1 b - matematica i - algebra i

7/29/2019 1 B - Matematica I - Algebra I

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Algebra I Mdulo 1 - Ecuaciones e inecuaciones lineales

UNIDAD 1: ECUACIONES

TEMA 1.1. Ecuaciones: definicin, clasificacin, solucin.TEMA 1.2. Ecuacin lineal con dos incgnitas, representacin grfica de las solucio-nes.TEMA 1.3. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas. Definicin, solucingrfica. Clasificacin.TEMA 1.4. Mtodos de resolucin convencionales.TEMA 1.5. Sistemas de ecuaciones lineales con tres incgnitas.TEMA 1.6. Aplicaciones prcticas.

UNIDAD 7: INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL

TEMA 7.1. Inecuaciones con una incgnita: definicin, solucin grfica.TEMA 7.2. Inecuaciones con dos incgnitas: definicin, solucin grfica.TEMA 7.3. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incgnitas. Resolucin grfica.TEMA 7.4. Optimizacin lineal. Caractersticas del problema de Programacin Lineal.Mtodo grfico.TEMA 7.5. Aplicaciones.

Algebra I Mdulo 2 - Matrices y Vectores

UNIDAD 2: MATRICES

TEMA 2.1. Matrices: Definicin, matrices especiales.TEMA 2.2. La matriz como representacin de un problema econmicoTEMA 2.3. Operaciones con matrices y sus propiedades.TEMA 2.4. Vectores. Definicin. Operaciones con vectores.TEMA 2.5. Dependencia e independencia lineal de vectores.


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UNIDAD 1: ECUACIONES

TEMA 1.1. Ecuaciones: definicin, clasificacin, solucin.

Ecuaciones: son igualdades entre expresiones algebraicas que se verifican para ciertos va-lores de las letras, a las cuales se denominan incgnitas.

Races o soluciones: son los valores que satisfacen la ecuacin.

Ecuacin lineal con una incgnita: es una ecuacin dnde la incgnita est elevada a lapotencia 1 y, en general, puede escribirse: a.x+b=0, donde a y b son constantes y a es distin-ta de cero.

Resolver una ecuacin: es el proceso de encontrar las races.

Ecuaciones equivalentes: son dos ecuaciones con las mismas incgnitas, si y slo si tie-nen las mismas soluciones.

Operaciones algebraicas para pasar ecuaciones equivalentes:

Sumar algebraicamente a ambos miembros de la igualdad la misma expresin.Multiplicar ambos miembros de la igualdad por un factor no nulo.

Por ej. 30x+500=8000 entonces 30x+500-500=8000-500 entonces 30x=7500

Por ej. 30x=7500 entonces 30x.1/30=7500.1/30 entonces x=250

TEMA 1.2. Ecuacin lineal con dos incgnitas, representacin grfica delas soluciones.

Ecuacin lineal con dos incgnitas: es una ecuacin dnde las incgnitas estn elevadasa la potencia 1 y, en general, puede escribirse: a.x+b.y=c, donde a,b y c son los parmetrosde la ecuacin y a y b son distintos de cero.

Solucin particular: es cada solucin, pares (x,y); por ejemplo: para x=m entonces y=n,para x=m1 entonces y=n1.

Solucin general: es la que se obtiene de despejar x o y, por ejemplo x=(c-b.y)/a cualquie-ra sea y.

Visualizacin del conjunto solucin: por ejemplo para y=20-2.x


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TEMA 1.3. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas. Definicin,solucin grfica. Clasificacin.

Sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas: tiene la estructura

Donde a, b, c, d, f, g son constantes.

Un sistema de ecuaciones lineales puede ser:

Compatible determinado: cuando tenga una nica solucin.

Por ejemplo, El par (x,y)=(2,3) es la solucin del sistema.

Compatible indeterminado: cuando tenga mltiples soluciones.

Por ejemplo, El par (x,y)= (x, 1/2x+2)

Para todo x que pertenece a Reales

Incompatible: cuando el sistema no posea solucin.

Identidad: es una igualdad entre dos expresiones que es cierta sean cuales sean los valo-res de las distintas variables empleadas.
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TEMA 1.4. Mtodos de resolucin convencionales.

Mtodo por sustitucin: consiste en despejar de cualquiera de las ecuaciones, una de lasincgnitas. Y sustituirla en otra ecuacin por su valor.

Mtodo por igualacin: se puede entender como un caso particular de sustitucin. Se des-peja la misma incgnita de las los ecuaciones y luego se igualan las partes derechas de am-bas ecuaciones.

Mtodo por Reduccin: consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente,mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma in-cgnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuacin, se suman ambasecuaciones producindose as la reduccin o cancelacin de dicha incgnita, obteniendo asuna ecuacin con una sola incgnita, donde el mtodo de resolucin es simple.

TEMA 1.5. Sistemas de ecuaciones lineales con tres incgnitas.

Conjunto solucin: si existe, debe estar formado por ternas ordenadas.

Por ejemplo: (x, y, z) = (1, 2, 3).

Resolucin: la resolucin bsica consiste en pasar de un sistema de tres ecuaciones a unode dos; y luego, resolver como en el punto anterior.


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UNIDAD 7: INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL

TEMA 7.1. Inecuaciones con una incgnita: definicin, solucin grfica.

Inecuacin: es una desigualdad entre expresiones algebraicas que se verifica para algunosvalores de sus tres letras, a las que denominamos incgnitas.

Solucin de la inecuacin: conjunto de valores de las incgnitas que verifican la desigual-dad.

Propiedades de las desigualdades:

1. Si a ambos miembros de una desigualdad se agrega la misma desigualdad, el sentido dela desigualdad no cambia. Por ej. x < y entonces x+2 < y+2; x > y entonces x-3 > y-3.

2. Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad positiva, elsentido de la desigualdad no cambia. Por ej. x > y entonces 3.x > 3.y.

3. Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad negativa, elsentido de la desigualdad se invierte. Por ej. x > y entonces -2.x < -2.y.

Solucin Grfica: Para los ejemplos.

x < 8

x 1 S={x/x E R ^ x 1} o S=[-, 1]

Parntesis: indica que el valor sealado NO est incluido.

Corchete: indica que el valor sealado SI est incluido.

TEMA 7.2. Inecuaciones con dos incgnitas: definicin, solucin grfica.

Estructuras:

ax+by+c 0 ax+by+c < 0

ax+by+c 0 ax+by+c > 0

Conjunto solucin: Ser un semiplano. Puede ser representado como pares (x, y) en unsistema de ejes cartesianos.

Resolucin grfica: para el ejemplo 4x-2y 6

x (6-2y)/4

y (6-4y)/-2

Entonces

Si x=0 --- y=-3Si y=0 --- x=3/2


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TEMA 7.3. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incgnitas. Resolu-cin grfica.

Sistema de inecuaciones con 2 incgnitas: es un conjunto de inecuaciones con 2 incgi-tas.

Solucin de un sistema de inecuaciones: ser aquella regin del plano que satisfaga

simultneamente todas las inecuaciones.Solucin grfica: Para el ejemplo

TEMA 7.4. Optimizacin lineal. Caractersticas del problema de Programa-

cin Lineal. Mtodo grfico.

Modelo de Optimizacin Matemtica:consiste en una funcin objetivo y un conjunto derestricciones en la forma de un sistema de ecuaciones o inecuaciones. Los modelos de opti-mizacin son usados en casi todas las reas de toma de decisiones, como en ingeniera dediseo y seleccin de carteas financieras de inversin. Profesor Hossein Arsham.

Elementos que formulan un problema:

1. La funcin objetivo:es una funcin de tipo lineal. Son variables de decisin.2. El objetivo:es la maximizacin o minimizacin de la funcin objetivo. Es la meta.

3. Restricciones:son ecuaciones y/o inecuaciones lineales. Son limitaciones externas.Estructura:

Resolucin Grfica: consiste en graficar la zona factible. Asignamos valores a los vrtices

y encontramos el punto ptimo de maximizacin o minimizacin.


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UNIDAD 2: MATRICES

TEMA 2.1. Matrices: Definicin, matrices especiales.

Matrices: Una matriz de orden m x n es un arreglo rectangular de nmeros reales dispues-tos en m filas y n columnas, los cuales son encerrados entre corchetes. En general se deno-

tan con letras maysculas del abecedario.Por ej. Sera una matriz de orden 2x3

Estructura general:

Otra notacin es A = [aij]mxn

Denotacin de elementos: cada elemento de la matriz se denota de manera genrica aij.

Dnde i es la fila; yj la columna donde est ubicado.

Por ej. en la primera matriz a13=5

Matrices Especiales:

Cuadrada o de orden n: cuando la cantidad de filas es igual al nmero de columnas. Loselementos que estn en los lugares a11, a22, a33, ann constituyen la diagonal principal de lamatriz. Es decir aquellos elementos aij dnde i=j

Matriz nula: es aquella matriz de cualquier orden cuyos elementos son todos iguales a cero.Se suele denotar:


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Matriz triangular superior: es aquella matriz cuadrada donde los elementos que estn de-bajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior: es aquella matriz cuadrada donde los elementos que estn en-cima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal: es aquella matriz cuadrada donde los elementos que no estn en la dia-gonal principal son ceros.

Matriz escalar: es aquella matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal soniguales entre s.

Matriz identidad: es aquella matriz diagonal donde los elementos que estn en la diagonalprincipal son todos iguales a 1. Se denota con la letra I


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TEMA 2.3. Operaciones con matrices y sus propiedades.

Suma Matricial: Dadas dos matrices del mismo orden, la matriz suma ser otra matriz delmismo orden que las dadas cuyos elementos surgen de la suma de los respectivos elementosde las matrices dadas.

A B A+B C

A B C

Propiedades de la suma matricial:

1. Asociativa: (A+B)+C=A+(B+C)2. Conmutativa: A+B=B+A3. Elemento neutro: A+ =A4. Elemento simtrico u opuesto: A+ (-A)=

Producto entre un escalar y una matriz: El producto de un escalar por una matriz, es otramatriz del mismo orden que la dada cuyos coeficientes surgen del producto del escalar por losrespectivos elementos de la matriz.

= 2 0 A= 1 8 -3

0 2 4 -2 6

Propiedades del producto entre un escalar y una matriz:

1. Asociativa para el producto de escalares: ().A=(A)2. Distributiva con respecto a la suma de matrices: (A+B)=A+B3. Distributiva con respecto a la suma de escalares: (+)A= A+A

4. Escalar 1 es el neutro: 1.A=A

Producto matricial: Dadas dos matrices Amp y Bpn, la matriz producto ser una matriz Cmn, talque cada elemento cij de C se obtiene como la suma de los productos de los coeficientes dela fila i de A por los respectivos coeficientes de la columna j de B.

En smbolos A.B=C donde

a11 a12 a13 b11 b12 b13 c11=a11.b11+a12.b21+a13.b31 c12 c13

a21 a22 a23 x b21 b22 b23 = c21=a21.b11+a22.b21+a23.b31 c22 c23

b31 b32 b33


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Se deduce que:

1. Para que dos matrices se puedan multiplicar, el nmero de columnas de la primeramatriz debe ser igual al nmero de filas de la segunda (Se desprende de dadasdos matrices Amp y Bpn, donde p tiene el mismo valor en A y en B)

2. La matriz resultante tendr tantas filas como la primera y tantas columnas como lasegunda (es decir que el producto de Amp y Bpn, resultar Cmn)

Por ejemplo:

Entonces A23 y B32, el n de A es = al m de B se puede multiplicar.

La matriz resultante ser C22 Comprobemos.

c11= (-1.4+3.1+2.-1) c12= (-1.3+3.1+2.0) c11=-3 c12=0c21= (0.4+1.1+-2.-1) c22= (0.3+1.1+-2.0) c21= 3 c22=1

Propiedades del producto matricial:

Asociativa: (A.B).C=A.(B.C)

Distributiva con respecto a la suma de matrices: A.(B+C)=A.B+A.C

Elemento absorbente : A. =

Observacin del elemento : Si A.B= no necesariamente A o B=

No conmutativa: A.B B.A

No transitiva: Si A.B=A.C no significa A=C

La matriz Identidad adecuada (a izq o derecha) es neutra: A izquierda deber ser Imp.Apn

A derecha deber ser Amp.Ipn

Matriz transpuesta: Dada una matriz A de orden mxn, su transpuesta es una matriz de ordennxm. Se denota A y se obtiene ubicando las respectivas filas de A como columnas de A.

Formalmente: el elemento aij de A ser el elemento a ji de A.

Ejemplo:

Propiedades de la transpuesta:

1. (A)=A2. (A+B)=A+B3. (.A)= .A

4. (A.B)=B.A


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TEMA 2.4. Vectores. Definicin. Operaciones con vectores.

Vectores:un vector de orden n, es un conjunto de n elementos ordenados de nmerosreales los cuales se encierran entre parntesis o corchetes.

Puede considerarse como tipos de matriz.

Estructura:

Vector fila: es una matriz de orden 1xn Vector columna: es una matriz de orden mx1

Vectores especiales

Vector unitario: Son aquellos con una componente = 1 y el resto =0.

Vector cero: Son aquello en los que todos los componentes son = 0.

TEMA 2.5. Dependencia e independencia lineal de vectores.

Combinacin lineal de vectores: es una suma de productos escalares por vectores.

Diremos que el vector V es combinacin lineal de los vectores V1, V2, V3, , Vi, , Vk si

existen escalares 1, 2, 3, , i, , k tales que:V= 1V1+ 2V2+ 3V3+ ..+iVi+ .. + kVk

Por ejemplo:

Dados: V1=[2,-3,5]; V2=[0,1,-2]; V3=[4,2,1]

Donde V=3V1-2V2+V3

Entonces V= 3(2,-3,5) 2(0,1,-2) + (4,2,1)

V= (6,-9,15) (0,-2,4) + (4,2,1)

V= (10, -9, 20) siendo este una combinacin lineal de los Vectores V1, V2 y V3.

Independencia y dependencia lineal de vectores

Conjunto de vectores linealmente independiente (L.I.): ser tal si la nica forma de ex-presar al vector nulo como combinacin lineal de los vectores dados es con todos los escala-res iguales a cero.

En smbolos, cuando el conjunto de vectores {V1, V2, V3, Vi, , Vk} cumple:


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Ejemplo 1:

Para V1= y V2=

Entonces: 1. +

2. =

Que es lo mismo que decir (por propiedad asociativa del escalar):

Es decir que nos quedan dos ecuaciones:

21-2=0 o 21=2

31+22=0

Remplazamos uno de los trminos

31+2(21)=0

31+4

1=0

71=0

1=0

Significa que los escalares 1 y2 slo pueden asumir valor 0 para llevar al vector nu-lo como combinacin lineal. Es decir que es un vector linealmente independiente.

Ejemplo 2.

Para V1= (3,2,-1) y V2= (-1,1,0) y V3= (1,4,1)Entonces 1 (3,2,-1) + 2 (-1,1,0) + 3 (1,4,1)

1 3 + 2 -1+ 3 1 = 0 o 31-2+3= 0

1 2 + 2 1+ 3 4 = 0 o 21-2+43= 0

1 -1 + 2 0+ 3 1 = 0 o -1+3= 0

Resolviendo como ecuaciones nos da:

3ra) 1=3 1ra) 31-2+1= 0 o 41=2 2da)21-41+41= 0 o 1= 0

Entonces si 1=3; 3=0 y si 41=2 entonces 2=0 El vector es linealmente independiente.


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Conjunto de vectores linealmente dependiente (L.D.): ser tal si se puede expresar alvector nulo como combinacin lineal de los vectores dados es con al menos un escalar distin-to de cero.

En smbolos, cuando el conjunto de vectores {V1, V2, V3, Vi, , Vk} cumple:

Ejemplo 1:

Para V1= y V2=

Entonces: 1. + 2. =

Que es lo mismo que decir (por propiedad asociativa del escalar):

Es decir que nos quedan dos ecuaciones:

21-2=0 o 21=2

-41+22=0

Remplazamos uno de los trminos

-41+2(21)=0

-41+41=0

0=0

Significa que los escalares 1 y 2 pueden asumir infinitas soluciones para llevar alvector nulo como combinacin lineal. Es decir que es un vector linealmente dependien-te.

Ejemplo 2.

Para V1= (1, 0, -3) y V2= (2, 1, -3) y V3= (4, 3, -3)

Entonces 1 (1, 0, -3) + 2 (2, 1, -3) + 3 (4, 3, -3)

1 1 + 2 2+ 3 4 = 0 o 1+22+43= 0

1 0 + 2 1+ 3 3 = 0 o 2+33= 0

1 -3 + 2 -3+ 3 -3 = 0 o -31-32-33= 0

Resolviendo como ecuaciones nos da:

2da) 2=-33 1ra) 1+2(-33)+43= 0 o 1=-23

3ra)-3(-23)-3(-33)+33=0 o 63-93+33= 0 o 0=0El vector es linealmente dependiente.


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Teoremas de dependencia linear:

1. Dos o ms vectores son linealmente independientes si y slo si, uno de ellos sepuede expresar como combinacin lineal de los otros.

2. Todo conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente, es linealmen-te dependiente.

3. Todo subconjunto de un conjunto linealmente independiente, es linealmente inde-pendiente.

4. El vector nulo es linealmente dependiente. Por lo tanto todo conjunto que contengael vector nulo es linealmente dependiente.

5. Un conjunto de con ms de n vectores de n componentes es linealmente depen-diente.

6. Un nico vector distinto del nulo es linealmente independiente.7. Si en un conjunto de vectores (donde el nulo no est incluido) es tal que cada uno

de ellos tiene ms ceros que el anterior el conjunto es linealmente independiente.

TEMA 2.6. Otros. Fuera de programa pero en SAM. Integracin de concep-tos de ecuaciones lineales y matrices.

Formas de representacin de un sistema de ecuaciones:

Un sistema de mecuaciones lineales yn incgnitas puede ser expresado en forma gene-ral con la ESTRUCTURA:

Donde:

xj, representa la incgnita j para j= 1, 2, 3, , n

aij, indica el coeficiente en la ecuacin i que acompaa a la incgnita xj, para i= 1, 2, , m

para j= 1, 2, , n

bj, indica el trmino independiente de la i-sima ecuacin.

Ejemplo:

2.x1+(-1).x2 + 3.x3 = 3

1.x1+ 0.x2 +(-1).x3 = -2

1.x1+ 1.x2 + 1.x3 = 6

Dnde:

x1 es = x x2 es = y x3 es = z incgnitas y

a11 es = 2 a22 es = 0 a33 es = 1 coeficientesy

b1 es = 3 b2 es = -2 b3 es = 6 trminos independientes.

Dado un sistema de ecuaciones lineales, es posible representarlo en forma matricial ovectorial.


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Forma matricial de un sistema:

Estructura general:

Notacin:A.X=B. Dnde A es la matriz de coeficientes del sistema, X es el vector de in-cgnitas y B es el vector de trminos independientes.

Ejemplo:

2 -1 3 x 3

1 0 -1 . y = -2

1 1 1 z 6

Forma vectorial de un sistema

Estructura general:

As representamos un sistema de ecuaciones como una combinacin lineal de vecto-res. Es decir como la suma del producto de escalares (x, y, z) por vectores [(a11, a21, a31),(), (a13, a23, a33)

Ejemplo:

2 -1 3 3

X 1 + y 0 + z -1 = -2

1 1 1 6

Matriz ampliada del sistema:

Es aquella que surge de agregar el vector de trminos independientes a la matriz de coefi-cientes del sistema.

Notacin:A|B

Estructura:


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Ejemplo:

2 -1 3 3

1 0 -1 -2

1 1 1 6

TEMA 2.2. La matriz como representacin de un problema econmico


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