Optimizacion de redes

Optimización de redes Gestión Logística

UNIVERSIDAD SAN SEBASTIÁN

Gestión Logística

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Contenido Introducción ............................................................................................................................. 2

Resumen ejecutivo .................................................................................................................... 3

Problema del flujo de costo mínimo ........................................................................................... 4

Problema del flujo máximo ........................................................................................................ 6

Problema de la ruta más corta ................................................................................................... 7

Problema del árbol de expansión mínima ................................................................................... 8

Aplicación de problemas con herramientas prácticas................................................................... 9

Conclusión ...............................................................................................................................13

Bibliografía...............................................................................................................................21

Introducción

El objetivo de este trabajo es explicar los problemas de redes y sus respectivas

soluciones. Dentro de todos los puntos que se han evaluado durante el semestre

este sin duda es el que macara mayor relevancia, ya que, nos entregará las

herramientas necesarias para poder generar nuevas propuestas, nos ayudará a

enfrentar los problemas que se presenten de la manera más óptima posible ya que

como también hemos aprendido en la otras unidades, todo depende del rubro de la

empresa y la posición en la que esta se encuentre. Sin embargo lo que se planteara

en las siguientes páginas solo es lo esencial que debe saber todo ingeniero

comercial para enfrentar las dificultades que le deparen su trabajo.

En este informe se logrará entender y ver a profundidad lo que es la optimización

de redes y los problemas a tratar sobre este. Cada problema equivale a un modelo

distinto de redes, donde tenemos, el modelo de árbol de mínima expansión, modelo

de ruta más corta, modelo del flujo máximo y modelo del flujo del costo mínimo, hay

que tener en consideración que este informe será desarrollado de una manera más

practica por lo que cada modelo será desarrollado con un ejercicio para así poder

tener una mayor recopilación de información sobre el tema a tratar.

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Resumen ejecutivo

Este trabajo se desarrollara poniendo énfasis al desarrollo practico por lo que será

de suma importancia el buen desarrollo de los ejercicios que se plantearan para

cada modelo en específico.

Para una mayor optimización y mejor explicación de los modelos de problemas de

redes presentaremos en trabajo en cinco etapas que nos ayudará a cubrir en

extenso cada punto que se nos solicita para esta unidad.

1. Problema del flujo del costo mínimo: intenta localizar una buena solución de

inicio usando las rutas “baratas” en el modelo de transporte.

2. Problema del flujo máximo: transportar la mayor cantidad de producto posible

a través de una red de distribución.

3. Problema de la ruta más corta: encontrar la ruta más corta de la planta al

centro de distribución pasando por ciudades intermedias.

4. Problema de árbol de expansión mínima: redes de comunicaciones.

Conectar todos los nodos con el mínimo costo.

5. Aplicación de problemas con herramientas prácticas

Los ejercicios que se plantearan en para cada punto estarán basados en una

empresa que se elegirá conforme a los puntos que debemos tratar para la unidad

6, además consideraremos que cada uno de ellos sea representado por una gráfica

para su mejor comprensión.

Problema del flujo de costo mínimo

El problema de flujo de costo mínimo tiene una posición medular entre los

problemas de optimización de redes; primero, abarca una clase amplia de

aplicaciones y segundo, su solución es muy eficiente. Igual que el problema del flujo

máximo, toma en cuenta un flujo en una red con capacidades limitadas en sus arcos.

Igual que el problema de la ruta más corta, considera un costo (o distancia) para el

flujo a través de un arco. Igual que el problema de transporte o el de asignación,

puede manejar varios orígenes (nodos fuente) y varios destinos (nodos demandas)

para el flujo, de nuevo con costos asociados. De hecho, estos cuatro problemas son

casos especiales del problema de flujo de costo mínimo.

A continuación se describe el problema del flujo de costo mínimo:

1. La red es una red dirigida conexa.

2. Al menos uno de los nodos es nodo fuente.

3. Al menos uno de los nodos es nodo demanda.

4. El resto de los nodos son nodos de trasbordo.

5. Se permite el flujo a través de un arco solo en la dirección indicada por la

flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del

arco. (Si el flujo puede ocurrir en ambas direcciones, debe representarse por

un par de arcos con direcciones opuestas).

6. La red tiene suficientes arcos como suficiente capacidad para permitir que

todos los flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos demanda.

7. El costo del flujo a través del arco es proporcional a la cantidad de este flujo,

donde se conoce el costo por unidad.

8. El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a

través de la red para satisfacer la demanda dada. (Un objetivo alternativo es

maximizar la ganancia total del envió).

ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DEL COSTO MÍNIMO

PASO 1:

De la matriz se elige la ruta (celda) menos costosa (en caso de un empate, este se

rompe arbitrariamente) y se le asigna la mayor cantidad de unidades posible,

cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda.

En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna

afectada, restándole la cantidad asignada a la celda.

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PASO 2:

En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0

después del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual

eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según sea el caso.

PASO 3:

Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo

renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método, "detenerse".

La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso iniciar

nuevamente el "Paso 1".

Problema del flujo máximo

Se trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino a través de una red de arcos

dirigidos. Cada arco tiene una capacidad máxima de flujo admisible. El objetivo es

el de obtener la máxima capacidad de flujo entre la fuente y el destino.

Características:

1. Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado

fuente, y termina en otro nodo llamado destino.

2. Los nodos restantes son nodos de transbordo.

3. Se permite el flujo a través de un arco solo en la dirección indicada por la

flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del

arco. En la fuente, todos los arcos señalan hacia fuera. En el destino, todos

señalan hacia el nodo.

4. El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino, Esta

cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la

cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra el destino.

El problema de flujo máximo se puede formular como un problema de programación

lineal, se puede resolver con el método simplex y usar cualquier software. Sin

embargo, se dispone de un algoritmo de trayectorias aumentadas mucho más

eficientes. El algoritmo se basa en dos conceptos intuitivos, el de red residual y el

de trayectoria aumentada.

Algoritmo de la trayectoria de aumento para el problema de flujo máximo:

PASO 1:

Se identifica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida del

origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre esta trayectoria tiene

capacidad residual estrictamente positiva. (Si no existe una, los flujos netos

asignados constituyen un patrón del flujo óptimo).

PASO 2:

Se identifica la capacidad residual c* de esta trayectoria de aumento encontrando

el mínimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria. Se

aumenta en c* el flujo de esta trayectoria.

PASO 3:

Se disminuye en c* la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de

aumento. Se aumenta en c* la capacidad residual de cada arco en la dirección

opuesta en esta trayectoria. Se regresa al paso 1.

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Problema de la ruta más corta

Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen

y destino. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa. El

objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distancia total)

del origen al destino.

Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia del

procedimiento es que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manera

sucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus

distancias (más cortas), desde el origen; el problema queda resuelto en el momento

de llegar al nodo destino.

Algoritmo de la ruta más corta

PASO 1:

Objetivo de la n-esima iteración: encontrar el n-esimo nodo más cercano al origen

(este paso se repetirá para n=1,2…n, hasta que el n-esimo nodo más cercano sea

el nodo destino).

PASO 2:

Datos para la n-esima iteración: n-1 nodos más cercanos al origen (encontrados en

las iteraciones previas), incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen.

(Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos).

PASO 3:

Candidatos para el n-esimo nodo más cercano. Cada nodo resuelto que tiene

conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos proporciona un

candidato, y este es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta. (Los

empates proporcionan candidatos adicionales).

PASO 4:

Calculo del n-esimo nodo más cercano; para cada nodo resuelto y sus candidatos,

se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a

este nodo resuelto. El candidato con la distancia total más pequeña es el n-esimo

nodo más cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales), y su

ruta más corta es la que genera esta distancia.

Problema del árbol de expansión mínima

El modelo tiene que ver con la determinación de los ramales que pueden unir todos

los nodos de una red, tal que, minimice la suma de las longitudes de los ramales

escogidos. No se deben incluir ciclos en la solución del problema.

Para crear el árbol de expansión mínima tiene las siguientes características:

1. Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En su lugar se

proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si

se inserta en la red. (Las medidas alternativas para la longitud de una

ligadura incluyen distancia, costo y tiempo)

2. Se desea diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito

de que haya un camino entre cada par de nodos.

3. El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud

total de las ligaduras insertadas en la red.

Una red con n nodos requiere solo (n-1) ligaduras para proporcionar una trayectoria

entre cada par de nodos. Las (n-1) ligaduras deben elegirse de tal manera que la

red resultante formen un árbol de expansión. Por tanto, el problema es hallar el árbol

de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras.

Algoritmo para construir el árbol de expansión mínima

PASO 1: Se selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir,

se agrega una ligadura) al nodo distinto más cercano.

PASO 2: Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se

conectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). Este paso

se repite hasta que todos los nodos están conectados.

PASO 3: Empates: los empates para el nodo más cercano distinto (PASO 1) o para

el nodo no conectado más cercano (PASO 2), se pueden romper en forma arbitraria

y el algoritmo debe llegar a una solución óptima. No obstante, estos empates son

señal de que pueden existir (pero no necesariamente) soluciones optimas múltiples.

Todas esas soluciones se pueden identificar si se trabaja con las demás formas de

romper los empates hasta el final.

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Aplicación de problemas con herramientas prácticas Problema de la ruta más corta

La empresa hace entregas a 5 partes (nodos) con

un nodo inicial A (Tribunales de justicia, Concepción)

Nodo B: intersección de calle O’Higgins con Colo Colo

Nodo C: intersección de calle Barros Aranas con Colo Colo

Nodo D: intersección de calle Aníbal Pinto con Freire

Nodo F: intersección de calle Maipú con Colo Colo

Nodo E: intersección de calle Aníbal Pinto con Maipú

La cantidad de cuadras entre cada punto de entrega (nodos) están denotadas en la

línea que une a los nodos.

Luego como A esta conectado a B, C y D calculamos las etiquetas de cada nodo,

sumando la distancia acumulada para ir de A a cada nodo.

Teniendo las 3 etiquetas calculadas de las 3 posibles rutas, seleccionamos la

distancia acumulada menor, siendo C y B las distancias menores marcamos

cualquiera de estas como “definitiva” en este caso marcaremos C.

Luego calculamos las etiquetas de los nodos que puede llegar C, en este caso sería

B, F y D. Para B serian 2 y para D serian 3 (no mejoran las etiquetas por ende no

las ponemos).

Localizamos el nodo con la distancia menor, en este caso es B, lo marcamos como

“definitivo”. De B solo podemos mejorar el nodo D, pero al ser igual que el

proveniente de A no mejora y por ende no lo anotamos.

Como no mejora la etiqueta, nuevamente seleccionamos la menor entre D y F,

siendo iguales las distancias acumuladas marcamos como “definitiva” F. Luego

calculamos las etiquetas de los nodos que puede llegar F, en este caso es D y E, al

sumar la distancia acumulada no mejora la etiqueta de D (dando como resultado 5)

descartando la etiqueta anterior de F.

Para calcular la distancia más corta desde A a cualquier nodo solo tenemos que ver

la etiqueta y seguir las letras de la etiqueta, por ejemplo, si queremos saber la

distancia y la ruta más corta para llegar a E desde la empresa (A) tenemos que la

distancia son 4 cuadras y la ruta más corta es A → C → F → E.

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ARBOL DE EXPANSION MINIMA Es aquel que conecta todos los nodos dentro de una red, que están en una distancia

mínima y que no contiene un ciclo.

Conceptos:

Flujo: corresponde a la cantidad que debe transportarse de un nodo a otro.

Arco No dirigido: Si el flujo puede transportarse en varias dimensiones (sin

flechas).

Nodo adyacente: este ocurre cuando existe un arco que une a dos nodos.

La potabilizadora de agua de Pacora requiere suministrar agua a varios

corregimientos del este de la ciudad de Panamá. En el siguiente grafico se

presentan los siguientes puntos donde debe dar abastecimiento.

Como determinar la forma más económica de suministrar agua a todos los

corregimientos a través de un árbol de expansión mínima.

Cuadro:

Ck Ck Distancia

A B, C, D, E, F, G, H -

A, D B, C, E, F, G, H 4

A, D, C B, E, F, G, H 3

A, D, C, B E, F, G, H 1

A, D, C, B, E F, G, H 5

A, D, C, B, E, G F, H 7

A, D, C, B, E, G, H F 2

A, D, C, B, E, G, H, F - 3

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METODO DEL COSTO MINIMO

Paso 1: Identificar casillas con menor costo de envío (0=gratis)

A esa casilla se le dará el máximo que demande (de ahí se parte el flujo).

Paso 2: Lo que nos queda por distribuir (destino 3 y 4 con el origen 2).

Se cancelan las demandas y ofertas.

Y esta es la solución:

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Se le distribuyen 5 artículos al cliente 1 desde el origen 3.

Se le distribuyen 15 artículos al cliente 2 desde el origen 1.

Se le distribuyen 15 artículos al cliente 3 desde el origen 2.

Se le distribuyen 10 artículos al cliente 4 desde el origen 2.

PROBLEMA DEL FLUJO MÁXIMO (ejercicio teórico)

Resolución de problema

Para resolver un problema de flujo máximo se debe seguir los siguientes pasos:

1. Se identifica el nodo origen y destino.

2. Se parte desde el nodo de origen y se escoge el arco que posea mayor flujo 3. Se identifica los nodos de transbordo. 4. Repetir como si el nodo intermediario fuera el nodo origen. 5. Se calcula "k" y las capacidades nuevas. 6. Dado el resultado se cambian las capacidades y se repite el mismo

procedimiento desde el inicio.

Formulario Cij,ji =(Ci-K, Cj+K), donde: C: capacidad I,j: índices de los nodos K: es el mínimo flujo que pasa por el nodo, se calcula como k= min(capacidades de la ruta).

Hallar el flujo máximo del siguiente problema:

Método Ford Fulkerson El nodo de origen como se puede observar es el número 1 de color amarillo, y el nodo de destino es el número 5 de color azul.

Se escoge desde el nodo de origen aquel flujo que sea el mayor, en este caso es 30, y va dirigido al nodo número 3.

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Se identifica el nodo de transbordo como [30,1], 30 es la capacidad, y 1 es el nodo del cual proviene la capacidad y luego repetimos todo el proceso, como si el nodo intermediario fuese el nodo de origen. Se tiene como flujo mayor 20 del nodo numero 3 al nodo número 5, con el nodo de transbordo como [20,5].

Ahora que hemos llegado al nodo de destino, procedemos a calcular "k" y las capacidades nuevas.

K=min(∞,30,20)

K=20 C13,31 =(30-20, 0+20) C13,31 =(10, 20) C35,53 =(20-20, 0+20) C35,53 =(0, 20) Luego de haber calculado las nuevas capacidades, es necesario reemplazarlas.

Se realiza el proceso otra vez, haciendo la ruta con los mayores flujos.

K=min(∞,20,40,10,20) K=10 C12,21 =(20-10, 0+10) C12,21 =(10, 10) C23,32 =(40-10, 0+10)

C23,32 =(30, 10)

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C34,43 =(10-10, 5+10)

C34,43 =(0, 15)

C45,54 =(20-10, 0+10) C45,54 =(10, 10) Volvemos a hacer el proceso y escogemos el camino 1,2. Como se puede observar si se tomara rumbo del nodo 2 al nodo 3 terminaría trancado, obligándose a volver al nodo origen, por lo que se toma el camino 2,5.

K=min(∞,10,20) K=10 C12,21 =(10-10, 10+10) C12,21 =(0, 20) C25,52 =(20-10, 0+10) C25,52 =(10, 10) Se actualizan las capacidades y procedemos a resolver de nuevo. Esta vez

agarraremos el camino de 1,3.

K=min(∞,10,10,10) K=10 C13,31 =(10-10, 20+10) C13,31 =(0, 30) C32,23 =(10-10, 30+10) C32,23 =(0, 40)

C25,52 =(10-10, 10+10) C25,52 =(0, 20)

Y por último escogemos el camino 1,4.

K=min(∞,10,10) K=10 C14,41 =(10-10, 0+10) C14,41 =(0, 10)

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C45,54 =(10-10, 10+10)

C45,54 =(0, 20) Reemplazando las nuevas capacidades, nos queda de la siguiente forma, las capacidades del nodo de origen quedan como 0, por lo cual seguimos a sumar a todas las K y ahí conseguimos el flujo máximo.

Flujo Máximo = Σ K Flujo Máximo = 20+10+10+10+10 Flujo Máximo = 60

El flujo máximo que puede pasar del nodo origen 1 hasta el nodo destino es de 60.

1

0

1

0

1

0

Conclusión

Los modelos de optimización de redes constituyen una herramienta muy sencilla

para la encontrar la solución óptima a los problemas de flujo de redes, porque

proporcionan algoritmos fáciles de comprender y aplicar que comparados con el

método simplex disminuyen el número de iteraciones que resuelven el problema. Si

se aplicara el método simplex en un problema de distribución o de redes, tendríamos

muchas variables y restricciones en el modelo y se tendría que utilizar herramientas

computacionales para encontrar la solución óptima de una forma rápida, ahora con

los modelos de redes solo habría que aplicar las iteraciones al grafo que origina la

representación de la red del problema y luego aplicar el algoritmo que corresponde,

que puede ser el algoritmo de la ruta más corta, algoritmo para encontrar el árbol

de expansión mínima, algoritmo de la trayectoria de aumento o el algoritmo de flujo

máximo.

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Bibliografía

Ballou: Administración de la cadena de suministros.

Chase: Administración de operaciones, producción y cadena de suministros.

Chopra: Administración de la cadena de suministros

http://www.monografias.com/trabajos16/flujo-redes/flujo-redes.shtml