacion LU de A y luego calculemos las soluciones de Ax = b.
SOL Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F3 −23F1 → F3
F3 +34F2 → F3
U =
(1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
)
Las matrices elementales utilizadas, en su orden, son
E1 =
(1 0 0
1 1 0
0 0 1
)
E2 =
(1 0 0
0 1 0
−2/3 0 1
)
E3 =
(1 0 0
0 1 0
0 3/4 1
)
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Utilidad de LU
EJEM Sea
6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3
y b =
−88−5
Encontremos la
factorizacion LU de A y luego calculemos las soluciones de Ax = b.
SOL Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F3 −23F1 → F3
F3 +34F2 → F3
U =
(1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
)
Las matrices elementales utilizadas, en su orden, son
E1 =
(1 0 0
1 1 0
0 0 1
)
E2 =
(1 0 0
0 1 0
−2/3 0 1
)
E3 =
(1 0 0
0 1 0
0 3/4 1
)
Por tanto L = E−11 E−1
2 E−13 , es decir,
L =
(1 0 0
−1 1 0
0 0 1
)(1 0 0
0 1 0
2/3 0 1
)(1 0 0
0 1 0
0 −3/4 1
)
=
(1 0 0
−1 1 0
2/3 −3/4 1
)
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Utilidad de LU
EJEM Sea
6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3
y b =
−88−5
Encontremos la
factorizacion LU de A y luego calculemos las soluciones de Ax = b.
SOL Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F3 −23F1 → F3
F3 +34F2 → F3
U =
(1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
)
Las matrices elementales utilizadas, en su orden, son
E1 =
(1 0 0
1 1 0
0 0 1
)
E2 =
(1 0 0
0 1 0
−2/3 0 1
)
E3 =
(1 0 0
0 1 0
0 3/4 1
)
Por tanto L = E−11 E−1
2 E−13 , es decir,
L =
(1 0 0
−1 1 0
0 0 1
)(1 0 0
0 1 0
2/3 0 1
)(1 0 0
0 1 0
0 −3/4 1
)
=
(1 0 0
−1 1 0
2/3 −3/4 1
)
Ahora, resolvemos Ly = b mediante sustitucion hacia adelanteHector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
Utilidad LU
Luego, la solucion de Ly = b es y = (−8, 0, 1/3)T .
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Utilidad LU
Luego, la solucion de Ly = b es y = (−8, 0, 1/3)T . Continuamosresolviendo el sistema Ux = y usando sustitucion hacia atras.
6 −3 0 3 −80 0 8 0 00 0 0 1 1/3
Sol =
− 32 + 1
2 tt
013
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Utilidad LU
Luego, la solucion de Ly = b es y = (−8, 0, 1/3)T . Continuamosresolviendo el sistema Ux = y usando sustitucion hacia atras.
6 −3 0 3 −80 0 8 0 00 0 0 1 1/3
Sol =
− 32 + 1
2 tt
013
EJEM Encontremos dos vectores x y z de R4 tales que Ax = b y
zTA = cT , donde
A =
2 −1 3 0−2 4 −3 50 9 −1 184 −5 1 8
, b =
−5102113
, c =
2−415
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Utilidad LU
Luego, la solucion de Ly = b es y = (−8, 0, 1/3)T . Continuamosresolviendo el sistema Ux = y usando sustitucion hacia atras.
6 −3 0 3 −80 0 8 0 00 0 0 1 1/3
Sol =
− 32 + 1
2 tt
013
EJEM Encontremos dos vectores x y z de R4 tales que Ax = b y
zTA = cT , donde
A =
2 −1 3 0−2 4 −3 50 9 −1 184 −5 1 8
, b =
−5102113
, c =
2−415
Observe que zTA = cT equivale a AT z = c, Luego tenemos que resolverdos sistemas, Ax = b y AT z = c
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Utilidad LU
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Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
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Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
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Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
(AT z = c) Escalonamos la matriz AT usando operaciones elementales
F2 +1
2F1 → F2
F3 −3
2F1 → F3
F4 −5
3F2 → F4
F4 + 3F3 → F4
[V |r ] =
2 −2 0 4 2
0 3 9 −3 −3
0 0 −1 −5 −2
0 0 0 −2 4
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Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
(AT z = c) Escalonamos la matriz AT usando operaciones elementales
F2 +1
2F1 → F2
F3 −3
2F1 → F3
F4 −5
3F2 → F4
F4 + 3F3 → F4
[V |r ] =
2 −2 0 4 2
0 3 9 −3 −3
0 0 −1 −5 −2
0 0 0 −2 4
z =
−303912−2
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Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
A partir de las matrices elementales asociadas encontramos que
L = E−11 E−1
2 E−13 E−1
4 E−15 =
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Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
A partir de las matrices elementales asociadas encontramos que
L = E−11 E−1
2 E−13 E−1
4 E−15 =
1 0 0 0
−1 1 0 0
0 3 1 0
2 −1 5 1
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Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
A partir de las matrices elementales asociadas encontramos que
L = E−11 E−1
2 E−13 E−1
4 E−15 =
1 0 0 0
−1 1 0 0
0 3 1 0
2 −1 5 1
Como A = LU, entonces Ax = L(Ux) = Ly = b usando Sust Adeltenemos y = (−5, 5, 6,−2)T y, mediante Sus Atras, el sistema Ux = y ,para obtener que x = (2, 0,−3, 1)T .
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Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
A partir de las matrices elementales asociadas encontramos que
L = E−11 E−1
2 E−13 E−1
4 E−15 =
1 0 0 0
−1 1 0 0
0 3 1 0
2 −1 5 1
Como A = LU, entonces Ax = L(Ux) = Ly = b usando Sust Adeltenemos y = (−5, 5, 6,−2)T y, mediante Sus Atras, el sistema Ux = y ,para obtener que x = (2, 0,−3, 1)T .
Como AT = UTLT , entonces AT z = UT (LT z) = UTw = c usando SustAdel tenemos w = (1,−1, 2,−2)T y, mediante Sust Atras, el sistemaLT z = w , para obtener que z = (−30, 39, 12,−2)T .
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Determinantes
DEF Dada una matriz An×n, definimos (Mij)n−1×n−1 sub-matriz queresulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. Mij es llamadamenor (i , j) de A.
EJEM Encuentre los menores M23 y M32 de la matriz
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
,
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Determinantes
DEF Dada una matriz An×n, definimos (Mij)n−1×n−1 sub-matriz queresulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. Mij es llamadamenor (i , j) de A.
EJEM Encuentre los menores M23 y M32 de la matriz
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
,
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Determinantes
DEF Dada una matriz An×n, definimos (Mij)n−1×n−1 sub-matriz queresulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. Mij es llamadamenor (i , j) de A.
EJEM Encuentre los menores M23 y M32 de la matriz
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
, SOL M23 =
(1 11 −1
)
M32 =
(1 12 1
)
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Determinantes
DEF Dada una matriz An×n, definimos (Mij)n−1×n−1 sub-matriz queresulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. Mij es llamadamenor (i , j) de A.
EJEM Encuentre los menores M23 y M32 de la matriz
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
, SOL M23 =
(1 11 −1
)
M32 =
(1 12 1
)
DEF Dada una matriz An×n, definimos Aij , el cofactor (i , j) de A, como
Aij = (−1)i+jdetMij .
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Determinantes
DEF Dada una matriz An×n, definimos (Mij)n−1×n−1 sub-matriz queresulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. Mij es llamadamenor (i , j) de A.
EJEM Encuentre los menores M23 y M32 de la matriz
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
, SOL M23 =
(1 11 −1
)
M32 =
(1 12 1
)
DEF Dada una matriz An×n, definimos Aij , el cofactor (i , j) de A, como
Aij = (−1)i+jdetMij .
DEF Sea An×n = (aij). Definimos el determinante de una matriz A como
det (A) = a11detM11 − a12detM12 + · · ·+ (−1)1+na1n
= a11A11 + a12A12 + · · ·+ (−1)1+na1nA1n
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Determinantes
Desarrollo o Expansion de Laplace
TEO Dada A = (aij) una matriz n × n,
detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin Usando Fija i
detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj Usando Columna j
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Determinantes
Desarrollo o Expansion de Laplace
TEO Dada A = (aij) una matriz n × n,
detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin Usando Fija i
detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj Usando Columna j
CORO Dada A, una matriz n × n, detA = detAT
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Determinantes
Desarrollo o Expansion de Laplace
TEO Dada A = (aij) una matriz n × n,
detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin Usando Fija i
detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj Usando Columna j
CORO Dada A, una matriz n × n, detA = detAT
EJEM Calculemos el determinante de
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
y B =
1 0 0 02 3 0 01 −1 −2 07 1/2 4 −1
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Propiedades importantes
TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.
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Propiedades importantes
TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n.
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Propiedades importantes
TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2, se cumple
detA(2) =a 0c d
= ad − 0c = ad .
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Propiedades importantes
TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2, se cumple
detA(2) =a 0c d
= ad − 0c = ad .
(H. Ind) Supongamos que el resultado es valido para An−1. Es decir,
detAn−1 =
a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · 0
.
.
....
. . ....
an−1 1 an−1 2 · · · an−1 n−1
= a11a22 · · · an−1 n−1.
Veamos es cierto para A(n).
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Propiedades importantes
TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2, se cumple
detA(2) =a 0c d
= ad − 0c = ad .
(H. Ind) Supongamos que el resultado es valido para An−1. Es decir,
detAn−1 =
a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · 0
.
.
....
. . ....
an−1 1 an−1 2 · · · an−1 n−1
= a11a22 · · · an−1 n−1.
Veamos es cierto para A(n).
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Propiedades importantes
TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2, se cumple
detA(2) =a 0c d
= ad − 0c = ad .
(H. Ind) Supongamos que el resultado es valido para An−1. Es decir,
detAn−1 =
a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · 0
.
.
....
. . ....
an−1 1 an−1 2 · · · an−1 n−1
= a11a22 · · · an−1 n−1.
Veamos es cierto para A(n).
detA(n) =
a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · 0
.
.
....
. . ....
an1 an2 · · · ann
= a11
a21 0 · · · 0
a31 a32 · · · 0
.
.
....
. . ....
an1 an2 · · · ann
= a11(a22 · · · ann)
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Propiedades importantes
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Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
DEM: Sea la Fi = (0, 0, . . . , 0), Calculemos el detA usando la Fi
detA = 0Ai1 + 0Ai2 + · · ·+ 0Ain = 0
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Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
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Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
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Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n.
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Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2 se cumple
A(2) =
(a b
c d
)
= ad − bc B(2) =
(c d
a b
)
= −(ad − bc)
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Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2 se cumple
A(2) =
(a b
c d
)
= ad − bc B(2) =
(c d
a b
)
= −(ad − bc)
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Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2 se cumple
A(2) =
(a b
c d
)
= ad − bc B(2) =
(c d
a b
)
= −(ad − bc)
(H. Ind.) Supongamos que el resultado es valido para A(n−1).Veamos es cierto para tamano A(n).
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Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2 se cumple
A(2) =
(a b
c d
)
= ad − bc B(2) =
(c d
a b
)
= −(ad − bc)
(H. Ind.) Supongamos que el resultado es valido para A(n−1).Veamos es cierto para tamano A(n).
Sea Filai (A) = Filaj(B) y Filaj(A) = Filai (B). Tomemos r 6= i , j ⇒Filar (A) = Filar (B)
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Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2 se cumple
A(2) =
(a b
c d
)
= ad − bc B(2) =
(c d
a b
)
= −(ad − bc)
(H. Ind.) Supongamos que el resultado es valido para A(n−1).Veamos es cierto para tamano A(n).
Sea Filai (A) = Filaj(B) y Filaj(A) = Filai (B). Tomemos r 6= i , j ⇒Filar (A) = Filar (B)
detA = ar1Ar1 + ar2Ar2 + · · ·+ arnArn
= br1(−Br1) + br2(−Br2) + · · ·+ brn(−Brn)
= −[br1Br1 + br2Br2 + · · ·+ brnBrn]
= −detB ,Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
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Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
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Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
DEM: Supongamos que las filas i y j son iguales. sea B la matriz A
con las filas i y j intercambiadas Entonces,
detA = −detB = −detA, ⇒ 2detA = 0
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Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
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Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
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Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
DEM: Sea B la matriz que se obtiene de multiplicar la Filai (A) porλ.
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Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
DEM: Sea B la matriz que se obtiene de multiplicar la Filai (A) porλ. Ahora, calculamos el detA usando la Filai
detB = bi1Bi1 + bi2Bi2 + · · ·+ binBin
= λai1Ai1 + λai2Ai2 + · · ·+ λainAin
= λ(ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin)
= λdetA.
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Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
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Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
5 Si A, B y C son matrices iguales excepto en la i-esima fila de talforma que la i-esima fila (o columna) de C es la suma de lascorrespondientes i-esimas filas (o columnas) de A y B , entoncesdetC = detA+ detB .
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Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
5 Si A, B y C son matrices iguales excepto en la i-esima fila de talforma que la i-esima fila (o columna) de C es la suma de lascorrespondientes i-esimas filas (o columnas) de A y B , entoncesdetC = detA+ detB .
6 Si la matriz B se obtiene de A al sumar un multiplo de una fila (ocolumna) a otra fila (o columna), entonces detB = detA.
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Propiedades importantes
CORO Sea E una matriz elemental n × n.
Si E es de Tipo Permutacion, entonces detE = −1.Si E es de Tipo Escalamiento (mult. una fila de I por c), entoncesdetE = c .Si E es de Tipo Eliminacion, entonces detE = 1.
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Propiedades importantes
CORO Sea E una matriz elemental n × n.
Si E es de Tipo Permutacion, entonces detE = −1.Si E es de Tipo Escalamiento (mult. una fila de I por c), entoncesdetE = c .Si E es de Tipo Eliminacion, entonces detE = 1.
CORO Sea E y A matrices de igual tamano, donde E es una matrizelemental. Entonces
det (EA) = (detE )(detA).
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Propiedades importantes
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Propiedades importantes
TEO Dada An×n, y sea U = (uij) la matriz obtenida por Eliminacion deGauss. Entonces,
detA = (−1)pu11u22 . . . unn,
donde p es el numero de operaciones elementales Tipo Permutacionutilizadas para obtener la matriz U a partir de la matriz A.
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Propiedades importantes
TEO Dada An×n, y sea U = (uij) la matriz obtenida por Eliminacion deGauss. Entonces,
detA = (−1)pu11u22 . . . unn,
donde p es el numero de operaciones elementales Tipo Permutacionutilizadas para obtener la matriz U a partir de la matriz A.
DEM: Sean E1,E2, . . . ,Ek las matrices elementales aplicadas a A paraobtener U. Entonces,
U = Ek . . .E2E1A
,
⇒ detU = (detEk) . . . (detE2)(detE1)(detA) = (−1)p(detA)
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Propiedades importantes
TEO Dada An×n, y sea U = (uij) la matriz obtenida por Eliminacion deGauss. Entonces,
detA = (−1)pu11u22 . . . unn,
donde p es el numero de operaciones elementales Tipo Permutacionutilizadas para obtener la matriz U a partir de la matriz A.
DEM: Sean E1,E2, . . . ,Ek las matrices elementales aplicadas a A paraobtener U. Entonces,
U = Ek . . .E2E1A
,
⇒ detU = (detEk) . . . (detE2)(detE1)(detA) = (−1)p(detA)
detEi = −1 para las p matices elementales Tipo Permutacion ydetEi = 1 para el resto de matrices elementales.
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Propiedades importantes
TEO Dada An×n, y sea U = (uij) la matriz obtenida por Eliminacion deGauss. Entonces,
detA = (−1)pu11u22 . . . unn,
donde p es el numero de operaciones elementales Tipo Permutacionutilizadas para obtener la matriz U a partir de la matriz A.
DEM: Sean E1,E2, . . . ,Ek las matrices elementales aplicadas a A paraobtener U. Entonces,
U = Ek . . .E2E1A
,
⇒ detU = (detEk) . . . (detE2)(detE1)(detA) = (−1)p(detA)
detEi = −1 para las p matices elementales Tipo Permutacion ydetEi = 1 para el resto de matrices elementales.como U es una matriztriangular superior
detA = (−1)pdetU = (−1)pu11u22 . . . unn.
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Propiedades importantesEJEM
A =
0 6 −1 −5
−3 2 3 0
−6 −5 3 8
−6 4 0 2
F1 ↔ F4
F2 −12F1 → F2
F3 − F1 → F3
F2 ↔ F3
F4 +23F2 → F4
F4 −13F3 → F4
U =
−6 4 0 2
0 −9 3 6
0 0 3 −1
0 0 0 −2/3
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Propiedades importantesEJEM
A =
0 6 −1 −5
−3 2 3 0
−6 −5 3 8
−6 4 0 2
F1 ↔ F4
F2 −12F1 → F2
F3 − F1 → F3
F2 ↔ F3
F4 +23F2 → F4
F4 −13F3 → F4
U =
−6 4 0 2
0 −9 3 6
0 0 3 −1
0 0 0 −2/3
Por lo tanto, detA = (−1)2detU = (−6)(−9)3(−2/3) = −108
CORO Sea An×n. La matriz A es invertible, si y solo si, detA 6= 0.
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Propiedades importantesEJEM
A =
0 6 −1 −5
−3 2 3 0
−6 −5 3 8
−6 4 0 2
F1 ↔ F4
F2 −12F1 → F2
F3 − F1 → F3
F2 ↔ F3
F4 +23F2 → F4
F4 −13F3 → F4
U =
−6 4 0 2
0 −9 3 6
0 0 3 −1
0 0 0 −2/3
Por lo tanto, detA = (−1)2detU = (−6)(−9)3(−2/3) = −108
CORO Sea An×n. La matriz A es invertible, si y solo si, detA 6= 0.
DEM: Como detA = (−1)pdetU = (−1)pu11u22 . . . unn. EntoncesdetA 6= 0, si y solo si, uii 6= 0 para todo i , lo cual ocurre, si y solo si, Utiene n pivotes, esto es equivalente a que A es invertible.
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Propiedades importantesEJEM
A =
0 6 −1 −5
−3 2 3 0
−6 −5 3 8
−6 4 0 2
F1 ↔ F4
F2 −12F1 → F2
F3 − F1 → F3
F2 ↔ F3
F4 +23F2 → F4
F4 −13F3 → F4
U =
−6 4 0 2
0 −9 3 6
0 0 3 −1
0 0 0 −2/3
Por lo tanto, detA = (−1)2detU = (−6)(−9)3(−2/3) = −108
CORO Sea An×n. La matriz A es invertible, si y solo si, detA 6= 0.
DEM: Como detA = (−1)pdetU = (−1)pu11u22 . . . unn. EntoncesdetA 6= 0, si y solo si, uii 6= 0 para todo i , lo cual ocurre, si y solo si, Utiene n pivotes, esto es equivalente a que A es invertible.
TEO Si A y B son matrices n× n y α un numero real (escalar), entonces
det (αA) = αdetA.det (AB) = detA detB .det (Am) = (detA)m.
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Adjunta de A
CORO: Si A es una matriz invertible, entonces det (A−1) = 1detA
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Adjunta de A
CORO: Si A es una matriz invertible, entonces det (A−1) = 1detA
EJEM: Dadas las matrices A =
−1 0 10 2 13 0 0
y B =
2 0 01 0 −20 3 1
calcule detA , detB , det (2A), det (AB), det (A+ B).
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Adjunta de A
CORO: Si A es una matriz invertible, entonces det (A−1) = 1detA
EJEM: Dadas las matrices A =
−1 0 10 2 13 0 0
y B =
2 0 01 0 −20 3 1
calcule detA , detB , det (2A), det (AB), det (A+ B).
DEF: Dada A(n), definimos la matriz de cofactores de A como la matrizcuya componente (i , j) es el cofactor Aij y definimos adj(A), la matrizadjunta de A, como la transpuesta de la matriz de cofactores.
Cof (A) =
A11 A12 · · · A1n
A21 A22 · · · A2n
.
.
....
. . ....
An1 An2 · · · Ann
adj(A) =
A11 A21 · · · An1
A12 A22 · · · An2
.
.
....
. . ....
A1n A2n · · · Ann
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Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
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Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
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Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
DEM: Si A es una matriz invertible, detA 6= 0; por lo tanto, usando laspropiedades del producto de matrices y el teorema anterior, tenemos
A( 1
detAadj(A)
)
=1
detA(A adj(A)) =
1
detA(detA)I = I .
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Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
EJER: Calculemos la componente (3, 2) de la inversa de la matriz
A =
−2 0 1 00 −1 0 −24 0 −7 −10 3 0 1
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Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
EJER: Calculemos la componente (3, 2) de la inversa de la matriz
A =
−2 0 1 00 −1 0 −24 0 −7 −10 3 0 1
SOL: Sea A−1 = (αij), entonce α32 =A23
|A|=
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Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
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Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces det(adj(A)
)= (detA)n−1
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Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces det(adj(A)
)= (detA)n−1
DEM: Observe que
A adj(A) = (detA)I , ⇒ det (A) det[adj(A)
]= (detA)n.
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Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces det(adj(A)
)= (detA)n−1
EJER: Calcule det (adj(A)) donde A =
−2 0 1 0
0 −1 0 −2
4 0 −7 −1
0 3 0 1
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Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces det(adj(A)
)= (detA)n−1
EJER: Calcule det (adj(A)) donde A =
−2 0 1 0
0 −1 0 −2
4 0 −7 −1
0 3 0 1
Como
detA = 50 y A4×4 ⇒ det (adj(A)) = 503
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