INTRODUCCION AL ALGEBRA.

5-b- NUMEROS COMPLEJOS.

Apuntes de la Cátedra.

Alberto Serritella.

Colaboraron: Cristian Mascetti.

Vanesa Bergonzi

Edición Previa – CECANA – CECEJS – CET – Junín – 2010.

UNNOBA

Universidad Nacional de Noroeste de la Pcia. de Bs. As.

Para mensajes: alberto_serritella@yahoo.com.ar

NUMEROS COMPLEJOS: Este tema requiere conocer la noción de función BAf →: con la notación usual

( )xfy = donde ByAx ∈∈ , . Requiere igualmente un adecuado conocimiento de la idea de par ordenado y producto cartesiano de dos conjuntos. Es conveniente también manejar satisfactoriamente conceptos de lógica simbólica, teoría de conjuntos y teoría de números incluyendo inducción completa. Sería preferible haber estudiado previamente los conceptos de estructuras algebraicas: grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales (veremos luego que los números complejos pueden encuadrarse en tales estructuras). En particular, de Teoría de Números; mínimamente es necesario conocer las nociones de distintos tipos de números:

=N Conjunto de Números Naturales: { };......3;2;1;0=N Z = Conjunto de Números Enteros: { };...3;2;1;0;1;2...; −−=Z

Q = Conjunto de Números Racionales:

−−−−= ;...

4

3;2;1;0:1;2;

5

1;

7

3...;Q

R = Conjunto de Números Reales:

−−−= ;...;;3;2;2;1;0;1;

3

2...; eπR

C = Conjunto de Números Complejos: C= (los veremos luego)

Se verifica:{ CRQZNCRQZN

≠≠≠≠⊂⊂⊂⊂

Nota: hemos incluido el 0 (cero) como número natural. Ello implica que en adelante siempre lo consideraremos de tal forma. Tomar el “0” como natural es una alternativa puramente formal. Podríamos haber optado por no tomarlo como natural. En tal caso en toda la teoría posterior deberíamos haberlo considerado como no natural. Los conjuntos diferencias también reciben denominaciones:

NZ − = Conjunto de números negativos: { }1;2;3...; −−−=− NZ

ZQ − = Conjunto de números fraccionarios:

−=− ;...

2

1;

4

3;

3

2...;ZQ

QR − = Conjunto de números irracionales: { };...;7;52...; π−=− QR

RC − = Conjunto de números imaginarios. A su vez este último conjunto RC − incluye al conjunto de números imaginarios puros (con parte real nula)

Definición del Conjunto de los Números Complejos: Repaso de conceptos previos: Par Ordenado: un par ordenado es un conjunto ( )ba ; de dos elementos al que se le adiciona un criterio de orden que señala que de ambos, a es el primer elemento y b el segundo.

Como regla mnemotécnica podemos escribir: ( ) { }orden de criterio

º2º1

"";; bababa →

+=

Observemos que: { } { }abba ;; = pero en cambio: ( ) ( )abbaba ;; ≠⇒≠ Más aún ( ) ( )abbaba ;; ≠⇔≠ Una definición estricta de par ordenado es: ( ) { }{ }ababa ,;; = pero en este apunte no la utilizaremos. Producto Cartesiano: dados dos conjuntos BA; se define el producto cartesiano de

ambos así: ( ){ }ByAxyxBA ∈∈=× ;;; Ejemplo 1: { } { }7;5;13;2 == BA ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }7;3;5;3,1;3;7;2;5;2;1;2=× BA Representaciones Gráficas: Por diagramas Cartesiana Ejemplo 2: { } { }MaríaSilviaPedroBMaríaJuanA ;;; ==

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }MaríaMaríaSilviaMaríaPedroMaríaMaríaJuanSilviaJuanPedroJuanBA ;;;;;;;;;;;=× Hacer la representación gráfica. Ejemplo 3: { } { }dcbBaA ;3;;;81;3;2; == Completarlo Terna Ordenada: generaliza a tres elementos el concepto de par ordenado ( )cba ;;

Números Complejos - Definición - Forma de Pares Ordenados: Sea: ( ){ }RRRRR ∈∧∈=×= yxyx ;;2 con lo cual:

( )[ ]yxzyxRzz ;:;: 2 =∈∃⇒∈∀ R

Notación y Definición. Función Suma y Producto: Definimos:

( ) ( ) :;:;:: 2

222111

222 RRRR ∈==∀→×+ yxzyxz ( ) ( ) ( ) ( )212122112121 ;;;; yyxxyxyxzzzz ++=+=+=+

( ) ( ) :;:;:: 2

222111

222 RRRR ∈==∀→ו yxzyxz

( ) ( ) ( ) =⋅=⋅=• 22112121 ;;; yxyxzzzz ( )12212121 ;. yxyxyyxx ⋅+⋅−⋅ Definidas así las funciones suma y producto diremos que la terna ordenada:

( )•+= ;;2RC es el conjunto de los Números Complejos Notación Simplificada: Dejando a salvo la definición estricta que acabamos de ver en adelante, y siempre que ello no se preste a confusiones, identificaremos 2

RC = pero sobreentendiendo que la suma y el producto están definidas como acabamos de ver. Por ejemplo, escribiremos:

( ) C∈= yxz , sobreentendiendo R∈yx; . En los casos en que los números complejos que usemos no sean “variables” sino “fijos” usaremos la escritura: ( ) C∈= baz ; sobreentendiendo R∈ba; Ejemplo: ( ) ( ) C∈== 5;4; 21 3;2 zz

( ) ( ) ( ) ( )8;653;425;43;221 =++=+=+ zz ( ) ( ) ( ) =⋅+⋅⋅−⋅=⋅=⋅ 4352;53425;43;221 zz ( ) ( )22;71210;158 −=+−

Propiedades de los Números Complejos: 1G: ( ) ( ) 321321321 :;; zzzzzzzzz ++=++∈∀ C Propiedad Asociativa de la Suma 2G: zzzz CCC =+=+∈∀∈∃ 00::0 CC Propiedad de Existencia de Elemento Neutro (para la suma) 3G: ( ) Czzzzzz 0:: =+−=−+∈−∃∈∀ CC Propiedad de Existencia de Elemento Opuesto (para la suma) 4G: 122121 :; zzzzzz +=+∈∀ C Propiedad Conmutativa de la Suma 5G: ( ) ( ) 321321321 :;; zzzzzzzzz ⋅⋅=⋅⋅∈∀ C Propiedad Asociativa del Producto 6A: a) ( ) 3121321321 :;; zzzzzzzzzz ⋅+⋅=+⋅∈∀ C Propiedades Distributivas del Producto

b) ( ) 3231321321 :;; zzzzzzzzzz ⋅+⋅=⋅+∈∀ C respecto a la Suma. A veces se suele agregar que (a) es distributiva “a izquierda” y que (b) es distributiva “a derecha”.

7A: zzzz CCC =⋅=⋅∈∀∈∃ 11::1 CC Propiedad de Existencia de Elemento Unidad 8A: 122121 :; zzzzzz ⋅=⋅∈∀ C Propiedad Conmutativa del Producto

9K: [ ]CC zzzzzz z 1:0: 111 =⋅=⋅∈∃⇒≠∈∀ −−− CC Propiedad de Existencia de

Elemento Inverso Por cumplir todas las propiedades anteriores se dice que los Números Complejos C son un “Cuerpo Conmutativo”. Demostración de Propiedades - Definiciones: Demostraremos algunas de las propiedades Propiedad 1G: Sean: ( ) ( ) ( ) :;;;;; 333222111 C∈=== yxzyxzyxz se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )( ) =++=++ 332211321 ;;; yxyxyxzzz [ Aplicando la definición de suma de complejos

dentro del paréntesis grande ] =

( ) ( ) =+++= 323211 ;; yyxxyx [ Volviendo a aplicar definición suma ] =

( ) ( )( ) =++++= 321321 ; yyyxxx [ Por propiedad asociativa de los números reales ] =

( ) ( )( ) =++++= 321321 ; yyyxxx [ Definición suma C ] =

( ) ( ) =+++= 332121 ;; yxyyxx [ Otra vez definición suma C ] =

( ) ( )( ) ( ) ( ) 321332211 ;;; zzzyxyxyx ++=++= Notación simplificada para sumas repetidas: Debido a que se cumple la propiedad asociativa se suele escribir:

( ) ( ) 321321321 zzzzzzzzz ++=++=++ Demostración Propiedad 2G: Probaremos como elemento neutro a ( )0;00 =C

Sea ( ) ( ) ( ) =+=+∈= 0;0;0:, yxzyxz CC ( ) ( ) zyxyx ==++ ;0;0

De igual manera: zzC =+0 Cero Complejo: al elemento ( ) CC ∈= 0;00 lo llamaremos “cero complejo”

Demostración Propiedad 3G:

Sea ( ) C∈= yxz , probaremos como elemento opuesto ( ) C∈−−=− yxz ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) =−+−+=−−+=−+ yyxxyxyxzz ;;; [ por cumplirse la propiedad para los números

reales ] ( ) C00;0 == De igual manera se demuestra: Czz 0=+− Propiedades 4G, 5A, 6A: Se deja la demostración al lector. Por cumplirse 5A se puede escribir: ( ) ( ) 321321321 zzzzzzzzz ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ Demostración Propiedad 7A: Probaremos: ( ) :0;11 C∈=

C Sea ( ) C∈= yxz ,

( ) ( ) ( ) =⋅+⋅⋅−⋅=⋅=⋅ 10;010;1;1 yxyxyxz C

( ) =+−= yx 0;0 [ Por propiedad de existencia de cero real ] ( ) zyx == ; De la misma manera se demuestra que: zzC =⋅1 Unidad Compleja: ( ) CC ∈= 0;11 recibe el nombre de “unidad compleja” Propiedad 8A: La demostración se deja al lector Demostración Propiedad 9K: Sea ( ) C∈= yxz ; ; supongamos ( ) ( ) Cyxz 00;0; =≠=

00000 2222 >+⇔>∨>⇔≠∨≠⇔ yxyxyx

⇒≠+⇒ 022 yx [ Puede dividirse por 22 yx + dado que es 0≠ ] ⇒

⇒

∈

+−∃∧

∈

+∃⇒ RR

2222 yx

y

yx

x C∈

+−

+∃

2222;

yx

y

yx

x

Probaremos: ( )

+−

+== −−

2222

11 ;;yx

y

yx

xyxz

( ) =

+−

+⋅=⋅ −

2222

1 ;;yx

y

yx

xyxzz

=

+⋅+

+−⋅

+−−

+=

222222

2

22

2

;yx

xy

yx

yx

yx

y

yx

x

=

+⋅

++⋅

−+

++

=222222

2

22

2

;yx

xy

yx

yx

yx

y

yx

x

+⋅+⋅−

++

2222

22

;yx

yxyx

yx

yx ( ) C10;1 ==

de esta forma se demuestra: Czz 11 =⋅ − Ídem se demuestra: Czz 11 =⋅−

Opuesto de la Unidad Compleja: De la demostración de (7ª) y de (2G) surge: ( )0;11 −=− C Unidad Imaginaria: Se define como “unidad imaginaria” al número complejo ( )1;0=i

Definición: iii ⋅=2

Corolario: Ci 12 −= Demostración: ( ) ( ) ( ) =⋅+⋅⋅−⋅=⋅=⋅= 0110;11001;01;02 iii

( ) ( ) C10;100;10 −=−=+−= Forma Binómica de los Números Complejos: Producto de un número real y otro complejo: Definiremos la función producto de un número real por un complejo: CCR →ו : : ( ) CR ∈=∀∈∀ yxz ;:λ : ( ) ( ) ( )yxyxzz ⋅⋅=⋅=⋅=• λλλλλ ;;; Se observa que si: ( ) C∈= baz ; es un número complejo: ( ) ( ) ( ) ( )bababa ;00;0;0; +=++= ( ) ( ) =⋅⋅+⋅⋅= 1;00;1 bbaa = [ Por la definición recién hecha ] ( ) ( ) ibaba C ⋅+⋅=⋅+⋅= 11;00;1 Es decir, hemos demostrado el siguiente: Teorema: ( ) ( ) ibabazbaz C ⋅+⋅==∈=∀ 1;:; C Tomemos el primer sumando de esta expresión: ( ) ( )0;0;11 aaa C =⋅=⋅

Y consideremos el conjunto: { } ( ){ }RRR ∈=∈⋅= aaaa CC ;0;;1 Es evidente que se puede definir entre este conjunto y R una biyección que incluso respetará las operaciones de suma y de producto ( será un " isomorfismo " ):

CRR →:ϕ : ( ) ( ) CC aaaa RR ∈=⋅=∈∀ 0;1:ϕ

o sea: Caa ≈ Por los tanto podemos identificar ambos conjuntos y sus correspondientes elementos. De acuerdo con el teorema entonces tendremos:

( ) ( ) ibaibabazbaz C +≈⋅+⋅==∈=∀ 1;:; C La expresión iba + se la conoce como “forma binómica de los números complejos”

Operaciones en la Forma Binómica: Con la salvedad de que la expresión: iba + nace de una identificación entre:

""a y: "1" Ca ⋅ y por lo tanto implica un “abuso de notación” se suele escribir como si fueran iguales:

( ) ibabaz +== ; Aunque la forma de pares ordenados es la correcta desde el punto de vista teórico, la forma binómico simplifica la operación con números complejos. Para eso debemos tomar en cuenta las siguientes identificaciones:

1111 −=−= CC Estrictamente debería ser:

1111 −≈−≈ CC . Con lo cual la expresión:

Ci 12 −= se escribirá:

12 −=i . (estrictamente: 12 −≈i ) El método para operar con complejos en la Forma Binómica se transforma en lo siguiente:

1) Operar como si se tratara de expresiones que involucran números reales y el símbolo i

2) Cada vez que en una operación aparezca 2i reemplazarlo por 1− Ejemplo: tomemos el ejemplo ya visto de ( ) ( )5;43;2 21 == zz . Ahora identifiquemos:

( ) ( ) iziz 545;4323;2 21 +==+== ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iiiiiizz 865365342543221 +=++=+++=+++=+

( ) ( ) =⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+=⋅ iiiiiizz 53435242543221

( ) ( ) iiiiii 22722158115121081512108 2 +−=+−=−⋅+++=+++= Que coincide con el resultado anterior. Daremos a continuación algunas definiciones de funciones: Valor Absoluto: definimos la función:

( ) CRC ∈=∀→ baz ;:: : ( ) =z Notación == z Definición+ += 22 ba

Con lo cual: ( ) + +=+== 22; baibabaz

Ejemplo: ( ) 52516943434;3 22 ==+=+=+= ++i

Parte Real:

( ) ( ) azbaz =∈=∀→ Re:;::Re CRC Parte Imaginaria:

( ) ( ) bzbaz =∈=∀→ Im:;::Im CRC Con lo cual:

( ) ( ) ( ) aibabaz =+== Re;ReRe ejemplo: ( ) 353Re =+ i

( ) ( ) ( ) bibabaz =+== Im;ImIm ejemplo: ( ) 553Im =+ i

( ) ( )+ += zzz 22 ImRe

Conjugado:

( ) =∈∀→ zz ::: CCC notación == z definición ( ) ( ) ( ) ( )( )zzziz Im;ReIm.Re −=−=

Corolario 1: 2

: zzzz =⋅∈∀ C

Corolario 2: { } zzz

zz C ⋅⋅

=−∈∀ − 1:0 1C

Corolario 3: zzz =∈∀ :C Demostraciones: son sencillas, se dejan al lector. Observación:

Resta y División de Complejos. División por un Real. Las tres definiciones son triviales:

( ) =−∈∀→×− 2121 ;:;:: zzzz CCCC notación =−= 21 zz definición ( )21 zz −+=

{ }( ) { }( ) ( ) =∈∀−∈∀→−× zz RR ;/::0:0:/ λλ CRCRC

= notación ==λz

definición z⋅=λ1

{ }( ) { }( ) ( ) =−∈∀∈∀→−× 2121 ;/:0::0:/ zzzz CCCC CCCCC

= notación ==2

1

z

zdefinición 1

21

−⋅= zz

Corolario 4:

⋅=⇒≠∈∀ −

zz

zzzz C

10:C

Corolario 5:

⋅

⋅=⇒≠∈∀∈∀

21

21

2

1221 0::

zz

zz

z

zzzz CCC

Observación:

Sea:

( ) ( ) ( ) =−⋅=⋅∈= babazzbaz ;;:; C

( ) ( )( ) ( ) =⋅+⋅−+=⋅+−⋅−⋅−= abbabaabbabba ;; 222

( ) R∈=+≈+= 22222 0; zbaba

Con lo cual:

( ) ( ) zzzbababazz ⋅≈=+=++=+=⋅ + 2222222 00;

Esta identificación: zzzz ⋅≈⋅ suele hacerse al trabajar en forma binómica.

Debido a la identificación zzzz ⋅≈⋅ al trabajar en forma binómica las expresiones de los

corolarios suelen escribirse así: zzz ⋅=2 ;

zz

zz

⋅=−1 ;

21

21

2

1

zz

zz

z

z

⋅⋅

=

que estrictamente constituyen abusos de notación. Las última de estas expresiones permite decir que para dividir complejos en la forma binómica se multiplica y divide por el conjugado del denominador. Ejemplo: División bajo la forma de pares ordenados: ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) =

−⋅−⋅

=⋅⋅

=4;34;3

4;37;2

4;34;3

4;37;2

4;3

7;2 ( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( ) =

++−+

=⋅+−⋅−⋅−⋅+−⋅−⋅−⋅

0;169

218;286

3443;443

3742;47322

( ) ( ) ( ) ( )

=⋅=⋅+

=⋅=+ 25

13;

25

3413;34

25

113;34

025

113;34

0;25

1

La misma división bajo la forma binómica:

( ) ( )( ) ( ) =

−⋅−⋅+⋅−⋅

=−⋅+−⋅+

=++

222

2

43

47374232

4343

4372

43

72

i

iii

ii

ii

i

i

( )( )

( )i

iiii

25

13

25

34

25

1334

169

218286

1169

1282186+=

+=

++−++

=−⋅−

−⋅−+−=

Argumento de un Número Complejo: Es una función:

( )

=⇒≠

=⇒=∈∀→

z

zarzz

z

zC

CC

Recosarg0

00arg0

:::arg CRC

Ejemplos:

=

+

=

+=

22

2

1

2

3

2

3

cos22

3arg

2

1;

2

3arg ar

i

º3062

3cos

1

2

3

cos

4

1

4

3

2

3

cos ==

=

=

+=

πararar

( ) ( ) 01cos1

1cos01cos1arg ==

=+= arariarC

( ) ( ) º902

0cos1

0cos

0cos10cosarg ===

=

=+=

πarar

iariari

Nota (*): en realidad la definición correcta de argumento tiene que se más detallada:

−−=⇒<∧≤

+=⇒<∧<

−−=⇒≤∧<

=⇒≤∧≤

⇒≠

=⇒=

∈∀→

z

zarzzz

z

zarzzz

z

zarzzz

z

zarzzz

z

z

zC

CC

Recos2arg0ImRe0

Recosarg0Im0Re

RecosargIm00Re

RecosargIm0Re0

0

00arg0

:::arg

π

π

πCRC

Es decir, se considera “en que cuadrante” está z

Forma Polar de los Números Complejos: Obsérvese que la función: ( ) ( ) 22 arg;::: RC ∈=∈∀→ zzzzRC ψψ

es una biyección: (demostrarlo) Esto nos permite identificar: ( ) 2arg;: RC ∈≈∈∀ zzzz

Supongamos que llamamos:

RR ∈=∈= zz arg; αρ entonces: ( ) 2; R∈≈ αρz

A la expresión ( )αρ ; se le suele llamar forma polar de los números complejos.

C∈z es estrictamente un par ordenado: ( ) C∈= ZZz Im;Re . Pero es un par ordenado en el contexto de una estructura formada junto con la suma y el producto de complejos: ( )⋅+= ;;2RC En cambio ( ) R∈αρ ;

es también un par ordenado que por el momento lo consideramos perteneciente a 2R

sin que en 2R hayamos definido una estructura de operaciones (luego veremos como puede ser definida). Esto hace que sea peligroso abusar de las identificaciones porque se daría el caso que:

( ) == 1;1z identificación

=4

;2π

y anteriormente:

( ) == 1;1z identificación i+= 1 Esto nos llevaría a tener abusos de lenguajes tales como:

( )

==+4

;21;11π

i .

Mientras que la identificación: ( ) iz +== 11;1 era inocua. La identificación:

( )

==4

;21;1π

z no lo es pues la “igualdad” entre los pares ordenados es

manifiestamente falsa y se presta a confusiones. Por tal motivo utilizaremos la siguiente notación:

( ) ( ) ( ) ==== αραρψ ;arg; zzz también 2

argR∈=

Zz

A las forma:

Zz

arg=αρ

la llamaremos forma polar de los números complejos. Volveremos sobre ella.

Forma Trigonométrica: Deducciones Previas. De la definición de argumento se pueden extraer los dos corolarios siguientes:

Corolario 6:

=⇒≠∈∀

z

zarsenzzz C

Imarg0:C

Nota (*): se deben hacer aclaraciones similares a la definición tomando en cuenta el cuadrante de Z.

Corolario 7:

=⇒≠∈∀z

zartgzzz C

Re

Imarg0Re:C

Nota: nuevamente se debe aclarar el cuadrante.

También se arriba a las siguientes fórmulas, en ellas tomamos:

==

zzargα

ρ )

Corolario 8: (a; b; c): Se toma también: za Re= zb Im=

ρ

α a=cos

ρα b

sen = a

btg =α

( Rigen las aclaraciones: (*)) Corolario 9: (a;b;c) αρ cos=a ; αρ senb = ; αtgab = Escritas las dos primeras de otra forma:

( )zsenzz argIm =

( )zzzz argcosRe =

Obsérvese que en este corolario (partes a y b) no hace falta aclarar: Cz 0≠ como

condición, pues aún se verifican cuando Cz 0= Demostración: sea C∈z

⇒= Cz 0 se verifica: 00Re == Ca ; 00Im == Cb

00 === Czρ 00arg == Cα de donde:

αρ cos0cos0100 =⋅=⋅==a αρ sensenb =⋅=⋅== 00000

En cambio si: Cz 0≠ : de la definición de argumento ( por ser 00 ≠⇒= ρCz )

⇒==ρ

α aarz cosarg (corolario 8) αρ

ρα coscos =⇒=⇒ a

a

Por un procedimiento análogo y tomando en cuenta el corolario 6 y su correspondiente (8b):

αρρ

αρ

α senbb

senb

arsenZ =⇒=⇒== arg

Forma Trigonométrica de los Números Complejos: Visto lo anterior y partiendo de la forma binómica de un número complejo tenemos:

( ) =+=+= isenibaz αραρ cos por costumbre se escribe = ( )ααραραρ seniseni +=+= coscos

Entonces se tiene que:

( )ααρ seniibaz +=+= cos Esta última recibe el nombre de Forma Trigonométrica de los Números Complejos Haciendo un compendio:

( ) ( ) αρααρ =+=+≈= seniibabaz cos;

donde: + +== 22 bazρ ; zarg=α

Obsérvese que mientras anteriormente habíamos considerado ( ) αρ≈ba ; Ahora: ( )ααραρ seni+= cos nos permite manejar a la forma polar αρ como una “abreviatura” de la forma trigonométrica (Estrictamente ambas se “identifican” y debería) escribirse usando ≈ en lugar de = Ejemplo:

6

166

cos122

3

2

1;

2

3π

ππ=

+⋅=+≈

= seni

iz

También sería correcto:

º301º30º30cos2

3

2

1;

2

3=+=

+≈

= seni

iz

Potencias y Raíces de Números Complejos: Definimos: Potencia Natural de un Número Complejo:

( ) ( ) ( )[ ]znzpnzpNnzpzp C .;1;:10;::: =+∈∀∧=∈∀→× CCNC Notación: ( ) nznzpnz =∈∀∈∀ ;:: NC

Con lo cual se podría esquematizar la definición de potencia así:

⋅=

=+ zzz

z

nn

C

1

0 1

Que es una definición “por recurrencia”, esto es, se realiza utilizando inducción completa. Intuitivamente: 43421

vecesn

n zzzz ........⋅⋅=

Definimos: Raíz Natural de un Número Complejo:

( )[ ]zwwnznz n =⇔=∈∀∈∀→× ;:::: NCCNC

Notación: ( ) n znznz =∈∀∈∀ ;:: NC Con lo cual se esquematiza la definición así: zwwz nn =⇔= Por costumbre: 2 zz =

Observación Importante: no es una función.

Ejemplo 1: ( ) ( ) ( ) iiiiiiiii 221211111 022 =+=−+=+++=+⋅+=+

A su vez: ii += 12

A su vez: ( ) ( ) ( ) iiiiiiii 220111 221 =+=+++=−−⋅−−=−−

Con lo cual: ii −−= 12 como se ve, no es una función dado que hay dos elementos posibles que verifican la definición. Ejemplo 2:

Ci 10 = o, más simple: 1

0 =i

iiiii =⋅=⋅= 101

12 −=⋅= iii ( vista anteriormente ) ; ( ) ( ) ( ) 1

22 −==−⋅−=− iiii

iiiii −=⋅−=⋅= 123

( ) 111234 =−⋅−=−=⋅−=⋅= iiiiii

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−⋅−⋅−⋅−=−⋅−⋅−=−⋅−=− iiiiiiiiii234

1432 ==⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅= iiiiiiiiii ; 14

1 = ; ( ) 14

1 =− Con lo anterior: i=− 1 pero también: i−=− 1 Estrictamente: iC =− 1 iC −=− 1

También: ii =−3

i=4 1 i−=4 1 14 1 = 14 1 −=

Esquemáticamente: 11 = 11 −=

−=±=

1

111

−

−=

i

i

1

1

14

Verificar que:

−−

+−=

2

31

2

31

1

13

i

i

Representar las raíces: 1 1− 4 1 4 1− Nota: Se demuestra que las operaciones de potencias y raíces naturales de complejos tienen

propiedades semejantes a las de los reales pero sin la restricción de radicandos ≥ 0

OPERACIONES BAJO LAS FORMAS POLAR Y TRIGONOMÉTRICAS: Recordemos de trigonometría:

( ) βαβαβα sensen .coscoscos −=+ ( ) βαβαβα coscos sensensen +=+

De donde:

( ) ααα 22cos2cos sen−=

( ) ααα sensen .cos22 = Productos en forma polar y trigonométrica: Sea: ( )111 cos

111ααρρ α seniz +==

( )2222 cos22

ααρρ α seniz +==

( )[ ] ( )[ ] =+⋅+=⋅ 22211121 coscos ααρααρ senisenizz

= [ operamos en la forma simplificada propia de la forma binómica ] =

( ) ( ) ( )[ ] =+++⋅⋅= isensensenseni 122121

2

2121 coscoscoscos ααααααααρρ

( ) ( ) ( )[ ] =++−⋅⋅= 1221212121 coscoscoscos ααααααααρρ sensenisensen

= [ por las fórmulas anteriormente vistas ] =

( ) ( ) ( )[ ]⇒+++⋅⋅= 212121 cos ααααρρ seni

( ) ( ) ( )[ ]21212121 cos ααααρρ +++⋅⋅=⋅⇒ senizz

En forma polar: ( ) ( ) ( )

212211 2121 αααα ρρρρ +⋅=⋅=⋅ zz

Demostrar que:

( )( ) ( ) ( )[ ]2121

2

1

222

211

2

1 coscos

cosαααα

ρρ

ααρααρ

−+−⋅

=

++

= seniseni

seni

z

z

En la forma polar:

2122

11

2

1

2

1

ααα

α

ρρ

ρ

ρ

−

==

z

z

Tomando: 21 zzz == o sea:

====

21

21

αααρρρ

Se tiene: ( )[ ] [ ]ααρααρ 22coscos 222 seniseniz +=+=

( ) 2

2

22

αα ρρ ==z

En general se puede demostrar que:

( )[ ] [ ]ααρααρ nseninseniz nnn +=+= coscos Conocida como Fórmula de De Moivre ( pronunciación aproximada: " De Muá " ). En forma polar:

( ) ( ) αα ρρ n

nnnz ==

La demostración rigurosa requiere inducción completa como veremos luego. En realidad las formas vistas anteriormente adolecen de un defecto formal tanto para productos como para potencias de números complejos escritos en la forma polar o trigonométrica. El problema es que tal como fue definido el argumento de un número complejo el mismo debe ser un α tal que πα 20 <≤ . Esto se soluciona apelando a la noción de “módulo”. La noción de módulo se corresponde con la noción de “resto” de una división. Sea 0>∧∈∧∈ δδα RR Definimos la función “módulo δ ” de la siguiente manera: Sea: { }0; >∈=+ δδ RR

::::mod ++ ∈∀∈∀→× RRRRR δα ( ) =δα;mod Notación ⇔== βδα mod βωδαωδββ +⋅=∈∃∧<≤∧∈⇔ :0 RR

Esquemáticamente: Dividendo α δ divisor _______ Resto-Módulo 0 ≤ β ≤ δ ω cociente Ejemplo: 7−=α 03 >=δ

β==− 23mod7 dado que: :3 R∈−=∃ ω ( ) 729233 −=+−=+−⋅

αβωδ =+⋅

Demostración de fórmula de De Moivre: Por inducción completa: 1°) n = 0:

( )[ ] ( ) =⋅+⋅==+= 0111cos00 iseniz ααρ

( ) ( ) ( )[ ]πα⋅+πα⋅⋅ρ=+⋅= 2020001 0 modsenimodcossenicos

en forma polar se diría: ( ) ( ) 120000 =ρ=ρ= πα⋅α modz

2°) a) n = k: Sin demostración se admite como válida:

( )[ ] [ ])modk(seni)modk(cossenicosz kkk πα+παρ=α+αρ= 22 (Hipótesis Inductiva ) b) n = k+1: ( debemos demostrarla ):

( )[ ] ( ) =α+αρα+αρ==+ senicossenicosz.zz kkk 1 [ por hipótesis inductiva ] =

[ ] ( ) =α+αρπα+παρ= senicos.)modk(seni)modk(cosk 22 [ por fórmula del producto en forma

trigonométrica ya vista ] [ ]=α+πα+α+παρρ= )modk(seni)modk(cosk 22 [ por propiedades

números reales ] [ ])mod)k((seni)mod)k((cosk πα++πα+ρ= + 21211

Resumiendo: [ ])mod)k((seni)mod)k((cosz kk πα++πα+ρ= ++ 212111 que es la tesis inductiva. Por lo tanto por inducción completa se cumple para cualquier n Raiz en forma polar y trigonométrica:

( )

++

+=+=

n

kseni

n

kseniz nnn παπαρααρ 22

coscos ; nkNk <≤∧∈ 0

( )n

knnn Z παα ρρ 2+== ; nkNk <≤∧∈ 0

Nota: se debe tener en cuenta que n ρ es una “raíz real” que siempre puede ser

calculada dado que 0≥= zρ

Estrictamente se debería escribir:

c

n z ; c

n es la relación raíz compleja que hemos definido en páginas anteriores

R

n ρ ; R

n es la raíz definida para los números reales.

FORMA EXPONENCIAL DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: Además de las cuatro formas ya vistas:

� Pares Ordenados (la de la definición): ( )baz ;= � Forma Binómica: ibaz += � Forma Polar: αρ=z

� Forma Trigonométrica: ( )ααρ seniz += cos Se puede agregar una quinta forma de expresar los números complejos. Para ello previamente daremos una definición: Potencia Imaginaria Pura del Número: e Definimos: ααα senie i += cos Tomando la forma trigonométrica: ( )ααρ seniz += cos .

Con un simple reemplazo es inmediato que αρ iez ⋅= , la cual es conocida como forma exponencial de los números complejos. De tal manera y considerando: z=ρ ; zarg=α

Se tiene que las cinco formas en las que se puede expresar un número complejo son:

( ){

oredenadosparesdeforma

baz ;=321

binómicaforma

bia +={

polarforma

αρ= ( )444 3444 21

ricatrigonométforma

seni ααρ += cos43421

lexponenciaforma

ie αρ ⋅=

La introducción de la forma exponencial lleva a la notable:

“ FORMULA DE EULER ” : 01 =+ πie que relaciona los cinco números más conocidos de la matemática. Demostración de la Fórmula de Euler ( se lee: “ oiler ” ):

( ) ( ) 011011cos11 =−=⋅+−+=++=+ isenie i πππ Potencias Complejas de e: En base a la definición de potencia imaginaria pura de e es simple definir:

Siendo :biaz += biabiaz eeee ⋅== +

Potencias Complejas de un Número Real: Sea un número real ρρ <∧∈ 0R . Sea ρln=x que sabemos que existe por ser ρ<0 .

Pero entonces xe=ρ por definición de logaritmo natural.

Reemplazando la segunda expresión en la primera queda: xex ln= .

A su vez reemplazando la primera expresión en la segunda: ρρ lne= . Mientras que de estas dos ultimas formulas la primera la admitimos sin problemas en cambio la última se nos presenta como una expresión extraña. Pero en realidad es totalmente razonable debido a que las funciones exponencial y logarítmica son una la inversa de la otra.

Siendo xexf == )(ρ

la última fórmula recuadrada es del tipo: ( )( )ρρ 1−= ff y la otra: ( )( )xffx 1−= . La última expresión recuadrada anterior nos da una idea para definir la que será la expresión mayor a la que se puede aspirar de operaciones algebraicas con números complejos: Potencias complejas de un número complejo: previamente definimos lo antes anunciado:

( )( ) ( )444444444 3444444444 21

realnúmeroundecomplejaPotencia

ibabiabiaz ee ρρρρρ lnlnln +++ ===

Potencias Complejas de un Número Complejo: Sea: ibaz 111 += con: 1111 arg zz =∧= αρ

ibaz 222 += con: 2222 arg zz =∧= αρ

Se tiene entonces que expresando 1z en la forma exponencial: 1

11

αρ iez ⋅= con lo cual podemos razonar así para llegar a la definición buscada (el desarrollo es sólo ilustrativo porque usamos supuestas propiedades aún no demostradas):

( ) ( ) ibaiibaibaiZeez

2212222

12

111

+++=⋅= αα ρρ

= [ teniendo en cuenta la expresión de la página anterior ] =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ===++ ibiaiibaibaiiba

eeeeee2

12

12

12

122

122

1 lnlnln ααρραρ

( ) ==2

12121212 lnln ibiaibaeeee

ααρρ ( ) =− 12121212 lnln ααρρ biaibaeeee

( ) ( ) ibabaee 12121212 lnln ρααρ +−=

Definimos entonces:

( ) ( ) ( ) ibaabibaabeeez

z 1212121212121212 lnlnlnln21

ραραραρα ++−+++− ==

Siendo 11 z=ρ ; 11 arg z=α ; ibaz 222 +=

Esta definición utiliza expresiones que a su vez son conocidas: la primer potencia es una potencia real del número e y la segunda una potencia imaginaria pura del número e . Es interesante encontrar para la definición una expresión en términos de pares ordenados o de la forma binómica (salvando el problema que plantea el argumento 1α de 1z ) Sean dos números complejos:

ibaz 111 += ; ibaz 222 +=

11 z=ρ ; 11 arg z=α ; 22 z=ρ ; 22 arg z=α .

( )ibab

ba

aarabaa

ba

aarb

ibaz eeibaz

++

+++

+−

+

++

++

=+=

21

212

21

21

12

21

212

21

21

12

222

lncoslncos*

111

La fórmula anterior da la forma exponencial de 21zz

para dos números complejos escritos en forma binómica.

( )

+++

+

+

+++

⋅=

=+=

++

++

+++

−

+

++

21

212

21

21

12

21

212

21

21

12lncos

*

111

lncos

lncoscos21

212

21

21

12

222

bab

ba

aaraseni

bab

ba

aara

e

ibaz

baa

ba

aarb

ibaz

Da la forma trigonométrica de 21zz

para dos números complejos escritos en forma binómica.

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]1221212212ln

*

*cos

1111

lnln

cos

coscososcos

c12212

2222

ραααρραααρ

ααρ

ραααρ

ααρ

sensensensen

ie

seniz seniz

+−++−⋅=

=+=

+−

+

Da la forma trigonométrica de 21zz para dos números complejos escritos también en forma

trigonométrica. Nota: la aclaración (*) que figura sobre los signos = significa que al calcular los argumentos de 1z y 2z dichos ángulos deben corresponder a los mismos cuadrantes que sus correspondientes números complejos. O sea 1α debe ser del mismo cuadrante que 1z y 2α del mismo cuadrante que 2z . Pero agregaremos al (*) otras precauciones: al calcular ( )( )12212 lncos ραααρ sen+− se debe reducir el argumento resultante a uno π2< .

O sea: se debe tomar: ( )( )[ ]πραααρ 2modlncos 12212 sen+− .

Como 21zz comprende como caso particular nn zz =

1

el (*) nos indica también que puede haber soluciones múltiples como en el caso del

argumento n

πα 2+ de la fórmula de las raíces.

El estudio detallado de estas cuestiones excede el propósito de este apunte. Quedan estas fórmulas como simple curiosidad.

Alberto Serritella, 2010.

aserritella@unnoba.edu.ar Para Mensajes: alberto_serritella@yahoo.com.ar

Junín - 25-julio-2010.∼